[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Chủ đề 2:
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng toán lập phương trình mặt phẳng tương đối đa dạng, nhưng trong chủ đề mở đầu này, chúng
tôi chỉ đề cập những dạng bài tập phù hợp với bước đầu tiếp cận. Còn các dạng toán nâng cao, sẽ được trình
bày cụ thể và nâng cao sau.
I- LÝ THUYẾT:
1- Vectơ pháp tuyến- phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng:
1-1. Vectơ pháp tuyến của mp :
n 0
n a; b; c là một vectơ pháp tuyến của mp
.
n
* Nhận xét:
Nếu hai vectơ u , v không cùng phương và chúng có giá song song, hoặc nằm trên mp
thì chọn được 1 vectơ pháp tuyến của mp : n u, v
1-2. Phƣơng trình tổng quát của mp ( ) :
Mặt phẳng ( ) qua M0 x0 ; y0 ; z0 và có một vectơ pháp tuyến là n a; b; c a2 b2 c 2 0 .
( ) : a x x0 b y y0 c z z0 0
ax by cz d 0 (1)
Ngược lại, mặt phẳng có phương trình tổng quát dạng (1) thì chọn được 1 vectơ pháp
z
tuyến là: n a; b; c .
C
1-3. Phƣơng trình các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz).
Mp (Oxy): z 0
Mp (Oyz): x 0
Mp (Oxz): y 0
O
x
B
A
y
1-4. Phƣơng trình mặt phẳng chắn Ox, Oy, Oz:
Mp cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A a; 0; 0 , B 0; b; 0 , C 0; 0; c ; abc 0 .
:
x y z
1
a b c
2- Khoảng cách:
Dạng 1: Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng
Phương pháp:
Điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và mp : ax by cz d 0
d M 0 ;
Hệ quả:
M0
ax0 by0 cz0 d
H
a2 b2 c 2
* M0 d M0 ; 0 .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
1
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
* d M0 ; M0 H , với M0 H ( ) , H .
Dạng 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Phương pháp:
Cho hai mặt phẳng song song , với:
: ax by cz d 0
: ax by cz D 0 , d D
A
H
Lúc đó:
d ; d A;
dD
a2 b2 c 2
, với A
3- Góc giữa hai mặt phẳng:
Phương pháp:
Cho 2 mặt phẳng:
Mp có 1 vectơ pháp tuyến là n1 a1 ; a2 ; a3 .
Mp có 1 vectơ pháp tuyến n2 b1 ; b2 ; b3 .
Gọi , , 00 900.
n1 .n2
a1b1 a2 b2 a3b3
Lúc đó: cos
2
2
2
2
2
2
n1 . n2
a1 a2 a3 . b1 b2 b3
Nhận xét:
n1 n2 a1b1 a2b2 a3b3 0
4- Thuật toán và một số nhận xét quan trọng:
4-1. Thuật toán:
LẬP PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Bước 1: Xác định 1 điểm M0 x0 ; y0 ; z0 .
Bước 2: Xác định 1 vectơ pháp tuyến của mp là n a; b; c .
Bước 3: Áp dụng công thức:
( ) : a x x0 b y y0 c z z0 0
ax by cz d 0 (1)
4-2. Nhận xét: Cho mp :
ax by cz d 0
Mp / / thì có dạng:
ax by cz m 0
; m d
II- BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:
Bài tập 1: Cho mặt phẳng ( P) : 2x 5y 7 z 1 0.
a) Hãy xác định 1 vectơ pháp của mp ( P).
b) Xác định m sao cho A 2m 1; m 2; m 1 thuộc ( P).
c) Tìm giao điểm của ( P) với các trục toạ độ.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
2
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
Lời giải:
a) Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến là: nP 2; 5; 7 .
b) Ta có: A mp P : 2 2m 1 5 m 2 7 m 1 1 0 2m 16 0 m 8.
1
1
1
c) Mp P Ox M ; 0; 0 . Mp P Oy N 0; ; 0 . Mp P Oz K 0; 0; .
5
7
2
Bài tập 2: Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:
a) Qua A 1; 0; 2 và song song với mp (Oxy).
b) Qua M 2; 1; 3 và vuông góc với Ox.
c) Qua I 1; 2; 4 và song song với mp(P): 2x 3y 5z 1 0.
d) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A 1; 3; 2 , B 1;1; 0 .
Lời giải:
a) Cách 1: Do mp / / mp(Oxy) nên có dạng: z m 0 ; m 0 .
Mặt khác: A 1; 0; 2 2 m 0 m 2.
Vậy : z 2 0 .
Cách 2: Do mp / / mp(Oxy): z 0 nên nhận n 0; 0;1 làm 1 vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng qua A 1; 0; 2 có 1 vectơ pháp tuyến là n 0; 0;1 , có phương trình:
: 0 x 1 0 y 0 1 z 2 0 z 2 0.
b) Do mp trục Ox nên nhận n 1; 0; 0 làm 1 vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng qua A 1; 0; 2 có 1 vectơ pháp tuyến là n 1; 0; 0 , có phương trình:
: 1 x 1 0 y 0 0 z 2 0 x 1 0.
c) Do mp / / mp(P) nên có dạng: 2x 3y 5z m 0 ; m 1.
Mặt khác: A 1; 0; 2 12 m 0 m 12.
Vậy : 2x 3y 5z 12 0 .
d) Gọi I là trung điểm AB I 0; 2;1 .
Mặt phẳng đi qua I 0; 2;1 và nhận AB 2; 2; 2 làm 1 vectơ pháp tuyến, có phương
/
/
trình:
:
2 x 0 2 y 2 2 z 1 0 x y z 3 0 .
Bài tập 3: Viết phương trình mp qua 3 điểm A 1; 2; 3 , B 2; 4; 3 , C 4; 5; 6 .
Lời giải:
Ta có: AB 3; 6; 0 , AC 5; 3; 3 .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
3
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
n AB
Gọi n là 1 vectơ pháp tuyến của , ta có: chọn n AB, AC 18; 9; 39 .
n AC
Mặt phẳng đi qua A 1; 2; 3 và nhận n 18; 9; 39 làm 1 vectơ pháp tuyến, có phương
trình : 18 x 1 9 y 2 39 z 3 0 6x 3y 13z 39 0.
Bài tập 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 hình chiếu của M 1; 3;1 lên các trục toạ độ.
Lời giải:
Hình chiếu của M 1; 3;1 trên Ox là điểm M1 1; 0; 0 .
Hình chiếu của M 1; 3;1 trên Oy là điểm M2 0; 3; 0 .
Hình chiếu của M 1; 3;1 trên Oz là điểm M3 0; 0;1 .
Mặt phẳng M1 M2 M3 là mặt phẳng chắn các trục tọa độ, có phương trình:
M M M :
1
2
3
x y z
1 3x y 3z 3 0.
1 3 1
Bài tập 5: Cho mặt phẳng : 2x 3y z 7 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua
A 1;1; 0 , B 1; 2; 7 và vuông góc với mặt phẳng .
Lời giải:
Ta có: AB 2;1;7 .
Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến: n 2; 3; 1 .
n AB
Gọi n là 1 vectơ pháp tuyến của P , ta có: chọn n AB, n 22; 14; 4 .
n n
Mặt phẳng P đi qua A 1;1; 0 và nhận n 22; 14; 4 làm 1 vectơ pháp tuyến, có phương
trình P : 22 x 1 14 y 1 4 z 0 0 11x 7 y 2z 18 0.
Bài tập 6: Viết phương trình mặt phẳng qua M 0; 2; 1 , song song với Ox và vuông góc với mp
(P): x y z 0.
Lời giải:
Mặt phẳng P có 1 vectơ pháp tuyến: nP 1; 1;1 .
n i 1; 0; 0
chọn n i , n 0; 1; 1 .
Gọi n là 1 vectơ pháp tuyến của P , ta có:
n nP
Mặt phẳng P đi qua M 0; 2; 1 và nhận n 0; 1; 1 làm 1 vectơ pháp tuyến, có phương trình:
P : 0 x 1 1 y 1 1 z 0 0 y z 1 0.
Bài tập 7: Viết phương trình mặt phẳng qua A 3; 0;1 và vuông góc với hai mặt phẳng
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
4
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
(P): 2x 3y z 2 0 và (Q): x 5y 2z 1 0.
Lời giải:
Mặt phẳng P có 1 vectơ pháp tuyến: nP 2; 3; 1 .
Mặt phẳng Q có 1 vectơ pháp tuyến: nQ 1; 5; 2 .
n nP
Gọi n là 1 vectơ pháp tuyến của , ta có: chọn n nP , nQ 1; 5; 13 .
n nQ
Mặt phẳng đi qua A 3; 0;1 và nhận n 1; 5; 13 làm 1 vectơ pháp tuyến, có phương
trình : 1 x 3 5 y 0 13 z 1 0 x 5 y 13z 10 0.
Bài tập 8: Viết phương trình mặt phẳng qua M 1; 2; 3 và cắt 3 trục toạ độ ở 3 điểm phân biệt
và cách đều gốc toạ độ.
Lời giải:
Gọi Ox A a; 0; 0 , Oy B 0; b; 0 , Oz C 0; 0; c . a.b.c 0
x y z
1.
a b c
1 2 3
Do M 1; 2; 3 : 1 (*)
a b c
Lúc đó, mặt phẳng :
a b
Theo giả thiết: OA OB OC a b c
a c
TH 1: b a, c a . Thay vào (*) ta có phương trình:
Lúc đó, :
1 2 3
6
1 1 a 6.
a a a
a
x y z
1 x y z 6 0.
6 6 6
1 2 3
1 0 1 (Không thỏa)
a a a
1 2 3
2
TH 3: b a, c a . Thay vào (*) ta có phương trình:
1 1 a 2.
a a a
a
x y z
Lúc đó, :
1 x y z 2 0.
2 2 2
1 2
3
4
1
1 a 4.
TH4: b a, c a . Thay vào (*) ta có phương trình:
a a a
a
x y z
1 x y z 4 0.
Lúc đó, :
4 4 4
TH 2: b a, c a . Thay vào (*) ta có phương trình:
Bài tập 9: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 1;1;1 , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các
điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Lời giải:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
5
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
Gọi Ox A a; 0; 0 , Oy B 0; b; 0 , Oz C 0; 0; c . a 0, b 0, c 0
x y z
1.
a b c
1 1 1
Do M 1;1;1 : 1 (*)
a b c
Ta có: OA a; 0; 0 , OB 0; b; 0 , OC 0; 0; c .
Lúc đó, mặt phẳng :
1
OA, OB 0; 0; ab VOABC
6
OA, OB OC abc .
6
1 1 1
Từ (*), áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương , , :
a b c
1 1 1
3
3
1
abc 27.
3
a b c 3 abc
abc
abc 27 9
9
1 1 1
. Ta có: min VOABC khi a b c .
6
6 2
2
a b c
x y z
Kết hợp (*) ta được: a b c 3 : 1 x y z 3 0.
3 3 3
Suy ra: VOABC
Bài tập 10: Lập phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm G 1; 2; 3 và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam
giác ABC.
b) Đi qua điểm H 2;1;1 và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm tam
giác ABC.
Lời giải:
a) Phân tích: Sử dụng mặt phẳng chắn các trục tọa độ.
Gọi Ox A a; 0; 0 , Oy B 0; b; 0 , Oz C 0; 0; c a.b.c 0 .
Lúc đó, :
x y z
1.
a b c
xA xB xC
a
xG
3 1
3
a 3
y A yB yC
b
Theo giả thiết, G là trọng tâm ABC yG
2 b 6.
3
3
c 9
z
z
z
c
A
B
C
3
z
G
3
3
x y z
Vậy : 1 6 x 3 y 2 z 18 0.
3 6 9
b) Phân tích: Sử dụng mặt phẳng chắn các trục tọa độ và điều kiện H là trực tâm của ABC.
Gọi Ox A a; 0; 0 , Oy B 0; b; 0 , Oz C 0; 0; c ; a.b.c 0 .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
6
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
x y z
1 . Ta có: AH 2 a;1;1 , BC 0; b; c , BH 2;1 b;1 , AC a; 0; c .
a b c
AH.BC 0
Theo giả thiết, H là trực tâm ABC BH .AC 0
H
Lúc đó, :
b c
b c 0
a 3
c
x y z
2a c 0 a
b 6 : 1 2 x y z 6 0.
2
3 6 6
2 1 1
c 6
2
1
1
1
a b c
a b c 1
Bài tập 11: Cho hai điểm A 0; 0; 3 , B 2; 0; 1 và mặt phẳng (P): 3x 8 y 7 z 1 0 . Tìm tọa độ
điểm C trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều.
Lời giải:
Gọi C 8b 7c 2; 3b; 3c 1 P .
AB 2; 0; 2 ; AC 8b 7 c 2; 3b; 3c 4 ; BC 8b 7 c 4; 3b; 3c 2 .
AB AC
Theo giả thiết, ABC đều
AB BC
8b 7c 2 3b 3c 4
2
2 2
8b 7c 4 3b 3c 2
2
2 2
2
2
2
2
8b 7 c 2 2 3b 2 3c 4 2 8
2
2
2
2
2
2
8b 7 c 2 3b 3c 4 8b 7 c 4 3b 3c 2
2
2
2
2
2
2
8b 7 c 2 3b 3c 4 8
8b 14b 2 3b 6b 4 8
c
2
b
c 2 b
2
2
2
2
2
2
6b 2 3b 6b 4 8
81b 72b 12 0
b b
9
3
c
2
b
c
2
b
c 2 b
2
4
2 2 1
+ Với b c C1 ; ; .
9
9
3 3 3
2
4
+ Với b c C2 2; 2; 3 .
3
3
Cách khác:
+ Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của AB.
+ Bước 2: Lập phương trình đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q).
+ Bước 3: Điểm C cần tìm: Nằm trên d và thỏa: AB BC.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
7
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
Bài tập 12: (Khối B-2009) Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A 1; 2;1 , B 2;1; 3 , C 2; 1;1 và
D 0; 3;1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng
khoảng cách từ D đến (P).
Lời giải:
Phân tích: Rõ ràng, tồn tại 2 mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu, một là mặt phẳng qua AB và song song CD,
hai là mặt phẳng qua AB và trung điểm của CD.
TH 1: Mặt phẳng (P) qua A, B và (P) song song với CD.
Ta có: AB 3; 1; 2 , CD 2; 4; 0
n AB
Gọi nP là 1 vectơ pháp tuyến của (P). Ta có: P chọn nP AB, CD 8; 4; 14 .
nP CD
Lúc đó, mặt phẳng (P) có phương trình: 8 x 1 4 y 2 14 z 1 0 4x 2 y 7 z 15 0 .
TH 2: Mặt phẳng (P) qua A, B và trung điểm I của CD.
Gọi I là trung điểm CD I 1;1;1 .
Ta có: AB 3; 1; 2 , AI 0; 1; 0 .
Gọi nP là 1 vectơ pháp tuyến của (P). Ta có:
n AB
P
chọn nP AB, AI 2; 0; 3 .
nP AI
Lúc đó, mặt phẳng (P) có phương trình: 2 x 1 0. y 2 3. z 1 0 2x 3z 5 0 .
Kết luận: Vậy có 2 mặt phẳng (P): 4x 2 y 7 z 15 0 , 2x 3z 5 0 .
Cách 2: Sử dụng công thức khoảng cách.
Bài tập 13: Cho hai mặt phẳng P : x 2 y 3z 1 0 và Q : mx 2 y m2 2 z 0 .
Tìm m để:
b) P / / Q . Khi đó, tính khoảng cách giữa P và Q .
a) P Q .
Lời giải:
Mặt phẳng P có 1 vectơ pháp tuyến là nP 1; 2; 3 .
Mặt phẳng Q có 1 vectơ pháp tuyến là nQ m; 2; m2 2 .
a) Để P Q nP .nQ
0 m 4 3 m 2 0 3m m 10 0 vô nghiệm.
2
2
Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán.
m 2 m2 2
m 1.
b) Để P / / Q nP và nQ cùng phương
1 2
3
Kiểm tra lại với m 1 Q : x 2 y 3z 0 / / P .
Chọn O 0; 0; 0 Q d P ; Q d O; P
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
1
14
8
14
.
14
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
III- BÀI TẬP TỰ LUẬN TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Lập phương trình mặt phẳng , trong các trường hợp sau:
a) Đi qua A 1; 2;1 và có 1 vectơ pháp tuyến n 1; 3; 2 .
b) Qua A 2; 0; 1 và song song với mp ( ) : x y 0.
Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có A 5;1; 3 , B 1; 6; 2 , C 5; 0; 4 , D 4; 0; 6 .
a) Viết phương trình mp(BCD).
b) Viết phương trình mp qua A, B và song song với CD.
c) Gọi G là trọng tâm BCD. Viết phương trình mp qua G và song song (ABC).
Bài tập 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A 0;1; 1 , B 2;1;1 và vuông góc với
mặt phẳng (P): x y 3z 4 0.
Bài tập 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (Q):
x y 2z 1 0.
Bài tập 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A 1; 2;1 , song song với trục Oz và vuông góc với
mặt phẳng : x 2 y 4 0 .
Bài tập 6: Lập phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm G 1; 2;1 và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam
giác ABC.
b) Đi qua điểm H 1;1; 1 và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm
tam giác ABC.
Bài tập 7: Cho tứ diện ABCD với A 1; 0;1 ; B 1;1; 2 ; C 1;1; 0 ; D 2; 1; 2 . Lập phương trình
mặt phẳng (P) qua A, B và cách đều C, D.
Bài tập 8: (CĐ- 2014) Cho điểm A 2;1; 1 , B 1; 2; 3 và mặt phẳng (P): x 2 y 2z 3 0 . Tìm tọa
độ hình chiếu của A trên (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B và vuông góc với (P).
Bài tập 9: (CĐ- 2011) Cho hai điểm A 1; 2; 3 , B 1; 0; 5 và mặt phẳng (P): 2x y 3z 4 0 . Tìm
tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho A, B, M thẳng hàng.
Bài tập 10: (CĐ- 2009) Cho các mặt phẳng P1 : x 2 y 3z 4 0 và P2 : 3x 2 y z 1 0 . Viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A 1;1;1 , vuông góc với hai mặt phẳng P1 và P2 .
Bài tập 11: (TN 2011)
1) Cho điểm A 3;1; 0 và mặt phẳng (P): 2x 2 y z 1 0 .
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi
qua điểm A và song song với mặt phẳng (P).
b) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P).
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
9
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
2) Cho ba điểm A 0; 0; 3 , B 1; 2;1 và C 1; 0; 2 .
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Tìm độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A.
Bài tập 12: (TN 2014) Cho điểm A 1; 1; 0 và mặt phẳng (P): 2x 2 y z 1 0 .
a) Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với (P).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho AM vuông góc OA và độ dài đoạn AM bằng
ba lần khoảng cách từ A đến (P).
Bài tập 13: (D- 2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 3; 2 và mặt phẳng
(P): x 2 y 2z 5 0 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng đi
qua A và song song với (P).
Bài tập 14: (B- 2012) Cho A 0; 0; 3 , M 1; 2; 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các
trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.
Bài tập 15: (A- 2011) Cho hai điểm A 2; 0;1 , B 0; 2; 3 và mặt phẳng P : 2x y z 4 0. Tìm
tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA MB 3 .
Bài tập 16: (D- 2010) Cho hai mặt phẳng P : x y z 3 0 và Q : x y z 1 0. Viết phương
trình mặt phẳng R vuông góc với P , Q sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng
R bằng 2.
Bài tập 17: (B-2008) Cho ba điểm A 0;1; 2 , B 2; 2;1 , C 2; 0;1 .
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
b) Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x 2 y z 3 0 sao cho MA MB MC .
Bài tập 18: Dự bị 1-A-2007 Cho 2 điểm A 1; 3; 2 , B 3;7; 18 và mp P : 2x y z 1 0 .
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P) .
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MA MB nhỏ nhất.
Bài tập 19: Dự bị 1–B-2007 Cho các điểm A 3; 5; 5 , B 5; 3;7 và mặt phẳng P : x y z 0 .
a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
b) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA2 MB2 nhỏ nhất.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
10
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
HỆ THỐNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP:
Dạng toán:
LẬP PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và / / P ; A P .
Phương pháp:
+ Mặt phẳng đi qua A
+ Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là nP .
Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và d (đặc biệt d Ox )
Phương pháp:
+ Mặt phẳng đi qua A
+ Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là
u 1; 0; 0 .
Bài toán 3: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và P , Q .
Phương pháp:
+ Mặt phẳng đi qua A
n nP
+ Ta có:
n nQ
Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là
n nP , nQ .
Bài toán 4: Lập phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
Phương pháp:
+ Mặt phẳng đi qua A
n AB
+ Ta có:
n AC
Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là
n AB, AC .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
11
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
Bài toán 5: Lập phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm phân biệt A, B và / /d .
Phương pháp:
+ Mặt phẳng đi qua A
n AB
+ Ta có:
n ud
Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là
n AB, ud .
Bài toán 6: Lập phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm phân biệt A, B và P .
Phương pháp:
+ Mặt phẳng đi qua A
n AB
+ Ta có:
n nP
Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là
n AB, nP .
Bài toán 7: Lập phương trình mp chứa 1 đường thẳng d và 1 điểm không thuộc d .
Phương pháp:
+ Mặt phẳng đi qua A, B d
n AB
+ Ta có:
n ud
Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là
n AB, ud .
Bài toán 8: Lập phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song d / / d / .
Phương pháp:
+ Mặt phẳng đi qua A d / , B d
n AB
+ Ta có:
n ud
Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là
n AB, ud .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
12
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
Bài toán 9: Lập phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau d , d / .
Phương pháp:
+ Mặt phẳng đi qua A d
n u
+ Ta có:
/
n u
Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là
n u, u/ .
Bài toán 10: Lập phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với 2 đường thẳng
chéo nhau d , d / .
Phương pháp:
+ Mặt phẳng đi qua A d
n u
+ Ta có:
/
n u
Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là
n u, u/ .
Bài toán 11: Lập phương trình mặt phẳng đi qua A, song song với đường thẳng d ,
P .
Phương pháp:
+ Mặt phẳng đi qua A d
n u
+ Ta có:
n nP
Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là
n u, nP .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
13
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
IV- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LUYỆN TẬP:
Câu 1. Mặt phẳng tọa độ Oyz có 1 vectơ pháp tuyến là
A. n 1; 0; 0 .
B. n 0;1; 0 .
C. n 0; 0;1 .
D. n 1;1; 0 .
Lời giải:
Mặt phẳng tọa độ Oyz : x 0 1 vectơ pháp tuyến là n 1; 0; 0 Chọn đáp án A.
Câu 2. Cho điểm A 1; 2;1 và hai mp ( P) : 2x 4 y 6z 5 0 và (Q) : x 2 y 3z 0 . Mệnh đề nào
sau đây là đúng?
A. Mp(Q) đi qua A và song song với (P).
B. Mp(Q) không đi qua A và song song với (P).
C. Mp(Q) đi qua A và không song song với (P).
D. Mp(Q) không đi qua A và không song song với (P).
Lời giải:
Thay A 1; 2;1 vào phương trình mặt phẳng P , Q ta thấy A (Q) . Một vectơ pháp
tuyến của ( P) là n1 2; 4; 6 , một vectơ pháp tuyến của (Q) là n2 1; 2; 3 . Dễ thấy n1 2n2 ,
suy ra rằng ( P) song song với (Q) Chọn đáp án A.
Câu 3. Mặt phẳng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C; trọng tâm của tam giác là G 1; 3; 2 .
Phương trình mặt phẳng (P) là
A. x y z 5 0.
B. 2x 3y z 1 0.
C. x 3y 2z 1 0.
D. 6x 2 y 3z 18 0.
Lời giải:
( P) cắt Ox, Oy , Oz lần lượt tại A a; 0; 0 ; B 0; b; 0 ; C 0; 0; c ; abc 0 .
a
3 1
a 3
b
Tọa độ trọng tâm G 1; 3; 2 suy ra: 3 b 9 .
3
c 6
c
3 2
Phương trình mp ( P) qua A, B, C : P :
y z
x
1 6 x 2 y 3z 18 0 Chọn đáp án D.
3 9 6
Câu 4. Mặt phẳng nào sau đây song song với trục Oz?
A. y z 0.
B. 2x y 0.
C. 2x y 1 0.
D. 2x z 0.
Lời giải:
Chọn 1 vectơ chỉ phương của Oz là i 0; 0;1 và điểm A 0; 0;1 Oz . Kiểm tra sự vuông góc của
vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng và sự kiện A thuộc mặt phẳng Chọn đáp án C.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
14
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
Câu 5. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng PQ với P 4; 7; 4 , Q 2; 3; 6 là
A. 3x 5y 5z 8 0.
B. 3x 5y 5z 7 0.
C. 6x 10 y 10z 7 0.
D. 3x 5y 5z 18 0.
Lời giải:
PQ 6;10;10 . Trung điểm M của PQ có tọa độ: M 1; 2;1 .
Mặt phẳng trung trực của PQ đi qua M và nhận PQ 6;10;10 làm vectơ pháp tuyến, có
phương trình: 6 x 1 10 y 2 10 z 1 0 3x 5y 5z 8 0 Chọn đáp án A.
Câu 6. Gọi M1 , M2 , M3 lần lượt là điểm đối xứng của M 1; 2; 3 qua các mặt phẳng
Oxy , Oxz , Oyz . Phương trình mp M M M là
1
2
3
A. 6x 2 y 3z 6 0.
B. 6x 2 y 3z 6 0.
C. 6x 3y 2z 6 0.
D. 6x 3y 2z 6 0.
Lời giải:
Ta có: M1 1; 2; 3 ; M2 1; 2; 3 ; M3 1; 2; 3 . Suy ra: M1 M2 0; 4; 6 , M1 M3 2; 0; 6 và
M M , M M 24; 12; 8 1 6; 3; 2
1 2 1 3
4
Mp M1 M2 M3 qua M1 1; 2; 3 và nhận n 6; 3; 2 làm vectơ pháp tuyến, có phương trình:
6x 3y 2z 6 0 Chọn đáp án C.
Câu 7. Gọi
là mặt phẳng đi qua điểm A 1; 2; 3 và song song với mặt phẳng
: x 4y z 12 0 . Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của ?
A. x 4 y z 4 0.
B. x 4 y z 12 0.
C. x 4 y z 4 0.
D. x 4 y z 3 0.
Lời giải:
/ / nên có dạng : x 4y z m 0 , thay A 1; 2; 3 vào phương trình ( ) suy ra
m 4 , : x 4 y z 4 0 Chọn đáp án A.
Câu 8. Cho hai điểm A 1; 1; 5 và B 0; 0;1 . Mặt phẳng (P) chứa A, B và song song với Oy có
phương trình là
A. 4x z 1 0.
B. 4x y z 1 0.
C. 2x z 5 0.
D. y 4z 1 0 .
Lời giải:
AB 1;1; 4 , một vectơ chỉ phương của Oy là: u 0;1; 0
AB, u 4; 0; 1 .Phương trình mp ( P) qua A và nhận AB, u làm vectơ pháp tuyến:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
15
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
P : 4 x 1 z 5 0 P : 4x z 1 0 / /Oy Chọn đáp án A.
Câu 9. Mặt phẳng (P) chứa trục Oz và điểm A 2; 3; 5 có phương trình là
A. 2x 3y 0.
B. 2x 3y 0.
C. 3x 2 y 0.
D. 3x 2 y z 0.
Lời giải:
Một vectơ chỉ phương của Oz là: u 0; 0;1 , OA 2; 3; 5 .
u, OA 3; 2; 0 . Phương trình ( P) : 3 x 2 2 y 3 0 3x 2 y 0 Chọn đáp án C.
Câu 10. Cho điểm I 2; 6; 3 và các mặt phẳng : x 2 0, : y 6 0, : z 3 0 . Tìm
mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
A. đi qua I.
B. / /Oz.
C. / / xOz .
D. .
Lời giải:
Một vectơ pháp tuyến của ( xOz) là n 0;1; 0 .
Một vectơ chỉ phương của ( ) là u 0;1; 0 . Suy ra xOz Chọn đáp án C.
Câu 11. Cho mặt phẳng đi qua 2 điểm E 4; 1;1 , F 3;1; 1 và song song với trục Ox. Phương
trình nào sau đây là phương trình tổng quát của ?
A. x y 0.
B. x y z 0.
C. y z 0.
D. x z 0.
Lời giải:
EF 1; 2; 2 ; Một vectơ chỉ phương của Ox là: n 1; 0; 0 . Ta có: EF , n 0; 2; 2 . Mặt
phẳng ( ) đi qua E 4; 1;1 và nhận EF , n 0; 2; 2 làm vectơ pháp tuyến, có phương trình:
y z 0 / /Ox Chọn đáp án C.
Câu 12. Cho hai mặt phẳng : 3x 2 y 2z 7 0 và : 5x 4 y 3z 1 0 . Phương trình mặt
phẳng qua gốc tọa độ O, đồng thời vuông góc với cả và là
A. 2x y 2z 1 0.
B. 2x y 2z 0.
C. 2x y 2z 0.
D. 2x y 2z 0.
Lời giải:
Một vectơ pháp tuyến của là: n1 3; 2; 2 .
Một vectơ pháp tuyến của là: n2 5; 4; 3 .
n1 , n2 2;1; 2 . Mặt phẳng qua O và nhận n1 , n2 2;1; 2 làm vectơ pháp tuyến, có phương
trình: 2x y 2z 0 Chọn đáp án B.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
16
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Câu
13.
Các
giá
trị
m, n, p
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
để
cặp
mặt
P : 2x 3y 5z p 0;
phẳng
Q : m 2 x n 1 y 10z 2 0 song song là
A. m 2, n 3, p 5.
B. m 2, n 3, p 1.
C. m 6, n 7, p 1.
D. m 6, n 4, p 2.
Lời giải:
Để P / / Q thì :
m 2 n 1 10
2
suy ra m 6, n 7, p 1 Chọn đáp án C.
2
2
3
5
p
Câu 14. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm
: 16x 12y 15z 4 0 . Độ dài của đoạn
A. 55.
B.
A 2; 1; 1
đến mặt phẳng
AH bằng
11
.
5
11
.
25
C.
22
.
5
D.
Lời giải:
Ta có AH d A;
16. 2 12. 1 15. 1 4
16 2 12 15
2
2
11
Chọn đáp án B.
5
Câu 15. Cho tứ diện ABCD với A 5; 0; 4 , B 1; 1; 2 , C 5; 1; 3 , D 0; 0; 6 . Phương trình mặt
phẳng qua A , B và song song với CD là
A. x 28 y 11z 9 0.
B. x 28 y 11z 49 0.
C. x 28 y 11z 49 0.
D. x 28 y 11z 19 0.
Lời giải:
AB 6;1; 2 ; CD 5; 1; 3 ; AB, CD 1; 28;11 . Mặt phẳng qua A, B và song song với
CD nhận AB, CD 1; 28;11 làm vectơ pháp tuyến có phương trình: x 28 y 11z 49 0 , kiểm
tra C Chọn đáp án C.
Câu 16. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng : 5x 2 y 3z 0 và : 5x 2 y 3z 11 0 bằng
A.
11
38
.
B.
2
.
15
C.
12
7 3
.
D.
7
.
3
Lời giải:
Lấy O 0; 0; 0 . Ta có: d ; d O;
11
52 ( 2)2 32
11
38
Chọn đáp án A.
Câu 17. Cho các điểm A 1;1;1 , B 3; 0; 2 và C 1; 0;1 . Phương trình mặt phẳng P đi qua ba
điểm A, B, C là
A. x 2 y 2z 5 0.
B. x 2 y 2z 3 0.
C. x 2 y 2z 1 0. D. x 2 y 2z 1 0.
Lời giải:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
17
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
AB 4; 1;1
Ta có:
AB, AC 1; 2; 2 .
AC 2; 1; 0
Mặt phẳng ABC qua A 1;1;1 và nhận AB, AC 1; 2; 2 làm vectơ pháp tuyến có phương
trình là: x 1 2 y 1 2 z 1 0 x 2 y 2z 1 0.
Chọn đáp án D.
Câu 18. Cho các điểm A 1; 1; 2 , B 0;1;1 và mặt phẳng P : x y z 1 0 . Phương trình mặt
phẳng Q đi qua A, B và vuông góc với P là
A. Q : x 2 y z 1 0.
B. Q : x 2 y z 5 0.
C. Q : x 2 y z 3 0.
D. Q : x 2 y z 1 0.
Lời giải
AB 1; 2; 3
AB, n P 1; 2; 1 .
Ta có:
n P 1;1;1
Phương trình mặt phẳng Q đi qua A và nhận AB, n P 1; 2; 1 làm vectơ pháp tuyến là:
x 1 2 y 1 z 2 0 x 2 y z 1 0 Chọn đáp án D.
Câu 19. Cho điểm A 1;1;1 và mặt phẳng P : 2x y 3z 1 0 . Phương trình mặt phẳng Q đi
qua A , vuông góc với mặt phẳng P và song song với Oy là
A. Q : 3x 2 z y 0.
B. Q : 3x 2z 1 0.
C. Q : 3x 2z 5 0.
D. Q : 3x 2z y 2 0.
Lời giải:
Ta có mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là: n P 2; 1; 3 .
Trục Oy có vectơ chỉ phương là: j 0;1; 0 n P , j 3; 0; 2 .
Mặt phẳng Q đi qua A 1;1;1 và nhận u P ; j 3; 0; 2 làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng Q là: 3x 2z 1 0 / /Oy Chọn đáp án D.
Câu 20. Hai mặt phẳng : 2x m 1 y 3z 5 0 , : n 1 x 6 y 6z 0 song song với nhau
khi và chỉ khi tích m.n bằng
A. 10.
B. 10.
C. 5.
D. 5 .
Lời giải:
m 2
2
m1 3
Ta có: //
; n 1
m.n 10 Chọn đáp án A.
n1
6
6
n 5
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
18
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
IV- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN:
Câu 1. Giả sử vectơ n 0 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Giá của vectơ n vuông góc với mặt phẳng .
B. kn k 0 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
C. Hai vectơ kn k 0 và n ngược hướng nhau.
1
D. n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
2
Câu 2. Phương trình mặt phẳng tọa độ Oxy là
A. x 0.
B. y 0.
C. z 0.
Câu 3. Mặt phẳng tọa độ Oxy có 1 vectơ pháp tuyến là
A. n 1; 0; 0 .
B. n 0;1; 0 .
C. n 0; 0;1 .
D. x y 0.
D. n 1;1; 0 .
Câu 4. Phương trình mặt phẳng tọa độ Oxz là
A. x 0.
B. y 0.
C. z 0.
Câu 5. Mặt phẳng tọa độ Oxz có 1 vectơ pháp tuyến là
A. n 1; 0; 0 .
B. n 0;1; 0 .
C. n 0; 0;1 .
D. x z 0.
D. n 1;1; 0 .
Câu 6. Phương trình mặt phẳng tọa độ Oyz là
A. x 0.
B. y 0.
C. z 0.
Câu 7. Mặt phẳng tọa độ Oyz có 1 vectơ pháp tuyến là
A. n 1; 0; 0 .
B. n 0;1; 0 .
C. n 0; 0;1 .
D. y z 0.
D. n 1;1; 0 .
Câu 8. Cho điểm A 1; 2;1 và hai mp ( P) : 2x 4 y 6z 5 0 và (Q) : x 2 y 3z 0 . Mệnh đề nào
sau đây là đúng?
A. Mp(Q) đi qua A và song song với (P).
B. Mp(Q) không đi qua A và song song với (P).
C. Mp(Q) đi qua A và không song song với (P).
D. Mp(Q) không đi qua A và không song song với (P).
Câu 9. Mặt phẳng 2x 3y z 1 0 cắt các trục tọa độ tại các điểm có tọa độ
1
A. ; 0; 0 ,
2
1
C. ; 0; 0 ,
2
1
0; 3 ; 0 , 0; 0;1 .
1
0; 3 ; 0 , 0; 0;1 .
1
B. 1; 0; 0 , 0; ; 0 , 0; 0;1 .
3
1
1
D. ; 0; 0 , 0; ; 0 , 0; 0; 1 .
3
2
Câu 10. Phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ lần lượt tại A a; 0; 0 , B 0; b; 0 , C 0; 0; c ;
abc 0 là
x y z
x y z
x y z
0.
B. 1.
C. 1.
D. ax by cz 1.
a b c
a b c
a b c
Câu 11. Mặt phẳng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C; trọng tâm của tam giác là G(1; 3; 2).
Phương trình mặt phẳng (P) là
A.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
19
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
A. x y z 5 0.
B. 2x 3y z 1 0.
C. x 3y 2z 1 0.
D. 6x 2 y 3z 18 0.
Câu 12. Cho A a; 0; 0 , B 0; b; 0 , C 0; 0; c , a, b, c là những số dương thay đổi sao cho:
1 1 1
2 . Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua điểm cố định có tọa độ
a b c
1 1 1
1 1 1
A. 1;1;1 .
B. 2; 2; 2 .
C. ; ; .
D. ; ; .
2 2 2
2 2 2
Câu 13. Mặt phẳng 4x y 3z 3 0 có vectơ pháp tuyến có tọa độ nào sau đây?
A. 1; 2; 2 .
B. 1; 2; 2 .
C. 1; 2; 2 .
D. 4; 1; 3 .
Câu 14. Mặt phẳng x y 3z 1 0 có vectơ pháp tuyến có tọa độ nào sau đây?
A. 1; 2; 2 .
B. 1; 2; 2 .
C. 1; 1; 3 .
D. 1; 1; 3
Câu 15. Vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: 2x y z 0 ?
A. n 2;1; 1 .
B. n 4; 2; 2 .
C. n 2; 1;1 .
D. n 2; 1;1 .
Câu 16. Vectơ nào sau đây vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: 2x y z 0 ?
A. a 2;1; 1 .
B. a 2;1;1 .
C. a 1; 2; 0 .
D. a 0;1; 2 .
Câu 17. Mặt phẳng nào sau đây chứa trục Ox?
A. y z 0.
B. 2x y 0.
C. 2x y z 0.
D. 2x z 0.
Câu 18. Mặt phẳng nào sau đây chứa trục Oy?
A. y z 0.
B. 2x y 0.
C. 2x y z 0.
D. 2x z 0.
Câu 19. Mặt phẳng nào sau đây song song với trục Oz?
A. y z 0.
B. 2x y 0.
C. 2x y 1 0.
D. 2x z 0.
Câu 20. Mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng (Oxy)?
A. 2z 0.
B. 2z 1 0.
C. 2x y 1 0.
D. 2x y 0.
Câu 21. Mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng (Oyz)?
A. 2z 0.
B. 2z 1 0.
C. 2x 0
D. 2x 1 0.
Câu 22. Mặt phẳng nào sau đây trùng với mặt phẳng (Oxz)?
A. 2z 0
B. 2z 1 0
C. 2x 0.
D. 2x 1 0.
Câu 23. Mặt phẳng x 2 y z 5 0 cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm có tọa độ
A. M 1; 0; 0 , N 0; 2; 0 và P 0; 0; 1 .
B. M 1; 0; 0 , N 0; 2; 0 và P 0; 0;1 .
1
2
1
5
C. M ; 0; 0 , N 0; ; 0 và P 0; 0 .
D. M 5; 0; 0 , N 0; ; 0 và P 0; 0; 5 .
5
5
5
2
Câu 24. Tọa độ điểm đối xứng của M 2; 5; 7 qua mặt phẳng Oxy là
A. 2; 5; 7 .
B. 2; 5; 7 .
C. 2; 5; 7 .
D. 2; 5; 7 .
Câu 25. Tọa độ điểm đối xứng của M 2; 5; 7 qua mặt phẳng Oxz là
A. 2; 5; 7 .
B. 2; 5; 7 .
C. 2; 5; 7 .
D. 2; 5; 7 .
Câu 26. Tọa độ điểm đối xứng của M 2; 5; 7 qua mặt phẳng Oyz là
A. 2; 5; 7 .
B. 2; 5; 7 .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
C. 2; 5; 7 .
20
D. 2; 5; 7 .
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- Xem thêm -
.PDF 
28 
580 
116 
