Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cho hình lập phương
ABCD. AB C D cạnh a . Các điểm M , N , P theo thứ tự đó thuộc các cạnh BB , C D , DA
a
sao cho BM C ' N DP . Mặt phẳng ( MNP ) cắt đường thẳng A ' B ' tại E. Tính độ dài
3
đoạn thẳng A ' E.
A. A ' E 5a 3 .
B. A ' E 3a 4 .
C. A ' E 5a 4 .
D. A ' E 4a 3. .
Lời giải
Chọn A
a
Lấy H , K thuộc đoạn DD , AB sao cho DH BK .
3
Nhận xét KP //BD và MH //BD nên KP // MH , suy ra 4 điểm M , K , P, H đồng phẳng.
Tương tự : MK //AB , DC //AB ; DC //HN nên MK //HN suy ra 4 điểm M , K , H , N đồng
phẳng.
Vậy mặt phẳng MNP chứa các điểm H , K đồng thời mặt phẳng MNP song song với mặt
phẳng BDC . Suy ra mặt phẳng MNP song song với BD.
Xét mặt phẳng AB C D , qua N kẻ NE //BD cắt AB tại E là điểm thỏa mãn yêu cầu bài
toán.
Ta có BEDN là hình bình hành nên BE
2a
5a
suy ra AE AB BE .
3
3
Câu 2: (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông
1
tại A và B ; AB BC AD a . Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a 2 . Tính
2
theo a khoảng cách d từ B đến mặt phẳng SCD .
1
A. d a .
2
1
B. d a .
4
C. d a .
Lời giải
Chọn A
D. d
2
a.
2
Gọi I là trung điểm của đoạn AD .
Ta có AI // BC và AI BC nên tứ giác
ABCI là hình vuông hay
1
CI a AD ACD là tam giác vuông tại C .
2
Kẻ AH SC
AC CD
CD SCA
Ta có
AC SA
hay CD AH nên AH SCD
d A, SCD AH ; AC AB 2 BC 2 a 2 .
SA. AC
a 2.a 2
AH
a .
SA2 AC 2
2a 2 2a 2
EB BC 1
nên B là trung điểm của đoạn AE .
Gọi AB CD E , mặt khác
EA AD 2
d B, SCD 1 a
1
. Vậy d a .
d A, SCD 2 2
2
Câu 3: (THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ
ABC .ABC có thể tích bằng V . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB ,
AC , BB . Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng:
5
1
7
1
V.
V.
A.
B. V .
C.
D. V .
24
4
24
3
Lời giải
Chọn A
Gọi I là trung điểm AC NP BI J .
1
Lại có BP // NI suy ra BP là đường trung bình tam giác NIJ . Suy ra B là trung điểm IJ .
2
Suy ra CM BI G là trọng tâm tam giác ABC .
5
BI
S JCM
JG
S JCM 3
5
2
5
Ta có
mà JG BJ BG BI BI BI .
S BCM BG
S BCM 2 BI 2
3
3
3
5
5
S JCM S BCM S JCM S ABC .
2
4
1
5
Ta có V1 VN .MJC .h.S JMC V .
3
12
1 1
1 5
5
V2 VP.MJC . .h.S JMC .h. .S ABC V .
3 2
3 8
24
5
Vậy VN .CMP V1 V2 V .
24
Câu 4: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho một tấm bìa hình vuông cạnh
50 cm . Để làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau
có cạnh đáy chính là cạnh của hình vuông rồi gấp lên, ghép lại thành một hình chóp tứ giác
đều. Để mô hình có thể tích lớn nhất thì cạnh đáy của mô hình bằng:
A. 20 2 cm .
B. 25 2 cm .
C. 15 2 cm .
D. 10 2 cm .
Lời giải
Chọn A
D
A
M
x
I
N
Q
O
P
B
C
x
a 2
a 2 x
Đặt MN x , a 50 cm. Ta có OI , OA
AI
.
2
2
2
2
2
a 2 x x 2
a
Đường cao h AI OI
a x 2 .
2 2 2
2
2
2
1
a
1 a 2
Vậy thể tích của hình chóp là V x 2
a x 2
2a 2 4 x x 4 .
3
2
3
8
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số thực dương 2a 2 4 x và 4 số x , ta có:
5
2a 2 4 x 4 x
2a 2 4 x x
2 2
5
4
5
128 2 .
2a 2
Vậy Vmax khi 2a 2 4 x x x
20 2 cm .
5
Câu 5: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là
hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC , một mặt phẳng qua AP cắt
các cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi V1 là thể tích khối chóp S . AMPN . Tìm giá trị
nhỏ nhất của
A.
1
.
8
V1
?
V
B.
2
.
3
C.
3
.
8
D.
1
.
3
Lời giải
Chọn D
SM
SN
x ,
y , 0 x , y 1 .
SB
SD
1 1
x
SA SC SB SD
Vì
nên 1 2 y
x y
3x 1
SA SP SM SN
V
V1 VS . ANP
1 SA SN SP 1 SA SM SP 1 1 1 1
S . AMP . .
.
. .
.
. y. .x.
Khi đó
V 2VS . ADC 2VS . ABC 2 SA SD SC 2 SA SB SC 2 2 2 2
Đặt
1
1
x
x y x
4
4
3x 1
1
x 1
3
1
x
1
Xét hàm số f x x
trên ;1
4
3x 1
3
Vì x 0 , y 0 nên
1
1
2
Ta có f x 1
2 ; f x 0 x .
4 3 x 1
3
Bảng biến thiên
x 1
2
3
3
y
0
–
||
y
1
1
3
8
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của
V1
1
bằng .
V
3
Câu 6: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Cho hình chóp S . ABC có SA x ,
BC y , AB AC SB SC 1 . Thể tích khối chóp S . ABC lớn nhất khi tổng x y bằng:
A.
3.
B.
2
.
3
C.
4
.
3
D. 4 3 .
Lời giải
Chọn C
S
H
C
A
I
B
Gọi H , I tương ứng là trung điểm của SA , BC .
ABC SBC (c.c.c) AI SI
Tam giác SIA cân tại I IH SA .
BC SI
BC SAI BC AI ; BC SA .
BC AI
1
1
x2 y 2
1
VSABC SA.BC.HI xy 1
x2 y 2 4 x2 y 2 .
6
6
4
4 24
2
2
2
2
x y
x y
2
4 x2 y 2
1
1 . Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi x y
.
2
2
VSABC .
3
12
3
9
4
Vậy VSABC lớn nhất khi x y
3
Câu 7: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có thể tích bằng V ,
đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng P song song với ABCD cắt các đoạn SA , SB ,
SC , SD tương ứng tại M , N , E , F ( M , N , E , F khác S và không nằm trên ABCD ).
Các điểm H , K , P , Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M , N , E , F lên ABCD .
Thể tích lớn nhất của khối đa diện MNEFHKPQ là
2
4
4
2
V.
A. V .
B.
C. V .
D. V .
3
27
9
9
Lời giải
Chọn C
SM
SM
. Ta có: MNEF và ABCD đồng dạng với tỉ số k
SA
SA
2
Do đó S MNEF k S ABCD .
Đặt k
Gọi SI là đường cao của S . ABCD . Ta có:
0 k 1 .
MH MA SA SM
1 k .
SI
SA
SA
VMNEFHKPQ S MNEF .MH S ABCD .k 2 .(1 k ).SI 3V .k 2 .(1 k )
3
3V
3V k k 2 2k
4
.k .k .(2 2k ) .
V.
2
2
3
9
Vậy thể tích lớn nhất của khối đa diện MNEFHKPQ là
4
2
V khi k 2 2k k .
9
3
Câu 8: (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 . Gọi M , N là hai
điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC , BD sao cho AMN luôn vuông góc với mặt phẳng
BCD . Gọi
V1 , V2 lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện
ABMN . Tính V1 V2 .
A.
17 2
.
216
B.
17 2
.
72
C.
17 2
.
144
Lời giải
Chọn A
D.
2
.
12
Gọi H là tâm tam giác BCD , ta có AH BCD , mà AMN BCD nên AH AMN
hay MN luôn đi qua H .
1
6
3
Ta có BH
.
AH AB 2 BH 2 1
3
3
3
1
1 6 1
2
Thể tích khối chóp ABMN là V . AH .S BMN .
. BM .BN .sin 60
BM .BN .
3
3 3 2
12
Do MN luôn đi qua H và M chạy trên BC nên BM .BN lớn nhất khi M C hoặc N D
2
khi đó V1
.
24
2
2
+ BM .BN nhỏ nhất khi MN //CD khi BM BN V2
.
3
27
17 2
Vậy V1 V2
.
216
Câu 9: (SGD Ninh Bình năm 2017-2018) Một hình hộp chữ nhật có kích thước
a (cm) b (cm) c (cm) , trong đó a, b, c là các số nguyên và 1 a b c . Gọi V (cm3 ) và
S (cm 2 ) lần lượt là thể tích và diện tích toàn phần của hình hộp. Biết V S , tìm số các bộ ba
số a, b, c ?
A. 4 .
B. 10 .
C. 12 .
Lời giải
D. 21 .
Chọn B
B
C
A
D
B
A
C
D
V a.b.c
S 2 ab bc ca
Ta có V S suy ra 2 ab bc ca a.b.c
1 1 1 1
a b c 2
1 1 1 1 1 1 1
3 1
a 6 (do 1 a b c ).
2 a b c a a a
a 2
1 1 1 1
1 1
2 a 6 .
a b c 2
a 2
1 1 1
+ Với a 3 ta có b 6 c 6 36 .
b c 6
Suy ra b, c 7;42 , 8;24 , 9;18 , 10;15 , 12;12 có 5 cách chọn thỏa mãn.
1 1 1
b 4 c 4 16 .
b c 4
Suy ra b, c 5;20 , 6;12 , 8;8 có 3 cách chọn thỏa mãn.
+ Với a 4 ta có
1 1 3
3 2
20
b
+ Với a 5 ta có
b c 10 10 b
3
b 6
b 5
, 15
.
c 10 c
2
Suy ra có 1 cách chọn thỏa mãn.
1 1 1
+ Với a 6 ta có b c 6 . Suy ra có 1 cách chọn.
b c 3
Vậy tổng cộng có 10 cách chọn.
Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai
cạnh bên đều có độ dài bằng 1. Tìm diện tích lớn nhất Smax của hình thang.
Câu 10: (SGD Ninh Bình năm 2017-2018)
A. S max
8 2
.
9
B. S max
4 2
.
9
C. S max
3 3
.
2
D. S max
3 3
.
4
Lời giải
Chọn D
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A, B trên cạnh CD .
Đặt ADC DH sin , DH cos
1
1
S ABCD AH . AB CD sin 2 2cos f
2
2
f cos 2cos 2 1 0 x
3
x
f x
2
0
0
0
f x
Vậy S max
3 3
.
4
Câu 11: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho khối chóp S . ABC có
M SA , N SB sao cho MA 2 MS , NS 2 NB . Mặt phẳng qua hai điểm M , N và
song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa
diện đó ( số bé chia số lớn ).
3
4
3
4
A. .
B. .
C. .
D. .
5
9
4
5
Hướng dẫn giải
Chọn D
Cách 1: Ta có mặt phẳng cắt các mặt SAC theo giao tuyến MQ SC và cắt mặt SBC
theo giao tuyến NP SC . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng với hình chóp là hình thang
MNPQ .
Do VMNABPQ VN . ABPQ VN . AMQ , gọi V VS . ABC và S S ABC ta có:
1 1
1 2 7
1
VN . ABPQ .d N , ABC .S ABPQ . d S , ABC S . S V .
3 3
3 3 27
3
1
1 2
4
8
VN . AMQ .d N , SAC .SAMQ . d B, SAC . SASC V .
3
3 3
9
27
5
4
Vậy VMNABPQ VN . ABPQ VN . AMQ V VSMNPQC V .
9
9
VSMNPQC 4
.
Suy ra
VMNABPQ 5
Cách 2:
Gọi I MN AB ,Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác SAB , ta có
MS IA NB
IB 1
1
.
MA IB NS
IA 4
BI SA NM
NM
1
1 .
Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác AMI , ta có:
BA SM NI
NI
PI
AM AQ 2
1 . Vì MQ //SC
.
Tương tự ta có:
PQ
AS
AC 3
Khi đó:
Mà
VI .BNP IB IN IP 1 1 1 1
VAMQ .NBP 15 .VI . AMQ .
VI . AMQ IA IM IQ 4 2 2 16
16
VM . AIQ
VS . ABC
S AIQ
d M ; ABC S AIQ
d M ; ABC MA 2
và
với
SA 3
d S ; ABC S ABC
d S ; ABC
AI AQ 4 2 8
.
S ABC AB AC 3 3 9
15 2 8
5
Suy ra VAMQ. NBP VS . ABC VS . ABC .
16 3 9
9
5
1
9 4 .
Vậy tỉ số thể tích cần tìm là:
5
5
9
Câu 12: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Từ một tấm bìa hình vuông
ABCD có cạnh bằng 5 dm , người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau là
AMB , BNC , CPD và DQA . Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để
thành hình chóp tứ giác đều. Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiêu để
thể tích của nó là lớn nhất ?
A
B
M
Q
N
P
D
A.
3 2
dm .
2
B.
C
5
dm .
2
C. 2 2 dm .
D.
5 2
dm .
2
Lời giải
Chọn C
A
S
B
I
M
Q
O N
P
Q
P
D
C
I
O
N
M
Đặt MQ x dm 0 x 5 2 .
Ta có AO
AC 5 2 OI MQ x
5 2 x
,
, SI AI AO IO
.
2
2
2
2
2
2
5 2 x x 2
50 10 x 2
Chiều cao của hình chóp: SO SI OI
.
2
2
2
2
2
4
5
Thể tích của khối chóp: V 1 SMNPQ .SO 1 .x 2 . 50 10 x 2 1 . 50 x 10 x 2 .
3
3
2
3
2
Xét hàm số y 50 x 4 10 x 5 2
Ta có y
0 x 5 2 .
50 x 4 10 x5
x 0 0;5 2
3
4
y
0
100
x
25
x
2
0
. Khi đó
.
x 2 2
2
100 x 3 25 x 4 2
Bảng biến thiên
Hàm số y đạt giá trị lớn nhất khi x 2 2 .
Vậy thể tích hình chóp lớn nhất khi x 2 2 .
Câu 13: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Cho khối tứ diện ABCD có
thể tích V . Gọi G1 , G2 , G3 , G4 là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện ABCD . Thể tích khối tứ
diện G1G2G3G4 là:
A.
V
.
27
B.
V
.
18
V
.
4
Lời giải
C.
D.
V
.
12
Chọn A
A
G2
G3
G1
I
B
C
G4
J
H1
H2
K
D
Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của BC , BD và DC .
Gọi h là khoảng cách từ A đến BCD , h1 là khoảng cách từ G4 đến G1G2G3 .
Vì G1G2G3 / / BCD nên d G4 , G1G2G3 d G1 , BCD G1 H 2 h , h AH1 .
h1 KG1 1
h
h1 .
h
KA 3
3
Gọi S , S , S1 lần lượt là diện tích các tam giác BCD , IJK và G1G2G3 .
Vì I , J , K lần lượt là trung điểm của BC , BD và DC nên :
1
1 BC 1
1 1
1
S JK .d I , JK .
. d D, BC . .BC.d D, BC S 1 .
2
2 2 2
4 2
4
GG
AG 2
Tam giác G1G2G3 đồng dạng với tam giác KIJ với tỉ số đồng dạng là: 1 2 1 .
Ik
Ak 3
2
4
S 2
4
1 S1 S 2 (Vì tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng).
9
S 3
9
S
Từ 1 và 2 S1 .
9
1
1 S h 1 1
V
Thể tích khối từ diện G1G2G3G4 là: V1 S1.h1 . . . .S .h .
3
3 9 3 27 3
27
Câu 14: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có thể
tích là V . Điểm M thay đổi trong tam giác BCD . Các đường thẳng qua M và song song với
AB , AC , AD lần lượt cắt các mặt phẳng ACD , ABD , ABC tại N , P , Q . Giá trị lớn
nhất của khối MNPQ là:
A.
V
.
27
B.
V
.
16
C.
V
.
8
D.
V
.
54
Lời giải
Chọn A
A
P
B
Q
N
D
P
M
Q
N
C
Tam giác ABN có MN // AB
Tam giác ACP có MP // AC
MP PM
.
AC PC
Tam giác ADQ có QM // AD
Khi đó:
Mà
MN N M
.
AB
N B
MQ QM
.
AD QD
MN MP MQ N M PM QM
AB AC AD N B PC QD
N M PM QM S MCD S MBD S MBC
1 nên MN MP MQ 1
N B PC QD S BCD S BCD S BCD
AB AC AD
3
3
MN MP MQ 3 MN MP MQ
.
.
Lại có 1
(Cauchy)
3
AB AC AD
AB AC AD
3
MN .MP.MQ
1
MN MP MQ
AB. AC. AD MN .MP.MQ lớn nhất khi
27
AB AC AD
M là trọng tâm tam giác BCD
S NPQ
S N PQ
MN MP MQ 1
NPQ // BCD ,
AB AC AD 3
2
1
1
1
2
, Mà S N PQ S BCD nên S NPQ S BCD và d M , NPQ d A, BCD
4
9
2
3
1
Vậy giá trị lớn nhất của khối tứ diện MNPQ là VMNPQ S NPQ .d M , NPQ
3
1 1
1
V
1
VMNPQ . S BCD . d A, BCD , với VABCD S BCD .d A, BCD V
3 9
3
27
3
Câu 15: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình bình
hành ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA .
Biết thể tích khối chóp S .MNPQ là V , khi đó thể tích của khối chóp S . ABCD là:
2
27V
A.
.
4
9
B. V .
2
C.
9V
.
4
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
d S , MNPQ
d S , ABCD
SM 2
.
SI
3
Mặt khác gọi S S ABCD ta có
Tương tự ta có
SJAI 1
S JAI 1 .
S DAB 4
8
Suy ra S HKIJ 1
S MNPQ
S DEJ 1 1 1
. S DEJ 1 S .
S BDA 4 2 8
16
2
1
1
1
4. 2. S S .
8
2
16
2
4
2
S MNPQ S ABCD .
Mà
9
S HKIJ 3
9
1
1 3
9
27
Suy ra VS . ABCD d S , ABCD .S . d S , MNPQ . S V .
3
3 2
2
4
D.
81V
.
8
Câu 16: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy
ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA , N là điểm trên đoạn
SB sao cho SN 2 NB . Mặt phẳng R chứa MN cắt đoạn SD tại Q và cắt
đoạn SC tại P . Tỉ số
A.
2
.
5
VS .MNPQ
VS . ABCD
B.
lớn nhất bằng
1
.
3
1
.
4
Lời giải
C.
D.
3
.
8
Chọn D
S
Q
P
M
D
C
N
A
B
1
SP
SM SP SN SQ
SQ 1
2
1
x 0 x 1 . Ta có
x x
x .
6
SC
SA SC SB SD
SC 2
3
6
Mặt khác ABCD là hình bình hành nên có VS . ABCD 2VS . ABC 2VS . ACD
Đặt
V
VS .MNP SM SN SP 1
SM SP SQ 1
1
.
.
x ; S .MPQ
.
.
x x .
VS . ABC
SA SB SC 3
VS . ACD
SA SC SD 2
6
Suy ra
VS .MNPQ
VS . ABCD
V
VS .MNP
1
1
1 1
1
S .MPQ x x x x 2 x .
2VS . ABC 2VS . ACD 6
4
6 4
8
1
1
1 1
1
1
1
Xét f x x 2 x với x 1 ; f x x 0 x ;1
2
8
4 6
4
8
6
Bảng biến thiên:
3
f x . Vậy VS .MNPQ đạt giá trị lớn nhất bằng 3 .
Từ BBT ta có max
1
8
;1
VS . ABCD
8
6
Câu 17: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABC có SA
vuông góc với đáy, mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng SBC , góc
giữa hai mặt phẳng SAC và SBC là 60 , SB a 2 , BSC
45 . Thể tích khối
chóp S . ABC theo a là:
A. V
a3 2
.
15
B. V 2 3a 3 .
C. V 2 2a 3 .
Lời giải
D. V
2a 3 3
.
15
Chọn D
1
Thể tích khối chóp V SA.S ABC .
3
Kẻ AH SB suy ra AH SBC .
Do BC SA và BC AH nên BC SAB , do đó tam giác ABC vuông tại B .
Kẻ BI AC BI SC và kẻ BK SC SC BIK
Do đó góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC là BKI
60 .
SB 2
Do BSC
45 nên SB BC a 2 và K là trung điểm của SC nên BK
2
a .
Trong tam giác vuông BIK có BI BK .sin 60
Trong tam giác vuông ABC có
a 3
.
2
1
1
1 AB BI .BC
a 30
2
.
2
2
2
2
BI
AB
BC
BC BI
5
2
1
S ABC AB.BC a 15 ; SA SB 2 AB 2 2a 5
2
2
5
3
1
2a 3
Vậy V SA.S ABC
.
3
15
Câu 18: (THPT Lương Văn ChasnhPhus Yên năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABC có các
cạnh bên SA , SB , SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng 30 Biết
AB 5 , AC 7 , BC 8 tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng SBC .
A. d
35 39
.
52
B. d
35 39
.
13
C. d
Lời giải
Chọn C
35 13
.
52
D. d
35 13
.
26
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC
·
·
·
Ta có SAH
SBH
SCH
30 (theo giả thiết) nên các tam giác vuông SHA ,
SHB , SHC bằng nhau. Suy ra HA HB HC H là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC .
Áp dụng công thức Hê-rông ta có S ABC 10 3.
abc
7 3
7 3
.
R
HB
4R
3
3
7
HB
14
.
Xét tam giác vuông SHB : SH HB tan 30 , SB
3
cos 30 3
Mặt khác SABC
1
70 3
Suy ra VS . ABC SH .S ABC
.
3
9
Áp dụng công thức Hê-rông ta có S SBC
Do đó VA.SBC
8 13
.
3
70 3
3VS . ABC 3 9
1
35 39
d .SSBC d
.
S
3
8 13
52
SBC
3
Câu 19: (THPT Lương Văn ChasnhPhus Yên năm 2017-2018) Cho x , y là các số thực
dương. Xét các hình chóp S . ABC có SA x , BC y , các cạnh còn lại đều
bằng 1 . Khi x , y thay đổi, thể tích khối chóp S . ABC có giá trị lớn nhất là:
1
2 3
3
2
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
8
27
8
12
Lời giải
Chọn A
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , BC . Ta dễ dàng chứng minh được
MN là đoạn vuông góc chung của SA và BC .
Suy ra VS . ABC 2VS . MBC .
Ta có 4 MN 2 4 MB 2 y 2 ; MB 2 1
x2
.
4
4 x2 y 2
Thay vào ta được 4 MN 2 4MB 2 y 2 4 x 2 y 2 MN
.
2
x 1
1
1
x2 .y 2 4 x2 y 2 .
Vậy VSABC 2VS .MBC . MN .BC xy 4 x 2 y 2
3 2
12
12
Theo bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân ta có
3
64
4
x 2 . y 2 4 x 2 y 2 .
27
3
Vậy VS . ABC
2 3
2 3
. Dấu bằng đạt được khi x y
.
27
3
Câu 20: (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Bề mặt một quả bóng được ghép từ 12 miếng
da hình ngũ giác đều và 20 miếng da hình lục giác đều cạnh 4,5cm . Biết rằng giá thành của
những miếng da này là 150 đồng/ cm 2 . Tính giá thành của miếng da dùng để làm quả bóng (kết
quả làm tròn tới hàng đơn vị)?
A. 121500 đồng.
B. 220545 đồng.
C. 252533 đồng.
Lời giải
D. 199 218 đồng.
Chọn B
* Ở miếng da hình ngũ giác, xét tam giác OAB có AOB 72o , AB 4,5cm , trung tuyến AM
BM
BM
AB
o
OM
, BOM
cm .
36o . Do đó tan 36
o
OM
tan 36
2 tan 36o
1
1
AB
81
S ABO OM . AB .
. AB
cm 2 .
o
o
2
2 2 tan 36
16 tan 36
405
cm 2 .
Diện tích miếng da hình ngũ giác là 5S ABO
o
16 tan 36
* Ở miếng da hình lục giác cạnh 4,5cm có diện tích cả miếng da là
4,5
6.
2
4
3
243 3
cm 2 .
8
Vậy giá thành của miếng da dùng làm quả bóng là
243 3
405
12.
20.
.150 220545 (đồng).
8
16 tan 36o
Câu 21: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh
AB , CD thỏa mãn AB 2 CD 2 18 và các cạnh còn lại đều bằng 5 . Biết thể tích khối tứ diện
ABCD đạt giá trị lớn nhất có dạnh Vmax
x y
; x, y * ; x; y 1 . Khi đó x, y thỏa mãn
4
bất đẳng thức nào dưới đây?
A. x y 2 xy 4550 .
B. xy 2 x y 2550 .
C. x 2 xy y 2 5240 .
D. x 3 y 19602 .
Lời giải
Chọn A
Đặt AB a .
Gọi M là trung điểm CD CD AM , CD BM CD ABM .
1
1
1
Khi đó VABCD VABMC VABMD S ABM .CM S ABM .DM S ABM .CD .
3
3
3
Do AM là trung tuyến của tam giác ACD nên:
2
AM
2 AC 2 AD 2 CD 2
4
2 52 52 18 a 2
4
82 a 2 .
4
Tam giác ABM cân tại M ( vì AM BM ) nên:
2
S ABM
1
82 a 82 .
1
AB
. AB. AM 2
2 .a. 4
2
4
2
1 a 82
82
82 a 2 18 a 2 3 82 x 3, y 82 .
VABCD .
. 18 a 2
. a 2 18 a 2
.
3 4
12
12
2
4
Câu 22: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD và các điểm
M , N , P lần lượt thuộc các cạnh BC , BD , AC sao cho BC 4 BM , AC 3 AP ,
BD 2 BN . Tính tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi
mp MNP .
7
7
8
8
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
13
15
15
13
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi E MN CD , Q EQ AD , do đó mặt phẳng MNP cắt tứ diện ABCD theo thiết diện
là tứ giác MNQP .
1
2
Gọi I là trung điểm CD thì NI CB và NI BC , do BC 4 BM nên suy ra NI MC .
2
3
EN
EI
NI 2
.
EM EC MC 3
EI 2
ED 1
suy ra
.
Từ I là trung điểm CD và
EC 3
EC 3
EK KD ED 1
. Mặt khác AC 3 AP nên suy ra
Kẻ DK AC với K EP , ta có
EP AC EC 3
Bởi vậy
QD QK KD 2
KD 2
.
. Do đó
QA QP AP 3
AP 3
QK 2
EK 1
EQ 3
và
suy ra
.
Từ
QP 3
EP 3
EP 5
Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD , V1 là thể tích khối đa diện ABMNQP , V2 là thể tích
khối đa diện CDMNQP .
S CMP CM CP 3 2 1
1
.
. SCMP S CAB .
Ta có
SCAB CB CA 4 3 2
2
ED 1
3
nên d E; ABC d D; ABC . Do đó :
EC 3
2
1
1 1
3
3 1
3
VE .CMP SCMP .d E; ABC . SCAB . .d D; ABC . SCAB .d D; ABC V .
3
3 2
2
4 3
4
VE . DNQ ED EN EQ 1 2 3 2
2
2 3
1
.
.
. . , nên suy ra VE .DNQ VE .CMP . V V .
VE .CMP EC EM EP 3 3 5 15
15
15 4
10
Vì
- Xem thêm -