Tài liệu Bộ đề thi thử tn thpt 2010 -2011 (có đáp án lời giải chi tiết)

20 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐÁP ÁN CHI TIẾT WWW.VNMATH.COM KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Đề số 01 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ------------------------------ --------------------------------------------------- I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = (1- x)2(4 - x) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại giao điểm của (C ) với trục hoành. 3) Tìm m để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt: x3 - 6x2 + 9x - 4 + m = 0 Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: 22x+1 - 3.2x - 2 = 0 1 I = ò(1+ x)exdx 2) Tính tích phân: 0 3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = ex(x2 - x - 1) trên đoạn [0;2]. Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích của hình chóp. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây 1. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;0;- 1), B(1;- 2;3),C (0;1;2) . 1) Chứng minh 3 điểm A,B,C không thẳng hàng. Viết phương trình mặt phẳng (ABC ) . 2) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O lên mặt phẳng (ABC ) . Câu Va (1,0 điểm): Tìm số phức liên hợp của số phức z biết rằng: z + 2z = 6 + 2i . 2. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không A(2;0;- 1), B(1;- 2;3),C (0;1;2) 1 gian với hệ toạ độ Oxyz cho 1) Chứng minh 3 điểm A,B,C không thẳng hàng. Viết phương trình mặt phẳng (ABC ) . 2) Viết phương trình mặt cầu tâm B, tiếp xúc với đường thẳng AC. Câu Vb (1,0 điểm): Tính môđun của số phức z = ( 3 - i )2011 . ---------- Hết ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ........................................ Số danh: ............................................... 2 báo BÀI GIẢI CHI TIẾT . Câu I : y = (1- x)2(4 - x) = (1- 2x + x2)(4 - x) = 4 - x - 8x + 2x2 + 4x2 - x3 = - x3 + 6x2 - 9x + 4  y = - x3 + 6x2 - 9x + 4  Tập xác định: D = ¡  Đạo hàm: y¢= - 3x2 + 12x - 9 éx = 1 2 ¢  Cho y = 0 Û - 3x + 12x - 9 = 0 Û ê êx = 3 ê ë ; lim y = - ¥  Giới hạn: lim y = +¥ x®- ¥ x®+¥  Bảng biến thiên x – – y¢ y 1 0 + + 0 3 0 4 + – –  Hàm số ĐB trên khoảng (1;3), NB trên các khoảng (–;1), (3;+) Hàm số đạt cực đại yCÑ = 4 tại xCÑ = 3 ; đạt cực tiểu yCT = 0 tại xCT = 1  y¢¢= - 6x + 12 = 0 Û x = 2 Þ y = 2. Điểm uốn là I(2;2) éx = 1 3 2  Giao điểm với trục hoành: y = 0 Û - x + 6x - 9x + 4 = 0 Û ê êx = 4 ê ë Giao điểm với trục tung: x = 0 Þ y = 4  Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4 y 4 0 2 4 0  Đồ thị hàm số: nhận điểm I làm trục đối xứng như hình vẽ bên đây  (C ) : y = - x3 + 6x2 - 9x + 4 . Viết pttt tại giao điểm của (C ) với trục hoành.  Giao điểm của (C ) với trục hoành: A(1;0), B (4;0)  pttt với (C ) tại A(1;0) : ïï O x0 = 1 vaøy0 = 0 ü ý Þ pttt taïi A : y - 0 = 0(x - 1) Û y = 0 O f ¢(x0) = f ¢(1) = 0ïï þ  pttt với (C ) tại B (4;0) : ïï O x0 = 4 vaøy0 = 0 ü ý Þ pttt taïi B : y - 0 = - 9(x - 4) Û y = - 9x + 36 O f ¢(x0) = f ¢(4) = - 9ïï þ  Vậy, hai tiếp tuyến cần tìm là: y = 0 và y = - 9x + 36 3 2 3 2  Ta có, x - 6x + 9x - 4 + m = 0 Û - x + 6x - 9x + 4 = m (*)  (*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y = - x3 + 6x2 - 9x + 4 và d : y = m nên số nghiệm phương trình (*) bằng số giao điểm của (C ) và d.  Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 0), phương trình (*) trở thành ét = 2 (nhan) 2t2 - 3t - 2 = 0 Û ê êt = - 1 (loai) ê 2 ë  Với t = 2: 2x = 2 Û x = 1  Vậy, phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 1. 1  I = ò(1 + x)exdx 0 ïì u = 1 + x Þ  Đặt ïí ïï dv = exdx îï ïì du = dx ïí . Thay vào công thức tích phân từng phần ta được: ïï v = ex îï 1 I = (1 + x)ex 0 - 1 1 ò0 exdx = (1 + 1)e1 - (1 + 0)e0 - ex 0 = 2e - 1- (e1 - e0) = e 1  Vậy, I = ò(1 + x)exdx = e 0  Hàm số y = ex(x2 - x - 1) liên tục trên đoạn [0;2]  y¢= (ex )¢(x2 - x - 1) + ex(x2 - x - 1)¢= ex (x2 - x - 1) + ex(2x - 1) = ex(x2 + x - 2) éx = 1 Î [0;2] (nhan) x 2 2 ê ¢ y = 0 Û e ( x + x 2) = 0 Û x + x 2 = 0 Û  Cho êx = - 2 Ï [0;2] (loai) ê ë 1 2  Ta có, f (1) = e (1 - 1- 1) = - e f (0) = e0(02 - 0 - 1) = - 1 f (2) = e2(22 - 2 - 1) = e2  Trong các kết quả trên, số nhỏ nhất là - e và số lớn nhất là e2 2  Vậy, min y = - e khi x = 1; max y = e khi x = 2 [0;2] [0;2] Câu III  Gọi O là tâm của mặt đáy thì SO ^ (ABCD ) do đó SO là đường cao của hình chóp và hình chiếu của SB lên mặt đáy là BO, · do đó SBO = 600 (là góc giữa SB và mặt đáy) · · · SO BD  Ta có, tan SBO = Þ SO = BO.tanSBO = .tanSBO BO 2 = a 2.tan600 = a 6  Vậy, thể tích hình chóp cần tìm là 1 1 1 4a3 6 V = B.h = AB.BC .SO = 2a.2aa . 6= 3 3 3 3 THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: Với A(2;0;- 1), B(1;- 2;3),C (0;1;2) . uuur uuur Ta có hai véctơ: AB = (- 1;- 2;4) , AC = (- 2;1;3) æ- 2 4 4 - 1 - 1 - 2÷ ö uuur uuur r ç ÷ ç [ AB , AC ] = ; ; = ( 10 ; 5 ; 5) ¹ 0 Þ A, B,C ÷  ç ÷ ç 1 3 3 2 2 1 ÷ ç è ø hàng.  Điểm trên mp (ABC ) : A(2;0;- 1) uuur uuur  vtpt của mp (ABC ) : nr = [AB, AC ] = (- 10;- 5;- 5) 4 không thẳng  Vậy, PTTQ của mp (ABC ) : A(x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) = 0 Û - 10(x - 2) - 5(y - 0) - 5(z + 1) = 0 Û - 10x - 5y - 5z + 15 = 0 Û 2x + y + z - 3 = 0  Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (a) , có vtcp r u = (2;1;1) ìï x = 2t ïï ï  PTTS của d : í y = t . Thay vào phương trình mp (a) ta được: ïï ïï z = t î 2(2t) + (t) + (t) - 3 = 0 Û 6t - 3 = 0 Û t = 21  Vậy, toạ độ hình chiếu cần tìm là H ( 1; 21 ; 21) Câu Va:  Đặt z = a + bi Þ z = a - bi , thay vào phương trình ta được a + bi + 2(a - bi ) = 6 + 2i Û a + bi + 2a - 2bi = 6 + 2i Û 3a - bi = 6 + 2i ìï 3a = 6 ìï a = 2 Û ïí Û ïí Þ z = 2 - 2i Þ z = 2 + 2i ïï - b = 2 ïï b = - 2 î î  Vậy, z = 2 + 2i THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb: Với A(2;0;- 1), B(1;- 2;3),C (0;1;2) .  Bài giải hoàn toàn giống bài giải câu IVa (phần của ban cơ bản): đề nghị xem lại phần trên uuur  Đường thẳng AC đi qua điểm A(2;0;- 1) , có vtcp ur = AC = (- 2;1;3) uuur  Ta có, AB = (- 1;- 2;4) æ- 2 4 4 - 1 - 1 - 2ö uuur r r uuur ÷ ç ÷ ç [ AB , u ] = ; ; = (- 10;- 5;- 5) ÷ . Suy ra ç u = AC = (- 2;1;3) ÷ ç 1 3 3 2 2 1 ÷ ç è ø  Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC ta được uuur r [AB, u] (- 10)2 + (- 5)2 + (- 5)2 15 d(B, AC ) = = = r u 14 (- 2)2 + (1)2 + (32)  Mặt cầu cần tìm có tâm là điểm B (1;- 2;3) , bán kính R = d(B, AC ) = 15 14 có pt (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 225 14 Câu Vb: Ta có, ( 3 - i )3 = ( 3)3 - 3.( 3)2.i + 3. 3.i 2 - i 3 = 3 3 - 9i - 3 3 + i = - 23.i 670 3 670 2010 670  Do đó, ( 3 - i )2010 = é ( 3 - i )3ù = 22010.(i 4)167.i 2 = - 22010 ê ú ë û = (- 2 i ) = 2 .i Vậy, z = ( 3 - i )2011 = - 22010.( 3 - i ) Þ z = 22010. ( 3)2 + 12 = 2011 WWW.VNMATH.COM 5 nên WWW.VNMATH.COM KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Đề số 02 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ------------------------------ --------------------------------------------------- I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = x3 - 3x2 + 3x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y = 3x . Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: 6.4x - 5.6x - 6.9x = 0 p 2) Tính tích phân: I = ò(1 + cosx)xdx 0 3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = ex(x2 - 3) trên đoạn [– 2;2]. Câu III (1,0 điểm): Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (BA = BC), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là a 3 , cạnh bên SB tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích toàn phần của hình chóp. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây 1. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(2;1;1) và hai đường thẳng x - 1 y +2 z +1 x - 2 y - 2 z +1 = = , d¢: = = 1 - 3 2 2 - 3 - 2 1) Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm A đồng thời vuông góc với đường thẳng d 2) Viết phương trình của đường thẳng D đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cắt đường thẳng d¢ Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức: d: (z )4 - 2(z )2 - 8 = 0 2. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz cho mp(P) và mặt cầu (S) lần lượt có phương trình (P ) : x - 2y + 2z + 1 = 0 và (S ) : x2 + y2 + z2 – 4x + 6y + 6z + 17 = 0 1) Chứng minh mặt cầu cắt mặt phẳng. 2) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng. 6 Câu Vb (1,0 điểm): Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = 1 2 + 2i ---------- Hết ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ........................................ Số danh: ............................................... Chữ ký của giám thị 1: .................................. Chữ ký của giám thị 2: ................................. 7 báo BÀI GIẢI CHI TIẾT . Câu I :  y = x3 - 3x2 + 3x  Tập xác định: D = ¡  Đạo hàm: y¢= 3x2 - 6x + 3  Cho y¢= 0 Û 3x2 - 6x + 3 = 0 Û x = 1 ; lim y = +¥  Giới hạn: lim y = - ¥ x®- ¥ x®+¥  Bảng biến thiên x – y¢ 1 0 + y – + + 1 +  Hàm số ĐB trên cả tập xác định; hàm số không đạt cực trị.  y¢¢= 6x - 6 = 0 Û x = 1 Þ y = 1. Điểm uốn là I(1;1)  Giao điểm với trục hoành: Cho y = 0 Û x3 - 3x2 + 3x = 0 Û x = 0 Giao điểm với trục tung: Cho x = 0 Þ y = 0  Bảng giá trị: x 0 1 2 y 0 1 2  Đồ thị hàm số (như hình vẽ bên đây):  (C ) : y = x3 - 3x2 + 3x . Viết của (C ) song song với đường thẳng D : y = 3x .  Tiếp tuyến song song với D : y = 3x nên có hệ số góc k = f ¢(x0) = 3 éx = 0 2 2 0 Do đó: 3x0 - 6x0 + 3 = 3 Û 3x0 - 6x0 = 0 Û ê êx = 2 ê ë0  Với x0 = 0 thì y0 = 03 - 3.02 + 3.0 = 0 và f ¢(x0) = 3 nên pttt là: y - 0 = 3(x - 0) Û y = 3x (loại vì trùng với D )  Với x0 = 2 thì y0 = 23 - 3.22 + 3.2 = 2 và f ¢(x0) = 3 nên pttt là: y - 2 = 3(x - 2) Û y = 3x - 4  Vậy, có một tiếp tuyến thoả mãn đề bài là: y = 3x - 4 Câu II  6.4x - 5.6x - 6.9x = 0. Chia 2 vế pt cho 9x ta được 2x x æö æö 4x 6x 2÷ 2÷ ç ç ÷ ÷ 6. x - 5. x - 6 = 0 Û 6.ç ç ÷ - 5.è ÷ - 6 = 0 (*) ç ç3ø è ø 3 9 9 x æö 2÷ (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành  Đặt t = ç ÷ ç ÷ ç è3ø 6t2 - 5t - 6 = 0 Û t = 3 2 (nhan) , t = - (loai) 2 3 x x - 1 3 æö 2÷ 3 æö 2÷ æö 2÷ ç ç :ç =ç Û x =- 1 ç ÷ ç ÷=2Û è ÷ ÷ ç3÷ ç3÷ è3ø ø è ø 2 ç  Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = - 1.  Với t = 8 p p p  I = ò(1 + cosx)xdx = ò xdx + ò x cosxdx 0 0 0 p p  Với I 1 = ò xdx = 0 x2 p2 02 p2 = = 20 2 2 2 p  Với I 2 = ò x cosxdx 0 ìï u = x ï Þ  Đặt í ïï dv = cosxdx î được: p I 2 = x sin x 0 - ìï du = dx ï . Thay vào công thức tích phân từng phần ta í ïï v = sin x î p ò0 p p sin xdx = 0 - (- cosx) 0 = cosx 0 = cos p - cos0 = - 2 p2 - 2 2  Hàm số y = ex(x2 - 3) liên tục trên đoạn [–2;2]  Vậy, I = I 1 + I 2 =  y¢= (ex )¢(x2 - 3) + ex(x2 - 3)¢= ex(x2 - 3) + ex(2x) = ex(x2 + 2x - 3) éx = 1 Î [- 2;2] (nhan) x 2 2  Cho y¢= 0 Û e (x + 2x - 3) = 0 Û x + 2x - 3 = 0 Û ê êx = - 3 Ï [- 2;2] (loai) ê ë 1 2  Ta có, f (1) = e (1 - 3) = - 2e f (- 2) = e- 2[(- 2)2 - 3] = e- 2 f (2) = e2(22 - 3) = e2  Trong các kết quả trên, số nhỏ nhất là - 2e và số lớn nhất là e2 2  Vậy, min y = - 2e khi x = 1; max y = e khi x = 2 [- 2;2] [- 2;2] Câu III  Theo giả thiết, SA ^ AB , SA ^ AC , BC ^ AB , BC ^ SA Suy ra, BC ^ (SAB ) và như vậy BC ^ SB Do đó, tứ diện S.ABC có 4 mặt đều là các tam giác vuông. ·  Ta có, AB là hình chiếu của SB lên (ABC) nên SBA = 600 · SA tanSBA = AB Þ AB = SA a 3 = = a (= BC ) · 3 tan SBO AC = AB 2 + BC 2 = a2 + a2 = a 2 SB = SA2 + AB 2 = (a 3)2 + a2 = 2a  Vậy, diện tích toàn phần của tứ diện S.ABC là: STP = SDSAB + SDSBC + SDSAC + SDABC 1 = (SA.AB + SB.BC + SA.AC + AB.BC ) 2 1 3+ 3 + 6 2 = (a 3.a + 2aa . + a 3.a 2 + aa . )= ×a 2 2 THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa:  Điểm trên mp (a) : A(2;1;1) 9 r r  vtpt của (a) là vtcp của d: n = ud = (1;- 3;2)  Vậy, PTTQ của mp (a) : A(x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) = 0 Û 1(x - 2) - 3(y - 1) + 2(z - 1) = 0 Û x - 2 - 3y + 3 + 2z - 2 = 0 Û x - 3y + 2z - 1 = 0 ìï x = 2 + 2t ïï ï ¢  PTTS của d : í y = 2 - 3t . Thay vào phương trình mp (a) ta được: ïï ïï z = - 1- 2t î (2 + 2t) - 3(2 - 3t) + 2(- 1- 2t) - 1 = 0 Û 7t - 7 = 0 Û t = 1  Giao điểm của (a) và d¢ là B (4;- 1;- 3)  Đường thẳng D chính là đường thẳng AB, đi qua A(2;1;1) , có vtcp ìï x = 2 + 2t ïï u u u r ïí y = 1- 2t (t Î ¡ ) r D : u = AB = (2;- 2;- 4) nên có PTTS: ïï ïï z = 1- 4t î Câu Va: (z )4 - 2(z )2 - 8 = 0  Đặt t = (z )2 , thay vào phương trình ta được é(z )2 = 4 éz = ±2 ét = 4 ê 2 ê t - 2t - 8 = 0 Û ê Û ê 2 Û ê Û ê t =- 2 z = ±i 2 (z ) = - 2 ê ê ê ë ë ë  Vậy, phương trình đã cho có 4 nghiệm: éz = ±2 ê ê z = mi 2 ê ë z1 = 2 ; z2 = - 2 ; z3 = i 2 ; z4 = - i 2 THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb:  Từ pt của mặt cầu (S) ta tìm được hệ số : a = 2, b = –3, c = –3 và d = 17 Do đó, mặt cầu (S) có tâm I(2;–3;–3), bán kính R = 22 + (- 3)2 + (- 3)2 - 17 = 5  Khoảng cách từ tâm I đến mp(P): d = d(I ,(P )) = 2 - 2(- 3) + 2(- 3) + 1 12 + (- 2)2 + 22 = 1< R  Vì d(I ,(P )) < R nên (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) Gọi d là đường thẳng qua tâm I của mặt cầu và vuông góc mp(P) thì d có vtcp ìï x = 2 + t ïï r u = (1;- 2;2) nên có PTTS d : ïí y = - 3 - 2t (*). Thay (*) vào pt mặt phẳng (P) ta ïï ïï z = - 3 + 2t î được (2 + t) - 2(- 3 - 2t) + 2(- 3 + 2t) + 1 = 0 Û 9t + 3 = 0 Û t = -  Vậy, đường tròn (C) có r = R 2 - d2 = 5 - 1 = 2 Câu Vb: 10 tâm æ 5 7 11ö ÷ ÷ Hç ç ÷ ç3;- 3 ;- 3 ø è và 1 3 bán kính 1 2 - 2i = = 2 + 2i (2 + 2i )(2 - 2i ) æ2  Vậy, z = 1 + 1 i = 2 ç ç ç + 4 4 4 è2  z= 2 + 2i 2 + 2i 1 1 = = + i 2 8 4 4 4 - 4i ö 2 ÷ 2æ p p ö ç ÷ i÷ cos + sin i÷ ç ÷= ÷ ÷ ç ø è 2 4 4 4 ø 11 2 2 æö 1÷ æö 1÷ 2 ç ç ÷ ÷ Þ z = ç ç ÷+è ÷= 4 ç4ø ç4ø è WWW.VNMATH.COM KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Đề số 03 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ------------------------------ --------------------------------------------------- I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = - x4 + 4x2 - 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho. 2) Dựa vào (C ) , hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x4 - 4x2 + 3 + 2m = 0 3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) tại điểm trên (C ) có hoành độ bằng 3. Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: 7x + 2.71- x - 9 = 0 2) Tính tích phân: e2 I = ò (1+ ln x)xdx e 3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = [- x2 + 2x + 2 trên đoạn x +1 1 ;2] 2 Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SA = 2a. Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây 1. Theo chương trình chuẩn Câu r r r IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ (O, i , j , k ) , uur r r r OI = 2i + 3j - 2k và mặt phẳng (P ) có phương trình: x - 2y - 2z - 9 = 0 cho 1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P ) . 2) Viết phương trình mp (Q) song song với mp (P ) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây: y = x3 - 4x2 + 3x - 1 và y = - 2x + 1 2. Theo chương trình nâng cao 12 Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(–1;2;7) x- 2 y- 1 z và đường thẳng d có phương trình: = = 1 2 1 1) Hãy tìm toạ độ của hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d. 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng d. ìï log x + log y = 1+ log 9 ï 4 4 4 Câu Vb (1,0 điểm): Giải hệ pt í ïï x + y - 20 = 0 î ---------- Hết ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ........................................ Số báo danh: ............................................... Chữ ký của giám thị 1: .................................. Chữ ký của giám thị 2: ................................. 13 BÀI GIẢI CHI TIẾT . Câu I :  y = - x4 + 4x2 - 3  Tập xác định: D = ¡  Đạo hàm: y¢= - 4x3 + 8x  Cho é4x = 0 y¢= 0 Û - 4x + 8x = 0 Û 4x(- x + 2) = 0 Û ê ê- x2 + 2 = 0 Û ê ë lim y = - ¥ ; lim y = - ¥  Giới hạn: x®¥ x®+¥ 3 2 éx = 0 ê êx2 = 2 Û ê ë éx = 0 ê ê x=± 2 ê ë  Bảng biến thiên x – + y¢ y - 0 2 0 1 – – 0 + 0 1 – –3  Hàm số ĐB trên các khoảng (- ¥ ;(- + 2 – 2),(0; 2) , NB trên các khoảng 2;0),( 2; +¥ ) Hàm số đạt cực đại yCĐ = 1 tại xCÑ = ± 2 , đạt cực tiểu yCT = –3 tại xCT = 0 . éx2 = 1 ê Û  Giao điểm với trục hoành: cho y = 0 Û - x + 4x - 3 = 0 Û ê 2 x =3 ê ë Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = - 3 4  Bảng giá trị: x - 3 - 2 y 0 1  Đồ thị hàm số: 0 –3 2 1 2 éx = ±1 ê ê x=± 3 ê ë 3 0  x4 - 4x2 + 3 + 2m = 0 Û - x4 + 4x2 - 3 = 2m (*)  Số nghiệm pt(*) bằng với số giao điểm của (C ) : y = - x4 + 4x2 - 3 và d: y = 2m.  Ta có bảng kết quả: Số giao Số điểm M 2m nghiệm của (C) và của pt(*) d m > 0,5 2m > 1 0 0 m = 0,5 2m = 1 2 2 –1,5< m < –3< 2m < 4 4 0,5 1 m = –1,5 2m = –3 3 3 14 m < –1,5 2m < –3 2 2  x0 = 3 Þ y0 = 0 gf ¢(x0) = f ¢( 3) = y¢= - 4x3 + 8x = - 4 3  Vậy, pttt cần tìm là: y - 0 = - 4 3(x Câu II 7x + 2.71- x - 9 = 0 Û 7x + 2.  Đặt t = 7x 7 7x 3) Û y = - 4 3x + 12 - 9 = 0 (*) (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành t+ 14 - 9 = 0 Û t2 + 14 - 9t = 0 Û t2 - 9t + 14 = 0 Û t ét = 2(nhan) ê êt = 7(nhan) ê ë  Với t = 2: 7x = 2 Û x = log7 2  Với t = 7 : 7x = 7 Û x = 1  Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm : x = 1 và x = log7 2 e2  I = ò (1 + ln x)xdx e ìï u = 1+ ln x ï Þ  Đặt í ïï dv = xdx î được: I = 2 ìï ïï du = 1 dx ï x . Thay vào công thức tích phân từng phần ta í ïï x2 ïï v = 2 ïî e2 x (1 + ln x) 2 e e2 x òe 2 4 2 2 e2 e (1 + 2) e (1 + 1) x 2 2 4e 4 4 2 3e e e 5e4 3e2 2 = - e + = 2 4 4 4 4 dx = 5e4 3e2 4 4 2 x + 2x + 2  Hàm số y = liên tục trên đoạn [- 12 ;2] x +1 (x2 + 2x + 2)¢(x + 1) - (x2 + 2x + 2)(x + 1)¢ (2x + 2)(x + 1) - (x2 + 2x + 2)1 x2 + 2x = =  y¢= (x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2 éx = 0 Î [- 1 ;2] (nhan) 2 ê 2 ¢ y = 0 Û x + 2 x = 0 Û  Cho êx = - 2 Ï [- 1 ;2] (loai) ê 2 ë æ 1ö 5 10 ÷ ÷  Ta có, f (0) = 2 fç = f (2) = ç ÷ ç è 2ø 2 3 10  Trong các kết quả trên, số nhỏ nhất là 2 và số lớn nhất là 3 10 y = 2 khi x = 0; max y = khi x = 2  Vậy, min [- 1;2] [- 1;2] 3 2 2 Câu III Theo giả thiết, SA ^ AC , SA ^ AD , BC ^ AB , BC ^ SA Suy ra, BC ^ (SAB ) và như vậy BC ^ SB Hoàn toàn tương tự, ta cũng sẽ chứng minh được CD ^ SD .  A,B,D cùng nhìn SC dưới 1 góc vuông nên A,B,D,S,C cùng thuộc đường tròn đường kính SC, có tâm là trung điểm I của SC.  Vậy, I = 15  Ta có, SC = SA 2 + AC 2 = (2a)2 + (a 2)2 = a 6  Bán kính mặt cầu: R = SC = a 6 2 2 æ ö2 a 6 ÷ ç 2  Vậy, diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD là: S = 4pR 2 = 4p ç ÷ ÷ = 6pa ç è 2 ÷ ø THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: uur r r r  OI = 2i + 3j - 2k Þ I (2;3;- 2)  Tâm của mặt cầu: I (2;3;- 2)  Bán kính của mặt cầu: R = d(I ,(P )) = 2 - 2.3 - 2.(- 2) - 9 12 + (- 2)2 + (- 2)2 = 9 =3 3  Vậy, pt mặt cầu (S) là: (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 Û (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = 9 r r  (Q) || (P ) : x - 2y - 2z - 9 = 0 nên (Q) có vtpt n = n(P ) = (1;- 2;- 2) Do đó PTTQ của mp(Q) có dạng (Q) : x - 2y - 2z + D = 0 (D ¹ - 9)  Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên éD = 9 (nhan) 2 - 2.3 - 2.(- 2) + D D d(I ,(Q)) = R Û = 3Û = 3Û D = 9Û ê êD = - 9(loai) 3 ê 12 + (- 2)2 + (- 2)2 ë  Vậy, PTTQ của mp(Q) là: (Q) : x - 2y - 2z + 9 = 0 éx = 1 3 2 3 2 ê x 4 x + 3 x 1 = 2 x + 1 Û x 4 x + 5 x 2 Û Câu Va: Cho êx = 2 ê ë 2  Diện tích cần tìm là: S = ò x3 - 4x2 + 5x - 2 dx 1 2 æ ö x4 4x3 5x2 1 1 (đvdt) ÷ ç hay S = ÷ ç ( x 4 x + 5 x 2) dx = + 2 x = ÷ =ò1 ç4 è ø 3 2 12 12 1 THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb:  Gọi H là hình chiếu của A lên d thì H (2 + t;1+ 2t;t) , do đó uuur AH = (3 + t;2t - 1;t - 7) uuur r  Do AH ^ d nên AH .ud = 0 Û (3 + t).1 + (2t - 1).2 + (t - 7).1 = 0 Û 6t - 6 = 0 Û t = 1  Vậy, toạ độ hình chiếu của A lên d là H (3;3;1)  Tâm của mặt cầu: A(–1;2;7) 2 3 2  Bán kính mặt cầu: R = AH = 42 + 12 + (- 6)2 = 53  Vậy, phương trình mặt cầu là: (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 7)2 = 53 Câu Vb: ĐK: x > 0 và y > 0 ïìï log4 x + log4 y = 1 + log4 9 ïìï log4 xy = log4 36 ïìï xy = 36 Û í Û í  í ïï x + y - 20 = 0 ïï x + y - 20 = 0 ïï x + y = 20 î î î éX = 18 > 0 2 ê X 20 X + 36 = 0 Û  x và y là nghiệm phương trình: êX = 2 > 0 ê ë 16 ìï x = 18 ìï x = 2 ï ; ïí  Vậy, hệ pt đã cho có các nghiệm: í ïï y = 2 ïï y = 18 î î WWW.VNMATH.COM 17 WWW.VNMATH.COM KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Đề số 04 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề -------------------------------------------------------------------------------I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) 2x - 1 x- 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho. 2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 4. Câu II (3,0 điểm): Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = 1) Giải phương trình: log22 x - log4(4x2) - 5 = 0 2) Tính tích phân: p 3 0 I =ò sin x + cosx dx cosx 3) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đây đạt cực tiểu tại điểm x0 = 2 y = x3 - 3mx2 + (m2 - 1)x + 2 Câu III (1,0 điểm): · Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BAC = 300 ,SA = AC = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính VS.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây 1. Theo chương trình chuẩn uuur r r r r r Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ (O, i , j , k ) , cho OM = 3i + 2k , mặt cầu (S) có phương trình: (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 9 1) Xác định toạ độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S) . Chứng minh rằng điểm M nằm trên mặt cầu, từ đó viết phương trình mặt phẳng (a) tiếp xúc với mặt cầu tại M. 2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của mặt cầu, song song với (a) , mặt phẳng đồng thời vuông góc với đường thẳng D: x +1 y - 6 z - 2 = = . 3 - 1 1 Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức: - z2 + 2z - 5 = 0 2. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có toạ độ các đỉnh là A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1) 1) Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD. 18 2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Câu Vb (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây y = ln x , trục hoành và x = e ---------- Hết --------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ........................................ Số báo danh: ............................................... Chữ ký của giám thị 1: .................................. Chữ ký của giám thị 2: ................................. 19