Tài liệu Tóm tắt công thức toán 10-11-12

TÓM TẮT CÔNG THỨC TOÁN 10,11,12 CHỦ ĐỀ 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. Hệ thức Cơ bản sin α cos α 1) sin 2α + cos 2α = 1 2) tan α = 1 5) 1 + tan α = cos 2 α 1 6) 1 + cot α = sin 2 α 2 Đối: α ; −α 2 Bù: α ; π − α cos α sin α ∀k ∈ ℤ  7) sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cos α  3) cot α = 4) tanα .cotα = 1 ∀k ∈ ℤ  8)  tan(α + kπ ) = tan α cot(α + kπ ) = cot α  B. Cung Liên kết π Khác pi: α ; π + α Phụ: α ; − α 2 Pi π : α; + α 2 2 π  sin  + α  = cos α 2   Khác sin(−α ) = − sin α sin(π − α ) = sin α π  sin  − α  = cos α 2   sin(π + α ) = − sin α cos( −α ) = cos α cos(π − α ) = − cos α π  cos  − α  = sin α 2  cos(π + α ) = − cos α π  cos  + α  = − sin α 2  tan( −α ) = − tan α tan(π − α ) = − tan α π  tan  − α  = cot α 2  tan(π + α ) = tan α π  tan  + α  = − cot α 2  cot( −α ) = − cot α cot(π − α ) = − cot α π  cot  − α  = tan α 2   cot(π + α ) = cot α π  cot  + α  = − tan α 2   Sin bù Phụ chéo Mẹo nhớ: Cos đối Hơn kém Pi: tang, cotang Hơn kém pi/2: sin bạn C. Công thức Cộng ∗ sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b ∗ sin(a − b) = sin a.cos b − cos a.sin b Ngược lại ta có: sina.cosb + cosa.sinb = sin(a + b) sina.cosb - cosa.sinb = sin(a - b) Mẹo nhớ: Sin thì sin cos cos sin Cos thì cos cos sin sin dấu trừ. tan(a + b) = Mẹo nhớ: tan a + tan b 1 − tan a.tan b ∗ cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b ∗ cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b Ngược lại ta có: cosa.cosb – sina.sinb = cos(a + b) cosa.cosb + sina.sinb = cos(a - b) Hoặc: Mẹo nhớ: Cốt thì cốt cốt sin sin Sin thì sin cốt cốt sin rõ ràng Cốt thì đổi dấu hỡi nàng Sin thì giữ dấu xin chàng nhớ cho. ( ST) tan(a − b) = tan a − tan b 1 + tan a.tan b cos, cos ‘thù’ sin Tang tổng thì lấy tổng tang Chia một trừ với tích tang, ra rồi. D. Công thức Nhân đôi, Nhân ba: 2) cos 2α = cos 2 α − sin 2 α 1) sin 2α = 2sin α .cos α NGƯỢC LẠI: 1 sin α.cos α = sin 2α 2 1 sin 2 α. cos2 α = sin 2 2α 4 = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α NGƯỢC LẠI: 1 – 2sin2 α = cos2 α 2cos2 α –1 = cos2 α cos2 α – sin2 α = cos 2 α 4) sin 3α = 3sin α − 4sin α 3 5) cos3α = 4cos α − 3cos α Cách nhớ công thức 4 và 5: Ba sỉn trừ 4 sin ba Bốn cô ba trừ ba cô. 3) tan 2α = 2 tan α 1 − tan 2 α 6) tan 3α = 3 tan α − tan 3 α 1 − 3 tan 2 α 3) tan 2 α = 1 − cos 2α 1 + cos 2α 3 Cách nhớ công thức 4 và 5: Ba sỉn trừ 4 sin ba Bốn cô ba trừ ba cô. E. Công thức Hạ bậc: 1 − cos 2α 2 NGƯỢC LẠI TA CÓ 1 + cos 2α 2 NGƯỢC LẠI TA CÓ 1) sin 2 α = 2) cos 2 α = 1 − cos 2α = 2 sin 2 α 1 + cos 2α = 2 cos2 α F. Biến đổi Tổng thành Tích: a+b a−b .cos 2 2 a+b a−b 3) sin a + sin b = 2 sin .cos 2 2 a+b a −b .sin 2 2 a+b a −b 4) sin a − sin b = 2 cos .sin 2 2 1) cos a + cos b = 2 cos 2) cos a − cos b = − 2 sin Mẹo nhớ công thức 1,2,3,4: Sin cộng sin bằng 2 sin cos Sin trừ sin bằng 2 cos sin Cos cộng cos bằng 2 cos cos Cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin Trong đó tổng trước hiệu sau, nhớ chia đôi. sin(a + b) cos a.cos b π π   7) sin α + cos α = 2.sin  α +  = 2.cos  α −  4 4   5) tan a + tan b = 6) tan a − tan b = 8) sin α − cos α = sin(a − b ) cos a.cos b π π   2 sin  α −  = − 2 cos  α +   4  4 G. Công thức biến đổi tích thành tổng 1) 2) cos a.cos b = 1 2 [cos( a + b) + cos( a − b) ] sin a.sin b = − 3) 1 2 [cos(a + b) − cos( a − b)] sin a.cos b = 1 2 [sin(a + b) + sin(a − b) ] CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC u = v + k 2π u = v + k 2π 3) cos u = cos v ⇔  (k ∈ ℤ) 1) sin u = sin v ⇔  (k ∈ ℤ) u = −v + k 2π u = π − v + k 2π  X = α 0 + k 3600  X = α 0 + k 360 0 0 2) sin X = sin α ⇔  (k ∈ ℤ) 4) cos X = cos α ⇔  (k ∈ ℤ) 0 0 0 0 0  X = 180 − α + k 360  X = −α + k 360 Nếu sin u = m ∈ [ −1;1] và 3 2 1   ;± ; ± ;0  thì: m ∉ ±1; ± 2 2 2   3 2 1   ;± ; ± ;0  thì: Nếu cos u = m ∈ [ −1;1] và m ∉ ±1; ± 2 2 2   u = arcsin m + k 2π sin u = m ⇔  (k ∈ ℤ) u = π − arcsin m + k 2π Nếu sin u = m ∉ [ −1;1] thì: sin u = m ⇔ u ∈∅ sin u = 1 ⇔ u = Đặc biệt: π 2 cos u = m ⇔ u = ± arccos m + k 2π ( k ∈ ℤ ) Nếu cos u = m ∉ [ −1;1] thì: cos u = m ⇔ u ∈∅ + k 2π sin u = −1 ⇔ u = − π 2 cos u = 1 ⇔ u = k 2π + k 2π ( k ∈ ℤ) sin u = 0 ⇔ u = kπ cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π 3   ;0  thì: Nếu tan u = m ∉ ± 3; ±1; ± 3   ( k ∈ ℤ) π + kπ 2 MẸO NHỚ: GẶP SỐ 0 cộng kpi, gặp số 1 và – 1 cộng k2pi cos u = 0 ⇔ u = MẸO NHỚ: GẶP SỐ 0 cộng kpi, gặp số 1 và – 1 cộng k2pi 3) tan u = tan v ⇔ u = v + kπ ( k ∈ ℤ ) tan u = m ⇔ u = arctan m + kπ Đặc biệt: 4) cot u = cot v ⇔ u = v + kπ ( k ∈ ℤ) 3   ;0  thì: Nếu cot u = m ∉ ± 3; ±1; ± 3   ( k ∈ ℤ) cot u = m ⇔ u = arc cot m + kπ ( k ∈ ℤ) Lưu ý: Điều kiện để hàm tan u có nghĩa là Lưu ý: Điều kiện để hàm cot u có nghĩa là π u ≠ + kπ , k ∈ ℤ . Tuy vậy, phương trình tan u = m u ≠ k π , k ∈ ℤ . Tuy vậy, phương trình cot u = m luôn có 2 nghi ệm, vì vậy không cần đặt điều kiện cho nó. luôn có nghiệm, vì vậy không cần đặt điều kiện. Kỹ thuật 1: Làm mất dấu TRỪ Ví dụ:  − sin α = sin(−α )  − cos α = cos(π − α )  − tan α = tan(−α )    π π π sinx −  + sin x = 0 ⇔ sinx −  = −sin x ⇔ sinx −  = sin(−x) 4  4  4       x − π = −x + k2π  π 4 ⇔ ⇔ x = + kπ ( k ∈ ℤ).  8 π  x − = π + x + k2π (voâ nghieäm)  4  − cot α = cot(−α ) Kỹ thuật 2: Biến đổi CHÉO π   sin α = cos  − α  2  π   cos α = sin  − α  2  π   tan α = cot  − α  2   π   cot α = tan  − α  2  Ví dụ: π π k 2π   2 x = − x + k 2π x= +   2 π  6 3 ⇔ (k ∈ ℤ). sin 2 x = cos x ⇔ sin 2 x = sin  − x  ⇔  2   2 x = π −  π − x  + k 2π  x = π + k 2π     2 2  Phương trình a sin x + b cos x = c (với a 2 + b 2 ≥ c 2 ) a sin x + b cos x = c a b c ⇔ sin x + cos x = 2 2 2 2 2 a +b a +b a + b2 c ⇔ sin x.cos α + cos x.sin α = a2 + b2 a b , sin α = (với cos α = ) 2 2 2 a +b a + b2 ⇔ sin( x + α ) = sin β ⇔ ......... với sin β = Phương trình a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = d  Trường hợp 1: Xét cos x = 0  sin 2 x = 1 . Ta có hệ sin 2 x = 1 sin 2 x = 1 ⇔ ⇔ .............(1) sau:  2 a sin x = d a = d  Trường hợp 2: Xét cos x ≠ 0 , chia hai vế phương trình cho cos 2 x , ta có: c a + b2 2 a tan 2 x + b tan x + c = d (1 + tan 2 x) ⇔ ......... (2)  Hợp nghiệm của (1), (2) ta có tập nghiệm của phương trình đã cho.  Lưu ý: Phương trình a sin x + b cos x = c chỉ có nghiệm khi và chỉ khi a 2 + b 2 ≥ c 2 . Cách giải phương trình bậc 2 [ CHỦ ĐỀ 3: TỔ HỢP – XÁC SUẤT QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN Nếu phép đếm được chia ra nhiều trường hợp, ta Nếu phép đếm được chia ra làm nhiều công đoạn, ta sẽ nhân sẽ cộng các kết quả lại. các kết quả của mỗi công đoạn ấy. HOÁN VỊ TỔ HỢP  Sắp xếp (đổi chỗ) của n phần tử khác nhau, ta có số cách xếp là Pn = n ! với  Chọn k phần tử từ n phần tử  Chọn k phần tử từ n phần tử (có sắp (không sắp xếp thứ tự), ta có số cách xếp thứ tự), ta được số cách chọn là chọn là Cnk . n∈ℕ .  n! = 1.2..... ( n − 1) n . Cnk =   Quy ước sốc: 0! = 1. Một số tính chất:  Công thức: P( A) = XÁC SUẤT CHỈNH HỢP Ank .  k ∈ ℕ, n ∈ ℕ * n! v ới  . ( n − k )!k ! 0 ≤ k ≤ n  Cnk = Cnn −k Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 n( A) n (Ω )  Tính chất: 0 ≤ P( A) ≤ 1 . Trong đó: n( A) : số phần tử của tập biến cố A n (Ω) : số phần tử không gian mẫu; P ( A) là xác suất để biến cố A xảy ra với A ⊂ Ω .  Nếu A, B là hai biến cố xung khắc với nhau thì P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) . Ank =  k ∈ ℕ , n ∈ ℕ* .  0 ≤ k ≤ n n! với ( n − k )! Ank = k !Cnk P(∅) = 0; P(Ω) = 1 . P ( A) = 1 − P ( A) với A là biến cố đối của A .  Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì P ( A.B ) = P ( A) .P ( B ) . CHỦ ĐỀ 4: KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIU -TƠN  Khai triển dạng liệt kê: (với n ∈ ℕ * ) Khai triển tổng quát: (a + b) n = Cn0 a n + Cn1a n −1b + Cn2 a n − 2b 2 + ......... + Cnn −1ab n −1 + Cnn b n .  Đặc biệt: (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ......... + Cnn −1 x n −1 + Cnn x n (*). n  Hệ quả 1: Cn0 + Cn1 + Cn2 + ......... + Cnn−1 + Cnn = 2n (tức là thay x = 1 vào (*)).  Hệ quả 2: Với n chẵn, chỉ cần thay x = −1 vào (*), ta có: Cn0 − Cn1 + Cn2 − ......... − Cnn −1 + Cnn = 0 ⇔ Cn0 + Cn2 + Cn4 ...... + Cnn = Cn1 + Cn3 + ......Cnn −1  Khai triển: ( a + b) n n =  Cnk a n − k bk . Số hạng tổng quát: Tk +1 = Cnk a n − k b k k =0 (với n ∈ ℕ * )  Phân biệt hệ số và số hạng: Cnk (−1)k a n−kbk . xα . Số hạng không chứa x ứng với α = 0.  HEÄ SOÁ   SOÁ HAÏNG CHỦ ĐỀ 5: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN 1. Định nghĩa: 1. Định nghĩa:  Dãy số ( un ) được gọi là cấp số cộng khi và chỉ  Dãy số ( un ) được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi khi un +1 = un + d với n ∈ ℕ * , d là hằng số. un +1 = un .q với n ∈ ℕ * , q là hằng số.  Cấp số cộng như trên có số hạng đầu u1 , công  Cấp số nhân như trên có số hạng đầu u1 , công bội q . 2. Số hạng tổng quát: sai d . 2. Số hạng tổng quát:  un = u1.q n −1 với n ∈ ℕ * . *  un = u1 + (n − 1)d với n ∈ ℕ . 3. Tính chất các số hạng: 3. Tính chất các số hạng:  uk −1 .uk +1 = uk2 với k ∈ ℕ và k ≥ 2. *  uk −1 + uk +1 = 2uk với k ∈ ℕ và k ≥ 2. 4. Tổng n số hạng đầu tiên: 4. Tổng n số hạng đầu tiên: u (1 − q n )  Sn = u1 + u2 + ... + un = 1 với q ≠ 1. (u1 + un )n 1− q  S n = u1 + u2 + ... + un = . 2 CHỦ ĐỀ 6: GIỚI HẠN DÃY SỐ - HÀM SỐ 1.1. Dãy số có giới hạn 0: 1 1 ▪ lim = 0 ▪ lim =0 n n ▪ lim q n = 0 với q < 1 . ▪ lim 1 =0 n 3 ▪ lim 1 =0 nα 1.2. Dãy số có giới hạn hữu hạn: Cho lim un = a . Ta có: ▪ lim un = a và lim u = a 3 3 ▪ lim un = a với a ≥ 0. Cho lim un = a , lim vn = b . Ta có: ▪ lim ( un ± vn ) = a ± b ▪ lim un a = vớ i b ≠ 0 vn b 1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1. Giới hạn dãy số ▪ lim ( un .vn ) = a.b ▪ lim ( k.un ) = k.a S = u1 + u1q + u1q 2 + ... = u1 . 1− q 1.4. Dãy số có giới hạn vô cùng: Quy tắc 1: Cho lim un = ±∞, lim vn = ±∞. Tính lim ( un vn ) . lim un lim vn lim ( un vn ) +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ Quy tắc 2: Cho lim un = ±∞, lim vn = a ≠ 0. Tính lim ( un vn ) . lim un Dấu của a lim ( un vn ) +∞ +∞ −∞ −∞ + – + – +∞ −∞ −∞ +∞ Quy tắc 3: Cho lim un = a ≠ 0, lim vn = 0. Tính lim un . vn lim Dấu của vn (mẫu) Dấu của a (tử) + + – – 2.1. Giới hạn tại vô cực: un vn +∞ + – + – −∞ −∞ +∞ Cho k dương, ta có: 1 =0 x →±∞ x k 2.2. Giới hạn hữu hạn: +∞, k chaün −∞, k leû ▪ lim xk =  x→−∞ ▪ lim x k = +∞ ▪ lim x →+∞ Cho lim f ( x ) = a, lim g ( x ) = b . Ta có: x → x0 ▪ lim f ( x ) = a x → x0 ▪ lim 3 f ( x ) = 3 a x → x0 ▪ lim x → x0 ▪ lim  f ( x ) ± g ( x )  = a ± b x → x0 x → x0 f ( x ) = a với a ≥ 0 ▪ lim  f ( x ) .g ( x )  = a.b x → x0 ▪ lim  k . f ( x )  = k .a với k là hằng số x → x0 ▪ lim x → x0 f ( x) a = với b khác 0 g ( x) b 2.3. Quy tắc tìm giới hạn vô cực: Quy tắc 1: Cho lim f ( x ) = ±∞, lim g ( x ) = a ≠ 0 . Tính lim  f ( x ) .g ( x )  . x → x0 x → x0 x → x0 lim f ( x ) +∞ +∞ x → x0 +∞ + – + – −∞ −∞ 2. Giới hạn hàm số: lim  f ( x ) g ( x )  . Dấu của a x → x0 −∞ −∞ +∞ Quy tắc 2: Cho lim f ( x ) = a ≠ 0, lim g ( x ) = 0 . Tính lim x → x0 x → x0 x → x0 Dấu của g ( x ) Dấu của a f ( x) . g ( x) lim x → x0 f ( x) . g ( x) + + +∞ + – −∞ – + −∞ – – +∞ 2.4. Bổ trợ các công thức để khử dạng vô định: ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) với x n − 1 = ( x − 1) ( x n −1 + x n −2 + ... + 1) x1 , x2 là nghiệm của tam thức bậc hai. a+ b = a+ 3 b = a2 − b a− b a− b = a3 + b a2 − a 3 b + a n − bn = ( a − b ) ( a n−1 + a n− 2b + ... + bn −1 ) ( b) 3 2 a− 3 b = a2 − b a+ b a3 − b a2 + a 3 b + ( b) 3 2 3.1. Điều kiện tồn tại giới hạn: Giới hạn bên phải Ký hiệu Nghĩa là Giới hạn bên trái lim f ( x ) Điều kiện để hàm số có giới hạn tại x0 . lim f ( x ) x → x0 + lim f ( x ) = lim− f ( x ) x → x0− → x0  x    x > x0 x → x0+ x → x0 Khi đó: lim f ( x ) = lim+ f ( x ) → x0  x    x < x0 x → x0 x → x0 = lim− f ( x ) x → x0 3. Điều kiện giới hạn và điều kiện liên tục: 3.2. Điều kiện liên tục của hàm số:  Hàm số f ( x ) liên tục tại x0 ⇔ f ( x0 ) = lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) ⇔ f ( x0 ) = lim f ( x ) x → x0 x → x0 x → x0  Mọi hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác đều liên tục trên tập xác định của chúng.  Hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng ( a; b ) nếu nó liên tục với mọi x = x0 ∈ ( a; b ) .  f ( x) lieân tuïc treân (a; b)  Hàm số f ( x ) liên tục trên a; b ⇔  . lim f ( x) = f (a); lim f ( x) = f (b) x→ a+ x →b− 3.3. Điều kiện có nghiệm của phương trình: Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b] và f ( a ) . f ( b ) < 0 thì phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trên ( a; b ) . 1. CHỦ ĐỀ 7: ĐẠO HÀM f ( x ) − f ( x0 ) Định nghĩa đạo hàm tại một điểm: f ′ ( x0 ) = lim x→ x 0 x − x0 . 2. Bảng đạo hàm cơ bản và mở rộng: α α −1  ( x )′ = α x  k′ = 0 (với k là hằng số) ( e )′ = e ′ → ( e ) = e . u ′ x  MR   x u u ( sin x )′ = cos x MR → (uα )′ = α uα −1. u ′ ( a )′ = a ln a ′ → ( a ) = a .ln a. u ′ x  MR x u u MR → ( sin u )′ = u′ cos u ( x )′ = 2 1 x MR →  ( u )′ = 2u′u ( ln x )′ = 1 x 1  1 ′  =− 2 x x u′  1 ′ MR →   =− 2 u u 1  ( log a x )′ = x ln a   u′ u′ MR MR → → ( ln u )′ = ( log a u )′ = u u ln a MR  ( cos x )′ = − sin x → ( cos u )′ = − u′ sin u 1 1 = 1 + tan 2 x  ( cot x )′ = − = − (1 + cot 2 x ) 2 cos x sin 2 x u′ u′ MR MR → → ( tan u )′ = 2 = u′ (1 + tan 2 u ) ( cot u )′ = − 2 = − u′ (1 + cot 2 u ) cos u sin u 3. Quy tắc tìm đạo hàm: ▪ ( u ± v )′ = u ′ ± v′ ▪ ( k .u )′ = k .u ′ ▪ (u.v )′ = u ′v + uv′  ( tan x )′ =  u ′ u ′v − uv′ ▪  = v2 v 4. Đạo hàm cấp cao và vi phân: Đạo hàm cấp cao  fx′ laø ñaïo haøm cuûa f theo bieán x  ▪ f x′ = fu′.ux′ với  fu′ laø ñaïo haøm cuûa f theo bieán u .  ux′ laø ñaïo haøm cuûa u theo bieán x  Vi phân df ( x ) = f ′ ( x ) .dx f ′′ ( x ) =  f ′ ( x ) ′ ; f ′′′ ( x ) =  f ′′ ( x ) ′ f ( 4) dy = y′.dx du = u ′.dx ( x ) =  f ′′′ ( x )′ ;...; f ( n) ( x ) =  f ( n−1) ( x ) ′ CHỦ ĐỀ 8: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU  Bước 1: Tìm tập xác định D .  Bước 2: Tính y ′ = f ′( x ) ; cho y ′ = 0 Tìm nghieäm  → x1 , x2 ... Tìm thêm các giá trị x mà y ′ không xác định.  Bước 3: Lập bảng biến thiên. (Nên chọn giá trị x đại diện cho từng khoảng thay vào y ′ để tìm dấu của y ′ trên khoảng đó).  Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ HÀM BẬC BA 3 y = ax + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)  Đạo hàm y′ = 3ax 2 + 2bx + c .  Hàm số đồng biến trên tập xác định ℝ ⇔ y ′ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ a > 0 ⇔ . ∆ ≤ 0  Hàm số nghịch biến trên tập xác định ℝ ⇔ y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ℝ a < 0 ⇔ . ∆ ≤ 0  Lưu ý: Nếu a chứa tham số m thì ta xét a = 0 , tìm m. Thay m tìm được để kiểm tra dấu y ′ , xem y có đơn điệu trên ℝ không? CỰC TRỊ HÀM BẬC BA y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) HÀM NHẤT BIẾN ax + b y= (ad − bc ≠ 0, c ≠ 0) cx + d  Đạo hàm y′ = ad − bc . (cx + d )2  Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định ⇔ ad − bc > 0.  Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ ad − bc < 0.  Lưu ý: Nếu đề cho đồng biến (nghịch biến) trên (α ; β ) thì ta xét điều d kiện: − ∉ (α ; β ) . c CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)  Đạo hàm y′ = 3ax 2 + 2bx + c .  Đạo hàm y′ = 4ax3 + 2bx .  Hàm số có hai cực trị (tức là có  Điều kiện cực trị ab < 0 Ba cực trị a ≠ 0 (*) . CĐ-CT) ⇔   ab ≥ 0 ∆ y′ > 0 Một cực trị  2 2  Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu a + b > 0 ⇔ x1 x2 < 0 ⇔ ac < 0 . Có cực trị a2 + b2 > 0  Cho A, B , C là ba điểm cực trị, ta có:  Hàm số có hai điểm cực trị cùng  f ′( x0 ) = 0 3  Nếu  thì hàm a ≠ 0, ∆ y′ > 0 = b + 8a dấ u ⇔  . cos BAC  f ′′( x0 ) < 0 b3 − 8a ac > 0 số f ( x ) đạt cực đại tại  Phương trình đường thẳng đi qua b5 x = x0 . hai điểm cực trị: S ∆ABC = . −32a 3 6ac − 2b 2 9ad − bc  f ′( x0 ) = 0 y= x+ .  Nếu  thì hàm 9a 9a  f ′′( x0 ) > 0 Lưu ý: Nếu tọa độ hai cực trị đã số f ( x ) đạt cực tiểu tại rõ ràng ta nên gọi đường thẳng x = x0 . y = ax + b rồi thay tọa độ hai điểm đó vào  → Giải hệ tìm a, b. TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN TÌM MAX-MIN TRÊN KHOẢNG Tìm Max-Min của f ( x ) trên khoảng ( a; b) Tìm Max-Min của f ( x ) trên đoạn [ a; b]  Hàm số có điểm cực trị là  y′( x0 ) = 0 ( x0 ; y0 )   .  y ( x0 ) = y0 (giả thiết là hàm số liên tục tại x0 ).  Bước 1: Tính y ′ = f ′( x ) .  Bước 1: Tính y ′ = f ′( x ) . Tìm các nghiệm xi ∈ (a; b) khi cho f ′( x ) = 0 . Tìm x j ∈ ( a; b) mà y ′ không xác định. Tìm các nghiệm xi ∈ (a; b) khi cho f ′( x ) = 0 . Tìm x j ∈ (a; b) mà y ′ không xác định.  Bước 2: Tính các giá trị f ( a ), f (b ) và f ( xi ), f ( x j ) (nếu có).  Bước 2: Cần tính lim+ y, lim− y . (Nếu thay ( a; b) bằng x →a x →b ( −∞; +∞ ) thì ta tính thêm lim y ). x →±∞  Bước 3: Lập bảng biến thiên và suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên khoảng.  Bước 3: So sánh tất cả giá trị trong bước 2 để kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.  Nếu hàm f ( x ) đồng biến trên [a; b ] thì  max f ( x ) = f (b)  x∈[a ;b ]  f ( x) = f (a )  xmin ∈[a ;b ] ĐẶC BIỆT  Nếu hàm f ( x ) nghịch biến trên [a; b ] thì  max f ( x ) = f ( a )  x∈[a ;b ]  f ( x ) = f (b)  xmin ∈[a ;b ] TIỆM CẬN ĐỨNG TIỆM CẬN NGANG Đị nh ngh ĩ a: Cho hàm số y = f (x ) xác định trên một khoảng vô Định nghĩa: Đường thẳng x = x 0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ hạn (là khoảng dạng a ; +∞ , −∞; b hoặc ( −∞ ; +∞ ) ). Đường thị hàm số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều thẳng y = y 0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của kiện sau được thỏa mãn: đồ thị hàm số y = f (x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau lim f (x ) = +∞, lim− f (x ) = −∞, x →x 0+ x →x 0 thỏa mãn: lim f (x ) = y0 , lim f (x ) = y0 lim+ f ( x) = −∞, lim− f ( x) = +∞ ( x →x0 x → x0  Cách tìm TCĐ: Nếu x = x0 là một TCĐ của đồ thị thì x0 cần thỏa các điều kiện: 1) Ngoại trừ hàm số logarit, các hàm trong chương trình phổ thông đều phải là hàm phân thức thì đồ thị mới có thể có tiệm cận đứng. Khi đó, x0 là nghiệm của mẫu ( NGƯỢC LẠI x0 LÀ NGHIỆM MẪU NHƯNG x = x0 CHƯA CHẮC LÀ TIỆM CẬN ĐỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ). 2) Nếu x0 là nghiệm của mẫu thức đồng thời là nghiệm của tử thức thì sau khi phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử ( x − x0 ) và giản ước x →+∞ )( ) x →−∞  Cách tìm TCN: Đơn giản nhất là dùng CASIO Bước 1: Nhập hàm số vào máy. NEXT NEXT Bước 2: CALC  → X = 10 ^10  →= NEXT NEXT CALC  → X = −10 ^10  →= Bước 3: Nếu kết quả thu được là hữu hạn (tức là y0 ) thì ta kết luận TCN: y = y0 . nhân tử chung, phải vẫn còn nhân tử ( x − x0 ) ở dưới mẫu (TỬ GIẢN ƯỚC KHÔNG HẾT). 3) Nếu x0 là nghiệm của mẫu và f ( x ) chứa A ( x ) thì A ( x0 ) ≥ 0 .  Đồ thị hàm số y = ax + b d a với (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) có một TCĐ: x = − , một TCN: y = . cx + d c c  Nên nhớ, mỗi đồ thị chỉ có tối đa là 2 tiệm cận ngang. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ Xét hai đồ thị (C1 ) : y = f ( x ) và (C2 ) : y = g( x ) . Phương pháp chung tìm giao điểm hai đồ thị  Bước 1 : Lập phương trình hoành độ giao  Bước 2 : Giải phương trình (*) để tìm các nghiệm x1 , x2 ,... điểm của (C1 ) & (C2 ) : f ( x ) = g ( x) . (*) (nếu có), suy ra y , y ... 1  Điều kiện để (C1 ) và (C2 ) có n điểm chung là phương trình (*) có n nghiệm khác nhau. 2  f ( x) = g ( x)  Điều kiện để (C1 ) tiếp xúc (C2 ) là hệ sau có nghiệm :  .  f ′( x) = g ′( x) ax + b   (C ) : y = Tìm tham số để  cx + d cắt nhau tại hai điểm phân biệt  d : y = α x + β  Bước 1 : Viết phương trình hoành độ giao   ax + b điểm : = α x + β , đưa phương trình về  A ≠ 0 cx + d Tìm → m?  Bước 2 : Giải hệ ∆ g > 0 d   2  dạng g ( x) = Ax + Bx + C = 0  x ≠ −  . c g  − d  ≠ 0    c  (C ) : y = ax 3 + bx 2 + cx + d Tìm tham số để  cắt nhau tại ba điểm phân biệt d : y = α x + β (Ta chỉ áp dụng cho trường hợp phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm đẹp)  Bước 1 : Viết phương trình hoành độ giao A ≠ 0 điểm : ax3 + bx 2 + cx + d = α x + β , đưa  Tìm  Bước 2 : Giải hệ điều kiện : ∆ g > 0 → m? phương trình về dạng   g ( x0 ) ≠ 0  2  ( x − x0 )   Ax + Bx + C  = 0.     Lưu ý : Để tìm nghiệm đẹp x = x0 , ta nhập vào máy chức g ( x)   năng giải phương trình bậc ba với m = 100 . (có vận dụng kỹ năng chia Hoocner) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN DẠNG 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y = f ( x) tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C )  Bước 1: Tính đạo hàm y ′ , từ đó có hệ số góc k = y′( x0 ).  Bước 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị dạng y = k ( x − x0 ) + y0 . DẠNG 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y = f ( x ) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.  Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm và tính đạo hàm y ′ .  Bước 2: Cho y′( x0 ) = k , tìm được tiếp điểm ( x0 ; y0 ).  Bước 3: Phương trình tiếp tuyến : y = k ( x − x0 ) + y0 . DẠNG 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y = f ( x) biết tiếp tuyến đi qua A( xA ; y A ) .  Bước 1: Tiếp tuyến có dạng : y = y′( x0 )( x − x0 ) + y0 (*) với y0 = f ( x0 ).  Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào (*) để tìm được x0 .  Bước 3: Thay x0 vào (*) để viết phương trình tiếp tuyến.  Đặc biệt : Nếu tiếp tuyến song song đường thẳng y = ax + b thì nó có hệ số góc k = a , nếu tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y = ax + b thì nó có hệ số góc k = − 1 ( a ≠ 0) ; nếu tiếp tuyến tạo với Ox góc α thì nó có hệ số góc k = ± tan α . a ĐIỂM ĐẶC BIỆT THUỘC ĐỒ THỊ Tâm đối xứng (hay điểm uốn) của đồ thị bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)  y′ = 3ax 2 + 2bx + c  Bước 1: Tính  .  y′′ = 6ax + 2b  Bước 2: Cho Tìm nghieäm y′′ = 0  → x0 = − b ⇒ y0 . Ta có tâm 3a đối xứng (tức điểm uốn): I ( x0 ; y0 ).  Cần nhớ: Tâm đối xứng của đồ thị bậc ba cũng là trung điểm của hai điểm cực trị (nếu có). Tâm đối xứng của đồ thị hàm nhất biến y =  Tìm tiệm cận đứng x = − ax + b (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) cx + d d và tiệm cận c a , suy ra được tâm đối xứng của c  d a đồ thị là: I  − ;  (là giao điểm 2 tiệm cận  c c tìm được). ngang y = ax + b (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) cx + d Cách 2: Trắc nghiệm Thực hiện trên máy tính bỏ túi như sau: aX + b MODE  → 7  → F(X ) =  → START : − 19 cX + d Điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm nhất biến y = Cách 1: Tự luận  Bước 1: Chia đa thức cho đa thức, ta viết β lại hàm số y = α + . cx + d  Bước 2: Yêu cầu bài toán ⇔ cx + d là x =  Tìm ñöôïc  ước số nguyên của β → x = , suy .......  ra các giá trị y tương ứng. Từ đây tìm được các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị.  → END : − 1  → STEP : 1 . Ta dò tìm những hàng có F ( X ) nguyên thì nhận làm điểm cần tìm. Làm tương tự khi cho START : 0  → END : 18  → STEP : 1 , ta sẽ bổ sung thêm các điểm nguyên còn lại. Lưu ý: Học sinh muốn đạt được tính chính xác cao hơn thì có thể dò trên nhiều khoảng, mỗi khoảng có START và END cách nhau 19 đơn vị. (Máy tính đời mới sẽ có bộ nhớ lớn hơn). NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3 2 Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0) 1.  → y′ = 3 a x 2 + 2 b x + c A B C y y y y 1 1 1 O 1 O Hệ s ố a d 1 x x Dấu hiệu đồ thị Nhánh góc phải đồ thị đi lên Nhánh góc phải đồ thị đi xuống Giao điểm với Oy nằm trên điểm O Giao điểm với Oy nằm dưới điểm O Giao điểm với Oy trùng với điểm O 1 1 O 1 x O Kết luận a>0 a<0 d >0 d <0 d =0 x Đồ thị không có điểm cực trị nào ∆′y ′ = ( B′ ) − AC = b 2 − 3ac ≤ 0 Đồ thị có hai điểm cực trị ∆′y ′ = ( B′ ) − AC = b 2 − 3ac > 0 2 2 B 2b >0⇔− > 0 ⇔ ab < 0 A 3a B 2b b, c − < 0 ⇔ − < 0 ⇔ ab > 0. Tâm đối xứng nằm bên trái Oy A 3a C c x1 x2 > 0 ⇔ > 0 ⇔ > 0 ⇔ ac > 0 Hai điểm cực trị nằm cùng phía Oy A 3a C c x1 x2 < 0 ⇔ < 0 ⇔ < 0 ⇔ ac < 0 Hai điểm cực trị nằm khác phía Oy A 3a  Chú ý: Đôi khi, ta thấy đồ thị đi qua điểm ( x0 ; y0 ) cho trước, ta thay tọa độ này vào hàm số để có 1 phương − Tâm đối xứng nằm bên phải Oy trình. Điều này đúng cho mọi hàm số. 4 2 2. Hàm số bậc bốn trùng phương y = ax + bx + c ( a ≠ 0 )  → y′ = 4ax 3 + 2bx = 2 x ( 2ax 2 + b ) y y y y 1 1 1 1 1 1 O Hệ s ố a c b 1 x O Dấu hiệu đồ thị Nhánh phải đồ thị đi lên Nhánh phải đồ thị đi xuống Giao điểm với Oy nằm trên điểm O Giao điểm với Oy nằm dưới điểm O Giao điểm với Oy trùng với điểm O Đồ thị hàm số có ba cực trị x Kết luận a>0 a<0 c>0 c<0 c=0 ab < 0 ab ≥ 0, ( a ≠ 0) Đồ thị hàm số có một cực trị 3. ax + b ( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 ) cx + d ad − bc Hàm số nhất biến y =  → y′ = Hệ s ố 1 O x O ( cx + d ) 2 Dấu hiệu đồ thị Tiệm cận đứng nằm bên phải Oy c và d Tiệm cận đứng nằm bên trái Oy Kết luận d − > 0  cd < 0 c d − < 0  cd > 0 c x Tiệm cận ngang nằm phía trên Ox a và c Tiệm cận ngang nằm phía dưới Ox Giao điểm của đồ thị với Ox nằm bên phải gốc O a và b Giao điểm của đồ thị với Ox nằm bên trái gốc O b Đồ thị đi qua gốc O(0;0) Mỗi nhánh đồ thị đi lên (từ trái sang phải) b > 0  bd > 0 d b < 0  bd < 0 d ad − bc > 0 Mỗi nhánh đồ thị đi xuống (từ trái sang phải) ad − bc < 0 Giao điểm của đồ thị với Oy nằm trên gốc O b và d Giao điểm của đồ thị với Oy nằm dưới gốc O a, b, c, d a > 0  ac > 0 c a < 0  ac < 0 c b − > 0  ab < 0 a b − < 0  ab > 0 a b=0 PHÉP SUY ĐỒ THỊ TỪ ĐỒ THỊ CÓ SẴN 1. Phép tịnh tiến và đối xứng đồ thị Cho hàm y = f ( x ) có đồ thị (C) Đồ thị cần tìm Cách biến đổi (C1 ) : y = f ( x) + a Với a > 0 Tịnh tiến đồ thị (C ) theo phương Oy lên phía trên a đơn vị. (C2 ) : y = f ( x) − a Với a > 0 Tịnh tiến đồ thị ( C ) theo phương Oy xuống phía dưới a đơn vị. (C3 ) : y = f ( x + a) Với a > 0 Tịnh tiến đồ thị (C ) theo phương Ox qua trái a đơn vị. (C4 ) : y = f ( x − a) Với a > 0 Tịnh tiến đồ thị ( C ) theo phương Ox qua phải a đơn vị. Minh họa (C5 ) : y = − f ( x) Lấy đối xứng ( C ) qua Ox . (C6 ) : y = f (− x) Lấy đối xứng (C ) qua Oy . 2. Đồ thị hàm chứa giá trị tuyệt đối a) Từ đồ thị (C ) : y = f ( x ) ta suy ra đồ thị (C1 ) : y = f ( x ) . f ( x) neáu f ( x) ≥ 0 . − f ( x) neáu f ( x) < 0 Ta có y = f ( x) =  Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nằm phía trên Ox , ta được (C ′) . Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị (C ) phía dưới Ox qua Ox , ta được (C ′′) . Kết luận: Đồ thị (C1 ) : y = f ( x) là hợp của (C ′) với (C ′′). Xem ví dụ minh họa sau: b) Từ đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x) ta suy ra đồ thị (C2 ) : y = f ( x ) . f ( x) neáu x ≥ 0 . f (−x) neáu x < 0 Ta có y = f ( x ) =  Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C ) nằm bên phải trục Oy , ta được (C ′). Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị (C ′) qua trục Oy , ta được (C ′′) . (Đây là tính chất đối xứng của đồ thị hàm số chẵn) Kết luận: Đồ thị (C2 ) : y = f ( x ) là hợp của (C ′) với (C ′′). Xem ví dụ minh họa sau: LƯU Ý: 1) Đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có n điểm cực trị nằm bên phải Oy thì đồ thị hàm số y = f ( x ) có 2n + 1 điểm cực trị. 2) Đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có n điểm cực trị và m nghiệm ( f ( x ) = 0 , không tính nghiệm là điểm cực trị) thì đồ thị hàm số y = f ( x ) có m + n điểm cực trị. CÔNG THỨC BỔ TRỢ CHO QUÁ TRÌNH GIẢI TOÁN HÀM SỐ Bổ trợ về tam thức bậc hai Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 (*) a ≠ 0  (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔   (*) có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 . ∆ > 0 −b   S = x1 + x2 = a AÙp duïng  Định lí Vi-ét :   → x12 + x22 = S 2 − 2 P; x13 + x23 = S 3 − 3SP; ( x1 − x2 ) 2 = S 2 − 4 P; P = x x = c 1 2  a x1 − x2 = ( x1 − x2 ) 2 = S 2 − 4 P . Trong trắc nghiệm, ta nên dùng công thức : x1 − x2 =  (*) có hai nghiệm dương phân biệt ∆ . a  (*) có hai nghiệm âm phân biệt ∆>0  ⇔ S > 0 . P > 0   ∆>0  ⇔ S < 0 . P > 0  Bổ trợ hình học giải tích phẳng   Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ) đến  AB = (b1; b2 ) 1  Nếu ∆ABC có   thì S∆ABC = b1c2 − b2c1 2 ax + byM + c  AC = (c1; c2 ) . ∆ : ax + by + c = 0 là d ( M ; ∆ ) = M   a2 + b2  ∆ABC ⊥ tại A ⇔ AB. AC = 0 ⇔ b1c1 + b2 c2 = 0 .  Đặc biệt: d ( M ; Ox ) = yM , d ( M ; Oy ) = xM .  AB = ( xB − xA ) 2 + ( yB − y A )2 . CHỦ ĐỀ 9: LŨY THỪA – MŨ VÀ LOGARIT 1. Công thức lũy thừa Cho các số dương a , b và m, n ∈ ℝ . Ta có: n a = a. a........... a vớ i n ∈ ℕ *    a0 = 1   (a m ) n = a mn = (a n ) m  a m .a n = a m + n n thöøa soá 1 an  a−n =  am = a m −n an 1  a nbn = (ab)n a a =  n b b n  n  m an = a n m ∗ a = a2 ∗ 3a =a 1 3 (m, n ∈ ℕ* ) 2. Công thức logarit: Cho các số a, b > 0, a ≠ 1 và m, n ∈ ℝ . Ta có:  log a b = α ⇔ aα = b  lg b = log b = log10 b  ln b = loge b  loga 1 = 0  loga a = 1  log a a n = n  log a b n = n log a b  logam bn = b  log a   = log a b − log a c c log b  a a = b   log c log a  a b = c b  logam b = 1 loga b m  loga (bc) = loga b + loga c n log a b m  loga b.logb c = log a c , ( b ≠ 1)  log a c = log b c , ( b ≠ 1) log a b  log a b = 1 , ( b ≠ 1) logb a BÀI TOÁN NGÂN HÀNG Nếu ta gởi tiền vào ngân hàng theo hình thức tiền lãi chỉ được tính dựa vào tiền gốc ban đầu (tức là 1. Công tiền lãi của kỳ hạn trước không gộp vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn kế tiếp), đây gọi là hình thức lãi thức tính đơn. Ta có: T = A(1 + nr ) với A: tiền gởi ban đầu; r: lãi suất; n: kỳ hạn gởi; T: tổng số tiền nhận sau lãi đơn kỳ hạn n. Lưu ý: r và n phải khớp đơn vị; T bao gồm cả A, muốn tính số tiền lời ta lấy T – A. Nếu ta gởi tiền vào ngân hàng theo hình thức: hàng tháng tiền lãi phát sinh sẽ được cộng vào tiền gốc cũ để tạo ra tiền gốc mới và cứ tính tiếp như thế, đây gọi là hình thức lãi kép. 2. Công thức lãi kép Ta có: T = A(1 + r ) n với A: tiền gởi ban đầu; r: lãi suất; n: kỳ hạn gởi; T: tổng số tiền nhận sau kỳ hạn n. Lưu ý: r và n phải khớp đơn vị; T bao gồm cả A, muốn tính số tiền lời ta lấy T – A. 3. Mỗi tháng gởi Nếu đầu mỗi tháng khách hàng luôn gởi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r % /tháng đúng số tiền giống A n nhau theo hình thì số tiền họ nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng là: T = (1 + r ) − 1 (1 + r ) .   r thức lãi kép Nếu khách hàng gởi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r % /tháng. Vào ngày ngân 4. Gởi tiền vào ngân hàng tính lãi mỗi tháng thì rút ra X đồng. Số tiền thu được sau n tháng là: hàng rồi rút ra hàng n (1 + r ) − 1 n tháng số tiền cố định T = A (1 + r ) − X r Nếu khách hàng vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r%/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi lần hoàn 5. Vay vốn và trả góp nợ đúng số tiền X đồng. Số tiền khách hàng còn nợ sau n tháng là: n (tương tự bài toán 4) 1+ r ) −1 ( n T = A (1 + r ) − X r 3. Hàm số lũy thừa, mũ và logarit: HÀM LŨY THỪA  Dạng: y=x α y =u α với u là đa HÀM SỐ MŨ  Dạng: y=a x y=a u HÀM SỐ LOGARIT a > 0 . vớ i  a ≠ 1  Tập xác định: D = ℝ. thức đại số.  Đạo hàm:  Tập xác định: y = a x  → y′ = a x ln a ÑK Nếu α ∈ ℤ+  →u ∈ ℝ. α ∈ ℤ− ÑK  →u ≠ 0. Nếu  α = 0  ÑK →u > 0. Nếu α ∉ ℤ  y = a u  → y′ = a u ln a. u ′ Đặc biệt: (e x )′ = e x (eu )′ = eu . u ′ . vớ i e ≈ 2,71828...  Sự biến thiên: y = a . α Nếu a > 1 thì hàm đồng biến y = x  → y′ = α x α −1 y = u α  → y′ = α u α −1 . u ′ trên ℝ . Nếu 0 < a < 1 thì hàm nghịch biến trên ℝ . a = 10  → y = log x = lg x .  Điều kiện xác định: u > 0 .  Đạo hàm: 1 y = log a x  → y′ = x ln a . u′ y = log a u  → y′ = u ln a Đặc biệt: x  Đạo hàm: y = log a x a > 0 . vớ i  y = log a u a ≠ 1  Đặc biệt: a = e  → y = ln x ;  Dạng: 1 x . u′ (ln u ) ′ = u (ln x ) ′ =  Sự biến thiên: y = log a x . Nếu a > 1 : hàm đồng biến trên (0; +∞ ) . Nếu 0 < a < 1 : hàm nghịch biến trên (0; +∞ ). 4. Đồ thị hàm số mũ và logarit: ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT  Ta thấy: a x ↓ 0 < a < 1; b x ↓ 0 < b < 1 .  Ta thấy: log a x ↓ 0 < a < 1; log b x ↓ 0 < b < 1 .  Ta thấy: c ↑ c > 1; d ↑ d > 1.  So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng a x trước nên a > b . KẺ ĐƯỜNG x = 1  So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng c x trước nên c > d . KẺ ĐƯỜNG x = 1  Ta thấy: log c x ↑ c > 1; log d x ↑ d > 1.  So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng logb x trước: b > a. KẺ ĐƯỜNG y = 1  So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d > c. KẺ ĐƯỜNG y = 1  Vậy 0 < a < b < 1 < c < d . x x  Vậy 0 < b < a < 1 < d < c. 5. Phương trình mũ và logarit: Phương trình mũ 1. Dạng cơ bản: a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) 2. Dạng logarit hóa: a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = log b a  ( a , b > 0, a ≠ 1)  f (x) g (x)  a =b ⇔ f ( x ) = g ( x ).log a b 3. Dạng đặt ẩn phụ:  Đặt t = a f ( x ) > 0  Đưa phương trình đã cho về bậc n theo t  → giải tìm t .  Với t có được, thay vào t = a f ( x ) để tìm x . a) Phương trình m.a 2 f ( x ) + n.a f ( x ) + p = 0 • Đặt t = a f ( x ) > 0 . • PT: mt 2 + nt + p = 0 . b) Phương trình m.a g (x) + n.b g (x) + p.c g (x) =0 • Nhận dạng: ma + n(a.b) + p.b =0 2 f ( x) • Chia hai vế PT cho b ≠ 0 , ta được 2 f ( x) a m  b 2 f (x) a + n  b f ( x) f (x) + p =0 2 f ( x) . (Xem a)) Chú ý: Ta có thể chia PT cho bất kỳ hàm mũ nào trong ba hàm {a g ( x ) ; b g ( x ) ; c g ( x ) } , kết quả không thay đổi. c) Phương trình m.(a + b ) f ( x ) + n(a − b ) f ( x ) = p • Nhận dạng: (a + b )(a − b ) = a 2 − b = 1 1 • Đặt t = (a + b ) f ( x ) , t > 0  = (a − b ) f ( x ) t Phương trình Logarit 1. Dạng cơ bản: log a f ( x) = log a g( x) ⇔ f ( x) = g ( x) > 0 2. Dạng mũ hóa: log a f ( x) = b ⇔ f ( x) = a b (không cần điều kiện) 3. Dạng đặt ẩn phụ:  Đặt t = log a f ( x)  Đưa pt đã cho về bậc n theo t  → giải tìm t .  Có t , thay vào t = log a f ( x) để tìm x . a) Phương trình m log a 2 f ( x) + n log a f ( x) + p = 0 • Đặt t = log a f ( x) • PT: mt 2 + nt + p = 0 b) Phương trình m.log a f ( x) + n.log f ( x ) a + p = 0 • ĐK: f ( x ) > 0, f ( x ) ≠ 1 1 • Đặt t = log a f ( x)  = log f ( x ) a t n • PT: mt + + p = 0 ⇔ mt 2 + pt + n = 0 t log a f ( x) c) Phương trình đơn giản chứa logb g ( x) • Đặt t = log a f ( x) ⇔ f ( x) = a t • Thay trở lại phương trình, ta có một phương trình mới đơn giản hơn (chứa ít logarit hơn). n = p ⇔ mt 2 − pt + n = 0 t 6. Bất phương trình mũ và logarit: Bất Phương trình mũ Bất Phương trình Logarit  Dạng cơ bản: a >1 f ( x) g (x) a >1 ∗ a ≥ a ⇔ f ( x ) ≥ g ( x ) ∗ log a f ( x) ≥ log a g ( x) ⇔ f ( x) ≥ g ( x) > 0  Dạng cơ bản:   0 < a <1   f ( x) 0 < a <1  ≥ a g ( x ) ⇔ f ( x ) ≤ g ( x) ∗ a ∗ log a f ( x) ≥ log a g ( x) ⇔ 0 < f ( x) ≤ g ( x) Lưu ý: Cách nhận dạng bất phương trình mũ-logarit cũng giống với cách nhận dạng phương trình mũlogarit. Học sinh tham khảo kỹ mục 5 để có phương pháp giải bất phương trình một cách hiệu quả. • PT: mt + CHỦ ĐỀ 10: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 1. Công thức nguyên hàm:    k . f ( x ) dx = k  f ( x )dx ( k ≠ 0) 1)   f ( x ) dx = F ( x ) + C ⇔ F ′( x ) = f ( x )  [ f ( x ) ± g ( x ) ]dx =  kdx = kx + C  xα +1 2)  x dx = + C , α ≠ −1 α +1 1 (ax + b )α +1 α MR → ( ax + b ) dx = . +C  a α +1 α   f ( x ) dx ±  g ( x ) dx  2 dx = 2 x + C  x4 x dx = +C 4  1 1 1 MR dx = ln x + C → dx = ln ax + b + C  x ax + b a 4)  1 1 1 1 −1 MR dx = − + C →  (ax + b) 2 dx = a . ax + b + C x2 x x3 1  2 1 1  x + + − 10 dx = + ln x − − 10 x + C   x x 2  3 x 1 ax +b x x MR ax +b +C 5)  e dx = e + C →  e dx = e a   MR →    (e 7)  ax +C ln a 1 a bx + c a bx + c dx = . +C b ln a x−1    3 1 2 1       1 1 −1 1 dx = . +C = − +C (2 x − 3) 2 2 2x − 3 4x − 6 x5 + 1 1 x5  dx =   x 4 +  dx = + ln x + C x x 5  1 e− x dx = e− x + C = −e− x + C −1 5x +C ln 5  1 32 x + 5 32 x + 5 32 x + 5 dx = . +C = +C 2 ln 3 2 ln 3 1 − 2) ex dx =  ( e2 x−1 − 2ex ) dx = e2 x−1 − 2ex + C 2 sin xdx = − cos x + C  cos xdx = sin x + C  ( 3sin x − 2 cos x ) dx = −3 cos x − 2 sin x + C      9x +C ln 9 π 1 π   sin  4 x −  dx = − cos  4 x −  + C 2 4 2    π 2 1 π  π  π  cos  − x  dx = sin  − x  + C = − sin  − x  + C 3 −1  3   3    a =−1; b =   32 x dx =  9 x dx = 1 1 6x 2 x.3x −1 dx =  2 x.3 x. dx =  6 x dx = +C 3 3 3 ln 6 a = 4; b = −  1  1 − 3x dx = −3 ln 1 − 3x + C   1 MR  →  cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a  ( −3) dx = −3 x + C 5 x dx = 1 MR →  sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C 8) f ′( x ) dx = f ( x ) + C x2 2 3   xdx =  x dx = +C = x +C 3/ 2 3 1 (1 − 2 x )11 (1 − 2 x )11 (1 − 2 x )10 dx = . +C = +C −2 11 −22  a x dx =  3 3) 6)     sin 2 π 3 xdx =  1 1 1 (1 − cos 2 x ) dx =  x − sin 2 x  + C 2 2 2  1 dx =  (1 + tan 2 x ) dx = tan x + C 9)  2 cos x 1 1 MR →  cos 2 ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + C 1 MR  → 1+ tan2 ( ax + b)  dx = tan ( ax + b) + C a 1 2  sin 2 x dx =  (1 + cot x ) dx = − cot x + C 1 1 MR →  sin 2 ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + C 1 MR  → 1+ cot2 ( ax + b) dx = − cot ( ax + b) + C a      10)   1 − 2 cos 2 x  1  dx =   − 2  dx = tan x − 2 x + C 2 2 cos x  cos x  1 1 dx = tan 3x + C 2 cos 3x 3   1 + tan 2 (π − 2 x )  dx = 1 tan (π − 2 x ) + C     −2 a = − 2; b = π    x sin 2 x + 1 1  x2  dx = x + dx = − cot x + C   sin 2 x  sin 2 x 2 1 1 dx = − cot 8x + C 2 sin 8x 8 1 1 + cot 2 3x dx = − cot 3x + C 3      ( ) 1 sin 2 x + cos 2 x 1   1 dx = dx =   + 2  dx = tan x − cot x + C 2 2 2 2 2  sin x cos x sin x cos x  cos x sin x  2. Tích phân: b b  f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) a) Định nghĩa: a với F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên [ a; b] . b) Tính chất: a b  f ( x ) dx = 0  b a a  f ( x ) dx = −  f ( x ) dx a a b kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx (k là hằng số)  a c b c a a b a  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx Nếu f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b] thì b b b b  f ( x ) ± g ( x )  dx =  f ( x ) dx ±  g ( x ) dx a a b b b a a a  f ( x ) dx =  f ( t ) dt =  f ( u ) du b  f ( x ) dx ≥ 0. a  Đặc biệt: • Nếu hàm y = f ( x ) là hàm số lẻ trên [ −a; a] thì • Nếu hàm y = f ( x ) là hàm số chẵn trên [ −a; a] thì  a −a f ( x ) dx = 0.  a −a a f ( x ) dx = 2  f ( x ) dx . 0 3. Phương pháp tính tích phân: a) Phương pháp tích phân từng phần: b b b a a a Quy tắc chung: I =  u.dv = uv −  vdu . Ta xét các dạng phổ biến sau:  Dạng b  P ( x ) .Q ( x ) .dx với Minh họa: π a P ( x ) là đa thức đại số, Q ( x )  I =  2 ( 2 x − 1) sin xdx . 0  du = 2dx u = 2 x − 1 Đặt  . ⇒  cos x v = ∫ sin xdx = −  dv = sin xdx  choïn C = 0 là hàm lượng giác hoặc hàm b b b a a a Ta có: I =  u.dv = uv −  vdu mũ . u = P ( x ) PP  →  dv = Q ( x ) dx π = − ( 2 x − 1) cos x 2 π +  2 2 cos xdx = ...... 0 0  du = P′ ( x ) dx  .  v =  Q ( x ) dx  1 J =  (1 − x ) e2 x dx . 0 du = −dx  u = 1 − x   1 2x . 2x ⇒  Đặt  dv = e2 x dx v = ∫ e dx = 2 e   choïn C =0  Lưu ý: v =  Q ( x ) dx nên kết quả có dạng R ( x ) + C , ta chủ J= động chọn 1 giá trị C có lợi cho 11 1 1 (1 − x ) e2 x + 0 e2 x dx = ...... 0 2 2 tính toán sau này.  Dạng b  P ( x ) .Q ( x ) .dx với Minh họa: a  P ( x ) là đa thức đại số hoặc phân thức, Q ( x ) là hàm logarit. u = Q ( x ) PP  →  dv = P ( x ) dx   du = Q′ ( x ) dx  .  v = P x dx ( )   e I =  x 2 ln xdx . 1 1  du = dx  u = ln x  x  Đặt  . 2 3 dv = x dx v = x 2 dx = x   3 3 3 3 e x e x 1 e 1 e I = ln x −  . dx = −  x 2 dx = ...... 1 3 x 1 3 3 3 1 e ln x . J = 2 1 ( x + 1)  du = 1 dx u = ln x  x  Đặt  ⇒  1 1 x . dx dv = v = − x + 1 + 1 = x + 1 2 ( x + 1)     choïn C =1 J= e e e x x 1 e ln x −  . dx = − ln x + 1 = ... 1 x +1 x 1 1 x +1 e +1 b) Phương pháp tích phân đổi biến: b  Đổi biến loại 1: Xét tích phân dạng I =  f u ( x )  .u′ ( x ) dx . a PP  → Đặt t = u ( x )  dt = u′ ( x ) dx . Đổi cận: x = a  t1 = u ( a ) , x = b  t2 = u ( b ) . t2 Khi đó tích phân cần tính là: I =  f ( t ) dt . Ta xét các dạng phổ biến sau: t1 b 1) Dạng I =  f ( x n ) x n−1dx . a PP  → t = α x n + β (hoặc t = x n ) I = • • • b 2) Dạng I =  f a ( u ) . u′.dx . n 1 0 1 x 2 dx x +1 3 1 Đặt t = x 3 + 1  dt = 3 x 2 dx  x 2 dx = dt . 3 Đổi cận: x = 0  t = 1, x = 1  t = 2 . 21 1 Ta có: I =  . dt = ...... 1 t 3 I = 0 7 3 x 2 + 1. xdx