Tài liệu CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

TÀI LIỆU THPT HAY Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Nguyên hàm 1.1. Khái niệm  Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của F� (x) = f (x) , " x �K .  Nếu hàm số f có một nguyên hàm F một nguyên hàm của f .  Họ tất cả các nguyên hàm của Vậy f trên �f (x)dx = F (x) +C , với F thì với mọi K f trên C ��, hàm số y = F (x) +C được kí hiệu là nguyên hàm của K nếu cũng là �f (x)dx . f.  Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp      �dx = x +C  xa +1 �x dx = a + 1 +C (a �- 1) dx �x = ln x +C (x �0) dx 1 = +C �x2 x a �sin xdx = - cosx +C    �cosxdx = sin x +C dx �cos2 x = tan x +C dx �sin2 x = - cot x +C x x e dx = e +C �  ax �a dx = lna +C (0 < a �1)  dx 1 = �cos2(ax + b) a tan(ax + b) +C  dx 1 = �sin2(ax + b) a cot(ax + b) +C x  Bảng nguyên hàm mở rộng a +1 1 ( ax + b )  �(ax + b) dx = a a + 1 +C (a �- 1) a  dx 1 = �ax + b a ln ax + b +C (x �0)  1 cos(ax + b) +C a 1 cos( ax + b ) dx = sin(ax + b) +C � a �sin(ax + b)dx =    1 ax+b ax+b e dx = e +C � a 1 aax+b ax+b �a dx = a lna +C (0 < a �1) 1.2. Các tính chất  �[f (x) �g(x)]dx = �f (x)dx ��g(x)dx TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY �af (x)dx = a�f (x)dx +C  (a � 0) 1.3. Công thức nguyên hàm từng phần (x)dx = u(x)v(x) - � v(x)u� (x)dx �u(x)v� 1.4. Công thức đổi biến số (x)dx = F [u(x)]+C , trong đó F �f [u(x)]u� 2. Tích phân và ứng dụng 2.1. Khái niệm Tích phân của hàm số f từ a đến b �f (x)dx = F (b) - b a ( �f (x)dx) b 2.2. Công thức đổi biến số: f. b là F (a) = F (x) = a là nguyên hàm của b , trong đó F là nguyên hàm của f. a b (x)dx = �f (u)du �f [u(x)]u� a a b 2.3. Công thức tích phân từng phần: (x)dx = u(x)v(x) �u(x)v� a 2.4. Diện tích hình phẳng y = g(x) y = f (x) x S = �f (x) dx y a - (x)dx �v(x)u� a y = f (x) a a S = �f (x) - g(x) dx a b y b b b b O O ax b TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY 2.5. Thể tích vật thể z b y Oa V =� S(x)dx a S(x) x bx y b Oa x b V = p�f 2(x)dx a y = f (x) y d d V = p� g2(y)dy c c y = f (x) O B. PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP VÀ VÍ DỤ MINH HỌA x b 1. Tích phân các hàm số hữu tỷ P (x) �Q(x) dx a 1.1. Đặt vấn đề b P * (x) Xét tích phân I * = � dx . Nếu bậc P * (x) � bậcQ(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức a Q(x) và nhận được * P (x) Q(x) = G (x) + I * P (x) Q(x) , trong đó bậc P (x) < bậc Q(x) . Khi đó b P * (x) b b P (x) =� dx = �G (x)dx + � dx a Q(x) a a Q(x) TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY b P (x) b P * (x) I = dx . � Do đó việc tính tính I * = � được đưa về tính dx a Q ( x ) a Q(x) b P (x) dx ta sẽ quan tâm nhiều đến các tích phân Trong phần này, đối với tích phân dạng � a Q(x) có mẫu thức là các tam thức bậc 2. b dx 1.2. Dạng � 2 a ax + bx + c b dx 1b dx = �  Nếu D < 0 thì � 2 2 2 . Lúc này ta đặt a ax + bx + c a a (x + p) + q b x + p = q tant . 1b dx 1 b d(x - x0) 1 1  Nếu D = 0 thì � 2 = � = =� 2 2 a ax + bx + c a a (x - x0 ) a a (x - x0) a x - x0 dx b b a b dx 1 dx = �  Nếu D > 0 thì � 2 a ax + bx + c a a (x - x1)(x - x2) � 1 x - x2 1 1 1 � 1 1 � � = dx = ln � a x2 - x1 � x - x2 x - x1 � a x2 - x1 x - x1 � a � b b . a Ví dụ 1. Tính các tích phân sau 3- 1 a. � 0 dx x2 + 2x + 2 dx 2 � 0 2x + 8x + 8 1 b. dx . 2 � 0 x + 7x + 12 1 c. Giải a. Ta có Đặt x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1. x + 1 = tant , � dx = (t2+ 1)dt x = 0� t = Đổi cận Khi đó 3- 1 � 0 b. p 4 và x = 3 - 1� t = p. 3 p p p 2 3- 1 dx dx p 3 (t + 1) 3 3 . = = dt = dt = t = p p p 2 � 0 12 x2 + 2x + 2 � (x + 1)2 + 1 � t + 1 4 4 4 1 dx 1 1 dx 1 1 1 . = = . = 2 2 � 0 2x + 8x + 8 0 (x + 2) 2� 2 x + 2 0 12 1 1 1 dx dx (x + 4) - (x + 3) = = dx 2 � � � 0 x + 7x + 12 0 (x + 3)(x + 4) 0 (x + 3)(x + 4) 1� 1 1 1 � 16 � � =� dx = ln x + 3 - ln x + 4 = ln . 0 0 � x +3 x +4� 15 � � 1 c. ( TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ) Page TÀI LIỆU THPT HAY b 1.3. Dạng mx + n �ax2 + bx + c dx a b  Nếu D < 0 thì b b mx + n d(ax2 + bx + c) dx dx = p + q �ax2 + bx + c �ax2 + bx + c �ax2 + bx + c . a a a b �A � mx + n B � � �ax2 + bx + c dx = ��x - x0 + (x - x )2 �dx , tìm A và B. 0 a a � � b  Nếu D = 0 thì phân tích b �A mx + n B � � dx , tìm A và B. �ax2 +bx + c dx = ��x - x1 + x - x2 � � � a a � b  Nếu D > 0 thì Ví dụ 2. Tính các tích phân sau 3x + 1 dx 2 � - 2 x + 4x + 8 0 a. 2x + 1 dx 2 � 0 x + 6x + 9 1 b. 3x - 2 dx . � 0 x - 6x + 8 1 c. 2 Giải a. Ta phân tích 3 3x + 1 = (2x + 4) - 5. 2 Như vậy 3 (2x + 4) - 5 3x + 1 2 dx = � 2 dx 2 � - 2 x + 4x + 8 - 2 x + 4x + 8 3 (2x + 4) - 5 0 0 5 2 =� 2 dx - � 2 dx - 2 x + 4x + 8 - 2 x + 4x + 8 0 0 3 5 2 = ln x + 4x + 8 - � dx 2 2 - 2 - 2 (x + 2) + 2 2 0 0 3 ln2 - I . 2 x + 2 = 2tant , dx = 2(tan2 t + 1)dt . = Để tính I, ta đặt Đổi biến x = - 2 � t = 0, x=0 �t = Khi đó p 4 I =� 0 2 p 4 p. 4 p 4 10(tan t + 1) 5 5 5p . dt = dt = t = 0 2� 2 0 8 4tan2 t + 4 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY 3x + 1 3 5p . dx = ln2 2 � - 3 x + 4x + 8 2 8 - 1 Vậy b. Phân tích 2x + 1 A B A(x + 3) + B = + = x2 + 6x + 9 x + 3 (x + 3)2 (x + 3)2 Suy ra 2x + 1 = A(x + 3) + B, " x ��. Lần lượt cho x = - 2 và x = - 3, ta nhận được hệ phương trình � � A +B = - 3 A =2 � �� . � � � � �B = - 5 �B = - 5 Do đó 1� 2x + 1 2 5 � � � dx = �� dx 2 2 � � 0 x + 6x + 9 0 x +3 ( x + 3) � � 1 1 � 1 � � �= 2ln 4 - 5 . = 2ln x + 3 + 5. � x + 3� 3 12 � � 0 c. Ta có 3x - 2 A B A(x - 2) + B(x - 4) = + = . (x - 2)(x - 4) x2 - 6x + 8 x - 4 x - 2 Suy ra A(x - 2) + B (x - 4) = 3x - 2, " x ��. Lần lượt cho x = 4 và x = 2 ta nhận được A = 5 và B = - 2. Như vậy 1� 3x - 2 5 2 � � � dx = � dx 2 � � � 0 x - 6x + 8 0 x- 4 x 2 � � 1 1 �= 5ln 3 + 2ln2. =� 5ln x 4 2ln x 2 � � 0 4 Trong phần tiếp theo của tích phân hữu tỷ, ta sẽ xét các ví dụ phức tạp hơn. Ví dụ 3. Tính các tích phân sau a. x2 + 1 dx 3 2 � 0 x + 6x + 11x + 6 1 b. x3 + 2 dx 3 2 � 0 x + 6x + 9x + 4 1 c. x4 + 2x3 dx 3 2 � 0 x + 3x + 4x + 2 1 Giải a. Vì x3 + 6x2 + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3) nên ta phân tích x2 + 1 A B C = + + x3 + 6x2 + 11x + 6 x + 1 x + 2 x + 3 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY = A(x + 2)(x + 3) + B (x + 1)(x + 3) +C (x + 1)(x + 2) . (x + 1)(x + 2)(x + 3) � A(x + 2)(x + 3) + B(x + 1)(x + 3) +C (x + 1)(x + 2) = x2 + 1, " x ��. Lần lượt cho x = - 1, x = - 2 và x = - 3, nhận được hệ phương trình �2A = 2 �A = 1 � � � � � �- B = 5 � � �B = - 5. � � � � 2 C = 10 C =5 � � � � Khi đó 1� x2 + 1 5 5 � �1 � dx = + dx 3 2 � � � 0 x + 6x + 11x + 6 0 � x + 1 x + 2 x + 3 � � 1 1 8 � � =� ln x + 1 - 5ln x + 2 + 5ln x + 3 �= ln2 + 5ln . 0 9 b. Trước hết thực hiện phép chia đa thức x3 + 1 cho x3 + 6x2 + 9x + 4, được 1 1� x3 + 2 - 6x2 - 9x - 2 � � � dx = �� 1+ 3 dx = 1+ I . 3 2 2 � � 0 x + 6x + 9x + 4 0 x + 6 x + 9 x + 4 � � Để tính tích phân I, ta phân tích như sau - 6x2 - 9x - 2 A B C = + + x3 + 6x2 + 9x + 4 x + 1 (x + 1)2 x + 4 A(x + 1)(x + 4) + B(x + 4) +C (x + 1)2 = (x + 1)2(x + 4) � A(x + 1)(x + 4) + B (x + 4) +C (x + 1)2 = - 6x2 - 9x - 2, " x ��. Cho lần lượt x = - 1, x = 0 và x = - 4, ta được hệ phương trình �4A + 4B +C = - 2 �A = 8 9 � � � � � � � �B = 13 . �3B = 1 � � � � 9 C = 62 C = - 962 � � � � Do đó � 8 1 1 1 62 1 � � � I = �� . + . . dx 2 � 0 9 x +1 3 9 x + 4 ( x + 1 ) � � 1 � � 8 8 1 1 62 1 62 5 � = ln x + 1 - . ln x + 4 �= ln2 + ln . � � 9 9 3 x + 1 9 6 9 4 � � 0 1 Vậy x3 + 2 8 62 5 7 dx = ln2 ln + . 3 2 � 0 x + 6x + 9x + 4 9 9 4 6 1 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY 1� x4 + 2x3 - x2 + 2x + 2 � � � dx = �� x - 1+ 3 dx 3 2 2 � � 0 x + 3x + 4x + 2 0 x + 3 x + 4 x + 2 � � 1 c. 1 1 � � x2 - x2 + 2x + 2 1 � � = � - x �+ � 3 dx = +I 2 0 x + 3x + 4x + 2 2 2 � � 0 . Phân tích - x2 + 2x + 2 A Bx + C A(x2 + 2x + 2) + (Bx +C )(x + 1) = + = x3 + 3x2 + 4x + 2 x + 1 x2 + 2x + 2 (x + 1)(x2 + 2x + 2) � A(x2 + 2x + 2) + (Bx +C )(x + 1) = - x2 + 2x + 2, " x ��. Cho lần lượt x = - 1, x = 0 và x = 1 nhận được hệ phương trình �A = - 1 �A = - 1 � � � � � �� �2A +C = 2 �B = 0 � � � � 5 A + 2 B + 2 C = 3 C =4 � � � � Khi đó �- 1 � 4 � I = �� + 2 dx � � 0 x +1 x + 2 x + 2 � � 1 1 4 = - ln x + 1 + � dx = - ln2 + J 2 0 0 (x + 1) + 1 1 Đối với tích phân J, đặt x + 1 = tant ,dx . = (tan2 t + 1)dt p. 4 x=1 � t = arctan2. arctan2 arctan2 (tan2 t + 1) J = 4� dt = 4 t 4arctan2 - p . p p 2 (tan t + 1 ) 4 4 Đổi cận Vậy x=0 �t = x4 + 2x3 1 dx = - ln2 + 4arctan2 - p . 3 2 � 0 x + 3x + 4x + 2 2 1 2. Tích phân các hàm số lượng giác b 2.1 Dạng m �sin x cosn xdx , trong đó m và n là các số nguyên. a  Nếu m lẻ thì đặt t = cosx .  Nếu n lẻ thì đặt t = sin x .  Nếu m và n đều chẵn thì đặt t = tan x . Đặc biệt, khi m và n đều chẵn, dương ta sử dụng công thức hạ bậc và biến tích thành tổng. Ví dụ 4. Tính các tích phân sau TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY a. p 2 3 �sin 0 c. b. x cos4 xdx sin2 x dx 3 � 0 cos x d. Giải a. Ta nhận thấy sinx có mũ lẻ nên đặt x = 0� t = 1, x= Do đó p 2 3 �sin 0 2 �sin 0 p 6 Đổi cận p 2 p 2 x.cos4 xdx p 3 1 dx . p 2 4 � sin x cos x 4 t = cosx , dt = - sin xdx . � t = 0. p 2 x cos4 xdx = �(1- cos2 x)cos4 x sin xdx 0 1 � t5 t7 � 2 4 � �= 2 . = - �(1- t )t dt = � � 35 1 �5 7 � 0 0 b. Vì sinx và cosx đều có mũ chẵn, dương nên sử dụng công thức hạ bậc, được p 2 2 �sin 0 p 2 4 x.cos xdx = �sin2 x cos2 x cos2 xdxdx 0 p 2 1 = � sin2 2x cos2 xdx 0 4 p 2 1 1- cos4x 1+ cos2x =� . . dx 0 4 2 2 p 1 2 = (1+ cos2x - cos4x - cos4x cos2x)dx 0 16 � p � 1 2� 1 � � = 1 + cos2 x cos4 x (cos6 x + cos2 x ) dx � 0 � 16 � 2 � � p 1 2 1 1 = (1 + cos2 x cos4 x cos6x)dx 0 16 � 2 2 p c. Đặt Đổi cận Do vậy 2 �1 � 1 1 1 p . � � = (x + sin2x - sin4x sin6x = � � 32 16 4 4 12 � � 0 t = sin x , dt = cosxdx . x = 0� t = 0, x = p � t = 1. 2 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY p 6 p 1 2 sin2 x t2 6 sin x.cosx 2 dx = � dx = � dx . 3 2 2 2 2 � 0 cos x 0 (1- sin x) 0 (1- t ) Để tính tích phân vừa nhận được, ta phân tích t2 A B C D = + + + (1- t2)2 1- t (1- t)2 1+ t (1+ t)2 A(1- t)(1 + t)2 + B(1+ t)2 + C (1- t)2(1+ t) + D(1- t)2 = . (1- t2)2 A(1- t)(1+ t)2 + B(1+ t)2 +C (1- t)2(1+ t) + D(1- t)2 = t 2, " t ��. Cho lần lượt x = 1, x = - 1, x = 0 và x = 2 ta nhận được hệ phương trình �4B = 1 �A = - 14 � � � � � � B = 14 �4D = 1 � �� . � 1 � � A + B + C + D = 0 C = 4 � � � � �- 9A + 9B + 3C + D = 4 �D = 1 � � 4 Như vậy 1 t2 1 2� 1 1 1 1 � � � dx = �� + + dt 2 2 2 2 � � 0 (1- t ) 4 0 � 1- t (1- t) 1+ t (1+ t) � 1 2 = d. Đặt 1 2 1� 1 1 � � � = 1 (ln 1 + 4) . ln 1- t + - ln 1+ t 4� 1- t 1+ t � 4 3 3 � � 0 t = tan x , dt = (1+ tan2 x)dx hay dx = x= Đổi cận Ta lại có p 4 � t = 1, 1 cos x = 1+ t2 2 và Do đó p 3 x= � t = 3. t2 . sin x = 1+ t2 2 1 � sin2 x cos4 x dx = � 1 1 dt 1+ t2 3 p 4 p 3 1 dt . 1+ t2 t2 � 1 .� �1+ t2 1+ t2 � 2 � � � � (1+ t2)2 =� dt 1 t2 3 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY t 4 + 2t 2 + 1 =� dt 1 t2 3� 1� 2 � =�� t + 2 t + dt � � 1 � t2 � 3 3 � t3 1� � = � + 2t - � � = 3 33 t � � 1 1 4 - . 3 3 Nhận xét. Ta có thể giải câu d. theo cách khác như sau p 3 p 2 2 2 1 3 (sin x + cos x) dx = � dx p p 2 4 2 4 � sin x cos x sin x cos x 4 4 p 3 sin4 x + 2sin2 x cos2 x + cos4 x =� dx p 2 4 sin x cos x 4 2 � � sin � x. 1 + 2 + 1 � =� dx p � 2 2 2 2 � cos x cos x cos x sin x � 4 � p 3 p 3 � =� tan2 x(tan2 x + 1) + 2(tan2 x + 1) + (cot2 x + 1) � dx p � � 4 p 3 � � tan3 x � � =� + 2tan x - cot x � = 3 3 3 p � � 1 4 - . 3 3 4 b 2.2. Dạng �R(sin x,cosx)dx , trong đó R là hàm hữu tỷ. a b Để tính tích phân �R(sin x,cosx)dx ta sử dụng phép đổi biến t = tan a x . Tuy nhiên, bài 2 toán có thể được giải đơn giản hơn nếu nó rơi vào một trong các trường hợp sau  Nếu  Nếu  Nếu R(- sin x,cosx) = - R(sin x,cosx) thì đặt t = cosx . R(sin x, - cosx) = - R(sin x,cosx) thì đặt t = sin x . R(- sin x, - cosx) = R(sin x,cosx) thì đặt t = tan x . Ví dụ 5. Tính các tích phân sau a. p 2 2sin3 x + sin x dx � 0 cosx + 1 b. p 6 cos2 x + 1 dx � 0 sin2x + 3cosx TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN c. Page TÀI LIỆU THPT HAY p 6 sin2 xdx � 0 cosx(sin x - cosx) Giải a. Đặt t = cosx , dt = - sindx . p x = 1� t = 1, x = � t = 0. 2 Đổi cận Khi đó p 2 p 2 2sin3 x + sin x 2 (2sin x + 1)sin x dx = � dx � 0 0 cosx + 1 cosx + 1 p 2 (3 - 2cos2 x)sin x =� dx 0 cosx + 1 0 3 - 2t2 =- � dt 1 t +1 1� 1 � � � = � - 2t + 2 + dt � � 0 t + 1 � � 1 =� - t2 + 2t + ln t + 1 � = 1+ ln2. � � 0 t = sin x , dt = cosxdx . 1 x = 0� t = 0, x = p �t = . 6 2 b. Đặt Đổi cận Khi đó p 6 p cos2 x + 1 (cos2 x + 1)cosx 6 dx = � dx 2 2 � 0 sin2x + 3cosx 0 2sin x cos x + 3cos x p 2 (2 - sin2 x)cosx =� dx 2 2 0 2sin x(1- sin x) + 3(1- sin x) 1 2 2 - t2 =� dt 2 2 0 2t(1- t ) + 3(1- t ) 1 2 2 - t2 =� dt . 2 0 (1- t )(2t + 3) Ta phân tích 2- t2 A B C A(1+ t)(2t + 3) + B(1- t)(2t + 3) +C (1- t 2) = + + = (1- t2)(2t + 3) 1- t 1+ t 2t + 3 (1- t2)(2t + 3) . TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY � A(1 + t)(2t + 3) + B (1- t)(2t + 3) +C (1- t 2) = 2 - t 2, " t ��. Cho lần lượt x = 1, x = - 1 và x = 0, nhận được hệ phương trình �10A = 1 �A = 1 10 � � � � � � � �B = 21 . �2B = 1 � � � � 1 3 A + 3 B + C = 2 � � � �C = 5 Như vậy 1 2 1 � 2 - t2 1 1 1 1 1 � 2 1 � � dt = � . + . + . dt 2 � � � 0 (1- t )(2t + 3) 0 10 1- t 2 1 + t 5 2 t + 3 � � 1 2 � 1 � 1 1 1 8 1 3 � � = ln 1- t + ln 1+ t + ln 2t + 3 = ln + ln . � 10 � 10 3 2 2 2 10 � � 0 dt c. Đặt . t = tan x , dt = (tan2 x + 1)dx hay dx = 2 t +1 p 1 x = 0� t = 0, x = Đổi cận . �t = 6 3 Khi đó p 6 p 2 2 6 dx = dx 2 � � 0 cosx(sin x - cosx) 0 cos x(tan x - 1) p 6 =� 0 2 dx 1 .(tan x - 1) 2 tan x + 1 p 6 tan2 x + 1 = 2� dx 0 tan x - 1 1 3 t2 + 1 1 . dt t - 1 t2 + 1 1 3 3- 1 1 3 . dt = 2ln t - 1 0 = 2ln 3 t- 1 = 2� 0 = 2� 0 2.3. Dạng 1 a sin x + b cosx + c �m sin x + n cosx + p dx Phân tích a sin x + bcosx + c = a(m sin x + n cosx + p) + b(m cosx - n sin x) . Khi đó TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY a sin x + b cosx + c m cosx - n sin x dx = a dx + b �m sin x + n cosx + p � �m sin x + n cosx + p dx = ax + b ln m sin x + n cosx + p +C . Ví dụ 6. Tính các tích phân sau a. p 2 10cosx dx � 0 3sin x + cosx b. p 2 13sin x + 3 dx � 0 3sin x + 2cosx + 1 Giải a. Ta có p 2 p 10cosx 2 (3sin x + cosx) + 3(3cosx - sin x) dx = dx � � 0 3sin x + cosx 0 3sin x + cosx p 2 p 2 = �dx + 3� 0 b. Phân tích 0 d(3sin x + cosx) 3sin x + cosx p = + 3ln 3sin x + cosx 2 p 2 p 2 0 = p + 3ln3. 2 p 13sin x + 3 2 3(3sin x + 2cosx + 1) - 2(3cos x - 2sin x) dx = dx � � 0 3sin x + 2cosx + 1 0 3sin x + 2cosx + 1 p 2 p 2 = 3�dx - 2� 0 0 d(3sin x + 2cosx + 1) 3sin x + 2cosx + 1 p 2.4. Dạng 3p 3p 4 = - 2ln 3sin x + 2cosx + 1 2 = - 2ln . 0 2 2 3 a sin x + b cosx �(m sin x + n cosx)2 dx Phân tích a sin x + b cosx = a(m sin x + n cosx) + b(m cosx - n sin x) . Khi đó a sin x + bcosx a(m sin x + n cosx) + b(m cosx - n sin x) dx = dx �(m sin x + n cosx)2 � (m sin x + n cosx)2 1 d(m sin x + n cosx) = a� dx + b � m sin x + n cosx (m sin x + n cosx)2 1 b = a� dx +C . m sin x + n cosx m sin x + n cosx Ví dụ 7. Tính các tích phân sau TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY a. p 2 4cosx dx 2 � 0 ( 3sin x + cosx) b. p 2 sin x + 3cosx dx 2 � 0 (sin x + cosx) Giải a. Ta biến đổi tích phân đã cho p 2 p 4cosx 3sin x + cosx + 3( 3cosx - sin x) 2 dx = dx 2 � � 0 ( 3sin x + cosx) 0 3sin x + cosx p 2 p 1 2 d( 3sin x + cosx) dx + 3� 2 0 ( 3sin x + cosx) 3sin x + cosx =� 0 = p 2 1 dx 0 2� 3 1 sin x + cosx 2 2 p 2 3 3sin x + cosx 0 p 1 2 dx = � + 3 - 1. 2 0 sin x + p6 Tính p 2 dx � sin ( x + ) 0 p 6 =- ( p 2 =� 0 p 2 ( sin x + p6 2 ( ) ) 1- cos x + ( ( d cos x + p6 �10 ( )) cos2 x + p6 p 6 ) dx ) p� 1 2� 1 1 = - �� + 2 0 � 1- cos x + p6 1+ cos x + p6 � ( ( ( ) 1 1+ cos x + = - ln 2 1- cos x + p6 Vậy p 6 ) ) ( p 2 =- ) � � d cos x + p6 � � � ( ( )) 1 7- 4 3 . ln 2 3 0 p 2 4cosx 1 7- 4 3 dx = ln + 3 - 1. 2 � 0 ( 3sin x + cosx) 4 3 b. Ta biến đổi tích phân đã cho p 2 p sin x + 3cosx 2 2(sin x + cosx) + (cosx - sin x) dx = dx 2 � � 0 (sin x + cosx) 0 (sin x + cosx)2 p 2 p dx 2 d(sin x + cosx) = 2� +� 2 0 sin x + cosx 0 (sin x + cosx) TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY = 2J - p 2 1 = 2J sin x + cosx 0 Ta có p 2 2J = 2� 0 dx ( cos x - p 4 = ) ( p 2 = 2� cos x - ( d ( cos( x - ) ) 2� 1- sin ( x - ) 0 ) 1- sin2 x - p 2 p 4 ) dx p 4 2 0 ) ) ( ( 1 + sin x - p 4 = ln 2 1 - sin x - p 4 2 p 4 . p 2 � 0 p 4 p 2 = 0 2 2 ln(17 + 12 2) . sin x + 3cos x 2 dx = ln(17 + 12 2) . 2 2 (sin x + cos x) 3. Tích phân các hàm số vô tỷ Vậy Dạng tích phân  �f x, a - x dx  ( �f ( x, x -  ( 2 2 Đổi biến số ) 2 a )dx 2 x = a sin t 2 2 x= ) a cos t �f x, a + x dx x = a tan t � a + x� � x, dx �f � � � � � a - x� p1 p2 pi � � q q q� � x, (a x + b) 1 , (a x + b) 2 , ..., (a x + b) i � dx �R � � �   � � � � p1 p2 pi � � q1 � q2 qi � �� � � � � ax + b ax + b ax + b � � � �  �R � x, � ,� , ..., � dx � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � cx + d cx + d cx + d � � � � x = a cos2t ax + b = tk , với k = BCNN {q1, q2, ..., qi } ax + b cx + d = t- Bây giờ, ta xét một số ví dụ minh họa cho các dạng tích phân trên. Ví dụ 8. Tính các tích phân sau x2 + 1 dx � 0 4 - x2 1 a. 2 d. 2 �x 0 4+x dx 4- x b. 6 � 3 x2 - 9 dx x x- 1 dx 2 � 1 x+ 3x 2 c. 0 64 e. � 6 f. � 4 2x2 dx 2 x +4 x- 4 1 . dx . x +2 x +2 Giải TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY x = 2sin t , dx = 2costdt . x = 0� t = 0, x = 1� t = p . 6 a. Đặt Đổi cận Khi đó p 2 x2 + 1 6 (4sin t + 1)2cost dx = � dt � 0 0 4 - x2 4 - 4sin2 t 1 p 6 (4sin2 t + 1)2cost =� dt 0 2cost p 6 = �(4sin2 t + 1)dt 0 p 6 = �� 2(1- cos2t) + 1� dt � � 0 p 6 = �(3 - 2cos2t)dt 0 p p 3. 6 =� 3t - sin2t � = � � 0 2 2 3sin t 3 , dx = dt . x= 2 cost cos t p x = 3� t = 0, x = 6� t = . 3 b. Đặt Đổi cận Khi đó 6 � 3 p x2 - 9 3 dx = � 0 x p 3 =� 0 - 9 3sint . dt 2 3 cos t cost 9 cos2 t 9(1- cos2 t ) cos2 t 3 cost p 3sint 3 cost 3 0 cost =� . . 3sint dt 2 cos t 3sin t dt 2 cos t p 3 3sin2 t =� dt 0 cos2 t p 3 = �3tan2 tdt 0 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY p 3 = 3�� (tan2 t + 1) - 1� dt � � 0 p 3 = 3� tant - t � = 3 3 - p. � � 0 2 x = 2tan t , dx = dt . 2 cos t x = 0� t = 0, x = 2� t = p . 4 c. Đặt Đổi cận Khi đó p 2 � 0 2x2 8tan2 t 2 4 dx = . dt � 0 x2 + 4 4(tan2 t + 1) cos2 t p 4 =� 8tan2 t 0 2 cost p 2 2 . 2 dt = 8 4 tan tdt � cos t 0 cost p p 4 sin2 t sin2 t = 8 4 costdt = 8� 3 dt 2 2 � 0 (1- sin t) 0 cos t u = sin t , du = costdt . 2 t = 0 � u = 0, t = p . �u= 4 2 Đặt Đổi cận Khi đó p 4 2 sin2 t u2 2 8� costdt = 8� du . 2 2 2 2 0 (1- sin t) 0 (1- u ) Phân tích u2 A B C D = + + + (1- u2)2 1- u (1- u)2 1+ u (1+ u)2 A(1- u)(1+ u)2 + B(1+ u)2 +C (1- u)2(1+ u) + D(1- u)2 = . (1- u2)2 � A(1- u)(1+ u)2 + B(1+ u)2 +C (1- u)2(1+ u) + D(1- u)2 = u2, " u �� . Cho lần lượt u = 1, u = - 1, u = 0 và u = 2 nhận được hệ phương trình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY �4B = 1 �A = � � � � � � B = 14 �4D = 1 � �� � � � A + B + C + D = 0 C =� � � � 1 �- 9A + 9B + 3C + D = 4 � �D = 4 � 1 4 1 4 . Do đó 2 2 8� 0 2 u2 2 du = 8� 2 2 0 (1- u ) �1 1 1 1 1 1 1 1 � � � - . + . - . + . du 2 2 � � 4 1 u 4 4 1 + u 4 (1 u ) (1 + u ) � � 2 2 � 1 1 1 1 1 1 � � = 8 � ln 1- u + . - ln 1 + u � 4 4 1- u 4 4 1+ u � � � 0 = 2ln(3 - 2 2) + 4 2 . x = 4cos2t , dx = - 8sin2tdt . p x = 0� t = , x = 2� t = 0. 4 d. Đặt Đổi cận Khi đó 2 p 2 �x 0 4+x 4(1+ cos2t) 6 dx = � (16cos2 2t) (- 8sin2t)dt p 4- x 4(1 cos2 t ) 4 p 4 cos2 t = 128� cos 2t (2sin t cost)dt p 2 sin t 6 2 p 4 = 128� cos2 2t(2cos2 t)dt p 6 p 4 = 128� cos2 2t(1 + cos2t)dt p 6 p 4 = 128� (cos2 2t + cos3 2t)dt p 6 p 4 � 1+ cos4t cos6t + 3cos2t � � � = 128� + dt p � � 2 4 � 6 � p 4 � 1 � � 1 3 p 4 = 32 � 2t + sin4t + sin6t + sin2t � = 32 � + � 2 � � 6 2 6 3 p � � � 6 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN � . 3� � � Page TÀI LIỆU THPT HAY t = 6x x = 1� t = 1, e. Đặt Đổi cận Khi đó x = t 6 , dx = 6t 5dt . x = 64 � t = 2. , 2 3 x- 1 (t - 1)6t 5 dx = � 6 dt 2 � 1 x+ 3x 1 t + t4 64 2 4 t - t = 6� 2 dt 1 t +1 2� t 1 � 2 � = 6�� t 1 + dt � 2 2 � � 1 � t +1 t +1 2 2 � � t3 1 1 2 � � = 6 � - t - ln t + 1 �+ 6� 2 dt 1 t +1 3 2 � � 1 2 5 1 = 8 - 3ln + 6� 2 dt . 1 t +1 2 Đặt t = tan u , dt = (tan2 u + 1)du . Đổi cận t =1� u = p , t = 2 � u = arctan2. 4 Khi đó arctan2 1 tan2 u + 1 6� 2 dt = 6� du p 2 1 t +1 tan u + 1 4 2 arctan2 = 6u p = 6(arctan2 - 4 p ). 4 x- 1 5 p dx = 8 3ln + 6(arctan2 ). 2 � 1 x+ 3x 2 4 64 Vậy t= f. Đặt x- 4 x- 4 , � t2 = x +2 x +2 x = 4� t = 0, x = 6� t = Đổi cận hay x +2= 12t 6 dt . , � dx = 2 2 2 (1 t ) 1- t 1 . 2 Khi đó 6 � 4 1 2 x- 4 1 12t 2 1- t . dx = �t. . dt 0 x +2 x +2 6 (1- t2)2 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page