Tài liệu Chuyên đề xác suất

Tuyển tập các bài Toán xác suất Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang GVHD: Trần Thị Hạnh Trang 1 Tuyển tập các bài Toán xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Lôøi noùi ñaàu Caùch nay hôn 400 naêm, töø nhöõng böùc thö trao ñoåi giöõa hai nhaø toaùn hoïc vó ñaïi ngöôøi Phaùp laø Pascal (1623-1662 ) vaø Fermat ( 1601-1665) quanh vieäc giaûi ñaùp moät soá vaán ñeà raéc roái naûy sinh trong caùc troø côø baïc cuûa moät quyù toäc Phaùp, moat ngaønh toaùn hoïc quan troïng ñaõ ra ñôøi: lyù thuyeát xaùc suaát. Ngaøy nay, cuøng vôùi söï phaùt trieån maïnh meõ cuûa neàn kinh teá tri thöùc, ngaønh toaùn hoïc naøy ñaõ ñöôïc öùng duïng treân phaàn lôùn caùc lónh vöïc, len loûi vaøo haàu heat caùc ngoõ ngaùch cuûa ñôøi soáng nhö: kinh teá, sinh hoïc, y hoïc, coâng ngheä,...Töø moät vieäc nhoû nhö chôi troø chôi gieo suùc saéc cho ñeán vaán ñeà lieân quan ñeán sinh maïng con ngöôøi nhö khaû naêng laây nhieãm cuûa moät loaïi beänh naøo ñoù hoaëc khaû naêng soáng soùt cuûa moät beänh nhaân ung thö maùu, ngöôøi ta ñeàu caàn söû duïng ñeán lyù thuyeát xaùc suaát. Vaäy cô sôû lyù thuyeát cuûa ngaønh toaùn hoïc naøy laø gì ? Taïi sao noùi laø noù coù theå aùp duïng ñöôïc treân haàu heát caùc lónh vöïc cuûa ñôøi soáng ? Chuùng ta phaûi aùp duïng noù baèng caùch naøo vaø aùp duïng nhö theá naøo môùi chính xaùc ?...Nhöõng caâu hoûi treân seõ daàn ñöôïc giaûi ñaùp thoâng qua “Tuyeån taäp caùc baøi toaùn xaùc suaát THPT”” maø caùc baïn ñang caàm treân tay. Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 2 Tuyển tập các bài Toán xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Ñeå tieän cho vieäc theo doõi, phaàn trình baøy cuûa toå chuùng toâi xin ñöôïc chia thaønh ba phaàn:
Phaàn 1: Cô sôû lyù thuyeát: goàm caùc khaùi nieäm môû ñaàu, caùc ñònh nghóa xaùc suaát, caùc quy taéc tính xaùc suaát,…nhaèm giuùp ñoäc giaû laøm quen vôùi lyù thuyeát xaùc suaát, chaån bò “haønh trang” tröôùc khi böôùc chaân vaøo “theá giôùi cuûa söï may ruûi”.
Phaàn 2: Baøi taäp toång hôïp: ñaây laø phaàn coát loõi cuûa tuyeån taäp naøy: laø nôi toång hôïp caùc daïng toaùn xaùc suaát thöôøng gaëp, nhöõng baøi toaùn ñieån hình cuøng vôùi nhöõng phöông phaùp giaûi ñaùp ñöôïc caùc thaønh vieân trong toà daøy coâng söu taàm, saùng taïo roài toång hôïp thaønh. Ngoaøi ra, trong moãi daïng chuùng toâi coøn tìm theâm moät soá ñeà khoâng lôøi giaûi cuøng ñaùp aùn cuûa chuùng ñeå ñoäc giaû töï mình tìm hieåu nhaèm cuûng coá laïi nhöõng kieán thöùc vaø kó naêng cuûa baûn thaân.
Phaàn 3: Keát luaän: Toång hôïp vaø ñaùnh giaù Laàn ñaàu tieân bieân soaïn caû moät tuyeån taäp veà toaùn hoïc, chuùng toâi ñaõ raát coá gaéng vaø noã löïc vôùi muïc ñích giôùi thieäu theâm cho ñoäc giaû veà moät ngaønh toaùn hoïc coù tính thöïc teá raát cao, cuõng nhö ñoùng goùp moät taäp taøi lieäu nhoû cho theá heä ñaøn em sau ñam meâ moân Toaùn laáy ñoù maø tham khaûo. Tuy nhieân, do khaû naêng coù haïn, vieäc thieáu soùt laø khoù traùnh khoûi. Raát mong nhaän ñöôïc söï Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 3 Tuyển tập các bài Toán xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh goùp yù vaø pheâ bình thaúng thaén cuûa ñoäc giaû ñeå toå chuùng toâi coù theâm nhöõng kinh nghieäm quyù baùu, töø ñoù hoaøn thieän hôn trong caùc tuyeån taäp sau. Thay maët caùc thaønh vieân toå 3 Nguyeãn Thaùi Döông. Danh saùch thaønh vieân thöïc hieän 1. Nguyeãn Thaùi Döông 2. Traàn Minh Ñaêng 3. Ñaøo Nguyeãn Höông Giang 4. Ñinh Quang Huy 5. Phan Hoàng Nhung 6. Nguyeãn Thò Thanh Taâm 7. Ñieâu Thieän Toaøn 8. Traàn Haø Y Vaân Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 4 Tuyển tập các bài Toán xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Phaàn 1: Cô sôû lyù thuyeát A. Caùc khaùi nieäm môû ñaàu:  Pheùp thöû ngaãu nhieân(goïi taét laø pheùp thöû): laø moät thí nghieäm hay haønh ñoäng maø: _ Keát quaû cuûa noù khoâng ñoaùn tröôùc ñöôïc; _ Coù theå xaùc ñònh taäp hôïp taát caû caùc keát quaû coù theå xaûy ra cuûa pheùp thöû ñoù. Pheùp thöû thöôûng ñöôïc kí hieäu bôûi chöõ T. Taäp hôïp taát caû caùc keát quaû coù theå xaûy ra cuûa pheùp thöû ñöôïc goïi laø khoâng gian maãu cuûa pheùp thöû vaø ñöôïc kí hieäu bôûi chöõ Ω (ñoïc laø oâ-meâ-ga).  Bieán coá A lieân quan ñeán pheùp thöû T laø bieán coá maø vieäc xaûy ra hay khoâng xaûy ra cuûa A tuøy thuoäc vaøo keát quaû cuûa T. Moãi keát quaû cuûa pheùp thöû T laøm cho A xaûy ra, ñöôïc goïi laø moät keát quaû thuaän lôïi cho A. Taäp hôïp caùc keát quaû thuaän lôïi cho A ñöôïc kí hieäu laø Ω . Khi ñoù, ngöôøi ta noùi bieán coá A ñöôïc moâ taû bôûi taäp Ω . A A Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 5 GVHD: Trần Thị Hạnh Tuyển tập các bài Toán xác suất  Ngoaøi ra, chuùng ta coøn coù khaùi nieäm “bieán coá chaéc chaén” vaø “bieán coá khoâng theå”: _ Bieán coá chaéc chaén: laø bieán coá luoân xaûy ra khi thöïc hieän pheùp thöû T. Bieán coá chaéc chaén ñöôïc mieâu taû bôûi taäp Ω vaø ñöôïc kí hieäu laø Ω . _ Bieán coá khoâng theå: laø bieán coá khoâng bao giôø xaûy ra khi pheùp thöû T ñöôïc thöïc hieän. Roõ raøng khoâng coù moät keát quaû thuaän lôïi naøo cho moät bieán coá khoâng theå. Bieán coá khoâng theå ñöôïc moâ taû bôûi taäp ∅ vaø ñöôïc kí hieäu laø ∅ . B. Ñònh nghóa xaùc suaát: 1. Theo nghóa coå ñieån:  Ñònh nghóa: Giaû söû pheùp thöû T coù khoâng gian maãu Ω laø moät taäp hôïp höõu haïn vaø caùc keát quaû cuûa T laø ñoàng khaû naêng. Neáu A laø moät bieán coá lieân quan vôùi pheùp thöû T vaø Ω A ∪ A ∪ ... ∪ A laø taäp hôïp caùc keát quaû thuaän lôïi cho A thì xaùc suaát cuûa A laø moät soá, kí hieäu laø P(A), ñöôïc xaùc ñònh bôûi coâng thöùc: A 1 2 k P ( A) = ΩA Ω Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 6 Tuyển tập các bài Toán xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh  Chuù yù: Töø ñònh nghóa treân ta suy ra: • 0 ≤ P( A) ≤ 1 ; • P(Ω) = 1, P(∅) = 0 2. Theo Theo nghóa thoáng keâ: Trong ñònh nghóa coå ñieån cuûa xaùc suaát, ta caàn giaû thieát pheùp thöû T coù moät soá höõu haïn caùc keát quaû coù theå vaø caùc keát quaû naøy laø ñoàng khaû naêng. Nhöng trong nhieàu tröôøng hôïp, giaû thieát ñoàng khaû naêng khoâng ñöôïc thoûa maõn. Chaúng haïn khi gieo moät con suùc saéc khoâng caân ñoái thì caùc maët cuûa con suùc saéc khoâng coù cuøng khaû naêng xuaát hieän. Trong tröôøng hôïp ñoù ta söû duïng ñònh nghóa sau goïi laø ñònh nghóa thoáng keâ cuûa xaùc suaát. Xeùt pheùp thöû T vaø bieán coá A lieân quan ñeán pheùp thöû ñoù. Ta tieán haønh laëp ñi laëp laïi N laàn pheùp thöû T vaø thoáng keâ xem bieán coá A xuaát hieän bao nhieâu laàn.  Soá laàn xuaát hieän bieán coá A ñöôïc goïi laø taàn soá cuûa A trong N laàn thöïc hieän pheùp thöû T.  Tæ soá giöõa soá laàn cuûa A ñoái vôùi soá N ñöôïc goïi laø taàn suaát cuûa A trong N laàn thöïc hieän pheùp thöû T. Ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc raèng khi soá laàn thöû N caøng lôùn thì taàn suaát cuûa A caøng gaàn vôùi moät soá xaùc ñònh, soá ñoù ñöôïc goïi laø Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 7 GVHD: Trần Thị Hạnh Tuyển tập các bài Toán xác suất xaùc suaát cuûa A theo nghóa thoáng keâ ke (soá naøy cuõng chính laø P(A) trong ñònh nghóa coå ñieån cuûa xaùc suaát). Nhö vaäy, taàn suaát ñöôïc xem nhö giaù trò gaàn ñuùng cuûa xaùc suaát. Trong khoa hoïc thöïc nghieäm, ngöôøi ta thöôøng laáy taàn suaát laøm xaùc suaát. Vì vaäy taàn suaát coøn d9u7o72c goïi laø xaùc suaát thöïc nghieäm. C. Caùc quy taéc tính xaùc suaát: 1. Qui taéc coäng: a. Bieán coá hôïp: Cho hai bieán coá A vaø B. Bieán coá “A hoaëc B xaûy ra”, kí hieäu laø A ∪ B , ñöôïc goïi laø hôïp cuûa hai bieán coá A vaø B. Moät caùch toång quaùt: Cho k bieán coá A , A ,.., A . Bieán coá “Coù ít nhaát moät trong caùc bieán coá A , A ,.., A xaûy ra”, kí hieäu laø A ∪ A ∪ ... ∪ A , ñöôïc goïi laø hôïp cuûa k bieán coá co ñoù. 1 1 2 2 k k 1 2 k b. Bieán coá xung khaéc: Cho hai bieán coá A vaø B. Hai bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø xung khaéc neáu bieán coá naøy xaûy ra thì bieán coá kia khoâng xaûy ra. c. Quy taéc coäng xaùc suaát: Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 8 GVHD: Trần Thị Hạnh Tuyển tập các bài Toán xác suất Neáu hai bieán coá A vaø B xung khaéc thì xaùc suaát ñeå A hoaëc B xaûy ra laø: P( A A ...A ) = P( A )P( A )...P( A ) 1 2 k 1 2 k P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) Quy taéc coäng xaùc suaát cho nhieàu bieán coá: Cho k bieán coá A , A ,.., A ñoâi moät xung khaéc. Khi ñoù: P( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak ) 1 2 k d. Bieán coá ñoái: Cho A laø moät bieán coá ñoái. Khi ñoù bieán coá “Khoâng xaûy ra A”, kí hieäu A , ñöôïc goïi laø bieán coá ñoái cuûa A. Ñònh Lyù: Cho bieán coá A. Xaùc suaát cuûa bieán coá ñoái A laø: P( A )=1-P(A) 2. Quy taéc nhaân xaùc suaát: a. Bieán coá giao: Cho hai bieán coá A vaø B. Bieán coá “Caû A vaø B cuøng xaûy ra”, kí hieäu laø AB, ñöôïc goïi laø giao cuûa hai bieán coá co A vaø B. Cho k bieán coá A , A ,.., A . Bieán coá “Taát caû k bieán coá A , A ,.., A ñeàu xaûy ra”, kí hieäu laø A A ,.. A , ñöôïc goïi laø giao cuûa k bieán coá ñoù. 1 1 2 k 2 k 1 Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang 2 k Trang 9 GVHD: Trần Thị Hạnh Tuyển tập các bài Toán xác suất b. Bieán coá ñoäc laäp: Hai bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø ñoäc laäp vôùi nhau neáu vieäc xaûy ra hay khoâng xaûy ra cuûa bieán coá naøy khoâng laøm aûnh höôûng tôùi xaùc suaát xaûy ra cuûa bieán coá kia. Nhaän xeùt: Neáu hai bieán coá A, B ñoäc laäp vôùi nhau thì A vaø B ; A vaø B; A vaø B cuõng ñoäc laäp vôùi nhau. Moät caùch toång quaùt: Cho k bieán coá A , A ,.., A ; k bieán coá naøy goïi laø ñoäc laäp vôùi nhau neáu vieäc xaûy ra hay khoâng xaûy ra cuûa moãi bieán coá khoâng laøm aûnh höôûng tôùi caùc xaùc suaát xaûy ra cuûa caùc bieán coá coøn laïi. 1 2 k c. Quy taéc nhaân xaùc suaát: Neáu hai bieán coá A vaø B ñoäc laäp vôùi nhau thì: P(AB)=P(A).P(B) Neáu k bieán coá A , A ,.., A ñoäc laäp vôùi nhau thì P(A1 A1. . . A1)=P(A1).P(A1). . .P(Ak) 1 2 k Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 10 GVHD: Trần Thị Hạnh Tuyển tập các bài Toán xác suất Phaàn 2: Baøi taäp toång hôïp A. Duøng ñònh nghóa coå ñieån tính xaùc suaát I/BAØI TOAÙN VEÀ CHOÏN VAÄT Bài 1. Moät hộp ñöïng 4 vieân bi ñoû, 5 vieân bi traéng vaø 6 vieân bi vaøng. Ngöôøi ta choïn ra 4 vieân töø hoäp ñoù. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå trong soá bi laáy ra khoâng coù ñuû 3 maøu. Giaûi: - Choïn ngaãu nhieân 4 vieân bi coù: C154 caùch. - Soá caùch choïn ñeå trong soá bi laáy ra coù ñuû 3 maøu: C 41 C52 C61 + C42 C51 C61 + C 41 C51 C62 =720 => Soá caùch choïn ñeå khoâng coù ñuû 3 maøu: C154 - 720 = 645 caùch Bài 2. Moät lôùp coù 30 hoïc sinh nam vaø 15 hoïc sinh nöõ. Coù 6 hoïc sinh ñöôïc choïn ñeå laäp moät toáp ca. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn neáu: a) Choïn tuøy yù b) Phaûi coù ít nhaát 2 nöõ. Giaûi: a) Choïn tuøy yù: C456 =8145060 b) Choïn nhieàu nhaát 1 nöõ: - Choïn 1 nöõ, 5 nam: C151 . C305 - 0 nöõ, 6 nam: C150 C306 => C151 . C305 + C150 C306 =2731365 Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 11 GVHD: Trần Thị Hạnh Tuyển tập các bài Toán xác suất => Coù ít nhaát 2 nöõ coù: C456 -2731365 = 5413695 Bài 3. Coù 5 nhaø toaùn hoïc nam; 3 nhaø toaùn hoïc nöõ, 4 nhaø vaät lí nam, laäp 1 ñoaøn coâng taùc, 3 ngöôøi caàn caû nam vaø nöõ caàn coù nhaø toaùn hoïc vaø nhaø vaät lí. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn? Giaûi: - 1 nöõ, 2 nhaø vaät lí: C31 . C42 - 1 nam toaùn, 1 nöõ, 1 vaät lí: C31 . C 41 . C51 - 2 nöõ toaùn, 1 nam lí: C32 . C401 => Coù C31 . C42 + C31 . C 41 . C51 + C32 . C401 =90 caùch Bài 4. Moät boä baøi coù 52 quaân baøi. Hoûi coù bao nhieâu caùch ruùt ra töø boä 10 quaân baøi goàm 3 quaân “cô”, 3 quaân “roâ”, 4 quaân “bích” choïn? Giaûi: - 1 boä baøi goàm: 13 quaân cô, 13 quaân roâ, 13 bích + Ruùt 3 quaân cô: C133 + Ruùt 3 quaân roâ: C133 + Ruùt 4 quaân bích: C134 => C133 . C133 . C134 =58484140 caùch Bài 5. Trong 1 hoäp baùnh coù 6 baùnh nhaân daâu vaø 4 baùnh nhaân soâcoâla. Coù bao nhieâu caùch laáy ra 6 baùnh cho caùc em beù neáu choïn: a) Laáy tuøy yù b) Coù ñuùng 4 loaïi baùnh nhaân daâu. Giaûi: a) laáy tuøy yù: C =210 caùch 6 10 b) Laáy 4 baùnh daâu: C64 = 15 caùch - Laáy 2 baùnh Soâcoâla C42 =6 => coù 15.6 = 90 caùch Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 12 Tuyển tập các bài Toán xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Bài 6. Moät toå goàm 6 nam vaø 4 nöõ. Coù bao nhieâu caùch choïn 1 baïn ñaïi dieän goàm 5 ngöôøi sao cho choïn: a) Khoâng phaân bieät nam, nöõ (252 caùch) b) Coù ñuùng 2 nöõ ( C42 . C63 =120 caùch) Bài 7. Trong moät buoåi bieåu dieãn vaên ngheä coù 8 nam, 6 nöõ. Choïn thöù töï 3 nam, 3 nöõ ñeå gheùp caëp bieåu dieãn. Coù bao nhieâu caùch choïn? ( A83 . A63 =40320) Bài 8. Moät lôùp 20 nam, 15 nöõ coù bao nhieâu caùch choïn 3 hoïc sinh khaùc phaùi? ( C202 . C151 + C201 . C152 =4950 caùch) Bài 9. Moät lôùp 51 hoïc sinh goàm 22 nam vaø 29 nöõ. Thì coù bao nhieâu caùch baàu 1 ban caùn söï goàm 5 ngöôøi neáu choïn: - Caäu Huy vaø coâ Thu phaûi laøm vieäc chung vôùi nhau? - Tröôøng hôïp Huy vaø Thu cuøng tham gia vaøo ban caùn söï ta coù C493 caùch choïn. - Huy vaø Thu khoâng tham gia => Coù C493 + C495 = 1925308 caùch . Bài 10. Moät gia ñình ñöôïc 15 veä só baûo veä trong ñoù coù 3 ngöôøi baûo veä meï, 5 ngöôøi baûo veä cha, coøn laïi baûo veä con gaùi ñaàu loøng. Coù bao nhieâu caùch phaân coâng? - Choïn 5 ngöôøi baûo veä meï: C153 caùch - Choïn 5 ngöôøi baûo veä cha: C125 caùch - Baûo veä coâ gaùi: C77 caùch => C153 . C125 . C77 caùch Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 13 GVHD: Trần Thị Hạnh Tuyển tập các bài Toán xác suất II/BAØI TOAÙN VEÀ SAÉP XEÁP Bài 1. Moät hoïc sinh coù 12 cuoán saùch ñoâi moät khaùc; trong ñoù coù 2 cuoán saùch toaùn, 4 cuoán saùch vaên, 6 cuoán saùch anh. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp taát caû caùc cuoán treân leân moät keä daøi, neáu caùc cuoán cuøng moân ñöôïc xeáp keà nhau. Giaûi: - Caùch xeáp 3 loaïi saùch: 3! - Caùch xeáp saùch toaùn: 2! - Caùch xeáp saùch vaên: 4! - Caùch xeáp saùch anh: 6! =>2!.3!.4!.6!=207360 caùch Bài 2. Ngöôøi ta xeáp ngaãu nhieân 5 laù phieáu coù ghi soá thöù töï töø 1 – 5 caïnh nhau. a) Coù bao nhieâu caùch xeáp ñeå caùc phieáu soá chaün luoân ôû caïnh nhau? b) Coù bao nhieâu caùch xeáp ñeå phieáu phaân thaønh 2 nhoùm chaün, leû rieâng bieät (chaúng haïn 2,4,1,5) Giaûi: a) Phieáu chaün: 2;4 luoân ôû caïnh nhau (coi laø 1 khoái thoáng nhaát) => Caàn saép xeáp cho 4 soá (24;1;3;5)=>4! => Coù 2!.4! = 48 caùch b) – Saép nhoùm: 2! - Soá caùch saép soá trong nhoùm leû: 3! - Soá caùch saép soá trong nhoùm chaün:2! =>2!.3!.2!= 24 caùch Bài 3. Coù bao nhieâu caùch saép xeáp 5 baïn hoïc sinh A,B,C,D,E vaøo 1 chieác gheá daøi sao cho: a) Baïn C ngoài giöõa. b) Hai baïn A vaø E ngoài 2 ñaàu gheá! Giaûi: Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 14 Tuyển tập các bài Toán xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh a)- Baïn C ngoài giöõa (coá ñònh):1 caùch - Saép choã cho 4 baïn coøn laïi: 4! => 24 caùch b) - A,E ngoài 2 ñaàu gheá. Soá caùch löïa choïn ñaàu gheá:2! - Saép xeáp 3 baïn B,C,D:3! =>3!.2!=12 caùch Bài 4. Coù 5 nam, 5 nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp hoï ngoài treân 1 baøn daøi vaø xen keû nhau. + Neáu 1 nam ngoài vò trí 1 thì keát thuùc vò trí t10 laø 1 nöõ. =>5!.5! caùch xeáp => coù 5!.5!+ 5!.5!=28800 Bài 5. 1 nhoùm goàm 10 hoïc sinh trong ñoù coù 7 nam, 3 nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp 10 hoïc sinh treân thaønh 1 haøng doïc sao cho 7 hoïc sinh nam ñöùng keà nhau? - 7 hoïc sinh nam ñöùng lieàn keà co nhö 1 khoái cuøng vôùi 3 nöõ=> 4 caùch xeáp. - Moãi laàn hoaùn vò 7 hoïc sinh nam, seõ coù 7! Caùch saép xeáp môùi. =>4!.7! = 120960 caùch xeáp. Bài 6. 8 hoïc sinh saép xeáp treân 8 choã ngoài treân 1 baøn daøi. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp khaùc neáu chò Nga khoâng chò ngoài caïnh anh Duy? - Coù 8! Caùch xeáp 8 hoïc sinh ngoài vaøo 8 choã treân baøn daøi. - Xeùt TH: Anh Duy vaø chò Nga ngoài gaàn + Xem Duy – Nga laø 1 khoái cuøng vôùi 6 hoïc sinh kia =>7! Caùch xeáp + Moãi laàn ñoåi choã Duy – Nga döôïc 2! Caùch => coù 8! - 7!.2! = 30240 caùch Bài 7. 1 caëp vôï choàng môøi 2 ngöôøi baïn döï tieäc. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp ñaët choã ngoài quanh 1 baøn troøn aên cho choàng luoân luoân ngoài ôû vò trí ñoái dieän vôï. - ÑS: caùch. Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 15 Tuyển tập các bài Toán xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Bài 8. Tìm soá hoaùn vò cuûa 7 hoïc sinh, bieát raèng coù 3 hoïc sinh ñöôïc chæ ñònh ñöùng caïnh nhau. ÑS: 144 caùch Bài 9. 1 hoäi nghò baøn troøn coù phaùi ñoaøn caùc nöôùc Vieät Nam: 3 ngöôøi; Laøo: 5 ngöôøi; Campuchia: 2 ngöôøi; Thaùi Lan: 3 ngöôøi; Trung Quoác 4 ngöôøi. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp choã ngoài cho vôùi thaønh vieân sao cho ngöôøi cuøng quoác tòch ngoài caïnh nhau. ÑS: 4976640 caùch Bài 10. Moät oâ toâ coù bao nhieâu caùch saép xeáp choã cho 4 ngöôøi trong ñoù coù 2 taøi xeá. ÑS: 12 caùch III/CÁC BÀI TẬP XÁC SUẤT VỀ SỐ BÀI 1 Cho tập hợp số X = {0,1, 2,3, 4,5} có thể lập được : a) có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2 b) có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 Giải Gọi số có 3 chữ số là a1a2a3 a) + Xét a3 = 0 Ta có: a1 có 5 cách chọn a2 có 4 cách chọn Vậy có 4.5 = 20 số + Xét a3 ≠ 0 Ta có : a1 có 2 cách a2 có 4 cách Vậy có 4.2= 8 số →Vậy có tất cả là 20 + 8 = 28 số b) + Xét a3 = 0 Ta có: a1 có 5 cách chọn a2 có 4 cách chọn Vậy có 20 số + Xét a3 = 5 Ta có: a1 có 4 cách chọn a2 có 4 cách chọn Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 16 Tuyển tập các bài Toán xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Vậy có 16 số →Vậy ta có tất cả là 20 + 16 = 26 số. BÀI 2 Từ các phấn tử của X = {0; 2;3;6;9} có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau. Tính xác suát đề lấy 1 số trong các số đó trong tâp hợp gồm 5 chữ số được tao thành từ các phần tử trong tâp hợp X. Giải Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là A= a1a2a3a4a5. A là số tự nhiên chẵn: + Xét a5 = 0 Các số còn lại a1, a2, a3, a4 có 4! Cách + Xét a5 ≠ 0 Các số a5có 2 cách chọn a1 có 3 cách chọn Các số còn lại có 3! Cách chọn Vậy có tất cả là 4! + 2.3.3! = 60 số A là số tự nhiên bất kì + Xét a5 = 0 có 44 cách + Xét a5 ≠ 0 Các số a5có 4 cách a1 có 4 cách a2, a3, a4 có 53cách →vậy có tất cả là 44 + 42.53 = 2256 gọi B là biến cố “ chọn ngẫu nhiên 1 số trong số có 5 chữ số được tạo thành từ các phần tử X = {0; 2;3;6;9} ” P ( B) = 60 5 = 2256 188 . BÀI 3: Dãy số gồm 7 chữ số ( số được chọn trong 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) thỏa: ở vị trí thứ 3 là 1 số chẳn chữ số cuối không chia hết cho 5, chữ số thứ 4, 5, 6 đôi một khác nhau. Có bao nhiêu số như vậy? tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 1 số trong số có 7 chữ số ( chữ số thuộc {0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} ) sao cho số được chọn là số thỏa mãn yêu cầu trên. Giải Giải: gọi số cần tìm có 7 chữ số là A = a1a2 a3a4 a5 a6 a7 . Thỏa: + a3 chẵn: có 5 cách chọn. Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 17 Tuyển tập các bài Toán xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh + a7 không chia hết cho 5: có 8 cách chọn. + a4, a5, a6 đôi một khác nhau có 10.9.8 cách. + a1 có 9 cách chọn. + a2 có 10 cách chọn. →vậy có 2.592.000 số thỏa yêu cầu đề bài. Số gồm 7 chữ số tùy ý. + Xét a7 =0. có 96 các chọn. + Xét a7 ≠ 0. a1 có 9 cách chọn. Các số còn lại có 9.105 cách chọn. Vậy có 96+9.9.105= 8631441 số. A là biến cố chọn ngẫu nhiên 1 số thỏa yêu cầu đề trong các số có 7 chự số thuộc {0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} . P ( A) = 2592000 ≈ 0,3 8631441 . BÀI 4: Cho 10 chữ số từ 0 → 9 . Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600.000 xây dựng từ các số tren. Tính xác suât để chọn 1 số lẻ trong các số đó. Giải Vậy có 6 chữ số lớn hơn hoặc bằng 599.999. Số có 6 chữ số: a1a2 a3a4 a5 a6 . + a6 có 5 cách. + a1 có 5 cách. + a2 có 8 cách. + a3, a4, a5 có 7.6.5. vậy có 420.000 số lẻ nhỏ hơn 600.000. P ( A) = 42000 = 0,07 600000 . BÀI 5: Cho tập hợp các số: 2; 3; 4; 5; 6. tìm số có 4 chữ số thuộc tập hợp trên sao cho số thứ 1 không lớn hơn 3, số cuối không chia hết cho 5. tính xác suất để lấy 1 số trong các số có 4 chữ số thuộc {2;3; 4;5;6} . Sao cho số thứ 1 không nhỏ hơn 3 số cuối chia hết cho 5. Giải Gọi số có 4 chữ số là: a1a2 a3a4 . + a1 không lớn hơn 3: có 2 cách chọn. Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 18 Tuyển tập các bài Toán xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh + a4 số cuối không chia hết cho 5: có 4 cách chọn. + a2 có 5 cách chọn. + a3 có 5 cách chọn. Vậy có 200 số thỏa yêu cầu đề bài. A là biến cố chọn 1 số trong số có 4 chữ số thuộc {2;3; 4;5;6} . Sao cho số 1 khong nhỏ hơn 3 số cuối chia hết cho 5. Ω ( A ) = 54 . 200 8 = 4 5 25 . Vậy 8 17 P A = 1− = 25 25 . Vậy P ( A) = ( ) BÀI 6: Cho dãy số 0, 1, 2, 3, 4,5. tính xác suất để lấy 1 số có 3 chữ số thuộc dãy số trên sao cho số đó không chia hết cho 2 nhưng chia hết cho 5. Giải Gọi số có 3 chữ số là: a1a2 a3 . + a3 có 1 cách. + a1 có 4 cách. + a2 có 4 cách. Vậy có 16 số cân tìm. A là biến cố thỏa yêu cầu đề bài, ta có: P ( A) = 16 4 = . 180 45 BÀI 7: Cho tập hợp số X = {0,1, 2,3, 4,5} . a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5. b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9. Giải a) Gọi số có 3 chữ số là: a1a2 a3 . + a3 = 0. ta có:  a1 có 5 cách chọn.  a2 có 4 cách chọn. trường hợp này ta có 20 số. + a3=5.  a1 có 4 cách chọn. Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 19 Tuyển tập các bài Toán xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh  a2 có 4 cách chọn. trường hợp này co 16 số. vậy từ 2 trường hợp trên ta có 20+16= 36 số. b) Gọi số có 3 chữ số là: a1a2 a3 . Số này ⋮9 ⇔ a1 + a2 + a3 = 9 . Xét cặp số (0; 4 ; 5): + a1 có 2 các chọn. + a2 có 2 cách. + a3 có 1 cách. Xét (2; 4; 3): + a1 có 3 cách chọn. + a2 có 2 cách. + a3 có 1 cách. Xét (1; 3; 5): + a1 có 3 cách chọn. + a2 có 2 cách. + a3 có 1 cách. Vậy có tổng là 16 số. BÀI 8: Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. hỏi từ các chữ số đã cho lập được mấy chữ số đôi một khác nhau và: a) gồm 3 chữ số. b) gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400? c) gồm 3 chữ số và chẵn? d) gồm 3 chữ số và chia hết cho 5. Giải Gọi số có 3 chữ số là: a1a2 a3 . a) Ta có: a1 có 6 cách chọn. a2 có 5 cách chọn. a3 có 4 cách chọn →vậy có 6*5*4= 120 số. b) Số nhỏ hơn 400 ⇔ số đó không lớn hơn 399. a1 có 2 cách chọn. a2 có 5 cách chọn. a3 có 4 cách chọn →vậy có 40 số. Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 20