Tài liệu Chuong4-gioihan

Traàn Thaønh Minh - Phan Löu Bieân – Traàn Quang Nghóa GIAÛI TÍCH 11 www.saosangsong.com.vn Chöông 4. Giôùi haïn 2 Chöông 4 . GIÔÙI HAÏN A. GIÔÙI HAÏN CUÛA DAÕY SOÁ §1. Daõy soá coù giới hạn 0 A. Toùm Taét Giaùo Khoa . 1. Daõy soá (un) coù giới hạn laø 0 nếu moïi soá haïng của daõy soá ñeàu coù giaù trị tuyeät ñoái nhoû hôn một soá dương nhoû tuøy yù cho trước keå töø một soá haïng naøo ñoù trôû ñi . 1 1 1 2. a) lim = 0 b) lim = 0 c) lim 3 = 0 n n n d) Daõy soá khoâng ñoåi (un) với un = 0 coù giới hạn 0 e) Nếu |q| <1 thi lim qn = 0 Ñònh lí : Cho hai daõy soá (un) vaø (vn) . Nếu |un| ≤ vn , ∀n vaø limvn = 0 thì limun = 0 B. Giaûi Toaùn Daïng toaùn : Tìm giới hạn 0 của daõy soá Caùch 1 : Söû duïng caùc tieâu chuaãn a, b, c, ,d ,e keát hôïp với ñònh lí . Caùch 2 : Duøng ñịnh nghĩa Ví duï 1 : Chöùng minh caùc daõy soá sau coù giới hạn laø 0 . 1 n3 a) un = b) un = cos n 2 n c) un = Giaûi a) Ta coù : Vì n3 ≥ n , ∀n neân 0 < un = 3 n+4n d) un = 2 3 n2 1 1 ≤ , ∀n . n3 n 1 = 0 , do ñoù theo ñònh lí treân thì limun = 0 n 1 b) Vì | cosn2 | ≤ 1 , ∀n neân | un| ≤ , ∀n n 1 Maø lim = 0 , do ñoù theo ñònh lí treân lim un = 0 n Maø lim c) Ta coù : Maø lim 3 1 3 n n + 4 n ≤ 3 n + 3 n = 2 3 n , suy ra : 0 < un ≤ 3 2 n 2 = 1 3 = 0 , do ñoù theo ñònh lí treân lim un = 0 d) Aùp duïng baát ñaúng thöùc Coâ si : 22n + 32n ≥ 2. 2 6n => 0 < un ≤ Maø lim 23 n 1 2 6 2n ( ) 6 n ⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ 2 2n.32n = 2 62n n = 0 , do ñoù theo ñònh lí treân limun = 0 Ví duï 2 : Duøng ñịnh nghĩa, chöùng minh lim x →x0 Giaûi Vôùi n > 7 , ta coù : |un | = 2(n − 7) =0 n2 + 3 2(n − 7) 2n 2 < 2 = n2 + 3 n n www.saosangsong.com.vn n 2 6n 2 2n + 32n Chöông 4. Giôùi haïn 3 Với soá ε > 0 cho trước , ñeå coù |un| < ε , ta phaûi choïn n sao cho : n > 7 vaø vaäy neáu goïi n0 laø số nguyeân > 7 vaø > ñịnh nghĩa limun = 0 2 2 < ε Ù n > 7 vaø n > . Nhö n ε 2 , thế thì với moïi ε > 0 cho trước , ta coù : | un | < ε , ∀ n > n0 . Theo ε Chaúng haïn với ε = 0, 001 thì n0 > 7 vaø n0 > 2 = 200 vậy laáy n0 = 201 ( hay một số nguyeân baát kì > 0,001 200), C. Baøi Taäp Reøn Luyeän Chöùng minh caùc daõy soá sau coù giới hạn laø 0 . 1 1 1 4.1. a) un = b) un = − c) un = n n+2 n n n n (n + 2)n 4.2 . un = (2n + 2)2n 15n 4.3. un= n n 2 (9 + 16 n ) sin n.cos n 4.4. un = 5 n+5 2 n + 3n + 6 4.5. un = n3 2 n + 3n 4.6. un = 2.5n ⎛π⎞ ⎜ ⎟ ⎝4⎠ n d) un = n +1 n2 + 3 D. Höôùng Daãn – Ñaùp Soá 1 1 . Maø lim = 0 neân limun = 0 n n n n 1 1 2 2 1 1 − = < = . Maø lim = 0 neân limun = 0 b) |un| = n n n + 2 n(n + 2) 2n n π c) Vì 0 < q = < 1 neân limun = 0 4 n +1 2n 2 2 d) | un | = 2 < 2 = . Với soá ε > 0 cho trước , ñeå coù iun| < ε , ta phaûi choïn n sao cho : < ε Ù n > n +3 n n n 2 2 . Nhö vaäy neáu goïi n0 laø số nguyeân > , thế thì với moïi ε > 0 cho trước , ta coù : | un | < ε , ∀ n > n0 . ε ε Theo ñịnh nghĩa limun = 0 n n n (n + 2)n (n 2 + 2n)n (n + 1)2n ⎛1⎞ = ≤ =⎜ ⎟ 4.2 . | un |= (2n + 2)2n 2 n (n + 1)2n 2 n (n + 1)2n ⎝ 2 ⎠ 4.1. a) Ta coù : | un | = 1 < n ⎛1⎞ Maø lim ⎜ ⎟ = 0 neân limun = 0 . ⎝2⎠ 32n + 52n n 15 3 .5 1 ⎛1⎞ 2 = ≤ = ≤ 4.3. | un | = n n ⎜ ⎟ ( bñt Coâsi) 2 (9 + 16 n ) 2 n (32n + 52n ) 2 n (32n + 52n ) 2 n +1 ⎝ 2 ⎠ n n n n ⎛1⎞ Maø lim ⎜ ⎟ = 0 neân limun = 0 . ⎝2⎠ sin n.cos n 1 1 ≤ ≤ 4.4. | un | = 5 n+5 5 n +1 n www.saosangsong.com.vn Chöông 4. Giôùi haïn 4 1 = 0 neân limun = 0 . n n 2 + 3n + 6 n 2 + 3n 2 + 6n 2 10n 2 10 ≤ ≤ 3 = 4.5. n3 n3 n n Maø lim Ta coù với n > 100 thì 10 < Maø lim 1 n n , suy ra un ≤ n 1 = với n > 10 n n = 0 , do ñoù : limun = 0 4.6. Ta coù : 2n + 3n ≤ 3n + 3n = 2.3n , suy ra : | un | ≤ 2.3n ⎛ 3 ⎞ =⎜ ⎟ 2.5n ⎝ 5 ⎠ n n 2 ⎛3⎞ < 1 , do ñoù theo ñònh lí treân limun = 0 . Maø lim ⎜ ⎟ = 0 vì 0 < 3 ⎝5⎠ §2. Daõy soá coù giới hạn A. Toùm Taét Giaùo Khoa . 1. Định nghĩa : Daõy soá (un) coù giới hạn laø soá thöïc L nếu lim(un – L) = 0 limun = L ( hoaëc un → L) Ù lim(un – L) = 0 2. Ñònh lí 1 : Giaû söû lim un = L , khi ñoù : a) lim | un | = | L | vaø lim 3 un = 3 L b) Nếu un ≥ 0 với ∀n thì L ≥ 0 vaø lim un = L Ñònh lí 2 : Giaû söû limun = L , limvn = M vaø c laø một haèng soá . Khi ñoù : a) * lim(un + vn) = L + M * lim(un – vn) = L – M * lim(un.vn) = LM * lim(cun) = cL un L = b) Nếu M ≠ 0 thì lim vn M Keát quaû : • • c = 0 ( c : haèng soá ; k : số nguyeân dương ) nk c lim = 0 ( c ; haèng soá ; k , m : số nguyeân dương m k n lim 3, Cho (un) laø caáp soá nhaân với |q| < 1 ( caáp soá nhaân luøi voâ haïn) thì : u S = u1 + u1q + u1 q2 + . . . = limSn = 1 1− q B. Giaûi Toaùn Daïng 1 : Tìm giới hạn baèng ñịnh nghĩa . limun = L Ù lim(un – L) = 0 Ví duï 1 : Tìm giới hạn caùc daõy soá sau : 1 ⎞ ⎛ ⎛ 2n + sin n ⎞ b) lim ⎜ a) lim ⎜ 7 − 2 ⎟ ⎟ n ⎠ n ⎝ ⎝ ⎠ −1 Giaûi : a) Ta coù : lim(u n − 7) = lim 2 = 0 => lim u n = 7 n sin n sin n b) Ta coù : un = 2 + => lim(u n − 2) = lim n n www.saosangsong.com.vn Chöông 4. Giôùi haïn 5 ⎧ sin n 1 ⎪⎪ n ≤ n sin n Maø ⎨ neân lim = 0 , suy ra limun = 2 n ⎪lim 1 = 0 ⎪⎩ n P(n) Daïng 2 : Tìm giới hạn của trong ñoù P(n), Q(n) laø hai ña thức theo n Q(n) c c 0 Chia töû vaø maãu cho ñôn thöùc coù baäc cao nhaát roài söû duïng : lim k = lim m n nk vaø caùc ñònh lí veà giới hạn . Ví duï 2 : Tìm giới hạn caùc daõy soá sau : 2n 2 − n + 1 a) 3n 2 + 5n − 7 2n − 13 c) (n + 5)2 b) (2n − 1)(3 − n)2 (4n − 5)3 2n 2 n 1 1 1 − 2+ 2 2− + 2 2 n n n ( chia töû vaø maãu cho n2 ) = Giaûi a) Ta coù : un = n 2 n 5 1 3n 5n 1 3+ − 2 + 2 − 2 2 n n n n n 1 1 1 1 Vì lim(2 - + 2 ) = lim 2 − lim + lim 2 = 2 − 0 + 0 = 2 n n n n 5 7 5 7 Vaø lim(3 + − 2 ) = lim 3 + lim − lim 2 = 3 + 0 − 0 = 3 n n n n 2 Neân limun = 3 b) Töû vaø maãu laø caùc ña thöùc baäc 3 neân chia töû vaø maåu cho n3 , ta ñöôïc : 2 un = 1 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎛ 2n − 1 ⎞ ⎛ 3 − n ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ .⎜ ⎟ ⎜ 2 − ⎟⎜ − 1⎟ n n n ⎝ ⎠⎝ ⎠ =⎝ ⎠⎝ n ⎠ 3 3 5⎞ ⎛ 4n − 5) ⎞ ⎛ 4 − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ 2 2 2 1⎞ 1 3 ⎛ ⎛3 ⎞ ⎛ ⎞ Vì lim ⎜ 2 − ⎟ = lim 2 − lim = 2 ;lim ⎜ − 1⎟ = ⎜ lim − lim1⎟ = (0 − 1)2 = 1 n⎠ n n ⎝ ⎝n ⎠ ⎝ ⎠ 3 3 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ Vaø lim ⎜ 4 − ⎟ = ⎜ lim 4 − lim ⎟ = (4 − 0)3 = 64 n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ 2.1 1 = Neân limun = 64 32 2 13 − 2 0 c) limun = lim n n 2 ( chia töû vaø maãu cho n2 ) = 2 = 0 1 5⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ ⎝ n⎠ Daïng 3 : Daïng söû duïng coâng thöùc : lim q n = 0 nếu | q| < 1 Ta thöôøng chia töû vaø maãu cho luõy thöøa an với a lớn nhất . Nhôù caùc quy taéc : n an an ⎛ a ⎞ an + m = an . am ; an − m = m ; (an)m = anm ; n = ⎜ ⎟ a b ⎝b⎠ Ví duï 3 : Tìm giới hạn caùc daõy soá sau : 5.2 n − 6.3n a) 3.2 n + 2.3n b) 32n +1 − 15n + 52n + 2 4.32n + 2.15n + 7.52n −1 www.saosangsong.com.vn Chöông 4. Giôùi haïn 6 n ⎛2⎞ 5.2 n 6.3n 5⎜ ⎟ − 6 − n n 3 = lim ⎝ 3 ⎠ Giaûi a) Ta coù : limun = lim 3 n ( Chia töû vaø maãu cho 3n ) n n 3.2 2.3 ⎛2⎞ + n 3. ⎜ ⎟ + 2 n 3 3 ⎝3⎠ n 5.0 − 6 2 ⎛2⎞ = −3 ( vì lim ⎜ ⎟ = 0 do 0 < < 1 ) 3.0 + 2 3 ⎝3⎠ b) Trước heát ta ñöa veà caùc luõy thöøa daïng qn với | q| < 1 . Ta coù : 3.9 n − 15n + 25.25n un = 7 4.9 n + 2.15n + .25n 5 = n n ⎛ 9 ⎞ ⎛ 15 ⎞ 3. ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + 25 0 − 0 + 25 125 25 25 Chia töø vaø maãu cho 25n : limun = lim ⎝ ⎠n ⎝ ⎠ n = = 7 7 ⎛ 9 ⎞ ⎛ 15 ⎞ 7 0+0+ 4. ⎜ ⎟ + 2. ⎜ ⎟ + 5 ⎝ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠ 5 n n 9 15 ⎛ 9 ⎞ ⎛ 15 ⎞ ( vì lim ⎜ ⎟ = lim ⎜ ⎟ = 0 do 0 < < <1) 25 25 ⎝ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠ Ví duï 4 : Tính caùc toång voâ haïn caùc soá haïng của caáp soá nhaân sau : 1 1 π b) S = sin2 x + sin4x + sin6x + . . . (x ≠ + kπ ) a) S = 1 - + − .... 2 4 2 u Giaûi : a) Aùp duïng coâng thöùc : S = 1 với |q| < 1 . 1− q 1 1 2 Ta coù vì | q | = < 1 neân S = = 1 2 3 1+ 2 π b) Vì x ≠ + kπ neân |q| = sin2 x ≠ 1 töùc |q| < 1 , do ñoù 2 u sin 2 x sin 2 x = = tan 2 x S= 1 = 2 2 1 − q 1 − sin x cos x * Daïng 4 : Tìm giới hạn baèng caùch thieát laäp coâng thöùc un theo n Ví duï 5 : Tìm limun bieát un = 1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + 2 1 +1 2 + 2 3 + 3 n +n 2 Giaûi Ta ruùt goïn un baèng caùch nhaän xeùt soá haïng tổng quaùt 1 1 1 1 (1 ≤ k ≤ n) = = − k 2 + k k(k + 1) k k + 1 1 ⎞ 1 ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛1 Suy ra : un = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜ − ⎟= 1 + +1 n 1 2 2 3 3 4 n n 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎞ ⎛ => limun = lim ⎜ 1 − ⎟ =1 n +1⎠ ⎝ ⎧ u1 = 1 ⎪ n Ví duï 6 : Cho daõy soá un ñònh bôûi : ⎨ ⎛1⎞ u = u + n ⎪ n +1 ⎜ ⎟ ; n ≥ 1 ⎝2⎠ ⎩ n ⎛1⎞ Chöùng minh un = 2 - 2 ⎜ ⎟ , ∀n . Suy ra limun. ⎝2⎠ www.saosangsong.com.vn Chöông 4. Giôùi haïn 7 n ⎛1⎞ Giaûi Ta chöùng minh un = 2 - 2 ⎜ ⎟ (1) , ∀n baêng phưong phaùp quy naïp . ⎝2⎠ 1 • ⎛1⎞ Ta coù : u1 = 2 – 2. ⎜ ⎟ = 1 : vậy (1) ñuùng khi n = 1 ⎝2⎠ • ⎛1⎞ ⎛1⎞ Giaû söû uk = 2 – 2. ⎜ ⎟ , thế thì theo giaû thieát quy naïp : uk+1 = uk + ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ k k k k ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ Ö uk+1 = 2 – 2. ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2 - ⎜ ⎟ = 2 − 2. ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ Vậy (1) ñuùng với ∀n . Suy ra : k k +1 : (1) ñuùng khi n = k + 1 n ⎛1⎞ limun = 2 – 2lim ⎜ ⎟ = 2 – 0 = 2 ⎝2⎠ Ghi chuù : Ta coù theâ thieát laäp tröïc tieáp coâng thöùc (1) baèng nhaän xeùt un – un – 1 laø một caáp soá nhaân coâng boäi C. Baøi Taäp Reøn Luyeän 4.7. Choïn caâu ñuùng : lim a) 1 3n + sin(2n + 4) 2n b) 2 c) 0 d) 2n − 1 = 3−n 2 1 a) b) – c) 1 3 3 3(2n − 1)2 n 4.9. Choïn caâu ñuùng : lim = 4(n + 7)(3n − 1)2 1 a) ½ b) c) 0 3 3 2 4.8. Choïn caâu ñuùng : lim 4.10. Choïn caâu ñuùng : lim n 2 + n + 3n − 1 n 3 + 2n 2 + 1 a) 4 b)3 3n +1 − 52n −1 4.11. Choïn caâu ñuùng : lim n + 4 = 2 + 25n −1 a) – 5 b) – 1/5 d) – 2 d) 3 4 = c) 0 d) - 1 c) 3/16 d) ñaùp soá khaùc 4.12. Choïn caâu ñuùng : Toång voâ haïn của caáp soá nhaân sau - 4 + 2 – 1+ . . .baèng : 16 c) 6 d) ñaùp soá khaùc a) 16 b) 3 4.13. Tìm giới hạn caùc daõy soá sau : ⎛ 2 n + 3 − cos n 2 ⎞ sin(2n + 1) ⎞ ⎛ lim a) lim ⎜ 3 − b) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟ n +1 n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4. 14. Tìm giới hạn caùc daõy soá sau : n 2 + 2n 2n 3 + n 2 (2n + 4)(3n − 4)(3n + 1)2 b) c) a) 3n 2 + n + 1 n 4 − 3n 2 + 6 (2n + 5)3 )(5n − 2) d) 3 n3 − n 2 + n n 2 − 2n + 3 + 2n − 7 4. 15. Tìm giới hạn caùc daõy soá sau : e) n3 − n + 7 + n − 1 (2n + 1)2 www.saosangsong.com.vn 1 2 Chöông 4. Giôùi haïn 4.3n + 7n +1 2.5n + 7n 2.32n + 6 n +1 − 2 2n −1 c) (2.3n −1 − 3.2 n )2 a) 8 b) 2 n + 3n +1 5.2 n +1 − 4.3n 4. 16. Tính caùc toång voâ haïn của caáp soá nhaân sau : a) 1000 + 100 + 10 + . . . b) 1 + cos2x + cos4x + . . .(x ≠ k π ) c) 1 − x + x − ... d) 4.17. Trong mặt phẳng Oxy , một oác seân boø töø goác O theo phương Ox 1 m , roài queïo traùi theo phương Oy roài laïi queïo traùi theo phương Ox vaø cöù theá , khoaûng caùch boø laàn sau baèng nöõ a khoaûng caùch trước ñoù . Hoûi boø maõi thì oác seân seõ ñến vò trí naøo ? 38 = 1,151515.. . laø soá 4. 18. Bieåu dieãn caùc soá thaäp phaân tuaàn hoøan sau ñaây dưới daïng phaân soá , ví duï : 33 thaäp phaân tuaàn hoøan coù chu kì laø 15 a) 0, 123123123. . . b) 1, 272727 . . . 4.19. Cho một goùc xOy = 300 . Töø ñieåm A treân Ox với OA = 1 , đöïng AA1 vuoâng goùc Oy . Tieáp theo döïng A1A2 vuoâng goùc Ox , roài A2A3 vuoâng goùc Oy vaø cöù theá maõi maõi . Tình ñộ daøi ñường gaáp khuùc AA1 A2 . . . 4.20. Cho hình vuoâng ABCD coù ñộ daøi laø 1. Ta nội tiếp trong hình vuoâng naøy một hình vuoâng thöù hai , coù ñænh laø trung ñieåm của caùc caïnh của noù. Vaø cöù theá . . . . Tính toång chu vi của caùc hình vuoâng . * 4. 21. Tìm giới hạn caùc daõy soá sau : 1 + 4 + ... + (3n + 1) 3n (1 + 2 + 2 2 + ... + 2 n ) b) n a) 1 + 6 + ... + (5n + 1) 2 (1 + 3 + 32 + ... + 3n ) 1 1 1 c) 2 + 2 + ... + 2 2 −1 3 −1 n −1 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ d) + +... + ⎜ ⎟ n ⎝ 1+ 2 2+ 3 n + n +1 ⎠ * 4. 22. Tìm giới hạn caùc daõy soá sau : 1 1 1 + + ... + a) 2 1 +1 2 3 2 + 2 3 (n + 1) n + n n + 1 2 3 n b) + 2 + ... + 2 2 2 2 (2 − 1) (3 − 1) (n − 1)2 ⎧ u1 = 2 ⎪ . Tìm coâng thöùc tính un theo n . Suy ra limun. *4. 23. Cho daõy soá : ⎨ 2u n − 1 (n ≥ 1). ⎪ u n +1 = u ⎩ n D. Höôùng Daãn – Ñaùp Soá 3 sin(2n + 4) 3 = 0 => lim u n = 4.7. (d) lim(u n − ) = lim 2 2n 2 1 2− 2n − 1 2 n = lim = = −2 4.8. (d) lim 3 − 3−n 1 −1 n www.saosangsong.com.vn Chöông 4. Giôùi haïn 9 1 3(2 − )2 3(2n − 1)2 n 3.2 2 1 n 4.9. (b) lim lim = = = 2 2 7 1 4(n + 7)(3n − 1) 3 4(1 + )(3 − )2 4.1.3 n n 1 1 3 1 + 2 + − 2 n n n + n + 3n − 1 n n 3 ( chia T vaø M cho 4.10.(c) lim = lim 2 1 n 3 + 2n 2 + 1 1+ + 3 n n 0 = =0 1 n 4.11. (a) lim 3n +1 − 52n −1 2 n + 4 + 25n −1 ⎛ 3 ⎞ 1 1 3⎜ ⎟ − 3.3n − .25n 25 5 5 = lim =-5 = lim ⎝ ⎠ n 1 1 ⎛ 2 ⎞ 16.2 n + .25n 16. ⎜ ⎟ + 25 ⎝ 25 ⎠ 25 8 4.12. (b) Ta coù : 8 - 4 + 2 – 1+ . . .= 4.13. a) Ta coù : lim (un – 3) = lim 1 1 − (− ) 2 − sin(2n + 1) = 16 3 n ⎧ − sin(2n + 1) 1 ≤ ⎪ ⎪ n n neân lim(un – 3) = 0 => limun = 3 Maø ⎨ ⎪ lim 1 = 0 ⎪⎩ n 1 − cos n 2 b) Ta coù : lim(u n − 2) = lim n +1 2 ⎧ 1 − cos n 2 ≤ ⎪ ⎪ n +1 n => lim(u n − 2) = 0 => lim u n = 2 Maø ⎨ ⎪ lim 2 = 0 ⎪⎩ n 1 (Chia töû vaø maãu cho n2 ) 3 b) limun = 0 ( Chia töû vaø maãu cho n4) 2.3.32 2 c) limun = 3 = ( Chia töû vaø maãu cho n4 ) 2 .5 5 3 1 1 d) limun = = (Chia töû vaø maãu cho n = 1+2 3 4. 14. a) limun = e) limun = 0 +0 = 0 (Chia töû vaø maãu cho n2 = 22 n 2 = 3 n3 ) n4 ) n ⎛3⎞ 4. ⎜ ⎟ + 7 0+7 7 4. 15. a) limun = lim ⎝ ⎠ n = =7 0 +1 ⎛5⎞ 2. ⎜ ⎟ + 1 ⎝7⎠ www.saosangsong.com.vn n3 ) Chöông 4. Giôùi haïn 10 n n ⎛2⎞ ⎜ ⎟ +3 3 0+3 3 b) limun = lim ⎝ ⎠ n = =4 0−4 ⎛2⎞ 10. ⎜ ⎟ − 4 ⎝3⎠ 4. 16. a) S = 1000. c) S = 1. 1 1 1− 1 10 = n ⎛6⎞ 1 ⎛4⎞ 2 + 6. ⎜ ⎟ − . ⎜ ⎟ ⎝9⎠ 2 ⎝9⎠ = = 9 c) limun = n 2 2 ⎛2 ⎛2⎞ ⎞ ⎜⎜ − 3. ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝3⎠ ⎠ ⎝3 1 1 = 2 b) S = 1. 2 1 − cos x sin x 10000 9 1+ x 1 1 ; ;... laäp thaønh một caáp soá nhaân , soá haïng ñaàu 1 , coâng 4 16 1 1 4 boäi . Suy ra hoaønh ñộ của oác seõ tieán ñến vị trí 1. = 1 5 4 1+ 4 1 1 1 1 (m) . Caùc tung ñoä của oác seân laø : ; − ; ;.... laäp thaønh một caáp soá nhaân , soá haïng ñaàu , coâng boäi 2 8 16 2 1 1 1 2 = . Suy ra tung ñoä của oác seõ tieán ñến vị trí la : . 1 5 4 2 1+ 4 4 2 ⎛ ⎞ Vậy oác seân seõ boø ñến ñieåm ⎜ ; ⎟ 5 5 ⎝ ⎠ 4. 17. Caùc hoaønh ñộ lần lượt của oác seân laø : 1 , - 4. 18. Ta vieát soá thaäp phaân dưới daïng một toång voâ haïn : 0,123 + 0, 123123 + 0, 123123123 . . . . Ñaây laø toång voâ haïn của một caáp soá nhaân , soá haïng ñaàu 0, 123 , coâng boäi q = 123 1 123 41 . = = 1000 1 − 1 999 333 1000 b) Ta coù : 1, 272727 . . . = 1 + 0, 27 + 0, 2727 + 0, 272727 + . . . 27 1 27 3 14 =1+ . =1+ =1+ = 100 1 − 1 99 11 13 100 A2 1 1000 , suy ra soá ñoù laø : A 4. 19. O A1 A3 Caùc tam giaùc OAA1 , OA1A2 . . . laø caùc tam giaùc nöõ a ñeàu , cho ta : A1 A 2 A 2 A 3 3 = = ... = , suy ra caùc A A1 A1A 2 2 ñoaïn AA1 , A1A2, A2A3 . . . laäp thaønh một caáp soá nhaân , soá haïng ñaàu AA1 = Vậy ñộ daøi ñoaïn gaáp khuùc laø : 1 3 . 1 1− 3 2 = 2 2 3 −3 www.saosangsong.com.vn 1 3 .OA = 1 3 , coâng boäi 3 . 2 Chöông 4. Giôùi haïn 11 1 4. 20. Caùc caïnh hình vuoâng naøy baèng caïnh hình vuoâng 2 trước noù . Do ñoù caùc chu vi hình vuoâng laäp thaønh một caáp soá nhaân soá haïng ñaâu laø 4 ( chu vi hình vuoâng ABCD) , coâng boäi laø 1 1 4 2 = 4(2 + 2) (m ) 1 2 1 − 1− 2 *4. 21. a) Töû laø toång n + 1 soá haïng của một caáp soá coäng với u1 = 1 , d = 3 vaø maãu laø toång của n + 1 soá haïng của một caáp soá coäng với v1 = 1 , d’ = 5 . Vậy : (n + 1) (2 + 3n) 2 + 3n 3 2 = => limun = un = n +1 2 + 5n 5 (2 + 5n) 2 b) Bieåu thöùc trong daáu ngoaëc của töû laø toång n + 1 soá haïng của một caáp soá nhaân với u1 = 1 , q = 2 vaø của 1 − 2 n +1 3n . 1− 2 = maãu laø toång của n + 1 soá haïng của một caáp soá nhaân với v1 = 1 , q’ = 5 . Vậy : un = 1 − 3n +1 2n. 1− 3 2 , vậy toång caùc chu vi laø : 4. = n ⎛1⎞ ⎜ ⎟ −2 4 ⎝2⎠ .2 ( Chia töû vaø maãu cho 2n.3n ) => limun = n 3 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ −3 ⎝3⎠ 1 1 1 1 1⎛ 1 1 ⎞ maø c) un = = ⎜ − + + ... + ⎟ (k − 1)(k + 1) 2 ⎝ k − 1 k + 1 ⎠ 1.3 2.4 (n − 1)(n + 1) => un = 1 ⎡⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎞⎤ ⎛ 1 − ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ ... + ⎜ ⎟ − + 1 ⎠ ⎥⎦ 2 ⎢⎣⎝ 1 3 ⎠ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝ 3 5 ⎠ ⎝ 4 6 ⎠ n 1 n ⎝ 1⎡ 1 1 1 ⎤ 3 => limun = 1+ − − ⎢ ⎥ 4 2 ⎣ 2 n n + 1⎦ Ghi chuù : Ta bieán moõi soá haïng của un thaønh hieäu thuoäc daïng : un = ( a1 – a3 ) +( a2 – a4 ) + ( a3 – a5 ) + ( a4 – a6 ) + . . .+ ( an-2 - an ) + ( an – 1 – an + 1) = a1 + a2 - an – an + 1 = d) un = 1 (− n n +1 −1 ) 1 + 2 − 2 + 3 − ... − n + n + 1 = => limun = 1 n *4.22. a) Ta ruùt goïn un theo caùch của caâu (c) treân ñaây baèng nhaän xeùt : 1 1 = (k + 1) k + k k + 1 (k(k + 1). k + 1 + k ( k +1 − k = Suy ra : un = 1 1 − 1 2 + 1 2 k(k + 1) − 1 3 + ... + ) = 1 n 1 k − 1 − k +1 1 n +1 = 1 1 − 1 n +1 => limun = 1 www.saosangsong.com.vn Chöông 4. Giôùi haïn 12 k k 1 (k + 1)2 − (k − 1)2 1. ⎛ 1 1 ⎞ = − . = ⎜ − ⎟ => un = 2 2 2 2 2 2 2 4 (k + 1) (k − 1) 4 ⎝ (k − 1) (k − 1) (k + 1) (k − 1) (k + 1)2 ⎠ 1⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎞ − 2 + − = ⎜ 2 − 2 + 2 − 2 + 2 − 2 + ... + ⎟ = 2 2 4 ⎝1 3 2 4 3 5 (n − 2) n (n − 1) (n + 1)2 ⎠ 1⎛ 1 1 1 1 ⎞ 1⎛ 1⎞ 3 => limun = ⎜ 1 + ⎟ = ⎜ 2 + 2 − 2 − 2 ⎟ 4 ⎝1 4⎝ 2⎠ 8 2 n (n + 1) ⎠ b) Ta coù : *4. 23. Ta coù : u1 = 2 , u2 = . Suy ra : limun = lim 3 n +1 3 −1 4 , u3 = , ∀n baèng phưong phaùp quy naïp = . Ta chöùng minh : un = 3 2 n 3 2 n +1 =1 n §3. Daõy soá daàn ñến voâ cöïc A. Toùm Taét Giaùo Khoa . 1. Daõy soá daàn ñến voâ cuïc : • (un) coù giới hạn laø + ∞ nếu moïi soá haïng ñeàu lôùn hôn một soá dương lôùn tuøy yù cho trước keå töøø một soá haïng naøo ñoù trôû ñi . Kí hieäu : limun = + ∞ hoaëc un → + ∞ • (un) coù giới hạn laø - ∞ nếu moïi soá haïng ñeàu nhoû hôn một soá aâm nhoû tuøy yù cho trước keå töø một soá haïng naøo ñoù trôû ñi . Kí hieäu : limun = - ∞ hoaëc un → - ∞ CHUÙ YÙ : (1) lim nk = + ∞ , lim m n k = + ∞ , k , m : số nguyeân dương . 1 = +∞ (2) Nếu lim un = 0 vaø un ≠ 0 , ∀n thì lim | un | 1 =0 (3) Nếu lim un = + ∞ ( hoaëc – ∞ ) thì lim | un | (4) Giaû söû limun = + ∞ vaø L > 0 , thế thì : limvn Lim (un + vn ) Lim (un – vn ) lim(un . vn) ⎛u ⎞ lim ⎜ n ⎟ ⎝ vn ⎠ ⎛v ⎞ lim ⎜ n ⎟ ⎝ un ⎠ L + ∞ + ∞ + ∞ 0 + ∞ + ∞ ? + ∞ + ∞ ? + ∞ - ∞ ? + ∞ - ∞ + ∞ + ∞ (L > 0) hoaëc – ∞ (L<0) ? ? 0 0 ? ? Caùc trường hợp coù daáu ? laø caùc trường hợp ta khoâng theå xaùc ñònh ñöôïc giới hạn : daïng ∞ - ∞ , 0. ∞ vaø ∞ ( ñaõ xeùt moät phaàn ôû §2.Daïng 2 ) , goïi laø daïng voâ ñònh . Ta thöôøng phaûi söû duïng caùc thuaät toaùn ñeå khöû ∞ caùc daïng naøy , ñöôïc trình baøy trong phaàn sau . B. Giaûi Toaùn www.saosangsong.com.vn Chöông 4. Giôùi haïn Daïng 1 : (daïng 13 ∞ ) ∞ Ví duï 1 : Tìm caùc giới hạn sau : (2n − 1)(3n + 1)2 4n 2 − n − 1 a) b) (2n − 4)3 (2n − 1)2 (n + 6) c) n3 − n2 + n + 8 2n 2 + 7n + 9 Giaûi : a) Chia töû vaø maãu cho n3 (luõy thöøa baäc cao nhaát của töû vaø maãu), ta ñöôïc : 1 1 (2 − )(3 + )2 2 n n = 2.3 = 9 lim u n = lim 4 23 4 (2 − )3 n b) Chia töû vaø maãu cho n3 (luõy thöøa baäc cao nhaát của töû vaø maãu), ta ñöôïc : 4 1 1 − 2− 3 n = 0 =0 lim u n = lim n n 1 6 (2 − )2 (1 + ) 2.1 n n 2n 2 + 7n + 9 > 0 , ∀n c) Xeùt un = 3 n − n2 + n + 8 Ta coù : lim u n = 0 ( ñoäc giaû giaûi tương tự caâu (b) ôû treân ) n3 − n2 − n + 8 1 = lim = +∞ Suy ra : lim 2n 2 + 7n + 9 un Nhaän xeùt : Qua caùc ví duï treân , neáu töû vaø maãu laø caùc ña thöùc baäc k vaø m theo n thì : ⎧ ao ⎪ b neáu k = m o k k −1 a n + a1n + ... ⎪⎪ lim o m 0 neáu k < m = ⎨ b 0 n + b1n m −1 + ... ⎪ ∞ neáu k > m ⎪ ⎪⎩ Ví duï 2 : Tìm giới hạn caùc daõy soá sau : a) 3 8n 3 + n 2 + 1 b) n2 + n Giaûi a) Chia töû vaø maãu cho n = 3 un = suy ra : limun = n3 + n + 6 − n + 6 2n 2 + 1 n 2 = 3 n 3 , ta ñöôïc : 1 1 + n n3 1 1+ n 8+ 1 1 + 3 n n2 = 8 = 2 1 1 lim 1 + n lim 3 8 + b) Chia töû vaø maãu cho n2 = n 4 , ta ñöôïc : 1 1 6 1 1 6 + 3+ 4 lim + 3+ 4 n = n n n = 0 =0 limun = lim n n 1 2 1 2+ 2 lim 2 + 2 n n www.saosangsong.com.vn Chöông 4. Giôùi haïn 14 Daïng 2 ( daïng ∞ - ∞ ) : Tìm giới hạn của P(n) − Q(n) trong ñoù P(n), Q(n) laø hai ña thức cuøng baäc theo n P(n) − Q(n) , ta ñöa veà trường hợp của daïng 1. P(n) + Q(n) P(n) − Q(n) P(n) − 3 Q(n) = 2 3 P(n) + 3 P(n)Q(n) + 3 Q(n)2 P(n) − Q(n) = Vieát : • Tương tự : 3 Ví duï 3 Tìm giới hạn caùc daõy soá sau : a) n 2 + n + 28 − n 2 − 4n + 5 b) 4n 2 + 20n + 1 − 2n − 5 c) ( 3 8n 3 + n 2 − 1 − 2n + 2007) Giaûi a) Ta coù : (n 2 + n + 28) − (n 2 − 4n + 5) 5n + 23 = lim limun = lim 2 2 2 n + n + 28 + n − 4n + 5 n + n + 28 + n 2 − 4n + 5 23 5+ 5−0 5 n = lim = = 1+1 2 1 28 4 5 1+ + 2 + 1− + 2 n n n n 2 (4n + 20n + 1) − (2n + 5)2 −24 = lim b) limun = lim 2 2 4n + 1 + 2n − 5 4n + 20n + 1 + (2n + 5) −24 0 n = lim = =0 20 1 5 2+2 + +2+ 4+ n n2 n c) imun = lim( ( 3 8n 3 + n 2 − 1 − 2n) + 2007 = lim (8n 3 + n 2 − 1) − (2n)3 + 2007 (8n 3 + n 2 − 1)2 + 2n. 3 (8n 3 + n 2 − 1)2 + (2n)2 1 1− 2 n = lim + 2007 ( chia töû vaø maãu cho n2 ) 2 1 1 ⎞ 1 1 ⎛ 3 8+ − 3 ⎟ + 2. 3 8 + − 3 + 4 ⎜ n n ⎠ n n ⎝ 1 1 + 2007 = 2007 = 4+4+4 12 3 Ví duï 4 : Tìm giới hạn caùc daõy soá sau : a) n3 + n − n + 8 b) n + 7 − 3n + 2 c) 5 4n − 1 − 3n + 2 Giaûi : ⎛ 1 1 + n 3 ( ⎜⎜ 1 + 2 − n n ⎝ ⎛ 1 1 Vì lim n 3 = + ∞ vaø lim ⎜⎜ 1 + 2 − + n n ⎝ Do ñoù limun = + ∞ a) Ta coù limun = lim 8 ⎞ ⎟⎟ n3 ⎠ 8 ⎞ ⎟⎟ = 1 n3 ⎠ Ghi chuù : ÔÛ caâu (a) , tuy laø daïng voä ñònh ∞ - ∞ nhöng daõy soá un = daõy soá vn = n – 8 neân lim(un – vn) = + ∞ . www.saosangsong.com.vn n 3 + n tieán ñến voâ cuïc “ nhanh hôn “ Chöông 4. Giôùi haïn 15 Nhöõng giaù trị của un vaø vn tương ứng với caùc giaù trị raát lôùn của n trong baûng dưới ñaây cho thaáy ñieàu ñoù : N un vn un - vn 100 1000,04 92 908,04 1000 31.622 992 30.630 10000 1000000 9992 990.008 So saùnh với lim n 2 + n + 28 − n 2 − 4n + 5 ôû VD1 _caâu a) , ta thaáy caû un vaø vn ñeàu tieán tôùi voâ cöïïc vôùi giaù trị ngang baèng nhau neân lim(un – vn) = 2, 5 . N un vn un - vn 100 100,637 98 2,637 1000 1.000,513 998 2,513 10000 10.000,501 9998 2,501 7 2 − 3+ ) n n ⎛ 7 2⎞ Vì lim n = +∞ vaø lim ⎜⎜ 1 + − 3 + ⎟⎟ = 1 − 3 < 0 neân lim un = −∞ n n⎠ ⎝ 5 n c) Chia töû vaø maãu cho n ,lim un = 1 2 4− − 3+ n n Töû tieán daàn ñến 0 vaø coù giaù trò dương coøn maãu tieán daàn ñến 4 − 3 > 0 , do ñoù lim un = +∞ b) limun = lim n ( 1 + n + 3 − n2 + n Ví duï 5 : Tìm giới hạn daõy soá Giaûi : limun= lim = lim = lim 4n 2 + 5 − 2n + 1 (n + 3)2 − ( n 2 + n )2 n + 3 + n2 + n 5n + 9 n + 3 + n2 + n 5+ 9 n 3 1 1+ + 1+ n n 5 2+2 5 = . = 1+1 4 2 . . . ( 4n 2 + 5 + 2n − 1 ( 4n 2 + 5)2 − (2n − 1)2 ( nhaân töû vaø maãu cho löôïng lieân hieäp ) 4n 2 + 5 + 2n − 1 4n + 4 4+ 5 1 +2− 2 n n ( Chia töû vaø maãu của töøng bieåu thöùc phaân cho n ) 4 4+ n Ghi chuù : ÔÛ ñaây töû vaø maãu ñeàu laø hieäu của hai daõy soá “ ñoàng taøi ngang söùc “ , coù nghóa laø giới hạn của hieäu của chuùng laø một soá höõu haïn , cho neân ta phaûi duøng löôïng lieân hieäp ñeå tìm giaù trị höõu haïn aáy . Coøn ñối với daõy soá trong ñoù töû hay maãu laø hieäu hai daõy soá khoâng “ ñoàng taøi ngang söùc “ , ví duï : trong ñoù giới hạn của töõ vaø maãu ñeàu laø voâ haïn thì ta giaûi nhö daïng 1. Cuï theå nhö sau : www.saosangsong.com.vn 2n + 3 − n 2 + n n 2 + 5 − 2n + 1 , Chöông 4. Giôùi haïn 16 3 1 − 1+ n n = 2 − 1 = −1 limun = lim 1−2 5 1 1+ 2 − 2 + n n Caàn nhaän bieát hai daõy soá an + b vaø an + b’, hoaëc an2 + bn + c vaø an2 + b’n + c’ . . . ( töùc caùc đa thức cuøng baäc vaø heä soá của baäc cao nhaát baèng nhau ) laø hai daõy soá‘ “ ñoàng taøi ngang söùc “ 2+ C. Baøi Taäp Reøn Luyeän 4.24. Choïn caâu ñuùng : Trong caùc daõy soá dưới ñaây, daõy soá naøo daàn ñến + ∞ ? (2n 2 − 3)2 (I) 2n + 7 − n + 4 (II) (3 − n)3 a) Chæ (I) b) Chæ (II) c) Caû (I) vaø (II) d) Khoâng daõy soá naøo 4.25. Choïn caâu ñuùng : Trong caùc daõy soá dưới ñaây, daõy soá naøo daàn ñến 0 ? 3 3n + 1 − n (I) (II) 2n + 1 − 2n + 4 2n + 3 − n + 1 a) Chæ (I) b) Chæ (II) c) Caû (I) vaø (II) d) Khoâng daõy soá naøo. 4.26. Choïn caâu ñuùng : lim n( n 4 + n + 3 − n 4 + 3n − 1 ) a) 0 b) - 2 4.27. Choïn caâu ñuùng : lim a) 7/2 ( c) + ) 4n 2 + 2n + 7 − 2n + 3) = b) – 5/2 4.28. Choïn caâu ñuùng : lim c) 0 d) + ∞ n + n − 1 − n + 2n + 7 2 2 n+7 − n+3 a) 0 b) – 1 c) + ∞ 4. 29. Tìm giới hạn caùc daõy soá sau : 2n − 4 a) b) 2n + 3 − n + 4 3 2 n + n +1 n 3 − n + 3 e) d) – ∞ c) 1 d) 2n – 3 - 2n + 3 − n + 1 b) n 2 − 2n n + 3 c) (1 + n 2 ) − n 4 + 3n 2 + 1 3 = n3 − 3 n4 4.30. Tìm giới hạn caùc daõy soá sau : a) 2n + 4 − 2n + 1 e) n + 2 - d) – ∞ ∞ d) 4n 2 + n − 1 − 4n 2 − 3n + 6 n 3 + 2n + 1 4. 31. Tìm giới hạn caùc daõy soá sau : a) c) n − n2 + 5 b) 2n + 1 − 4n 2 + 4n + 3 2n − 4n 2 + n d) 2n − n 2 + 8n *4. 32. Tìm giới hạn caùc daõy soá sau : a) n 2 + 3n − 1 − 2n + 3 2n + 1 c) (3n − 1) ( n2 + n + 7 − n2 + n + 2 n + 3 1 − n3 n4 + 1 − n2 n − 5 − 3 8n 3 + n + 1 n + 2 − n2 + 7 b)(2n+1) ) d) ( 2n 4 − n + 1 − 2n 4 + 3n + 1 4n 2 + n − 3 8n 3 + 3n 2 www.saosangsong.com.vn ) Chöông 4. Giôùi haïn 17 4n 2 + 1 3 n 3 + 7 − 2n 2 + 1 1 1 1 *4.33. Cho daõy soá un = 1 + + + ... + . Chöùng minh limun = + ∞ 2 3 n e) D. Höôùng Daãn – Ñaùp Soá ⎛ 7 4⎞ 4.24.(a) * lim u n = lim n ⎜⎜ 2 + − 1 + ⎟⎟ = + ∞ n n⎠ ⎝ 3 (2 − 2 )2 n * lim u n = lim = - ∞ vì töû soá daàn ñến 0 với caùc giaù trò aâm vaø maãu soá daàn ñến 4. 1 3 3 ( − 1) n n 3( 2n + 1 + 2n + 4) 4.25.(d) * lim u n = lim = −∞ −3 ⎛ ⎞ 1 n ⎜ 3 + − 1⎟ n 3 −1 ⎝ ⎠ * lim u n = lim = ⎛ 2 −1 3 1⎞ n ⎜ 2 + − 1+ ⎟ n n⎠ ⎝ −2n + 4 4.26. (b) lim u n = lim n 4.27.(a) lim = lim ( 4 n + n + 3 + n 4 + 3n + 1 ) 4n 2 + 2n + 7 − 2n + 3) = lim 14n − 2 4n + 2n + 7 + 2n − 3 2 = =-2 (4n 2 + 2n + 7) − (2n − 3)2 4n 2 + 2n + 7 + 2n − 3 = 14 7 = 2+2 2 −n − 8 n+7 + n+3 n 2 + n − 1 − n 2 + 2n + 7 . = lim 2 2 4 n+7 − n+3 n + n − 1 + n + 2n + 7 8 −1 − n+7 + n+3 n = - 1 . ( +∞ ) = - ∞ = lim . 4 1 1 2 7 1+ − 2 + 1+ + 2 n n n n 4 2− 4 1 1 1 n = + ∞ vì lim(2 - ) = 2 , lim( 3 + 2 + 3 = 0 vaø 3 n 2 + n + 1 > 0 , ∀n 4. 29. a) limun = lim n n n n 1 1 1 3 + 2+ 3 n n n . ⎛ ⎛ 3 4⎞ 3 4⎞ b) limun = n ⎜⎜ 2 + − 1 + ⎟⎟ = +∞ vì lim n = ∞ ; lim ⎜⎜ 2 + − 1 + ⎟⎟ = 2 − 1 = 1 n n⎠ n n⎠ ⎝ ⎝ 1 = 0 vì giới hạn của maãu laø + ∞ . c) limun = lim ⎛ 3 4⎞ n ⎜ 2 + − 1+ ⎟ n n⎠ ⎝ 4.28.(d) lim d) limun = n3 ( e) Chuù yù : n 3 = 6 n 9 vaø 1 n − 3 − 1− 1 3 + 3 ) = - ∞ vì lim n 3 = +∞ vaø 2 n n n 1 3 1 3 − − 1− 2 + 3 = 0 – 1 = - 1 lim ( n n n n3 3 3 n 4 = 6 n 8 , ta ñöôïc : www.saosangsong.com.vn Chöông 4. Giôùi haïn 18 ⎛ 1⎞ n 9 ⎜⎜ 1 − 6 ⎟⎟ = +∞ n⎠ ⎝ 3 4. 30. a) limun = lim =0 2n + 4 + 2n + 1 b) + ∞ −n 2 −1 1 c) limun = lim = lim =2 4 2 2 1 3 1 1 + n + n + 3n + 1` +1+ 1+ 2 + 4 2 n n n d) limun = 1 e) limun = 2 1 4 3 2+ + 4+ + 2 5 2n + 1 + 4n 2 + 4n + 3 −5 n n n =5 4. 31. a) limun = lim . = lim . 2 − 2 2 5 n+ n +5 1+ 1+ 2 n limun = lim 6 b) limun = lim n 3 − (n 3 − 1) n 2 + n 3 n 3 − 1 + 3 (n 3 − 1)2 1+ = lim 1+ 3 1− 1 +1 n4 1 3⎛ 1 ⎞ + ⎜1 − 3 ⎟ 3 n ⎝ n ⎠ 2 = . n4 + 1 + n2 n4 + 1 − n4 2 3 1 n =0 c) lim un = lim 8 2 − 1+ n 2− 4+ d) limun = lim 5 3 1 1 − 8+ 2 + 3 n n n = - ∞ vì limT = 1 – 2 = - 1 < 0 vaø limM = 0 vaø M > 0 , ∀n (T : töø , M : 2 7 1+ − 1+ 2 n n 1− maãu) ⎛ 3 1 2 3 ⎞ + n⎜ 1+ − 2 − ⎟ n n n n2 ⎠ 1 ⎝ = *4. 32. a) lim un = lim 1 2 n(2 + n) −4n −8 = = −2 2 b) lim u n = lim(2n + 1) 4 4 2n − n + 1 + 2n + 3n + 1 2 2 5 15 = c) lim un = lim(3n − 1) 2 2 n +n+7+ n +n+2 2 d) ÔÛ ñaây 3 8n 3 = 2n 4n 2 + n “ ñoà ng taøi ngang söùc” với ( 4n 2 = 2n , coøn limun = lim( ( 4n 2 + n − 2n) + (2n − 3 8n 3 + 3n 2 ) 3 8n 3 + 3n 2 thì “ ñoà ng taøi ngang söùc” với ) ⎛ n −3n 2 = lim ⎜ + ⎜ 4n 2 + n + 2n 4n 2 + 2n. 3 8n 3 + 3n 2 + 2 (8n 3 + 3n 2 )2 ⎝ 1 −3 =0 = + 4 12 www.saosangsong.com.vn ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Chöông 4. Giôùi haïn e) ÔÛ ñaây 3 vôùi 19 4n 2 + n “ ñoà ng taøi ngang söùc” với 4n 2 = 2n , coøn 3 n 3 + n 2 + 1 thì “ ñoàng ngtaøi ngang söùc n3 = n lim un = 1 + lim( 4n 2 + 1 3 n 3 + 7 − 2n 3 n 3 + 7 + 2n 3 n 3 + 7 − 2n 2 ) 1 9 = 1 + lim ⎡ 3 n 3 + 7( 4n 2 + 1 − 2n) + 2n( 3 n 3 + 7 − n) ⎤ = 1+ + 1 = ⎣ ⎦ 4 4 1 1 1 ⎛1 1 1 1⎞ 1 1 ⎞ ⎛ 1 4.33. Ta coù : u2m = 1 + + ( + ) + ⎜ + + + ⎟ + .... + ⎜ m −1 + m −1 + ... + m ⎟ 2 3 4 ⎝5 6 7 8⎠ 2 ⎠ ⎝ 2 +1 2 + 2 1 2 Bieåu thöùc trong daáu ngoaëc thöù nhaát coù 2 phaân soá , trong daáu ngoaëc thöù hai coù 2 phaân soá , . . ., trong daáu ngoaëc cuoái cuøng coù 2m phaân soá . 1 1 = 2 2 1 1 1 1 1 + > + = 3 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta coù : + + + > + + + = 5 6 7 8 8 8 8 8 2 ........ 1 1 1 + ... + m > m −1 2 +1 2 2 m Coäng , ta ñöôïc : u2m > 1 + . Theo ñịnh nghĩa , ta suy ra : limun = + ∞ . 2 B. GIÔÙI HAÏN CUÛA HAØM SOÁ . HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC §4. Ñịnh nghĩa vaø một soá ñònh lí veà giới hạn haøm soá A. Toùm Taét Giaùo Khoa . 1. Giới hạn của haøm soá taïi một ñieåm : a) Giới hạn höõu haïn : Cho haøm soá f xaùc ñònh treân (a ; b) \ {x0 } vaø x0 ∈ (a ; b) , ta noùi : lim f(x) = L ( f coù giới hạn laø L taïi ñieåm x0) Ù ∀ (xn ), limxn = x-0 => lim f(x n ) = L x →x0 b) Giới hạn voâ cöïïc : lim f(x) = + ∞ ( - ∞ ) Ù ∀ (xn ), limxn = x0 => lim f(x n ) = + ∞ ( - ∞ ) x →x0 2. Giới hạn taïi voâ cöïïc . lim f(x) = L Ù ∀ (xn ), limxn = + ∞ => lim f(x n ) = L x →+∞ Tương tự với lim f(x) x →−∞ Chuù yù : Với moïi k ∈ Z+ , 1 a) lim k = 0 x →±∞ x b) lim x k = +∞ x →+∞ ⎧+∞ neáu k chaün c) lim x k = ⎨ x →−∞ ⎩−∞ neáu k leû d) lim C = C ( C : haèng soá ) x →x0 3. Ñònh lí veà giới hạn : Ñònh lí 1 : Bieát lim f(x) = L , lim g(x) = M , thế thì : x →x0 x →x0 a) lim [f(x) + g(x) ] = L + M x →x0 b) lim [f(x) – g(x)] = L – M x →x0 www.saosangsong.com.vn Chöông 4. Giôùi haïn 20 c) lim [f(x)g(x)] = LM d) Nếu M ≠ 0 thì lim x →x0 x →x0 f(x) L = M g(x) Ñònh lí 2 : Bieát lim f(x) = L , thế thì : x →x0 a) lim f(x) = L b) lim 3 f(x) = 3 L x →x0 x→x0 c) Nếu f(x) ≥ 0 , ∀x ≠ x 0 thì L ≥ 0 vaø lim f(x) = L x →x0 Ghi chuù : a) lim (xn) = x0n b) lim x →x0 n x →x0 x = n xo ¾ Neáu f(x) laø haøm soá đa thức , phaân thöùc hay voâ tæ xaùc ñònh taïi x0 thì lim f(x) = f(x0) x →x0 ¾ Caùc ñònh lí 1 vaø 2 treân vaãn ñuùng khi thay x0 baèng ± ∞ . B. Giaûi Toaùn . Daïng 1 : Tìm lim f(x) bieát haøm soá f(x) laø haøm soá laäp bôûi caùc pheùp toùan nhö coäng , tröø , nhaân x →x0 chia … caùc haøm soá ña thöùc vaø xaùc ñònh taïi xo . Khi ñoù giới hạn laø f(x0) . Ví duï 1 : Tìm caùc giới hạn sau : a) f(x) = 2x − 1 taïi x0 = 2 x+2 b) f(x) = 3 x+8 −x+3 x + 1 + x2 taïi x0 = 0 3 4 3 8 −0+3 =5 b) f(x) laø haøm soá sô caáp xaùc ñònh taïi x0 = 0 neân lim f(x) = f(0) = x →0 1+ 0 f ( x) Daïng 2 : Tìm lim trong ñoù f(x) vaø g(x) laø caùc ña thöùc hay bieåu thöùc tieán tôùi voâ cöïïc khi x →∞ g( x ) Giaûi a) f(x) laø haøm soá höõu tyû xaùc ñònh taïi x0 = 2 neân lim f(x) = f(2) = x →2 x tieán tôùi voâ cöïïc . • Chia töû vaø maãu cho ñôn thöùc coù baäc cao nhaát , roài duøng : lim x →∞ Ví duï 2 : Tìm caùc giới hạn sau: 2x 3 − x 2 + 5 a) lim x →+∞ 3x 3 + x c) lim x →+∞ 1 =0 xk (3x 2 − x + 1)2 x →−∞ (2x − 1)3 (5x + 6) b) lim 2x − 5 3x 2 − x + 7 d) lim x →−∞ 2x −9x + 1 − 3x + 2 −4x 3 − x 2 + 1 + x − 1 1 5 + 3 x x ( Chia töû vaø maãu cho x3 ) Giaûi a) lim f(x) = lim x → +∞ x → +∞ 1 3+ 2 x 2−0+0 2 = = 3+ 0 3 2− 2 1 1 ⎞ ⎛ ⎜3 − + 2 ⎟ x x ⎠ b) lim f(x) = lim ⎝ ( Chiatöû vaø maãu cho x4 = (x2 )2 = x3 . x ) 3 x→ − ∞ x → −∞ 1⎞ ⎛ 6⎞ ⎛ ⎜2 − ⎟ ⎜5 + ⎟ x x⎠ ⎝ ⎠ ⎝ www.saosangsong.com.vn