Tài liệu Chủ đề 1. phương trình vô tỉ

CHỦ ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. Giải phương trình vô tỉ bằng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả. A. Lý thuyết: 1) B  0 AB 2 A  B 2) Dạng: A  B  C 3) Dạng: A  B  C  D . * Nếu A+B = C+D (hoặc A.B = C.D) thì bình phương 2 vế ta được phương trình tương đương. * Nếu A+C = B+D (hoặc A.C = B.D) thì phải đưa phương trình về dạng: A  C  D  B sau đó bình phương hai vế, tìm nghiệm sau đó thử lại để chọn nghiệm. 4) Dạng: 3 A  3 B  3 C * Lập phương hai vế ta được: A  B  3.3 AB (3 A  3 B )  C . Sau đó thay thế: 3 A  3 B  3 C vào phương trình, ta được: A  B  3.3 ABC  C Chú ý: sự thay thế này có thể dẫn đến nghiệm ngoại lai, vì vậy phải thử lại nghiệm. B. Bài tập: Bài 1. Giải các phương trình: 1) 3 x 2  4 x  1  1  4 x 3) 3 x  3  5 x  1  2 3 x  1 4 x 2  3x  1  2x2  5x  3  Bài 2. Giải các phương trình: 1) 2 x  1  3 x  4  6x  5  3) 2x  3  x 1 2x  3  3x  2  2) 4) x3  4x 4x  8 x 1  x  1  x2  x  1  x  3 x3 2x  3  x2  8x  9 x 1 3 x2  1  4x  1  2) 4) x 1 Bài 3. Giải các phương trình: 1) 3 x  34  3 x  3  1 3) 3 2 x  1  3 x  1  3 3 x  1 2) 3 x 1  3 x  2  3 2x  3 Bài 4. Giải các phương trình sau: 1) x2  3x  2  1  x 3x  2 3) x  x 2  16  40 x  16 2 2) 1  x2  x  4) x2  II. Giải phương trình vô tỉ bằng cách trục căn thức. * Áp dụng cho các trường hợp sau: - Đưa được về dạng đơn giản hơn. - Nhẩm được phương trình có một nghiệm x = x0. 7  x2 5 2 1  x2 x 7 x x2 Bài tập: Giải các phương trình sau: 1) 4  2x  1  2x  7 5 x  16 2) 3) x2  2x  3  x2  1  x  3x 2  5 x  1  x 2  2  3  x 2  x  1  x 2  3x  4 3x  2 III. Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng 1. Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng đại số: Bài 1. Giải các phương trình: 1) 5 x 2  10 x  1  7  x 2  2 x x  1  3  x  ( x  1)(3  3) 2) x  1  3 x  16  x x2  1  4) x)  2 Bài 2. Giải các phương trình 1) x  2  x  2  2 x 2  4  2 x  2 2x  3  4 x 1  x x2  1  2 12  x   x 2  11x  23 2) 2x  5x  3 2 Bài 3. Giải các phương trình: 1) 3 x 2  x  ( x  2) 3x  7 8 x2 2) ( x  3) 5 x  2 15  2 x  x 2  12  0 x3 Bài 4. Giải các phương trình: 1) 5 x  5 2 x  2x  1 4 2x 2) x 2  4  x 2  4  3 x 2 . 4  x 2 Bài 5. Giải các phương trình: 1) x 1 2 x2 x2 3 x 1 2) x  6 x  5  5.4 x 2  5 x Bài 6. Giải các phương trình: 1) x 2  2 x x  1  3x  1 x 2) x 2  3 x 4  x 2  2 x  1 (HD: Chia cả hai vế cho x ) Dạng 2. Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng lượng giác: * Có thể áp dụng cho các phương trình mà ĐK của biến số thuộc một đoạn [a; b] Giải các phương trình: 1) 4 x3  3x  1  x 2 2) 4  3 x 2  x 2 x 2  1 (Chia 2 vế cho x ) 3 3) 4 x 3  12 x 2  9 x  1  4)  2x  x 2 1  1  x2  x 1  2 1  x2 (Đặt (x-1) = sint)  5) 3 6x  1  2x (lập phương 2 vế) 6) 5  3 1  x 2  8 x 6  (1  x 2 ) 3  Dạng 2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ: Bài 1. Giải các phương trình: 1) x 3  x 2  2  x 3  x 2  1  3 3) 4 1  x 2  4 1  x  4 1  x  3 Bài 2. Giải các phương trình: 2) 2 x  1  3 2 x  5  3 4) 4 18  x  4 x  1  3 1) x 3  1  2.3 2 x  1 1= x3 ) 3) x 2  6 x  2  ,(y = 3 2 x  1 ) x  8 , (y-3 = x 8 2) x 2  2 x  3  ) x  3 , (y- x4  3x 2  6 x  2 3 4) IV. Một số bài toán về phương trình vô tỉ có chứa tham số: A. Lý thuyết : f ( x)  m  Max f ( x) * Phương trình : f(x) = m có nghiêm ê trên tâ êp D  min D D * Chú y : Xét bài toán : tìm m để phương trình f(x,m)=0 có nghiê êm, ta có thể làm như sau : Bước 1 : Tìm ĐK tồn tại của phương trình, giả sử x thuô ôc tâ ôp D (tâ ôp D là khoảng, đoạn hoă ôc nửa khoảng) Bước 2 : Đưa phương trình f(x,m) = 0 về dạng g(x) = m. Bước 3 : Xét sự biến thiên, tìm GTLN và GTNN nếu có, của g(x) trên tâ ôp D. Bước 4 : Lâph BBT, từ BBT suy ra ĐK có nghiê ôm của phương trình. * Thường thì đây là các bài toán ta phải đă ôt ẩn phụ (như các dạng đã được nêu trong phần giải phương trình vô tỉ trên đây), Chú ý rằng ĐK của ẩn phụ phải chính xác. Ví dụ 1 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: Giải: x3  7 x  m  2 x  1 Với ĐK x  1 / 2 , phương trình đã cho  x 3  7 x  m  4 x 2  4 x  1  x3 – 4x2 – 3x – 1 = – m <=> f(x) = - m. 1 (1)  Xét hàm số f(x) trên  2 ;  , ta có   2 f ’(x) = 3x – 8x – 3 ; f ‘(x) = 0 x x  3   x  1 / 3(loai ) - f’(x) 0 + _ + -27/8 f(x) f(3) = - 19, f(1/2) = - 27/8. * BBT (hình bên). -19 1  + 3 1/2 _   Từ BBT suy ra (1) có nghiệm trên  2 ;  (tức phương trình đã cho có nghiệm)  m  19  m  19 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm m( 3  x  Hướng dẫn: * ĐK:  3  x  5 * Đặt t  3  x  5  x , 5  x)  15  2 x  x 2  2m  11 2 2 2 t4 t 8 2 2 t 8 11 t2  3  2m    2m  g (t )  2m Nên (1) trở thành: mt  2 2 t2 Suy ra: 15  2 x  x 2  2 * Khảo sát sự biến thiên của hàm số g(t) trên đoạn * Lâ ôp BBT và từ BBT suy ra các giá trị cần tìm. 2 2 ;4 , B. Bài tâ êp: Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình 1 - x2 + 23 1- x2 = m 1) có nghiệm thực duy nhất, 2) có nghiệm thực. (1) Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất: x + 1 - x + 2m x(1 - x) - 24 x(1 - x) = m3 . Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt. x2 + 2x - m = 2x - 1 Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình x + x + 1 + x + 1 = m có nghiệm thực. 2 4 m - 4 = 0 có nghiệm thực. Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình 16 - x2 16 - x2 x- 1 x +2 Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình - m + 2 = 0 có nghiệm thực. x+2 x- 1 Bài 7. Tìm điều kiện của m để phương trình x + 1 - m x - 1 + 24 x2 - 1 = 0 có nghiệm thực (A-2007). Bài 8. Chứng minh mọi m > 0 phương trình Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình thực phân biệt (A-2008) Bài 10. Tìm điều kiện m để phương trình Bài 11. Tìm điều kiện m để phương trình 4 x2  2x  8  2x  m( x  2) (B-2007) 2 x  24 6  x  2 6  x  m có hai nghiệm x + 4 x - 4 + x + x - 4 = m có nghiệm thực. x+m có x+6 x- 9+ x- 6 x- 9 = 6 nghiệm thực. Bài 12. Tìm m để phương trình x - 1 + 3- x - Bài 13. Tìm m để phương trình x4 + 4x + m + 4 x4 + 4x + m = 6 có nghiệm thực. Bài 14. Chứng tỏ rằng phương trình 3x2 - 1 2x - 1 = (x - 1)(3 - x) = m có nghiệm thực. 2x - 1 + mx luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m. x +1 = m có nghiệm thực. x- 3 Bài 16. Tìm m để phương trình 3 1 - x + 3 1 + x = m có nghiệm thực. Bài 15. Tìm m để phương trình (x - 3)(x + 1) + 4(x - 3) Bài 17 (trích đề thi ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình: m 1 + x2 - 1 - x2 + 2 = 2 1 - x4 + 1 + x2 - 1- x2 có nghiệm thực. ( ) Bài 18. Tìm m để phương trình m x2 + 2 = x + m có 2 nghiệm thực phân biệt.