Tài liệu Chuyên đề xác suất và biến ngẫu nhiên rời rạc

Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh TRÖÔØNG THPT CHUYEÂN HUYØNH MAÃN ÑAÏT -KIÊN GIANG** Lôùp 11T2- Toå 2** CHUYEÂN ÑEÀ: Xaùc suaát vaø bieán ngaãu nhieân rôøi raïc GIAÙO VIEÂN HÖÔÙNG DAÃN: Traàn Thò Haïnh Thaønh vieân toå 1.Ñoã Huy Khoa 2.Nguyeãn Minh Tuù 3.Traàn Ñoã Thaûo Trang 4.Nguyeãn Thò Hoàng Phöôïng 5.Nguyeãn Minh Nhöït 6.Lyù Thaùi Baûo 7.Leâ Ngoïc Minh 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 1 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh I. Các bài toán chọn vật. 1.Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè. Tính xác suất để mỗi khối có ít nhất một em được chọn. Bài giải Xét T “Cử 8 em trong số 18 em đi dự trại hè” Gọi D là biến cố “Mỗi khối có ít một em được chọn” Đầu tiên, ta tính các khả năng của không gian mẫu Ω 8 /Ω/ = C 18 = 43758 Sau đó, ta xét các khả năng thuận lợi cho biến cố D Goi A là tập hợp tất cả cách cử 8 học sinh dự trại hè (lựa chọn từ 18 em). Gọi B là tập hợp tất cả cách cử 8 học sinh dự trại hè mà không đủ học sinh của 3 khối Gọi C là tập hợp cần tìm (tức là thỏa mãn yêu cầu đề bài). Ta có: A = B ∪ C ; B ∩ C = ∅. Vì theo quy tắc cộng, ta có: A = B + C hay C = A − B. (1) • Tính A : Dễ thấy A chính là số cách chọn 8 em từ 18 em (không quan tâm đến thứ tự sắp xếp), vậy : 18! = 43758. (2) 10!8! • Tính B : Để ý rằng vì max {7;6;5} = 7 < 8 , do dó khi chọn 8 em học sinh thì không thể chọn chỉ trong một khối lớp . Gọi B1, B2, B3 là ba tập hợp trong dó đôi một rời nhau. Theo quy tắc cộng ta có: B = B1 + B2 + B3 (3) A = C188 = Dễ thấy : B1 = C138 = 13! = 1287 ; 5!8! 12! = 495 ; 4!8! Từ đó thay vào (3) và có: B = 1947 B2 = C128 = B3 = C118 = 11! = 165 . 3!8! (4) Thay (2), (4) vào (1) suy ra: C = 43758 -1947 = 41811. ⇒ /ΩD/ = 41811. 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 2 Bài tập xác suất thống kê ⇒ P(D) = GVHD: Trần Thị Hạnh 41811 ≈ 0.9555 43758 2.Có một khối lập phương được tạo thành từ 729 hình lập phương nhỏ giống hệt nhau. Ở mỗi mặt, chính giữa khoét một dãy khối lập phương nhỏ xuyên từ tâm mặt này sang tâm mặt đối diện (có ba dãy, mỗi dãy chín khối). Lấy sơn bôi lên toàn bộ bề mặt trong ngoài của hình lập phương lớn. Lấy ngẫu nhiên một khối lập phương nhỏ trong đó. Tính xác suất để a) Khối đó chỉ có một mặt bị bôi đen b) Khối đó chỉ có hai mặt bị bôi đen c) Khối đó có ba mặt bị bôi đen. d) Khối đó không có mặt nào bị bôi đen. Bài giải Xét T “lấy ngẫu nhiên môt khối lập phương nhỏ trong hình lập phương” Gọi Ω là tập hợp các kết quả có thể có A “Khối đó chỉ có một mặt bị bôi đen”. B “Khối đó chỉ có hai mặt bị bôi đen”. C “Khối đó có ba mặt bị bôi đen”. D “Khối đó không có mặt nào bị bôi đen”. Dựa vào sự quan sát hình vẽ, ta có /Ω / = 729 / Ω A/ = 302 /ΩB/ = 158 ΩC/ = 12 ΩD/ = 257 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 3 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh 302 ≈ 0.414 . 729 158 ≈ 0.217 P(B) = 729 12 P(C) = ≈ 0.016 . 729 257 P(D) = ≈ 0.353 729 ⇒ P(A) = 3. Ba nữ nhân viên phục vụ A,B,C thay nhau rửa đĩa chén và giả thiết ba người này đều"khéo léo" như nhau. Trong một tháng có 4 chén bị vỡ .Tìm xác suất: a) mỗi người đánh vỡ ít nhất 1 chén. b) một trong 3 người đánh vỡ 3 chén c)một trong 3 người đánh vỡ cả 4 chén Bài giải Xét T “A,B,C đánh vỡ 4 chén” A “mỗi người đánh vỡ ít nhất một chén” B “một trong ba người đánh vỡ ba chén” C “một trong ba người đánh vỡ cả bốn chén” Tính các khả năng của không gian mẫu Ω /Ω/ = 34 = 81 a) Mỗi người đánh vỡ ít nhất 1 chén nghĩa là trong đó có 1 người đánh vỡ 2 chén, hai người còn lại mỗi người đánh vỡ 1 chén. Chọn người đánh vỡ 2 chén: 3 cách 2 Chọn 2 chén do người đó đánh vỡ: C 4 = 6 cách Hai chén còn lại: 2 cách → /ΩA/ = 3.6.2 = 36 36 P(A) = 81 b) Tính các khả năng của biến cố B Chọn người đánh vỡ 3 chén: 3 cách 3 Chọn 3 chén do người đó đánh vỡ: C 4 = 4 cách Chọn người đánh vỡ chén còn lại: 2 cách → /ΩA/ = 3.4.2 = 24 24 8 P(B) = = 81 27 c) Tính các khả năng của biến cố C Chọn người đánh vỡ cả 4 chén: 3 cách → /ΩA/ = 3 3 1 P(C) = = 81 27 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 4 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh 4.Có 2 hộp A, B.Hộp A chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi xanh. Hộp B chứa 3 viên bi trắng, 4 viên bi xanh. Gieo 1 con súc sắc, nếu xuất hiện chấm lớn hơn 4 thì chọn hộp A, nếu không chọn hộp B. Sau đó lấy 1 viên bi từ hộp đã chọn. Tính xác suất để viên bi đó là trắng Bài giải Đầu tiên, ta tính xác suất có thể phải dùng đến hộp A và xác suất có thể phải dùng đến hộp B . Một con súc sắc có 6 mặt . Xác suất xuất hiện số chấm lớn hơn 4 là: 2/6 =1/3 Xác suất xuất hiện số chấm bé hơn hoặc bằng 4 là: 4/6 = 2/3 → Xác suất chọn hộp A là 1/3, xác suất chọn hộp B là 2/3 Tiếp theo, ta tính xác suất chọn được viên bi trắng ở từng hộp Xác suất lấy được viên bi trắng ở hộp A là 4/9 Xác suất lấy được viên bi trắng ở hộp B là 3/7 Tóm lại xác suất lấy được viên bi trắng = 1/3 * 4/9 + 2/3 * 3/7 ≈ 0.434 5. Trong cùng một mặt phẳng cho 6 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Giữa 2 điểm bất kì ta đặt một que diêm. Bỏ ra 9 que diêm từ các que diêm vừa xếp. Tính xác suất để khi bỏ ra, từ một điểm bất kì, ta luôn có đường đi bằng diêm đến một điểm bất kì khác. Bài giải Xét T “bỏ ra 9 que diêm trong số các que diêm nối 6 điểm trong mặt phẳng”. A “Từ một điểm bất kì, ta luôn có đường đi bằng diêm đến một điểm bất kì khác” Muốn giải quyết bài toán, trước tiên ta tính số các que diêm (đoạn thẳng) nối giữa 2 điểm bất kì trong số 6 điểm đã cho. 2 Cứ 2 trong 6 điểm đó ta có 1 đoạn thẳng → Số que diêm là C 6 = 15. 9 Bỏ ra 9 que diêm trong số 15 que diêm → Số cách chọn là C 15 = 5005 Ta có không gian mẫu /Ω / = 5005. Xét bài toán ngược “tồn tại một điếm mà không có đường đi bằng diêm đến các điểm còn lại” Th1: Có 2 điểm không có đường đi bằng diêm đến các đỉnh khác: 2 Chọn 2 điểm đó: C 6 = 15 cách. Th2: Chỉ có 1 điểm không có đường đi bằng diêm đến các điểm khác: Chọn điểm đó: 6 cách Số que diêm nối các đỉnh còn lại (chưa lấy 4 que diêm còn lại ra): Chọn 4 que diêm trong số các que diêm nối các điểm còn lại: Vậy số cách chọn là 205.10 + 15 = 2065 → /ΩA/ = 5005 – 2065 = 2940. 2940 P(A) = ≈ 0.5874 5005 C 4 10 C 2 5 = 10 - 1.5 = 205. 6. Cho n chữ khác nhau : a, b, c, …, l. Lấy một số chữ trong số đó ghép thành một ãy. T ính xác suất để dãy đó 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 5 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh a) Chứa chữ a. b) Chứa cả hai chữ a, b c) Chứa ít nhất một trong hai chữ a, b. p a) Bài giải Ta có số các cách chọn có thể có là: 2 Gọi A là biến cố “dãy đó chứa chữ a” Ứng với mỗi chỉnh hợp chập p- 1 của n- 1 chữ b, c, …, l ta có p cách chen chữ a vào ⇒ Có p −1 p An−1 = p n A p n chỉnh hợp chập p chứa chữ a p n! * p.(n − 1) n (n − p )! = P → P(A) = p 2 2 .(n − p )! b) Gọi B là biến cố “dãy đó chứa cả 2 chữ a, b”. Ứng với mỗi chỉnh hợp chập p- r của n- 2 chữ c, d,…,l ta có p- 1 cách chen chữ a vào, rồi sau đó lại có p p ( p − 1) p p −2 cách chen chữ b vào ⇒ Có (p- 1)p An−2 = chỉnh hợp chập p chứa a, b. n(n − 1) An p ( p − 1) n! . n(n − 1) (n − p )! p ( p − 1)(n − 2) → P(B) = = 2p (n − p )!.2 p c) Có Gọi C là biến cố “Có ít nhất một trong hai chữ a,b” A p n chỉnh hợp chập p của n chữ đó. Trong đó có A p n −2 chỉnh hợp chập p không chứa a, b (lấy p phần tử p từ n- 2 phần tử khác với a, b). Vậy còn lại → P(C) = p p n n−2 A −A p An − An−2 chỉnh hợp chập p chứa a hay b. 2p 7. Cho 8 quaû caân troïng löôïng 1kg, 2 kg, …, 7kg, 8 kg. Choïn ngaãu nhieân 3 nhieân quaû caân. Tính xaùc suaát ñeå toång troïng löôïng 3 quaû caân ñöôïc choïn khoâng vöôït quaù 9 kg. Bài giải Goïi Ω laø taäp hôïp taát caû caùc caùch choïn 3 quaû caân trong 8 quaû caân. Khi ñoù deã thaáy. 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 6 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh Ω = C83 = 56 Goïi A laø bieán coá “toång troïng löôïng 3 quaû caân laáy ra khoâng vöôït quaù 9 kg”. Ñeå yù raèng: 1+2+3=6 1+2+4=7 1+2+5=8 1+2+6=9 1+3+4=8 1+3+5=9 2+3+4=9 Vì theá chæ coù 7 caùch choïn ra 3 quaû caân coù troïng löôïng khoâng vöôït quaù 9kg, neân ΩA = 7 Theo ñònh nghóa coå ñieån cuûa xaùc suaát, ta coù: P( A) = 7 1 = 56 8 8. Hai hoäp bi moãi hoäp chöùa 8 bi traéng, 2 bi ñoû. Cho hai ngöôøi, moãi ngöôøi 1 hoäp. Töø hoäp cuûa mình, moãi ngöôøi laáy ngaãu nhieân 3 vieân. Tính xaùc suaát ñeå hai ngöôøi laáy ñöôïc soá bi ñoû nhö nhau. Bài giải Goïi A0, B0 töông öùng laø caùc bieán coá “ngöôøi thöù nhaát laáy ñöôïc o bi ñoû”, “ngöôøi thöù hai laáy ñöôïc o bi ñoû”. Vaäy bieán coá A0, B0 chính laø bieán coá “Ngöôøi thöù nhaát vaø ngöôøi thöù hai cuøng khoâng laáy ñöôïc vieân bi naøo”. Duø A0, B0 ñoäc laäp (dó nhieân), neân: P ( A0 B0 ) = P ( A0 ).P(B0 ) Maët khaùc ta coù P(A0) = P(B0) Tính P(A0) nhö sau: coù taát caû C103 caùch choïn 3 vieân bi, töùc 120 caùch choïn. Coù C103 caùch choïn 3 bi xanh (töùc C103 caùch choïn 3 bi khoâng coù bi ñoû). Theo ñònh nghóa coå ñieån cuûa xaùc xuaát thì C103 56 7 P ( A0 ) = 3 = = C10 120 15 Goïi A1, B1 töông öùng laø caùc bieán coá “Ngöôøi thöù nhaát laáy ñöôïc 1 bi ñoû”, “Ngöôøi thöù hai laáy ñöôïc 1 bi ñoû”. Vaäy bieán coá A1, B1 chính laø bieán coá “Ngöôøi thöù nhaát vaø ngöôøi thöù hai cuõng laáy ñöôïc 1 vieân bi ñoû”. Ta coù: P( A1 B1 ) = P( A1 ).P(B1 ) 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 7 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh Töông töï treân, ta coù: P ( A1 ) = P (B1 ) = C 1 2 C 2 8 56 7 = = 120 120 15 Goïi A2, B2 töông öùng laø caùc bieán coá “Ngöôøi thöù nhaát laáy ñöôïc 2 bi ñoû”, “Ngöôøi thöù hai laáy ñöôïc 2 bi ñoû:. Ta coù: P( A2 B2 ) = P( A2 ).P(B2 ) Trong ñoù: P ( A2 ) = P(B2 ) = C 22C81 8 1 = = 120 120 15 Vaäy A0B0 ∪ A1B1 chính laø bieán coá “Hai ngöôøi laáy ñöôïc soá bi ñoû nhö nhau”. Ba bieán coá naøy dó nhieân ñoâi moät xung khaéc, neân theo quy taéc coâng ta coù: 2 2 2 33 7 7 1 P ( A0 B0 ∪ A1 B1 ∪ A2 B 2 ) =   +   +   = 75  15   15   15  9. Cho 25 quaû caàu goàm 2 loaïi ñen vaø traéng ñöôïc ñaët vaøo 2 thuøng. Thuøng naøo coù soá quaû caàu nhieàu hôn thì soá quaû caàu traéng cuõng nhieàu hôn. Laáy ngaãu nhieân moãi thuøng ra moät quaû caàu, tìm xaùc suaát ñeå ñöôïc 1 quaû ñen vaø 1 quaû traéng. Bieát raèng xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc 2 quaû cuøng traéng laø 0.48. Baøi giaûi Goïi m1, m2, t1, t2, ñ1, ñ2 laàn löôït laø soá quaû caàu, soá quaû caàu traéng, soá quaû caàu ñen trong 2 thuøng. Giaû söû m1 > m2 . Ta coù: m1 + m2 = 25 Xaùc suaát ñeå laáy moãi thuøng 1 quaû vaø caû 2 coù cuøng maøu traéng theo giaû thieát laø 0.48. 0.48 = tt mm ⇔ 1. 2 2. 2 tt mm = 1. 2 1. 2 48 12 = 100 25 (1) ⇔ 25t1t2 = 12m1m2 ⇒ coù mi laø boäi cuûa 5 Maø toång m1 = m2 = 25 laø boäi cuûa 5 neân caû m1, m2 ñeàu laø boäi cuûa 5. Do m1 > m2 neân ta xeùt 2 tröôøng hôïp: • Th1: m1 = 20, m2 = 5 Töø (1) ⇒ t1t2 = 48. Do 0 < t2 < t1 < 25 neân chæ coù t1 = 16, t2 = 3 hoaëc t1 = 12, t2 = 4. Vôùi t1 = 16, t2 = 3 ⇒ ñ1 = 4, ñ2 = 2 thì xaùc suaát 2 quaû cuøng maøu: 0.48 + 4 2 . = 0.48 + 0.08 = 0.56 20 5 Do ñoù xaùc suaát ñeå ñöôïc 1 traéng, 1 ñen laø: 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 8 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh P = 1 – 0.56 = 0.44 Vôùi t1 = 12, t2 = 4 ⇒ ñ1 = 8, ñ2 =1 thì xaùc suaát caàn tìm: 8 1  P = 1 -  0.48 + .  = 1 – 0.56 = 0.44 20 5   • Th2: m1 = 15, m2 = 10 Giaûi töông töï ta cuõng ñöôïc P = 0.44 Toùm laïi, xaùc suaát caàn tìm laø 0.44 10..Một bài thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có một câu trả lời đúng.Nếu trả lời đúng thì được 0,2 điểm, nếu trả lời sai thì không được điểm. Họ Bùi không học bài nên làm bài bằng cách đánh ngẫu nhiên. a)Tính xác suất để Họ Bùi được 5 điểm Bài giải Gọi A là biến cố “Họ Bùi được 5 điểm” Ta xét các khả năng mà họ Bùi được 5 điểm. Được 5 điểm tức là trả lời đúng 25 câu và trả lời sai 25 câu 25 Có C 50 cách chọn 25 câu đúng Mỗi câu đúng có 1 phương án lựa chọn Mỗi câu sai có 3 phương án lựa chọn ⇒ Có 325 cách chọn 25 câu sai 25 25 Tóm lại, Ω A = C 50.3 Gọi Ω là tập hợp các khả năng có thể có của phép thử họ Bùi đánh ngẫu nhiên 50 câu trắc nghiệm Mỗi câu có 4 phương án trả lời ⇒ Có 450 cách chọn phương án trả lời cho 50 câu Ω = 450 25 Vậy, P(A) = C 3 4 50. 50 25 = 8,45.10-5 Nhận xét: Thoạt nhìn thì có vẻ khả năng để 1 học sinh không học bài được điểm trung bình có vẻ cao (gần như 50/50), tuy nhiên, xét về phương diện xác suất, xác suất này là rất nhỏ và hầu như không thể xảy ra. Vì thế, muốn được điểm cao, học sinh không còn cách nào khác hơn là cố gắng học và không nên phó mặc vào may rủi như họ Bùi. Nhắc đến họ Bùi, có lẽ nhiều người sẽ nghĩ ngay đến Bùi Kiệm – một nhân vật từ lâu đã nổi tiếng vì sự lười học và dốt nát. Có lẽ đây cũng chính là dụng ý của tác giả khi chọn họ Bùi làm nhân vật trong bài toán liên quan đến kiểu làm bài nhờ may rủi. 11. Quán Tản Đà có 5 món bò: nhúng dấm, bóp thấu, lúc lắc, nướng mỡ chài, nướng lá cách; có 3 món gà: xối mỡ, quay Tứ Xuyên, rút xương và 2 món cua: rang muối, rang me. Nhà văn Vũ Bằng gọi ngẫu nhiên 2 món lai rai. Tính xác suất để Vũ Bằng chọn được 2 món thuộc loại khác nhau. (Chuyện vui nhà văn) 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 9 Bài tập xác suất thống kê Bò nhúng giấm GVHD: Trần Thị Hạnh Bò bóp thấu Bò lúc lắc Bò nướng mỡ chài Gà quay Tứ Xuyên Bò nướng lá cách Gà rút xương Gà xối mỡ Cua rang muối Cua rang me Bài giải Ta sẽ tính số cách gọi món có thể của nhà thơ. Gọi Ω là tập hợp các cách chọn Ω = C 2 10 = 45 Gọi A là biến cố “Vũ Bằng chọn được 2 món thuộc loại khác nhau” • Có 5x3 = 15 cách để ông gọi 2 món bò, gà. • Có 5x2 = 10 cách gọi 2 món bò, cua • Có 3x2 = 6 cách chọn 2 món gà, cua. 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 10 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh ⇒ Ω A = 15 + 10 +6 = 31 cách chọn. Vậy P(A) = ΩA Ω = 31 ≈ 0.69 45 Vui vui: Đó là xác suất do chọn ngẫu nhiên còn nếu có sự can thiệp của lựa chọn thì kết quả sẽ ra sao nhỉ. Riêng đối với tác giả bài toán này là người có tâm hồn ăn uống có sở thích là món bò lúc lắc với gà xối mỡ thì đương nhiên xác suất chọn 2 món đó sẽ là 1 rồi. Sau khi quan sát những bức hình hấp dẫn về các món ăn đã được đề cập trong cuốn sách này, bạn hãy thử chọn riêng cho mình 2 món nhé. II. Các bài toán sắp xếp 1.Có 3 chiếc xe ôtô màu đỏ, 2 ôtô màu vàng, 1 ôtô màu xanh cùng đỗ bên đường.Tìm xác suất để không có 2 chiếc xe cùng màu nào đỗ cạnh nhau. Bài giải Xét T “Xếp 6 xe bên đường” Gọi A là biến cố “không có 2 chiếc xe cùng màu nào đỗ cạnh nhau” Tính các khả năng của không gian mẫu Ω: số cách đỗ xe chính là số hoán vị của số xe /Ω/ = 6! = 720 Tính các khả năng của biến cố A. Đánh số thứ tự của các xe từ 1 đến 6, số thứ tự các vị trì từ I đến VI TH1: Xe đỏ thứ nhất ở vị trí I, xe đỏ thứ hai ở vị trí III, xe đỏ thứ ba ở vi trí V số cách đỗ xe = 3! . 3! =36 TH2: Xe đỏ thứ nhất ở vị trí I, xe đỏ thứ hai ở vị trí IV, xe đỏ thứ ba ở vi trí VI số cách đỗ xe = 3! .2. 2 = 24 TH3: Xe đỏ thứ nhất ở vị trí II, xe đỏ thứ hai ở vị trí IV, xe đỏ thứ ba ở vi trí VI số cách đỗ xe = 3! . 3!= 36 TH4: Xe đỏ thứ nhất ở vị trí I, xe đỏ thứ hai ở vị trí III, xe đỏ thứ ba ở vi trí VI số cách đỗ xe = 3! . 2. 2 = 24 → /ΩA / = 36+24+36+24 = 120 1 → P(A) = 6 2.Moät ñoaøn taøu coù 4 toa ñoã ôû saân ga. Coù 4 khaùch haøng töø saân ga leân taøu, moãi ngöôøi ñoäc laäp vôùi nhau choïn ngaãu nhieân moät toa. Tính xaùc suaát ñeå 1 toa coù 3 ngöôøi, 1 toa coù 1 ngöôøi vaø hai toa khoâng coù ngöôøi. 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 11 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh Bài giải Xeùt daõy soá (x1, x2, x3, x4), trong ñoù xi chæ soá toa maø ngöôøi thöù i leân taøu i=1, 2, 3, 4) Goïi Ω laø taäp hôïp taát caû caùc daõy (x1, x2, x3, x4), (töùc laø taäp hôïp taát caû caùc khaû naêng leân taøu cuûa 4 haønh khaùch). Do moãi xi∈ {1, 2, 3, 4}, töùc laø moãi xi ñeàu coù 4 khaû naêng löïa choïn, vaäy Ω = 44 Goïi A laø bieán coá “coù 1 toa coù 3 ngöôøi leân, 1 toa coù 1 ngöôøi leân, 2 toa khoâng coù ngöôøi”. Ta thaáy ñeå tính taát caû caùc khaû naêng thuaän lôïi cuûa ΩA ta söû duïng quy taéc nhaân nhö sau: - Choïn 1 toa trong 4 toa ñeå coù 3 khaùch leân: Soá caùch choïn n1 = C 41 = 4 - Choïn 1 toa coøn laïi trong 3 toa ñeå coù 1 khaùch leân: Soá caùch choïn n2 = C3 = 3 1 - Vôùi toa coù 3 khaùch leân, choïn 3 khaùch trong 4 khaùch ngoài toa ñoù: Soá caùch choïn C 43 = 4 - Ngöôøi coøn laïi cho vaøo toa coù 1 khaùch: 1 caùch choïn. Theo quy taéc nhaân, ta coù: Ω A = n1 n2 n3 = C 41C 31C 43 = 4.3.4 = 3.4 2 ΩA Vaäy: 3 .4 2 3 P ( A) = = 4 = Ω 16 4 3.Moät ngöôøi xếp ngaãu nhieân boán laù thö vaøo boán chieác phong bì ñaõ ghi ñòa chæ. Tính xaùc suaát ñeå ít nhaát coù moät laù thö boû ñuùng ñòa chæ (töùc boû ñuùng phong bì cuûa noù). Bài làm 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 12 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh Xeùt daõy soá (x1, x2, x3, x4), trong ñoù (x1, x2, x3, x4) laø moät hoaùn vò cuûa boán soá 1, 2, 3, 4 (neáu xi = i, töùc laø laù thö thöù i ñaõ boû ñuùng ñòa chæ). Goïi Ω laø taäp hôïp taát caû caùc khaû naêng boû 4 laù thö vaøo 4 phong bì. Ta coù: Ω = 4! = 24 Goïi A laø bieán coá “Coù ít nhaát moät laù thö boû ñuùng phong bì”. Caùc khaû naêng thuaän lôïi cuûa A laø: - Coù 4 thö ñuùng ñòa chæ (1, 2, 3, 4) - Chæ coù 2 thö ñuùng ñòa chæ: (1, 2, 4, 3); (1, 4, 3, 2); (1, 3, 2, 4). (4, 2, 3, 1); (3, 2, 1, 4); (2, 1, 3, 4). - Chæ coù 1 thö ñuùng ñòa chæ: (1, 4, 2, 3); (1, 3, 4, 2) (4, 2, 1, 3); (3, 2, 4, 1); (2, 4, 3, 1); (4, 1, 3, 2); (3, 1, 2, 4); (2, 3, 1, 4); Vaäy Ω A = 1 + 6 + 8 = 15 Töø ñoù, ta coù: P ( A) = ΩA Ω = 15 5 = 24 8 Neáu soá thö lôùn hôn thì giaûi baèng phöông phaùp treân seõ ngaøy caøng phöùc taïp. 4. Xếp ngẫu nhiên 5 chữ cái B,G, N, O, O. Tính xác suất để được a) Chữ BOONG b) Chữ ONGBO (tuyển sinh đại học quốc gia tp. Hồ Chí Minh) Bài giải a) Có 5 phần tử nên không gian mẫu có 5! = 120 biến cố sơ cấp đồng khả năng. Ta coi 2 chữ O là O1, O2 Số biến cố thuận lợi là 2: BO1O2NG, BO2O1NG 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 13 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh 2 1 = . 120 60 b) Giải tương tự với O1NGBO2, O2NGBO1 thì ta có xác suất 2 1 P(B) = = 120 60 Vậy xác suất: P(A) = 5. Đoàn tàu Thống Nhất S1 có 4 toa đi Huế, Đà Nẵng. Tại ga Thanh Hóa có 6 hành khách. Mỗi hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách mua vé. Bài giải Gọi Ω là tập hợp tất cả các cách xếp hành khách lên tàu. ⇒ Ω = 46 Gọi A là biến cố “Mỗi toa có ít nhất 1 hành khách mua vé” Ta xét các trường hợp có thể xảy ra của biến cố A Th1: 1 toa 3 hành khách, 3 toa còn lại mỗi toa 1 hành khách Số cách chọn: C 3 4 3 .3!. C 6 = 480 Th2: 2 toa mỗi toa 1 hành khách, 2 toa còn lại mỗi toa 2 hành khách. Số cách chọn: 2 2 2 4. 6. 4 CCC .2 = 1080 ⇒ Ω A = 480 + 1080 = 1560. ΩA Vậy P(A) = Ω = 1560 ≈ 0.381 46 6. Một nhóm gồm 5 người đàn ông, 4 người phụ nữ và 1 đứa bé xếp vào 1 bàn dài Tính xác suất để a) Đứa bé ở giữa 2 người đàn ông. b) Mỗi nhóm ngồi cạnh nhau. c) 4 người phụ nữ ngồi xen kẽ giữa 5 người đàn ông. Bài giải Gọi Ω là tập hợp các cách xếp chỗ ngồi cho 10 người ⇒ Ω = 10! = 3628800 a) Gọi A là biến cố “đứa bé ở giữa 2 người đàn ông” ● Chọn vị trí đứa bé: 8 cách • Chọn 2 người đàn ông ngồi 2 bên đứa bé: • Hoán vị 2 người đàn ông đó: 2! = 2 cách. • Chọn chỗ cho 7 người còn lại: 7! = 5040 C 2 5 = 10 cách ⇒ Có 100800 cách chọn. Ω A = 80640. ⇒ P ( A) = ΩA Ω = 80640 1 = ≈ 0.022 10! 45 b) Gọi B là biến cố “mỗi nhóm ngồi cạnh nhau” 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 14 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh • Chọn vị trí cho 3 nhóm: 3! = 6 cách. • Hoán vị 5 người đàn ông: 5! =120 cách. • Hoán vị 4 người phụ nữ: 4! = 24 cách ⇒ Có 17280 cách xếp. Ω B = 17280. ⇒ P(B) = ΩB Ω = 17280 1 = . 10! 210 c) Gọi C là biến cố “4 người phụ nữ ngồi xen kẽ 5 người đàn ông” • Chọn vị trí cho đứa bé: 2 cách • Hoán vị 5 người đàn ông: 5! = 120 cách • Hoán vị 4 người phụ nữ: 4! = 24 cách ⇒ Có 5760 cách xếp. ΩC = 5760. ⇒ P (C ) = ΩC Ω = 5760 1 = 10! 630 7. Cô giáo xếp ngẫu nhiên 8 bạn gồm 5 bạn nam và 3 bạn nữ vào 2 tồ 1, 2, mỗi tổ 4 người. Bạn Phượng chỉ ở tổ 1 nếu tổ 1 không có bạn nữ nào. Tính xác suất để bạn Phượng ở tổ 2. Bài giải Gọi Ω là tập hợp các cách sắp xếp 8 bạn vào 2 tổ thỏa mãn yêu cầu của bạn Phượng ● Tính Ω Th1: Bạn Phượng ở tố 1 ⇒ Tổ 1 chỉ có một mình bạn Phượng là nữ. Chọn 3 bạn nam cùng tổ với Phượng: C 3 5 = 10 cách. Th2: Bạn Phượng ở tổ 2 cùng với một bạn nữ khác. 2 C = 10 cách chọn. Chọn 1 bạn nữ vào tổ 1: C = 2 cách chọn. Chọn 2 bạn nam vào tồ 2: 5 1 2 Th3: Cả ba bạn nữ ở tổ 2. Chọn 1 bạn nam vào tổ 2: C 1 5 = 5 cách chọn. ⇒ Có 5 + 20 +10 = 35 cách chọn. Ω = 35 Gọi A là biến cố “ Bạn Phượng ở tổ 2” thì Ω A = 10 Vậy P(A) = 0.286 8. Cho 5 quả cầu màu trắng khác nhau và 4 qủa cầu màu xanh khác nhau. Ta sắp xếp 9 quả cầu đó thành một hàng 9 chỗ cho trước. Tính xác suất để: a) 2 quả cầu đứng cạnh nhau không cùng màu. b) 5 quả cầu màu trắng đứng cạnh nhau 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 15 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh Bài giải Gọi Ω là tập hợp các cách sắp xếp khác nhau. Ta có Ω = 9! = 362880 a) Gọi A là biến cố “2 quả cầu đứng cạnh nhau không cùng màu” Đánh số các vị trí của dãy từ 1 đến 9. Chỉ có 1 cách chọn vị trí chung: 5 quả cầu trắng ở các vị trí lẻ và các quả cầu xanh ở vị trí chẵn. Sau đó, có 5! và 4! Cách xếp 5 quả cầu trắng và 4 quả cầu xanh. ⇒ Có 5!.4! = 2880 cách xếp Ω A = 2880. Vậy P(A) = ΩA Ω = 2880 ≈ 0.00794 362880 b) Gọi B là biến cố “5 quả cầu trắng đứng cạnh nhau”. • Chọn vị trí chung cho 5 quả cầu trắng: 5 cách • Hoán vị 5 quả cầu trắng: 5! = 120 cách • Hoán vị 4 quả cầu xanh: 4! = 24 cách ⇒ Có 14400 cách chọn. Ω B = 14400. Vậy P(B) = 14400 5 = ≈ 0.0397 . 9! 126 9. Một chàng trai viết thư cho 3 cô bạn gái, vì đãng trí nên bỏ các thư vào phong bì một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để không có cô nào nhận được đúng thư viết cho mình. Bài giải Gọi Ai là biến cố cô thứ i nhận đúng thư của mình, và T là biến cố mà xác suất cần tìm. Ta có: T = A1 A2 A3 ⇒ T = A1 + A2 + A3 P( T ) = P(A1A2A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1A2) – P(A2A3) – P(A3A1) + P(A1A2A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1)P(A2/A1) – P(A2)P(A3/A2) – P(A3)P(A1/A3) + P(A1)P(A2/A1)P(A3/A2A1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 = + + − . − . − . + . . = 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3 2 1 Vậy P(T) = 1 – P( T ) = 1 - = 3 3 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 16 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh III. Các bài toán về số. 1. Chọn ngẫu nhiên 3 trong số các tập con của tập hợp X= {1,2,3,4,5,6,7,8}. Tính xác suất để chọn được các bộ ba có thứ tự (X1, X2, X3) của các tập hợp mà hợp là X và giao là o/ , chẳng hạn các bộ ba {1,2,3}, {1,4,8}, {2,5,6,7} và {1,4,8}, {1,2,3}, {2,5,6,7} được xem là khác nhau. (Đề thi học sinh giỏi toán tổ hợp 12). Bài giải ● Gọi Ω là tập hợp tất cả các cách chia X ra thành các bộ ba. Số các tập con của X là 28 = 256 tập hợp. 3 Chọn 3 tập bất kì có phân biệt thứ tự A256 = 16581120 ⇒ Ω = 16281120 ● Gọi A là biến cố “Chọn được 3 tập con thỏa yêu cầu bài toán”. Nhận thấy ba tập hợp X1, X2, X3 như vậy đáng lẽ chia X thành 23= 8 phần rời nhau, nhưng vì X1 ∩ X2∩ X3= o/ và X 1 ∩ X 2 ∩ X 3 = X 1 ∩ X 2 ∩ X 3 = X = o/ nên chỉ còn lại 6 phần không rỗng rời nhau là Y1= X 1 ∩ X2 ∩ X3, Y2= X1 ∩ X 2 ∩ X3, Y3= X1 ∩ X2 ∩ X 3 , Y4= X 1 ∩ X 2 ∩ X3, Y5= X 1 ∩ X2 ∩ X 3 , Y6= X1 ∩ X2 ∩ X3 . Ta thiết kế một bộ sáu thứ tự (Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6) bằng 8 bước như sau: Bước 1: Cho 1 thuộc một trong sáu tập Yi Bước 2: Cho 2 thuộc một trong sáu tập Yi ……………….. Bước 8: Cho 8 thuộc một trong sáu tập Yi ⇒ Có 68= 1679616 cách thiết kế bộ sáu (Yi). Được các Yi ta lấy X1= (X1 ∩ X 2 ∩ X3) ∪ ( X1 ∩ X 2 ∩ X 3 ) ∪ ( X1 ∩ X2 ∩ X 3 ) = Y2 ∪ Y3 ∪ Y6 chẳng hạn 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 17 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh Tóm lại Ω A = 1679616 Vậy P(A) = ΩA Ω = 1679616 ≈ 0.101 16581120 2. Lấy ngẫu nhiên một năm từ công nguyên cho đến năm hiện tại. Tính xác suất để năm đó nhuận. Bài giải Để làm bài này, ta nhớ lại cách xác định năm nhuận. Một năm được xem là nhuận (có 366 ngày) khi năm đó chia hết cho 4. Những năm tròn thế kỉ sẽ không là năm nhuận trừ khi nó chia hết cho 400. Như vậy, từ năm 1 sau Công nguyên (không có năm thứ 0 sau công nguyên) đến năm 2009 (năm hiện tại), ta tính số các năm chia hết cho 4. → Những năm này có dạng 4k (k Є N) 1 < 4k < 2009
0.25 < k < 502.25 Vậy có 502 năm chia hết 4. Mặt khác có 20 năm tròn thế kỉ, trong đó có 5 năm chia hết cho 400 (400, 800. 1200, 1600, 2000). Tóm lại, số năm nhuận là: 502 – (20 -5) = 487 (năm). Gọi T “lấy ngẫu nhiên 1 năm từ công nguyên đến năm hiện tại” A “Năm đó nhuận” /Ω/ = 2009 /Ω A/ = 487 487 → P(A) = ≈ 0.242 2009 3. Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 tới 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để : a) Tất cả 10 tấm thẻ đều mang số chẵn ; b) Có đúng 5 tấm thẻ có số chia hết cho 3 ; Có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm mang số chia hết cho 10. c) Giải 10 Số trường hợp có thể là C 30 . a) Số trường hợp thuận lợi là C1510 (vì có 15 tấm mang số chẵn). Vậy xác suất trong trường hợp này C1510 là : P = 10 ≈ 0,00009. C 30 b) Trong 30 tấm thẻ có đúng 10 số chia hết cho 3. Ta cần chọn : 5 tấm thẻ chia hết cho 3 trong 10 tấm thẻ; 5 tấm thẻ còn lại trong 20 tấm thẻ. 5 Theo quy tắc nhân, số trường hợp thuận lợi là C105 .C 20 . 5 C105 .C 20 Vậy xác suất trong trường hợp này là : P = ≈ 0,130 . 5 C 30 c) Trong 30 tấm thẻ có : 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 18 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh • 15 tấm thẻ mang số chẵn. • 15 tấm thẻ mang số lẻ. • 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10. Bài toán đòi hỏi chọn 10 tấm thẻ sao cho; • Có 5 tấm thẻ mang số lẻ. • Có 1 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10. • Có 4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10. Vậy phải chọn: • 5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm mang số lẻ. • 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10. • 4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 C 5 .C124 .C 31 Theo quy tắc nhân, số trường hợp thuận lợi là : P = 15 10 ≈ 0,1484 C 30 4. Moät ngöôøi goïi ñieän thoaïi, queân hai chöõ soá cuoái vaø chæ nhôù raèng hai chöõ soá ñoù phaân bieät. Tính xaùc suaát ñeå ngöôøi ñoù goïi moät laàn ñuùng soá caàn goïi. Bài giải Hai chöõ soá cuoái laø phaân bieät, neán neáu goïi Ω laø taäp hôïp taát caû caùch choïn 2 soá phaân bieät (coù tính ñeán thöù töï) trong 10 chöõ soá 0, 1, 2,…8, 9. Khi ñoù deã thaáy: Ω = C102 = 90 Goïi A laø bieán coá “Goïi moät laàn ñuùng soá caàn goïi”. Ta coù Vaäy xaùc suaát caàn tìm P ( A) = ΩA =1 1 9 5. Trong 100 veù xoå soá coù 1 veù truùng 100.000ñ, 5 veù truùng 50.000ñ vaø 10 veù truùng 10.000ñ. Moät ngöôøi mua ngaãu nhieân 3 veù. 1) Tính xaùc suaát ñeå ngöôøi mua truùng thöôûng ñuùng 30.000ñ 2) Tính xaùc suaát ñeå ngöôøi mua truùng thöôûng 200.000ñ Bài giải 1) Goïi Ω laø taäp hôïp taát caû caùc caùch mua 3 veù trong 100 veù. Ta coù: 3 Ω = C100 Goïi A laø bieán coá “Ngöôøi mua truùng thöôûng ñuùng 30.000ñ”. 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 19 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh Roõ raøng ñeå truùng thöôûng ñuùng 30.000ñ thì moãi veù phaûi truùng thöôûng 10.000ñ. Soá khaû naêng thuaän lôïi cuûa A laø: Ω = C100 3 Theo ñònh nghóa coå ñieån cuûa xaùc suaát, thì: ΩA C103 8.9.10 2 P( A) = = 3 = = Ω C100 98.99.100 2695 2) Goïi B laø bieán coá “ngöôøi mua truùng thöôûng ñuùng 200.000ñ”. Muoán vaäy phaûi coù 1 veù truùng 100.000ñ vaø 2 veù truùng 50.000ñ. Soá khaû naêng thuaän lôïi cuûa B laø: Vaäy P (B ) = Ω B = C 52 = 10 10 1 = 3 C100 156.200 6. Coù 9 taám theû ñaùnh soá töø 1 ñeán 9. Choïn ngaãu nhieân ra hai taám theû. Tính xaùc suaát ñeå tích cuûa hai soá treân hai taám theû laø moät soá chaün. Bài giải Goïi Ω laø taäp hôïp taát caû caùc choïn 2 taám theû trong 9 taám theû. Deã thaáy Ω = C92 = 36 Goïi A laø taäp hôïp taát caû caùc caùch choïn 2 taám theû sao cho tích cuûa hai soá treân hai taám theû laø soá chaün. Do vaäy phaûi choïn: - Hoaëc laø caû 2 taám theû mang soá chaün. Soá caùch choïn laø: C42 = 6 (caùch) - Hoaëc laø choïn 1 taám theû chaün, 1 taám theû mang soá leû. Soá caùch choïn laø: C51 .C 41 = 20 Vaäy: Ω = 6 + 20 = 26 Theo ñònh nghóa coå ñieån cuûa xaùc suaát, ta coù: P( A) = ΩA Ω = 26 13 = 36 18 7. Từ các chữ số 1, 2, 3,…..,9 lấy ngẫu nhiên 1 số chẵn có 6 chữ số khác nhau. Tính xác suất để số thu được phải có mặt 1, 4 và 1, 4 không đứng cạnh nhau. Bài giải 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 20