Tài liệu Chuyên đề hàm số toán 9 luyện thi vào lớp 10

Hướng dẫn giải Chuyeân ñeà: HAØM SOÁ Toaùn 9 ÔN THI TS10 ~~~~~~*0*~~~~~~ / Bieân soaïn: Nguyeãn Long Thaïnh Bài 1. Với giá trị nào của m thì mỗi hàm số sau là hàm số bậc nhất. 1/ y = (1 – 4m + 4m2)x – 3  1 2 Hàm số trên là hàm số bậc nhất  1 – 4m + 4m 0  m 2/ y = 3  m ( x  2)  1 Hàm số trên là hàm số bậc nhất  3  m 0  3 – m > 0  m < 3 3/ y = (1 – m2)x2 + (m + 1)x – 3 2 2 Hàm số trên là hàm số bậc nhất  4/ y = 1  m 0  m 1  => m = 1   m  1 0  m  1 m 5 x 4 m2 Hàm số trên là hàm số bậc nhất  m 5 m2 0   m  5 0  m 5    m  2 0  m  2  2 Bài 2. Tìm m để các hàm số bậc nhất trong mỗi trường hợp sau: 1/ y =  m  2  1 x  15 nghịch biến trên R. * Điều kiện m  2 0  m 2 * Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi  m  2  1 0   m  2   1  m  2 1  m  2 1  m 3 * Hàm số trên nghịch biến trên R   m  2  1  0   m  2   1  m  3 Vậy để hàm số đã cho nghịch biến trên R thì 3 > m > 2. 2/ y = 3  m  x  2 đồng biến trên R. * Điều kiện: m > 0 * Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi 3  m 0  3  m  m 9 * Hàm số trên đồng biến trên R  3  m  0  3  m  m  9 Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên R thì 0 < m < 9. 3/ y = ( 2  m) x  2m  1 khi x = 2 thì y = 1. * Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi 2  m 0  m  2 * Thay x = 2 ; y = 1 vào hàm số đã cho ta được: 1 = ( 2  m) 2  2m  1  ( 2  m) 2  2m  1 1  2  m 2  2m  1 1  2  m 2  2m 0 2 2 2 4  m  m  ( 2  2)  2 2 2 Bài 3. Cho hàm số y = 1  3 x  3 3 .  m   1/ Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao? Hàm số đã cho nghịch biến trên R vì a = 1  3  < 0 2/ Tình giá trị của y khi x = 1: Thay x = 1 vào hàm số đã cho ta được: y = 1  3 .1  3 3 = 1  3  3 3 = 1  2 3 3/ Tính giá trị của x khi y = 3: Thay y = 3 vào hàm số đã cho ta được: 3 = 1  3  x  3 3  3 = 1  3  x  3 3  x = 3 Bài 4. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b. biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng: 1/ Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2: * Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 nên x = 3, y = 0. Thay vào y = ax + b, ta được: 0 = 3a + b => a =  b 3 * Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên b = 2. Thay vào a =  b  2 ta tìm được: a = 3 3  2 x+2 3 1 2/ Song song với đường thẳng y = x và đi qua điểm B(1 ;2) : 2 Vậy hàm số cần xác định là y = Vì y = ax + b song song đường thẳng y =  1 a  1 x nên :  2 2  b 0 Và đi qua điểm B(1 ;2) nên ta thay x = 1 ; y = 2 vào y = ax + b ta được : 2 = Vậy hàm số cần xác định là y = 1 3 .1 + b  b = 2 2 1 3 x+ . 2 2 Bài 5. Cho hàm số bậc nhất (d) : y = m2x + 4 (m 0) và (d’) : y = 25x + m – 1. Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm số (d) và (d’) là hai đường thẳng: 1/ Song song: 2 (d) // (d’)   m 25  m 5  => m = -5   m  1 4  m 5 2/ Trùng nhau:  m 2 25  m 5 (d)  (d’)    => m = 5  m  1 4  m 5 3/ Cắt nhau: (d) cắt (d’)  m2  25  m  5 Bài 6. Cho hàm số bậc nhất (d) y = (m – 2)x + 3m + 1. Tìm m để đồ thị của hàm số 1/ Song song với đường thẳng (d’) : y = 3x + 2 : m 5  m  2 3  (d) // (d)    1 m  3 m  1  2  3  2/ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3: Ta có b = 3 => 3m + 1 = 3 => m = 2 3 1 1 ): Theo đề bài ta có x = -2; y = , thay vào (d) ta được: 2 2 1 1 9 = (m – 2)(-2) + 3m + 1  4 – 2m + 3m + 1 = m=  . 2 2 2 3/ Đi qua điểm A(-2; Bài 7. Với giá trị nào của m và n thì đồ thị của hai hàm bậc nhất (d): y = mx + n – 1 và (d’) y = (4 + n)x + 3 – n trùng nhau?  m  4  n  m 6 (d)  (d’)     n  1 3  n  n 2 Bài 8. Tìm hai số m và n, biết hai đường thẳng mx + 2y = -1 và my – nx = -5 cắt nhau tại M(3;-2) Vì 2 đường thẳng ấy cắt nhau tại M nên ta thay M(3;-2) lần lượt vào 2 đường thẳng ta được hệ phương trình:  3m  4  1  m 1      2m  3n  5  n 1 Bài 9. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-2;-5) và B(1;4): Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (d) đi qua hai điểm A(-2;-5) và B(1;4) nên ta thay lần lượt tọa độ   2a  b  5   2(4  b)  b  5  b 1 hai điểm ấy vào (d) ta được hệ phương trình:     a  b 4  a 3  a 4  b Vậy phương trình đường thẳng là: y = 3x + 1. Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng (d 1): y = 3x + 2; (d2): y = x – 4; (d3): y = 4x + 5m. Tìm giá trị của m để ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng qui. Tọa độ điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ: y3x2 3(y4 2)  y y7     xy  4  yx  4 x3 Thay x = -3; y = -7 vào (d3) ta được: 4.(-3) + 5m = -7  m = 1. Vậy khi m = 1 thì 3 đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng qui. Bài 11. Cho (P): y = x2 và (d): y = -2x + 3. 1/ Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ: * Bảng giá trị: x -1 x -2 -1 0 1 2 (d): y = -2x + 3 5 (P): y = x2 4 1 0 1 4 1 1 ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... 2/ Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính: * Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): x2 = -2x + 3  x2 + 2x – 3 = 0 (1) * Phương trình (1) có: a + b + c = 1 + 2 – 3 = 0. Do đó 2 nghiệm của phương trình là: x1 = 1 và x2 = -3 + Thay x1 = 1 vào (P) ta tìm được y1 = 1 => Tọa độ giao điểm thứ nhất là (1;1) + Thay x2 = -3 vào (P) ta tìm được y2 = 9 => Tọa độ giao điểm thứ hai là (-3;9) Vậy tọa độ các giao điểm của (P) và (d) là (1;1) và (-3;9). Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x + m. Với giá trị nào để: 3 1/ (d) không cắt (P): * Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): x2 x2 = 2x + m  – 2x – m = 0  x2 – 6x – 3m = 0 3 3 ∆’ = b’2 – ac = (-3)2 – 1.(-3m) = 9 + 3m. (d) không cắt (P)  ∆’ < 0 => 9 + 3m < 0  m < –3. 2/ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt:  ∆’ > 0 => 9 + 3m > 0 => m > –3. 3/ (d) tiếp xúc (P):  ∆’ = 0 => 9 + 3m = 0  m = -3 Bài 13. Cho (P): y =  x2 và đường thẳng (d): y = mx + n (m 2  0). 1/ Xác định m và n để (d) đi qua điểm A(-1;4) và tiếp xúc (P). (d) đi qua A(-1;4) nên ta thay x = -1; y = 4 vào (d) ta được: -m + n = 4 Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d):  x2 – mx – n = 0  x2 + 2mx + 2n = 0 (*) 2 Vì (d) tiếp xúc (P) nên ∆’ = 0 => (m)2 – 1.2n = 0  m2 – 2n = 0   m  n 4  n 4  m  n 4  m Giải hệ phương trình:    (I) 2 2 2  m  2n 0  m  2(4  m) 0  m  8  2m 0 * Giải phương trình m2 – 2m – 8 = 0 ta tìm được m1 = 4; m2 = -2  n 4  m  m 4 (I)     m 4  n 8  n 2 Hoặc (I)    m - 2 2/ Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) với các giá trị của m và n vừa tìm được ở câu 1: * Thay m = 4; n = 8 vào (*) ta được: x2 + 2.4.x + 2.8 = 0  x2 + 8x + 16 = 0 Giải phương trình bậc hai trên ta tìm được x = -4. Tiếp tục thay x = -4 vào (P) ta tìm được y = -8  Tọa độ tiếp điểm thứ nhất là (-4;-8). * Thay m = -2; n = 2 vào (*) ta được: x2 – 4x + 4 = 0. Giải phương trình bậc hai trên ta tìm được x = 2. Tiếp tục thay x = 2 vào (P) ta được y = -2  Tọa độ tiếp điểm thứ hai là (2;-2). Vậy tọa độ các tiếp điểm của (P) và (d) với các giá trị m và n vừa tìm được ở câu 1 là (-4;-8) và (2;-2). Bài 14. Tìm hệ số a của hàm số (P) y = ax2 (a  0), biết rằng đồ thị của nó cắt đường thẳng (d) y = -x + 2 tại điểm có hoành độ bằng 1. * Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): ax2 + x – 2 = 0 (**) (P) và (d) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1 nên x = 1. Ta thay x = 1 vào (**) ta được: a2 – 1 = 0  a = 1 Bài 15. Chứng minh các đường thẳng (d): y = 3mx – 1 – m luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Gọi x0, y0 là điểm cố định mà đường thẳng (d): y = 3mx – 1 – m luôn đi qua. => y0 = 3mx0 – 1 – m với mọi m  3mx0 – 1 – m – y0 = 0 với mọi m  m(3x0 – 1) = 0 và –(y0 + 1) = 0  m => x0 = Bài 16. Cho hàm số (P): y = 1/ Vẽ đồ thị hàm số (P): 1 2 x 2 x y= 1 2 1 ; y0 = –1. 3 -4 8 -2 2 0 0 2 2 4 8 x2 …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (P) tại hai điểm có hoành độ bằng -2 và 3. …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . Bài 17. x 0 1 1/ Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 4 (d) y = 2x + 4 4 6 …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . 2/ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) y = 6x2 bằng phép tính: * Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): 2x + 4 = 6x2  6x2 – 2x – 4 = 0 Giải phương trình bậc hai trên ta tìm được x1 = 1 và x2 =  2 . 3 + Thay x1 = 1 vào (P) ta tìm được y1 = 6 => Tọa độ giao điểm thứ nhất là (1;6) 2 8 2 8 vào (P) ta tìm được y2 = => Tọa độ giao điểm thứ hai là (  ; ) 3 3 3 3 2 8 Vậy tọa độ các tiếp điểm của (P) và (d) là (1;6) và (  ; ). 3 3 + Thay x2 =  3/ Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b (d’), biết rằng đồ thị song song với đường thẳng (d) và đi qua Q(3;4). Vì (d) // (d’) nên  a 2  Và đi qua Q(3;4) nên ta thay x = 3; y = 4 vào (d’) ta được: 3.2 + b = 4  b = -2.  b 4 Vậy hàm số cần xác định là y = 2x – 2. Bài 18. 1/ Viết phương trình đường thẳng (e) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5. * Do đường thẳng (e) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5 nên x = 5; y = 0. * Ta thay x = 5; y = 0 vào y = ax + b ta được: 5a + b = 0 * Do đường thẳng (e) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên b = 5. Ta thay vào 5a + b = 0 ta được: a = -1. Vậy phương trình đường thẳng cần xác định là y = -x + 5. 2/ Tìm m và n để đường thẳng (f): y = (m + 1)x + n – 3 (m -1) song song với đường thẳng y = -2x + 4 (d). (f) // (d)  m 1  2 m  3    n  3  4  n 7 Bài 19. Cho (P): y = 1 2 x và (d1): y = 2mx – 1 – m (m 2 0). 1/ Với m = -2, vẽ (P) và (d1) trên cùng mặt phẳng tọa độ: Thay m = -2 vào (d1) ta được: y = -4x – 3. x -4 -2 0 2 4 x -1 1 8 2 0 2 8 y = -4x – 3 1 y= 2 0 -3 x 2 2/ Tìm m để đường thẳng (d1), (d2): y = 2x – 1, (d3): y = x đồng qui. Tọa độ giao điểm của (d3) và (d2) là nghiệm của hệ:  xy  xy y1     xy  12  xx  12 x1 Thay x = 1; y = 1 vào (d1) ta được: 1 = 2.m.1 – 1 – m  m = 2. Vậy khi m = 2 thì (d1), (d2), (d30 đồng qui. Bài 20. 1/ Trên cùng hệ trục tọa độ Oxy, vẽ đồ thị các hàm số: y = x 1 y= 2 -4 8 -2 2 0 0 2 2 4 8 x2 x y = 2x + 1 1 2 x và y = 2x + 1. 2 0 1 1 3 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x 1 2 + 1 và tiếp xúc với (P): y = x : 2 …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... . …………………………………………………………………………………………………………………....... .