Tài liệu 83_skkn toán 7_vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNGTỐTTÍNH CHẤTCỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LỚP 7 A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Bối cảnh của đề tài Trong quá trình dạy học môn toán ở trường THCS đặc biệt là lớp 7, khi học về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tôi nhận thấy việc áp dụng lí thuyết vào giải một số bài tập còn nhiều hạn chế: chưa linh hoạt trong quá trình giải bài tập, học sinh ít đi sâu nghiên cứu kiến thức đã học,việc giải bài tập còn nhiều lúng túng, vận dụng kiến thức không phù hợp. Xuất phát từ thực tế này, tôi đã tiến hành phân loại các bài toán theo những đặc trưng riêng của nó, đưa ra cách giải chung nhất cho từng dạng toán nhằm giúp học sinh khắc phục những hạn chế trên. Hơn nữa để giúp học sinh chuyên cần hơn, yêu thích, say mê môn học hơn, trong quá trình giảng dạy, tôi thấy cần thiết phải khai thác, phát triển, mở rộng kiến thức cơ bản. Với lượng kiến thức của học sinh mới vào lớp 7, các em đã có trong tay một số kĩ năng giải toán như biến đổi các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa. Nhưng rất nhiều khó khăn mà các em sẽ gặp phải khi học và làm các bài tập đòi hỏi khả năng phân tích, sự tư duy, sáng tạo. Như vậy, rất cần thiết phải trang bị tri thức, phương pháp để các em không còn cảm thấy lúng túng, ngại khó khi gặp một số bài toán khá phức tạp. 2. Thực trạng của vấn đề Qua thực tế giảng dạy môn Toán 7, đặc biệt khi hướng dẫn học sinh giải các dạng bài tập về dãy tỉ số bằng nhau, tôi nhận thấy ở học sinh còn tồn tại một số hạn chế sau: - Chưa vận dụng hợp lí kiến thức đã học vào các dạng bài tập cụ thể. - Thường tỏ ra lúng túng, ngại suy nghĩ khi gặp các dạng bài tập mới, đòi hỏi khả năng tư duy, lập luận logic, tính sáng tạo, tổng hợp kiến thức. - Chưa hiểu rõ tính chất, chưa nắm được một số kiến thức cơ bản dẫn đến việc nhầm lẫn trong quá trình biến đổi, thiếu sót khi kết luận. - Nhiều em chưa xác định đượccác bài toán cùng dạng, chưa tổng quát được bài toán để tìm ra cách giải chung cho từng dạng toán. - Khả năng quan sát bài toán chưa tốt, chưa linh hoạt vận dụng kiến thức, hướng giải quyết bài toán còn hạn chế. 3. Lí do chọn đề tài Trước thực trạng trên, tôi đã luôn trăn trở, tìm hiểu và nghiên cứu để tìm ra được biện pháp nhằm khắc phục những hạn chế trên, giúp học sinh đạt được kết quả tốt hơn trong học tập, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục. 2 Thấy được sự cần thiết đó, với việc áp dụng thành công các chuyên đề trước tôi đã mạnh dạn thực hiện đề tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng tốt tính chấtcủa dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng Toán lớp 7”. Với một hệ thống bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, nhằm kích thích tính tư duy, suy luận logic, tính sáng tạo các em. Mỗi dạng bài tập đều có phương pháp chung, một số ví dụ đã chọn lọc cách giải hợp lí và một số bài tập tương tự, với mong muốn giúp học sinh dễ dàng tìm hiểu và có thể tự nghiên cứu sâu hơn về các dạng bài tập này. Tính chất về dãy tỉ số bằng nhau chỉ là một mảng kiến thức nhỏ được giới thiệu qua một tiết lí thuyết trong chương trình sách giáo khoa Đại số 7, nhưng đằng sau đó là một chuỗi các bài tập, ứng dụng rất nhiều trong việc nghiên cứu các nội dung kiến thức sau này. Việc hệ thống, phân loại được các dạng bài tập giúp học sinh tiếp cận kiến thức một cách nhẹ nhàng hơn, hứng thú hơn. Qua đó, giáo viên có thể dễ dàng phát triển, mở rộng kiến thức, giúp các em thấy được sự cần thiết phải tích cực nghiên cứu và thấy được sự ứng dụng rộng rãi của mảng kiến thức này. Đề tài cũng giúp cho bản thân có cơ hội mở rộng nghiên cứu, nâng cao kiến thức, làm quen với việc phân loại kiến thức theo chuyên đề. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lí luận Việc giảng dạy bài tập toán không thể cứng nhắc, đơn điệu, tùy theo từng bài toán ta có các cách giải khác nhau. Dạy học giải các bài tập toán có ý nghĩa rất quan trọng: - Củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức đã học của học sinh, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo. - Mang tính chất ứng dụng những kiến thức đã được học vào từng bài toán cụ thể, vào thực tế và những vấn đề mới. - Để học sinh tự đánh giá năng lực nhận thức của mình và cũng giúp giáo viên đánh giá được mức độ tiếp thu kiến thức, khả năng học toán của từng em. - Gây hứng thú học tập toán của học sinh, từ đó phát huy được các phẩm chất trí tuệ, các năng lực cần thiết mà mục tiêu giáo dục THCS đề ra. Tính chất của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau là một phần kiến thức rất nhỏ trong chương trình toán 7, tuy nhiên không vì thế mà chúng ta xem nhẹ nội dung này. Bởi chính những kiến thức này các em được gặp lại ở các lớp trên, đặc biệt là trong quá trình chứng minh hình học khi biến đổi để tìm ra các đoạn thẳng tỉ lệ, biến đổi các tỉ số đồng dạng của hai tam giác để tính độ dài đoạn thẳng, tìm ra các tỉ sốcần chứng minh…Vì vậy, ngoài việc dạy lí thuyết, giáo viên chú ý khắc sâu kiến thức trọng tâm của bài học. Tôi đã phân loại các bài toán theo từng dạng trong quá trình dạy học của mình, để giúp các em có được những kĩ năng tốt, kinh nghiệm quí báu khi giải các bài tập có liên quan. 3 2. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu và sản phẩm của hoạt động sư phạm. - Phương pháp nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giáo dục. - Phương pháp nêu và giải quyết vấn đề. - Nghiên cứu hệ thống các bài tập cùng dạng, phát triển tư duy học sinh. 3. Mục đích nghiên cứu - Phát huy những tiềm năng toán học ở học sinh. - Nâng cao chất lượng học tập môn toán. . ộ môn. - Phạm vi triển khai: Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả các giáo viên dạy Toán cấp THCS, học sinh yêu thích bộ môn toán. Phạm vi nghiên cứu của đề tài: Các vấn đề được trình bày trong đề tài này là các chuyên đề sắp xếp theo từng dạng toán, mỗi dạng có phương pháp giải và một số bài tập áp dụng mà tôi đã tích lũy được trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu. Đối tượng áp dụng: Tất cả các đối tượng học sinh từ trung bình đến những học sinh khá, giỏi với một hệ thống bài tập đã được sắp xếp từ dễ đến khó. 5. Nội dung thực hiện 5.1.Ôn tập kiến thức cơ bản 5.1.1 Tỉ lệ thức a) Định nghĩa Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số a c b d . Trong đó: là các số hạng. a , d gọi là ngoại tỉ. b , c gọi là trung tỉ. b) Tính chất Tính chất 1 a,b, c, d Nếu a c b d Tính chất 2 Nếu a . d a c b d ; thì b .c a .d b .c . và a,b,c, d a b c d ; 0 thì ta có: d c b a ; d b c a 4 5.1.2. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau a) Tính chất Từ dãy tỉ số bằng nhau a c e b d f a b a c e b d f c e d f a b ta suy ra: c e d f a b c e d f (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) b)Chú ý Khi có dãy tỉ số a b c x y z ta nói các số tỉ lệ với các số a,b,c x, y, z . Ta còn viết a : b : c x : y : z 5.2. Ôn tập kiến thức liên quan 5.2.1. Lũy thừa của một thương n x x y y n x, y n Q;n N ; y 0 5.2.2. Một số tính chất cơ bản a a .m b b .m a c a c b d b .n d .n a c a c b d b d m 0 n n 0 n n N 6. Một số ví dụ minh họa 6.1. Dạng 1:Bài tập về chứng minh tỉ lệ thức 6.1.1. Phương pháp giải - Vận dụng tính chất các phép toán, tính chất của tỉ lệ thức hoặc tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để biến đổi linh hoạt giả thiết của bài toán để được điều cần phải chứng minh. - Trong quá trình biến đổi luôn nhìn về điều mình cần phải suy ra để lựa chọn phương pháp biến đổi phù hợp nhất, chính xác nhất để được điều cần phải suy ra. 6.1.2. Một số ví dụ Ví dụ 1:Cho a c b d 1 a . Chứng minh rằng: a c b c d Hướng dẫn Đây là một bài toán cơ bản về chứng minh tỉ lệ thức. Dạng toán này không khó, tuy nhiên đối với nhiều học sinh có thể gặp lúng túng trong việc lựa chọn cách biến đổi. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh biến đổi theo một số cách sau: Cách 1:Có a c a b a b a b a a b b d c d c d c d c c d a a c b c d 5 Cách 2:Đặt a c b d k a k .b , c k .d Khi đó: a a kb b kb c c kb b b k kd d kd a Cách 3:Có 1 k 1 kd d d a Vậy: k k k 1 k 1 c b c a c b d d ad bc ac ad ac bc a c d c a a a b c b c d Đối với cách 3, thông thường học sinh khó nhận ra được trong quá trình biến đổi. Tuy nhiên, giáo viên cũng cần hướng dẫn nhằm giúp những học sinh khá giỏi có thêm hướng biến đổi trong việc giải toán về chứng minh tỉ lệ thức. Ví dụ 2:Cho a c b d . Chứng minh rằng: 2a 3b 2c 3d 2a 3b 2c 3d Ở dạng bài này, để áp dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, học sinh cần phải vận dụng được một số tính chất cơ bản để biến đổi trước một bước như sau: Có a c a b 2a 3b b d c d 2c 3d Nếu học sinh chưa phát hiện ra cách làm, giáo viên có thể hướng dẫn sau đó yêu cầu học sinh áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để suy ra điều phải chứng minh. Hướng dẫn Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: Vậy 2a 3b 2a 3b 2a 3b 2a 3b 2a 3b 2a 3b 2c 3d 2c 3d 2c 3d 2c 3d 2c 3d 2c 3d 2a 3b 2c 3d 2a 3b 2c 3d 2a 3b 2c 3d Ví dụ 3:Cho b 2 ac . Chứng minh rằng: a b 2 b 2 c 2 a 2 c Ở bài này, học sinh dễ dàng nhận biết được b b .b , từ đó giáo viên có thể gợi ý cho học sinh áp dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau để suy ra điều phải chứng minh. 2 n Giáo viên có thể gợi ý thêm nếu n a c a c b d b d n N . 6 Hướng dẫn Có b 2 a ac b b Vậy: a b 2 2 b c 2 a c b 2 b 2 c 2 a 2 b 2 b 2 c 2 2 a b 2 2 b c 2 a 2 2 ac a ac c 2 a c a c a c c a 2 c Ví dụ 4:Cho 6 số khác 0 là 2 x2 x1 .x 3 ; x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 x 2 .x 4 ; x 4 2 2 x3 x3.x5 ; thỏa mãn điều kiện: 2 x5 x 4 .x 6 . 5 Chứng tỏ rằng: x1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 x3 x4 x5 x6 Đây là một dạng toán khó, học sinh cần phải có kĩ năng quan sát, phân tích để tìm hướng giải. Giáo viên có thể hướng dẫn để học sinh phân tích bài toán theo từng bước. Hướng dẫn Từ các đẳng thức, giáo viên yêu cầu học sinh suy ra các tỉ lệ thức: 2 x2 2 x3 2 x4 2 x5 x1 . x 3 x 2 .x 4 x3 .x5 x 4 .x6 x1 x2 x2 x3 x2 x3 x3 x4 x3 x4 x4 x5 x4 x5 x5 x6 Đến đây học sinh dễ dàng áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đểsuy ra được: x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5 x2 x3 x4 x5 x6 x2 x3 x4 x5 x6 x1 x1 x2 x3 x4 x5 x2 x2 x3 x4 x5 x6 x2 x1 x2 x3 x4 x5 x3 x2 x3 x4 x5 x6 x3 x1 x2 x3 x4 x5 x4 x2 x3 x4 x5 x6 x4 x1 x2 x3 x4 x5 x5 x2 x3 x4 x5 x6 x5 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 x3 x4 x5 x6 Do đó: 7 5 Giáo viên gợi ý để học sinh suy ra x1 . x2 x2 x3 . x3 . x4 x4 . x5 x5 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 x3 x4 x5 x6 5 Từ đó suy ra x1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 x3 x4 x5 x6 Qua các ví dụ trên, tôi nhận thấy với dạng bài tập này, học sinh cần phải biết sử dụng linh hoạt kiến thức để tạo ra dãy tỉ số bằng nhau hợp lí, kết hợp với dữ kiện đã cho để đi đến điều phải chứng minh. Có nhiều cách để chứng minh một tỉ lệ thức, song giáo viên cần lựa chọn cách phù hợp nhất với khả năng nhận thức của từng đối tượng học sinh giúp các em dễ hiểu, dễ trình bày. 6.1.3. Bài tập tự luyện Bài 1:Cho a c b d . Chứng minh rằng: Bài 2: Chứng minh rằng: nếu Bài 3:Cho a b Bài 4: Cho c a b 5a 3b 5c 3d 5c 3d thì a b c a a b c a c c với a,b,c, d 0 2 2 2 b ab 2 d b c . cd . Chứng minh rằng: 7a 2 1 1a c a c 2b . Chứng minh rằng: và a b d a2 N * a1 , a 2 , a 3 , a 4 a1 Chứng minnh rằng: k,m,n . . d Bài 7: Cho bốn số khác 0 là: Bài 8: Cho 3b a . Chứng minh rằng: Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu a bc d b Bài 6:Cho 2 a 5a 3 3 a2 a3 3 3 3 a3 a4 3 2bd 3 b 3 c c b 3 c 3 d thỏa mãn a1 3 2 8b 7c 2 1 1c 2 3cd 2 8d 2 . . d a 3 3ab . d 2 a2 a 1 .a 3 và 2 a3 a 2 .a 4 . . a4 .Chứng minh rằng: Nếu k 2 m .n thì k m n k k m n k . 6.2. Dạng 2:Tìm các số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau 6.2.1. Phương pháp giải - Chủ yếu áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau (tùy vào điều kiện đã cho của bài toán). - Trong nhiều trường hợp, chúng ta cần áp dụng các tính chất của tỉ lệ thức để biến đổi điều kiện đã cho sau đó mới áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau một cách dễ dàng hơn. - Trong quá trình biến đổi cần lưu ý đến dấu của số cần tìm, trong trường hợp có số mũ chẵn hoặc tích của hai số để tránh tìm ra đáp án không thỏa yêu cầu của bài toán. Cũng cần lưu ý đến các trường hợp có thể xảy ra để tránh bỏ sót những giá trị cần tìm. 6.2.2. Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm hai số x, y biết: 8 a) 7 x 2 y và 5 x 2 y 8 Giáo viên đặt câu hỏi nhằm hướng dẫn học sinh: đề bài đã có dãy tỉ số bằng nhau hay chưa? làm thế nào để có 5 x ; 2 y ? Sau khi trả lời các câu hỏi trên, học sinh có thể dễ dàng vận dụng tính chất của tỉ lệ thức để biến đổi điều kiện đầu bài về dãy tỉ số bằng nhau và áp dụng tính chất để tìm ra đáp án. Có: 7x 2y x y 5x 2y 2 7 10 14 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 5x 2y 5x 2y 10 14 10 14 4 2 x 2 .2 4 2 y 2 .7 14 x Do đó: 8 2 2 y 7 Vậy: x 4 , y 1 4 b) x : 3 y : 4 và x y 4 8 Đây là một dạng toán tìm hai số khi biết tích và tỉ số của chúng. Giáo viên hướng dẫn cho học sinh phương pháp chung để giải các bài toán dạng này. Cụ thể trong bài này, giáo viên có thể hướng dẫn như sau: Có x :3 x y 3 4 xy 48 Đặt Vì hay y :4 Với Với Vậy: x 6 k x nên k , y y 3 4 ,y 3k 3 k .4 k 2 k x 4k 48 x 3 .2 6 2 2 x 3. 8 hoặc x 2 12k , 48 y 4 .2 6 6 , , y k 2 4 k 2 8 y 4. 2 8 8 Ở dạng bài tập này, giáo viên cần lưu ý với học sinh một số trường hợp kết luận chưa đủ các giá trị cần tìm. c) y 2 x y 5 4 và x 2 y 2 36 Để áp dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cần làm xuất hiện . Muốn vậy giáo viên cần gợi ý học sinh vận dụng tính chất: n Nếu x 2 , n a c a c b d b d n . N Hướng dẫn Có 2 x y x 5 4 25 y 2 và x 2 y 2 36 16 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x 2 25 y 2 16 x 2 25 y 2 16 36 4 9 Do đó: 9 2 x 4 x 4 y 2 2 5 .4 100 1 6 .4 64 x 10 25 2 y 2 y 8 16 Vậy: x , 10 y hoặc 8 x , 10 y 8 Lưu ý: Trong trường hợp này, x và kết luận chính xác về các giá trị cần tìm. Ví dụ 2:Tìm ba số a) x y z 2 3 và 3y cùng dấu nhằm giúp học sinh có biết: x, y, z 4x y 2z 36 Ở dạng bài này, giáo viên gợi ý cho học sinh làm xuất hiện Khi đó, bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều. Hướng dẫn Có x y z 4x 3y 2z 2 3 4 6 6 4x , 3y , 2z . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 4x 3y 2z 4 6 6 4x 3y 4 Do đó: x 2z 6 36 6 9 4 9 y 9 y 2 .9 18 9 z 3 .9 27 2 z 3 Vậy b) x 9 x y 5 6 , ; y 18 y z 8 7 , z và 27 x y z 69 Bài này có đến hai dãy tỉ số bằng nhau. Giáo viên cần hướng dẫn để học sinh đưa về một dãy tỉ số bằng nhau, từ đó học sinh có thể tự áp dụng tính chất để tìm ra đáp án. Hướng dẫn Có và x y x y 5 6 20 24 y z y z 8 7 24 21 x y z 20 24 21 Do đó: . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z 20 24 21 2 0 .3 60 Vậy: x c) 2x 3y ; 5y x 20 ,y 7z và y z 69 21 23 24 2 4 .3 3x 72 5z ,z 7y 3 2 1 .3 63 30 10 Giáo viên có thể chia nhỏ bài toán để nhiều học sinh cùng thực hiện. Chẳng hạn: 1 học sinh vận dụng tính chất của tỉ lệ thức để đưa về dãy tỉ số bằng nhau;1 học sinh biến đổi dãy tỉ số làm xuất hiện 3 x , 7 y , 5 z ;một học sinh biến đổi dữ kiện 3 x 5 z 7 y 3 0 3 x 7 y 5 z 3 0 ; một học sinh áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm kết quả và rút ra kết luận. Hướng dẫn Có 2 x 3y 5y 7z 3x 5z x y x y 3 2 21 14 y z 7 y z 5 14 7y 30 3x x y z 21 14 10 Do đó: ; 10 7y 5z 30 3x 7y 5z 63 98 50 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 3x 7y 5z 3x 7y 5z 30 63 98 50 63 98 50 15 2 1 .2 42 ,y z 3 Vậy: x d) x 1 y 2 2 3 1 4 .2 và ,z 28 x 2y 2 1 0 .2 3z 20 14 4 Làm xuất hiện 2 y , 3 z thực hiện như ví dụ trên, tuy nhiên trong trường hợp này học sinh cần nắm vững tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để thực hiện phép nhân một số với một tổng (một hiệu). Hướng dẫn x Có 1 y 2 2 z 3 3 x hay 2. y 1 2 4 2 3. z 6 3 12 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x 1 2 2 y 2 3 z 6 3 x 1 2 12 Vậy: x 2 .1 y 2 1 3 ,y 3 .1 2 6 2 3 z 3 x 2y 12 5 ,z 3z 6 8 4 .1 3 14 6 1 8 7 Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh thực hiện theo cách làm sau nhằm giúp học sinh rèn luyện khả năng quan sát bài toán để tìm ra hướng giải khi gặp các bài toán tương tự. Đặt x 1 y 2 Vì x Vậy: x 2y 2 z 3 3z 2 .1 k x 2k 1 , y 3k 2 , z 4k 3 4 14 1 3 3 nên ,y Ví dụ 3: Tìm hai số 2k 1 2 3k 2k 1 6k 8k 6 14 8k 8 k 3 .1 x, y 2 4 5 2 3 4k 12k 9 3 14 14 1 ,z 4 .1 3 7 biết: 11 a) x y 2 4 4 và x y x y 2 4 4 16 Hướng dẫn Đặt Vì 4 x y 4 k , 2k 4 nên 16 x 2k y 4k 4 . 4k 16 2 8k 4 2 4 8k 2 2 1 k 2 Với 1 k x 1 2. 2 Với x 1 1 k ,y y 4. 2 x 1 2. 1 , y 4. 2 hoặc 2 2 2 2 Vậy , 1 1 x 2 2 , 1 1 y 2 Giáo viên cũng có thể hướng dẫn theo cách: làm xuất hiện x , y sau đó giải theo phương pháp tìm hai số khi biết tích và tỉ số của chúng. Tuy nhiên, dù giải theo cách nào thì giáo viên cũng cần giúp học sinh nhận xét được “ x và y là hai số cùng dấu” để có kết luận chính xác. 4 b) y 2 2 x x 2 3 4 2 y và x 10 y 10 1024 5 Đây là dạng toán khá khó đối với học sinh, có thể dùng để dạy nâng cao cho những học sinh khá, giỏi. Hướng dẫn Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: y 2 x 2 x 3 2y 2 Vì x 10 2 y 2 y 10 y 2 x 2 y 5 2x 8 2 2 y 5 2 x 3 2 x 2 y 2 y 5 2 x 2 3 2 x 2 y 2 4x 2 4 1024 nên x 10 x . 4x 20 5 2 1024 1024 4 x 1 5 2 2 y 10 10 1 2 Giáo viên cần gợi ý cho học sinh nhận xét được hai số x , y có thể cùng dấu hoặc trái dấu để có kết luận đầy đủ các giá trị cần tìm. 2 hoặc x 2 hoặc x 1 , y 2 Vậy x 1 , y 2 hoặc x 1 , y 1, y c) 2x 5 1 3y 2 7 2x 3y 1 6x Đề bài chỉ cho một dãy tỉ số bằng nhau mà không có thêm một mối quan hệ của hai số x và y như các dạng bài đã gặp. Học sinh có thể sẽ thấy trở ngại về điều đó và vị trí của x trong dãy tỉ số bằng nhau. Giáo viên gợi ý để học sinh nhận xét được mối quan hệ giữa 2 x 1 , 3 y 2 và 2 x 3 y 1 , khi đó bài toán gần như đã được giải quyết. 12 Hướng dẫn Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2x 1 3y 2 5 2x 3y 7 3y 1 x 2x 3y 1 1 3y 5 Vậy x 2 3y 7 , 2 2x 3y 7 1 12 6x 12 2x 1 3y 5 2 .2 2 x 2 12 vào đẳng thức 2 3y 5 6x Thay 1 6x 2x Khi đó: 2x 1 y 2 2 ta được: 7 1 3y 2 7 y 3 7 . 3 Dạng bài tập này về kiến thức thì không quá khó nhưng rất cần đến khả năng quan sát và kĩ năng biến đổi, nếu không cẩn thận sẽ dễ dẫn đến sự nhầm lẫn, thiếu sót. Cũng cần đến sự linh hoạt đưa bài toán về dạng quen thuộc đã biết cách giải. 6.2.3. Bài tập tự luyện Bài 1:Tìm các số a) 1 2 a 2 b 3 a b c 3 4 5 3 và c biết: a,b, c, d và a a b 2b 3c 6 d) 15 4 2 x 1 y d) y 2 z 1 x 2 y 3 x x 3 z 5 y 25 a) , biết: x 3 5 x 5 7 a b) d) 18 b c c 8 7 và và a a b b c c c) 69 120 5 x 2 z y 9 x y 2 2 z và y z 2 2x 217 3 1 1 25 72 x 3 18 5 c) x 1 x 2 x 2 x 3 biết: 2 c 2 và a 2b c 6 2 15b 20c 7 c) và 3 12a x x b 5 6 b 12 b) a,b,c 1 5 ; 2 1 16 x Bài 4: Tìm b 2 z z x ; 16 Bài 3: Tìm và x y z z y 9 a) 3 x b) a biết: x, y, z 4 c) 9 a 11 Bài 2:Tìm a) b) 35 12a 15b 9 2a 3b 4c 3 4 5 5a 8b 20c 20c và a b c 48 11 và a b c 49 và a b c 3 13 6.3.Dạng 3: Bài toán có lời văn 6.3.1. Phương pháp giải - Dùng dãy tỉ số bằng nhau để chuyển lời văn của bài toán thành biểu thức đại số để tính toán. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tìm ra đáp án. - Khi gọi kí hiệu nào đó là dữ liệu chưa biết của bài toán thì cần đặt điều kiện và đơn vị (nếu có) của kí hiệu đó. Khi tìm được kết quả cần đối chiếu với điều kiện xem nó có thỏa mãn không để có kết luận chính xác nhất. 6.3.2. Một số ví dụ Ví dụ 1: Một cửa hàng có ba tấm vải dài tổng cộng 126m. Sau khi bán đi 1 tấm vải thứ nhất, 2 2 tấm vải thứ hai và 3 3 tấm vải thứ ba thì số vải còn lại ở ba 4 tấm vải bằng nhau. Hãy tính chiều dài của mỗi tấm vải lúc ban đầu. Giáo viên đặt câu hỏi gợi mở để học sinh tìm lời giải. Sau đó yêu cầu học sinh gọi các kí hiệu là dữ liệu cần tìm. Chú ý với học sinh về đơn vị và điều kiện của kí hiệu đó. Hướng dẫn Gọi số mét vải của ba tấm vải lần lượt là a(m), b(m), c(m) (a, b, c > 0). Giáo viên yêu cầu học sinh xác định số mét vải còn lại ở mỗi tấm vải sau khi bán và dùng dãy tỉ số bằng nhau để diễn đạt lại bài toán. Số mét vải còn lại ở tấm vải thứ nhất là: 1 a (m) 2 Số mét vải còn lại ở tấm vải thứ hai là: 1 b (m) 3 Số mét vải còn lại ở tấm vải thứ ba là: 1 c (m) c 126 4 Theo đề bài ta có: 1 a 2 1 b 3 1 c và a b 4 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a b c 126 2 3 4 2 3 4 9 14 Do đó : a 14 a 2 .1 4 28 14 b 3 .1 4 42 14 c 4 .1 4 56 2 b 3 c 4 Lưu ý với học sinh đối chiếu lại điều kiện của các kí hiệu đã gọi để có kết luận chính xác. Vậy chiều dài của mỗi tấm vải lúc ban đầu lần lượt là: 28m, 42m, 56m. 14 Ví dụ 2:Có ba cái tủ đựng tất cả 2250 quyển sách. Nếu chuyển 100 quyển từ tủ thứ nhất sang tủ thứ ba thì số sách ở tủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 16;15;14. Hỏi trước khi chuyển thì ở mỗi tủ có bao nhiêu quyển sách? Bài này có thể gây khó khăn cho học sinh ở chỗ: số lượng sách trong mỗi tủ trước và sau khi chuyển. Giáo viên có thể chia nhỏ bài toán nhằm kích thích nhiều đối tượng học sinh suy nghĩ. Hướng dẫn Gọi số quyển sách lúc đầu ở tủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là: a(quyển), b(quyển), c(quyển) ( a , b , c N và a , b , c 2 2 5 0 ). Giáo viên có thể đặt câu hỏi: Sau khi chuyển, số sách trong mỗi tủ thay đổi như thế nào? Số quyển sách ở các tủ sau khi chuyển lần lượt là: Tủ thứ nhất: a 1 0 0 (quyển) Tủ thứ hai: b (quyển) Tủ thứ ba: c 1 0 0 (quyển) * Theo đề bài ta có: a 100 b 16 c 15 100 và a b c 2250 14 Đến đây giáo viên có thể cho học sinh tự tìm ra cách giải để tìm các dữ liệu chưa biết và rút ra kết luận. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a 100 16 b c 100 15 a 100 b 16 15 1 6 .5 0 a 14 c 100 2250 14 50 45 Do đó : a 100 50 a 100 1 6 .5 0 100 900 16 b 50 b 1 5 .5 0 750 15 c 100 50 c 100 1 4 .5 0 c 1 4 .5 0 100 600 14 Các số a 9 0 0 , b 7 5 0 , c 6 0 0 thỏa mãn điều kiện đầu bài. Vậy trước khi chuyển thì số quyển sách ở tủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là :900 quyển, 750 quyển, 600 quyển. Ví dụ 3:Tìm giá trị của phân số a biết rằng nếu cộng thêm vào cả tử và b mẫu của phân số đó với cùng một số khác 0 thì giá trị của phân số không đổi. Giáo viên gợi ý cho học sinh gọi số cộng thêm vào là một kí hiệu nào đó và tỉ số bằng nhau để diễn đạt lại bài toán. Sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm giá trị của phân số a . b Hướng dẫn Giả sử cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân số a với cùng một số x b (x 0 ). Theo đề bài ta có: a a x b b x 15 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a a x a x a x b b x b x b x 1 Đây là một dạng toán khó đối với học sinh, ngay cả với những học sinh khá giỏi, khó ở việc dùng dãy tỉ số để diễn đạt lại lời văn của bài toán. Giáo viên cần phải kiên trì hướng dẫn từng bước, từ việc phân tích ban đầu để tìm ra yếu tố bài cho, yếu tố cần tìm và mối quan hệ giữa chúng,... rồi đến cách gọi kí hiệu kèm thêm đơn vị và điều kiện của kí hiệu,...đặc biệt là kết luận phải chính xác với yêu cầu của đề bài. 6.3.3. Bài tập tự luyện Bài 1:Số học sinh của ba khối 6, 7, 8 tỉ lệ với 10, 9, 8. Tính số học sinh của mỗi khối, biết rằng số học sinh của khối 8 ít hơn số học sinh của khối 6 là 50 học sinh. Bài 2: Học sinh của lớp 7A được chia thành ba tổ tỉ lệ với 2, 3, 4. Tìm số học sinh mỗi tổ, biết lớp 7A có 45 học sinh. Bài 3: Một trường có ba lớp 6. Biết rằng 2 số học sinh của lớp 6A bằng số học 3 sinh của lớp 6B và bằng 4 số học sinh của của lớp 6C. Lớp 6C có số học sinh ít 5 hơn tổng số học sinh của hai lớp kia là 57 học. Tính số học sinh của mỗi lớp. Bài 4:Ba thửa đất hình chữ nhật có diện tích bằng nhau. Chiều rộng của các thửa thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 22,5m; 20m; 18m. Chiều dài thửa thứ nhất kém chiều dài thửa thứ hai là 5m. Hãy tính chu vi của mỗi thửa đất đó. Bài 5:Ba công nhân phải sản xuất số sản phẩm như nhau. Công nhân thứ nhất, thứ hai, thứ ba hoàn thành công việc với thời gian lần lượt là 9 giờ, 6 giờ, 7 giờ 30 phút. Hỏi trong 1 giờ mỗi công nhân sản xuất được bao nhiêu sản phẩm? Biết rằng trong 1 giờ, công nhân thứ hai sản xuất nhiều hơn công nhân thứ nhất là 3 sản phẩm. 6.4. Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức 6.4.1. Phương pháp giải - Chủ yếu áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để biến đổi biểu thức và tìm ra giá trị của biểu thức. - Ở dạng toán này đòi hỏi cần có khả năng quan sát, dự đoán kết quả, từ đó tìm ra được hướng biến đổi phù hợp. 6.4.2. Một số ví dụ Ví dụ 1:Cho x, y, z thỏa mãn: Tính:P = x x y 2y x y z 2 5 7 ( x, y, z 0 ). z z 16 Thoạt nhìn, học sinh có thể thấy lúng túng vì cách cho biểu thức P mà bài toán không có đủ các điều kiện để tìm các giá trị của x , y , z . Giáo viên có thể gợi ý một chút để học sinh tìm giá trị của P. Hướng dẫn x y z 2 5 7 Đặt x Khi đó: P = (k k y x ) suy ra 0 z 2y 2k z x 5k 2k , 2k 7k 10k 7k y , 5k 4k 4 5k 5 z . 7k Giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm giá trị của P như sau: Có và x y z x y z 2 5 7 2 5 7 x y z x 2y z 2 5 7 2 10 7 x Khi đó: P = y x x z x y z 2x 4 x 2y z x 2y 5x z 5 z 2y y z 2 2x 4x 4 5x 5x 5 2 a Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức Q, biết rằng: Q = b b c c c a a b Với bài này, học sinh có thể dễ dàng tìm ra đáp áp bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau như sau: a Q= b b c c a c a a b b 2(a c b 1 c) 2 Kết quả trên chỉ đúng trong trường hợp a b c 0 . Giáo viên có thể đặt câu hỏi: Nếu a b c 0 thì sao? Sau đó hướng dẫn học sinh cách giải bài toán trên theo cách hoàn chỉnh hơn. Hướng dẫn a Có Q = b b Nếu a b c c c 0 a c a a b a b c 0 thì a b 2(a a thì Q = b Nếu b c b c) b c c a c c a a b b 2(a c b c) a . Khi đó: Q = b 1 2 b c c c a a c b 1 c Vây: Nếu a b c 0 1 thì Q = . 2 Nếu a b c 0 thì Q = Ví dụ 3:Cho biểu thức: M = 1. x y y z z t t x z t t x x y y z x Tính giá trị của biểu thức M biết: y z y t z t z x t x t y x y z 17 Đây là một dạng bài toán khó. Học sinh chỉ quen với cách tính trên dãy tỉ số bằng nhau, mà biểu thức M thì không phải ở dạng này. Giáo viên có thể hướng dẫn bài này để giúp cho những học sinh khá, giỏi có thêm kiến thức về tính giá trị của biểu thức. Hướng dẫn x Có: y y z t z x y hay x y x x z z t z y t t y x y z t t Khi đó: M = y t y x y t y z z t 1 x x z x t z 1 x y z t x y y t x z t x y x y z z t t x z t t x x y y z y t y y x z x x thì 0 x z z thì 0 y t z z x x x t t 1 Khi đó: M = Nếu t y t y Nếu t 1 z z 1 (z t) và y z x y y z z t t x z t t x x y y z t 0 y 1 (x 1 z 1 x y z t 4 t) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4 Vậy: M= M= khi 4 4 x khi y x z y z t . 0 . Các dạng bài tập về tính giá trị của biểu thức như trên gây khá nhiều khó khăn cho học sinh bởi những suy luận logic và tính phức tạp của nó. Song với sự nhiệt tình, kiên trì hướng dẫn của giáo viên, học sinh sẽ có được cảm giác của người khám phá ra những điều thú vị, cảm xúc của người chiến thắng. Điều đó góp phần kích thích học sinh, tạo sự hứng thú cho các em trên con đường chinh phục các bài toán tiếp theo. 6.4.3. Bài tập tự luyện Bài 1: Cho A = x 2y 3z x 2y 3z .Tính A biết x , y , z tỉ lệ với 5, 4, 3. a Bài 2:Cho 4 tỉ số bằng nhau: b c b c d d c d a a d a b b c Tìm giá trị của mỗi tỉ số trên. Bài 3:Tính giá trị của biểu thức: N = Biết rằng: 2a b c d a b b c c d d a c d d a a b b c 2b c a b 2c d a a Bài 4:Giá trị của biểu thức A b 6x 15 x Bài 5: Cho P 8x 2y 5z 6x 4y 7z d 2 2 y 2 3y 2 với a c x y 5 2 ; x, y b c 2d d 0 . Tính A. với x : y : z = 3 : 2 : 1. Tính giá trị của biểu thức P. 18 6.5. Dạng 5: Bài tập hình học Chủ yếu áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài tập hình học không cần hình vẽ, bài tập về tính chu vi, diện tích một số hình phẳng đơn giản đã học ở Tiểu học. 6.5.1. Phương pháp giải - Dùng phương pháp đại số chuyển bài toán về dạng biến đổi, áp dụng tính chất cơ bản của các đẳng thức, dãy tỉ số bằng nhau. - Áp dụng các công thức tính chu vi, diện tích tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, từ đó biến đổi dựa trên tính chất của tỉ lệ thức để đưa về dãy tỉ số bằng nhau. - Một số bài toán cần kết hợp định lí về tổng ba góc của một tam giác, định lí Py- ta- go. 6.5.2. Một số ví dụ Ví dụ 1:Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300m2, có hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn. Để giải được bài này, học sinh cần nhớ lại công thức tính diện tích của hình chữ nhật đã học ở Tiểu học. Gọi các kí hiệu cho các dữ kiện cần tìm và dùng dãy tỉ số bằng nhau để diễn đạt lại bài toán như các ví dụ trên sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và tìm ra kết quả. Hướng dẫn Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là Theo đề bài ta có: x.y và 300 x y 4 3 Giáo viên cần lưu ý về sự tương ứng của lầm dẫn đến có tỉ lệ thức x y 3 4 và x x (m) và y với 4 và 3 để tránh sai y (m) x y 0 . Đến đây học sinh có thể dễ dàng áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm ra đáp án: x 2 0 m và y 1 5 m. Đặt x y 4 3 Vì x . y mà x k x 4k nên 4 k . 3 k 0 , do đó: 300 y , y 3k . 300 k x 4 .5 20 y 3 .5 15 2 25 k 5 Vậy chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là: 20m và 15m. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có đo các góc của tam giác ABC.  A và  B tỉ lệ với 3 và 15,  C  4A . Tính số Giáo viên yêu cầu học sinh dùng dãy tỉ số bằng nhau để diễn đạt lại bài toán.Gợi ý để học sinh nhớ lại định lí về tổng ba góc trong một tam giác thì bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều. 19 Hướng dẫn Theo đề bài ta có: Hay  A  B  C 3 15 12  A  B 3 15  A và  C và  B  C  4A 180 0  A  C  A  C 1 4 3 12 (định lí tổng ba góc của một tam giác) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:  A  B  C  A 3 15 12 3  B  C 180 15 12 30 0 6 0 Do đó:  A 6  A 0 3 .6 0 18 0 3  B 6 0  B 1 5 .6 0  C 1 2 .6 0 90 0 15  C 6 0 72 0 12 Vậy số đo các góc của tam giác ABC là:  A 18 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết 0  B , 90 AB 3 AC 4 0 , C 72 0 . và BC = 15cm. Tính chu vi của tam giác ABC. Giáo viên cho học sinh nhắc lại công thức tính chu vi của một tam giác để học sinh thấy được cần phải tìm độ dài các cạnh AB, AC. Sau đó, giáo viên có thể gợi ý để học sinh thấy cần phải áp dụng định lí Py- ta- go và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Hướng dẫn Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu lại định lí Py- ta- go, viết được hệ thức A B A C B C , sau đó biến đổi giả thiết để có thể áp dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. 2 2 2 AB 3 AB AC AB AC 4 3 4 9 2 2 AC 16 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và định lí Py- ta- go, ta có: AB 2 AC 9 2 AB 16 2 9 AC 2 BC 16 2 25 15 2 9 25 Đến đây giáo viên có thể yêu cầu học sinh tự tìm ra độ dài các cạnh còn lại và tính chu vi của tam giác ABC. AB 2 9 AB 9 AC 2 9 .9 81 AB 9cm 9 AC 2 2 1 6 .9 144 AC 12cm 16 Vậy chu vi của tam giác ABC là: AB + AC + BC = 9 + 12 + 15 = 36(cm) 20 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết BC = 28,9cm và 2 AB AB AC 2 10 AC 5 . Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC. Đây là một dạng toán khó, để giải được học sinh cần phải có kĩ năng biến đổi thật tốt, tổng hợp nhiều kiến thức đã học, biết phân tích và tìm ra mối liên hệ giữa các cạnh trong tam giác. Hướng dẫn Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại công thức tính diện tích tam giác, có thể giúp học sinh nhận ra được mối liên hệ giữa các cạnh “ A B . A C A H . B C ” trong tam giác vuông ABC. Qua đó, học sinh thấy được muốn tính độ dài đường cao AH, cần phải tính độ dài các cạnh AB, AC. Ta có: S 1 ABC 1 .B C . A H 2 .A B .A C A B .A C A H .B C AH 2 A B .A C BC Giáo viên gợi ý cho học sinh biến đổi giả thiết 2 AB AB AC 2 10 AC 5 , sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và định lí Py- ta- go để tìm độ dài các cạnh AB và AC với A B A C B C . 2 2 AB AB AC 2 10 AC 5 2 5. 2 AB 2 AC 10 AB 5AC 8AB 15 AC AB AC 15 8 AB 2 AC 225 2. AB 2 AB 10 AC 20 AC 2 64 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và định lí Py- ta- go, ta có: AB 2 225 AB AC 2 64 AB 2 225 AC 2 64 BC 2 28, 9 289 2 2,89 289 2 2,89 AB 2,89 AC 2 2 2 5 .2 , 8 9 65, 25 AB 25, 5cm 6 4 .2 , 8 9 184,96 AC 1 3 .6 c m 225 AC 2 2 64 Vậy AH A B .A C 2 5 , 5 .1 3 , 6 BC 28, 9 12cm Đối với các bài toán hình học có vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thường gây ra nhiều khó khăn cho học sinh, để giải được đòi hỏi học sinh cần phải có khả năng quan sát tốt, có kĩ năng biến đổi, đồng thời cần phải tổng hợp nhiều nội dung kiến thức đã học. Song, giáo viên cần phải kiên trì, có thể hướng dẫn cho học sinh làm quen trước , sau đó cho các bài tập tương tự để học sinh tự rèn luyện. 21