www.VNMATH.com
TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2016
NHÓM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN
1) PHẠM VĂN QUÝ
2) NGUYỄN VIẾT THANH
3) DOÃN TIẾN DŨNG
ĐƠN VỊ CÔNG TÁC: TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG, TX ĐỒNG XOÀI, TỈNH BÌNH PHƯỚC
2
x 12 y y(12 x ) 12 (1)
(x, y R)
Bài 1 Giải hệ phương trình: 3
x 8x 1 2 y 2
(2)
2 y 12
2 y 12
Điều kiện :
12 x 2 0
2 3 x 2 3
Giải
Cách 1:
Đặt a 12 y , a 0 y 12 a 2
PT (1) xa (12 a 2 )(12 x 2 ) 12
122 12x 2 12a 2 x 2a 2 12 xa
xa 12
2
12 12x 2 12a 2 x 2a 2 122 2.12.xa x 2a 2
xa 12
2
12x 2.12xa 12a 2 0
xa 12
(x a )2 0
Ta có (x – a)2 = 0 x = 12 y (*)
Thế (*) vào (2) được : (12 y ) 12 y 8 12 y 1 2 y 2
(4 y ) 12 y 2 y 2 1
(3 y ) 12 y 12 y 3 2 2 y 2 0
(3 y ) 12 y
3 y
12 y 3
2(3 y )
1 y 2
0
y 3
1
2
0(voâ nghieäm)
12 y
12
y
3
1
y
2
www.VNMATH.com
(ĐH khối A – 2014)
www.VNMATH.com
x 3
Vậy
y 3
Cách 2:
Ta có x 12 y (12 x 2 )y
x
Dấu “=” xảy ra
12 y 2
x
2
12 x 2 12 y y 12
12 y
x y (12 y )(12 x 2 ) (3)
y
Khi đó (1) tương đương với (3)
x 0
x 0
x 0
x 2y 144 12x 2 12y x 2y
12y 144 12x 2
y 12 x 2 (4)
(3)
Thế (4) vào (2) ta có
(2) x 3 8x 1 2 10 x 2 x 3 8x 1 2 10 x 2 0
x 3 8x 3 2 1 10 x 2 0
x 3 x 2 3x 1 2.
x 3 x 2 3x 1 2.
1 (10 x 2 )
1 10 x 2
9 x2
2
0
0
1 10 x
2(x 3)
x 3 x 2 3x 1
0
1 10 x 2
x 3
2
2(x 3)
0 (voâ nghieäm vì x 0)
x 3x 1
2
1 10 x
x 3y 3
x 3
Vậy
y 3
Cách 3:
Đặt a x ; 12 x 2 ;b
a b 12
2
2
12 y ; y
(1) a b 2a.b
a b x 12 y
(2) x 3 8x 3 2 10 x 2 2
www.VNMATH.com
x 3 x 2 3x 1 2
www.VNMATH.com
3 x 3 x
10 x 2 1
x y 3
x
2
3x 1
10 x 2 1 2 3 x 0
Đặt f x x 2 3x 1 10 x 2 1 2 3 x
f ' x 0 x 0 phương trình vô nghiệm.
Vậy nghiệm của hpt trên: (3;3)
(1 y ) x y x 2 (x y 1) y
Bài 2 Giải hệ phương trình: 2
(ĐH khối B – 2014)
2y 3x 6y 1 2 x 2y 4x 5y 3
Giải
y 0
Điều kiện: x 2y
4x 5y 3
Phương trình thứ nhất viết lại thành
(1 y ) x y (1 y ) (x y 1) (x y 1) y
y 1
y 1
(1 y )(x y 1)
(x y 1)
x y 1
y 1
x y 1
TH1 : y 1 thay xuống (2) ta có
9 3x 2 x 2 4x 8 x 3(TM )
TH2 : x y 1 thay xuống (2) ta có
2y 2 3y 2 2 1 y 1 y
2y 2 3y 2 1 y 0
2(y 2 y 1) (y 1 y ) 0
1
(y 2 y 1) 2
0
y 1 y
y
5 1
x
2
Vậy hệ đã cho có nghiệm : (x ; y ) (3;1),(
5 1
(TM )
2
5 1 5 1
;
).
2
2
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
y(x 2x 2) x (y 2 6)
Bài 3 Giải hệ phương trình:
(y 1)(x 2 2x 7) (x 1)(y 2 1)
2
Giải
ĐK: x , y R
2
2
b(a 2 1) (a 1)(b 2 6)
a x 1
(a 1)(b 6) b(a 1) (*)
Đặt
, ta có hệ trở thành:
2
2
2
2
b y
(b 1)(a 6) a(b 1)
(b 1)(a 6) a(b 1)(**)
Trừ vế theo vế hai phương trình rồi thu gọn ta có:
a b
(a b)(a b 2ab 7) 0
a b 2ab 7 0
Trường hợp 1: a b thay vào phương trình (*) ta có:
a 2
(a 1)(a 2 6) a(a 2 1) a 2 5a 6 0
a 3
x 1
hệ có 2 nghiệm (x; y) là:
x
2
Trường hợp 2: a b 2ab 7 0
2
2
5
5
1
Trừ vế theo vế hai phương trình (*) và (**) rồi rút gọn ta có: a b
2
2
2
a b 2ab 7 0
2
2
Vậy ta có hệ phương trình:
a 5 b 5 1
2
2
2
a 2 a 3 a 2 a 3
Đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ ta có các nghiệm:
;
;
;
b 2 b 3 b 3 b 2
Từ đó ta có các nghiệm (x; y) là: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2).
Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm là: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2).
x 3 12x y 3 6y 2 16 0
Bài 4 Giải hệ phương trình: 2
4x 2 4 x 2 5 4y y 2 6 0
Giải
ĐK: x 2;2 , y 0; 4
Ta có PT (1) (x 2)3 6(x 2) y 3 6y 2
Xét hàm số f (t ) t 3 6t, t 0; 4 ta có f '(t ) 3t 2 12t 3t(t 4) 0, t 0; 4 f (t ) nghịch
biến trên 0; 4 . Mà phương trình (1) có dạng: f ( x 2) f ( y ) y x 2 thay vào phương trình (2) ta
có: 4x 2 6 3 4 x 2 x 0 từ đó ta có y = 2.
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (0; 2).
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
x 2 y 1 3
Bài 5 Giải hệ phương trình: 3
.
x 4x 2 y 1 9x 8y 52 4xy
Giải
§K: y 1 .
x 3 2 y 1
HPT 3
2
x 4x y 1 4xy 4x 13x 8y 52 0
x 3 2 y 1
x (x 2 y 1)2 13x 8y 52 0
x 3 2 y 1
x 2y 13 0
x 3 2 y 1
y 1 5 y
x 3 2 y 1
y 5
2
y 11y 24 0
x 3 2 y 1
x 7
y 5
y 3
y 3
y 8
x 7
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm:
.
y 3
y 2x y x
1 0
Bài 6 Giải hệ phương trình:
xy
1 xy x 2 y 2 0
ĐK: x 0; y 0; xy 1
1 y 2x
2 , ta được:
y x xy 0
y x
y 2 x 1 0 y x y x thay vào
1x2 0 x 1 y 1
KL: hệ pt có tập nghiệm: S 1;1
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
2 x y
3 x 2 y2
5 x y 8 xy
xy
xy
Bài 7 Giải hệ phương trình:
5x y
5x 1 2 y
2
1
ĐK: x ; 0 y 2
5
3
3
Đặt u x y, u 0; v xy , v 0 khi đó
2
u
u
u
u
0 2 u 2v
1
2
u
3
u
v
uv
2
v
0
2
2
1
v
v
v
v
3
2
x y 2 xy
2
3
x y
5x 1 2 x 3x
2
0 x y thay vào 2 , ta được:
5x 5
5x 1 2
5
1
3x 3 x 1
3 0
5x 1 2
2 x 1
2 x 1
1x
x 1 y 1
5
1
1
3
0
VN
v
ì
x 2
5
5
x
1
2
2
x
1
KL: tập nghiệm của hệ pt là: S 1;1
2
3
x x 1
x 2
x y
1
2x 11 2 3y 1
2
y y
x y
y
Bài 8 Giải hệ phương trình:
x 3 x 2 1 4
1 0
y
y2
ĐK: y 0
2
3
2
y x 1
x 1
x y 1x y 1 0
x y x y x y 1 0
Hệ 3
x 1
y 2
3
2
2
x x 2 1 4y y 2 0
1
4
0
x
x
y
y
KL: S 1;2
2
2
2
2
2
2
4x 3xy 7y 4 x 5xy 6y 3x 2xy y
Bài 9 Giải hệ phương trình: 2
2
3x 10xy 34y 47
2
2
3x 2xy y 0
ĐK: 2
4x 3xy 7y 2 0
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình 1 , ta được:
x y n
1
4 0
x 2 5xy 6y 2
4x 2 3xy 7y 2 3x 2 2xy y 2
x 6y
n
x 1 y 1
Với x y thay vào 2 , ta được: x 2 1
x 1 y 1
y 47 x 6
82
Với x 6y thay vào 2 , ta được: 82y 2 47
y 47 x 6
82
47
82
47
82
47
47 47
47
KL: S 1;1, 1; 1,
; 6
;6
;
82 82
82
82
www.VNMATH.com
x 2 3xy 3 x y 0
Bài 10 Giải hệ phương trình: 4
x 9y x 2 y 5x 2 0
x 2 3y 3x 3xy
Hệ 2
2
2
2
x 3y 3x y 5x 0
x 0 y 0
1
2
2
Thay 1 vào 2 , ta được: x 9y 15y 4 0 y x 1
3
y 4 x 2 x 4 0
3
1
KL: S 0; 0; 1;
3
2
2
x 2 4 y 1 4xy 13
Bài 11 Giải hệ phương trình: x 2 xy 2y 2
2
x y
2
x y
x y2
x y 0
ĐK: x y 0
x 2y 0
www.VNMATH.com
VN
www.VNMATH.com
x 4xy 4y 4x 8y 5 0
x y x 2y x y x y 2
Hệ
2
2
x 2y 1
2
Ta có PT 1 x 2y 4 x 2y 5 0
l
x 2y 5
Với x 2y 1 thay vào 2 , ta được:
3y 1
y 1 1 3y 9y 3 6y 2 13y 0 y 0 x 1 thỏa mãn
KL: S 1; 0
2
x 5 x 2 2y x 2 3 2y
Bài 12 Giải hệ phương trình:
x 2 3y 6
ĐK: x 2y
x 2 2y 1
Ta có 2 x 2 6 3y thay vào 1 ta được: 1 5y 6 5y 5y 9 y 1 x 3 thỏa
mãn
KL: S
3;1; 3;1
x2 y
y 1
2
2
x
1
y
1
Bài 13 Giải hệ phương trình:
2
x 4y x 2 1 6 5 x 2 1 1
x
2
1 y 1
x 1 x 1
ĐK: y 1
2
x 1 y 1 0
2
a x 1, a 0
, ta được:
Đặt:
b y 1,b 0
2
b a b 2
3
a 4ab 2 5a 2b 6
Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm: S
20y 3 3y 2 3xy x y 0
Bài 14 Giải hệ phương trình: 2
2
x y 3y 1
www.VNMATH.com
10;2 ; 10;2
www.VNMATH.com
20y y 3y 1 x 3y 1 0
.
x 2 y 2 3y 1
3
Hệ
Thế 2 vào 1 , ta được phương trình thuần nhất bậc 3
3 1 3 1
KL: S ; ; ;
2 2 5 5
2
2
x 3y x 3y 0
Bài 15 Giải hệ phương trình:
2y 1 2x 2 y 2 3x 1 0
ĐK: y
1
2
3y x
3y x
Ta có PT 1 x 2 3y 2 3y x 2
y 0 l
6y 6xy 0
x y
Với x y thay vào 2 , ta được:
y 1 x 1
2
4
3
2
2y 1 y 3y 1 y 6y 11y 8y 2 0 y 2 2 l
y 2 2 x 2 2
KL: S 1;1; 2 2;2 2
2
3 x 4 y 4 2x 2y 2
x
y2
2
2
2
Bài 16 Giải hệ phương trình: y 2 x 2
x
y
xy 2 3y 2 4x 8
ĐK: x .y 0
Ta có PT 1 x 2 y 2
2
x 4 x 2y 2 y 4
0 x 2 y 2 x y
x y
2
2 2 2
2
x y x y
Với x y thay vào 2 , ta được: x 1 y 1
Với x y thay vào 2 , ta được: y 1 x 1
KL: S 1;1; 1; 1
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
10x 2 5y 2 2xy 38x 6y 41 0
Bài 17 Giải hệ phương trình: 3
x xy 6y y 3 x 2 1 2
x 3 xy 6y 0
ĐK: 3
y x2 1 0
Ta có PT 1 10x 2 2x y 19 5y 2 6y 41 0 .
Tính Δ 'x 49 y 1 0 y 1 thay vào 1 được x 2 thỏa hệ phương trình
2
KL: S 2;1
x 3 y 3 x 2y xy 2 2xy x y 0
Bài 18 Giải hệ phương trình:
x y x 3 2x 2 y 2
ĐK: x y
y x 1
Ta có PT 1 x y 1 x 2 y 2 x y 0 2
2
x y x y 0
x 0 y 1
y x 1 thay vào 2 , ta được: x 3 2x 2 x 0
x 1 y 0
x 2 y2 x y 0 x y 0
vì x y 0 thay vào hệ không thỏa
KL: S 1; 0; 0; 1
2
2
3 2
3 2
y 8x 3 1 3 y 1 y 1
Bài 19 Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
2
3 2
3
4 3 y 1 2 y 1 12x y 1 4x
1
1
x
2
2
2
a 3 y 1
Đặt:
, ta có:
b 1 4x 2 , b 0
ĐK:
b
2
b
3
2
3
2
2
a 3a 2a 3b b 0 a b 2 b
thay vào 1 , ta được:
3
a 3a 2 a 2b 2 0
3 b 2 b 2 b 2 b 3b 2 b 0 b 0 a 0 .
2
x 1
1 4x 0
Khi đó ta có: 2
3
y 12
y 1 0
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
1 1
1 1
KL: S ;1; ; 1; ;1; ; 1
2 2
2 2
3x 6 24y 3 2y x 2 9x 2 18y 11 0
Bài 20 Giải hệ phương trình:
1 3 2 2y 1 x 3 x 6y 1
ĐK: y 0
Ta có PT 1 x 2 2y 3x 4 6x 2y 9x 2 12y 2 18y 1 0
Với x 2 2y thay vào 2 , ta được:
1
2
1 2x 1 x 4x 1 x 1
0
x 1 3
3
2
2
3
3
(4x 1) 4x 1 2x 1 (2x 1)
3
3
1
2
x 1y
1
KL: S 1;
2
2 x y
2
x y
xy
xy
x y
xy
Bài 21 Giải hệ phương trình:
1
1
x y 4
y
x
ĐK: x 0; y 0
Ta có PT 1
y x xy
2
0 x y xy x y x 2y 2 2 xy thay vào 2 ta được:
xy 1 xy xy xy xy 4 0 xy 1
3 5
x
x
y
3
2
Khi đó ta có:
1
xy
y 3 5
2
3 5 3 5
;
KL: thay vào hệ ta có tập nghiệm: S
2
2
x 2 x 1 4 4 x 1 0
y 1 y 1
y 1
Bài 22 Giải hệ phương trình:
y 1
2
y 1x 1 x 1 2 y 1
2
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
ĐK: x 1; y 1
a x 1, a 0
b 2
2
Đặt:
. Ta có 1 b 2 a 2b 2 2ab ab 2 0
a 0
b y 1, b 0
x 1 0
x 1
thỏa hệ phương trình
y 1 2
y 5
KL: S 1; 5
x 3 y
1
4
y
2
x
y
Bài 23 Giải hệ phương trình:
1
1
1
2
3 3x 4y 8
y 1
y 1
ĐK: 2x y 0
3x 4y 8
2
Ta có 1 x 4y 1
0 x 4y thay vào 2 , ta được:
3 y 2x y
1
1
1
1
a 2 a 2 a 1 2a 2 a 1 0 a 1
3
2
2
2
2 y 1
y 1
1
1
6
y 1
1
a 6
y 1
1y 2x 8
KL: S 8;2
x 1 1 2y y 2 0
Bài 24 Giải hệ phương trình sau:
(x , y ).
y y x 1 x 4 0
Giải
Điều kiện: x 1.
Đặt t x 1, t 0. Khi đó x t 2 1 và hệ trở thành
t(1 2y ) y 2 0
t y 2ty 2 0
(t y ) 2ty 2 0
2
2
2
y(y t ) t 3 0
y ty t 3 0
(t y )2 3ty 3 0
t y 0
y t
2
Suy ra 2(t y ) 3(t y ) 0
3
t y
y t 3 .
2
2
Với y t, ta có 2t 2 2 0 t 1. Suy ra x 2, y 1.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
3
3
3
3 13
.
Với y t , ta có 2t t 2 0 4t 2 6t 1 0 t
2
Suy ra x
2
2
4
19 3 13
3 13
,y
.
8
4
Vậy nghiệm (x; y) của hệ là
(x 2) x 2 4x 7 y y 2 3 x y 2 0
Bài 25 Giải hệ phương trình sau: 2
x y 1 x y 1
Giải
Điều kiện: x 2 y 1 0
Phương trình (1) (x 2) (x 2)2 3 x 2 y (y )2 3 y
2
2
Xét hàm số f (t ) t t 3 t Có f '(t ) t 3
t2
1 0 t
t2 3
Hàm số f(t) đồng biến trên R Phương trình (1) x 2 y
Thay vào (2) ta có
3
3
x
x
x x 1 2x 3
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
1
4
12
9
1
4
12x 9
x 3
:
3
2
x
x
1 x 1 y 1 (tmdk)
2
2
3x 13x 10 0
x 10
3
2
Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;-1).
53 5x 10 x 5y 48 9 y 0
Bài 26 Giải hệ phương trình sau:
2
2x y 6 x 2x y 11 2x 66
Giải
10 x 0
x 10
9 y 0
y 9
ĐK:
2x y 6 0
2x y 6 0
2x y 11 0
2x y 11 0
Từ PT(1) ta có 5 10 x 3 10 x 5 9 y 3 9 y , 3
www.VNMATH.com
x , y
1
2
www.VNMATH.com
Xét hàm số f t 5t 3 t trên khoảng t 0; có f / t 15t 2 3 0, t 0 hàm số đồng
biến .Từ (3) ta có f
2
10 x f
9 y 10 x 9 y y x 1, 4 Thay (4) vào (2) ta
được x 7 10 x x 2 2x 66 0 (5) ĐK: x 7;10
Giải (5) ta được
x 7 4 1 10 x x 2 2x 63 0
x 9[
1
x 7 4
1
x 9
x 7 4
x 9
1 10 x
x 9x 7 0
x 7 ] 0 x 9, y 8
1 10 x
Vậy Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x ; y 9; 8
x
1y
x y 1
Bài 27 Giải hệ phương trình sau: 1 1 x 1 y
1 x 4 y 2 2
Giải
ĐK: 0 x ; y 1
PT(1)
x
x
1 1x
1y
1 1 (1 y )
1 y (*)
1
xét h/s f (t )
t
1 1t
t ; có f (t ) 2 t
'
(1 1 t )
1
2 1t
(1 1 t )2
. t
1 0
,t (1; )
vì (*) f (x ) f (1 y) x 1 y , thế vào pt(2) ta được :
1 x 5 x 2 2 6 2x 2 5 6x x 2 8
5 6x x 2 x 1 5 6x x 2 (x 1)2 x
1
1
y
2
2
(tmđk)
x 1
2
vậy hệ pt có nghiệm là
1
y
2
27x 3y 3 7y 3 8
Bài 28 Giải hệ phương trình sau: 2
9x y y 2 6x
Giải
Nhận xét y 0, nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được
(3xy )3 7(3xy )2 14(3xy ) 8 0
Từ đó tìm được hoặc 3 xy 1 hoặc 3 xy 2 hoặc 3 xy 4
Với 3 xy 1, thay vào phương trình thứ nhất, được y=1 do đó x
www.VNMATH.com
1
3
www.VNMATH.com
Với 3 xy 2, thay vào phương trình thứ nhất, được y=0 (loại)
Với 3 xy 4, thay vào phương trình thứ nhất, được y=-2 do đó x
2
3
3
3
x y 4x 2y
Bài 29 Giải hệ phương trình sau: 2
x 3y 2 4
Giải
3
3
Phương trình (1) 2(x y ) 4(2 x y)
Từ phương trình (2) thay 4 x 2 3y 2 vào phương trình trên và rút gọn ta được:
y 0
x 2y 6xy 2 5y 3 0 x y
x 5y
x 3 4x
TH1 : y 0 thay vào hệ ta được 2
x 2 nghiệm (x; y) (2; 0)
x 4
2x 3 2x
TH2 : x y y x thay vào hệ ta được : 2
x 1
4x 4
Hệ có nghiệm (x; y) (1; 1); (1;1)
TH3 : x 5y thay vào hệ ta có nghiệm (x; y) (
5
7
;
1
7
); (
5
7
;
1
7
)
Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm.
www.VNMATH.com
y 2 . x 2 x . y 0
Bài 30 Giải hệ phương trình sau:
x 1. y 1 y 3. 1 x 2 y 3x
(x; y R).
Giải
x 1; y 0
x 2 y 3x 0
ĐK:
PT (1) x 2.y x . y 2 x 2 0
có y x 2 8 x 2 x 4
2
với y
x 1
2x 4
2 x 2
y 2x 4
2 x 2
y 2 0 loai
4 x 2
y x 2 y x 2 , thế vào (1) ta được
2
x 2 1 x 1 1 x 2 2x 2 x 1.( x 2 1) x 1. x 1 1 (*)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Xét hàm số f (t ) t
t 2 1 1 t t 2 1 t , có f ' (t ) t 2 1
t2
2
t 1
1 0 f (t ) đồng
biến.
x 1
Vì PT (*) f ( x 1) f (x 1) x 1 x 1
2 x 3
x 1 x 1
Với x = 3 y 5 (thỏa mãn). Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 5).
x 2 y 2 1 2x 2y
Bài 31 Giải hệ phương trình sau:
2x y y 1 2y
Giải
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:
x 2
x 2 2xy 1 1 2x 4y x x 2y 2 x 2y x 2x 2y 0
x 2y 0
Trường hợp x=2 thay vào (2) ta có y = 1
Trường hợp x+2y = 0 thay vào (2) ta được phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm x = 2; y = 1.
xy y 1 y 2 1 4y
Bài 32 Giải hệ phương trình sau: 2
1
xy x 2 2 y 2 5
y
Giải
Điều kiện y 0
1
1
x y 1 y 4
y x 1 x 4
y
y
(I )
2
1
1
y 2 x 2 2x 1 2 5
y 2 x 1 2 5
y
y
1
y
Đặt u y x 1 ; v x 1
ta có hệ
u 5 u 3
u v 5 v 5 u
2
2
u 2v 5
u 2u 15 0
v 10 v 2
y x 1 1 5 y x 1 1 3
hay
y
y
x 1 10
x 1 2
x 1 y 1
10y 2 5y 1 0 2y 2 3y 1 0
x 1 y 1
x 1
x 9
2
Vậy hệ có các nghiệm (1;1) và (1; 1/2 ).
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
3
2y
1
2
2
Bài 33 Giải hệ phương trình sau: x y 1 x
4x
x 2 y2
22
y
Giải
2
2
Điều kiện: x 0, y 0. và x + y - 1 0.
3 2
2
1 2v 13v 21 0
u v
u 21 4v
u
21
4
v
2
u
7
x 14
x 3
3
53
hoặc
Với
7
1
y 1
v
2
y4
2
53
x
Đặt u = x + y - 1 và v = Hệ phương trình (I) trở thành
y
2
2
u 7
u 9
hoặc
v 3
v 7
2
2
x 14
53
hoặc
2
y 4
53
v 3
y
u 9
x
+ Với
2
2
2
2
và 14
.
Vậy hệ có nghiệm (3;1), (-3;-1), 14
;4
; 4
53
53
53
53
x 1 y 1 x 3
(I) .
Bài 34 Giải hệ phương trình :
x 14 y
x 1 0
x 1
Điều kiện:
y 0
y 0
2
x 1 x 1 1 x 3
Ta có (I)
x 1 4 y
Từ phương trình : x 1 x 1 1 x 3 x 1 x 3 x 2 2x 2 (1)
2
1;
3
2
Xét hàm số g(x ) x x 2x 2 . Miền xác định: D 1;
Ta thấy hàm số f (x ) x 1 là hàm đồng biến trên
Đạo hàm g / (x ) 3x 2 2x 2 0 x D . Suy ra hàm số nghich biến trên D.
Từ (1) ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ có nghiệm 1; 0 .
2
3x 2 x 3 y
Bài 35 Giải hệ phương trình :
(II). Điều kiện:
3 y 2 2 y 3 x
www.VNMATH.com
x 0
y 0
2
3 x 2 x 3 y
Ta có (II)
3 x 3 y 2 2 y
Cộng vế theo vế ta có:
www.VNMATH.com
3 x 2 3 x 3 3 y2 3 y 3
(2)
Xét hàm số f (t ) 3 t 2 3 t 3 . Miền xác định: D 1;
Đạo hàm: f / (t )
t
3 t2
Từ (*) ta có f (x ) f (y ) x y
3
2 t
1 0 x D . Suy ra hàm số đồng biến trên D.
Lúc đó: 3 x 2 x 3 (3)
+ VT (3) là hàm số hàm đồng biến trên D.
+ VP (3) là hàm hằng trên D.
Ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện)
Suy ra phương trình có nghiệm x 1 là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ có nghiệm 1;1
3
2y 2.x 1 x 3 1 x y (1)
Bài 36 Giải hệ phương trình :
2
y 1 2x 2xy 1 x (2)
ĐK : 1 x 1
Từ (1) ta có : 2.y 3 2(x 1) 1 x 2 1 x 3 1 x y (thêm vào vế trái 2 1 x )
2y 3 y 2( 1 x )3 1 x
Xét hàm số f(t) = 2.t 3 +t có f’(t ) = 6t2 + 1 >0 suy ra hàm số đồng biến
Suy ra y = 1 x thế vào (2), ta có 1 x 1 2x 2 2x 1 x 2 (3)
Vì 1 x 1 nên đặt x = cos(t) với t [0; ] sau đó thế vào phương trình (3) là ra kết quả.
2
x y 2 1
5
Bài 37 Giải hệ phương trình:
2
57
y(3x 1)
4x 3x
25
(1)
(2)
Giải
ĐK: x , y R
Nhân 2 vế phương trình (1) với 25 và nhân 2 vế phương trình (2) với 50 ta có:
2
2
25x 25y 5
Hệ phương trình
200x 2 150x 114 50y(3x 1)
Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta có:
225x 2 25y 2 25 150xy 150x 50y 144
15x 5y 5 12
15x 5y 7
2
15x 5y 5 144
15x 5y 5 12
15x 5y 17
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
15x 5y 7
Với 15x 5y 7 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình: 2
1
2
x y
5
x 11
5y 7 15x
25
y 2
5y 7 15x
5y 7 15x
11
25
x 25
2
25x 2 25y 2 5
25x 2 7 15x 5
x 2
2
5
x 5
1
y
5
15x 5y 17
Với 15x 5y 17 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình: 2
x y 2 1
5
5y 17 15x
5y 7 15x
5y 17 15x
2
hệ vô nghiệm.
2
25x 25y 2 5
25x 2 17 15x 5
x
2
11
x
x
5 ;
25 .
Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm là:
1
2
y
y
5
25
x y 3x 2y 1 (1)
Bài 38 Giải hệ phương trình:
x y x y 0
(2)
Giải
x y 0
Điều kiện :
3x 2y 0
Hệ Phương trình tương đương
x y 1 3x 2y x y 2 x y 1 3x 2y
x y y x
x y y x
2 x y 2x y
2 y x 2x y
x y y x
x y y x
www.VNMATH.com
y 4x 1
x y y x
www.VNMATH.com
y 4x 1
5x 1 3x 1
y 4x 1
y 4x 1
1
1
x
x
3
3
5x 1 9x 2 6x 1
9x 2 11x 2 0
y 4x 1
1
x
3
x 1
x 2
9
x 1
y 3
x 1
Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm
y 3
2 2x 2 y 2 y 2 2x 2 3 (1)
Bài 39 Giải hệ phương trình:
x 3 2y 3 y 2x (2)
Giải
ĐK: 2x 2 y 2 0
Đặt : t 2x 2 y 2 ( t 0)
t 1
2t 3 0
t 3
t 1 2x 2 y 2 1
1 t
2
2x 2 y 2 1
2
2
2x y 1
Khi đó hệ phương trình tương đương 3
x 2y 3 y 2x
2
2
2
2
2x y 1
2x y 1
3
3
5x 2x 2y 2xy 2 y 3 0 ( 3 )
x 2y 3 y 2x 2x 2 y 2
Th 1: y 0
www.VNMATH.com
- Xem thêm -