Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong mặt phẳng
TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1 : x - 7 y + 17 = 0 ,
d2 : x + y - 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 một tam
giác cân tại giao điểm của d1, d2 .
· Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là:
x - 7 y + 17
x+ y-5
é x + 3y - 13 = 0 (D1 )
=
Ûê
ë3 x - y - 4 = 0 (D2 )
12 + (-7)2
12 + 12
Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với D1 hoặc D2 .
Câu 2.
.NE
T
KL: x + 3y - 3 = 0 và 3x - y + 1 = 0
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : 2 x - y + 5 = 0 .
THS
d2 : 3 x + 6 y – 7 = 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường
thẳng d1, d2.
r
r
· d1 VTCP a1 = (2; -1) ; d2 VTCP a2 = (3;6)
uur uur
Ta có: a1.a2 = 2.3 - 1.6 = 0 nên d1 ^ d2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường
thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: d : A( x - 2) + B( y + 1) = 0 Û Ax + By - 2 A + B = 0
d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I Û khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450
2A - B
é A = 3B
Û
= cos 450 Û 3 A2 - 8 AB - 3B 2 = 0 Û ê
ë B = -3 A
A2 + B2 22 + (-1)2
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y + 5 = 0 , d2 : 3 x + y + 1 = 0 và điểm
VIE
Câu 3.
TM
A
* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3 x + y - 5 = 0
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x - 3y - 5 = 0
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. d : 3x + y - 5 = 0 ; d : x - 3y - 5 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) d1 : x - 7 y + 17 = 0 , d2 : x + y - 5 = 0 , P(0;1) .
ĐS: x + 3y - 3 = 0 ; 3 x - y + 1 = 0 .
I (1; -2) . Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B sao cho
AB = 2 2 .
uur
uur
· Giả sử A(a; -3a - 5) Î d1; B(b; -3b - 1) Î d2 ; IA = (a - 1; -3a - 3); IB = (b - 1; -3b + 1)
uur
uur
ìb - 1 = k (a - 1)
I, A, B thẳng hàng Þ IB = kIA Û í
î-3b + 1 = k (-3a - 3)
· Nếu a = 1 thì b = 1 Þ AB = 4 (không thoả).
b -1
· Nếu a ¹ 1 thì -3b + 1 =
(-3a - 3) Û a = 3b - 2
a -1
2
AB = (b - a)2 + éë3(a - b) + 4 ùû = 2 2 Û t 2 + (3t + 4)2 = 8 (với t = a - b ).
2
5
+ Với t = -2 Þ a - b = -2 Þ b = 0, a = -2 Þ D : x + y + 1 = 0
Û 5t 2 + 12t + 4 = 0 Û t = -2; t = -
Trang 1
PP toạ độ trong mặt phẳng
+ Với t =
Câu 4.
Trần Sĩ Tùng
-2
-2
4
2
Þ a-b =
Þ b = , a = Þ D : 7x - y - 9 = 0
5
5
5
5
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + 1 = 0 ,
d2 : 2 x – y –1 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương
uuur uuur r
ứng tại A và B sao cho 2 MA + MB = 0 .
· Giả sử: A(a; uuur
–a–1),uuur
B(b; r2b – 1).
Từ điều kiện 2 MA + MB = 0 tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d)
đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 : x + y + 1 = 0, d2 : x – 2 y + 2 = 0 lần lượt tại A, B sao cho
MB = 3MA.
uuur
ì A Î (d1 )
ì A(a; -1 - a) ìï uuur
MA = (a - 1; -1 - a)
·í
.
Ûí
Þí
B
Î
(
d
)
B
(2
b
2;
b
)
î
ïî MB = (2b - 3; b)
î
2
uuur
uuur
uuur
uuur
Từ A, B, M thẳng hàng và MB = 3MA Þ MB = 3MA (1) hoặc MB = -3MA (2)
ì æ 2 1ö
ì A 0; -1)
ïA - ;Þ (d ) : x - y - 1 = 0
(1) Þ í çè 3 3 ÷ø Þ (d ) : x - 5y - 1 = 0 hoặc (2) Þ í (
î B(4;3)
ï B(-4; -1)
î
THS
.NE
T
Câu 5.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng (d)
đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 : 3x - y - 5 = 0, d2 : x + y - 4 = 0 lần lượt tại A, B sao cho
Câu 6.
TM
A
2 MA – 3MB = 0 .
· Giả sử A(a;3a - 5) Î d1 , B(b;4 - b) Î d2 .
VIE
uuur
uuur
é2 MA = 3MB (1)
uuur
Vì A, B, M thẳng hàng và 2 MA = 3MB nên ê uuur
2
3
MA
=
MB (2)
ë
ì
5
æ 5 5ö
ïa =
ì2(a - 1) = 3(b - 1)
+ (1) Û í
Ûí
Þ A ç ; ÷ , B(2;2) . Suy ra d : x - y = 0 .
2
î2(3a - 6) = 3(3 - b)
è2 2ø
ïîb = 2
ì2(a - 1) = -3(b - 1)
ìa = 1
+ (2) Û í
Ûí
Þ A(1; -2), B(1;3) . Suy ra d : x - 1 = 0 .
î2(3a - 6) = -3(3 - b)
îb = 1
Vậy có d : x - y = 0 hoặc d : x - 1 = 0 .
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi
qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA + 3OB) nhỏ nhất.
Câu 7.
· PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b):
M(3; 1) Î d 1 =
x y
+ = 1 (a,b>0)
a b
3 1 Cô - si 3 1
+
³ 2 . Þ ab ³ 12 .
a b
a b
ìa = 3b
ï
ìa = 6
Mà OA + 3OB = a + 3b ³ 2 3ab = 12 Þ (OA + 3OB)min = 12 Û í 3 1 1 Û í
îb = 2
ïî a = b = 2
x y
Phương trình đường thẳng d là: + = 1 Û x + 3y - 6 = 0
6 2
Trang 2
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(4;1)
và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA + OB nhỏ nhất.
· x + 2y - 6 = 0
Câu 8.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2)
9
4
và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho
nhỏ nhất.
+
OA2 OB 2
· Đường thẳng (d) đi qua M(1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên
x y
A(a; 0); B(0; b) với a.b ¹ 0 Þ Phương trình của (d) có dạng + = 1 .
a b
1 2
Vì (d) qua M nên + = 1 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có :
a b
2
.NE
T
Câu 9.
2
æ1 2ö æ1 3
2 ö æ 1 öæ 9
4 ö
9
4
9
9
4
9
1 = ç + ÷ = ç . + 1. ÷ £ ç + 1÷ç + ÷ Û
Û
+ 2³
+
³ .
2
2
2
2
2
b ø è 9 øè a
10
10
b ø
a
b
OA
OB
èa bø è3 a
1 3
2
1 2
20
Dấu bằng xảy ra khi : = 1: và
+ = 1 Û a = 10, b =
Þ d : 2 x + 9 y - 20 = 0 .
3 a
b
a b
9
THS
Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(3;1)
và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2).
· x + 3y - 6 = 0; x - y - 2 = 0
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) và tạo
với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S = 4 .
TM
A
· Gọi A(a;0), B(0; b) (a, b ¹ 0) là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: d :
x y
+ =1 .
a b
ì2 1
ì2b + a = ab
ï + =1
Theo giả thiết, ta có: í a b
Ûí
.
ab
=
8
î
ï ab = 8
î
· Khi ab = 8 thì 2b + a = 8 . Nên: b = 2; a = 4 Þ d1 : x + 2 y - 4 = 0 .
VIE
· Khi ab = -8 thì 2b + a = -8 . Ta có: b2 + 4b - 4 = 0 Û b = -2 ± 2 2 .
+ Với b = -2 + 2 2 Þ d : (1 - 2 ) x + 2 (1 + 2 ) y - 4 = 0
+ Với b = -2 - 2 2 Þ d : (1 + 2 ) x + 2 (1 - 2 ) y + 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) M (8;6), S = 12 .
ĐS: d : 3x - 2 y - 12 = 0 ; d : 3x - 8y + 24 = 0
Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình
2 x – y + 3 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (D) qua A và tạo với d một góc α có cosα
1
=
.
10
· PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y + 1) = 0 Û ax + by – 2a + b = 0 (a2 + b2 ¹ 0)
Ta có: cos a =
2a - b
=
1
Û 7a2 – 8ab + b2 = 0. Chon a = 1 Þ b = 1; b = 7.
10
5(a2 + b2 )
Þ (D1): x + y – 1 = 0 và (D2): x + 7y + 5 = 0
Trang 3
PP toạ độ trong mặt phẳng
Trần Sĩ Tùng
Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng d : 2 x + 3y + 4 = 0 .
Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 450 .
· PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y - 1) = 0 Û ax + by – (2a + b) = 0 (a2 + b2 ¹ 0) .
2a + 3b
Ta có: cos 450 =
é a = 5b
Û 5a2 - 24ab - 5b2 = 0 Û ê
ë5a = - b
13. a2 + b2
+ Với a = 5b . Chọn a = 5, b = 1 Þ Phương trình D : 5 x + y - 11 = 0 .
+ Với 5a = -b . Chọn a = 1, b = -5 Þ Phương trình D : x - 5y + 3 = 0 .
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 2 x - y - 2 = 0 và điểm I(1;1) .
Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng
0
.NE
T
d một góc bằng 45 .
10 và tạo với đường thẳng
· Giả sử phương trình đường thẳng D có dạng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ¹ 0) .
Vì (·
d , D) = 450 nên
2a - b
2
2
a +b . 5
1
é a = 3b
Ûê
ë b = -3a
2
=
4+c
éc = 6
= 10 Û ê
ëc = -14
10
-2 + c
é c = -8
= 10 Û ê
· Với b = -3a Þ D: x - 3y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = 10 Û
ëc = 12
10
THS
· Với a = 3b Þ D: 3x + y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = 10 Û
Vậy các đường thẳng cần tìm: 3 x + y + 6 = 0; 3x + y - 14 = 0 ; x - 3y - 8 = 0; x - 3y + 12 = 0 .
TM
A
Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d1 , d2 có
phương trình lần lượt là 3x + y + 2 = 0 và x - 3y + 4 = 0 . Gọi A là giao điểm của d1 và d2 .
Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại B , C
( B và C khác A ) sao cho
1
+
1
VIE
đạt giá trị nhỏ nhất.
AB 2 AC 2
· A = d1 Ç d2 Þ A(-1;1) . Ta có d1 ^ d2 . Gọi D là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu
vuông góc của A trên D . ta có:
1
1
1
AB
2
+
1
AC
2
=
1
1
AH
2
³
1
AM 2
(không đổi)
khi H º M, hay D là đường thẳng đi qua M
AB
AC
AM 2
và vuông góc với AM. Þ Phương trình D: x + y - 2 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1; -2) , d1 : 3 x + y + 5 = 0 , d2 : x - 3y + 5 = 0 .
ĐS: D : x + y + 1 = 0 .
Þ
2
+
2
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x – 3y – 4 = 0 và đường
tròn (C ) : x 2 + y 2 – 4 y = 0 . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm
A(3; 1).
· M Î (d) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; 2 – b)
6
N Î (C) Þ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 Þ b = 0; b =
5
Trang 4
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong mặt phẳng
æ 38 6 ö
æ 8 4ö
Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M ç ; ÷ , N ç - ; ÷
è 5 5ø
è 5 5ø
Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng D: 2 x + 3y + 4 = 0 . Tìm
điểm B thuộc đường thẳng D sao cho đường thẳng AB và D hợp với nhau góc 450 .
r
ì x = 1 - 3t
· D có PTTS: í
và VTCP u = (-3;2) . Giả sử B(1 - 3t; -2 + 2t ) Î D .
î y = -2 + 2t
.NE
T
é 15
uuur r
uuur r
êt = 13
1
AB.u
1
2
0
( AB, D) = 45 Þ cos( AB; u) =
Û
Û 169t - 156t - 45 = 0 Û ê
.
r =
AB. u
2
2
êt = - 3
13
ë
æ 32 4 ö
æ 22 32 ö
Vậy các điểm cần tìm là: B1 ç - ; ÷ , B2 ç ; - ÷ .
è 13 13 ø
è 13 13 ø
Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x - 3y - 6 = 0 và điểm N(3; 4) .
TM
A
THS
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích
15
bằng .
2
uuur
· Ta có ON = (3; 4) , ON = 5, PT đường thẳng ON: 4 x - 3y = 0 . Giả sử M (3m + 6; m) Î d .
2S
1
Khi đó ta có SDONM = d ( M , ON ).ON Û d ( M , ON ) = DONM = 3
2
ON
4.(3m + 6) - 3m
-13
Û
= 3 Û 9m + 24 = 15 Û m = -1; m =
5
3
æ
-13
-13 ö
+ Với m = -1 Þ M (3; -1)
+ Với m =
Þ M ç -7;
÷
3
3 ø
è
Câu 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d : x - 2 y + 2 = 0 . Tìm
VIE
trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC .
· Giả sử B(2b - 2; b), C (2c - 2; c) Î d .
uuur r
æ2 6ö
2 5
5
Vì DABC vuông ở B nên AB ^ d Û AB.ud = 0 Û B ç ; ÷ Þ AB =
Þ BC =
5
5
è 5 5ø
éc = 1 Þ C (0;1)
5
1
BC =
125c 2 - 300c + 180 =
Û ê
æ4 7ö
7
êc = Þ C ç ; ÷
5
5
5
è 5 5ø
ë
Câu 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y - 3 = 0 , d2 : x + y - 9 = 0 và
điểm A(1; 4) . Tìm điểm B Î d1, C Î d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
uuur
uuur
· Gọi B(b;3 - b) Î d1, C (c;9 - c) Î d2 Þ AB = (b - 1; -1 - b) , AC = (c - 1;5 - c) .
uuur uuur
ì(b - 1)(c - 1) - (b + 1)(5 - c) = 0
ì AB. AC = 0
DABC vuông cân tại A Û í
Ûí
2
2
2
2 (*)
î AB = AC
î(b - 1) + (b + 1) = (c - 1) + (5 - c)
Vì c = 1 không là nghiệm của (*) nên
Trang 5
PP toạ độ trong mặt phẳng
Trần Sĩ Tùng
ì
(b + 1)(5 - c)
(1)
ïïb - 1 =
c -1
(*) Û í
(5 - c)2
ï(b + 1)2
+ (b + 1)2 = (c - 1)2 + (5 - c)2 (2)
2
ïî
(c - 1)
éb = c - 2
.
Từ (2) Û (b + 1)2 = (c - 1)2 Û ê
ë b = -c
+ Với b = c - 2 , thay vào (1) ta được c = 4, b = 2 Þ B(2;1), C (4;5) .
+ Với b = -c , thay vào (1) ta được c = 2, b = -2 Þ B(-2;5), C (2;7) .
Vậy: B(2;1), C (4;5) hoặc B(-2;5), C (2;7) .
Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng có
.NE
T
phương trình: d1 : (m –1) x + (m – 2) y + 2 – m = 0 ; d2 : (2 – m) x + (m –1) y + 3m – 5 = 0 . Chứng
minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P = d1 Ç d2. Tìm m sao cho PA + PB lớn nhất.
ì(m - 1) x + (m - 2)y = m - 2
· Xét Hệ PT: í
.
î(2 - m) x + (m - 1)y = -3m + 5
2
THS
æ
3ö 1
m -1 m - 2
Ta có D =
= 2 ç m - ÷ + > 0, "m
2 - m m -1
2ø 2
è
Þ d1, d2 luôn cắt nhau. Ta có: A(0;1) Î d1, B(2; -1) Î d2 , d1 ^ d2 Þ D APB vuông tại P Þ P
nằm trên đường tròn đường kính AB. Ta có: ( PA + PB)2 £ 2( PA2 + PB2 ) = 2 AB 2 = 16
Þ PA + PB £ 4 . Dấu "=" xảy ra Û PA = PB Û P là trung điểm của cung »
AB
TM
A
Û P(2; 1) hoặc P(0; –1) Û m = 1 hoặc m = 2 . Vậy PA + PB lớn nhất Û m = 1 hoặc
m =2.
Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (D): x – 2 y – 2 = 0 và hai điểm A(-1;2) ,
B(3;4) . Tìm điểm MÎ(D) sao cho 2 MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.
uuur
uuur
· Giả sử M M (2t + 2; t ) Î D Þ AM = (2t + 3; t - 2), BM = (2t - 1; t - 4)
VIE
æ 2ö
æ 26 2 ö
Ta có: 2 AM 2 + BM 2 = 15t 2 + 4t + 43 = f (t ) Þ min f (t ) = f ç - ÷ Þ M ç ; - ÷
è 15 ø
è 15 15 ø
Câu 23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : 2 x - y + 3 = 0 và 2 điểm A(1; 0), B(2;1) .
Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất.
· Ta có: (2 x A - y A + 3).(2 x B - yB + 3) = 30 > 0 Þ A, B nằm cùng phía đối với d.
Gọi A¢ là điểm đối xứng của A qua d Þ A¢(-3;2) Þ Phương trình A¢B : x + 5y - 7 = 0 .
Với mọi điểm M Î d, ta có: MA + MB = MA¢ + MB ³ A¢B .
Mà MA¢ + MB nhỏ nhất Û A¢, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của A¢B với d.
æ 8 17 ö
Khi đó: M ç - ; ÷ .
è 11 11 ø
Trang 6
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong mặt phẳng
TĐP 02: ĐƯỜNG TRÒN
Câu 1.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d):
2 x – y – 5 = 0 và đường tròn (C’): x 2 + y 2 - 20 x + 50 = 0 . Hãy viết phương trình đường tròn
(C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1).
· A(3; 1), B(5; 5) Þ (C): x 2 + y 2 - 4 x - 8y + 10 = 0
3
, A(2; –3),
2
B(3; –2), trọng tâm của DABC nằm trên đường thẳng d : 3x – y – 8 = 0 . Viết phương trình
đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.
· Tìm được C (1; -1) , C2 (-2; -10) .
1
11
11
16
+ Với C1(1; -1) Þ (C): x 2 + y 2 - x + y +
=0
3
3
3
91
91
416
+ Với C2 (-2; -10) Þ (C): x 2 + y 2 - x + y +
=0
3
3
3
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng
Câu 3.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1 : 2 x + y - 3 = 0 ,
THS
.NE
T
Câu 2.
d2 : 3 x + 4 y + 5 = 0 , d3 : 4 x + 3y + 2 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và
tiếp xúc với d2 và d3.
· Gọi tâm đường tròn là I (t;3 - 2t ) Î d1.
3t + 4(3 - 2t ) + 5 4t + 3(3 - 2t ) + 2
ét = 2
=
Û ê
5
5
ët = 4
49
9
Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: ( x - 2)2 + ( y + 1)2 =
và ( x - 4)2 + ( y + 5)2 =
.
25
25
Câu hỏi tương tự:
a) Với d1 : x – 6 y –10 = 0 , d2 : 3 x + 4 y + 5 = 0 , d3 : 4 x - 3y - 5 = 0 .
TM
A
Khi đó: d (I , d2 ) = d ( I , d3 ) Û
2
2
2
æ
10 ö æ
70 ö æ 7 ö
ĐS: ( x - 10) + y = 49 hoặc ç x - ÷ + ç y + ÷ = ç ÷ .
43 ø è
43 ø è 43 ø
è
2
VIE
2
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x + 3y + 8 = 0 ,
D ' :3x - 4 y + 10 = 0 và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường
thẳng D , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng D¢.
Câu 4.
· Giả sử tâm I (-3t - 8; t ) Î D.. Ta có: d ( I , D¢ ) = IA
Û
3(-3t - 8) - 4t + 10
2
3 +4
2
= (-3t - 8 + 2)2 + (t - 1)2 Û t = -3 Þ I (1; -3), R = 5
PT đường tròn cần tìm: ( x - 1)2 + ( y + 3)2 = 25 .
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : 4 x - 3y + 3 = 0 và
D ' : 3 x - 4 y - 31 = 0 . Lập phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với đường thẳng D tại điểm
có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với D '. Tìm tọa độ tiếp điểm của (C ) và D ' .
Câu 5.
· Gọi I (a; b) là tâm của đường tròn (C). (C ) tiếp xúc với D tại điểm M(6;9) và (C ) tiếp
xúc với D¢ nên
Trang 7
PP toạ độ trong mặt phẳng
Trần Sĩ Tùng
ì
ì 4a - 3b + 3 3a - 4b - 31
54 - 3a
ìduuu
(rI , D) = d (I , D ')
ï
ï 4a - 3
+ 3 = 6a - 85
=
Ûí
Ûí
r
í
4
5
5
î IM ^ uD = (3; 4)
ïî3(a - 6) + 4(b - 9) = 0
ïî3a + 4b = 54
ì
ï 25a - 150 = 4 6a - 85
é a = 10; b = 6
Ûí
Ûê
54 - 3a
b
=
ë a = -190; b = 156
ïî
4
Vậy: (C ) : ( x - 10)2 + ( y - 6)2 = 25 tiếp xúc với D ' tại N(13;2)
hoặc (C ) : ( x + 190)2 + ( y - 156)2 = 60025 tiếp xúc với D ' tại N(-43; -40)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A(2; -1) và tiếp
xúc với các trục toạ độ.
é( x - a)2 + ( y + a)2 = a2 (a)
· Phương trình đường tròn có dạng: ê
2
2
2
êë( x - a) + ( y - a) = a (b)
a) Þ a = 1; a = 5
b) Þ vô nghiệm.
.NE
T
Câu 6.
Kết luận: ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = 1 và ( x - 5)2 + ( y + 5)2 = 25 .
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : 2 x - y - 4 = 0 . Lập phương
trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d).
4
· Gọi I (m;2m - 4) Î (d ) là tâm đường tròn cần tìm. Ta có: m = 2m - 4 Û m = 4, m = .
3
THS
Câu 7.
2
2
TM
A
æ
4ö æ
4 ö 16
4
· m = thì phương trình đường tròn là: ç x - ÷ + ç y + ÷ = .
3
3ø è
3ø
9
è
· m = 4 thì phương trình đường tròn là: ( x - 4)2 + ( y - 4)2 = 16 .
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (D):
3x – 4 y + 8 = 0 . Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (D).
Câu 8.
VIE
· Tâm I của đường tròn nằm
uuurtrên đường trung trực d của đoạn AB
d qua M(1; 2) có VTPT là AB = (4;2) Þ d: 2x + y – 4 = 0 Þ Tâm I(a;4 – 2a)
éa = 3
Ta có IA = d(I,D) Û 11a - 8 = 5 5a2 - 10a + 10 Û 2a2 – 37a + 93 = 0 Û ê
31
êa =
2
ë
· Với a = 3 Þ I(3;–2), R = 5 Þ (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25
2
æ 31
ö
æ
31 ö
4225
31
65
· Với a =
Þ I ç ; -27 ÷ , R =
Þ (C): ç x - ÷ + ( y + 27)2 =
2
2
2ø
4
è 2
ø
è
Câu 9.
Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d : x + 2 y - 3 = 0 và D : x + 3y - 5 = 0 . Lập
2 10
, có tâm thuộc d và tiếp xúc với D .
5
· Tâm I Î d Þ I (-2a + 3; a) . (C) tiếp xúc với D nên:
phương trình đường tròn có bán kính bằng
d (I , D) = R Û
a-2
10
=
2 10
éa = 6
Ûê
5
ë a = -2
Trang 8
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong mặt phẳng
Þ (C): ( x + 9)2 + ( y - 6)2 =
8
8
hoặc (C): ( x - 7)2 + ( y + 2)2 = .
5
5
Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 4 3 x - 4 = 0 . Tia Oy
cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C¢), bán kính R¢ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại
A.
· (C) có tâm I(-2 3;0) , bán kính R= 4; A(0; 2). Gọi I¢ là tâm của (C¢).
.NE
T
ì
PT đường thẳng IA : í x = 2 3t , I ' Î IA Þ I ¢(2 3t;2t + 2) .
î y = 2t + 2
uur
uur
1
AI = 2 I ¢A Û t = Þ I '( 3;3) Þ (C¢): ( x - 3)2 + ( y - 3)2 = 4
2
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 – 4 y – 5 = 0 . Hãy viết
æ4 2ö
phương trình đường tròn (C¢) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M ç ; ÷
è 5 5ø
· (C) có tâm I(0;2), bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M
2
2
æ
8ö æ
6ö
çx - ÷ +çy+ ÷ = 9
5ø è
5ø
è
THS
æ 8 -6 ö
Þ I¢ ç ; ÷ Þ (C¢):
è5 5 ø
Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 2 = 0 . Viết
AB = 3 .
TM
A
phương trình đường tròn (C¢) tâm M(5; 1) biết (C¢) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho
· (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3 . PT đường thẳng IM: 3x - 4 y - 11 = 0 . AB = 3 .
VIE
ì H Î IM
ì3 x - 4 y - 11 = 0
ï
ï
Û
Gọi H ( x; y ) là trung điểm của AB. Ta có: í
3
9
í
2
2
2
2
ïî IH = R - AH = 2
ïî( x - 1) + ( y + 2) = 4
é
1
29
ê x = - 5 ; y = - 10
æ 1 29 ö
æ 11 11 ö
Û ê
Þ H ç - ; - ÷ hoặc H ç ; - ÷ .
è 5 10 ø
è 5 10 ø
ê x = 11 ; y = - 11
5
10
ë
æ 1 29 ö
· Với H ç - ; - ÷ . Ta có R¢2 = MH 2 + AH 2 = 43 Þ PT (C¢): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 43 .
è 5 10 ø
æ 11 11 ö
· Với H ç ; - ÷ . Ta có R¢2 = MH 2 + AH 2 = 13 Þ PT (C¢): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 13 .
è 5 10 ø
Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 4 và điểm
K(3;4) . Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao
cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).
· (C) có tâm I(1;2) , bán kính R = 2 . SD IAB lớn nhất Û DIAB vuông tại I Û AB = 2 2 .
Mà IK = 2 2 nên có hai đường tròn thoả YCBT.
+ (T1 ) có bán kính R1 = R = 2 Þ (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 4
Trang 9
PP toạ độ trong mặt phẳng
Trần Sĩ Tùng
+ (T2 ) có bán kính R2 = (3 2)2 + ( 2)2 = 2 5 Þ (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 20 .
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC
æ1 ö
với các đỉnh: A(–2;3), B ç ;0 ÷ , C (2;0) .
è4 ø
æ1
ö
· Điểm D(d;0) ç < d < 2 ÷ thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A
è4
ø
2
.NE
T
2
æ9ö
1
ç 4 ÷ + ( -3)
d
DB AB
4= è ø
khi và chỉ khi
=
Û
Þ 4d - 1 = 6 - 3d Þ d = 1.
2
DC AC
2-d
2
4 + ( -3 )
x +2 y-3
x +2 y -3
=
Û x + y - 1 = 0 ; AC:
=
Û 3x + 4 y - 6 = 0
3
-3
4
-3
Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là 1- b và bán kính
cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có:
é
4
3 (1 - b ) + 4b - 6
ê b - 3 = 5b Þ b = - 3
= b Û b - 3 = 5b Þ ê
2
2
ê b - 3 = -5b Þ b = 1
3 +4
ë
2
1
Rõ ràng chỉ có giá trị b = là hợp lý.
2
THS
Phương trình AD:
2
2
TM
A
æ
1ö æ
1ö
1
Vậy, phương trình của đường tròn nội tiếp DABC là: ç x - ÷ + ç y - ÷ =
2ø è
2ø
4
è
Câu 15. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): 4 x - 3y - 12 = 0 và (d2):
4 x + 3y - 12 = 0 . Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên
(d1), (d2) và trục Oy.
· Gọi A = d1 Ç d2 , B = d1 Ç Oy, C = d2 Ç Oy Þ A(3; 0), B(0; -4), C (0;4) Þ DABC cân đỉnh A
VIE
và AO là phân giác trong của góc A. Gọi I, R là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp DABC
æ4 ö
4
Þ I ç ;0 ÷ , R = .
3
è3 ø
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y - 1 = 0 và hai đường tròn có
phương trình: (C1): ( x - 3)2 + ( y + 4)2 = 8 , (C2): ( x + 5)2 + ( y - 4)2 = 32 . Viết phương trình
đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2).
· Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử I (a; a –1)Î d .
(C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II1 = R + R1, II 2 = R + R2 Þ II1 – R1 = II 2 – R2
Û
(a - 3)2 + (a + 3)2 - 2 2 = (a - 5)2 + (a + 5)2 - 4 2 Û a = 0 Þ I(0; –1), R =
2
Þ Phương trình (C): x 2 + ( y + 1)2 = 2 .
Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9),
M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp
DABC.
Trang 10
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong mặt phẳng
· y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0.
Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 2 x = 0 . Viết phương trình tiếp
tuyến của ( C ) , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30o .
· (C ) : ( x + 1)2 + y 2 = 1 Þ I (-1; 0); R = 1 . Hệ số góc của tiếp tuyến (D) cần tìm là ± 3 .
Þ PT (D) có dạng D1 : 3x - y + b = 0 hoặc D2 : 3x + y + b = 0
+ D1 : 3 x - y + b = 0 tiếp xúc (C) Û d ( I , D1 ) = R Û
b- 3
= 1 Û b = ±2 + 3 .
2
Kết luận: (D1 ) : 3 x - y ± 2 + 3 = 0
Kết luận: (D2 ) : 3 x + y ± 2 + 3 = 0 .
b- 3
= 1 Û b = ±2 + 3 .
2
.NE
T
+ (D2 ) : 3 x + y + b = 0 tiếp xúc (C) Û d ( I , D2 ) = R Û
Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 6 x - 2 y + 5 = 0 và
đường thẳng (d): 3x + y - 3 = 0 . Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp
THS
tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc 450 .
5.
· (C) có tâm I(3; 1), bán kính R =
Giả sử (D): ax + by + c = 0 (c ¹ 0) .
ìd ( I , D) = 5
ï
é a = 2, b = -1, c = -10
é D : 2 x - y - 10 = 0
Từ: í
2 Þ ê a = 1, b = 2, c = -10 Þ ê D : x + 2 y - 10 = 0 .
ë
ë
ïcos(d , D) =
î
2
TM
A
Câu 20. Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C ) : ( x - 1)2 + ( y - 1)2 = 10 và đường thẳng
d : 2 x - y - 2 = 0 . Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C ) , biết tiếp tuyến tạo với
đường thẳng d một góc 450 .
r
· (C) có tâm I(1;1) bán kính R = 10 . Gọi n = (a; b) là VTPT của tiếp tuyến D (a2 + b2 ¹ 0) ,
2a - b
a2 + b2 . 5
=
1
é a = 3b
Ûê
ë b = -3a
2
VIE
Vì (·
D, d ) = 450 nên
4+c
éc = 6
= 10 Û ê
ëc = -14
10
-2 + c
é c = -8
· Với b = -3a Þ D: x - 3y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = R Û
= 10 Û ê
ëc = 12
10
· Với a = 3b Þ D: 3x + y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = R Û
Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: 3 x + y + 6 = 0; 3 x + y - 14 = 0 ; x - 3y - 8 = 0; x - 3y + 12 = 0 .
Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C1): x 2 + y 2 – 2 x – 2 y – 2 = 0 , (C2): x 2 + y 2 – 8 x – 2 y + 16 = 0 .
· (C1) có tâm I1(1; 1) , bán kính R1 = 2; (C2) có tâm I 2 (4; 1) , bán kính R2 = 1.
Ta có: I1I 2 = 3 = R1 + R2
Þ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)
Þ (C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy.
* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: (D) : y = ax + b Û (D) : ax - y + b = 0 ta có:
Trang 11
PP toạ độ trong mặt phẳng
Trần Sĩ Tùng
ì a + b -1
ì
ì
2
2
=2
ï
=
=a
a
ï
ï
2
2
ìd ( I1; D) = R1
ï a +b
ï
ï
4
4
Ûí
hay í
íd ( I ; ) = R Û í
D
4
a
+
b
1
+
4
7
2
4
7 2
î 2
2
ï
ïb =
ïb =
=1
ï 2
2
îï
îï
4
4
î a +b
Vậy, có 3 tiếp tuyến chung: (D1 ) : x = 3, (D2 ) : y = -
2
4+7 2
2
4-7 2
x+
, (D3 ) y =
x+
4
4
4
4
Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = 2 và
(C’): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 8 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’).
.NE
T
· (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R = 2 ; (C¢) có tâm I¢(1; 2) và bán kính R ' = 2 2 .
Ta có: II ' = 2 = R - R¢ Þ (C) và (C¢) tiếp xúc trong Þ Tọa độ tiếp điểm M(3; 4).
Vì (C) và (C¢) tiếp xúc trong nên chúng có duy nhất một tiếp tuyến chung là đường thẳng qua
uur
điểm M(3; 4), có véc tơ pháp tuyến là II ¢ = (-1; -1) Þ PTTT: x + y - 7 = 0
Câu 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1 ) : x 2 + y 2 - 2 y - 3 = 0 và
THS
(C2 ) : x 2 + y 2 - 8x - 8y + 28 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1 ) và (C2 ) .
· (C1 ) có tâm I1(0;1) , bán kính R1 = 2 ; (C2 ) có tâm I 2 (4;4) , bán kính R2 = 2 .
Ta có: I1I 2 = 5 > 4 = R1 + R2 Þ (C1 ),(C2 ) ngoài nhau. Xét hai trường hợp:
+ Nếu d // Oy thì phương trình của d có dạng: x + c = 0 .
Khi đó: d ( I1 , d ) = d ( I 2 , d ) Û c = 4 + c Û c = -2 Þ d : x - 2 = 0 .
TM
A
+ Nếu d không song song với Oy thì phương trình của d có dạng: d : y = ax + b .
é
3
7
a= ;b=
ê
4
2
=2
ê
3
3
a2 + 1
Û êa = ; b = -1 + b
4a - 4 + b
4
2
ê
=
7
37
ê
a2 + 1
a2 + 1
êë a = - 24 ; b = 12
Þ d : 3x - 4 y + 14 = 0 hoặc d : 3 x - 4 y - 6 = 0 hoặc d : 7 x + 24 y - 74 = 0 .
Vậy: d : x - 2 = 0 ; d : 3 x - 4 y + 14 = 0 ; d : 3 x - 4 y - 6 = 0 ; d : 7 x + 24 y - 74 = 0 .
-1 + b
VIE
ì
ï
ìd ( I1, d ) = 2
ï
Khi đó: í
Ûí
îd ( I1, d ) = d ( I 2 , d )
ï
ï
î
Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1 ) : x 2 + y 2 - 4 y - 5 = 0 và
(C2 ) : x 2 + y 2 - 6 x + 8y + 16 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1 ) và (C2 ) .
· (C1 ) có tâm I1(0;1) , bán kính R1 = 3 ; (C2 ) có tâm I 2 (3; -4) , bán kính R2 = 3 .
Giả sử tiếp tuyến chung D của (C1 ), (C2 ) có phương trình: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ¹ 0) .
ìï 2b + c = 3 a2 + b2
ìd ( I , D) = R1
D là tiếp tuyến chung của (C1 ), (C2 ) Û í 1
Ûí
îd ( I 2 , D) = R2
ïî 3a - 4b + c = 3 a2 + b2
-3a + 2b
Từ (1) và (2) suy ra a = 2b hoặc c =
.
2
+ TH1: Với a = 2b . Chọn b = 1 Þ a = 2, c = -2 ± 3 5 Þ D : 2 x + y - 2 ± 3 5 = 0
Trang 12
(1)
(2)
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong mặt phẳng
éa = 0
-3a + 2b
. Thay vào (1) ta được: a - 2b = 2 a2 + b2 Û ê
4 .
êa = - b
2
3
ë
Þ D : y + 2 = 0 hoặc D : 4 x - 3y - 9 = 0 .
+ TH2: Với c =
Câu 25. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 4 3 x - 4 = 0 . Tia Oy cắt (C) tại điểm
A. Lập phương trình đường tròn (T) có bán kính R¢ = 2 sao cho (T) tiếp xúc ngoài với (C) tại
A.
· (C) có tâm I(-2 3;0) , bán kính R = 4 . Tia Oy cắt (C) tại A(0;2) . Gọi J là tâm của (T).
.NE
T
ì
Phương trình IA: í x = 2 3t . Giả sử J (2 3t;2t + 2) Î ( IA) .
î y = 2t + 2
uur
uur
1
(T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A nên AI = 2JA Þ t = Þ J ( 3;3) .
2
Vậy: (T ) : ( x - 3)2 + ( y - 3)2 = 4 .
Câu 26. Trong
mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C):
x 2 + y2 = 1
và phương trình:
THS
x 2 + y 2 – 2(m + 1) x + 4my – 5 = 0 (1). Chứng minh rằng phương trình (1) là phương trình của
đường tròn với mọi m. Gọi các đường tròn tương ứng là (Cm). Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C).
· (Cm) có tâm I (m + 1; -2m) , bán kính R ' = (m + 1)2 + 4m2 + 5 ,
(C) có tâm O(0; 0) bán kính R = 1,
OI = (m + 1)2 + 4m 2 , ta có OI < R¢
TM
A
3
Vậy (C) và (Cm) chỉ tiếp xúc trong. Þ R¢ – R = OI ( vì R’ > R) Þ m = -1; m = .
5
1
và
Câu 27. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn có phương trình (C1 ) : ( x - 1)2 + y 2 =
2
(C2 ) : ( x - 2)2 + ( y - 2)2 = 4 . Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C1 ) và cắt (C2 )
tại hai điểm M , N sao cho MN = 2 2 .
VIE
1
· (C1 ) có tâm I1(1; 0) , bán kính R1 =
2
trung điểm của MN Þ d ( I 2 , d ) = I 2 H =
; (C2 ) có tâm I1(2;2) , bán kính R2 = 2 . Gọi H là
R22
2
æ MN ö
-ç
÷ = 2
è 2 ø
Phương trình đường thẳng d có dạng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ¹ 0) .
ì
1
ìï 2 a + c = a2 + b2
ïd ( I1, d ) =
Ta có: í
Û
. Giải hệ tìm được a, b, c.
2
í
2
2
ïd ( I , d ) = 2
ïî 2a + 2b + c = 2 a + b
î 2
Vậy: d : x + y - 2 = 0; d : x + 7 y - 6 = 0 ; d : x - y - 2 = 0 ; d : 7 x - y - 2 = 0
Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 – 6 x + 5 = 0 . Tìm điểm
M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó
bằng 600 .
Trang 13
PP toạ độ trong mặt phẳng
Trần Sĩ Tùng
· (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2. Gọi M(0; m) Î Oy
é·
AMB = 60 0 (1)
Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB Þ ê·
0
êë AMB = 120 (2)
Vì MI là phân giác của ·
AMB nên:
(1) Û ·
AMI = 300 Û MI =
(2) Û ·
AMI = 600 Û MI =
IA
sin 30
0
IA
sin 600
Û MI = 2R Û m2 + 9 = 4 Û m = ± 7
Û MI =
2 3
4 3
R Û m2 + 9 =
Vô nghiệm Vậy có
3
3
hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0; - 7 )
.NE
T
Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng D định bởi:
(C ) : x 2 + y 2 - 4 x - 2 y = 0; D : x + 2 y - 12 = 0 . Tìm điểm M trên D sao cho từ M vẽ được với
(C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600.
· Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R = 5 .
Gọi A, B là hai tiếp điểm. Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 600 thì IAM là nửa tam
giác đều suy ra IM = 2 R=2 5 .
THS
Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình: ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 20 .
Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng D, nên tọa độ của M nghiệm đúng hệ phương trình:
ì( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 20
(1)
í
+
2
12
=
0
(2)
x
y
î
éy = 3
Khử x giữa (1) và (2) ta được: ( -2 y + 10 ) + ( y - 1) = 20 Û 5y - 42 y + 81 = 0 Û ê
27
êy =
5
ë
æ 6 27 ö
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M ( 6;3) hoặc M ç ; ÷
è5 5 ø
2
2
TM
A
2
Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 9 và đường
VIE
thẳng d : x + y + m = 0 . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ
được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC
vuông.
· (C) có tâm I(1; –2), R = 3. ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 Þ IA = 3 2
m -1
é m = -5
Û
= 3 2 Û m -1 = 6 Û ê
ëm = 7
2
Câu hỏi tương tự:
a) (C ) : x 2 + y 2 = 1, d : x - y + m = 0
ĐS: m = ±2 .
Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 9 và đường
thẳng d : 3 x - 4 y + m = 0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được
hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (C) (A, B là hai tiếp điểm) sao cho PAB là tam giác đều.
· (C) có tâm I (1; -2) , bán kính R = 3 . DPAB đều Þ PI = 2 AI = 2 R = 6 Þ P nằm trên đường
tròn (T) có tâm I, bán kính r = 6 . Do trên d có duy nhất một điểm P thoả YCBT nên d là tiếp
Trang 14
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong mặt phẳng
tuyến của (T) Þ d ( I , d ) = 6 Û
11 + m
é m = 19
=6Ûê
.
5
ë m = -41
Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C ) : x 2 + y 2 - 18 x - 6 y + 65 = 0
và (C ¢) : x 2 + y 2 = 9 . Từ điểm M thuộc đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C¢),
gọi A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng 4,8.
· (C’) có tâm O ( 0; 0 ) , bán kính R = OA = 3 . Gọi H = AB Ç OM Þ H là trung điểm của AB
12
9
OA2
. Suy ra: OH = OA2 - AH 2 = và OM =
= 5.
5
5
OH
ìï x 2 + y 2 - 18 x - 6 y + 65 = 0
ì M Î (C )
ìx = 4 ìx = 5
Giả sử M ( x; y) . Ta có: í
Ûí 2
Ûí
Úí
2
OM
=
5
î
îy = 3 îy = 0
ïî x + y = 25
.NE
T
Þ AH =
Vậy M(4;3) hoặc M(5;0) .
Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 4 . M là điểm
di động trên đường thẳng d : y = x + 1 . Chứng minh rằng từ M kẻ được hai tiếp tuyến MT1 ,
THS
MT2 tới (C) (T1, T2 là tiếp điểm) và tìm toạ độ điểm M, biết đường thẳng T1T2 đi qua điểm
A(1; -1) .
· (C) có tâm I (1; -2) , bán kính R = 2 . Giả sử M ( x0 ; x0 + 1) Î d .
IM = ( x0 - 1)2 + ( x0 + 3)2 = 2( x0 + 1)2 + 8 > 2 = R Þ M nằm ngoài (C) Þ qua M kẻ được
2 tiếp tuyến tới (C).
TM
A
æ x +1 x -1ö
Gọi J là trung điểm IM Þ J ç 0 ; 0
÷ . Đường tròn (T) đường kính IM có tâm J bán
è 2
2 ø
2
2
æ
x0 + 1 ö æ
x0 - 1 ö
( x0 - 1)2 + ( x 0 + 3)2
IM
kính R1 =
có phương trình (T ) : ç x ÷ +çy ÷ =
è
2 ø è
2 ø
4
2
Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MT , MT đến (C) Þ ·
IT M = ·
IT M = 90 0 Þ T , T Î (T )
1
2
1
2
1
2
VIE
Þ {T1, T2} = (C ) Ç (T ) Þ toạ độ T1, T2 thoả mãn hệ:
ì
x +1
x -1
( x - 1)2 + ( x0 + 3)2
ï( x - 0 )2 + ( y - 0 )2 = 0
Þ (1 - x0 ) x - (3 + x0 ) y - x0 - 3 = 0 (1)
í
2
2
4
ï( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 4
î
Toạ độ các điểm T1, T2 thoả mãn (1), mà qua 2 điểm phân biệt xác định duy nhất 1 đường
thẳng nên phương trình T1T2 là x(1 - x 0 ) - y(3 + x0 ) - x0 - 3 = 0 .
A(1; -1) nằm trên T1T2 nên 1 - x0 + (3 + x0 ) - x0 - 3 = 0 Û x0 = 1 Þ M(1;2) .
Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x –1)2 + ( y + 1)2 = 25 và điểm
M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao
cho MA = 3MB.
· PM /(C ) = 27 > 0 Þ M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5.
Mặt khác:
uuur uuur
PM /(C ) = MA.MB = 3MB2 Þ MB = 3 Þ BH = 3 Þ IH = R 2 - BH 2 = 4 = d[ M ,(d )]
Trang 15
PP toạ độ trong mặt phẳng
Trần Sĩ Tùng
Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0).
éa = 0
-6a - 4b
=4Ûê
d [M ,(d )] = 4 Û
12 . Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0.
2
2
êa = - b
a +b
5
ë
Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2)
.NE
T
và cắt đường tròn (C) có phương trình ( x - 2)2 + ( y + 1)2 = 25 theo một dây cung có độ dài
bằng l = 8 .
· d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 Û ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b2 > 0)
Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài l = 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d
bằng 3.
éa = 0
2a - b - a - 2b
= 3 Û a - 3b = 3 a2 + b2 Û 8a2 + 6ab = 0 Û ê
d (I,d ) =
3
=
a
b
2
2
ê
a +b
ë
4
3
· a = 0: chọn b = 1 Þ d: y – 2 = 0 · a = - b : chọn a = 3, b = – 4 Þ d: 3x – 4 y + 5 = 0.
4
Câu hỏi tương tự:
a) d đi qua O, (C ) : x 2 + y 2 - 2 x + 6 y - 15 = 0 , l = 8 . ĐS: d : 3 x - 4 y = 0 ; d : y = 0 .
THS
b) d đi qua Q(5;2) , (C ) : x 2 + y 2 - 4 x - 8y - 5 = 0 , l = 5 2 .
ĐS: d : x - y - 3 = 0 ; d :17 x - 7 y - 71 = 0 .
c) d đi qua A(9;6) , (C ) : x 2 + y 2 - 8 x - 2 y = 0 , l = 4 3 .
TM
A
1
21
ĐS: d : y = 2 x - 12 ; d : y = - x +
2
2
Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 + 2 x - 8y - 8 = 0 . Viết
VIE
phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng d : 3 x + y - 2 = 0 và cắt đường tròn
(C) theo một dây cung có độ dài l = 6 .
· (C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5. PT đường thẳng D có dạng: 3x + y + c = 0, c ¹ 2 .
Vì D cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên:
-3 + 4 + c
éc = 4 10 - 1
Þ d ( I,D) =
=4Ûê
.
2
c
=
4
10
1
ë
3 +1
Vậy phương trình D cần tìm là: 3 x + y + 4 10 - 1 = 0 hoặc 3 x + y - 4 10 - 1 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) (C ) : ( x - 3)2 + ( y - 1)2 = 3 , d : 3 x - 4 y + 2012 = 0 , l = 2 5 .
ĐS: D : 3 x - 4 y + 5 = 0 ; D : 3x - 4 y - 15 = 0 .
Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :( x + 4)2 + ( y - 3)2 = 25 và
đường thẳng D : 3 x - 4 y + 10 = 0 . Lập phương trình đường thẳng d biết d ^ (D) và d cắt (C)
tại A, B sao cho AB = 6.
· (C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do d ^ D nên
PT của d có dạng: 4 x + 3y + m = 0 .
Ta có: d ( I ,(D1 )) = IH =
AI 2 - AH 2 = 52 - 32 = 4 Û
Trang 16
-16 + 9 + m
42 + 32
é m = 27
= 4Û ê
ë m = -13
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong mặt phẳng
Vậy PT các đường thẳng cần tìm là: 4 x + 3y + 27 = 0 và 4 x + 3y - 13 = 0 .
Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2 x - 2 y - 3 = 0 và điểm
M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có
độ dài ngắn nhất.
· (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 5 . IM = 2 < 5 Þ M nằm trong đường tròn (C).
Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d.
Ta có: AB = 2AH = 2 IA2 - IH 2 = 2 5 - IH 2 ³ 2 5 - IM 2 = 2 3 .
uuur
Dấu "=" xảy ra Û H º M hay d ^ IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT MI = (1; -1)
Þ Phương trình d: x - y + 2 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
.NE
T
a) Với (C): x 2 + y 2 - 8x - 4 y - 16 = 0 , M(–1; 0).
d : 5x + 2 y + 5 = 0
ĐS:
Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm
M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho DOAB có
diện tích lớn nhất.
THS
· Tam giác OAB có diện tích lớn nhất Û DOAB vuông cân tại O. Khi đó d (O, d ) =
5 2
.
2
Giả sử phương trình đường thẳng d: A( x - 2) + B( y - 6) = 0 ( A2 + B2 ¹ 0)
+ Với B =
TM
A
é
-24 - 5 55
A
êB =
5 2
-2 A - 6 B 5 2
47
d (O, d ) =
Û
=
Û 47B2 + 48 AB - 17 A2 = 0 Û ê
2
2
-24 + 5 55
ê
A2 + B 2
A
êë B =
47
-24 - 5 55
A : chọn A = 47 Þ B = -24 - 5 55
47
Þ d: 47( x - 2) - ( 24 + 5 55 ) ( y - 6) = 0
-24 + 5 55
A : chọn A = 47 Þ B = -24 + 5 55
47
VIE
+ Với B =
Þ d: 47( x - 2) + ( -24 + 5 55 ) ( y - 6) = 0
Câu hỏi tương tự:
a) (C ) : x 2 + y 2 + 4 x - 6 y + 9 = 0 , M(1; -8) .
ĐS: 7 x + y + 1 = 0; 17 x + 7 y + 39 = 0 .
Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 6 x + 2 y - 6 = 0 và điểm
A(3;3) . Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách
giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C).
· (C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3) Î (C).
PT đường thẳng d có dạng: a( x - 3) + b( y - 3) = 0, a2 + b2 ¹ 0 Û ax + by - 3a - 3b = 0 .
Giả sử d qua A cắt (C) tại hai điểm A, B Þ AB = 4 2 . Gọi I là tâm hình vuông.
3a - b - 3a - 3b
1
1
Ta có: d ( I , d ) = 2 2 ( = AD = AB) Û
=2 2
2
2
2
2
a +b
Trang 17
PP toạ độ trong mặt phẳng
Trần Sĩ Tùng
Û 4b = 2 2 a2 + b2 Û a2 = b2 Û a = ± b . Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1.
Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là: x + y - 6 = 0 hoặc x - y = 0 .
Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): x 2 + y 2 = 13 và (C2):
( x - 6)2 + y 2 = 25 . Gọi A là một giao điểm của (C1) và (C2) với yA > 0. Viết phương trình
đường thẳng d đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
· (C1) có tâm O(0; 0), bán kính R1 =
13 . (C2) có tâm I2(6; 0), bán kính R2 = 5. Giao điểm
A(2; 3). Giả sử d: a( x - 2) + b( y - 3) = 0 (a2 + b2 ¹ 0) . Gọi d1 = d (O, d ), d2 = d ( I 2 , d ) .
(6a - 2a - 3b)2
-
a2 + b2
(-2a - 3b)2
.NE
T
Từ giả thiết Þ R12 - d12 = R22 - d22 Û d22 - d12 = 12 Û
a2 + b2
= 12
éb = 0
Û b2 + 3ab = 0 Û ê
.
ë b = -3a
· Với b = 0: Chọn a = 1 Þ Phương trình d: x - 2 = 0 .
· Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3 Þ Phương trình d: x - 3y + 7 = 0 .
Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: mx + 4 y = 0 , đường tròn (C):
m + 4m
m 2 + 16
=
5m
m2 + 16
; AH = IA2 - IH 2 = 25 -
TM
A
IH = d (I , D) =
THS
x 2 + y 2 - 2 x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I. Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12.
· (C) có tâm I (1; m) , bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm của dây cung AB.
(5m)2
2
m + 16
=
20
m 2 + 16
é m = ±3
SDIAB = 12 Û d ( I , D). AH = 12 Û 3m2 - 25 m + 48 = 0 Û ê
16
êm = ±
3
ë
(C ) : x 2 + y 2 = 1 , đường thẳng
(d ) : x + y + m = 0 . Tìm m để (C ) cắt (d ) tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.
VIE
Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
· (C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1. (d) cắt (C) tại A, B Û d (O; d ) < 1
1
1
1
Khi đó: SOAB = OA.OB.sin·
AOB = .sin·
AOB £ . Dấu "=" xảy ra Û ·
AOB = 90 0 .
2
2
2
1
Vậy S AOB lón nhất Û ·
AOB = 900 . Khi đó d ( I ; d ) =
Û m = ±1 .
2
Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d ) :
2 x + my + 1 - 2 = 0 và
đường tròn có phương trình (C ) : x 2 + y 2 - 2 x + 4 y - 4 = 0 . Gọi I là tâm đường tròn (C ) . Tìm
m sao cho (d ) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam
giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.
· (C ) có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3.
(d) cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B Û d ( I , d ) < R Û
Trang 18
2 - 2m + 1 - 2 < 3 2 + m2
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong mặt phẳng
Û 1 - 4m + 4m2 < 18 + 9m2 Û 5m2 + 4m + 17 > 0 Û m Î R
1
1
9
Ta có: S
= IA.IB sin ·
AIB £ IA.IB =
IAB 2
2
2
3 2
9
Vậy: S
lớn nhất là khi ·
AIB = 900 Û AB = R 2 = 3 2 Û d ( I , d ) =
IAB
2
2
3 2
2 + m2 Û 2m2 + 16m + 32 = 0 Û m = -4
2
Câu hỏi tương tự:
Û 1 - 2m =
ĐS:
.NE
T
a) Với d : x + my – 2m + 3 = 0 , (C ) : x 2 + y 2 + 4 x + 4 y + 6 = 0 .
8
m=0Ú m=
15
Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 4 x - 6 y + 9 = 0 và
điểm M(1; -8) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt (C) tại hai điểm A, B phân
biệt sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).
· (C) có tâm I(-2;3) , bán kính R = 2 .
THS
PT đường thẳng d qua M(1; -8) có dạng: d : ax + by - a + 8b = 0 ( a2 + b2 ¹ 0 ).
1
SD IAB = IA.IB.sin ·
AIB = 2sin ·
AIB .
2
TM
A
2
Do đó: SD IAB lớn nhất Û ·
AIB = 90 0 Û d ( I , d ) = IA
= 2
2
11b - 3a
é a = 7b
Û
= 2 Û 7a2 - 66ab + 118b2 = 0 Û ê
.
ë 7a = 17b
a2 + b 2
+ Với b = 1 Þ a = 7 Þ d : 7 x + y + 1 = 0
+ Với b = 7 Þ a = 17 Þ d :17 x + 7 y + 39 = 0
Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 4 x + 4 y + 6 = 0 và
VIE
đường thẳng D: x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C).
Tìm m để D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích DIAB lớn nhất.
· (C) có tâm là I (–2; –2); R = 2 . Giả sử D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
1
Kẻ đường cao IH của DIAB, ta có:
SDABC = SIAB = IA.IB.sin ·
AIB = sin ·
AIB
2
IA
Do đó SIAB lớn nhất Û sin ·
AIB = 1 Û DAIB vuông tại I Û IH =
= 1 (thỏa IH < R)
2
1 - 4m
8
Û
= 1 Û 15m2 – 8m = 0 Û m = 0 hay m =
15
m2 + 1
Câu hỏi tương tự:
a) Với (C ) : x 2 + y 2 - 2 x + 4 y - 4 = 0 , D : 2 x + my + 1 - 2 = 0 .
ĐS: m = -4 .
b) Với (C ) : x 2 + y 2 - 2 x - 4 y - 5 = 0 , D : x + my - 2 = 0 .
ĐS: m = -2
Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y – 2 = 0 và đường tròn (C):
x 2 + y 2 + 2 x - 4 y - 8 = 0 . Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường
thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho
Trang 19
PP toạ độ trong mặt phẳng
Trần Sĩ Tùng
tam giác ABC vuông ở B.
· Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình
ì x2 + y2 + 2 x - 4y - 8 = 0
ì y = 0; x = 2
Ûí
. Vì x A > 0 nên ta được A(2;0), B(–3;–1).
í
î y = -1; x = -3
î x - 5y - 2 = 0
Vì ·
ABC = 900 nên AC là đường kính đường tròn, tức điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I
của đường tròn. Tâm I(–1;2), suy ra C(–4;4).
Câu 48. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ): x 2 + y 2 + 2 x - 4 y - 8 = 0 và
4
; d (Q, D) =
13
Vậy tọa độ điểm M(–3; 5).
22
13
. Như vậy d ( M , D) lớn nhất Û M trùng với Q.
TM
A
Ta có d ( P, D) =
THS
.NE
T
đường thẳng ( D ): 2 x - 3y - 1 = 0 . Chứng minh rằng ( D ) luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt
A, B . Tìm toạ độ điểm M trên đường tròn ( C ) sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất.
9
· (C) có tâm I(–1; 2), bán kính R = 13 . d ( I , D) =
< R Þ đường thẳng ( D ) cắt (C) tại
13
1
hai điểm A, B phân biệt. Gọi M là điểm nằm trên (C), ta có SD ABM = AB.d ( M , D) . Trong đó
2
AB không đổi nên SD ABM lớn nhất Û d ( M , D) lớn nhất.
Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với ( D ). PT đường thẳng d là
3x + 2 y - 1 = 0 .
Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường tròn (C). Toạ độ P, Q là nghiệm của hệ
2
ì 2
é x = 1, y = -1
phương trình: í x + y + 2 x - 4 y - 8 = 0 Û ê
Þ P(1; –1); Q(–3; 5)
ë x = -3, y = 5
î3x + 2 y - 1 = 0
Câu 49. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2 x - 4 y - 5 = 0 và A(0;
VIE
–1) Î (C). Tìm toạ độ các điểm B, C thuộc đường tròn (C) sao cho DABC đều.
uur
uur
æ3 7ö
· (C) có tâm I(1;2) và R= 10 . Gọi H là trung điểm BC. Suy ra AI = 2.IH Û H ç ; ÷
è2 2ø
D ABC đều Þ I là trọng tâm. Phương trình (BC): x + 3y - 12 = 0
Vì B, C Î (C) nên tọa độ của B, C là các nghiệm của hệ phương trình:
2
ì x2 + y2 - 2 x - 4y - 5 = 0
ì 2
Û í x + y - 2x - 4y - 5 = 0
í
î x + 3y - 12 = 0
î x = 12 - 3y
æ 7+ 3 3-3 3 ö æ 7- 3 3+3 3 ö
Giải hệ PT trên ta được: B ç
;
;
÷;C ç
÷ hoặc ngược lại.
è 2
2 ø è 2
2 ø
Câu 50. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 35 và điểm
A(5; 5). Tìm trên (C) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
ì AB = AC
· (C) có tâm I(3; 4). Ta có: í
Þ AI là đường trung trực của BC. DABC vuông cân
î IB = IC
tại A nên AI cũng là phân giác của ·
BAC . Do đó AB và AC hợp với AI một góc 450 .
0
Gọi d là đường thẳng
uurqua A và hợp với AI một góc 45 . Khi đó B, C là giao điểm của d với
(C) và AB = AC. Vì IA = (2;1) ¹ (1; 1), (1; –1) nên d không cùng phương với các trục toạ độ
r
Þ VTCP của d có hai thành phần đều khác 0. Gọi u = (1; a) là VTCP của d. Ta có:
Trang 20
- Xem thêm -