Tài liệu Chuyên đề bất đẳng thức luyện thi vào 10

mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc Ph¬ng ph¸p 1 : dïng ®Þnh nghÜa KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B. Ta chøng minh A –B > 0 Lu ý dïng h»ng bÊt ®¼ng thøc M 2 �0 víi M VÝ dô 1  x, y, z chøng minh r»ng : a) x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3  2 (x + y + z) Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu: x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = 1 .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz 2 – zx) = 1  ( x  y ) 2  ( x  z ) 2  ( y  z ) 2  0 ®óng víi mäi x;y;z �R 2 V× (x-y) �0 víix ; y DÊu b»ng x¶y ra khi x=y; (x-z)2 �0 víix ; z DÊu b»ng x¶y ra khi x=z (y-z)2 �0 víi z; y DÊu b»ng x¶y ra khi z=y VËy x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx. DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z b)Ta xÐt hiÖu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz – 2yz =( x – y + z) 2 0 ®óng víi mäi x;y;z �R VËy x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z �R . DÊu b»ng x¶y ra khi x+y=z c) Ta xÐt hiÖu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 = (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2  0. DÊu(=)x¶y ra khi x=y=z=1 VÝ dô 2: chøng minh r»ng : 2 a) a2  b2  a  b    2  2  2 ; b) a2  b2  c2  a  b  c    3 3   c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n a2  b2  a  b     2  2  Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu = 1  a  b 2 4 b)Ta xÐt hiÖu: VËy a 2 2 0 . VËy b c  a b c    3 3   c)Tæng qu¸t: 2 2 2 2 = 2a  b   a  2ab  b = 1  2a 2  2b 2  4 a2  b2  a  b    2  2  a2  b2  c2  a  b  c     3 3   2 2 2 2 2 2 4 4 a 2  b 2  2ab  ; DÊu b»ng x¶y ra khi a=b = 1  a  b  2   b  c  2   c  a  2  0 9 ; DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c a12  a 22  ....  a n2  a1  a 2  ....  a n    n n   2 ph¬ng ph¸p 2 : Dïng phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng Ta biÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi bÊt ®¼ng thøc ®óng hoÆc bÊt ®¼ng thøc ®· ®îc chøng minh lµ ®óng. Chó ý c¸c h»ng ®¼ng thøc sau:  A �B  2  A2 �2 AB  B 2  A  B  C  2  A 2  B 2  C 2  2 AB  2 AC  2 BC  A �B  3  A3 �3 A2 B  3 AB 2 �B 3 VÝ dô 1:Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng: a) 1 a2  b2 ab 4 b) a 2  b 2  1 ab  a  b Gi¶i: a) a2  b2 ab  4a 2  b 2 4ab  4a 2  4a  b 2 0 4   2 a  b  0 2 VËy a 2  b 2 4 b) c) a 2  b 2  c 2  d 2  e 2 a b  c  d  e ab (bÊt ®¼ng thøc nµy lu«n ®óng) (dÊu b»ng x¶y ra khi 2a=b) 2 2 a 2  b 2  1 ab  a  b  2(a  b  1   2(ab  a  b)  a 2  2ab  b 2  a 2  2a  1  b 2  2b  1 0 BÊt ®¼ng thøc cuèi ®óng. VËy a  b  1 ab  a  b . DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=1 c) a 2  b 2  c 2  d 2  e 2 a  b  c  d  e   4 a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  4a b  c  d  e   a 2  4ab  4b 2    a 2  4ac  4c 2    a 2  4ad  4d 2    a 2  4ac  4c 2  0   a  2b  2   a  2c  2   a  2d  2   a  2c  2 0 BÊt ®¼ng thøc ®óng vËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh VÝ dô 2: Cho a, b lµ hai sè d¬ng cã tæng b»ng 1 . Chøng minh r»ng : 1  (a  b) 2  (a  1) 2  (b  1) 2 0 2 2 a 1  1 4  b 1 3 Gi¶i: Dïng phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ; 3(a + 1 + b + 1)  4(a + 1) (b + 1)  9  4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1)  9  4ab + 8  1  4ab  (a + b)2  4ab BÊt ®¼ng thøc cuèi ®óng . Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh . VÝ dô 3: cho x.y =1 vµ x>y Gi¶i: Ta cã: x2  y2 x y 2 2 Chøng minh x2  y2 x y v× : x  y nªn x- y  2 2 0  x2+y2  2 2 ( x-y)  x2+y2- 2 2 x+ 2 2 y 0  x2+y2+2- 2 2 x+ 2 2 y -2 0  x2+y2+( 2 )2- 2 2 x+ 2 2 y -2xy 0 v× x.y=1 nªn 2.x.y=2  (x-y- 2 )2  0 §iÒu nµy lu«n lu«n ®óng . VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh VÝ dô 4: Cho 2 sè a, b tho¶ m·n a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab  Gi¶i : Ta cã : a3 + b3 + ab  1 2 <=> (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - <=> a3 + b3 + ab 1 2 1 2  0 <=> a2 + b2 - 1 2 0 1 2  0 . V× a + b = 1  2a2 + 2b2 - 1  0  2a2 + 2(1-a)2 - 1  0 ( v× b = a -1 )  4a2 - 4a + 1  0 ( 2a - 1 )2 0 BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng . VËy a3 + b3 + ab  1 2 DÊu '' = '' x¶y ra khi a = b = 1 2 Ph¬ng ph¸p 3: dïng bÊt ®¼ng thøc quen thuéc A/ mét sè bÊt ®¼ng thøc hay dïng 1) C¸c bÊt ®¼ng thøc phô: a) x 2  y 2 2 xy b)  x  y  2 4 xy c) a  b b n 2)BÊt ®¼ng thøc C« sy: a1  a 2  a3  ....  a n  a1a 2 a3 ....a n n 2 a Víi 2 ai  0 a a . a .x x . axax . ax 2 2 2 2 2 2 2 3)BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski: 2 2 n 1 2 n 11 2 2 n n 4) BÊt ®¼ng thøc Trª- b-sÐp: NÕu NÕu  a b c   A  B C  a b c   A  B C   aA  bB  cC a  b  c A  B  C  . 3 3 3 aA  bB  cC a  b  c A  B  C  . 3 3 3  a b c  A  B C . DÊu b»ng x¶y ra khi  b/ C¸c vÝ dô VÝ dô 1: Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc phô:  x  y  2 4 xy Tacã  a  b  2 4ab ;  b  c  2 4bc ;  c  a  2 4ac   a  b  2  b  c  2  c  a  2 64a 2 b 2 c 2  8abc  2  (a+b)(b+c)(c+a) 8abc DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c VÝ dô 2: Gi¶ sö a, b, c lµ c¸c sè d¬ng , chøng minh r»ng: a b c   2 bc ca a b Gi¶i: ¸p dông B§T Cauchy , ta cã : a + (b + c) T¬ng tù ta thu ®îc : b 2b  c a a b c , 2 a (b  c ) a 2a  b c a b c  c 2c  a b a b c DÊu b»ng cña ba B§T trªn kh«ng thÓ ®ång thêi x¶y ra , v× khi ®ã cã : a = b + c , b = c + a , c = a + b nªn a + b + c = 0 ( tr¸i víi gi¶ thiÕt a, b, c ®Òu lµ sè d¬ng ). Tõ ®ã suy ra : a b c   2 bc ca a b VÝ dô 2 : Cho x , y lµ 2 sè thùc tho¶ m·n : x2 + y2 = x 1  y  y 1  x Chøng minh r»ng : 3x + 4y  5 Gi¶i : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki ta cã : (x2 + y2)2 = ( x 1  y  y 1  x )2 ( x 1 ; y 1 )  (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) => x2 + y2  1 Ta l¹i cã : (3x + 4y)2  (32 + 42)(x2 + y2)  25 => 3x + 4y  5 2 2 §¼ng thøc x¶y ra  2 2  2 2  x  y 1   x  0, y  0  x y  3  4 3   x 5 3 5 x   . §iÒu kiÖn : 4 2 2 y 5  VÝ dô 3: Cho a, b, c  0 ; a + b + c = 1 . Chøng minh r»ng : a, a  b  b  c  c  a  6 b, a  1  b  1  c  1  3,5 Gi¶i : a, ¸p dông bÊt d¼ng thøc Bunhiac«pxki víi 2 bé 3 sè ta cã :  a  b .1  b  c .1  c  a .1 1  1  1  a  b    b  c    c  a   2 =>  a b  b c  c a  2 3.( 2a  2b  ac ) 6 => 3 2 2 a b  bc  c a  6 . 1 3 DÊu '' = '' x¶y ra khi : a = b = c = b, ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si , ta cã : a  1  (a  1)  1  a  1 2 T¬ng tù : b b 1  1 2 2 c c 1  1 2 ; Céng tõng vÕ cña 3 bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®îc : a 1  b 1  c 1  a b c  3 3,5 2 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi a = b = c =0 tr¸i víi gi¶ thiÕt : a + b + c = 1 VËy : a  1  b  1  c  1  3,5 VÝ dô 4 : Cho c¸c sè d¬ng a , b , c tho¶ m·n : a + b + c = 1 . Chøng minh r»ng : a b  0 b a Gi¶i : Ta cã : Ta cã : ,a,b>0 1 1 1 1 1 1    (   ) .1 a b c a b c = ( 1 1 1   ) .(a a b c =1  a  a  b  1  b  c  c  1 = b c a => c a b 1 1 1   9 DÊu a b c ''='' x¶y ra khi : a = b = c = Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã : 1 1  x y )  4 => 1 1  x y + b + c) a b b c c a 3(  )(  )(  )  3 b a c b a c VÝ dô 5: Cho x , y > 0 . Chøng minh r»ng : => (x + y)(  +2+2+2=9 1 3 1 1 4   x y x y x  y  2 xy 1 x 1 y  2 xy 4 x y VÝ dô 6: Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: ( a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2 Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski tacã ac+bd  a 2  b 2 . c 2  d 2 mµ  a  c  2   b  d  2 a 2  b 2  2 ac  bd   c 2  d 2    a2  b2  2 a2  b2 . c2  d 2  c2  d 2  2 2 ( a  c)  (b  d )  a  b  c 2  d 2 2 2 VÝ dô 7: Chøng minh r»ng: a 2  b 2  c 2 ab  bc  ac Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski C¸ch 1: XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã 12  12  12 (a 2  b 2  c 2 ) 1.a  1.b  1.c  2 3 a 2  b 2  c 2  a 2  b 2  c 2  2 ab  bc  ac    a 2  b 2  c 2 ab  bc  ac §iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c Ph¬ng ph¸p 4:dïng tÝnh chÊtcña tû sè KiÕn thøc 1) Cho a, b ,c lµ c¸c sè d¬ng th× a – NÕu a  1 th× a  a  c b 1 1 1   9 a b c b bc 4 a b – NÕu  1 th× b 2) NÕu b, d >0 th× tõ a a c  b bc a c a ac c     b d b bd d ` a b c d    2 a b c b c  d c  d  a d a b a a ad 1  (1) a b c a b c a b c d VÝ dô 1 : Cho a,b,c,d > 0 .Chøng minh r»ng: 1  Gi¶i : Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã: a a  (2) a bc a b c d a a Tõ (1) vµ (2) ta cã: < < ad a b c d a b c a b c d b b ba T¬ng tù ta cã:   (4) a b c  d b c  d a b c  d c c bc   (5) a b c d c d a a b c d d d d c   (6) a b c d d a b a b c d MÆt kh¸c : (3) céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã a b c d 1     2 ®iÒu ph¶i chøng minh a b c VÝ dô Gi¶i: VËy b c d c d a d a b 2 : Cho: a < c vµ b,d > 0 .Chøng minh r»ng a b d b ab cd ab ab  cd cd c a c Tõ <  2  2  2  2 2  2  b d d b d b b d d a ab  cd c < ®iÒu ph¶i chøng minh  b b2  d 2 d < ab  cd c  b2  d 2 d VÝ dô 3: Cho a;b;c;d lµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000 t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña a  b c d Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p lµm tréi Dïng c¸c tÝnh bÊt ®¼ng thøc ®Ó ®a mét vÕ cña bÊt ®¼ng thøc vÒ d¹ng tÝnh ®îc tæng h÷u h¹n hoÆc tÝch h÷u h¹n. (*) Ph¬ng ph¸p chung ®Ó tÝnh tæng h÷u h¹n : S = u1  u2  ....  un Ta cè g¾ng biÕn ®æi sè h¹ng tæng qu¸t u k vÒ hiÖu cña hai sè h¹ng liªn tiÕp nhau: u k ak  ak 1 Khi ®ã : S =  a1  a2    a2  a3   ....   an  an1  a1  an1 (*) Ph¬ng ph¸p chung vÒ tÝnh tÝch h÷u h¹n: P = BiÕn ®æi c¸c sè h¹ng Khi ®ã P = uk u1u 2 ....u n vÒ th¬ng cña hai sè h¹ng liªn tiÕp nhau: u k = a1 a2 a a . ..... n  1 a2 a3 an 1 an 1 VÝ dô 1 :Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng : Gi¶i: Ta cã ak ak 1 1 1 1   n  k n  n 2n 1 1 1 1 3    ....   2 n 1 n  2 nn 4 víi k = 1,2,3,…,n-1 5 Do ®ã: 1 1 1 1 1 n 1   ...    ...    n 1 n  2 2n 2n 2n 2n 2 1 1 1   ....   2 n 1  1 2 3 n  VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: 1  1 2 2   2 k  1  k 2 k k  k 1  Gi¶i : Ta cã Ta cã: 1 > 2  1 2 3 2  2 k  Víi n lµ sè nguyªn   21  ……………… 1  2 n 1  n  n  Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã 1 1 1   ....  2 2 3 n 1   n 1  1 VÝ dô 3 : Chøng minh r»ng n 1 k k 1 Gi¶i: Ta cã Ta cã: 2 2 n  Z 1 1 1 1    2 k k  k  1 k  1 k 1 1 1 22 2 1 1 1   32 2 3 ................. 1 1 1   2 n n 1 n 1 1 1  2  2  ....  2  1 2 3 n VËy n 1 k k 1 2 2 Ph¬ng ph¸p 6: Dïng bÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> 0; vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c b| < c < b+a VÝ dô 1: Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i: a)V× a,b,c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã 0  a  b  c  0  b  a  c 0  c  a b    a 2  a (b  c)  2  b  b( a  c )  c 2  c ( a  b)  Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b) Ta cã a > b-c   a 2  a 2  (b  c) 2 > 0 b > a-c   b 2  b 2  (c  a) 2 > 0 c > a-b   c 2  c 2  (a  b) 2  0 Nh©n vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc ta ®îc 6 ; |a-     a 2b 2 c 2  a 2   b  c  b 2   c  a  c 2   a  b  2 2  a 2b 2 c 2   a  b  c   b  c  a   c  a  b  2 2 2  2  abc   a  b  c . b  c  a . c  a  b  VÝ dô 1: Cho tam gi¸c ABC cã chu vi 2p = a + b + c (a, b , c lµ ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c) . Chøng minh r»ng : 1 1 1 1 1 1   2 (   ) p a p b p c a b c Gi¶i: Ta cã : p - a = bc  a 0 2 T¬ng tù : p - b > 0 ; p - c > 0 ; ¸p dông bÊt ®¼ng thøc T¬ng tù : => 2( 1 1 4   x y x y 1 1 4   p b p c a ; 1 1 4 4    p  a p  b ( p  a )  ( p  b) c ta ®îc ; 1 1 4   p a p c b 1 1 1 1 1 1   ) 4(   ) p a p c p c a b c => ®iÒu ph¶i chøng minh . DÊu '' = '' x¶y ra khi : p - a = p - b = p - c  a = b = c. Khi ®ã tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu . Ph¬ng ph¸p 7: ®æi biÕn sè VÝ dô1: Chøng minh r»ng : NÕu a , b , c > 0 th× : a  b  c  3 bc ca yz x 2 Khi ®ã : VT = = , b= zx y 2 a b c   bc ca ba , c= = 2 xyz 2 Gi¶i: §Æt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c = => a = ba xy z 2 yz x zx y xy z   2x 2y 2z 1 y x 1 z x 1 z y 3 3 3 (  )  (  )  (  )  1  1  1   2 x y 2 x z 2 y z 2 2 2 VÝ dô2: Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1. Chøng minh r»ng Gi¶i: §Æt x = a 2  2bc ; y = b 2  2ac ; z = c 2  2ab Ta cã x  y  z  a  b  c  2  1 (1)  1 1 1   9 x y z Víi x+y+z < 1 vµ x ,y,z > 0 Theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: 1 1 1   3. x y z 1 1 1  2  2 9 a  2bc b  2ac c  2ab 2 .3 x  y  z 3. 3 xyz 1 1 1 1   x  y  z .    9 xyz x y z 1 1 1   9 (®pcm) x y z Mµ x+y+z < 1. VËy Ph¬ng ph¸p 8: dïng tam thøc bËc hai Cho tam thøc bËc hai f  x  ax 2  bx  c NÕu   0 th× a. f  x   0 x  R NÕu  0 th× a. f  x   0 NÕu   0 th× a. f  x   0 a. f  x   0 b a x  x1 hoÆc x  x2 x1  x  x2 x  víi víi 7 ( x2  x1 ) (1) VÝ dô: Chøng minh r»ng: f  x, y  x 2  5 y 2  4 xy  2 x  6 y  3  0 (1) 2 2 Gi¶i:Ta cã (1)  x  2 x 2 y  1  5 y  6 y  3  0 2 2 2 2  2 y  1  5 y 2  6 y  3  4 y  4 y  1  5 y  6 y  3    y  1  1  0 VËy f  x, y   0 víi mäi x, Ph¬ng ph¸p 9: dïng quy n¹p to¸n häc §Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n  n0 ta thùc hiÖn c¸c bíc sau : 1 – KiÓm tra bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n n0 2 - Gi¶ sö B§T ®óng víi n =k (thay n =k vµo B§T cÇn chøng minh ®îc gäi lµ gi¶ thiÕt quy n¹p ) 3- Ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k +1 (thay n = k+1vµo B§T cÇn chøng minh råi biÕn ®æi ®Ó dïng gi¶ thiÕt quy n¹p) 4 – kÕt luËn B§T ®óng víi mäi n  n0 VÝ dô1: Chøng minh r»ng 1 1 1 1  2  ....  2  2  2 1 2 n n (1) n  N ; n  1 Gi¶i : Víi n =2 ta cã 1  1  2  1 (®óng) 4 2 VËy B§T (1) ®óng víi n =2 Gi¶ sö B§T (1) ®óng víi n =k ta ph¶i chøng minh B§T (1) ®óng víi n = k+1 1 1 1 1 1  2  ....  2   2 2 2 1 2 k (k  1) k 1 ThËt vËy khi n =k+1 th× (1)  Theo gi¶ thiÕt quy n¹p   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  2  ....  2   2   2     2  ....  2 2 2 2 2 1 2 k (k  1) k  k  1 k 1 1 (k  1) k  1  k  1 k k 1 1 1   k (k  2)  (k  1) 2 (k  1) 2 k  k2+2k 2n + 1 (*) Gi¶i : + Víi n = 3 , ta cã : 2n = 23 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . VËy ®¼ng thøc (*) ®óng víi n = 3 . + Gi¶ sö (*) ®óng víi n = k (k  N ; k  3) , tøc lµ : 2k > 2k + 1 ta ph¶i chøng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + 1 hay : 2k+1 > 2k + 3 (**) + ThËt vËy : 2k+1 = 2.2k , mµ 2k > 2k + 1 ( theo gi¶ thiÕt quy n¹p ) do ®ã : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( V× : 2k - 1 > 0) VËy (**) ®óng víi mäi k  3 . + KÕt luËn : 2n > 2n + 1 víi mäi sè nguyªn d¬ng n  3 . VÝ dô 3: Chøng minh r»ng : 1 2 . 3 . 5 ... 4 6 Gi¶i : + Víi n = 1 , ta cã : VT = VP = + Gi¶ sö (*) ®óng víi n = k  1 ta cã : 1 2 2n  1 2n  1 3n  1 (*) (n lµ sè nguyªn d¬ng ) . VËy (*) ®óng víi n = 1 . 1 2 . 3 . 5 ... 4 6 Ta cÇn chøng minh (*) ®óng víi n = k + 1 , tøc lµ : 8 2k  1  2k 1 3k  1 1 2 . 3 . 5 ... 4 6 2k  1 2k  1  . 2( k  1) 2k do ®ã chØ cÇn chøng minh : 2k  1 3k  1 2(k  1) 1 1 2k  1 3k  1 2( k  1) .  1 3( k  1)  1 dïng phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng , ta cã : (2k + 1)2(3k + 4)  (3k + 1)4(k +1)2  12k3 + 28k2 + 19k + 4  12k3 + 28k2 + 20k +4  k  0 . => (**) ®óng víi mäi k  1 . VËy (*) dóng víi mäi sè nguyªn d¬ng n . Ph¬ng ph¸p 10: Chøng minh ph¶n chøng Gi¶ sö ph¶i chøng minh bÊt ®¼ng thøc nµo ®ã ®óng , ta h·y gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc ®ã sai vµ kÕt hîp víi c¸c gi¶ thiÕt ®Ó suy ra ®iÒu v« lý , ®iÒu v« lý cã thÓ lµ ®iÒu tr¸i víi gi¶ thiÕt , cã thÓ lµ ®iÒu tr¸i ngîc nhau .Tõ ®ã suy ra bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh lµ ®óng VÝ dô 1: Cho ba sè a,b,c tháa m·n a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0. CMR: a > 0, b>0, c>0 Gi¶i : Gi¶ sö a  0 th× tõ abc > 0  a  0 do ®ã a < 0 Mµ abc > 0 vµ a < 0  cb < 0 Tõ ab+bc+ca > 0  a(b+c) > -bc > 0 V× a < 0 mµ a(b +c) > 0  b + c < 0 a < 0 vµ b +c < 0  a + b +c < 0 tr¸i gi¶ thiÕt a+b+c > 0 VËy a > 0 t¬ng tù ta cã b > 0 , c > 0 VÝ dô 2: Cho 4 sè a , b , c , d tháa m·n ®iÒu kiÖn: ac  2.(b+d). Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt mét trong c¸c bÊt ®¼ng thøc sau lµ sai: a 2  4b , c 2  4d Gi¶i : Gi¶ sö 2 bÊt ®¼ng thøc : a 2  4b , c 2  4d ®Òu ®óng khi ®ã céng c¸c vÕ ta ®îc a 2  c 2  4(b  d ) (1) Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d)  2ac (2) Tõ (1) vµ (2)  a 2  c 2  2ac hay  a  c  2  0 (v« lý) VËy trong 2 bÊt ®¼ng thøc a 2  4b vµ c 2  4d cã Ýt nhÊt mét c¸c bÊt ®¼ng thøc sai VÝ dô 3: Cho x,y,z > 0 vµ xyz = 1. Chøng minh r»ng 1 1 1 NÕu x+y+z > x  y  z th× cã mét trong ba sè nµy lín h¬n 1 1 1 1 Gi¶i :Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – ( x  y  z ) v× xyz =1 1 1 1 theo gi¶ thiÕt x+y +z > x  y  z nªn (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 chØ cã mét sè d¬ng. ThËt vËy nÕu c¶ ba sè d¬ng th× x,y,z > 1  xyz > 1 (tr¸i gi¶ thiÕt). Cßn nÕu 2 trong 3 sè ®ã d¬ng th× (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (v« lý) VËy cã mét vµ chØ mét trong ba sè x , y,z lín h¬n 1 c¸c bµi tËp n©ng cao i / Dïng biÕn ®æi t¬ng ®¬ng 1) Cho x > y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng: x  y2  8  x  y2 2 2 Gi¶i :Ta cã x 2  y 2  x  y  2  2 xy  x  y  2  2 (v× xy = 1)   x 2  y 2 2  x  y  4  4. x  y  2  4 Do ®ã B§T cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi 2  x  y  4  4 x  y  2  4 8. x  y  2   x  y  4  4 x  y  2  4 0    x  y  2  2 0 B§T cuèi ®óng nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 9 1 1 2   2 2 1 x 1 y 1  xy 1 1 2  1 1   1 1        0     2 2 2 2  2 1 x 1 y 1  xy  1  x 1  y   1  y 1  xy  2) Cho xy  1 .Chøng minh r»ng: Gi¶i : Ta cã  xy  x 2 xy  y 2  1  x 2 .1  xy  1  y 2 .1  xy  0  x( y  x) y( x  y)  0  2 1  x .1  xy  1  y 2 .1  xy       y  x  2  xy  1 0 1  x 2 .1  y 2 .1  xy  B§T cuèi nµy ®óng do xy > 1 .VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh ii / dïng bÊt ®¼ng thøc phô 1) Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1. Chøng minh r»ng: a 2  b 2  c 2 1 3 Gi¶i : ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1,1,1) vµ (a,b,c) Ta cã 1.a  1.b 1.c  2 1  1  1. a 2  b 2  c 2    a  b  c  2 3.a 2  b 2  c 2   a 2  b2  c2  1 3 (v× a+b+c =1 ) (®pcm) 1 1 1 2) Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng. Chøng minh r»ng:  a  b  c .    9 Gi¶i : (1) a b c a a b b c c a b a c b c  1     1     1 9  3             9 b c a c a a b a  c a c b ¸p dông B§T phô x y  2 y x (1) Víi x,y > 0 1 1 1 Ta cã B§T cuèi cïng lu«n ®óng. VËy  a  b  c .    9 Iii / dïng ph¬ng ph¸p b¾c cÇu So s¸nh 31 11 vµ 17 14 11 Gi¶i : Ta thÊy 3111 < 3211   25   255  256 MÆt kh¸c 256  24.14   24   1614  1714 VËy 31 11 < 17 14 (®pcm) iv/ dïng tÝnh chÊt tØ sè a b c (®pcm) 14 1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chøng minh r»ng : 2  Gi¶i : V× a ,b ,c ,d > 0 nªn ta cã ab bc cd d a    3 abc bc d c d  a d ab ab ab abd   abcd abc abcd b  c bc bca   abcd bcd abcd d a d a d ac   abc d d  ab abcd (1) (2) (3) Céng c¸c vÕ cña 4 bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã : 2 ab bc cd d a    3 a bc bc d cd a d a b (®pcm) 2) Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c Chøng minh r»ng: 1  a b c   2 bc ca ab Gi¶i :V× a ,b ,c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã a,b,c > 0 Vµ a < b +c ; b a2 + b2  VËy min B = 1 2 khi a = b = 1 2 1 2 Bµi 2: a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = (x2 + x)(x2 + x - 4) 11 b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y Gi¶i: a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) . §Æt : t = x2 + x - 2 => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - 4  - 4 DÊu b»ng x¶y ra khi : t = 0  x2 + x - 2 = 0  (x - 2)(x + 2) = 0  x = -2 ; x = 1 . => min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ; b, T¬ng tù Bµi 3 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc . a, C = 2 x  3  2 x  1 ; b, D = x  x  3  x  x  6 Gi¶i : a, ¸p dông B§T : A  B  A  B DÊu '' = ''x¶y ra khi AB  0 . => C = 2 x  3  1  2 x  2 x  3  1  2 x   2 2 2 2 DÊu '' = '' x¶y ra khi (2x - 3)(1 - 2x)  0 1 3 x  2 2  1 3 x  2 2 VËy minC = 2 khi b, T¬ng tù : minD = 9 khi : -3  x  2 c, minE = 4 khi : 2  x  3 Bµi 4 : Cho ba sè d¬ng x , y , z tho¶ m·n : 1 1 x + 1 1 y y 1 y + z 2 1 z + 1 2 1 z T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tÝch : P = xyz Gi¶i : 1  (1 1 x T¬ng tù : 1 1 y - 1 1 y 2 1 1 z 2 )+(1- = )= yz (1  y )(1  z ) zx (1  x )(1  z ) xy (1  x)(1  y ) Tõ ®ã suy ra : P = xyz  Bµi 5 : 1 1 z 1 8 . MaxP = 1 8 khi x = y = z = 1 2 Cho 3 sè d¬ng a, b, c th¶o m·n : a + b + c =1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : F 1 1 1 (a  ) 2  (b  ) 2  (c  ) 2 a b c Gi¶i: Ta cã : F = (a2 + b2 + c2) + ( 1 1 1  2 2)+6 2 a b c VËn dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki , ta cã : (a.1 + b.1 + c.2)2  3(a2 + b2 + c2) => a2 + b2 + c2  T¬ng tù : MÆt kh¸c 1 1 1 1 1 1 (   )2  3 ( 2  2  2 ) a b c a b c : 1  1  1 ( 1  1  1 ).1 = ( 1  1  1 )(a a b c a b c a b c 1 3 + b + c) = 3 + ( a  b ) + (b  c ) + ( c  a ) 3 + 2 + 2 + 2 = 9 b a c b a c 12 => 1 1 1   a b c 1 a 1 b 1 c  9 => (   ) 2  81 => ( 1 1 1 1 + 27 + 6 =  2  2 )  27 F  2 3 a b c 33 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = Bài 7 : Cho G = yz x  1  zx 1 3 1 . Vậy MinF = 33 3 khi : a = b = c = y  2  xy z  3 xyz 1 3 . .Tìm giá trị lớn nhất của G. Giải : Tập xác định : x  1 ; y  2 ; z  3 x 1 x Ta cã : G = y 2 y + Theo BĐT Côsi ta có : T¬ng tù : y 2 1  y 2 2 VËy MaxG = + z 3 z x 1 x  1 1 2 z 3 1  z 2 3 ; 1 1 1   2 2 2 2 3 => => G 1 x 1  2 x 1 1 1   2 2 2 2 3 ®¹t ®îc khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6 x x 1 Bµi 8 a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña H = víi x > 1 . b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña K = x . 1  x HD : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si vµ lµm t¬ng tù nh bµi 5 : 2 - Dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh . Nhê vµo c¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc , c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc , ta biÕn ®æi hai vÕ ( VT , VP ) cña ph¬ng tr×nh sau ®ã suy luËn ®Ó chØ ra nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . NÕu VT = VP t¹i mét hoÆc mét sè gi¸ trÞ nµo ®ã cña Èn ( tho¶ m·n TX§) => ph¬ng tr×nh cã nghiÖm . NÕu VT > VP hoÆc VT < VP t¹i mäi gi¸ trÞ cña Èn => ph¬ng tr×nh v« nghiÖm . Bµi 1 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 13 x  1 + 9 x  1 = 16x Gi¶i: §iÒu kiÖn : x  1 (*) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã : 13 x  1 + 9 x  1 2 = 13.2. 1 2 x 1 + 3.2. 3 2 1   x  1 2 DÊu '' = '' x¶y ra   3  x 1  2  x  1  13( x= 5 4 x-1+ 1 4 ) + 3(x + 1 + 9 4 ) = 16x tho¶ m·n (*) Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm  dÊu '' = '' ë (2) x¶y ra. VËy (1) cã nghiÖm x = Bµi 2: a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña L = 2 x  3 + 5  2 x b. Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2 x  3 + 5  2 x - x2 + 4x - 6 = 0 (*) Gi¶i : a. Tãm t¾t : ( 2 x  3 + 5  2 x )2  2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4  2 x  3 + 5  2 x  2 => MaxL = 2 khi x = 2 . b. TX§ : 3 5 x  2 2 (*)  2x  3 + 5  2x = x2 - 4x + 6 13 5 4 . VP = (x - 2)2 + 2  2 , dÊu '' = '' x¶y ra khi x = 2 . => víi x = 2 ( tho¶ m·n TX§ ) th× VT = VP = 2 . => ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm x = 2 . Bµi 3 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 6  x + x  2 = x2 - 6x + 13 Gi¶i : TX§ : -2  x  6. VP = (x - 3)2 + 4  4 . DÊu '' = '' x¶y ra khi x = 3 . VT2 = ( 6  x .1 + x  2 .1)2  (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 => VT  4 , dÊu '' = '' x¶y ra khi 6  x = x  2  x = 2 . => kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x ®Ó VT = VP => Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Bµi 4 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3x 2  12 x  16 + y  4 y  13 = 5 2 HD: 3 x 2  12 x  16 2; y 2  4 y  13 VT 5. DÊu '' = '' x¶y ra khi :  x  2 0   y  2 0   x 2   y 2 => ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = 2 ; y = 2 . 3. Dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ngoµi ra cßn cã mét sè nh÷ng øng dông kh¸c cña bÊt ®¼ng thøc , ®ßi hái häc sinh ph¶i linh ho¹t vµ s¸ng t¹o trong khi gi¶i , häc sinh ph¶i n¾m ch¾c ®îc c¸c kiÕn thøc vÒ bÊt ®¼ng thøc th× míi vËn dông ®îc . VÝ dô : Dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn . Bµi 1 : T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh : 1 1 1   x y z =2 Gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, ta gi¶ sö x y  z ta cã : 2 = x  y  z  3 => 2z  3, 1 1 1 z mµ z nguyªn d¬ng. VËy z = 1 . Thay z = 1 vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc : Theo gi¶ sö , x  y , nªn 1 = 1 1  x y  2 y 1 1  1 x y ; Do y nguyªn d¬ng nªn y = 1 hoÆc y = 2 . Víi y = 1 kh«ng thÝch hîp. Víi y = 2 ta cã : x = 2 . VËy (2 ; 2 ; 1) lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . Ho¸n vÞ c¸c sè trªn , ta ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: (2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2) Bµi tËp ¸p dông 1 2 1 8 Bµi 1: Cho hai sè x vµ y mµ x+y=1 CMR : a) x2 +y2 � ; b) x4+y4 � Bµi 2: Cho a,b, c, d ,e lµ c¸c sè thùc CMR: a2+b2+c2+d2+e2=a(b+c+d+e) Bµi 3: Cho hai sè d¬ng x,y vµ x3+y3 =x-y CMR: x2 +y2 <1 3 3 Bµi 4: Cho hai sè d¬ng x,y CMR : x  y �( x  y )3 2 Bµi 5: Cho ab �1 CMR: 2 1 1 2  � 2 2 1  a 1  b 1  ab Bµi 6 : Cho 3 sè x,y,z kh«ng ©m sao cho x+y+z=a. CMR: (a-x)(a-y)(a-z) �8xyz Bµi 7: Cho a �0,b �0,c �0 . CMR: a4+b4+c4 �abc(a+b+c) Bµi 8: Cho x2+4y2=1 CMR: x  y � 5 2 14 Bµi 9: CMR: NÕu a  1; b  1 th× a  b  1  ab Bµi 10: CMRvíi mäi sè nguyªn d¬ng n �3th× 2n > 2n+1 15