Tài liệu Đề cương công thức logarith bài toán có lời giải

http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết CHỦ ĐỀ 2: CÔNG THỨC LOGARIT 1. Định nghĩa: Cho 2 số dương a, b với a  1 . Số  thõa mãn đẳng thức a  b được gọi là logarit cơ số a của b kí hiệu là log a b . Như vậy a  b    log a b Chú ý: - Không tồn tại Logarit của số âm và số 0. - Cho 2 số dương a, b với a  1 , ta có các tính chất sau: log a 1  0;log a a  1 2. Các công thức Logarit • Công thức 1: log a a x  x với x  ;1  a  0 • Công thức 2: log a x  log a y  log a  xy  với x, y, a  0 và a  1 log a x  log a y  log a x với x, y, a  0 và a  1 y Chú ý: Với x; y  0 và 0  a  1 ta có: log a  xy   loga   x   loga   y  1 • Công thức 3: log a bn  n.log a b và log an b  .log a b  a, b  0; a  1 n Như vậy: log am b n  n .log a b m • Công thức 4: (đổi cơ số) logb c  log a c log a b Cách viết khác của công thức đổi cơ số: log a b.logb c  loga c với a; b; c  0 và a; b  1 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 1/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Hệ quả: Khi cho a = c ta có: log c b.logb c  log c c  1  log c b  1 (gọi là nghịch đảo) logb c Tổng quát với nhiều số: log x1 x 2 .log x2 x3......log xn1 xn  log x1 xn  1 (với 1  x1;....xn  0 ) • Công thức 5: alogb c  clogb a với a; b; c  0 ; b  1 3. Logarit thập phân, logarit tự nhiên. • Logarit thập phân: Logarit cơ số a = 10 gọi là logarit thập phân ký hiệu: log x( x  0) ( log x được hiểu là log10 x ). Đọc là Lốc x. • Logarit tự nhiên: Logarit cơ số a  e  2,712818 gọi là logarit tự nhiên ký hiệu: ln x( x  0) .Đọc là len x hoặc lốc nepe của x ( ln x được hiểu là ln e x ) DẠNG 1. SỬ DỤNG CÔNG THỨC LOGARIT  a2.3 a2 .5 a4  Ví dụ 1: Cho số thực a thõa mãn 0  a  1 . Tính giá trị của biểu thức T  log a   15 7   a   A. T  3 B. T  12 5 C. T  9 5 D. T  2 Lời giải 2 4 2  5  a2 .3 a2 .5 a4  a 3 Ta có: T  log a    log a 7 15 7   a   a15  log a a 2 4 7 2   3 5 15  log a a3  3 . Chọn A http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 2/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 2: Cho các số thực a, b, c thõa mãn 1  a, b, c  0 và các khằng định sau  a3  (1) log a    3  log a b b  5 (2) log a5 b  log a b 2 (3) log a  b  c   log a b.log a c (4) logbc a  logb a  logc a Số khẳng định đúng là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải  a3  Ta có: log a    log a a3  log a b  3  log a b  (1) đúng b  1 1 1 1 log a5 b  log a5 b 2  . log a b  log a b  (2) sai 5 2 10 log a  b  c   log a b.log a c  (3) sai logbc a  1 1   log a bc log a b  log a c 1 1 1  logb a log c a  (4) sai Vậy có 1 khẳng định đúng. Chọn A. Ví dụ 3: Cho các số thực a, b, c thõa mãn 1  a, b, c  0 và các khằng định sau http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 3/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết (1) log a3  ab   3  3log a b (3) ln a 1  ln a  ln b 2 b (2) log a b  log a4 b6  2log a b (4) log a  b  c   log a b  log a c Số khẳng định đúng là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải 1 1 1 1 Ta có: log a3  ab   log a  ab    log a a  log a b    log a b  (1) sai 3 3 3 3 1 6 1 3 log a b  log a4 b6  log a b 2  log a b  log a b  log a b  2log a b  (2) đúng 4 2 2 ln 1 a 1  ln a  ln b  ln a  ln b 2  ln a  ln b  (3) đúng 2 b log a  b  c   loga b  loga c  (4) sai Vậy có 2 khẳng định đúng. Chọn B Ví dụ 4: Cho các số thực a, b thỏa mãn a < b < 0 và các khẳng định sau : 1  ln a  ln b  2 (1) ln  ab   2  ln a  ln b  (2) ln ab   a2  (3) ln  4   ln a 2  2 ln b 2 b  (4) ln  ab   ln  a   ln  b  2 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 4/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Số khẳng định đúng là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải Chú ý: Do a  b  0 nên ln  ab   ln  a  .  b   ln  a   ln  b   ln a  ln b Do đó ln  ab   2ln  ab   2  ln a  ln b   (1) sai 2 1 1 ln ab  ln  ab    ln a  ln b   (2) đúng 2 2  a2  ln  4   ln a 2  ln b4  ln a 2  2ln b2  (3) đúng b  ln  ab   ln  a   ln  b   (4) đúng Vậy có 3 khẳng định đúng. Chọn C Ví dụ 5: Cho các số thực dương và các mệnh đề sau: 3 x 1 (1) log a 2  log a x  2log a y y 2  x 9 (2) log a3    log a x  9log a y  y  2 2 x (3) log    4  log a x  log a y   y 2 a (4) log a2   1 x  y 2  log a x  log a y 4 Số khẳng định đúng là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 5/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Lời giải x 1  log a x  log a y 2  log a x  2log a y  (1) đúng y 2 Ta có: log a 2 3  x 1  x  x 1 log a3    .3log a    log a    log a x  log a y  (2) sai  y  3  y   y  2 2 2 2 2 x   x  2 log    log a      2  log a x  log a y    4  log a x  log a y   (3) sai  y    y   2 a log a2   1 x  y 2  log a x  log a y  (4) sai. Chọn A 4 Ví dụ 6: Cho log 3 x  2log 3 a  log 1 b  1 và log 2 y  2log 2 a  log8 b3 với a; b  0 . Tính giá trị biểu thức 3 P x theo a và b y A. P  3a 2b B. P  3 a2 C. P  3a 6 b2 D. P  3a 2 Lời giải Ta có: log3 x  2log 3 a  log 1 b  1  2log 1 a  log 31 b  1 3 32 3a 4 3a 4  4log3 a  log3 b  1  log3 a  log3 b  log3 3  log 3 x b b 4 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 6/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 1 a2 a2 Lại có log 2 y  2log 2 a  log8 b3  log 2 a 2  log 23 b3  log 2 a 2  3. log 2 b  log 2 y 3 b b  x 3a 4 a 2  :  3a 2 . Chọn D y b b Ví dụ 7: Cho 1  a; b  0, ab  1, (1) log ab a  (3) log 1 1  log a b (2) log a b  b  ab   4  4log 2 a a  1 và các mệnh đề sau b a (4) log a2 b log a b log a b  1 a 1  1  log a b  b 4 Số khẳng định đúng là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải Ta có log ab a  1 log a b  logb b log a b 1 1   (1) đúng log a ab 1  log a b  1  log b a  1 1 log a b log a b  (2) sai 1  log b a 1   ab   log  ab   2log  ab   2  4log 2 a 1 2 1 a2 2 a a b  (3) sai http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 7/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết log a2 a 1 1 a 1  . log a  1  log a b   (4) đúng. Chọn B b 2 2 b 4  a2. b  Ví dụ 8: Cho log a b  3 và log a c  4 với a; b; c  0; a  1. Tính giá trị của P  log a  3   c  A. P  13 2 B. P  9 32 C. P  3  10 D. P  17 2 Lời giải 1  a2 . b  2 3 Ta có: P  log a  3   log a a  log a b  log a c  2  log a b 2  3log a c  c  1 3 17 . Chọn D  2  log a b  3log a c  2   12  2 2 2 Ví dụ 9: Cho log a b  3 và logc a  2 với a, b, c  0; a  1, c  1 .Tính giá trị của biểu thức  ab3  Q  log a  2   c    A. Q  9 D. Q  1 C. Q  6 B. Q  4 Lời giải  ab3  Ta có: Q  log a  2   log a  c      1 3 a . b3  log a c 2  log a a 2  log a b 2  2log a c http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 8/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết  1 3 1 1 9 2  log a b  2.     4 . Chọn B 2 2 log c a 2 2 2 Ví dụ 10: Cho các số thực dương a, b. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. log 2 23 a 1 1  1  log 2 a  log 2 b 3 b 3 3 B. log 2 23 a 1  1  log 2 a  3log 2 b 3 b 3 C. log 2 23 a 1 1  1  log 2 a  log 2 b 3 b 3 3 D. log 2 23 a 1  1  log 2 a  3log 2 b 3 b 3 Lời giải 23 a log 2 3  log 2 2  log 2 b  a   log 2 1 3 1 b  1  log 2 a  3log 2 b  1  log 2 a  3log 2 b . Chọn D 3 3 3 Ví dụ 11: Cho log 2 a  4 và log3 b  2 . Giá trị của biểu thức P  2log 2 log 2  8a   9  log 1 b2 là 9 A. P  6 B. P  4 C. P  8 D. P  10 Lời giải Ta có: P  2log 2 log 2 8a   9  log 1 b2  2log 2 log 2 8  log 2 a  9  log 32 b2 9  2log 2 3  4  9  2 log3 b  2log 2 16  log3 b  8  2  6 .Chọn A 2 Ví dụ 12: Cho log a x  4 và logb x  5 . Tính giá trị của biểu thức P  3log ab x  log a x b http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 9/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết B. P  A. P  16 80 3 C. P  40 3 D. P  27 Lời giải Sử dụng công thức log a b  1 logb a Ta có P  3log ab x  log a x  b  3 1 1  log a x log a y  3 1 3 1    log x ab log a log x a  log x b log x a  log x b x b 1 1 1  log a x log a y  3 1 1  4 5  1 1 1  4 5  80 . Chọn B 3 Ví dụ 13: Với 3 số thực a, b, c bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 2 8ab B. log 2  3  b2 log 2 a  log 2 c c 2 8ab  3  b2 log 2 a  log 2 c D. log 2 c 8ab A. log 2  3  2b log 2 a  log 2 c c 8ab 1  3  2 log 2 a  log 2 c C. log 2 c b 2 2 Lời giải 2 2 8ab Ta có log 2  log 2 8  log 2 ab  log 2 c  3  b2 log 2 a  log 2 c . Chọn B c Ví dụ 14: Biết rằng a, b, c >1 thõa mãn log ab  bc   2 .Tính giá trị của biểu thức P  log c a 4  log c  ab  b a http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 10/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết B. P  2 A. P  1 D. P  4 C. P  3 Lời giải Ta có: log ab  bc   2  bc   ab   a 2b2  c  a 2b 2 Khi đó P  log a2b a 4  log a2b  ab   log a2 a 4  log ab  ab   b a 4  1  3 . Chọn C 2  a3  Ví dụ 15: Biết rằng log a b  3 . Tính giá trị của biểu thức A  log a b  2  b  A. A  24  14 3 B. A  12  14 3 C. A  12  7 3 D. A  2 3 Lời giải Cách 1: log a b  3  b  a 3 .Khi đó a b  a. a a3 a3 Và 2  2 3  a32 b a 3  A 1 3 1 2  3 3 1  a.a 2  a 3 2  . 3  2 3 log a a  24  14 3 Cách 2: log a b  3  b  a 3 .Chọn a  2  b  2 3 nhập vào máy tính biểu thức log A  A3  sau đó 2  B  B  CALC với A  2; B  2 3  A  24  14 3 . Chọn A Ví dụ 16: Biết rằng log a b  4 . Tính giá trị của biểu thức A  log ab3  b3     a http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 11/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết A. A  23 5 B. A  23 12 C. A  23 13 D. A  23 9 Lời giải Ta có: log a b  4  b  a 4 . Khi đó 13 ab3  a.  a 4   a13  a 2 3 23 b3  a  a12 2 23 23 Và .Chọn C  1  1  a 2  A  . log a a  13 2 13 a 2 2 a a 3 4 Ví dụ 1: Cho a, b > 0 thõa mãn a 2  b2  25ab . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. log3  a  b   1  log3  ab  2  a  b  log3 a  log3 b B. log3   2  3   a  b  1  log3 a  log3 b C. log3   2  3  log3 a  log3 b  ab D. log3    1 2  3  Lời giải Ta có a 2  b2  25ab   a  b   27ab  log3  a  b   log3  27ab  2 2  2log3  a  b   log3 27  log3 a  log3 b  3  log3  ab   log3  a  b   3  log3  ab  2  log3  a  b   1  1  log3  ab  a  b 1  log 3  ab   log3  . Chọn C 2 3 2 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 12/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 18: Cho a, b > 0 và thõa mãn a 2  b2  14ab . Khẳng định nào sau đây là đúng?  a  b  log 2 a  log 2 b A. log 2   2  4   a  b  log 2 a  log 2 b B. log 2   4  2   a  b  log 2 a  log 2 b C. log 2   2  2   a  b  1  log 2 a  log 2 b D. log 2   2  4  Lời giải Ta có a 2  b2  14ab   a  b   16ab 2 log 2  a  b   log 2 16ab   2log 2  a  b   4  log 2  ab  2  log 2  a  b   2   log 2 log 2  ab  log 2  ab   log 2  a  b   log 2 4  2 2 a  b log 2 a  log 2 b . Chọn A  4 2   Ví dụ 19: Cho f  x   a ln x  x 2  1  b sin x  6 với a, b  . Biết f  log  log e    2 . Tính giá trị của f  log  ln10   A. 4 B. 10 C. 8 D. 2 Lời giải   1  Ta có: f  log  ln10    f  log     f   log  log e    log e    http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 13/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Mặt khác f   x   a ln   x 2  1  x  b sin x  6  a ln 1 x 1  x 2  b sin x  6    a ln x  x 2  1  b sin x  6   f  x   6  6   f  x   12 Do đó f  log  log e    f  log  log e    12  10 . Chọn B DẠNG 2: BIỂU DIỄN BIỂU THỨC LOGARIT THEO BIỂU THỨC CHO TRƯỚC Ví dụ 1: Với các số thực dương x,y tùy ý, đặt log 2 x   ,log 2 y   . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 4 4  x3  3 A. log16  2     2  y  2    x3  B. log16  2   24  32  y    4 4  x3  2 D. log16  2     2  y  3    x3  2 C. log16  2     2  y  3   Lời giải 4 4  x3   x3  x3 3 Ta có log16  2   log 24  2   log 2 2  log 2 x3  log 2 y 2  log 2 x  2log 2 y  y   y  y 2     = 3   2 .Chọn A 2 Ví dụ 2: Với các số thực dương x, y tùy ý, đặt log 2 x   ,log 2 y   . Mệnh đề nào dưới đây đúng? http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 14/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 2  2 x3 B. log 2  2  y     4  6  8   2  2 x3 D. log 2  2  y     4  6  8    2 x3 A. log 2  2  y   3   1    2  2   2 x3 C. log 2  2  y   3   1    2  2  2 2 Lời giải  2 x3 Ta có log 2  2  y  2    log 1  22   2 x3  2  y  2  2 x3   4log 2 2  4. log 2 2  log 2 x3  log 2 y 2  y  3    3  4 1  log 2 x 2  2log 2 y   4 1  log 2 x  2log 2  2      y   4  6log 2 x  8log 2 y  4  6  8 . Chọn D   Ví dụ 3: Cho logb a  x;logb c  y . Hãy biểu diễn log a2  5 4y A. 6x 5  3y4 C. 3x 2 20 y B. 3x 3 b5c 4 theo x và y D. 2 x  20 y 3 Lời giải Ta có: log a2  3  5 4 1  5 4 1 1 1 1 5 4 b5c 4  log a  b5c 4  3  log a  b 3 c 3   log a b 3  log a c 3  log a b  log a c 2 2 2 6 6   2 5 1 4 logb c 5 4 y 5  4 y  .     . Chọn A 6 logb a 6 log b a 6 x 6 x 6x http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 15/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 4: Cho loga x  m;logb x  n;logc x  p . Hãy biểu diễn log ab x theo m, n, p c A. mnp mn  mp  np B. mnp np  mp  mn C. 1 mn p D. mnp mn p Lời giải Ta có log ab x  c 1 ab log x c   1  log x a  log x b  log x c 1 1 1 1   log a x logb x log c x 1 mnp . Chọn B  1 1 1 np  mp  mn   m n p Ví dụ 5: Đặt log 2 7  a;log3 7  b . Hãy tính log14 12 theo a,b A. log14 12  a  2b ab  a B. log14 12  a  2b ab  b C. log14 12  2a  b ab  a D. log14 12  2a  b ab  b Lời giải a 2 2 log 2 12 log 2  2 .3 2  log 2 3 2  log 2 7.log 7 3 b  a  2b     Ta có log14 12  log 2 14 log 2  2.7  1  log 2 7 1 a a  1 ab  b Cách 2 (Casio): Nhập log 2 7  SHIFT  STO  A ( mục đích gán log 2 7  A ) http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 16/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Nhập log3 7  SHIFT  STO  B (gán log3 7  B ) Lấy log14 12  A  2B A  2B ;log14 12  ....... trong 4 kết quả kết quả nào cho đáp án bằng 0 thì đáp án đó là đáp AB  A AB  B án đúng. Chọn B Ví dụ 6: Cho log 2 3  a,log 2 5  b . Tính log 6 45 theo a,b A. log 6 45  a  2b 2 1  a  B. log6 45  2a  b C. log 6 45  2a  b 1 a D. log6 45  a  b  1 Lời giải 2 log 2 45 log 2  3 .5 2log 2 3  log 2 5 2a  b    Ta có log 6 45  . Chọn C log 2 6 log 2  2.3 1  log 2 3 1 a Ví dụ 7:Đặt a  log3 4, b  log5 4 . Hãy biểu diễn log12 80 theo a, b 2a 2  2ab A. log12 80  ab  b B. log12 80  a  2ab C. log12 80  ab  b 2a 2  2ab D. log12 80  ab a  2ab ab Lời giải http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 17/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 1 2 log 4 80 log 4 16  log 4 5 b  a  2ab . Chọn C Ta có log12 80    1 log 4 12 log 4 3  log 4 4  1 ab  b a Ví dụ 8: Đặt a  log2 3; b  log5 2; c  log2 7 . Hãy log 42 15 biểu diễn theo a, b, c A. log 42 15  ab  1 b  a  c  1 B. log 42 15  ac  1 c  a  c  1 C. log 42 15  ac  1 ab  b  c D. log 42 15  ac a  b  bc Lời giải 1 log 2 15 log 2 3  log 2 5 b  ab  1 . Chọn A   Ta có log 42 15  log 2 42 log 2 2  log 2 3  log 2 7 1  a  c b  a  c  1 a Ví dụ 9: Đặt a  log 2 5; b  log3 5 . Hãy biểu diễn log 75 theo a,b 2a 2  2ab ab A. log 75  a  2ab ab  b B. log 75  C. log 75  a  ab ab D. log 75  2a 2  2ab ab  b Lời giải 2 log 2 75 log 2  5 .3 2log 2 5  log 2 3 2a  log 2 5.log5 3    Ta có log 75  log 2 10 log 2  2.5 1  log 2 5 1 a http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 18/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết a  2a a  2ab .Chọn C b  1 a  a  1 b Ví dụ 10: Đặt a  log 2 3; b  log5 3 . Hãy biểu diễn log 6 45 theo a và b A. log 6 45  a  2ab ab B. log 6 45  2a 2  2ab ab C. log 6 45  a  2ab ab  b D. log 6 45  2a 2  2ab ab  b Lời giải Ta có log 6 45  log 2 45 log 2  5.9  log 2 5  log 2 9 log 2 3.log3 5  2log 2 3    log 2 6 log 2  2.3 1  log 2 3 1 a a  2a a  2ab b   . Chọn C 1 a  a  1 b Ví dụ 11: Biết log27 5  a,log8 7  b,log 2 3  c thì log12 35 tính theo a, b và c bằng A. 3b  2ac c2 B. 3(b  ac) c2 C. 3b  2ac c 1 D. 3(b  ac) c 1 Lời giải log12 35  log 2 35 log 2 7  log 2 5 3log8 7  log 2 3.log3 5 3b  3c.log 27 15 3  ac  b      . Chọn B log 2 12 log 2 4  log 2 3 c2 c2 c2 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 19/49 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 12: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy  10a , yz  102b , zx  103c  a, b, c  . Tính P  log x  logy logz theo a, b, c A. P  3abc B. P  a  2b  3c C. P  6abc D. P  a  2b  3c 2 Lời giải Ta có xy  10a , yz  102b , zx  103c   xyz   10a 2b3c 2 1 1 a  2b  3c 2 Suy ra P  log x  log y  log z  log  xyz   log  xyz   log10a  2b3c  . Chọn D 2 2 2 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 20/49