Tài liệu Tóm tắt dự thảo luận án tiến sĩ toán học đa tạp tích phân và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Viết Dược ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62460103 TÓM TẮT DỰ THẢO LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội. Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy 2. PGS. TS. Đặng Đình Châu Phản biện 1: Phản biên 2: Phản biện 3: Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội MỞ ĐẦU Xét phương trình vi phân nửa tuyến tính du = A(t)u + f (t, u), dt t ∈ I, trong đó I = R+ hoặc R, A(t) là toán tử tuyến tính có thể không giới nội trong không gian Banach X với mỗi t ∈ I và f : I × X → X là toán tử phi tuyến. Một trong những vấn đề trọng điểm trong nghiên cứu lý thuyết định tính của nghiệm các phương trình vi phân trên là tìm hiểu sự tồn tại của các đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định và đa tạp tâm (ổn định, không ổn định). Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân luôn thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học vì một mặt nó mang lại bức tranh hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác định, mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm của phương trình đang xét. Để các đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến là phần tuyến tính (tức là họ các toán tử (A(t))t∈I ) sinh ra một họ tiến hoá có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ và toán tử phi tuyến f là Lipschitz theo nghĩa nào đó. Những kết quả nền tảng đầu tiên về sự tồn tại các đa tạp tích phân thuộc về các nhà toán học Hadamard, Perron, Bogoliubov và Mitropolsky. Đó là những kết quả về sự tồn tại các đa tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường (tức là trường hợp X = Rn và A(t) là các ma trận). Sau đó, Daleckii và Krein đã mở rộng các kết quả đó sang trường hợp A(t) là các toán tử giới nội trong không gian Banach bất kỳ X. Tiếp theo, Henry đã phát triển các kết quả về sự tồn tại đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) là các toán tử đạo hàm riêng không giới nội. Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của giải tích hàm hiện đại và lý thuyết nửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại của các đa tạp tích phân đã được chuyển sang những nấc thang mới cho các lớp phương trình rất tổng quát bao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính. Có hai phương 1 pháp chính để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân là phương pháp Hadamard và phương pháp Perron. Phương pháp Hadamard đã được tổng quát hoá thành phương pháp biến đổi đồ thị (graph transform), phương pháp này liên quan đến việc lựa chọn các phép biến đổi phức hợp giữa các đồ thị biểu diễn đa tạp tích phân. Trong khi đó, phương pháp Perron được mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron do nó liên quan quan đến các phương pháp của Lyapunov. Phương pháp Lyapunov-Perron tập trung vào việc xây dựng phương trình (hoặc toán tử) Lyapunov-Perron có mối liên hệ với phương trình tiến hoá, để từ đó chỉ ra sự tồn tại của các đa tạp tích phân. Phương pháp LyapunovPerron có vẻ thích hợp hơn trong việc xử lý các dòng hoặc nửa dòng sinh ra bởi phương trình tiến hoá nửa tuyến tính, bởi vì trong trường hợp này việc xây dựng phương trình Lyapunov-Perron khá thuận lợi và được gắn kết với các kỹ thuật tiêu chuẩn của phương trình vi phân thường (ODE), thậm chí ngay cả khi dòng chỉ xác định trên một tập con nào đó của không gian pha. Điều kiện phổ biến nhất của phần phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa tạp tích phân của phương trình tiến hoá nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ bé, tức là kf (t, φ) − f (t, ψ )k ≤ qkφ − ψkC với q là hằng số đủ nhỏ. Tuy nhiên, với các phương trình nảy sinh từ các quá trình tương tác-khuyếch tán, trong đó f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển. Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy. Năm 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm Banach chấp nhận được. Nguyễn Thiệu Huy đã đưa ra điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, ở đó hệ số Lipschitz của phần phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp nhận được. Trên cơ sở đó, chúng tôi đã nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính và phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng. Đó là nội dung chính của luận án này. Luận án bao gồm 3 chương • Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị. Ở đây, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được. Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính. • Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, đa tạp không ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính du = A(t)u + f (t, u), dt 2 t ∈ I, trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố định và f : I × X → X là toán tử phi tuyến. Khi họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 sinh bởi họ toán tử A(t), t ∈ R+ , có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là kf (t, x) − f (t, y )k ≤ ϕ(t)kx − yk với ϕ là hàm không âm thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được. Với các giả thiết này, Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định. Khi mở rộng họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ chúng tôi đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định. Sau đó, thay vì xét phương trình trên nửa đường thẳng, chúng tôi xét phương trình trên toàn đường thẳng để từ đó chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm. Các kết quả trong Chương 2 được lấy ở bài báo [3]. • Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định, đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng du = A(t)u(t) + f (t, ut ), dt t ∈ I, trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố định. f : I × C → X là toán tử phi tuyến liên tục. Với r > 0 cố định, chúng ta ký hiệu C := C ([−r, 0], X ) là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0] được trang bị chuẩn sup. Khi họ toán tử (A(t))t∈I sinh ra họ tiến hoá có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều kiện của f để phương trình trên có đa tạp tích phân. Điều kiện phổ biến là hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ nhỏ, tức là kf (t, φ) − f (t, ψ )k ≤ qkφ − ψkC với q đủ nhỏ. Tuy nhiên, đối với các phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, hàm f biểu diễn nguồn vật chất của các quá trình này thì hệ số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian. Vì vậy, khi nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng, chúng tôi xét hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là kf (t, φ1 ) − f (t, φ2 )k ≤ ϕ(t)kφ1 − φ2 kC , khi đó điều kiện hằng số R t+1 Lipschitz q đủ nhỏ được thay bởi điều kiện supt∈I t ϕ(τ )dτ đủ nhỏ. Các kết quả trong Chương 3 được viết trong bài báo [1, 2]. 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R+ . Sử dụng một ít thay đổi, chúng ta thu được khái niệm và tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng thực. Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính. 1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng Định nghĩa 1.1.1. Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được Borel trên R+ được gọi là không gian hàm Banach trên (R+ , B, λ), trong đó B là đại số Borel và λ là độ đo Lebesgue trên R+ , nếu (1) (E, k · kE ) là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo được Borel sao cho |ψ (·)| ≤ |ϕ(·)| h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đo λ thì ψ ∈ E và kψkE ≤ kϕkE , (2) hàm đặc trưng χA ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và supt≥0 kχ[t,t+1] kE < ∞, inf t≥0 kχ[t,t+1] kE > 0, (3) E ,→R L1,loc (R+ ), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R+ tồn tại βJ > 0 sao cho J |f (t)|dt ≤ βJ kf kE với mọi f ∈ E. Định nghĩa 1.1.2. Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được nếu nó thoả mãn 4 (i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho b Z |ϕ(t)|dt ≤ a M (b − a) kϕkE kχ[a,b] kE với mọi [a, b] ⊂ R+ và mọi ϕ ∈ E, (ii) E là bất biến với toán tử Λ1 , trong đó Λ1 ϕ(t) = R t+1 t ϕ(τ )dτ , (iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+ , trong đó   ϕ(t − τ ) nếu t ≥ τ ≥ 0 + Tτ ϕ(t) = 0 nếu 0 ≤ t < τ , Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ≥ 0. Hơn nữa, tồn tại N1 , N2 > 0 sao cho kTτ+ k ≤ N1 , kTτ− k ≤ N2 với mọi τ ∈ R+ . Ví dụ 1.1.3. Không gian Lp (R+ ) với 1 ≤ p ≤ ∞ và không gian  M(R+ ) := Z f ∈ L1, loc (R+ ) : sup t≥0 với chuẩn kf kM := supt≥0 nhận được. R t+1 t t+1  |f (τ )|dτ < ∞ t |f (τ )|dτ là các không gian hàm Banach chấp Dưới đây là một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được. Mệnh đề 1.1.4. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được. Ta có các khẳng định sau (a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R+ ) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1 ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác định 0 00 Λσ ϕ và Λσ ϕ như sau 0 t Z Λσ ϕ(t) = e−σ(t−s) ϕ(s)ds, 0 00 Z Λσ ϕ(t) = ∞ e−σ(s−t) ϕ(s)ds. t 5 0 00 Khi đó, Λσ ϕ và Λσ ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(R+ ) (điều này được thoả 0 00 mãn nếu ϕ ∈ E) thì Λσ ϕ và Λσ ϕ bị chặn và ta có đánh giá 0 kΛσ ϕk∞ ≤ 00 N2 N1 + k Λ T ϕk và k Λ ϕk ≤ kΛ1 ϕk∞ , 1 ∞ ∞ σ 1 1 − e−σ 1 − e−σ (1.1) trong đó Λ1 , T1+ và N1 , N2 được xác định trong Định nghĩa 1.3.1. (b) Với mọi α > 0, e−αt ∈ E. (c) Với mọi b > 0, ebt ∈ / E. 1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng Thay R+ bởi R và thay đổi tương ứng trong định nghĩa, chúng ta có khái niệm không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng. Ta có tính chất sau. Mệnh đề 1.2.1. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng. Ta có các tính chất sau (a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1 ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác định 0 00 Λσ ϕ và Λσ ϕ như sau Z t 0 e−σ(t−s) ϕ(s)ds, Λσ ϕ(t) = −∞ 00 Z Λσ ϕ(t) = ∞ e−σ(s−t) ϕ(s)ds. t R t+1 0 00 Khi đó, Λσ ϕ và Λσ ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu supt∈R t ϕ(τ )dτ < ∞ (điều 0 00 này được thoả mãn nếu ϕ ∈ E ) thì Λσ ϕ và Λσ ϕ bị chặn và ta có đánh giá 0 kΛσ ϕk∞ ≤ 00 N1 N2 k Λ ϕk và k Λ ϕk ≤ kΛ1 ϕk∞ . 1 ∞ ∞ σ 1 − e−σ 1 − e−σ (b) Với mọi α > 0, e−α|t| ∈ E. (c) Với mọi b > 0, eb|t| ∈ / E. 6 1.3 Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp ổn định Trong phần này, chúng ta xét phương trình vi phân nửa tuyến tính du = A(t)u + f (t, u), dt t ∈ [0, +∞), u ∈ X, (1.2) trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố định và f : R+ × X → X là toán tử phi tuyến. Chúng ta giả sử họ các toán tử A(t), t ∈ R+ sinh ra họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ. Sử dụng không gian hàm chấp nhận được trên nửa đường thẳng, Nguyễn Thiệu Huy đã chỉ ra điều kiện của hàm f để phương trình (1.2) có đa tạp ổn định. Để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp ổn định, thay vì (1.2) chúng ta xét phương trình tích phân Z t u(t) = U (t, s)u(s) + U (t, ξ )f (ξ, u(ξ ))dξ với t ≥ s ≥ 0. (1.3) s Chúng ta nhắc lại các định nghĩa sau đây. Định nghĩa 1.3.1. Một họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 trên không gian Banach X được gọi là nhị phân mũ trên [0, ∞) nếu tồn tại các toán tử chiếu tuyến tính bị chặn P (t), t ≥ 0, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho (a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s), t ≥ s ≥ 0, (b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s ≥ 0 là đẳng cấu, chúng ta biểu diễn ánh xạ ngược là U (s, t)| := (U (t, s)| )−1 , 0 ≤ s ≤ t, (c) kU (t, s)xk ≤ N e−ν (t−s) kxk với x ∈ P (s)X, t ≥ s ≥ 0, (d) kU (s, t)| xk ≤ N e−ν (t−s) kxk với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ 0. Định nghĩa 1.3.2. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng và ϕ ∈ E là hàm không âm. Hàm f : [0, ∞) × X → X được gọi là ϕ-Lipschitz nếu f thoả mãn (i) kf (t, 0)k ≤ ϕ(t) với t ∈ R+ , (ii) kf (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ ϕ(t)kx1 − x2 k với t ∈ R+ và x1 , x2 ∈ X. 7 Định nghĩa 1.3.3. Tập S ⊂ R+ × X được gọi là đa tạp ổn định bất biến cho các nghiệm của phương trình (1.3) nếu mỗi t ∈ R+ ta có X = X0 (t) ⊕ X1 (t) sao cho inf Sn(X0 (t), X1 (t)) := inf inf {kx0 + x1 k : xi ∈ Xi (t), kxi k = 1} > 0 t∈R+ t∈R+ i=0, 1 và tồn tại họ các ánh xạ Lipschitz gt : X0 (t) → X1 (t), t ∈ R+ với hằng số Lipschitz không phụ thuộc t và thoả mãn (i) S = {(t, x + gt (x)) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R+ , x ∈ X0 (t)}, ký hiệu St = {x + gt (x) : (t, x + gt (x)) ∈ S}. (ii) St đồng phôi với X0 (t) với mọi t ≥ 0. (iii) Mỗi x0 ∈ St0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (1.3) trên [t0 , ∞) thoả mãn u(t0 ) = x0 và ess supt≥t0 ku(t)k < ∞. (iv) S là bất biến, tức là nếu u là nghiệm của phương trình (1.3) thoả mãn u(t0 ) = x0 ∈ St0 và ess supt≥t0 ku(t)k < ∞ thì u(s) ∈ Ss với mọi s ≥ t0 . Dưới đây chúng tôi nhắc lại kết quả về đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính. Định lý 1.3.4. Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với các toán tử chiếu P (t), t ≥ 0 và hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng ϕ ∈ E là hàm không âm. Cho f : R+ × X → X là ϕ-Lipschitz sao cho k < N1+1 , trong đó (1 + H )N (N1 kΛ1 T1+ ϕk∞ + N2 kΛ1 ϕk∞ ) k := . 1 − e−ν Khi đó, tồn tại đa tạp ổn định bất biến S cho các nghiệm của phương trình (1.3). Hơn nữa, hai nghiệm bất kỳ u1 (t), u2 (t) trên đa tạp S hút nhau cấp mũ, tức là tồn tại các hằng số dương µ và Cµ không phụ thuộc t0 ≥ 0 sao cho ku1 (t) − u2 (t)k ≤ Cµ e−µ(t−t0 ) kP (t0 )u1 (t0 ) − P (t0 )u2 (t0 )k với mọi t ≥ t0 . 8 Chương 2 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH Trong mục 1.3 của Chương 1, chúng tôi đã tóm lược kết quả về sự tồn tại của đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính. Trong chương này, chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định và đa tạp không ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính (xem [3]). Chúng ta xét phương trình du = A(t)u + f (t, u), dt t ∈ [0, +∞), u ∈ X, (2.1) trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố định và f : R+ × X → X là toán tử phi tuyến. Khi họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 sinh bởi họ toán tử A(t), t ∈ R+ có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định. Khi mở rộng họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ chúng tôi đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định. Sau đó, thay vì xét phương trình trên nửa đường thẳng, chúng tôi xét phương trình trên toàn đường thẳng để từ đó chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm. 9 2.1 Đa tạp tâm ổn định Để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, chúng ta xét phương trình tích phân Z t u(t) = U (t, s)u(s) + U (t, ξ )f (ξ, u(ξ ))dξ với t ≥ s ≥ 0. (2.2) s Nghiệm của phương trình tích phân (2.2) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu u(s) = x ∈ X. Chúng ta nhắc lại các khái niệm sau. Định nghĩa 2.1.1. Họ tiến hoá {U (t, s)}t≥s≥0 được gọi là tam phân mũ trên nửa đường thẳng nếu tồn tại ba họ các toán tử chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3 và các hằng số dương N, α, β với α < β sao cho các điều kiện sau được thoả mãn: (i) supt≥0 kPj (t)k < ∞, j = 1, 2, 3, (ii) P1 (t) + P2 (t) + P3 (t) = Id với t ≥ 0 và Pj (t)Pi (t) = 0 với mọi j 6= i. (iii) Pj (t)U (t, s) = U (t, s)Pj (s) với t ≥ s ≥ 0 và j = 1, 2, 3, (iv) U (t, s)|ImPj (s) là đẳng cấu từ ImPj (s) lên ImPj (t) với mọi t ≥ s ≥ 0 và j = 2, 3, ký hiệu ánh xạ ngược của U (t, s)|ImPj (s) là U (s, t)| . (v) Với t ≥ s ≥ 0 và x ∈ X, các ước lượng sau đúng: kU (t, s)P1 (s)xk ≤ N e−β (t−s) kP1 (s)xk, kU (s, t)| P2 (t)xk ≤ N e−β (t−s) kP2 (t)xk, kU (t, s)P3 (s)xk ≤ N e α(t−s) kP3 (s)xk. Sau đây là kết quả chính của phần này, định lý chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định. Định lý 2.1.2. Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với các hằng số N, α, β và các họ toán tử chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, cho bởi Định 10 nghĩa 2.1.1. Giả sử rằng f : R+ × X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ E là hàm không âm và thoả mãn (1 + H )N0 (N1 kΛ1 T1+ ϕk∞ + N2 kΛ1 ϕk∞ ) 1 < , k := 1 − e−ν N0 + 1 trong đó q = sup{kPj (t)k : t ≥ 0, j = 1, 3}, N0 = max{N, 2qN } và ν = δ−α 2 > 0. Khi đó, với mỗi δ > α, tồn tại đa tạp tâm ổn định S = {(t, St ) ⊂ R+ × X} cho các nghiệm của phương trình (2.2), được biểu diễn bởi họ các ánh xạ Lipschitz gt : Im(P1 (t) + P3 (t)) → ImP2 (t) với hằng số Lipschitz không phụ thuộc t và St = graph(gt ) có các tính chất sau: (i) Mỗi x0 ∈ St0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (2.2) trên [t0 , ∞) thoả mãn u(t0 ) = x0 và ess supt≥t0 e−γt ku(t)k < ∞ với γ = δ+2 α . (ii) St đồng phôi với X1 (t) ⊕ X3 (t) với mọi t ≥ 0, ở đây Xj (t) = Pj (t)X, j = 1, 3. (iii) S là bất biến, tức là nếu u(t) là nghiệm của phương trình (2.2) thoả mãn u(t0 ) = x0 ∈ St0 và ess supt≥t0 e−γt ku(t)k < ∞ thì u(s) ∈ Ss với mọi s ≥ t0 . (iv) Với hai quỹ đạo nghiệm bất kỳ x(·) và y (·) trên đa tạp tâm ổn định, ta có ước lượng sau: kx(t) − y (t)k ≤ Ceδ(t−t0 ) kx(t0 ) − y (t0 )k với mọi t ≥ t0 ≥ 0, trong đó C là hằng số dương độc lập với t0 , x(·) và y (·). 2.2 Đa tạp không ổn định Trong phần này, chúng ta chứng minh sự tồn tại đa tạp không ổn định cho các nghiệm đủ tốt của phương trình tiến hoá xác định trên toàn đường thẳng dưới điều kiện họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f là ϕ-Lipschitz. Trước tiên, chúng ta nhắc lại các khái niệm nhị phân mũ và ϕ-Lipschitz trên toàn đường thẳng. 11 Định nghĩa 2.2.1. Họ tiến hoá (U (t, s))t≥s trên không gian Banach X được gọi là có nhị phân mũ trên R nếu tồn tại họ toán tử chiếu tuyến tính bị chặn (P (t))t∈R trên X và các hằng số dương N, ν sao cho (a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s), t ≥ s, (b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s là đẳng cấu, ký hiệu ánh xạ ngược của nó là (U (t, s)| )−1 = U (s, t)| , (c) kU (t, s)xk ≤ N e−ν (t−s) kxk với x ∈ ImP (s), t ≥ s, (d) kU (s, t)| xk ≤ N e−ν (t−s) kxk với x ∈ KerP (t), t ≥ s. Định nghĩa 2.2.2. Cho ER là không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng và ϕ ∈ ER là hàm không âm. Hàm f : R × X → X được gọi là ϕ-Lipschitz nếu f thoả mãn (i) kf (t, 0)k ≤ ϕ(t) với t ∈ R, (ii) kf (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ ϕ(t)kx1 − x2 k với t ∈ R và x1 , x2 ∈ X. Trong phương trình (2.1), chúng ta thay t ∈ R+ bởi t ∈ R. Giả sử rằng họ các toán tử tuyến tính A(t), t ∈ R, trên không gian Banach X sinh ra họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ trên R và hàm phi tuyến f : R × X → X là ϕ-Lipschitz. Khi đó, chúng tôi sẽ chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định cho các nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1), các nghiệm này là nghiệm của phương trình tích phân Z t u(t) = U (t, s)u(s) + U (t, ξ )f (ξ, u(ξ ))dξ với t ≥ s. (2.3) s Chúng ta có khái niệm đa tạp không ổn định như sau. Định nghĩa 2.2.3. Tập U ⊂ R × X được gọi là đa tạp không ổn định bất biến cho các nghiệm của phương trình (2.3) nếu mỗi t ∈ R không gian Banach X được tách thành X = X0 (t) ⊕ X1 (t) sao cho inf Sn(X0 (t), X1 (t)) := inf inf {kx0 + x1 k : xi ∈ Xi (t), kxi k = 1} > 0 t∈R t∈R i=0, 1 và tồn tại họ các ánh xạ Lipschitz gt : X1 (t) → X0 (t), với hằng số Lipschitz độc lập t và thoả mãn 12 t∈R (i) U = {(t, x + gt (x)) ∈ R × (X1 (t) ⊕ X0 (t)) | t ∈ R, x ∈ X1 (t)}, ký hiệu Ut = {x + gt (x) : (t, x + gt (x)) ∈ U}. (ii) Ut đồng phôi với X1 (t) với mọi t ∈ R, (iii) mỗi x0 ∈ Ut0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (2.3) trên (−∞, t0 ] thoả mãn u(t0 ) = x0 và ess supt≤t0 ku(t)k < ∞, (iv) U là bất biến, tức là nếu u là nghiệm của phương trình (2.3) thoả mãn u(t0 ) = x0 ∈ Ut0 và ess supt≤t0 ku(t)k < ∞ thì u(s) ∈ Us với mọi s ≤ t0 . Sau đây là các kết quả chính của mục này. Định lý 2.2.4. Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng ϕ ∈ ER là hàm không âm. Cho f : R × X → X là ϕ-Lipschitz thoả mãn k := (1 + H )N (N1 kΛ1 ϕk∞ + N2 kΛ1 ϕk∞ ) < 1. 1 − e−ν (2.4) Khi đó, mỗi v1 ∈ X1 (t0 ) có duy nhất nghiệm x(t) của phương trình (2.3) trên (−∞, t0 ] thoả mãn (I − P (t0 ))x(t0 ) = v1 và ess supt≤t0 kx(t)k < ∞. Hơn nữa, nếu hai nghiệm x1 (t), x2 (t) tương ứng với hai giá trị ban đầu v1 , v2 ∈ X1 (t0 ) thì ta có: kx1 (t) − x2 (t)k ≤ Cµ e−µ(t0 −t) kv1 − v2 k với mọi t ≤ t0 , (2.5) trong đó µ là hằng số dương thoả mãn 0 < µ < ν + ln(1 − k (1 − e−ν )) và Cµ = N −ν 1−e 1 − k 1−e −(ν−µ) . Định lý 2.2.5. Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng f : R × X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ ER là hàm không âm thoả mãn k < N1+1 , ở đây k được xác định bởi (2.4). Khi đó, tồn tại đa tạp không ổn định bất biến U cho các nghiệm của phương trình (2.3). Hơn nữa, với hai nghiệm bất kỳ x1 (·) và x2 (·) trên đa tạp không ổn định bất biến U, ta có ước lượng sau: kx1 (t) − x2 (t)k ≤ Cµ e−µ(t0 −t) k(Id − P (t0 ))(x1 (t0 ) − x2 (t0 ))k với mọi t ≤ t0 , trong đó µ, Cµ là các hằng số dương không phụ thuộc t0 . 13 Để chỉ ra tính chất hút của đa tạp không ổn định chúng tôi đưa ra khái niệm (, ω )-phù hợp (suitable) của một hàm như sau. Định nghĩa 2.2.6. Cho trước , ω > 0, một hàm g (·) được gọi là (, ω )-phù hợp (suitable) nếu tồn tại các hằng số dương µ, η sao cho ηeµ <  và Z t g (τ )e Rτ s g (u)du dτ ≤ ηe(µ−ω)(t−s) . s Định lý 2.2.7. Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng f : R × X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ ER là hàm không âm thoả mãn k < N1+1 , ở đây k được xác định bởi (2.4) và hàm N ϕ(·) là ( N , ω )-suitable với ω là cận tăng trưởng mũ của họ tiến hoá (U (t, s))t≥s . Khi đó, tồn tại đa tạp không ổn định bất biến U cho các nghiệm của phương trình (2.3). Hơn nữa, đa tạp này hút cấp mũ tất cả các quỹ đạo nghiệm của phương trình (2.3), tức là nếu x(·) là nghiệm bất kỳ của phương trình (2.3) thì tồn tại các hằng số K̃, η̃ > 0 sao cho d(x(t), Ut ) ≤ K̃e−η̃(t−s) d(x(s), Us ) với mọi t ≥ s. 14 Chương 3 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM ĐẠO HÀM RIÊNG Trong chương này, chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tại của đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định và đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng dạng (xem [1, 2]) du = A(t)u(t) + f (t, ut ), dt t ∈ [0, +∞), (3.1) trong đó A(t) là toán tử tuyến tính có thể không giới nội trong không gian Banach X với mỗi t cố định và f : R+ ×C → X là toán tử phi tuyến liên tục. Với r > 0 cố định, chúng ta ký hiệu C := C ([−r, 0], X ) là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0] được trang bị chuẩn sup, với φ ∈ C thì kφkC = supθ∈[−r,0] kφ(θ)k. Cho hàm liên tục u : [−r, ∞) → X, với t ≥ 0, chúng ta có hàm trễ ut ∈ C được xác định bởi ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0]. Khi họ toán tử (A(t))t≥0 sinh ra họ tiến hoá có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều kiện của f để phương trình (3.1) có đa tạp tích phân. Điều kiện phổ biến nhất của phần phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa tạp tích phân của phương trình tiến hoá nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ bé, tức là kf (t, φ) − f (t, ψ )k ≤ qkφ − ψkC với q đủ nhỏ. Tuy nhiên, đối với các phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, trong đó f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển. Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy. 15 3.1 Đa tạp ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng Giả sử họ toán tử tuyến tính A(t) sinh ra họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 . Để chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định, thay cho (3.1) chúng ta xét phương trình tích phân  R  u(t) = U (t, s)u(s) + t U (t, ξ )f (ξ, uξ )dξ với t ≥ s ≥ 0, s (3.2)  us = φ ∈ C. Nghiệm của phương trình (3.2) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình (3.1). Giả sử họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0 . Chúng ta xác định họ toán tử (Pe(t))t≥0 trên C như sau. Pe(t) : C → C (Pe(t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0) với mọi θ ∈ [−r, 0]. (3.3) Khi đó, chúng ta có (Pe(t))2 = Pe(t), do đó các toán tử Pe(t), t ≥ 0 là các toán tử chiếu trên C. Hơn nữa, ta có ImPe(t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U (t − θ, t)ν0 , ∀ θ ∈ [−r, 0], với ν0 ∈ ImP (t)}. Định nghĩa 3.1.1. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được và ϕ ∈ E là hàm không âm. Hàm f : [0, ∞) × C → X được gọi là ϕ-Lipschitz nếu f thoả mãn (i) kf (t, 0)k ≤ ϕ(t) với mọi t ∈ R+ , (ii) kf (t, φ1 ) − f (t, φ2 )k ≤ ϕ(t)kφ1 − φ2 kC với mọi t ∈ R+ và φ1 , φ2 ∈ C. Sau đây, chúng ta đưa ra định nghĩa đa tạp ổn định cho các nghiệm của phương trình (3.2). Định nghĩa 3.1.2. Tập S ⊂ R+ × C được gọi là đa tạp ổn định bất biến cho các nghiệm của phương trình (3.2) nếu với mỗi t ∈ R+ không gian pha C được 16 e0 (t) ⊕ X e1 (t) tương ứng với các toán tử phân tích thành tổng trực tiếp C = X e0 (t) = ImPe(t) và X e1 (t) = KerPe(t)) sao cho chiếu Pe(t) (tức là X sup kPe(t)k < ∞ t≥0 và tồn tại họ ánh xạ Lipschitz e0 (t) → X e1 (t), Φt : X t ∈ R+ với hằng số Lipschitz độc lập với t và thoả mãn e0 (t) ⊕ X e1 (t)) | t ∈ R+ , ψ ∈ X e0 (t)}, ký hiệu (i) S = {(t, ψ + Φt (ψ )) ∈ R+ × (X St := {ψ + Φt (ψ ) : (t, ψ + Φt (ψ )) ∈ S}, e0 (t) với mọi t ≥ 0, (ii) St đồng phôi X (iii) mỗi φ ∈ Ss có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (3.2) trên [s−r, ∞) thoả mãn us = φ và supt≥s kut kC < ∞. Hơn nữa, hai nghiệm bất kỳ u(t) và v (t) của phương trình (3.2) tương ứng với φ1 , φ2 ∈ Ss hút nhau cấp mũ, tức là tồn tại các hằng số dương µ và Cµ độc lập với s ≥ 0 sao cho kut − vt kC ≤ Cµ e−µ(t−s) k(Pe(s)φ1 )(0) − (Pe(s)φ2 )(0)k với t ≥ s, (3.4) (iv) S là bất biến với phương trình (3.2), tức là nếu u(t), t ≥ s − r là nghiệm của phương trình (3.2) thoả mãn us ∈ Ss và supt≥s kut kC < ∞ thì ut ∈ St với mọi t ≥ s. Sau đây là các kết quả chính của mục này. Định lý 3.1.3. Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng ϕ là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E. Cho f : R+ × C → X là ϕ-Lipschitz, đặt eνr (1 + H )N (N1 kΛ1 T1+ ϕk∞ + N2 kΛ1 ϕk∞ ) . k := 1 − e−ν (3.5) Khi đó, nếu k < 1, với mỗi hàm φ ∈ ImPe(s) có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (3.2) trên [s − r, ∞) thoả mãn Pe(s)us = φ và supt≥s kut kC < ∞. 17 Hơn nữa, với hai nghiệm u(t), v (t) ứng với hai hàm ban đầu φ1 , φ2 ∈ ImPe(s) ta có ước lượng sau: kut − vt kC ≤ Cµ e−µ(t−s) kφ1 (0) − φ2 (0)k với mọi t ≥ s ≥ 0, trong đó µ là hằng số dương thoả mãn
0 < µ < ν + ln 1 − N (1 + H )eνr (N1 kΛ1 T1+ ϕk∞ + N2 kΛ1 ϕk∞ ) và N eνr . Cµ := (1+H )eνr + 1 − N1−e ( N k Λ T ϕk + N k Λ ϕk ) 1 1 1 ∞ 2 1 ∞ −(ν−µ) Định lý 3.1.4. Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng ϕ là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E. Cho f : R+ × C → X là ϕ-Lipschitz, thoả mãn k < 1+N1 eνr , trong đó k được xác định bởi (3.5). Khi đó, tồn tại đa tạp ổn định bất biến S cho các nghiệm của phương trình (3.2). 3.2 Đa tạp tâm ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng Trong phần này, chúng ta tổng quát Định lý 3.1.4 cho trường hợp họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ trên R+ và hàm phi tuyến f là ϕ-Lipschitz. Trong trường hợp này, chúng ta chứng minh sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định cho các nghiệm của phương trình (3.2). Giả sử họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ (xem Định nghĩa 2.1.1, Chương 2) với ba họ các toán tử chiếu tam phân {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3 và các hằng số tam phân N, α, β > 0. Khi đó, chúng ta xây dựng các họ toán tử chiếu {Pej (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, trên C như sau: (Pej (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)Pj (t)φ(0) với θ ∈ [−r, 0] và φ ∈ C. (3.6) Sau đây là kết quả chính của mục này, định lý chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định cho các nghiệm của phương trình (3.2). Định lý 3.2.1. Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với các họ toán tử chiếu tam phân (Pj (t))t≥0 , j = 1, 2, 3 và các hằng số tam phân N, α, β > 0. 18