KHAI THÁC KHÁI NI M ð
TH HÀM S
L I, LÕM
ð ðÁNH GIÁ B T ð NG TH C
I. LÝ DO CH N ð TÀI
ng d ng hàm l i ñ ñánh giá b t ñ ng th c (BðT) ñã ñư c khai thác nhi u và
ñ i di n cho ng d ng ñó là BðT Jensen. Khái ni m hàm l i trong chương trình
SGK cũ và m i (bài ñ c thêm) ñư c ñ nh nghĩa d a vào v trí n m trên, n m dư i
c a ti p tuy n v i ñ th hàm s . Trong ñ nh nghĩa ñó, ñã cho ta m t tính ch t hình
h c c a ti p tuy n. ðó là: ta có th ñánh giá f (x ) thông qua m t bi u th c b c nh t
c a x . V n d ng tính ch t này, ta có th tìm ñư c l i gi i ñơn gi n cho m t s bài
toán ch ng minh BðT. Hơn n a thông qua ñó ñ chúng ta th y ñư c vi c d y cho
HS B n ch t c a các khái ni m Toán h c r t quan tr ng trong phát tri n tư duy cho
h c sinh. ðó là lí do mà tôi ch n ñ tài “Khai thác khái ni m ñ th hàm s l i, lõm
ñ ñánh giá BðT”
II. TH C TR NG TRƯ C KHI TH C HI N CÁC GI I PHÁP C A ð
TÀI:
1. Thu n l i:
V i s ñ i m i phương pháp d y h c trung h c ph thông l y h c sinh làm
trung tâm và t o s h ng thú trong h c t p. H c sinh ch ñ ng chi m lĩnh tri
th c. Do ñó, vi c d y cho h c sinh n m ñư c b n ch t c a m t khái ni m
Toán h c h t s c quan tr ng
2. Khó khăn:
Khi d y khái ni m Toán h c giáo viên chưa chú tr ng nhi u vào vi c d y
cho h c sinh n m ñư c b n ch t c a khái ni m mà ch y u t p trung vào vi c
kh o sát các ñ i tư ng có thu c v khái ni m ñó hay không?. Do ñó h c sinh
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
1
cũng ít quan tâm ñ n b n ch t c u khái ni m ñã h c nên m t ph n nào ñó h n
ch vi c phát tri n tư duy cũng như s h ng thú trong h c t p.
III. N I DUNG ð TÀI
1. Cơ s lí thuy t.
a. ð nh nghĩa: Cho hàm s y = f (x ) liên t c [a; b ] và có ñ th là (C). Khi ñó ta có hai
ñi m A(a; f (a )), B(b; f (b)) n m trên ñ th (C).
i) ð th (C) g i là l i trên (a; b) n u ti p tuy n t i m i ñi m n m trên cung AB
luôn n m phía trên ñ th (C).
ii) ð th (C) g i là lõm trên (a; b) n u ti p tuy n t i m i ñi m n m trên cung AB
luôn n m phía dư i ñ th (C).
y
_
y
_
a
_
x
_
x
_
1
_
a
b
_
b
_
ð th hàm s l i
ð th hàm lõm
b. D u hi u ñ th l i
ð nh lí 1: Cho hàm s y = f (x ) có ñ o hàm c p hai liên t c trên (a; b )
* N u f ''(x ) > 0 ∀x ∈ (a; b ) thì ñ th hàm s lõm trên (a; b)
* N u f ''(x ) < 0 ∀x ∈ (a; b ) thì ñ th hàm s l i trên (a; b )
c.
ng d ng
T hình nh tr c quan c a ñ nh nghĩa cho ta m t phương pháp gi i các bài toán BðT
và c c tr sau :
ð nh lí 2: (B t ñ ng th c ti p tuy n)
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
2
Cho hàm s y = f (x ) liên t c và có ñ o hàm ñ n c p hai trên [a;b] .
i) N u f ''(x ) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b ] thì f (x ) ≥ f '(x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 ) ∀x 0 ∈ [a; b ]
ii) N u f ''(x ) ≤ 0 ∀x ∈ [a; b ] thì f (x ) ≤ f '(x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 ) ∀x 0 ∈ [a; b ]
ð ng th c trong hai B t ñ ng th c trên x y ra ⇔ x = x 0 .
Ta có th ch ng minh ñ nh lí trên như sau
i) Xét hàm s g(x ) = f (x ) − f '(x 0 )(x − x 0 ) − f (x 0 ) , x ∈ [a; b ]
Ta có : g '(x ) = f '(x ) − f '(x 0 ) ⇒ g ''(x ) = f ''(x ) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b ]
⇒ g '(x ) = 0 ⇔ x = x 0 và g '(x ) ñ i d u t − sang + khi x qua x 0 nên ta có :
g(x ) ≥ g(x 0 ) = 0 ∀x ∈ [a; b ] .
ii) Ch ng minh tương t .
ð nh lí 3: (B t ñ ng th c cát tuy n)
Cho hàm s y = f (x ) liên t c và có ñ o hàm ñ n c p hai trên [a;b] .
i) N u f ''(x ) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b ] thì f (x ) ≥
f (a ) − f (b)
(x − a ) + f (a ) ∀x 0 ∈ [a; b ]
a −b
ii) N u f ''(x ) ≤ 0 ∀x ∈ [a; b ] thì f (x ) ≤
f (a ) − f (b)
(x − a ) + f (a ) ∀x 0 ∈ [a; b ] .
a −b
ð ng th c trong các BðT trên có khi và ch khi x = a ho c x = b .
2. N i dung, bi n pháp th c hi n gi i pháp c a ñ tài:
Ví d 1: Cho các s th c dương a, b, c th a a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng
a
2
+
a +1
Gi i: Xét hàm s f (x ) =
x
2
b
c
+
2
2
b +1
c +1
≤
3
.
10
v i x ∈ (0;1) .
x +1
Ta có: f '(x ) =
1
2
3
⇒ f ''(x ) = −
(x + 1)
Nên ta có:
3x
2
5
< 0 ∀x ∈ (0;1)
(x + 1)
1
1
1
f (a ) ≤ f '( )(a − ) + f ( )
3
3
3
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
3
1
1
1
f (b) ≤ f '( )(b − ) + f ( )
3
3
3
1
1
1
f (c) ≤ f '( )(c − ) + f ( )
3
3
3
1
Suy ra : f (a ) + f (b) + f (c) ≤ f ' (a + b + c − 1) + 3 f ( ) =
1
3
3
3
10
1
3
ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = .
Ví d 2 : Cho các s th c dương a, b, c th a : a 2 + b2 + c2 = 3 . Ch ng minh
1
1 + 8a
+
1
1 + 8b
+
1
1 + 8b
≥ 1.
Gi i :
Xét hàm s : f (x ) =
f '(x ) = −
4
(1 + 8x )3
1
1 + 8a
, 0 < a ≤ 3 . Ta có :
⇒ f "(x ) =
48
(1 + 8x )5
>0
1
∀x ∈ (− ; 3]
8
Nên ta có : f (a ) ≥ f '(1)(a − 1) + f (1)
f (b ) ≥ f '(1)(b − 1) + f (1)
f (c) ≥ f '(1)(c − 1) + f (1)
⇒ f (a ) + f (b ) + f (c ) ≥ f '(1)(a + b + c − 3) + 3 f (1) (*)
M t khác : (a + b + c)2 ≤ 3(a 2 + b 2 + c2 ) = 9
⇒ −3 ≤ a + b + c ≤ 3 ⇒ a + b + c − 3 ≤ 0 và f '(1) = −
4
< 0 nên t (*)
27
Ta suy ra : f (a ) + f (b) + f (c) ≥ 3 f (1) = 1 .
Nh n xét : D u hi u giúp chúng ta nh n ra phương pháp trên là BðT c n ch ng
minh có d ng
f (a1 ) + f (a2 ) + ... + f (an ) ≥ k ho c f (a1 ) + f (a2 ) + ... + f (an ) ≤ k , trong ñó ai (i = 1,.., n ) là
các s th c cho trư c. Trong m t s trư ng h p BðT chưa có d ng trên, ta ph i th c
hi n m t s phép bi n ñ i m i ñưa v d ng trên.Chúng ta c n chú ý m t s d u hi u
sau.
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
4
• N u BðT có d ng f (a1 ).f (a2 )...f (an ) ≥ k thì ta l y loganepe hai v
• N u BðT c n ch ng minh ñ ng b c thì ta có th chu n hóa. Tùy thu c vào t ng
bài toán mà ta l a ch n cách chu n hóa phù h p.
Ví d 3 : Cho các s th c dương a, b, c th a : a + b + c = 3 . Tìm GTLN c a bi u
th c :
b
c
a
P = a + 1 + a 2 b + 1 + b2 c + 1 + c 2 .
Gi i :
Ta có : ln P = b ln(a + 1 + a 2 ) + c ln b + 1 + b2 + a ln c + 1 + c 2
Xét hàm s : f (x ) = ln x + 1 + x 2 , 0 < x < 1 . Ta có :
f '(x ) =
1
⇒ f ''(x ) =
2
x +1
−x
2 3
<0
∀x ∈ (0;1)
(1 + x )
Suy ra : f (a ) ≤ f '(1) (a − 1) + f (1) = f '(1)a + f (1) − f '(1)
⇒ bf (a ) ≤ f '(1)ab + f (1) − f '(1) b
cf (b) ≤ f '(1)cb + f (1) − f '(1) c
af (c) ≤ f '(1)ac + f (1) − f '(1) a .
(
)
⇒ ln P ≤ f '(1) ab + bc + ca − (a + b + c ) + f (1)(a + b + c ) ≤ 3 ln(1 + 2)
(Do ab + bc + ca ≤ 3 = a + b + c )
Nên ⇒ ln P ≤ 3 ln(1 + 2) ⇒ P ≤ (1 + 2)3 .
ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 1 . V y GTLN c a P = (1 + 2)3 .
Ví d 4 : Cho x , y > 0 th a x + y + z = 1 . Tìm GTNN c a bi u th c
P = x −y + y −z + z −x .
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
5
Gi i : Áp d ng BðT Cô si, ta có : P ≥
3
3 y
x .y z .z x
ð t A = x y .y z .z x ⇒ ln A = y ln x + z ln y + x ln z . Vì hàm s f (t ) = ln t có
f ''(t ) = −
1
t2
<0
1
1
1
⇒ ln x ≤ f ' x − + f ( ) = 3x − 1 − ln 3
3
3
3
⇒ ln A ≤ y(3x − 1 − ln 3) + z (3y − 1 − ln 3) + x (3z − 1 − ln 3)
= 3(xy + yz + zx ) − 1 − 3 ln 3 ≤ (x + y + z )2 − 1 − 3 ln 3 = −3 ln 3
⇒A≤
1
1
⇒ P ≥ 33 3 . ð ng th c x y ra ⇔ x = y = z = .
3
3
V y GTNN c a P = 33 3 .
Ví d 5 : Cho a, b, c ≥
1
th a a + b + c = 2 . Tìm GTNN c a bi u th c
2
P = aa + bb + cc .
Gi i :
Xét hàm s f (t ) = t t ,
1
≤ t ≤ 1 . Ta có : ln f (t ) = t ln t l y ñ o hàm hai v ta ñư c
2
(
f '(t ) = (1 + ln t )f (t ) ⇒ ln f '(t ) = ln f (t ) + ln ln t + 1
⇒
)
f ''(t ) f '(t )
1
1
=
+
= 1 + ln t +
f '(t )
f (t ) t(ln t + 1)
t(ln t + 1)
1
1
⇒ f ''(t ) = (1 + ln t )f (t ) 1 + ln t +
> 0 ∀t ∈ [ ;1]
t(1 + ln t )
2
1
2
Vì a, b, c ∈ ;1 nên áp d ng BðT ti p tuy n, ta có :
2
2
2
f (a ) ≥ f '( )(a − ) + f ( )
3
3
3
2
2
2
f (b) ≥ f '( )(b − ) + f ( )
3
3
3
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
6
2
2
2
f (c) ≥ f '( )(c − ) + f ( )
3
3
3
C ng ba BðT trên ta có : f (a ) + f (b) + f (c) ≥ f '( ) (a + b + c − 2 ) + 3 f ( ) = 33 .
2
3
V y GTNN c a P = 33
2
3
4
9
4
2
ñ t ñư c ⇔ a = b = c = .
9
3
Ví d 6 : Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh r ng :
1+ 3
1 1 1
(a 2 + b2 + c2 )( + + ) ≥ a + b + c + a 2 + b 2 + c 2 .
a b c
3 3
(Trích ñ thi Albania 2002)
L i gi i. Vì BðT ñã cho thu n nh t nên ta ch c n ch ng minh Bñt ñúng v i m i s
th c dương a,b,c th a mãn a 2 + b2 + c2 = 1 , khi ñó bñt c n ch ng minh tr thành:
f (a ) + f (b) + f (c) ≥ 1 trong ñó:
f (x ) =
1+ 3 1
. − x v i 0 < x < 1 . D th y hàm s
3 3 x
f có f ''(x ) > 0 ∀x ∈ (0;1)
Nên theo BðT ti p tuy n ta có :
1
f (a ) + f (b) + f (c) ≥ f '
(a + b + c − 3) + 3 f
3
1
.
3
1
f '
1
<0
⇒ f (a ) + f (b) + f (c) ≥ 3 f
Do 3
= 1.
3
2
2
2
a + b + c ≤ 3(a + b + c ) = 3
π
Ví d 7: Cho n s th c x1, x2 , ..., xn thu c kho ng (0; ) th a :
2
tan x1 + tan x 2 + ... + tan xn ≤ n .Ch ng minh : sin x1 . sin x 2 ... sin xn ≤
1
.
n
2
Gi i :
ð t ai = tan xi (i = 1, 2, ..., n ) ⇒ ai > 0 i = 1, 2,..., n và
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
n
∑ ai
≤n
i =1
7
n
Ta c n ch ng minh :
ai
∏
1
≤
(1).
i =1
Xét hàm s f (x ) =
1 + ai2
x
, x > 0 có f '(x ) =
1+x
2
n
2
1
2 3
⇒ f ''(x ) < 0 ∀x > 0 .
(1 + x )
1
⇒ f (x ) ≤ f '(1)(x − 1) + f (1) =
2
3
1
(x − 1) +
2
=
1
2 2
(x + 1) .
n
n
⇒∏
i =1
ai
1 + ai2
n
= ∏ f (ai ) ≤
i =1
1
n
∏ (ai + 1) ≤
8n i =1
n
∑ (ai + 1)
1 i =1
2n
=
≤
n
n
n
8
8
1
2n
ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an = 1 ⇔ tan x1 = tan x2 = ... = tan xn = 1
π
⇔ x1 = x 2 = ... = xn = .
4
Nh n xét : Qua các ví d trên, ta có ñư c k t qu t ng quát sau
ð nh lí 4 : Cho hàm s y = f (x ) có ñ o hàm c p hai trên a;b và n s a1, a2,..., an
n m trong ño n a;b th a mãn :
n
∑ ai
= k, na ≤ k ≤ nb .
i =1
• N u f ''(x ) > 0 ∀x ∈ a;b thì ta có :
• N u f ''(x ) < 0 ∀x ∈ a;b thì ta có :
n
k
∑ f (ai ) ≥ nf (n )
i =1
n
1
k
∑ f (ai ) ≤ n f (n ) .
i =1
Ví d 8. Cho tam giác ABC có m t góc không nh hơn
tan
2π
. Ch ng minh r ng :
3
A
B
C
+ tan + tan ≥ 4 − 3 .
2
2
2
L i gi i.
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
8
Không m t tính t ng quát, ta gi s A ≥
2π
π
> B ≥C ⇒C ≤ .
3
6
π
π
Hàm s f (x ) = tan x , x ∈ 0; có f ''(x ) > 0 ∀x ∈ 0; . Áp d ng BðT ti p tuy n, ta
3
3
có
A
π A π
π
f ( ) ≥ f '( )( − ) + f ( )
2
3 2 3
3
B
π B π
π
f ( ) ≥ f '( )( − ) + f ( )
2
12 2 12
12
C
π C π
π
f ( ) ≥ f '( )( − ) + f ( ) .
2
12 2 12
12
A
⇒ f +
2
B
f +
2
C π
π A 2π
f ≥ f '( ) − f '( ) −
12 2
3
2 3
π A + B +C π
−
+ f '( )
12
2
2
π
+ f + 2f
3
π
π
A
π
Do f ' − f ' > 0; − ≥ 0 và
2 3
3
12
A
B
C
π
f + f + f ≥ f + 2f
2
2
2
3
ð ng th c x y ra ⇔ A =
π
12
A + B +C π
=
nên ta có :
2
2
π
= 4 − 3 ñpcm.
12
2π
π
;B = C =
và các hoán v .
3
6
Ví d 9. Cho các s th c không âm a,b, c th a max {a, b, c} ≥
3
và a + b + c = 1 . Tìm
4
GTNN c a bi u th c : P = 3 1 + 3a 2 + 3 1 + 3b2 + 3 1 + 3c 2 .
L i gi i.
3
4
1
8
Không m t tính t ng quát, ta gi s a = max {a, b, c} ⇒ a ≥ , c ≤ .
Xét hàm s f (x ) = 3 1 + 3x 2 , x ∈ ( 0;1) có f '(x ) =
⇒ f ''(x ) =
2 − 2x 2
3
2 5
(1 + 3x )
2x
3
(1 + 3x 2 )2
> 0 ∀x ∈ (0;1) . Áp d ng BðT ti p tuy n, ta có :
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
9
3
3
3
1
1
1
1
1
1
f (a ) ≥ f '( )(a − ) + f ( ) ; f (b) ≥ f '( )(b − ) + f ( ) ; f (c) ≥ f '( )(c − ) + f ( )
4
4
4
8
8
8
8
8
8
3
3
1
3
3
1
3
1
172 + 23 67
.
⇒ f (a ) + f (b) + f (c) ≥ f '( ) − f '( ) (x − ) + f ( ) + 2 f ( ) ≥ f ( ) + 2 f ( ) =
8
4
4
8
4
8
4
4
3
4
ð ng th c x y ra ⇔ a = ;b = c =
V y min P =
3
1
và các hoán v .
8
172 + 23 67
.
4
Nh n xét : Trong m t s trư ng h p ñ th hàm s y = f (x ) có kho ng l i, lõm trên
a; b nhưng ta v n có ñư c ñánh giá : f (x ) ≥ f '(x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 ) ,x 0 ∈ (a; b) . Ch ng
h n các b n xem ñ th minh h a dư i ñây.
y
_
a
x
_
O
_ x0
b
Ví d 10: Cho a, b, c ∈ ℝ và a + b + c = 6 . Ch ng minh r ng :
a 4 + b 4 + c 4 ≥ 2(a 3 + b 3 + c 3 ) .
L i gi i:
BðT ñã cho ⇔ (a 4 − 2a 3 ) + (b 4 − 2b 3 ) + (c 4 − 2c 3 ) ≥ 0 ⇔ f (a ) + f (b) + f (c) ≥ 0
Trong ñó f (x ) = x 4 − 2x 3 . Ta th y f ''(x ) = 12x 2 − 12x nên ñ th hàm s f có kho ng
l i và kho ng lõm do ñó ta không th áp d ng BðT ti p tuy n ñư c. Tuy nhiên ta
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
10
v n có th ñánh giá ñư c f (x ) qua ti p tuy n c a nó t i ñi m có hoành ñ x = 2 (vì
ñ ng th c x y ra khi a = b = c = 2 )
Ta có ti p tuy n c a ñ th hàm s t i y = f (x ) ñi m có hoành ñ x = 2 là: y = 8x − 16 .
f (x ) − (8x − 16) = x 4 − 2x 3 − 8x + 16 = (x − 2)2 (x 2 − 2x + 4) ≥ 0 ∀x ∈ ℝ .
⇒ f (a ) + f (b ) + f (c ) ≥ 8(a + b + c) − 48 = 0 (ñpcm).
Chú ý. Vì y = 8x − 16 là ti p tuy n c a ñ th hàm s f (x ) = x 4 − 2x 3 t i ñi m có
hoành ñ x = 2 nên ta có s phân tích: f ( x ) − ( 8x − 16 ) = (x − 2 ) g (x ) v i k ≥ 2 và
k
g (2) ≠ 0 .
Ví d 11: Cho a, b, c ≥ −
a
a2 + 1
+
3
và a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng:
4
b
b2 + 1
+
c
c2 + 1
≤
9
. ( Vô ñ ch Toán Ba Lan 1996)
10
L i gi i.
Ta th y ñ ng th c x y ra khi a = b = c =
f (a ) + f (b) + f (c) ≤
1
và Bñt ñã cho có d ng:
3
9
x
3 5
trong ñó f (x ) =
v i x ∈ [− ; ] .
10
4 2
x2 + 1
Ti p tuy n c a ñ th hàm s y = f (x ) t i ñi m có hoành ñ x =
Ta có:
V y:
1
36x + 3
là : y =
.
3
50
(3x − 1)2 (4x + 3)
x
36x + 3
36x + 3
3 5
− f (x ) =
−
=
≥ 0 ∀x ∈ [ − ; ]
2
2
50
50
4 2
x +1
50(x + 1)
a
a2 + 1
+
b
b2 + 1
+
c
c2 + 1
≤
36(a + b + c) + 9
9
=
ñpcm.
50
10
Ví d 12 : Cho các s th c a, b, c > 0 tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh :
a
b
c
9
+
+
≥
.
1 + bc 1 + ac 1 + ab 10
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
11
L i gi i. Ta có :
b +c 2
1−a 2
a +c 2
1−b 2
b +a 2
1−c 2
bc ≤ (
) =(
) ; ca ≤ (
) =(
) ; ab ≤ (
) =(
) nên
2
2
2
2
2
2
a
b
c
4a
4b
4c
+
+
≥
+
+
= f (a ) + f (b) + f (c) .
1 + bc 1 + ac 1 + ab a 2 − 2a + 5 b 2 − 2b + 5 c 2 − 2c + 5
(Nh n xét : ð ng th c x y ra khi a = b = c =
s f (x ) =
4x
x 2 − 2x + 5
M t khác:
⇒
t i ñi m có hoành ñ x =
4x
x 2 − 2x + 5
4a
+
a 2 − 2a + 5
−
1
và ti p tuy n c a ñ th hàm
3
1
99x − 3
là : y =
)
3
100
99x − 3 (3x − 1)2 (15 − 11x )
=
≥ 0 ∀x ∈ (0;1)
2
100
100(x − 2x + 5)
4b
b 2 − 2b + 5
+
4c
c 2 − 2c + 5
≥
99(a + b + c) − 9
9
=
ñpcm.
100
10
Ví d 13. Cho a, b, c là ñ dài ba c nh tam giác. Ch ng minh r ng :
1
1 1 1
9
1
1
+ + +
≥ 4
+
+
.
a b c a +b +c
a + b b + c c + a
L i gi i. Không làm m t tính t ng quát ta gi s a + b + c = 1 , khi ñó Bñt ñã cho tr
5a − 1
thành
a −a
2
+
5a − 1
b −b
2
+
5c − 1
c −c
2
≤ 9.
1
2
Vì a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác và a + b + c = 1 suy ra a, b, c ∈ (0; ) .
Ta có :
⇒
5a − 1
a − a2
− (18a − 3) =
(3a − 1)2 (2a − 1)
a − a2
1
≤ 0 ∀a ∈ (0; )
2
5a − 1
1
≤ 18a − 3 ∀a ∈ (0; ) .
2
a − a2
Ta cũng có hai Bñt tương t . C ng các Bñt này l i v i nhau ta có:
5a − 1
a −a
2
+
5a − 1
b −b
2
+
5c − 1
c −c
2
≤ 18(a + b + c) − 9 = 9 (ñpcm).
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
12
1
3
ð ng th c x y ra khi a = b = c = .
Ví d 14. Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh r ng :
(b + c − a )2
(b + c)2 + a 2
+
(c + a − b)2
(c + a )2 + b 2
+
(a + b − c)2
(a + b)2 + c 2
≥
3
.
5
(Olympic Toán Nh t B n 1997)
L i gi i . Vì Bñt c n ch ng minh là thu n nh t nên ta ch c n ch ng minh Bñt ñúng
v i m i s th c dương a, b, c th a mãn a + b + c = 1 . Khi ñó Bñt ñã cho tr thành:
(1 − 2a )2
(1 − a )2 + a 2
⇔
⇔
+
(1 − 2b)2
(1 − b)2 + b2
4a 2 − 4a + 1
2a 2 − 2a + 1
1
2
2a − 2a + 1
+
+
+
(1 − 2c)2
(1 − c)2 + c 2
4b2 − 4b + 1
2b2 − 2b + 1
1
2
2b − 2b + 1
⇔ f (a ) + f (b) + f (c) ≤
1
+
4c 2 − 4c + 1
≥
3
5
≤
27
5
2c 2 − 2c + 1
1
2
2c − 2c + 1
27
.
5
Trong ñó f (x ) =
+
3
5
≥
2x 2 − 2x + 1
v i x ∈ (0;1) .
Ti p tuy n c a ñ th hàm s y = f (x ) t i ñi m có hoành ñ x =
Ta có:
1
54x + 27
là : y =
3
25
2(54x 3 − 27x 2 + 1) 2(3x − 1)2 (6x + 1)
54x + 27
− f (x ) =
=
≥ 0 ∀x ∈ (0;1)
2
2
25
25(2x − 2x + 1)
25(2x − 2x + 1)
⇒ f (a ) + f (b) + f (c) ≤
54(a + b + c) + 81 27
=
25
5
ñpcm.
Trong các ví d trên ta ch xét các BðT ñ i x ng ba bi n và ñ ng th c x y ra khi các
bi n b ng nhau. Ph n ti p theo ta s ñi xét m t s BðT không ñ i x ng ho c BðT
ñ i x ng nhưng ñ ng th c x y ra khi có ít nh t hai bi n không b ng nhau.
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
13
Ví d 15: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng:
10(a 3 + b 3 + c 3 ) − 9(a 5 + b 5 + c 5 ) ≥ 1 (Trung Qu c 2005).
L i gi i: Gi s a ≥ b ≥ c .
Xét hàm s f (x ) = 10x 3 − 9x 4 , x ∈ (0;1) có f '(x ) = 30x 2 − 45x 4 ⇒ f ''(x ) = 60x − 180x 3
⇒ f ''(x ) = 0 ⇔ x = x 0 =
1
ñ ng th i f ''(x ) > 0 ∀x ∈ (0; x 0 ) và f ''(x ) < 0 ∀x ∈ (x 0 ;1) .
3
• N u a < x 0 . Áp d ng BðT ti p tuy n ,ta có:
1
1
1
f (a ) ≥ f ' a − + f
3
3
3
1
1
f (b) ≥ f ' b − +
3
3
1
f
3
1
1
1
f (c) ≥ f ' c − + f
3
3
3
1
⇒ f (a ) + f (b) + f (c) ≥ f ' a + b + c − 1 + 3 f
3
(
)
1
= 1.
3
• N u a > x 0 . Áp d ng BðT ti p tuy n và cát tuy n ta có:
f (a ) ≥
f (1) − f (x 0 )
1 − x0
(a − 1) + f (1) > f (1) = 1 .
( )(
)
()
( )(
)
()
f (b) ≥ f ' 0 b − 0 + f 0 = 0
f (c) ≥ f ' 0 c − 0 + f 0 = 0
⇒ f (a ) + f (b) + f (c) > 1 .
Ví d 16: Cho ∆ABC nh n. Tìm GTLN c a bi u th c: F = sin A. sin2 B. sin2 C .
L i gi i:
Ta có : ln F = ln sin A + 2 ln sin B + 3 ln sin C
π
Xét hàm s f (x ) = ln sin x, x ∈ (0; ) ⇒ f '(x ) = cot x ⇒ f ''(x ) = −
2
π
∀x ∈ 0;
2
sin2 x
1
Áp d ng BðT ti p tuy n v i ∆MNP nh n, ta có :
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
14
(
)
(
(
)
(
(
)
)
f (A) ≤ f '(M ) A − M + f (M ) = A − M cot M + ln sin M
)
f (B ) ≤ f '(N ) B − N + f (N ) = B − N cot N + ln sin N
(
)
f (C ) ≤ f '(P ) C − P + f (P ) = C − P cot P + ln sin P
⇒ tan M .f (A) + tan N .f (B ) + tan P .f (C ) ≥ tan M ln sin M + tan N . ln sin N + tan P . ln sin P
Ch n ba góc M , N , P sao cho :
tan M tan N
tan P
=
=
= k ⇒ tan M = k ; tan N = 2k ; tan P = 3k
1
2
3
M t khác : tan M + tan N + tan P = tan M . tan N . tan P
⇒ 6k = 6k 3 ⇒ k = 1 ⇒ sin M =
⇒ f (A) + f (B ) + f (C ) ≤ ln
⇒F ≤
27
25 5
1
2
tan M
1 + tan2 M
2
+ 2 ln
5
+ 3 ln
=
1
3
10
2
; sin N =
= ln
2
5
; sin P =
3
10
27
25 5
. ð ng th c x y ra ⇔ A = M ; B = N ;C = P .
V y GTLN c a F =
27
.
25 5
Nh n xét : T cách gi i trên, ta có ñư c cách gi i cho bài toán t ng quát sau :
Cho ∆ABC nh n. Tìm GTLN c a E = sinm A. sinn B. sin p C , v i m, n, p là nh ng s
th c dương. (Xem
ph n bài t p)
Ví d 17 : Cho tam giác ABC nh n. Tìm GTNN c a bi u th c :
F = tan A + 2 tan B + 3 tan C .
L i gi i : (D a theo l i gi i c a 2M)
π
2
Xét hàm s f (x ) = tan x, x ∈ 0; , có f '(x ) = 1 + tan2 x
⇒ f ''(x ) = 2 tan x (1 + tan2 x ) > 0,
π
∀x ∈ 0; .
2
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
15
Áp d ng BðT ti p tuy n v i ∆MNP nh n, ta có :
1
f (A) ≥ f '(M )(A − M ) + f (M ) =
2
(A − M ) + tan M
cos M
⇒ cos2 M .f (A) ≥
1
sin 2M + A − M
2
1
2
1
2
Tương t : cos2 N .f (B ) ≥ sin 2N + B − N ; cos2 P .f (C ) ≥ sin 2P + C − P
⇒ cos2 M .f (A) + cos2 N .f (B ) + cos2 P .f (C ) ≥
sin 2M + sin 2N + sin 2P
.
2
Ta ch n các góc M , N , P sao cho : cos M = k > 0; cos N = 2k ; cos P = 3k
Vì M , N , P là ba góc c a tam giác nên ta có ñ ng th c :
cos2 M + cos2 N + cos2 P + 2 cos M . cos N . cos P = 1
⇒ (1 + 2 + 3)k + 2 6k 3 = 1 ⇒ k là nghi m dương c a phương trình :
2 6x 3 + (1 + 2 + 3)x − 1 = 0
(1).
⇒ sin 2M = 2 1 − cos2 M . cos M = 2k 1 − k 2 ;
sin 2N = 2k 2(1 − 2k 2 ); sin 2P = 2k 3(1 − 3k 2 )
⇒F ≥
sin 2M + sin 2N + sin 2P
2k 2
V y GTNN c a F =
=
1 − k 2 + 2(1 − 2k 2 ) + 3(1 − 3k 2 )
k
1 − k 2 + 2(1 − 2k 2 ) + 3(1 − 3k 2 )
k
.
ñ t ñư c khi
A = M ; B = N ;C = P
V i M , N , P là ba góc c a tam giác nh n ñư c xác ñ nh b i :
cos M = k > 0; cos N = 2k ; cos P = 3k , trong ñó k là nghi m dương duy nh t c a
PT (1).
Nh n xét : Tương t cách làm trên, ta cũng tìm ñư c giá tr nh nh t c a bi u th c
F = m. tan A + n. tan B + p. tan C , trong ñó m, n, p là các s th c dương và A, B, C là ba
góc c a tam giác nh n (Xem
ph n bài t p).
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
16
Ví d 18: Cho x , y, z > 0 th a x + y + z = 1 . Tìm GTNN c a :
4
P = x 3 + 1 + y2 + 1 + z 4 .
L i gi i:
Ta có các hàm s f (t ) = t 3 ; g(t ) = 1 + t 2 ; h(t ) = 4 1 + t 4 , t ∈ (0;1) là nh ng hàm s có
ñ o hàm c p hai dương trên kho ng (0;1) . Nên v i a, b, c > 0 th a a + b + c = 1 áp d ng
BðT ti p tuy n, ta có:
f (x ) ≥ f '(a )(x − a ) + f (a ) ; h(y ) ≥ h '(b )(y − b) + h(b) ;
g (z ) ≥ g '(c )(z − c) + g(c)
k
2
a =
3a = k
3
b
k
=k
⇔ b =
Ta ch n a, b, c sao cho f '(a ) = g '(b) = h '(c) = k ⇔
1 + b2
1 − k2
3
c3
k
c =
=k
4
4
4 3
1 − k3k
(1 + c )
Do a + b + c = 1 ⇔
k
+
3
k
1−k
+
2
3
4
k
3
(1)
= 1 (2).
1−k k
D th y phương trình (2) luôn có nghi m trong kho ng (0;1) .
⇒ P = f (x ) + g(y ) + h(z ) ≥ f (a ) + h(b) + g(c) =
k 3k
+
9
1
1 − k2
+
1
4
1 − k3k
ð ng th c x y ra ⇔ x = a; y = b; z = c .
V y min P =
k 3k
+
9
1
1−k
2
+
1
4
v i k là nghi m n m trong (0;1) c a (2).
3
1−k k
Ví d 19. (BðT Jensen). Cho hàm s y = f (x ) liên t c và có ñ o hàm c p hai trên
(a; b ) và n
s th c dương α1, α2 ,..., αn có t ng b ng 1.
n
a) N u f ''(x ) > 0 ∀x ∈ (a; b) thì ta có: ∑ αi f (xi ) ≥ f ∑ αi xi
i =1
i =1
n
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
17
v i ∀xi ∈ (a; b ) i = 1, n . ð ng th c có khi x1 = x2 = .. = xn .
n
b) N u f ''(x ) < 0 ∀x ∈ (a; b) thì ta có: ∑ αi f (xi ) ≤ f ∑ αi xi
i =1
i =1
n
v i ∀xi ∈ (a; b ) i = 1, n . ð ng th c có khi x1 = x2 = .. = xn .
L i gi i.
a) ð t y = α1a1 + α2a2 + ... + αnan ⇒ y ∈ (a;b) .
Vì f ''(x ) > 0 nên áp d ng BðT ti p tuy n, ta có:
(
)
f (ai ) ≥ f '(y ) ai − y + f (y ) ∀i = 1,2,.., n
(
)
⇒ αi f (ai ) ≥ f '(y ) αiai − αi y + αi f (y ) ∀i = 1,2,.., n
n
⇒ ∑ αi f (ai ) ≥ f '(y )∑ (αiai − αi y ) + f (y )∑ αi = f (y ) = f ∑ αiai .
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
n
b) Ch ng minh tương t .
Ví d 20. (2M) Cho hai b s th c dương x1, x2,..., xn và a1, a2,..., an th a mãn:
n
∑ xi =
i =1
n
∑ ai . Ch ng minh r ng:
i =1
n
n
∏ xi i ≥ ∏ ai i
a
i =1
a
.
i =1
L i gi i.
n
i =1
BðT c n ch ng minh ⇔
n
i =1
∑ ai ln xi ≥ ∑ ai ln ai .
Hàm s f (x ) = ln x là hàm l i, nên áp d ng BðT ti p tuy n ta có:
1
f (xi ) ≤ f '(ai )(xi − ai ) + f (ai ) = (xi − ai ) + f (ai )
ai
⇒ ai f (xi ) ≤ xi − ai + ai f (ai ) ⇒
n
∑ ai f (xi ) ≤
i =1
n
∑ (xi − ai ) +
i =1
n
∑ ai f (ai ) =
i =1
n
∑ ai f (ai )
i =1
n
i =1
⇒
n
i =1
∑ ai ln xi ≤ ∑ ai ln ai
ñpcm.
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
18
Chú ý: ði u thú v là BðT Cô si l i là m t h qu c a bài toán trên. Th t v y:
n
∑ xi
Cho a1 = a2 = ... = an =
n
∑ xi
n
n
1
∏ xi ≤ ∏ ai = i =n
i =1
i =1
i =1
. Khi ñó BðT ñã cho tr thành:
n
n
( do a1 = a2 = ... = an )
n
∑ xi
⇒ i =1
n
n
≥ n ∏ xi ñây chính là BðT Cô Si cho n s .
i =1
Bài t p áp d ng
1. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh:
b +c
a2
+
c +a
b2
+
a +b
≥
c2
1 1 1
+ +
a b c
2. Cho a, b, c > 0 th a a + b + c ≥ 3 . Ch ng minh r ng:
1
2
a +b +c
+
1
2
b +c +a
+
1
2
c +a +b
3. Cho x , y, z ≤ 1 th a x + y + z = 1 . Ch ng minh r ng:
≤1
1
1 + x2
+
1
1 + y2
+
1
1 + z2
≤
27
10
1
2
4. Cho các s th c a1, a2 ,..., an ∈ 0; và a1 + a2 + ... + an = 1 . Ch ng minh
1
1
1
n
− 1 ≥ n − 1 .
− 1 − 1 ...
a
a
a
1
2
n
(
)
π
5. Cho a, b, c, d ∈ (0; ) và a + b + c + d = π . Ch ng minh
2
2 sin a − 1
2 sin b − 1
2 sin c − 1
2 sin d − 1
+
+
+
≥ 0.
cos a
cos b
cos c
cos d
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
19
n
6. Cho n s th c dương tho mãn: ∑ xi = n . Cmr:
i =1
x1
2
1 + x1
+ ... +
xn
2
1 + xn
≤
1
1
( New Zealand 1998).
+ ... +
1 + x1
1 + xn
7. Cho tam giác ABC . Tìm GTNN c a bi u th c
A
A
π B
B
π C
C
) cot + tan2 ( − ) cot + tan2 ( − )cot .
4 4
4
4 4
4
4 4
4
8. Cho tam giác ABC . Ch ng minh r ng
A
B
C
cos
cos
cos
2 +
2 +
2 < 2.
3≤
A
B
C
1 + sin
1 + sin
1 + sin
2
2
2
9. Cho tam giác ABC nh n và m, n, k > 0 . Tìm:
P = tan2 (
π
−
1) Giá tr l n nh t c a F = sinm A. sinn B sink C .
2) Giá tr nh nh t c a F = m tan A + n tan B + k tan C
10. Cho n s th c không âm a1, a2 ,..., an có t ng b ng 1. Ch ng minh: n a1a2 ...an ≤
1
n
(BðT Cauchy).
11. Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh:
(2a + b + c)2
2
2
2a + (b + c)
+
(2b + c + a )2
2
2
2b + (c + a )
+
(2c + a + b)2
2
2
2c + (a + b)
≤ 8 (M - 2003 ).
12. Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh:
b +c c +a a +b
a
b
c
).
+
+
≥ 4(
+
+
a
b
c
b +c c +a a +b
a
b
c
9
13. Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh:
+
+
≥
.
(b + c)2 (c + a )2 (a + b)2 4(a + b + c)
14. Cho a, b, c > 0 và a 2 + b2 + c2 = 1 . Ch ng minh :
1 1 1
( + + ) − (a + b + c) ≥ 2 3 .
a b c
15. Cho x , y, z > 0 . Ch ng minh:
xyz (x + y + z + x 2 + y 2 + z 2 )
(x 2 + y 2 + z 2 )(xy + yz + zx )
≤
3+ 3
.( H ng Kông
9
1997)
IV. K T QU
• H c sinh h ng thú và chú ý hơn khi h c các khái ni m Toán h c.
Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa
20
- Xem thêm -
.PDF 
21 
140 
109 
