Tổ Toán
----------
CHUYÊN ĐỀ
Thầy giáo hướng dẫn: .
Nhóm thực hiện:
A/ NỘI DUNG CẦN NẮM:
I.
ĐƯỜNG THẲNG:
II.
ĐƯỜNG TRÒN:
III.
PARABOL:
IV.
ELIP:
V.
BA ĐƯỜNG CONIC:
VI.
HYPEPOL:
B/ LÝ THUYẾT:
I/
Phương trình đường thẳng.
Các bước lập phương trình
Lý thuyết:
* Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
r
M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u (u1 ; u2 ) là
�x x0 u1t
�
�y y0 u2t
r
M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT n (a; b) là
a ( x x0 ) b( y y0 ) 0 biến đổi về dạng ax by c 0 với c ax0 by0
r
r
r
* Đường thẳng : ax by c 0 có VTPT n (a; b) ,và VTCP u (b; a ) hoặc v (b; a )
* Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm
Áp dụng:
1.Đường thẳng đi qua hai điểm
a.PT tham số:
VTCP
A và B :
uuu
r
�x x A ( x A xB )t
AB ( x A xB ; y A yB ) .PTTS : �
�y y A ( y A yB )t
b.PT tổng quát:
VTCP
uuu
r
r
AB ( x A xB ; y A yB ) Suy ra VTPT n(a; b)
PTTQ có dạng a ( x x A ) b( y y A ) 0
Chú ý:Hai đường thẳng song song :
VTCP của đường thẳng là VTCP của đường kia.
VTPT của đường thẳng là VTPT của đường kia.
Hai đường thẳng vuông góc :
VTCP của đường thẳng là VTPT của đường kia.
VTPT của đường thẳng là VTCP của đường kia.
2.Đường thẳng d đi qua một điểm M ( x0 ; y0 ) và vuông góc với BC
a.PTTQ :
r uuur
+ d vuông góc với BC nên nhận VTCP của BC làm VTPT n BC
+ Viết PTTQ.
b.PTTS:
r uuur
+ d vuông góc với BC nên nhận VTCP của BC làm VTPT n BC .Suy ra VTCP của d.
+ Viết PTTS.
�x x0 tu1
M và vuông góc với : �
�y y0 tu2
r
Đường thẳng có VTCP u (u1 ; u2 )
3.Đường thẳng d đi qua một điểm
a.PTTQ của d:
+Đthẳng d nhận VTCP
+ Viết pt TQ.
b.PTTS:
+Đthẳng d nhận VTCP
r
u (u1 ; u2 ) của làm VTPT
r
r
u (u1 ; u2 ) của làm VTPT ,suy ra VTCP của d là u (u2 ; u1 )
+ Viết PTTS.
�x x0 tu1
M và song song với : �
�y y0 tu2
r
Đường thẳng có VTCP u (u1 ; u2 )
4.Đường thẳng d đi qua một điểm
a.PTTQ của d:
+Đthẳng d nhận VTCP
+Viết pt TQ của d.
b.PTTS:
+Đthẳng d nhận VTCP
r
u (u1 ; u2 ) của làm VTCP,suy ra VTPT của d.
r
u (u1 ; u2 ) của làm VTCP .
+ Viết PTTS.
5.Đường thẳng d đi qua một điểm
M và vuông góc với : ax by c 0
r
Đường thẳng có VTPT n (a; b)
a.PTTQ của d:
Cách 1:
r
n (a; b) của làm VTCP,suy ra VTPT của d.
r
+ Viết pt TQ của d đi qua M và có VTPT n (a; b)
+Đthẳng d nhận VTPT
Cách 2:
+Do d vuông góc với
: ax by c 0 nên d có phương trình bx ay c1 0 (*)
+Thay toạ độ điểm M vào pt(*) tìm c1
+ Kết luận PTTQ của d.
b.PTTS:
+Đthẳng d nhận VTPT
r
r
n (a; b) của làm VCPT u (b; a)
+ Viết PTTS của d
6.Đường thẳng d đi qua một điểm
M và song song với : ax by c 0
r
*Đường thẳng có VTPT n (a; b)
a.PTTQ của d:
Cách 1:
+Đthẳng d nhận VTPT của
r
làmVTPT n (a; b)
+Viết pt TQ của d
Cách 2:
Do d song song với
: ax by c 0 nên d có phương trình ax by c2 0 (*)
+Thay toạ độ điểm M vào pt(*) tìm c2
+ Kết luận PTTQ của d.
b.PTTS:
+Đthẳng d nhận VTPT
r
n (a; b) của làm VTPT ,suy ra VTCP.
+Viết PTTS của d.
*Cách lập pt đường tròn thoả điều kiện cho trước đơn giản thường gặp
Dạng 1: Đường tròn có tâm I (a; b) và bán kính R ,thế vào pt (1)
AB, ( BC ),... làm đường kính.
PP: + Tìm tâm I của đường tròn đường kính AB, ( BC ),... là trung điểm của AB, BC ,...
Dạng 2:Đường tròn nhận đoạn thẳng
+ Tính bán kính của đường tròn
R
AB
BC
IA IB, ( R
IC IB )
2
2
+ Thay vào pt đường tròn (1)
Dạng 3:Đường tròn có tâm I (a; b) và đi qua điểm
PP: + Bán kính đ tròn
M ( x0 ; y0 )
R IM ( xM xI ) 2 ( yM yI ) 2
+ Viết pt đtròn.
Dạng 4:Đường tròn có tâm
I (a; b) và tiếp xúc với đường thẳng : Ax By C 0
A.a B.b C
PP: + Bán kính đ tròn R d ( I , )
A2 B 2
+ Viết pt đ tròn.
Dạng 5: Đường tròn đi qua ba điểm
A, B, C
PP: + Giả sử pt đường tròn có dạng x 2 y 2 2ax 2by c 0 (*)
A, B, C vào pt(*) được hệ ba pt ẩn a, b, c
+ Thay lần lượt toạ độ của ba điểm
+Giải hệ pt ba ẩn ở trên tìm
a , b, c
a, b, c tìm được vào pt đường tròn (*),kết luận.
+Thay kết quả
III/BÀI TẬP TỔNG HỢP CÓ HƯỚNG DẪN:
Câu 1: (5.0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, Cho hai điểm A(1; 2); B(3;-1) và đường thẳng d: 3x + 4y -1 = 0.
a) Tìm tọa độ vectơ AB
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B.
c) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng d.
d) Tính góc giữa 2 đường thẳng d1: x - 2y + 5 = 0 và d2: 3x – y + 6 = 0
Câu 2: (4.0 điểm)Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2;4); B(1;1); C(3;1).
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và có hệ số góc k = 3
b) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường cao BH của tam giác.
Câu 3: (1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng :
Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng
ĐÁP ÁN:
�x 1 2t
, t �R .
�
y
t
�
sao cho độ dài đoạn OM ngắn nhất, với O là gốc tọa độ./.
a)a) AB ( 2; 3)
c)Trung điểm M(2;1/2)
Suy ra: d ( M ; d )
b)Vì đường thẳng
Vậy ptts của đt
7
5
qua A, B nên nhận vectơ
qua A :
AB ( 2; 3) làm vtcp
x 1 2t
y 2 3t
d)
Đường thẳng d1 có véc tơ pháp tuyến là n1 (1; 2)
Đường thẳng d2 có véc tơ pháp tuyến là n 2 (3; 1)
Gọi là góc giữa d1 và d2 ta có
cos
n1 .n 2
n1 . n 2
32
5. 10
5
5 2
2
2
45 0
a)Gọi u ( a; b) là véc tơ chỉ phưong của đường thẳng cần tìm
Ta có: k=
b
=3 . Chọn a =1 và b = 3
a
vtcp u (1;3)
vtpt n(3; 1)
Pt tông quát là: 3(x-2)-1(y-4) =0
3x – y – 2 = 0
b)Ta có:
uuur
AC (1; 3)
Vi BH vuông góc với AC nên đường cao BH nhận
Pt tham số của đường cao BH:
r
uuur
AC làm vtpt. Nên vtcp của BH là: u (3; 1)
x 1 3t
y 1 t
Pttq:
x-3y + 2 = 0
Ta có: O(0;0) và M (1 2t ; t ) �
Suy ra : OM (1 2t )2 t 2 5t 2 4t 1
2
�
2 � 1
� 5t
�
5� 5
�
2
Để OM ngắn nhất thì t .
5
�1 2 �
Vậy M � ; �
�5 5 �
1: :Tìm toạ độ tâm và bán kính của các đường tròn sau đây:
a) ( x 3) 2 ( x 4)2 2 b) ( x 2) 2 ( x 4) 2 3 c) ( x 5) 2
( x 7) 2 9 d)
( x 1) 2 ( x 6) 2 25
e) x 2 y 2 6 y 2 0 f ) x 2 y 2 6 x 5 0 g ) x 2 y 2 2 x 6 y 3 0
h) x 2 y 2 4 x 8 y 3 0
HD: Xác định đúng dạng ( x-a)2+(y-b)2= R2 trong đó I( a,b)
BT2: .Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , cho điểm
và đường tròn (O)
:
1. Chứng minh rằng A là một điểm nằm ngoài đường tròn (O).
2. Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm A và tiếp xúc với đường tròn (O).
BT3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho đường thẳng
và hai điểm
1. Viết phương trình đường tròn
đi qua
và có tâm
.
2. Viết phương trình đường tiếp tuyến tại A với đường tròn
3. Viết phương trình các tiếp tuyến với
BT4: Cho đường tròn
tròn có hệ số góc
.
, biết tiếp tuyến đi qua
. Tìm tọa độ tiếp điểm .
. Viết phương trình các tiếp tuyến của đường
.
BT5 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I(- 2; 1) và đường thẳng d : 3x - 4y = 0
a. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d.
b. Viết phương trình tập hợp các điểm mà qua các điểm đó vẽ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai
tiếp tuyến vuông góc với nhau.
BT6: Cho đường tròn
Và đường thẳng
a. Chứng minh rằng
không cắt
b. Từ điểm M thuộc
kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (C) (A, B là các tiếp điểm). Chứng minh rằng
khi M thay đổi trên
thì AB luôn đi qua một điểm cố định.7: Cho họ đường tròn
có phương
trình:
Tìm tập hợp tâm của
khi
thay đổi.
BT7: Viết phương trình đường tròn đi qua A(1,0) và tiếp xúc với hai đường thẳng
BT8: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn
và một điểm
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua
và cắt
BT9: Trong mặt phẳng với hệ Đề các trực chuẩn
theo một dây cung có độ dài 8
, cho đường tròn
và
đường thẳng
a.
Chứng minh rằng từ một điểm M bất kỳ trên
(C).
ta luôn kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt tới
b.
Giả sử hai tiếp tuyến từ M tới (C) có các tiếp điểm là A và B. Chứng minh rằng khi M chạy
trên
đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
BT10: Cho đường tròn
và đường thẳng
(
là tham số).
a. Chứng minh rằng
luôn cắt
tại hai điểm phân biệt
.
b. Tìm để độ dài đoạn
luôn đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
BT11: Cho họ đường tròn
Chứng minh rằng
có phương trình:
luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định
BT12: Trong mặt phẳng tọa độ cho
có phương trình
phương trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm
đến
.Viết
.
BT13: Cho hai đường tròn
có tâm lần lượt là và
1. Chứng minh
2. Gọi
tiếp xúc ngoài với
và tìm tọa độ tiếp điểm
là một tiếp tuyến chung không đi qua
và đường thẳng
của
và
.
. Tìm tọa độ giao điểm
của
.
Viết phương trình đường trong
đi qua
và tiếp xúc với hai đường tròn
và
tại
.
BT14: Trong mặt phẳng với hệ tạo độ vuông góc Oxy, xét họ đường tròn có phương trình
(
là tham số).
Xác định tọa độ của tâm đường tròn thuộc họ đã cho mà tiếp xúc với trục Oy.
BT15 : Cho họ đường tròn
Tim
để
có phương trình:
tiếp xúc với
BT16 : Cho họ đường tròn
Tìm
để
có phương trình:
tiếp xúc với đường tròn
BT17 : Cho đường tròn có phương trình:
của đường tròn đi qua
.
BT18 : Tìm các giá trị của a để hệ sau có đúng hai nghiệm
.Viết phương trình tiếp tuyến
BT 19 : Cho đường tròn (T) có phương trình :
a. Xác định tâm và bán kính của (T).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng (d) có phương
trình 12x - 5y + 2 = 0.
BT 20 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) :
phương trình :
và đường thẳng (D) có
Tìm tọa độ điểm T trên (D) sao cho qua T kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại hai điểm A , B
và
BT 21 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
điểm
:
và
.
Gọi
và
là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ
đến
. Viết phương trình đường thẳng
.
BT 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :
và
đường thẳng d:
. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán
kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C)
BT23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ 0xy cho hai điểm A (2; 0) và B (6; 4). Viết phương trình đường
tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
BT24: Cho hai đường tròn :
1.
Xác định các giao điểm của
và
.
2.
Viết phương trình đường tròn đi qua 2 giao điểm đó và điểm A(0; 1)
BT25 : Cho hai đường tròn :
1.
2.
Xác định các giao điểm của
và
.
Viết phương trình đường tròn đi qua 2 giao điểm đó và điểm A(0; 1)
BT 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho đường tròn (C) :
và đường thẳng d :
.
Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao
điểm của (C) và (C') .
BT27: Cho đường tròn (C) :
xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng (d):
. Lập phương trình đường tròn (C') đối
.
BT28: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) :
các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm F (0; 3)
.Viết phương trình
BT29: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
Tìm tất cả các tiếp tuyến của
.
song song với đường thẳng
.
BT30: Tìm độ dài dây cung xác định bởi đường thẳng 4x + 3y - 8 = 0 và đường tròn tâm I (2; 1) tiếp
xúc với đường thẳng 5x - 12y + 15 = 0.
BT 31: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng
Viết phương trình đường tròn
qua
và tiếp xúc với đường thẳng
tại giao điểm của
với trục tung
BT 32: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) :
và
điểm
. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C). Viết phương trình các tiếp tuyến
của đường tròn (C) kẻ từ điểm A.
BT33: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy.
Viết phương trình đường thẳng
đi qua
và tiếp xúc với đường tròn
BT34 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho các điểm
. Xác định tọa độ điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
.
BT 35 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A (4; - 2) , B (- 2; 2) , C (- 4 ; - 1) .
Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC và phương trình tiếp tuyến với (C) tại B.
BT 36 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P) :
phương trình đường tròn
.
có tâm
và điểm
và tiếp xúc với tiếp tuyến của
. Viết
tại
BT 37: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A (5; 0) , B (1; 4) và đường thẳng (d) có
phương trình :
.Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A, B và có tâm nằm trên
đường thẳng (d).
BT 38: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm
tâm I của đường tròn qua ba điểm
.
. Tìm tọa độ
BT 39: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình :
a. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, biết các tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng
.
b. Tìm điều kiện của m để đường thẳng
tiếp xúc với đường tròn .
BT 40 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn
. Lập phương
trình tiếp tuyến với đường tròn (C) biết rằng tiếp tuyến đó qua
BT 41: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
,
có phương trình:
.Viết phương trình đường tròn có tâm
nằm trên trục Ox đồng thời tiếp xúc với
và
.
BT42: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho:
đường tròn
Tìm tọa độ điểm
và đường thẳng
sao cho đường tròn tâm
tiếp xúc ngoài với đường tròn
.
có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn
.
BT 43 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường tròn (C):
điểm
. Gọi
trình đường thẳng
và
.
,
và
là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C).Viết phương
BT 44: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường
tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5
BT 45: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho đường tròn
và đường thẳng
Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng (d).
Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C').
BT 46: Trong mặt phẳng hệ tọa độ trực chuẩn xOy, cho họ đường tròn (Cm):
.Tìm quỹ tích tâm đường tròn (Cm)
BT 47 : Cho đường tròn
và điểm
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A,B sao cho M là trung điểm của
đoạn AB.
BT 48: Trong mặt phẳng Oxy cho họ đường
tròn:
Chứng minh rằng học
luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định.
BT 49: Trong mặt phẳng Oxy cho họ đường
tròn:
Tìm m để
cắt đường tròn
tại hai điểm phân biệt
rằng khi đó đường thẳng
có phương không đổi.
BT 50 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho họ đường cong
và
. Chứng minh
có phương trình
.Tìm tất cả các giá trị
đường tròn. Tìm quỹ tích tâm của đường tròn
khi
để
là
thay đổi.
BT 51: Trong mặt phẳng, xét họ đường tròn có phương trình
(
là tham số).Tìm quỹ tích tâm các đường
tròn của họ đó.
BT 52 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng :
1. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác có ba cạnh lần lượt nằm trên các đường thẳng
tung .
và trục
2. Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác nói trên.
BT 53: Lập phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ và cắt đường tròn :
thành một dây cung có độ dài bằng 8.
BT 54: Cho vòng tròn (C) :
và điểm A (3; 5).
Hãy tìm phương trình các tiếp tuyến kẻ từ A đến vòng tròn. Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc với vòng
tròn tại M, N. Hãy tính độ dài MN.
BT 55: Cho họ vòng tròn :
1. Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ vòng tròn luôn luôn đi qua hai điểm cố định .
2. Chứng minh rằng với mọi m, họ vòng tròn luôn luôn cắt trục tung tại hai điểm phân biệt
BT 56: Trong mặt phẳng cho đường tròn :
Tìm m để tồn tại duy nhất một điểm P mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến PA,PB tới (C) (A,B là các tiếp
điểm) sao cho tam giác PAB đều
BT 57: Trong mặt phẳng cho tam giác
. Gọi H là chân
đường cao kẻ từ B, M và N là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua
các điểm H, M, N
BT 58: Viết phương trình đường tròn (C), biết rằng (C) đi qua hai điểm A (1; 1) ; B (3; 3) và tiếp xúc
đường thẳng
.
BT 59: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy , hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB là :
, phương trình đường thẳng BC
là
và phương trình đường thẳng AC là
BT 60 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) :
phương trình :
và đường thẳng (D) có
Viết phương trình đường thẳng vuông góc với (D) và tiếp xúc với đường tròn.
BT 61: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) :
phương trình :
và đường thẳng (D) có
Viết phương trình đường thẳng song song với (D) và cắt đường tròn tại hai điểm M, N sao cho độ dài
MN bằng 2.
BT 62: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ba góc nhọn , biết A (5 ; 4) và B (2 ;
7). Gọi AE và BF là hai đường cao của tam giác đó. Hãy viết phương trình của đường tròn ngoại tiếp tứ
giác ABEF.
BT 63: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) :
.
Hãy viết phương trình các tiếp tuyến của (C), biết các tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng x + y =
0.
BT 64: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C) :
đường thẳng (d) : 3x - 4y + 23 = 0.
và
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C), biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng (d).
BT 65: Cho ba điểm A(0 ; 1) ; B(2 ; 0) ; C(3 ; 2). Tập hợp các điểm M(x ; y) sao cho :
BT 66: Cho A(1; 1) và B(2 ; 3) , tập hợp các điểm M sao cho :
BT 67: Cho hai đường tròn (C) :
và (C’) :
,
M là điểm di sao cho độ dài tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) gấp hai lần độ dài tiếp tuyến kẻ từ M tới (C’).
Tìm quỹ tích M.
BT 68: Với giá trị nào của m thì độ dài tiếp tuyến phát xuất từ A(5 ; 4) đến đường tròn (C) :
bằng 1?
BT 69: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(2;1) và 2 đường thẳng
.Viết PT đường tròn
tiếp xúc
tại
và
và có tâm thuộc
BT 70: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1;0)và tiếp xúc với hai đường thẳng
4=0 và : x+y+2=0
BT 71: Viết phương trình đường tròn có hoành độ tâm a=9 , bán kính R=2
thẳng (d): 2x+y-10=0
.
:x+y-
và tiếp xúc với đường
BT 72: Một đường tròn qua điểm (3;5) và cắt Oy tại điểm A(0;4) và điểm B(0;-2) . Viết phương trình
đường tròn đó , cho biết tâm và bán kính.
BT 73: Cho hai đường thẳng (d) và ( ) có phương trình lần lượt là : 2x-y+2=0 và 2x+y-4=0 . Viết
phương trình đường tròn (C) có bán kính R = nằm trong góc nhọn của hai đường thẳng (d) và ( )
và tiếp xúc với chúng.
BT 74 : Trong không gian Oxy cho 2 đường tròn :
.Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn
BT 75: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(6;2) và đường tròn (C) :
Lập phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại 2 điểm A;B sao cho
BT 76: Trong mặt phẳng Oxy , lập phương trình đuờng tròn qua A(1;2) ; B(3;1) và có tâm I thuộc
đường thẳng : 7x+3y+1=0.
BT 77: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho họ đường cong :
a) Chứng minh rằng
là họ đường tròn và tồn tại 1 đường thẳng là trục đẳng phương của tất cả
các đường tròn
b) Chứng minh rằng các đường tròn của họ
đó.
luôn tiếp xúc với nhau tại 1 điểm cố định. Tìm điểm
BT 78: Cho 2 đường tròn (0) và (0') tiếp xúc ngoài tại A. Dựng góc BAC vuông ,trong đó B thuộc (O)
và C thuộc (O').Tìm quĩ tích trung điểm I của BC.
BT 79: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) :
Lập phương trình đường tròn
đối xứng với (C) qua đường thẳng : x-2 = 0 .
BT 80: Trong mặt phẳng Oxy lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng : x-y-2=0 tại
điểm M (3;1) và tâm I thuộc đường thẳng : 2x-y-2=0 .
BT 81: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 đường tròn :
a) Chứng minh rằng ;
và
cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B.
b) Viết phương trình đường tròn qua A,B và tiếp xúc với đường thẳng ; x-2y+4=0
BT 82 : Cho đường tròn (O;R). 2 đường kính AB, MN. Tiếp tuyến tại A cắt BM tại H, cắt BN tại K.
P,Q lần lượt là trung điểm của AH và AK. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ di
chuyển trên một đường thẳng cố định với AB cố định
BT 83: Cho đường tròn (C) có phương trình:
và điểm A(4;7).
a) Lập phương trình đường tròn (C') tiếp xúc với (C) biết (C') đi qua điểm A.
b) Trong trường hợp (C') tiếp xúc ngoài (C) hãy tìm trên (C) điểm M, trên (C') điểm N sao cho tam
giác IMN có diện tích lớn nhất (Với I là tâm của đường tròn (C)).
BT 84: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x - 4y - 1 = 0; điểm A (0;1) và đường thẳng (D): x - y = 0.
1. Viết phương trình tổng quát của các tiếp tuyến (d1);(d2) của đường tròn (C) di qua A.
2. Tính cosin các góc nhọn tạo bởi (D) lần lượt với (d1),(d2).
BT 85: Cho đường tròn (C):
các điểm có toạ độ là những số nguyên thuộc đường tròn.
BT 86: Cho hai điểm
và
1. Tìm quỹ tích các điểm
sao cho
2. Tìm quỹ tích các điểm
sao cho
BT 87: Cho 2 họ đường tròn
. Viết các phương trình tiếp tuyến tại
trong đó
là một số cho trước
lần lượt có phương trình:
. Tìm trục đẳng phương của
minh rằng khi m thay đổi , các trục đẳng phương đó luôn đi qua 1 điểm cố định
BT 88: Lập phương trình đường tròn đi qua
: x+y+2=0.
. Chứng
và tâm đường tròn thuộc đường thẳng (d)
1. Phương pháp giải.
Cách 1:
-
Đưa phương tŕnh đă cho về dạng: (C) : x2 + y2-2ax -2by + c = 0 (1)
-
Xét dấu biểu thức P = a2 + b2 – c
+ Nếu P > 0 thì (1) là phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R =
a 2 b2 c
+ Nếu P 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
Cách 2: Đưa phương trình về dạng: (x-a)2 + (y-b)2 = P (2).
+ Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R =
P
+ Nếu P 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn. Tìm tâm và bán kính nếu
có.
x2 + y2+2x -4y + 9 = 0
a)
b) x2 + y2-6x +4y + 13 = 0
2x2 + 2y2-8x -4y -6 = 0
c)
d) 5x2 + 4y2+x -4y + 1 = 0
Giải: a) Ta có: a2 + b2 – c = -4 < 0 phương trình này không phải là phương trình đường tròn.
b) Ta có: a2 + b2 – c = 0 phương trình này không phải là phương trình đường tròn.
c) Ta có: a2 + b2 – c = 8 phương trình này là phương trình đường tròn tâm I(2/7;-3/7) và bán kính R
=
5
7
2
d) Phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x2 và y2
khác nhau.
Ví dụ 2: Cho đường cong (Cm): x2 + y2-2mx -4(m-2)y + 6 - m = 0 (1)
a)
Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kình theo m.
Giải: (1) là phương trình đường tròn a2 + b2 – c > 0 m2 – 3m + 2 > 0
Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm I(m ; 2(m – 2)) và bán kính: R =
m2
�
�
m 1
�
m 2 3m 2
Ví dụ 3: Cho (C): x2 + y2-2xcos -2y sin + cos 2 = 0
a) CMR: (C) là đường tròn.
b) Xác định để (C) có bán kính Max
c) Tìm quỹ tích tâm I khi thay đổi.
Giải:
a) a2 + b2 – c = 1 – cos2 0 với mọi
Khi a2 + b2 – c = 0 thì coi là đường tròn có bán kính bằng 0.
c)
Có R2 = 2 sin2 2. Rmax =
d) Toạ độ tâm I:
�x cos
�
�y sin
2
anpha = /2 + k
Khử anpha từ hệ này ta được toạ độ tâm I thoả mãn phương trình
đường tròn: x2 + y2 = 1.
VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm.
Cách 1:
- Tìm toạ độ tâm I(a;b) của đường tròn (C)
- Tìm bán kính R của đường tròn (C)
- Viết phương trình của (C) theo dạng (x-a)2 + (y-b)2 = R2.
Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2-2ax -2by + c = 0.
-
Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.
-
Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C).
Chú ý: :
*) Đường tròn (C) đi qua các điểm A, B IA2 = IB2 = R2
*) Trong dạng này có một bài toán rất hay gặp là "Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC", bài toán này cũng chính là bài toán viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B,
C không thẳng hàng cho trước. Giải bài này ta làm theo cách 2.
Ví dụ 4 : Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a)
Có tâm I(1; -5) và đi qua O(0;0).
b) Có đường kính AB: A( 1; 1), B( 7; 5).
c)
Giải:
Đi qua 3 điểm: A( -2;4); B( 5;5); C(6; -2)
1 52
2
=
26
a) Đường tròn này có bán kính là OI =
12 52
=
26
phương trình đường tròn có dạng (x-1)2 + (y+5)2 = 26
b) Đường tròn này có tâm I là trung điểm của AB: I(4; 3), bán kính bằng AB/2 =
2 13
13
2
Phương trình đường tròn: (x-4)2 + (y-3)2 = 13
d) Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2-2ax -2by + c = 0.
Từ điều kiện đề bài ta có hệ phương trình:
a 2
�
4 16 4a 8b c 0
�
�
1
�
�
25
25
10
a
10
b
c
0
�
b
�
�
2
�
�
36 4 12a 4b c 0
�
c 20
�
�
Vậy phương trình đường tròn có dạng: x2 + y2+ 4x +y -20 = 0
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng.
Chú ý:
- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng d(I, ).= R
- Đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng : tại A d(I, ) = IA.= R
- Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2 d(I, 1 ) = d(I, 2
Ví dụ 5: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a)
(C)có tâm I(2;3) và tiếp xúc với 0x.
b) (C)có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng : x – 2y + 7 = 0.
) = R.
Giải:
a)
Đường thẳng Ox có phương trình: y = 0 ( )
Ta có: R = d(I;; ) =
3
1
3
Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: (x-2)2 + (y – 3)2 = 9
b) Ta có: R = d(I;; ) =
1 4 7
1 4
2
5
Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: (x+1)2 + (y – 2)2
= 4/5
Ví dụ 6: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Oy
Giải: Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư,, nên đường tròn cần tìm cũng ở góc phần tư thứ tư. Do đó
tâm của đường tròn có dạng: I(R; -R), với R là bán kính đường tròn.
R 1
�
R5
�
R = IA (2 – R)2 + (-1+ R)2 = R2 R2 – 6R + 5 = 0 �
Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: (x-1)2 + (y+1)2 = 1
(x-5)2 + (y+5)2 = 25
Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng d1 : 3x + 4y + 5 = 0 và d 2 : 4x – 3y – 5 = 0. Viết phương trình đường
tròn có tâm nằm trên đường thẳng d: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng d1 và d2.
Giải:
Đường tròn cần tìm có tâm I nằm trên đường thẳng d
toạ độ tâm I có dạng (6a +10; a)
- Vì đường tròn tiếp xúc với d1, d2 nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này bằng
nhau và bằng bán kính R.
3(6a 10) 4a 5 4(6a 10) 3a 5
5
5
a0
�
�
22a 35 21a 35 �
70
�
a
� 33
*) Với a = 0 I(10;0) và R = 7 ptđt: (x-10)2 + y2 = 49
*) Với a = -70/33 I ( -30/11; -70/33) và R = 97/33
phương trình đường tròn: (x+ 30/11)2 + (y+70/33)2 = (97/33)2
Ví dụ 8: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7 – 5 = 0 ; x + y + 13 = 0 và
với một trong hai đường thẳng đấy tại M(1;2).
Giải:
Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến hai đường thẳng đã
cho và đến tiếp điểm M bằng nhau:
�7 x 7 5 x y 13
(1)
�
� 5 2
2
�
�x y 13 (1 x) 2 (2 y ) 2 (2)
�
2
�
Từ (1)
x 3 y 35
�
7 x y 5 5 x 5 y 65 � �
y 3x 15
�
*) Với x = 3y + 35, thay vào (2) ta đươc: y2 + 4y + 4 = 0 y = -2 x = 29; R = 20
2
Phương trình đường tròn có dạng: (x-29)2 + (y+2)2 = 800
*) Với y = -3x-15 thay vào (2) ta được: x2 + 12x + 36 = 0 x = -6 y = 3 ; R = 5
Phương trình đường tròn có dạng: (x+6)2 + (y-3)2
2
= 50
Ví dụ 9: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với cả ba đường thẳng: 3x + 4y -35; 3x-4y – 35; x – 1 = 0
Giải: Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến ba đường thẳng đã cho
bằng nhau:
�3 x 4 y 35 3 x 4 y 35
(1)
�
�
5
5
�
�3 x 4 y 35 x 1
(2)
�
1
5
�
Từ (1)
� 35
x
�
3
�
y0
�
Thay vào (2) ta được
40
32
� 35
x , y � ,R
�
3
3
3
�
x 25, R 16
�
�
y
0
�
�
�
x 5, R 4
�
�
Vậy có bốn phương trình đường tròn thoả mãn đầu bài:
(x+25)2 + y2 = 256
(x-5)2 + y2 = 16
(x-35/3)2 + (y+40/3)2 =(32/3)2
(x-35/3)2 + (y-b=40/3)2 = (32/3)2
Ví dụ 10: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng x = 5 và tiếp xúc với hai đường
thẳng: d1: 3x – y + 3 = 0, d2 = x – 3y + 9 = 0.
Giải: Tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng x = 5 nên toạ độ của tâm I có dạng I (5;b).Gọi R là
bán kính đường tròn.
Khoảng cách từ I đến d1 là: R =
Khoảng cách từ I đến d2 là: R =
15 b 3
10
5 3b 9
10
.
.
b 2 �
R 40
�
18 b 14 3b � �
��
b8
R 10
�
�
Vậy có hai đường tròn thoả mãn yêu cầu đề bài là:
(x-5)2 + (y+2)2 = 40
(x-5)2 + (y-8)2 = 10
Dạng 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác.
Cách1:
-
Tính diện tích tam giác và các cạnh của tam giác để suy ra bán kính đường tròn nội tiếp
tam giác: r =
-
S
p
Gọi I(x;y) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Khoảng cách từ tâm I đến ba cạnh
bằng nhau và bằng r. Từ đó thành lập được hệ phương trình hai ẩn x và y.
-
Giải hệ phương trình đó tìm được x, y từ đó có phương trình đường tròn phải tìm.
-
Viết phương trình đường phân giác trong của hai góc của tam giác.
-
Tìm giao điểm hai đường phân giác đó ta được toạ độ tâm I.
-
Tính khoảng cách từ tâm I đến một trong ba cạnh của tam giác
Cách 2:
ta được bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Ví dụ 11: Cho hai điểm A(8; 0) và B(0; 6).
a)
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác )AB.
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB
(Đại học Mỹ thuật công nghiệp 1998)
Giải:
a) Nhận xét: Tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của
cạnh huyền AB I(4;3)
Bán kính R = IA = 5
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:
(x-4)2 + (y-3)2 = 25
b)
Diện tích tam giác OAB là S = ½. 8.6 = 24
Cạnh huyền AB = 10
Nửa chu vi p = 12
r=
S
=2
p
Vì đường tròn này tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm J(r;r) = (2;2)
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: (x-2)2 + (y-2)2
=4
Ví dụ 12: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi ba đường thẳng:
4x-3y-65 = 0; 7x-24y+55 = 0; 3x+ 4y – 5= 0
Giải: Gọi ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:
AB: 4x-3y-65 = 0;
BC: 7x-24y+55 = 0
CA: 3x+ 4y – 5= 0
A(11;-7); B(23;9); C( -1;2) và dễ thấy tam giác ABC vuông ở A.
AB = 20; BC = 25; CA = 15
Diện tích tam giác là: S = 150
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: r = 5.
Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(x;y) khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng
đã cho đều bằng r = 5 nên ta có:
5
4 x 3 y 65 7 x 24 y 5 3 x 4 y 5
5
25
5
Giải hệ này ta tìm được I(10;0)
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là : (x-10)2 + y2 = 25
VẤN ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Tìm toạ độ giao điểm.
Cho đường thẳng : Ax + By + C = 0 (1) (A2 + B2 0)
và đường tròn (C): x2 + y2-2ax -2by + c = 0 (2). (C) có tâm I(a;b) và bán kính R.
Để xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn ta có hai phương pháp:
Phương pháp 1: Xét số giao điểm của và (C). Số giao điểm của và (C) là số nghiệm của hệ
phương trình:
Ax By C 0
�
�2
2
�x y 2ax 2by c 0
- Nếu hệ vô nghiệm thì và (C) không có giao điểm nào không cắt đường tròn.
- Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì và (C) có một giao điểm tiếp xúc với đường tròn.
- Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì và (C) có hai giao điểm cắt đường tròn tại hai
điểm phân biệt
Nhận xét: và (C) có điểm chung cắt hoặc tiếp xúc với (C)
Phương pháp 2: So sánh khoảng cách từ tâm I đến với bán kính R.
Bước 1: Tìm toạ độ I(a;b); R
Bước 2: Tính khoảng cách từ I đến h =
Ax By C
A2 B 2
TH1: h> R không cắt đường tròn và (C) không có giao điểm nào.
- Xem thêm -
.DOC 
37 
254 
111 
