Tài liệu Bài giảng bài đường tiệm cận giải tích 12 (4)

y y=y0 x=x0 O x Định nghĩa tiệm cận Cho đồ thị (C) có nhánh vô tận.  x   M  (C ), M ( x; y )     y    x    y   (d) là 1 đường thẳng đ /n M  (C ), lim d (M , d )  0  (d ) là tiệm cận thẳng của (C) y M  M (C) O d x I. Đường tiệm cận ngang: Định nghĩa 1: Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim y  y 0 hoặc lim y  y 0 x  x  y y0 y y = y0 O y = f(x) x y = y0 y0 x O Đường thẳng y=y0 là tiệm cận Đường thẳng y=y0 là tiệm cận ngang của đồ thị ( khi ngang của đồ thị ( khi x  ) x  ) II. Đường tiệm cận đứng: Định nghĩa 2: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim y   lim y   x  x 0 x  x 0 lim y   lim y   x  x 0 x  x 0 y x0 x y y = f(x) x0 x x0 x y x0 x x=x0 O O Đường thẳng x=x0 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x  xo ) O x=x0 O x=x0 x=x0 y Đường thẳng x=x0 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x  xo ) tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y   2 x  2 x3 Giải  2x  2 Xét hàm số: y  x3 lim y   x 3 TXĐ: D = R\{-3} lim y   x 3 => Đg thẳng x= - 3 là TCĐ của đồ thị khi x  3 và khi x  3 lim y  2 x  lim y  2 x  => Đg thẳng y= - 2 là TCN của đồ thị khi x   và khi x   tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số : x2  x 1 y 3  2 x  5x 2 3 TXĐ : D  R \ {1; } 5  x2  x 1   x2  x 1     lim  lim 2  2   3  2 x  5 x 3  2 x  5 x x  1  x  1         x2  x 1  lim 2  3  2 x  5 x 3  x      5   x2  x 1    lim  2  3  2 x  5 x 3   x 5 Vậy ĐTHS có 2 TCĐ là x = -1 khi x  1 và x  1 Vậy ĐTHS có 2 TCĐ là x = 3/5 khi x  3 / 5 và x  3 / 5  x2  x 1  lim 2 3  2 x  5 x x    ( x   )  1    5  Vậy ĐTHS có TCN là y = -1/5 III. Đường tiệm cận xiên: Định nghĩa 3: Đường thẳng y = ax + b được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim  f  x    ax  b   0 x  hoặc lim  f ( x)  ax  b  0 x  y y y = f(x) y = f(x) O Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận xiên của đồ thị ( khi x  ) x O x Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận xiên của đồ thị ( khi x  ) tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: 3x 2  x  1 y x2 TXĐ: D = R\{2} 3x 2  x  1 13  3x  7  Ta có: y  x2 x2 lim  f x  3x  7  lim 13 0 x2 lim  f x  3x  7  lim 13 0 x2 x  x  x  x  => Đg thẳng y= 3x+7 là TCX của đồ thị khix   và khi x   Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: a) y  f ( x)  3 x 3  3x 2  2 cos 2 x b) y  f ( x)  x  x 2 y  f ( x )  2 x  1  4 x  5x  1 c) Chú ý: a n x n  ...  a1 x  a0 * y  f ( x )  ( m , n  N ) Với hàm số có dạng: m bm x  ...  b1 x  b0 TCN TCX n Đg thẳng y = x-1 là TCX của (C) khi x   và x   cos 2 x y  f ( x)  x  x TXĐ: D = R\{0} lim f x    x 0  lim f x   x 0  => Đg thẳng x = 0 là TCĐ của (C) khi x  0 lim  f ( x)  x  lim x   x   lim  f ( x)  x  lim x   x   và x  0 cos 2 x 0 x cos 2 x 0 x => Đg thẳng y = x là TCX của (C) khi x   và x   y  f ( x)  2 x  1  4 x  5 x  1 2 1  TXĐ : D    ;   1; 4  => Không có TCĐ lim 2 x  1  4 x 2  5x  1 x    lim  4 x 2  4 x  1  4 x 2  5x  1  lim 1  2 2 x  1  4 x  5x  1 4 x   2 x  1  4 x  5x  1 => ĐTHS có TCN: y = 1/4 khi x   2 x   lim x   2 x  1  4 x 2  5x  1 4a x lim 2 x  1  x    4 x 2  5x  1  4 x  9 b 4 => ĐTHS có TCX: y=4x-9/4 khi x   x y y=y0 x=x0 O x