Tài liệu Chuyen de hinh hoc khong gian quan he song song

MỤC LỤC A. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN....................... 1. GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG..................................................................................... 2. GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG........................................................... 3. BA ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN THẲNG HÀNG.................................................................. 4. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUA MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH................................. 5. BA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN ĐỒNG QUY.................................................... B. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN...................................................................... 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN............................................... 2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG................................................................ 3. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.............................................................................................. 4. CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG PHẲNG................................................................................... C. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN..................................................................... 1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG............................................................... 2. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU........................................................................ 3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU................................................................... 4. GÓC............................................................................................................................................ 5. KHOẢNG CÁCH........................................................................................................................ 6. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP..................................................................................... D. THIẾT DIỆN CỦA HÌNH ĐA DIỆN............................................................................................. E. DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN............................................................................... Chuyên đề Hình học không gian A. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp 1 (a ) Cơ sở của phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng A - Bước 1: Tìm hai điểm chung - Bước 2: Đường thẳng AB và B (a) của (b) và cần thực hiện: (b) và . AB = (a) �(b) là giao tuyến cần tìm ( ). Bài tập áp dụng Bài 1. Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành (SAC ) a) Tìm giao tuyến của b) Gọi N là trung điểm Bài 2. Cho hình bình hành ABCD . . (SAN ) . Tìm giao tuyến của ABCD (MAC ) a) Tìm giao tuyến của b) Gọi N là trung điểm Bài 4. Cho hình chóp . có đáy (SAD) ; b) S.ABCD ABCD và có đáy a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng: b) Gọi là trung điểm của BC là hình thang ( và (SAC ) ; ABCD (ACD ) (AMN ) (MCD) và ; và . AB P CD (SBC ) (SAC ) N . không nằm trong mặt phẳng chứa hình bình hành . Tìm giao tuyến của (ABCD) và và (AMN ) Bài 3. Cho hình chóp giao tuyến của các mặt phẳng: a) M (ACD) (MBD) S.ABCD (SAB ) và điểm và BC . (SBD) và BC ABCD c) ). Tìm (SBD) và là tứ giác lồi ( AB > CD AD > CB . ). (SBD ) (SBC ) (SCD) (SAD) (SBC ) và , và , và . (SAN ) . Tìm giao tuyến của (ACD) (SAN ) (SCD) và , và . DH > SH KS > KC H SD K SC c) Gọi thuộc sao cho và thuộc sao cho . Tìm giao tuyến (AHK ) (SCD) (ABCD) (SAB ) của với các mặt phẳng , , . S.ABCD ABCD Bài 5. Cho hình chóp , đáy là tứ giác có các cạnh đối diện không song song. M SCD Lấy điểm thuộc miền trong tam giác . Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: Chuyên đề Hình học không gian (SBM ) (SCD ) a) và ; (ABM ) c) (ABM ) b) (SAC ) và (SCD) và (ABM ) ; d) ; (SAD) và . S.ABCD ABCD AB Bài 6. Cho hình chóp có đáy là hình thang nhận cạnh làm đáy lớn. Gọi SA, SC M E ,F SD là trung điểm . là một điểm tùy ý trên . Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: (SAC ) a) (SBD) (SAD) và ; (SBC ) b) và ABCD (MEF ) ; I c) (MAB ) và E ,F BD Bài 7. Cho tứ diện với là trung điểm . Gọi ABD CBD và . Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: (IEF ) a) (ABC ) và (IAF ) ; b) ABCD . I Bài 8. Cho tứ diện với là trung điểm cạnh ( IBC ) (DMN ) AC . Tìm giao tuyến của và . AD M ,N . Gọi A, B,C , D Bài 9. Cho bốn điểm không đồng phẳng BC . (MBC ) và là hai điểm trên cạnh ABCD BC lần lượt là trung điểm AD , và . AB và AC (MBC ) . Xác định giao tuyến của ACD M và điểm thuộc miền trong tam giác BD IJ CD và sao cho không song song với . (IJ M ) a) Tìm giao tuyến của M ,N AB (DNA) lần lượt là hai điểm nằm trên Bài 10. Cho tứ diện là hai điểm tùy ý trên . Gọi I ,J b) Cho (IJ D) . là trọng tâm của các tam giác (BEC ) và a) Xác định giao tuyến của . và I ,J . Gọi tương ứng (ACD) và . N JN L ABD AB b) Lấy điểm thuộc miền trong của tam giác sao cho cắt tại . Tìm giao tuyến (MNJ ) (ABC ) của và . Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD có (SAB ) a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng AB cắt CD tại E AC BD F , cắt tại . (SCD) (SAC ) (SBD) và , và . Chuyên đề Hình học không gian (SEF ) b) Tìm giao tuyến của (SAD) (SBC ) với các mặt phẳng , . 1 AI = IB 2 AB, AD I ,J ABCD Bài 12. Cho tứ diện . Gọi là các điểm nằm trên với , 3 AJ = J D (CIJ ) (BCD ) 2 . Tìm giao tuyến của và . I ,J ABCD K AB BC CD Bài 13. Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là các điểm trên cạnh , và sao 1 2 4 AI = AB BJ = BC CK = CD (IJ K ) (ABD ) 3 3 3 cho , , . Tìm giao tuyến của với . S ABCD Bài 14. Cho hình bình hành và không nằm trong mặt phẳng chứa hình bình hành. Gọi (MNE ) M ,N,E AB BC SD lần lượt là trung điểm của , , . Tìm giao tuyến của với các mặt (SAD) (SCD ) (SAB ) (SBC ) phẳng , , , . ABCD S Bài 15. Cho hình bình hành và không nằm trong mặt phẳng chứa hình bình hành. Gọi M ,E AB SD N B C lần lượt là trung điểm của , . là điểm đối xứng với qua . Tìm giao tuyến (MNE ) (SCD) (SBD) (SAD) (SAB ) của với các mặt phẳng , , và . (P ) ABCD M cho tứ giác lồi có các cạnh đối diện không song song. (P ) là một điểm không nằm trong mặt phẳng . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: Bài 16. Trong mặt phẳng (MAB ) a) (MCD) và (MAD) ; b) (MBC ) và . ABCD M ABD N Bài 17. Cho tứ diện . là một điểm bên trong tam giác , là một điểm bên (AMN ) (BCD ) (DMN ) ACD trong tam giác . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng và , và (ABC ) . Bài 18. Cho tứ diện ABCD . Gọi (IBC ) a) Tìm giao tuyến của b) Gọi M AD, BC I ,J lần lượt là trung điểm của . (J AD ) với là một điểm trên cạnh (IBC ) (DMN ) mặt phẳng và . AB N AC , là một điểm trên cạnh . Tìm giao tuyến của hai Chuyên đề Hình học không gian M S.ABC SA N Bài 19. Cho hình chóp . Gọi là điểm nằm trên cạnh , là điểm nằm trên cạnh ( SBC ) ( MNP ) (SAC ) SB P và là điểm nằm trong mặt phẳng . Tìm giao tuyến của với . SA, SB,CD M ,N,P . Gọi lần lượt là các điểm nằm trên . Tìm (MNP ) (ABCD ) (SBC ) (SCD) (SAD) giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng , , và . M ,N,P S.ABCD ABCD O Bài 21. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt ( MNP ) BC ,CD, SO là trung điểm của . Tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng (SAB ) (SAD) (SBC ) (SCD) , , và . Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD ABCD I ,J AC , BC K BD lần lượt là trung điểm của , là điểm thuộc Bài 22. Cho tứ diện có KD < KB sao cho . Tìm giao tuyến của: (IJ K ) a) (ACD) và (IJ K ) ; b) (ABD) và . M ,N S.ABCD Bài 23. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của SB, SD P PC < PS SC , là điểm thuộc sao cho . Tìm giao tuyến của: (SAC ) (SBD) a) và ; (MNP ) d) (MNP ) b) (SAB ) và (SBD ) và (MNP ) ; e) (MNP ) ; c) (SAD) và và (MNP ) ; và Bài 24. Cho hình chóp có đáy là hình thang với BC ,CD trung điểm của . Tìm giao tuyến của: (SBD) a) và ; (SMN ) d) (SMN ) b) (SAC ) và (SAD) và (SMN ) ; e) AD c) là đáy lớn. Gọi a) (SBD) và và . I ,J , K . (IJ K ) ; b) ; (SAB ) Bài 25. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi BC ,CD, SA của . Tìm giao tuyến của: (SAB ) lần lượt là (SCD ) và S.ABCD (IJ K ) . M ,N (SAB ) ; ; (ABCD) f) S.ABCD (SAC ) (SAC ) (SAD) và lần lượt là trung điểm (IJ K ) ; c) (SBC ) và (IJ K ) ; d) và Chuyên đề Hình học không gian ABCD Bài 26. Cho tứ diện BC không song song với (MNP ) a) và (ABC ) và AB, AC , BD MN lần lượt nằm trên cạnh sao cho AD không song song với . Tìm giao tuyến của: M ,N,P có MP (MNP ) ; (BCD ) b) và (MNP ) ; c) (ACD) và . I AD SA đáy là hình thang đáy lớn . Gọi là trung điểm của , 1 J D = AD 4 J AD K SB SK = 2BK là điểm thuộc sao cho , là điểm thuộc sao cho . Tìm giao tuyến: Bài 27. Cho hình chóp (IJ K ) a) S.ABCD (ABCD ) và (IJ K ) ; Bài 28. Cho hình chóp (SBD) b) và (IJ K ) ; c) (SBC ) và S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm 1 3 BM = BS SN = SA SA, SB 4 4 sao cho , . Tìm giao tuyến của: (OMN ) a) (SCD ) (SAB ) và (OMN ) ; b) (SAD) và . O N,M . Lấy (OMN ) ; c) lần lượt thuộc (SBC ) và (OMN ) ; d) và . Phương pháp 2 Tương tự phương pháp 1 khi chỉ tìm ngay được 1 điểm chung S . Lúc này ta có hai trường hợp: (a),(b) - TH1: Hai mặt phẳng � SI theo thứ tự chứa hai đường thẳng d1,d2 mà d1 �d2 = I (a ) �(b) = SI là giao tuyến cần tìm (tức là ) (a ),(b) - TH2: Hai mặt phẳng xSy Dựng song song với lần lượt chứa hai đường thẳng d1 hoặc d2 d1,d2 mà d1 P d2 . xSy = (a) �(b) � xSy là giao tuyến cần tìm. (tức là ) Bài tập áp dụng Bài 1. Cho hình bình hành Tìm giao tuyến của: (SAD) a) ABCD (SBC ) và và S (SAB ) ; b) là điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành. (SCD) và . Chuyên đề Hình học không gian Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD (SAD) (SBC ) (SAB ) (SCD) và ; và . a) Tìm giao tuyến của b) Lấy điểm M SC thuộc Bài 3. Cho tứ diện đáy là hình bình hành. . Tìm giao điểm ABCD Bài 4. Cho tứ diện AD (MNP ) và (SAB ) a) Tìm giao tuyến của a) Trên cạnh b) Gọi (ABN ) . M ,N lần lượt lấy các điểm ABCD sao cho AM AN = AB AC E , F ,G, H là hình bình hành. Gọi lần lượt là (CDF ) S.ABCD . có đáy ABCD là hình bình hành. (ABM ) . Tìm giao tuyến của G là trọng tâm của tam giác (SBC ) (ABN ) (SCD) và , và . (SAD) và . SG ABD N , là trung điểm của . Tìm giao tuyến của I ,K CDEF ABCD Bài 7. Cho hai hình bình hành và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi CDEF ABCD lần lượt là tâm của và . Tìm giao tuyến của: (ABK ) a) (CDEF ) và (BCF ) ; . (SCD) (SAD) (SBC ) và ; và . và lấy điểm CD là hình bình hành. AB, AC (ABH ) M là hình gì? MNPQ có đáy SA, SB, SC , SD trung điểm của các cạnh . SC và . Chứng minh tứ giác S.ABCD b) Tìm giao tuyến của ABMN . . Trên (DBC ) (DMN ) Tìm giao tuyến của và . Bài 6. Cho hình chóp . Tứ giác (ABD) ABCD Bài 5. Cho hình chóp và lần lượt là trung điểm của và của (ABM ) AB, BC . Gọi a) Tìm giao tuyến của b) Tìm giao điểm của SD M ,N,P (MNP ) Q N b) (ACE ) và . Chuyên đề Hình học không gian ABCD I nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi SK 1 = (P ) SC 3 SD K SC IK là trung điểm của và là điểm thuộc sao cho . Mặt phẳng đi qua và (ABCD) AC song song với cắt mặt phẳng theo một giao tuyến. Tìm giao tuyến đó. Bài 8. Cho hình bình hành và tam giác SCD SCD ABCD Bài 9. Cho hình bình hành và tam giác nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên (P ) I ,K AB BC IK các cạnh , lần lượt lấy tùy ý. Mặt phẳng đi qua và song song với trung ( SCD ) CE SCD tuyến của tam giác cắt mặt phẳng theo một giao tuyến. Tìm giao tuyến đó. AC , BF ABCD ABEF Bài 10. Cho hai hình vuông , nằm trên hai mặt phẳng khác nhau. Trên (P ) M ,N MN AM = BN AB lần lượt lấy sao cho . Mặt phẳng qua và song song với lần lượt (P ) (BCE ) (ADF ) P ,Q AD AF cắt và tại . Tìm giao tuyến của với các mặt phẳng , . ABCD CDEF AE Bài 11. Cho hai hình bình hành , nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên (P ) M M AC DE lấy điểm . Mặt phẳng đi qua điểm và song song với và . Tìm giao tuyến của (P ) (ABCD ) (CDEF ) với các mặt phẳng , . Bài 12. Cho hình chóp SA và song song với . S.ABCD . Gọi (P ) a) Tìm các giao tuyến của là hai điểm trên (SAB ) với (P ) AB,CD M ,N . Mặt phẳng qua MN (SAC ) và . (P ) b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng S.ABCD . M ,N (P ) SB,CD Bài 13. Cho hình chóp . Gọi là hai điểm bất kì trên . Mặt phẳng MN SC và song song với . (P ) (SBC ) (SCD) (SAC ) a) Tìm các giao tuyến của với các mặt phẳng , , . qua (P ) b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng . 2. GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp Cơ sở của phương pháp tìm giao điểm năng xảy ra: I của đường thẳng d (a ) và mặt phẳng là xét hai khả Chuyên đề Hình học không gian (a ) - Trường hợp 1: Khi đó: chứa đường thẳng D và D cắt đường thẳng tại I . I = d �D � I = d �(a ) (a ) - Trường hợp 2: không chứa đường thẳng nào cắt (b) �d + Tìm + Tìm d d . (a ) �(b) = D và I = d �D ; ; � I = d �(a) . Bài tập áp dụng AC , BC M ,N ABCD Bài 1. Cho tứ diện có các điểm lần lượt là trung điểm của . Lấy điểm (MNK ) CD, AD BD K BD thuộc ( không là trung điểm của ). Tìm giao điểm của và . AC , BC , BD ABCD K M ,N,P Bài 2. Cho tứ diện . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho ( MNP ) CD, AB, AD MN AB không song song với . Tìm giao điểm của với mặt phẳng . SA, SB M ,N O . Trên các cạnh lấy hai điểm tùy ý. Gọi là điểm (OMN ) ABC thuộc miền trong tam giác . Tìm giao điểm của với các cạnh của của tứ diện. Bài 3. Cho tứ diện SABC A, B ,C , D Bài 4. Cho bốn điểm không đồng phẳng (MNP ) AC , BC CD . Tìm giao điểm của với . ABCD M ,N . Gọi I ,J Bài 5. Cho tứ diện . Gọi là các điểm lần lượt nằm trên 3 AJ = J D (BCD) 2 IJ , . Tìm giao điểm của với . lần lượt là trung điểm của AB, AD sao cho 1 AI = IB 2 Chuyên đề Hình học không gian AB, BC I ,J L CD ABCD Bài 6. Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là các điểm trên các cạnh và 1 2 4 AI = AB BJ = BC CK = CD (IJ K ) 3 3 5 AD sao cho , , . Tìm giao điểm của với . S.ABCD M ,N,P S.ABCD M ,N SA, AB BC Bài 7. Cho hình chóp . Lấy lần lượt là các điểm trên và sao cho chúng không trùng với trung điểm của các đoạn ấy. Tìm giao điểm (nếu có) của mặt phẳng (MNP ) BD CD với các đường thẳng , . Bài 8. Cho hình chóp . Gọi ( AMN ) SD Tìm giao điểm của với . tương ứng là các điểm thuộc các cạnh SC và BC . A, B,C , D I ,K Bài 9. Cho bốn điểm không đồng phẳng . Gọi theo thứ tự là hai điểm trong của (ACD) BCD IK J J ABC tam giác và . Giả sử cắt tại . Hãy xác định điểm . Bài 10. Cho tứ diện AB, AC , AD ABCD . Trên các cạnh BCD là điểm tùy ý trong tam giác . a) Tìm giao điểm của b) Tìm giao điểm của BC OA a) Trên lấy điểm M (ABC ) . Gọi O (ADO ) ; giao tuyến của với . (MNP ) với Bài 11. Cho hình bình hành SC lần lượt lấy các điểm (ADO ) và M ,N ,P . ABCD và điểm . Tìm giao điểm của S (ABCD) nằm ngoài mặt phẳng AM . (SBD) với . M SC G SAD b) Giả sử là trung điểm của . Gọi là trọng tâm của tam giác . Tìm giao điểm của ( ABCD ) ( SAB ) MG với các mặt phẳng , . Bài 12. Cho hình chóp a) Trên SA lấy điểm S.ABCD M . . Tìm giao điểm của CM (SBD) với . BC C N G SAD b) Trên phần kéo dài của về phía ta lấy điểm . Gọi là trọng tâm của tam giác . (SCD) (SBD ) (SAB ) NG Tìm giao điểm của với các mặt phẳng , , . J ,K AB I . Trên cạnh lấy điểm và lần lượt là các điểm thuộc miền (ABC ) BCD L JK ACD trong của các tam giác và . Gọi là giao điểm của và . Bài 13. Cho tứ diện ABCD Chuyên đề Hình học không gian a) Xác định điểm L . (IJ K ) b) Tìm giao tuyến của với các mặt của tứ diện ABC ABCD . (ABC ) S Bài 14. Cho tam giác và điểm không thuộc mặt phẳng SBC AC N SA G , là trung điểm , là trọng tâm của tam giác . a) Tìm giao điểm của NG (ABC ) với ; b) Tìm giao tuyến của (P ) Bài 15. Trong mặt phẳng (P ) S ngoài cho điểm . a) Trên SA lấy điểm M cho tứ giác lồi . Tìm giao điểm của ABCD BM M . Gọi NG là trung điểm (SBM ) với . có các cặp cạnh đối không song song và (SCD) và . C N G SAD về phía ta lấy điểm . Gọi là trọng tâm của tam giác . (SCD ) (SBD) (SAB ) NG Tìm giao điểm của đường thẳng với các mặt phẳng , , . b) Trên phần kéo dài của BC M ,N S.ABCD AD Bài 16. Cho hình chóp có đáy là hình thang với đáy lớn . Gọi lần lượt là hai SB, SD điểm bất kỳ thuộc . Tìm giao điểm của: a) SA (MCD) và ; b) Bài 17. Cho hình chóp a) Tìm giao điểm b) Tìm giao điểm c) Gọi N I J MN S.ABCD của là điểm thuộc SD AB và ; c) SA có đáy là hình bình hành và (MNC ) và M . là trung điểm SC và . (ABM ) và . . Tìm giao điểm của MN (SBD ) và . M ,N,P S.ABCD Bài 18. Cho hình chóp có các cạnh đối không song song. Gọi SA, AB, BC điểm thuộc . Tìm giao điểm của: a) MP (SBD) và ; . (SBD) AM của (SAC ) b) SD S.ABCD (MNP ) và ; c) SC lần lượt là các (MNP ) và Bài 19. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm SB, AD G SAD điểm của và là trọng tâm của tam giác . . O M ,N . Gọi lần lượt là trung Chuyên đề Hình học không gian I a) Tìm giao điểm J b) Tìm giao điểm của của K c) Tìm giao điểm (ABCD ) GM và (OMG ) AD của . và . (OMG ) SA và . SA, AC M ,I S.ABCD P Bài 20. Cho hình chóp có lần lượt là trung điểm của , lấy điểm thuộc N SC SC = 3SN AB 2PB = AB sao cho và điểm thuộc sao cho . Tìm giao điểm của: a) SI (MNP ) và ; b) (MNP ) AC và ; c) BC (MNP ) và . S.ABCD I Bài 21. Cho hình chóp có đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song và là SA điểm thuộc . Tìm giao tuyến của: a) SD (IBC ) và ; b) IC (SBD ) và ; c) SB (ICD ) và . ABCD M AC N AD P Bài 22. Cho tứ diện có thuộc đoạn , thuộc đoạn và nằm bên trong BCD tam giác . Tìm giao điểm của: a) CD (ABP ) và ; b) Bài 23. Cho hình chóp SA,CD, BC . MN a) Tìm giao tuyến của AB I ,J , K . Lấy nằm trên ; (SAD) và IC . (SAC ) (IJ K ) SB và ; và c) Tìm giao tuyến của c) (BMN ) có đáy là hình thang đáy lớn và b) Tìm giao tuyến của ; AP (SAB ) (IJ K ) e) Tìm giao điểm của và S.ABCD (IJ K ) d) Tìm giao điểm của (ABP ) ; (IJ K ) và ; (SJ K ) và . K S.ABCD AB Bài 24. Cho hình chóp có đáy là hình thang đáy lớn . Lấy điểm thuộc đoạn BC I SA J AB , là trung điểm của , thuộc đoạn . a) Tìm giao điểm của KI (SBD) và (IJ K ) ; b) Tìm giao tuyến của (SCD ) và . Chuyên đề Hình học không gian Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD (SAD) b) Lấy điểm thuộc SC . Tìm giao điểm S.ABCD Bài 26. Cho hình chóp AD, SA, SB trung điểm của . (SAD) và (SCD) ABCD (ABM ) và . Tứ giác ABMN là hình gì? M ,H,K là hình bình hành. Gọi lần lượt là . và . (MHK ) BC của của SD (MHK ) b) Tìm giao tuyến của c) Tìm giao điểm có đáy N (SBC ) a) Tìm giao tuyến của N là hình bình hành. (SBC ) (SAB ) (SCD) và ; và . a) Tìm giao tuyến của M ABCD có đáy và . Tứ giác MHK N là hình gì? I ,J , K S.ABCD ABCD AB Bài 27. Cho hình chóp có đáy là hình thang đáy lớn . Gọi lần lượt AD, BC , SB là trung điểm của . (SAB ) (SCD) a) Tìm giao tuyến của và (SCD) b) Tìm giao tuyến của c) Tìm giao điểm d) Tìm giao điểm M N . (IJ K ) và của (IJ K ) SD của SA . và . (IJ K ) và . (IJ K ) e) Xác định thiết diện của hình chóp với S.ABCD Bài 28. Cho hình chóp SB, BC , SD trung điểm của . (SCD) a) Tìm giao tuyến của b) Tìm giao điểm của c) Tìm giao điểm của AB ABCD M ,N,P là hình bình hành. Gọi lần lượt là (MNP ) . (MNP ) với . (MNP ) với . (SAC ) d) Tìm giao tuyến của có đáy và CD . Thiết diện là hình gì? (MNP ) với (MNP ) . Suy ra thiết diện của hình chóp với . Chuyên đề Hình học không gian S.ABCD Bài 29. Cho hình chóp AB, SA, SD trung điểm của . (MEF ) c) Tìm giao tuyến của d) Gọi O và BC SC là giao điểm của là hình bình hành. Gọi lần lượt là . (MEF ) và . (MEF ) và . AC và BD . Tìm giao điểm của S.ABCD ABCD Bài 30. Cho hình chóp có đáy OB, SO, BC là trung điểm của . (NPO ) a) Tìm giao tuyến của và b) Tìm giao tuyến của SO (MEF ) và . là hình bình hành tâm O M ,N ,P . Gọi lần lượt (SCD) (SAB ) E M ,E,F (ABCD) a) Tìm giao tuyến của b) Tìm giao điểm của có đáy ABCD . (AMN ) và . (MNP ) SA c) Tìm giao điểm của với . ME PN d) Chứng minh và song song nhau. e) Tìm giao điểm của MN (SCD ) và . (MNP ) f) Tìm thiết diện của hình chóp và . Bài tập tổng hợp Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi M là điểm thuộc miền trong của tam giác (SMB ) a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM SCD . (SAC ) và . (SAC ) và mặt phẳng . (ABM ) c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng . Bài 2. Cho hai hình thang không phải là hình bình hành AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng. (ACE ) a) Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng ABCD và ABEF có chung đáy lớn (BDF ) (BCE ) (ADF ) và ; và . Chuyên đề Hình học không gian b) Lấy M trên đoạn DF . Tìm giao điểm của c) Chứng minh hai đường thẳng AC và BF b) Gọi M . không cắt nhau. theo thứ tự là trung điểm của . Lấy điểm K (IHK ) và mặt phẳng là trung điểm của Bài 4. Cho hình chóp và mặt phẳng SA, AB Bài 3. Cho hình chóp . Gọi SC CK = 3K S trên đoạn sao cho . a) Tìm giao điểm của (BCE ) I ,H S.ABC BC AM HI . . Tìm giao điểm của KM (ABC ) và . BC N SD S.ABCD M , là điểm thuộc , là điểm thuộc . (SAC ) J (SAC ) MN a) Tìm giao điểm của và , là giao điểm của và . S, K ,J DM K AC b) và cắt nhau tại , chứng minh thẳng hàng. I BN (BCN ) c) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng . S.ABCD G SAB E SD Bài 5. Cho hình chóp , là trọng tâm của tam giác , là trung điểm của . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: (CGE ) a) (ABCD) và (CGE ) ; b) ABCD M ,N và Bài 6. Cho tứ diện . Gọi BD BK > K D , . Tìm giao điểm của: a) CD (MNK ) và b) (SAD) . AC , BC K lần lượt là trung điểm của , là điểm trên đoạn (MNK ) AD và . S.ABCD ABCD Bài 7. Cho hình chóp có đáy là tứ giác có các cạnh đối không không song (SCD) SA, SB M ,N MN song. Gọi lần lượt là các điểm trên . Giả sử cắt . Tìm giao điểm của chúng. S.ABCD SA, AB, BC I ,J , K Bài 8. Cho hình chóp . Gọi là ba điểm lần lượt trên các cạnh . Giả (IJ K ) SD, SC JK CD AD sử cắt và . Tìm giao điểm của mặt phẳng với các đường thẳng . Bài 9. Cho hình chóp BC điểm trên cạnh . a) Tìm giao điểm N S.ABCD của SC có đáy ABCD (AME ) với . là hình bình hành. M là trung điểm SD E ; là Chuyên đề Hình học không gian (AME ) b) Tìm giao tuyến của c) Gọi K (SAC ) với là giao điểm của SA . (MBC ) với . Chứng minh K là trung điểm SA . S.ABCD ABCD F CD Bài 10. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm ; (AEF ) E SC SE = 2EC là điểm trên cạnh sao cho . Tìm thiết diện tạo bởi với hình chóp. Bài 11. Cho hình chóp là trung điểm của cạnh a) Tìm giao điểm F d b) Tìm giao tuyến S.ABCD SB của ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SD E ; . CD (AIE ) với mặt phẳng (AIE ) của . (SBC ) với . BC , AF ,d c) Chứng minh đồng qui. F SC E S.ABCD ABCD Bài 12. Cho hình chóp có đáy là tứ giác lồi. là trung điểm ; là điểm BC BE = 2EC trên cạnh sao cho . a) Tìm giao điểm của SB (AEF ) với mặt phẳng . (AEF ) b) Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng với hình chóp. S.ABCD ABCD O M Bài 13. Hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là trung điểm SB G SAD và là trọng tâm của tam giác . a) Tìm giao điểm IC = 2ID . b) Tìm giao điểm c) Tìm giao điểm I J của GM (ABCD ) với (OMG ) của với (OMG ) K của với và chứng minh AD SA I nằm trên đường thẳng CD và JA JD . Tính tỉ số . KA KS . Tính tỉ số . 3. BA ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN THẲNG HÀNG Phương pháp Cơ sở của phương pháp là cần phải chứng minh ba điểm trong yêu cầu đề bài là điểm chung của hai mặt phẳng nào đó, tức là: d = (a) �(b) - Tìm ; Chuyên đề Hình học không gian - Chỉ ra (chứng minh) d A, B,C � A, B,C đi qua ba điểm Hoặc chứng minh đường thẳng AB đi qua thẳng hàng. C � A, B,C thẳng hàng. 4. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUA MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp 1 Cơ sở của phương pháp là: d I A B Ta cần tìm trên hai điểm tùy ý , và chứng minh hai điểm đó thẳng hàng với điểm cố định có sẵn trong không gian. �d đi qua điểm I cố định. Phương pháp 2 Cơ sở của phương pháp là: - Bước 1: Tìm đường thẳng - Bước 2: Tìm giao điểm �I là điểm cố định mà I d D của (a) cố định ở ngoài mặt phẳng cố định D và d đi qua. 5. BA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN ĐỒNG QUY Phương pháp 1 chứa d di động. Chuyên đề Hình học không gian Cơ sở của phương pháp này là ta cần chứng minh đường thẳng thứ nhất qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại. - Bước 1: Tìm I = d1 �d2 - Bước 2: Chứng minh � d1,d2,d3 d3 đồng quy tại I . đi qua I . . Phương pháp 2 Cơ sở của phương pháp là ta cần chứng minh chúng đôi một cắt nhau và dôi một ở trong ba mặt phẳng phân biệt. - Bước 1: Xác định � d1,d2 �(a); d1 �d2 = I 1 � � � d2,d3 �(b); d2 �d3 = I 2 � � � d3,d1 �(g); d3 �d1 = I 3 � � - Bước 2: Kết luận d1,d2,d3 (a) (b) (g) trong đó , , phân biệt đồng quy tại I � I 1 �I 2 � I 3 . B. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN Phương pháp Cơ sở của phương pháp cần thực hiện hai bước cơ bản cho định nghĩa � a,b �(a) a P b� � � � a �b = � � - Bước 1: Kiểm tra hai đường thẳng ở trong cùng một mặt phẳng hay hiểu rằng điều đó hiển nhiên xảy ra nếu chúng cùng nằm trong một hình phẳng nào đó. - Bước 2: Dùng định lý Thales, tam giác đồng dạng, tính chất bắc cầu (hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba), là hai đáy của hình thang, hai cạnh đối của hình bình hành… để khẳng định hai đường thẳng đó không có điểm chung. Chuyên đề Hình học không gian Suy ra điều phải chứng minh. Bài tập áp dụng ABCD Bài 1. Cho tứ diện IJ P CD minh rằng . I ,J . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD . Chứng M ,N S.ABCD AB Bài 2. Cho hình chóp , có đáy là hình thang với đáy lớn . Gọi lần lượt là SA SB trung điểm của và . MN P CD a) Chứng minh: . b) Tìm giao điểm c) Kéo dài AN P và Bài 3. Cho tứ diện AC , BD . của DP SC (ADN ) với . cắt nhau tại ABCD I SI P AB P CD . Chứng minh M , N , P ,Q, R, S . Gọi . Tứ giác SABI là hình gì? AB,CD BC , AD lần lượt là trung điểm của , , MNPQ a) Chứng minh là hình bình hành. MN , PQ, RS b) Từ đó suy ra ba đoạn cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. M , N , P ,Q S.ABCD Bài 4. Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành. Gọi MN P BS, NP P CD, MQ P CD BC , SC , SD, AD nằm trên sao cho . là các điểm lần lượt PQ P SA a) Chứng minh: b) Gọi K . là giao điểm của MN và . Chứng minh: Qx P SC Q c) Qua dựng các đường thẳng (SCD ) Qy của với . Bài 5. Cho hình chóp BC ,CD, SB, SD . SK P AD P BC PQ S.ABCD . Qy P SB và (SAB ) Qx . Tìm giao điểm của với và M , N , P ,Q có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm Chuyên đề Hình học không gian MN P PQ a) Chứng minh rằng . ABC J I b) Gọi là trọng tâm của tam giác , IJ P SM . S.ABCD Bài 6. Cho hình chóp (SAD) a) Tìm giao tuyến của b) Lấy điểm M thuộc SC ABCD có đáy SA thuộc sao cho JS 1 = JA 2 . Chứng minh là hình bình hành. (SBC ) (SAB ) (SCD) và ; và . . Tìm giao điểm N của SD (ABM ) và . Tứ giác ABMN là hình gì? M ,H,K S.ABCD ABCD Bài 7. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung AD, SA, SB điểm của . (SAD) a) Tìm giao tuyến của (SBC ) và . (SCD ) b) Tìm giao tuyến của c) Tìm giao điểm N (MHK ) và của BC . (MHK ) và . Tứ giác S.ABCD ABCD Bài 8. Cho hình chóp có đáy AD, BC , SB là trung điểm của . (SAB ) a) Tìm giao tuyến của (SCD ) c) Tìm giao điểm d) Tìm giao điểm M N của của SA là hình thang đáy lớn AB I ,J , K . Gọi lần lượt . (IJ K ) và SD là hình gì? (SCD) và b) Tìm giao tuyến của MHK N . (IJ K ) và . (IJ K ) và . (IJ K ) e) Xác định thiết diện của hình chóp với S.ABCD Bài 9. Cho hình chóp SB, BC , SD điểm của . (SCD ) a) Tìm giao tuyến của có đáy . Thiết diện là hình gì? ABCD (MNP ) và . M ,N,P là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung