Tài liệu Chỉnh hợp

ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP Chöông III CHÆNH HÔÏP Coù n vaät khaùc nhau, choïn ra k vaät khaùc nhau (1 ≤ k ≤ n), saép vaøo k choã khaùc nhau. Moãi caùch choïn roài saép nhö vaäy goïi laø moät chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû. Choã thöù nhaát coù n caùch choïn (do coù n vaät), choã thöù 2 coù (n – 1) caùch choïn (do coøn n – 1 vaät), choã thöù 3 coù n – 2 caùch choïn (do coøn n – 2 vaät), …, choã thöù k coù n – (k – 1) caùch choïn (do coøn n – (k – 1) vaät). Vaäy, theo qui taéc nhaân, soá caùch choïn laø : n × (n – 1) × (n – 2) × … × (n – k + 1) = n! (n − k)! Neáu kí hieäu soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø A kn , ta coù : A kn = n! (n − k)! Ví duï 1. Moät nhaø haøng coù 5 moùn aên chuû löïc, caàn choïn 2 moùn aên chuû löïc khaùc nhau cho moãi ngaøy, moät moùn buoåi tröa vaø moät moùn buoåi chieàu. Hoûi coù maáy caùch choïn ? Giaûi Ñaây laø chænh hôïp chaäp 2 cuûa 5 phaàn töû, coù : A 52 = 5! = 4.5 = 20 caùch choïn. (5 − 2)! (Giaû söû 5 moùn aên ñöôïc ñaùnh soá 1, 2, 3, 4, 5; ta coù caùc caùch choïn sau ñaây : (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)). Ví duï 2. Trong moät tröôøng ñaïi hoïc, ngoaøi caùc moân hoïc baét buoäc, coù 3 moân töï choïn, sinh vieân phaûi choïn ra 2 moân trong 3 moân ñoù, 1 moân chính vaø 1 moân phuï. Hoûi coù maáy caùch choïn ? Giaûi Ñaây laø chænh hôïp chaäp 2 cuûa 3 phaàn töû. Vaäy coù : A 32 = 3! = 6 caùch choïn. (3 − 2)! (Giaû söû 3 moân töï choïn laø a, b, c thì 6 caùch choïn theo yeâu caàu laø (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b)). Ví duï 3. Töø 5 chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5 coù theå taïo ra bao nhieâu soá goàm 2 chöõ soá khaùc nhau ? Giaûi Ñaây laø chænh hôïp chaäp 2 cuûa 5 phaàn töû. Vaäy coù : A 52 = 5! 5! = = 5 × 4 = 20 soá (5 − 2)! 3! (Caùc soá ñoù laø : 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54) . Baøi 35. Chöùng minh vôùi n, k ∈ ¥ vaø 2 ≤ k < n A nk = A nk −1 + k A nk −−11 a) A nn ++ 2k + A nn ++1k = k2 A nn + k b) Giaûi a) Ta coù : A nk −1 + k A nk −−11 = (n − 1)! (n − 1) ! + k. (n − 1 − k) ! (n − k) ! 1 k ⎡ ⎤ = (n – 1)! ⎢ + ⎥ ⎣ (n − k − 1)! (n − k)(n − k − 1)! ⎦ b) k ⎞ n (n − 1) ! ⎛ . ⎜1 + ⎟ = n − k ⎠ (n − k − 1) ! n − k ⎝ = (n − 1) ! (n − k − 1) ! = n! = A nk . (n − k) ! A nn ++ 2k + A nn ++1k = = (n + k) ! (n + k) ! + (k − 2) ! (k − 1)! (n + k) ! (k − 2) ! = (n + k) ! (n + k)! + (k − 2) ! (k − 1)(k − 2)! 1 ⎤ ⎡ ⎢⎣1 + k − 1 ⎥⎦ (n + k)!k 2 (n + k) ! k = . = = A nn + k .k2. k! (k − 2) ! k − 1 Baøi 36. Giaûi phöông trình Px . A 2x + 72 = 6( A 2x + 2Px). Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi khoái D 2001 Giaûi Ñieàu kieän x ∈ ¥ vaø x ≥ 2. Ta coù : Px . A 2x + 72 = 6( A 2x + 2Px) x! ⎡ x! ⎤ + 72 = 6 ⎢ + 2x !⎥ (x − 2) ! ⎣ (x − 2)! ⎦ ⇔ x! ⇔ x!x(x – 1) + 72 = 6[x(x – 1) + 2x!] ⇔ (x2 – x – 12)x! = 6(x2 – x – 12) ⇔ (x2 – x – 12)(x! – 6) = 0 ⇔ ⎡ x 2 − x − 12 = 0 ⎢ ⎣ x !− 6 = 0 ⇔ ⎡x = 4 ⎢ x = −3 : loaïi ⎢ ⎢⎣ x = 3 ⇔ ⎡x = 4 ⎢x = 3 ⎣ Baøi 37. Giaûi baát phöông trình : A 3x + 5 A 2x ≤ 21x. Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi khoái B 1998 Giaûi Ñieàu kieän x ∈ ¥ vaø x ≥ 3. A 3 x + 5 A 2x ≤ 21x ⇔ x! x! +5 ≤ 21x (x − 3) ! (x − 2)! ⇔ x(x – 1)(x – 2) + 5x(x – 1) ≤ 21x ⇔ (x – 1)(x – 2) + 5(x – 1) ≤ 21 ⇔ x2 + 2x – 24 ≤ 0 ⇔ (do x ≥ 3) –6 ≤ x ≤ 4. Do x ∈ ¥ vaø x ≥ 3 neân x = 3, x = 4 laø nghieäâm. Baøi 38. Tìm caùc soá aâm trong daõy soá x1, x2, …, xn vôùi A 4n + 4 143 vôùi Pn laø soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû. xn = – Pn + 2 4Pn Ñaïi hoïc An ninh 2001 Giaûi Ñieàu kieän n ∈ ¥ \ {0} . (n + 4)! 143 (n + 4)(n + 3) 143 n! Ta coù : xn = – = – . 4n ! n! 4n ! (n + 2)! Vaäy : xn < 0 ⇔ (n + 4)(n + 3) – 143 <0 4 ⇔ 4n2 + 28n – 95 < 0 (do n! > 0) ⇔ − 19 5 - Xem thêm -