Tài liệu CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( tiết 2 ) TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. KIẾN THỨC 1. Thuộc các nguyên hàm :    1 sin  ax+b  dx   cos  ax+b  a/ �  a  b/ sin  ax+b  dx   ln cos  ax+b  � cos  ax+b      cos  ax+b  dx  ln sin ax+b   �   sin  ax+b     1 cos  ax+b  dx  sin  ax+b  c/ �  a  d/  f ( x)dx 2. Đối với : I  �  a)Nếu f(x)= R  sin x; cos x  thì ta chú ý : - Nếu m lẻ, n chẵn: đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin ) - Nếu n lẻ, m chẵn: đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos ) - Nếu m, n đều lẻ thì: đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos ) - Nếu m,n đề chẵn: đặt tanx = t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx ) b)Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác, các hằng đẳng thức lượng giác, công thức hạ bậc, nhân đôi, nhân ba, tính theo tang góc chia đôi .... 3. Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác, học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tố sau: - Biến đổi lượng giác thuần thục - Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong nguyên hàm . II. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Tính các tích phân sau : m n  2 a. (ĐH, CĐ Khối A – 2005) I   sin 2x  sin x dx 1  3 cos x 0 b.. ĐH, CĐ Khối B – 2005 . I  2 sin 2x cos x dx 1  cos x 0  KQ: 2 ln 2  1 Giải  2  2  2 cos x  1 s inx dx 1 sin 2 x  sin x a. I  � dx  �   0 1  3cos x 0 1  3cos x � t 2 1 2 c osx= ;s inxdx=- tdt � � 3 3 Đặt : t  1  3cos x � � �x  0 � t  2; x   � t  1 � 2 2 � t 1 � 2  1� 1 � 2 2 1 3 �2 34 Khi đó : I  � 3 �� 2 tdt � 2 2t  1 dt  2 � t  t�  � � � � � t 9� 3 �3 � 1 9 �1 27 2 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÀI LIỆU THPT HAY  2   2 2 sin 2 x cos x 2sin x cos 2 x cos 2 x b. I  � dx  � dx  2� s inxdx 1  cos x 1  cos x c osx+1 0 0 0  1  � dt=-sinxdx, x=0 � t=2;x= �t 1 � 2 � 2 Đặt : t  1  cosx � � 1� �f ( x )dx   t  1 dt  � t 2 � dt � � t t� � �  2 1 0 2 1� � �1 �2 Do đó : I  2 � f ( x )dx  2 � t 2 � dt  2 � t 2  2t  ln t �  2 ln 2  1 � t� � �1 �2 Ví dụ 2. Tính các tích phân sau  2 sin 2x I� dx 2 cos x  4sin 2 x 0 a. ĐH- CĐ Khối A – 2006 .  2 b. CĐ Bến Tre – 2005 . I   cos 3x dx 0 KQ: 2 3 KQ: 2  3 ln 2 sin x  1 Giải  2 sin 2x a. I  � 2 2 2 2 2 dx . Đặt : t  cos x  4sin x � t  cos x  4sin x cos2 x  4sin 2 x 2 � 2tdt   2sin x cos x  8sin x cos x  dx  3sin 2 xdx � sin 2 xdx  tdt � � 3 Do đó : � �x  0 � t  1; x   � t  2 � 2 0  2 2 2 2 tdt 2 2 2 2 Vậy : I  � f ( x )dx  �  � dt  t  0 31 t 31 3 1 3  2 b. I   cos 3x dx . 0 sin x  1 3 2 2 2 Ta có : cos3x=4cos x  3cos x   4 cos x  3 cosx=  4-4sin x  3 cosx=  1-4sin x  cosx  1  4sin x  cosxdx 1 Cho nên : f ( x)dx  cos3x dx    1+sinx 1  s inx  � dt=cosxdx,x=0 � t=1;x= � t  2 � 2 � 2 Đặt : t  1  s inx � � � 1  4 t  1 � � � �  �dt  8  4t  3 � f ( x ) dx  dt � � � t t� � � 2  2 2 2 3� � Vậy : I  � f ( x) dx  � 8  4t  � dt   8t  2t 2  3ln t   2  3ln 2 � 0 1 � t� TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 Page 2 TÀI LIỆU THPT HAY Ví dụ 3. Tính các tích phân sau  2 sin xdx a. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 . I  � 2 0 sin x  2cos x.cos 2 x 2  2 sin x  cos x I� dx 1  sin 2x  b. CĐ Y Tế – 2006 . KQ: ln 2 4 Giải  2  2  2  sin xdx s inx   dx   ln 1  cosx 2  ln 2 a. I  � 2 x � sin 2 x  cos x.  1  cosx  � 1+cosx 0 sin x  2cos x.cos 2 0 0 0 2 sin xdx  2  2 4 4  2 sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x dx  � dx  � dx 2 s inx+cosx 1  sin 2x     s inx+cosx  b. I  �  1 4  �  � ;  x� �  Vì : s inx+cosx= 2 sin �x �� � 2 � 4 �4 Do đó : s inx+cosx  s inx+cosx  2 x  4 3  4 � � sin �x �0 � 4� Mặt khác : d  s inx+cosx    cosx-sinx  dx  d  s inx+cosx  1    ln s inx+cosx 2   � ln1  ln 2 �  ln 2 Cho nên : I  � � �  sinx+cosx 2  4 4  2 Ví dụ 4. Tính các tích phân sau  2 a. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 . I  � 0 b. CĐ KTKT Đông Du – 2006 . cos 2x  sin x  cos x  3 3 dx  4 cos 2x I� dx 1  2sin 2x 0 KQ: 1 32 KQ: 1 ln 3 4 Giải  2 a. I  � 0 cos 2x  sin x  cos x  3 Cho nên : f ( x)dx  3 2 2 dx . Vì : cos 2 x  cos x  sin x   cosx+sinx   cosx-sinx  cos2x  sinx-cosx+3 3 dx   cosx-sinx   sinx-cosx+3 3  cosx+sinx  dx  � dt=  cosx+sinx  dx; x  0 � t  2, x  � t  4 � 2 � Đặt : t  s inx-cosx+3 � � 1 1� �f ( x)dx  t  3 dt  � 3 3 � dt � 3 2 � t t � �t � TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 3 TÀI LIỆU THPT HAY  2 4 1 � � 1 3 1 �4 1 �1 Vậy : I  � f ( x )dx  � dt  �   2� �2  3 3 � 0 2 �t t � 4 t �2 �t 32 1 � dt  4 cos 2 xdx � cos2xdx= dt � � 4 b. I  �cos 2x dx . Đặt : t  1  2sin 2 x � � �x  0 � t  1; x   � t  3 1  2sin 2x 0 � 4  4  4 3 3 1 dt 1 Vậy : I  �cos 2x dx  1 �  ln t  ln 3 0 1  2sin 2x 41 t 4 1 4 Ví dụ 5. Tính các tích phân sau :  2 4sin3 x I� dx 1  cos x 0 a. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 . KQ: 2  6 3 b. CĐ Bến Tre – 2006 . I  sin 3x  sin 3x dx � 1  cos3x 0 Giải  2  2  2  1  cos2 x 4sin3 x 1 2 dx  4 � s inxdx=4 �  1  cosx  s inxdx=4.  1  cosx  2  2 a. I  � 1  cos x 1  cosx 2 0 0 0 0    6 3 b. I  sin 3x  sin 3x dx . � 0 1  cos3x 3 2 2 Ta có : sin 3 x  sin 3 x  sin 3 x  1  sin 3 x   sin 3 x.cos 3 x . 1 � dt=-3sin3xdx � sin3xdx=- dt � � 3 Đặt : t  1  cos3x � �  �x  0 � t  2; x  � t  1 � 6  6 1 2 1  t  1 1 � 1 � 1 �1 2 Vậy : � f ( x)dx   � dt  � t 2 � dt  � t  2t  ln � 32 t 31� t � 3 �2 0 2 Ví dụ 6. Tính các tích phân sau  2 3 3 sin x  sin x cot gx dx a. I = � sin x  3 c. I =  2 sin 4 x dx � 1 1 �2 t �    ln 2 6 3 �1   x) 4 dx b. I = �   sin(   x) 2 4  2 sin(  2 d. I = cos 2 x( sin 4 x  cos 4 x)dx 0 0 Giải TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 4 TÀI LIỆU THPT HAY 1 � � s inx 3 � 1 � 2 sin x  sin x sin x � � a. I = � cot gx dx  � cot xdx sin x s inx    2 3  2 3 3  3  2  2 1 � � 3 1 cot xdx  �  3 cot 2 x cot xdx � � � 2 sin x �  3 �  3   x) 4 dx  b. I = �   sin(   x) 2 4  2 sin(  2 cosx-sinx dx � cosx+sinx   2  d  cosx+sinx   �  ln cosx+sinx 2  0   cosx+sinx   2 2  2  2  2  2 1  cos2x � 1 � 1  cos4x � 1  2cos 2x  dx �dx  � � � 4 2 � � 0� � sin 4 x dx  � � � 2 0 0� c. I = 2  2  1 1 1 �3 1 � �3 � 3 � dx  � x  sin 2x  sin 4x �2  �  cos2x+ cos4x � 8 2 8 4 32 � �8 �0 16 0�  2 1 d. I = cos 2 x( sin 4 x  cos 4 x)dx . Vì : sin 4 x  cos4 x  1  sin 2 2 x 2 0 Cho nên :  2  2  2   1 1 1 3 � 1 2 � 2 I � 1  sin 2 x � cos2xdx= � cos2xdx- � sin 2 x cos 2 xdx  sin 2 x 2  sin 2 x 2  0 � 2 20 2 3 � 0� 0 0 0 Ví dụ 7. Tính các tích phân sau  4  2 b. I = � a. I = sin 5 xdx �  6 0  3 2 2 c. I = �tg x  cot g x  2dx  6 1 sin 2 x cot gx dx  2 d. I = ( 3 cos x  3 sin x )dx � 0 Giải TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 5 TÀI LIỆU THPT HAY  2  2 0 0 a. I = sin 5 xdx  �    2 2 2 � 1  2cos 2 x  cos 4 x � d  cosx  �1  cos x sinxdx=- � � � 0  2 1 2 � 3 5 �  �cosx+ cos x  cos x �2  3 5 � �0 15  4 1 b. I = �  6 sin 2 x cot gx dx . 1 1 � 2tdt   2 dx � 2 dx  2tdt � � sin x sin x 2 Đặt : t  cot x � t  cot x � � �x   � t  3; x   � t  1 � 6 4 1 3 2tdt 3 dt  2t 2 Vậy : I   �  2 � t 1 1 3   3 1  3  3  3  6  6  6 2 2 c. I = �tg x  cot g x  2dx  2 � t anx-cotx  dx  �t anx-cotx dx sinx cosx sin 2 x  cos 2 x cos2x    2  2 cot 2 x Vì : tanx-cotx= cosx sinx s inxcosx sin2x � 3 3� � � 3 ; 3 � � � � �  � �  � � 2 x � ; 2 � cot 2 x Cho nên : x Ϋ��� �; � �6 3 � �3 3 �  4  3  4  6  4  6  3 cos2x cos2x 1 dx  � dx  sin2x 2  sin2x   t anx-cotx  dx  �   t anx-cotx  dx  � Vậy : I  �   ln sin 2 x  4  12  ln sin 2 x  6 �  � � t anx-cotx<0;x �� ; � � �6 4 � � �  � � t anx-cotx>0;x �� ; � � �4 3 � � 4  3  ln 2  4  2 d. I = ( 3 cos x  3 sin x )dx (1) � 0 Đặt : x      t � dx   dt , x  0 � t  ; x  � t  0 2 2 2 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 6 TÀI LIỆU THPT HAY   2 2 � � �3 � �� 3 3 3 3 I  c os  t  sin t  dt  sin t  c ost dt  sin x  3 cosx dx � �   � Do đó : � � � �� � � � �2 � �2 ��  � 0 0 0      2 2 Lấy (1) +(2) vế với vế : 2 I  0 � I  0 Ví dụ 8 . Tính các tích phân sau  3 cos 6 x � 4 dx (NNI-2001)  sin x cos2x dx (NT-2000) c. � sinx+cosx+2  0  tan 4 xdx (Y-HN-2000) b. a. �  4  4 sin 2 x ( GTVT-2000)e. d. � dx 6 0  2  4 cos x  2 4  4 1  2sin 2 x (KB-03) f. � dx sin 2 x dx � 4  cos 2 x 0 0 1  sin 2 x Giải  3 2 4 tan xdx . Ta có : f ( x)  tan x  sin x   1  cos x   1  2 1  1 a. �  cos 4 x cos 4 x cos 4 x cos 2 x 2 4 4 4  1 dx � 1 � 3 f ( x )dx  �  1� dx  � 1  tan 2 x    2 tan x  x   Do đó : I  � � 4 2 2 2  cos x cos x �  cos x   � 4 4 4 4  1  �� 4� �  � 2  � �3 �  �t anx+ tan 3 x �  � 2 3  2  � � 2 3  � � 2 3  2  �  3 12 � � 3�� 12 � 3 12 � � � 4  3  3  3 * Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác : f ( x)  tan 4 x  tan 2 x  tan 2 x  1  1  tan 2 x  1  tan 2 x   tan 2 x  tan 2 x  1  tan 2 x    tan 2 x  1  1  3  3  4  4 � tan 2 x  1  tan 2 x    tan 2 x  1  1� tan 2 x. Vậy : I  � � �dx  �  3  3 4 4 dx dx � 2 � dx 2 cos x  cos x    � �1 � 2  �1 �3 �1 I  � tan 3 x  t anx+x �  � 3 3  3  � �  1  �  3 � �3 4 � 3 12 �3 � �3 4 b.  4 cos2x dx . �  sinx+cosx+2  0 Ta có : f ( x)   4  sinx+cosx+9   cos x  sin x    cosx-sinx   cosx+sinx   2 cos2x 3  4  Do đó : I  � f ( x)dx  � � 0 2  sinx+cosx+9  3  sinx+cosx+9  � cosx+sinx  � �  cosx-sinx  dx � sinx+cosx+2  3 � 0� � TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 3  1 Page 7 TÀI LIỆU THPT HAY  � cosx+sinx=t-2.x=0 � t=3;x= � t  2  2, � 4 � Đặt : t  s inx+cosx+2 � � t2 1� �1 � dt   cosx-sinx  dx � f ( x)dx  3 dt  �2  2 3 � dt � t t � �t � Vậy : � � 1 � �1 1 � 2 2 � 1 1 1 2 �1 �1 1� 2 � I � dt  �   2� �      �  �2  2 3 � 2 �� t t � �t t � 3 3 � � 2 2 2 2 � � 3 9� 3 2 2 � �  sin t  cost  sin t  cost dt   sin t  cost  cost  sin t dt  f ( x)        sin t  cost+9   sin t  cost+9  2 2     2  2 cos 6 x c. � 4 dx  sin x 4 6 1  sin 2 x   c os x 1  3sin 2 x  3sin 4 x  sin 6 x 1 1 Ta có : f ( x)  4     3 2  3  sin 2 x 4 4 4 sin x sin x sin x sin x sin x 3  2  1  cot 2 x  Vậy : I  �  4  2  2  2 4 4 4 dx dx 1  cos2x � �  3 � 2  3� dx  � dx � � 2 sin x  sin x  2 �  �  1 1 �1 3 � 5 23 �  cot x  3cot x  3 x  x  sin 2 x �2   2 4 8 12 �3 � 4  4  4  4  4  4 0 0 sin x 1  cos x 1 � 1 1 dx � 1 d. � dx  � 6 dx  � dx  � 4 dx  � 1  tan 2 x   � 6  6 4 � 2 cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos 2 x 2 0  4 �  1  tan 2 x  0 2 0 2 0 � �  4  4  4 1 1 2 2 4 dx  1  tan x dx  1  2 tan x  tan x d tan x  1  tan 2 x  d  t anx    �      2 2 � � cos x cos x 0 0 0   2 3 1 5 1 3 � �1 3 1 5 � 8 �  �t anx+ tan x  tan x  t anx- tan x �4  � tan x  tan x �4  3 5 3 5 � �0 �3 �0 15  2     2 2 2 d  7  cos2x  sin 2 x sin 2 x 2sin 2 x 3 dx  � dx  � dx   �   ln 7  cos2x 2  ln e. � 2 1  cos2x 4  cos x 7  cos2x 7  cos2x 4 0 0 4 0 0 0 2     2 4 4 1  2sin x cos2 x 1 4 d  1  sin 2 x  1 1 dx  � dx  �  ln 1  sin 2 x 4  ln 2 f. � 1  sin 2 x 1  sin 2 x 2 0 1  sin 2 x 2 2 0 0 0 Ví dụ 9. Tính các tích phân sau : TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 8 TÀI LIỆU THPT HAY  2 a. � sin 3 x cos 4 xdx b.  2 sin 3 x dx � 1  2cos3x 0 0  6  6 sin 2 x cos 2 x I  dx � J  dx � K  c. � � 0 s inx+ 3cosx 0 s inx+ 3cosx 5  3 cos2x dx 3 s inx � cosx- 3  2 Giải  2  2  2 0 0 0 a. � sin 3 x cos4 xdx  �  1  cos2 x  cos4 x.s inxdx  �  cos6 x  cos4 x  d  cosx   1 2 �1 7 5 �  � cos x  cos x �2  5 �7 �0 35  2  2  2  sin 3 x 1 3sin 3 x 1 d  1  2 cos 3 x  1 1 dx   � dx   �    ln 1  2 cos 3x  2  ln 3 b. � 1  2cos3x 6 0 1  2 cos 3 x 6 0 1  2 cos 3 x 6 6 0 0  6 sin x  cos x 2 2 1  6 1 1 dx � 20 � � 3 sin �x  � s inx+ cosx � 3� 2 2 � �x  � � d �tan �  � � 1 1 1 1 �2 6 � �   .  � Do : x  x  � � �x  � �  � �x  � � � � � sin �x  � 2sin �  � cos �x+ � tan �  �2cos 2 �  � tan �  � 3 2 6 � � � � � 6� �2 6 � �2 6 � �2 6 � � �x  � �  d �tan �  �  � 1 6 1 1 1 �x  � �2 6 � � �  ln tan �  �6  ln 3  ln 3 (1) Vậy : I  � 20 4 �x  � 2 �2 6 �0 2 tan �  � �2 6 � dx  � c. Ta có : I  J  � 20 1 0 s inx+ 3cosx 1  6 dx   sin x  3cosx   sin x  3cosx  dx sin x  3cos x - Mặt khác : I  3J  � dx  �  6 0  6 2  6 2 s inx+ 3cosx s inx+ 3cosx 0  s inx- 3cosx dx  cosx- 3 s inx 6  1  3 (2) Do đó : I  3J  � 0 0     � 3 3 1 1 � �I  ln 3  I  J  ln 3 � � 16 4 4 ��  3 Từ (1) và (2) ta có hệ : � �I  3 J  1  3 �J  1 ln 3  3  1 � � 4 � 16     Để tính K ta đặt t  x  3 � dt  dx � x  3 ; t  0.x  5 � t  2 2 3 6 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 9 TÀI LIỆU THPT HAY  6  6 cos  2t+3  cos2t 1 3 1 K  dt   dt  I  J  ln 3  � � Vậy : � 8 2 � � 0 cos � 0 sint+ 3cost �t+3 � 3 sin �t+3 � � 2� � 2� Ví dụ 10. Tính các tích phân sau . a.  4 1 dx � 1  sin 2 x ( CĐ-99) b. 0 c.  2 dx (ĐH-LN-2000) � 2  s inx+cosx 0  3  sin x  cos x  sin x cos x  dx (SPII-2000)d. � 10  2 10 4 4 0 1 dx �  � (MĐC-2000)  s inxsin �x+ � 6 � 6� � Giải  4  4  4  1 1 1 � � dx  � dx  � dx  tan �x  �4  1 2 a. � � 1  sin 2 x � 4 �0 0 0  s inx+cosx  0 2 cos 2 � �x  � � 4� b.  2 dx � 2  s inx+cosx . 0 x 1 1� x� 2dt  � dt  dx  � 1  tan 2 � dx; � dx  ; x  0 � t  0, x  � t  1 2 x Đặt : 2 2� 2� 1 t 2 2 cos 2 2 1 1 1 1 2 2dt 2dt I � . dt  � � 2   2 2 2 2 Vậy : 2t 1 t  1 t  t  2t  3 0  t  1  2 0 0 2  1 t2 1 t2 � 1 2 dt  2 du; t  0 � tan u  ; t  1 � tan u  2 � 2 cos u 2 � Đặt : t  1  2 tan u � � 2dt 2 2 �f (t )dt   du  2du 2 2 � cos 2u 2 1  tan u t  1  2     � u2 � � u2 2 arxtan  arctan 2 � Vậy : I  �2du  2u u  2  u2  u1   2 � � � 2 1 u1 � � t  tan c.  2  sin � 0 10 x  cos10 x  sin 4 x cos 4 x  dx 10 10 4 4 2 2 4 4 6 6 Ta có : sin x  cos x  sin x cos x  sin x  cos x    cos x  sin x   cos x  sin x    cos 2 x  sin 2 x   cos 2 x  sin 2 x   cos 4 x  sin 4 x  cos 2 x sin 2 x  1 1  cos4x 1  cos8x 15 1 1 � 1 2 �  cos 2 2 x � 1  sin 2 x � cos 2 2 x  sin 2 4 x     cos4x+ cos8x 16 2 32 32 2 32 � 4 �    2 1 1 15 �15 1 � 15  1 dx   sin 4 x 2  sin 8 x 2  Vậy : I  � �  cos4x+ cos8x � 32 2 32 32 2 8 32.8 64 � 0� 0 0 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 10 TÀI LIỆU THPT HAY  3 1 dx d.  � � . s inxsin �x+ � 6 � 6�  � � � � � � � � � �1 cosx-sinxco �x  �=  * Ta có : �x  � x  � sin � �x  � x � sin �x  � 6 � 6� � 6� � � 6� � 6�2 � � � � � 1 sin �x  � cosx-sinxco �x  � 1 � 6� � 6� 2 2 2 Do đó : f ( x)  � � � � � � s inxsin �x+ � s inxsin � x+ � s inxsin � x+ � � 6� � 6� � 6�    � � � �  �� cos �x+ � cos �x+ �� 3 3� � � cosx � � 3 � 6 �� I  f ( x)dx  2 �cosx  � 6 ��   dx  2 � ln s inx  ln sin � x+ �� � � sinx sinx 6 �� � � �  �� �   � � sin �x  � sin �x  �� � 6 6 6 � 6� � 6 �� � �  s inx 3 1 2 3 3 I  2 ln  ln  ln .  2 ln 2 2 3 2 �  � sin �x+ � � 6 �6 * Chú ý : Ta còn có cách khác 1 1   � �3 � sin 2 x 1 f(x)= s inxsin � x+ � s inx � s inx+ cosx � � � 6� 2 �2 �  3  3  3  cot x 2 1 dx   � 2 3  cot x sin x 3  cot x  Vậy : I  �  6 2d 6    2 3  cot x   3 3 3  cot x  2 ln  2 6   2 ln Ví dụ 11. Tính các tích phân sau  2 s inxcos3 x a. � dx (HVBCVT-99) 1  cos 2 x 0 c.  4 sin 4 x � cos x  sin 6 0 6 x dx (ĐHNT-01)  2 b. � cos 2 x cos 2 2 xdx ( HVNHTPHCM-98) d. 0  4 dx � cos x 4 (ĐHTM-95) 0 Giải:  2  2 s inxcos3 x 1 cos 2 x a. � dx  � (sin 2 x)dx  1 2 2 0 1  cos x 2 0 1  cos x dt  2sin x cos xdx   sin 2 xdx � � Đặt : t  1  cos x � � 2  cos x  t  1; x  0 � t  2; x  � t  1 � � 2 1 2 2 ln 2  1 1  t  1 1 � 1 � 1 dt   ln t  t   Vậy : I  �  dt   � �  1� 1 22 t 2 1 �t � 2 2 2 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 11 TÀI LIỆU THPT HAY  2 b. � cos 2 x cos 2 2 xdx . 0 1  cos2x 1  cos4x 1 .   1  cos2x+cos4x+cos4x.cos2x  2 2 4 1� 1 1 1 � 1 3  � 1  cos2x+cos4x+  cos6x+cos2x  �  cos2x+ cos4x+ cos6x 4� 2 4 8 � 4 8 Ta có : f ( x)  cos 2 x cos 2 2 x   2  1 1 3 1 1 �1 3 � �1 �  dx  � x  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x �2  Vậy : I  � �  cos2x+ cos4x+ cos6x � 4 8 4 8 16 16 48 � �4 �0 8 0� c.  4 sin 4 x � cos x  sin 6 6 x 0 dx . 6 6 5 5 4 4 Vì : d  sin x  cos x    6sin x cos x  6cos x sin x  dx  6sin x cos x  sin x  cos x  � d  sin 6 x  cos 6 x   3sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x   sin 2 x  cos 2 x  dx  3sin 2 x cos 2 xdx 3 2   sin 4 xdx � sin 4 xdx   d  sin 6 x  cos 6 x  2 3  4   6 6 sin 4 x 2 4 d  sin x  cos x  2 4 6 6 dx   � 6   ln  sin x  cos x  4  ln 2 Vậy : � 6 6 6 cos x  sin x 3 0  sin x  cos x  3 3 0 0  4    4 4 dx 1 dx 1 3 � 4 � 2 � 1  tan x  d  t anx   �t anx+ tan x �4  d. � 4  � 2  2 cos x 0 cos x cos x 0 3 � �0 3 0 Ví dụ 12. Tính các tích phân sau .  4  sin xdx ( HVQHQT-96) a. � 11 b. � sin 2 x cos 4 xdx (NNI-96) 0  4 0  c. � cos x cos 4 xdx (NNI-98 ) d. 2 �1  cos2x dx (ĐHTL-97 ) 0 0 Giải:  sin11 xdx a. � 0 Ta có : sin11 x  sin10 x.s inx=  1-cos 2 x  s inx=  1-5cos 2 x  10 cos3 x  10 cos 4 x  5cos5 x  cos 6 x  s inx 5   1-5cos 2 x  10 cos3 x  10 cos 4 x  5cos5 x  cos6 x  s inxdx Cho nên : I  � 0 5 5 5 �1 � 118  � cos 7 x  cos 6 x  2 cos5 x  cos 4 x  cos3 x  cosx �  6 2 3 21 �7 �0 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 12 TÀI LIỆU THPT HAY  4 b. � sin 2 x cos 4 xdx 0 Hạ bậc : 2 1  cos2x � 1  cos2x � 1 � � 2 sin x cos x  � � � �  1  cos2x   1  2cos 2 x  cos 2 x  2 2 8 � � � � 1   1  2 cos 2 x  cos 2 2 x  cos2x-2cos 2 2 x  cos 3 2 x  8 1 1� 1+cos4x 1+cos4x � � �   1  cos2x-cos 2 2 x  cos3 2 x   � 1  cos2x cos2x � � � 8 8� 2 � 2 � � 2 4 1 1 cos6x+cos2x � 1  cos2x-cos4x+  1  cos2x-cos4x+cos4x.cos2x   � � � 16 16 � 2 � 1  2  3cos 2 x  cos6x-cos4x  32   4  1 3 1 1 �1 � sin 6 x  sin 4 x �4  Vậy I  �  2  3cos 2 x  cos6x-cos4x  dx  � x  sin 2 x  32 64 32.6 32.4 �32 �0 0 �2 �  � � 2 cosx dx  2 �� cosxdx  � cosxdx � d. �1  cos2x dx  �2 cos xdx  2 �  0 0 0 �0 � � 2 � �  � �  2� s inx 2  s inx  � � 2  1  1  2 2 � 0 2� � �    III. MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG 1. Trong phương pháp đổi biến số dạng 2. b b 0 0 f ( x)dx  � f (b  x )dx * Sử dụng công thức : � Chứng minh : �x  0 � t  b �x  b � t  0  Đặt : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt , � �  Do đó : b 0 b b 0 b 0 0 f ( x)dx  � f (b  t )( dt )  � f (b  t ) dt  � f (b  x)dx . Vì tích phân không phụ � thuộc vào biến số Ví dụ : Tính các tích phân sau a.  2  2 4sin xdx �  s inx+cosx  3 0  4 c. � log 2  1  t anx  dx 0 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 5cos x  4sin x b. � dx 3 0 d.  s inx+cosx   2 sin 6 x dx � sin 6 x  cos6 x 0 Page 13 TÀI LIỆU THPT HAY 1 x  1  x  dx e. � n m f. 0  2 sin 4 x cos x dx � sin 3 x  cos3 x 0 Giải:  2 a. I  � 4sin xdx 0  s inx+cosx  3 .(1) . Đặt :   � dt  dx, x  0 � t  ; x  � t  0 � 2 2 � � �   � 4sin �  t � t   x � x  t � � 4 cos t �2 � 2 2 �f ( x)dx  dt    dt  f (t )dt 3  3 cost+sint �   � �  � � � � sin �  t � cos �  t � � � � 2 2 � � � � � � � Nhưng tích phân không phụ thuộc vào biến số , cho nên :  2 0 4cosx I � f (t )dt  � dx 3  0  sinx+cosx   2 2  2 Lấy (1) +(2) vế với vế ta có : 2 I  � 0 4 s inx+cosx   s inx+cosx  3  2 1 dx � I  2 � dx 2 0  s inx+cosx   2  1 � � � I  2� dx  tan �x  �2  2 � � 4 �0 0 2 cos 2 � �x  � � 4�  2 5cos x  4sin x b. I  � dx . Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau : 3 0  s inx+cosx   2  2 0 5cos x  4sin x 5sin t  4 cos t 5sin x  4cosx I � dx   � dt  � dx 3 3 3   cost+sint  0  s inx+cosx  0  s inx+cosx   2 2  2 1 2 Vậy : 2 I  �  s inx+cosx  0  2  1 1 1 � � dx  � dx  tan �x  �2  1 � I  � 2 2 � 4 �0 0 2 cos 2 � �x  � � 4�  4 c. � log 2  1  t anx  dx . Đặt : 0   � dx  dt , x  0 � t  ; x  � t  0 � 4 4   � t   x � x  t � � � 4 4 � � �f ( x)dx  log 2  1  t anx  dx  log 2 � 1  tan �  t �  dt  � � � �4 � � � � 2 � 1  tan t � 1  dt   log 2  dt   log 2 2  log 2 t Hay: f (t )  log 2 � � 1  tan t � 1  tan t � TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 14 TÀI LIỆU THPT HAY  4  4    f (t )dt  � dt  � log 2 tdt � 2 I  t 4  � I  Vậy : I  � 4 8  0 0 0 4 0  2 6 d. I  � 6sin x sin x  cos 6 x 0 dx (1)  � � sin 6 �  t � 2 cos6 x �2 � d  t  dx  I (2)   � 6 � � 6 � � � cos6 x  sin 6 x  0 sin �  t � cos �  t � 2 �2 � �2 �    6 6 2 2 cos x  sin x   dx  � dx  x 2  � I  Cộng (1) và (2) ta có : 2 I  � 6 6 cos x  sin x 2 4 0 0 0 0 1 x m  1  x  dx . Đặt : t=1-x suy ra x=1-t . Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx e. � n 0 0 1 1 t (1  t ) dt  � x n (1  x) m dx  1  t  t (dt )  � Do đó : I  � m 1 n n m 0 0 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN  2 4sin 2 x 1. � dx 1  c osx 0 2.  2 s inxcos3 x 3. � dx 2 0 4. 1  cos x 1 7. 6 s inx+2cosx dx � 3sin x  cosx x  s inx �cos x 2 dx ( HVNHTPHCM-2000 ) x sin x  2 1  s inx � ( CĐSPKT-2000 ) � 8. � ln � dx � ( CĐSPHN-2000) �1+cosx � 0 x sin x dx (ĐHYDTPHCM-2000 ) 9. � 9  4 cos 2 x 0  0  3 (XD-98 ) dx ( AN-97 ) 6. � 2  cos 2 x 0 0  cosx+2sinx dx � 4 cos x  3sin x 0  x 5  1  x 3  dx (ĐHKT-97 ) 5. � 0  4  4 10.  2 sin 4 x cos x dx � sin 3 x  cos3 x 0 asinx+bcosx+c dx a 's inx+b'cosx+c' * Dạng : I  �  Cách giải :  Ta phân tích : asinx+bcosx+c � a 's inx+b'cosx+c'  dx  A  B  a ' cosx-b'sinx  C  a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c' - Sau đó : Quy đồng mẫu số TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 15 TÀI LIỆU THPT HAY - Đồng nhất hai tử số , để tìm A,B,C . - Tính I :   � B  a ' cosx-b'sinx  � C dx I �  dx   Ax+Bln a 's inx+b'cosx+c'   C � �A  �  a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c' � �  a 's inx+b'cosx+c'  VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ . Tính các tích phân sau : a.  2 s inx-cosx+1 dx � s inx+2cosx+3 ( Bộ đề ) b. 0  2  4 cosx+2sinx dx � 4 cos x  3sin x ( XD-98 ) 0  2 c. �s inx+7cosx+6 dx 4sin x  3cos x  5 0 4 cos x  3sin x  1 d. � dx 4 sin x  3 cos x  5 0 Giải: a.  2 B  cosx-2sinx  s inx-cosx+1 C s inx-cosx+1 f ( x)   A  . Ta có : dx � s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 0  1 Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai tử số : 1 � �A   5 �A  2 B  1 � A  2 B  s inx+  2A+B  cosx+3A+C  3 � � � f ( x)  �� 2 A  B  1 � �B   . Thay vào (1) s inx+2cosx+3 5 � � 3A  C  1 � � 4 C � � 5  2    2 2 1  3 4 � 1 � 3 d  s inx+2cosx+3 4 I�  � dx  �  � dx    ln s inx+2cosx+3 2  J � 5 � 5 0 s inx+2cosx+3 5 0 s inx+2cosx+3 10 5 5 0� 0  3 4 4 I    ln  J  2  10 5 5 5 - Tính tích phân J :  � 1 dx dt  ; x  0 � t  0, x  � t  1 � x 2 cos 2 2 � 1 x 2dt � 2 t  tan � � J  Đặt : � . (3) 2 � 1 2dt 2dt 2 � 0  t  1  2 f ( x )dx   � 2t 1 t 2 1  t 2 t 2  2t  3  2  3 � 1 t 2 1 t 2 � � du 2 dt  2 .t  0 � tan u   u1 ; t  1 � tan u  2  u2 � 2 c os u 2 � Tính (3) : Đặt : t  1  2 tan u � � 1 2du 2  du �f (t ) dt  2 2 cos u 2 � cos 2u � TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 16 TÀI LIỆU THPT HAY � 2 �tan u1  2 � �tan u  2 � 2 u2 2 2  3 4 4 2  u2  u1  Vậy : j= � du   u2  u1  � I  I    ln  2 2 10 5 5 5 2 u  4 B  3cos x  4sin x  cosx+2sinx C  A  �  1 4 cos x  3sin x 4 cos x  3sin x 4 cos x  3sin x 0 2 1 Giống như phàn a. Ta có : A  ; B   ;C=0 5 5   4 �2 1  3cos x  4sin x  � �2 1 �  1 4 2 dx  � x  ln 4 cos x  3sin x �4   ln Vậy : I  � � � 5 5 4 cos x  3sin x � �5 5 7 �0 10 5 0� b. cosx+2sinx dx; � 4 cos x  3sin x f ( x)  Học sinh tự áp dụng hai phần giải trên để tự luyện . BÀI TẬP  2 3 sin 3 x  s inx cot x dx 1. � sin 3 x  2.  2  2  cos5 x  sin 5 x  dx � 4. 0 5. 7. s inx-cosx dx � 1  sin 2 x 0 6. s inxcosx �a cos x  b 2 0  3 2 2 1  sin 2 x sin x dx sin 2 x  � 6  2  4  2 3cosx  4sin x dx 2 x  4 cos 2 x � 3sin 0 3 3.  2 2 sin x dx  a, b �0  15sin � 8. � tan 6 xdx 0 10. cos4x.cos2x.sin2xdx �  6  6 tan 4 x . ( KA-08) 11. � dx cos2x 0 13.  cos x  1 cos xdx � 2 2 . (KA-09 ) 0  3 1  x sin x . (KB-2011) 15. � dx 2 17. 0  3 3 x cos 3xdx   2  3 0 ln  s inx  9. � 2 dx cos x   2 4 cos x x sin 2 x dx . CĐST-05) � sin 2 x cos 2 x 0 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  2 � � sin �x  � � 4� 12. dx . (KB-08) � sin 2 x  2  1  s inx+cosx  0  4 14. 16. 18.  4 x sin x   x  1 cosx dx . (KA-2011 ) x sin x  cosx � 0  2 sin 2 x �cos x  4sin 0  2 2 2 x dx . (KA-06) sin 2004 x dx .( CĐSPHN-05) � sin 2004 x  cos 2004 x 0 Page 17 TÀI LIỆU THPT HAY  6 sin 3 x  sin 3 x . ( CĐHY-06) 19. � dx 1  cos3x 0  3 dx 20.  �  �. CĐSPHN-06) s inxsin �x+ � 6 � 3� �  2 3 21. � sin 2 x  1  sin 2 x  dx . ( CĐKT-06) 0 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 18