Tài liệu CHUYÊN ĐỀ: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Chương 1: Khảo Sát Hàm Số Giải Tích 12 BÀI: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I. Lý Thuyết: 1. Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định trên  a; b   Hàm số f ( x ) được gọi là đồng biến trên  a; b  nếu x1 , x2   a; b  x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) .  Hàm số f ( x ) được gọi là nghịch biến trên  a; b  nếu x1 , x2   a; b  x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) . 2. Định lý: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên  a; b   Nếu f '( x)  0, x   a; b  thì hàm số f ( x ) đồng biến trên  a; b   Nếu f '( x)  0, x   a; b  thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên  a; b  3. Các bước khảo sát sự biến thiên của hàm số:  Tìm miền xác định. Tính f '( x )  Tìm các điểm tại đó f '( x)  0 hoặc f '( x ) không xác định.  Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.  Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. + y '  0 : hàm số đồng biến. + y '  0 : hàm số nghịch biến. 4. Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên miền K: Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây: 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.  Nếu f '(x)  0, x  K thì f(x) đồng biến trên K.  Nếu f '(x)  0, x  K thì f(x) nghịch biến trên K. 2 2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức   b  4ac . Ta có: a  0 f (x)  0, x  R     0 a  0  f (x)  0, x  R     0  Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 1 Chương 1: Khảo Sát Hàm Số Giải Tích 12 3. Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước sau:  B1. Tính đạo hàm f’(x,m).  B2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K  f '(x,m)  0, x  K  m  g(x), x  K  m  g(x)    m  Max g(x) m  Max g(x) K K   B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m. II. Bài Tập: Bài 1. Khảo sát chiều biến thiên của các hàm số sau: a) b) c) d) e) f) g) y  2x  x2 y  x2  2x  1 y  2 x3  3x 2  1 y  x3  2 x 2  x  1 y  x3  3x 2  3x  2 y  x4  2x2  3 y   x4  2x2  2 h) y   x  1  x  1 2 i) y 5  2x x3  x2  2 x k) y  x 1 2 x  2x  4 l) y  x2 2 x  x 1 m) y  x 1 2 x  x 1 n) y  2 x  x 1 j) y  2 x 1 x 1 Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) y  x 2  2 x  3 c) y   x  4  x 2 b) y  x  3  x d) y  x 3  x Bài 3. Định m để các hàm số sau nghịch biến trên từng khoảng xác định: a) y   x3  mx 2  10 x  3 1 3 b) y   x 3  2 x 2   2m  1 x  3m  2 xm xm 1   m  2 x d) y  mx  m  2 c) y  Bài 4. Định m để các hàm số sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định: a) y  xm 2x  1 Gv: Lê Thái Dương b) y  : 01654565578 3m  2 x x 1 Trang 2 Chương 1: Khảo Sát Hàm Số Giải Tích 12 m  1 x 2  2mx  6m  e) y  x 2  mx  1 c) y  x 1 m d) y  x  2  x 1 x 1 Bài 5. Xét tính đơn điệu của hàm số sau: a) y  2sin x  cos 2 x với x   0;     b) y  sin 2 x  2 cos x  2 x với x    ;   2 2 Bài 6. Chứng minh rằng: a) Hàm số y  x  sin 2 x đồng biến trên R. b) Hàm số y  x  tan x nghịch biến trên từng khoảng xác định.  c) Hàm số y  sin x  tan x  2 x đồng biến trên nửa khoảng 0;  .  2 Bài 7. Định m để hàm số: a) y  x3  3x 2  mx  4 đồng biến trên khoảng  ;0  . 1 3 mx  4 c) y  đồng biến trên khoảng  ;1 . xm mx 2  6 x  2 d) y  nghịch biến trên nửa khoảng 1;  . x2 1 e) y  (m  1) x 3  (2m  1) x 2  (3m  2) x  m nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4. 3 1 f) y   x3  (m  1) x 2  (m  3) x  4 đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 4. 3 b) y  x 3  (2m  1) x 2  mx  2 đồng biến trên khoảng  2;  . g) y  x3  3x 2  mx  m nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2 2 . Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 3