Tài liệu Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp lượng giác hóa thầy sơn đoàn

  • Số trang: 18 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 2064 |
  • Lượt tải: 0
trangtranthi64149

Tham gia: 04/06/2016

Mô tả:

Thầy Sơn Đoàn – FB: 20’ học TOÁN mỗi ngày – Lớp 12 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PP LƯỢNG GIÁC HÓA Trong đề thi môn Toán của kỳ thi THPT Quốc Gia, chúng ta thường gặp bài toán chứng minh Bất Đẳng Thức hoặc tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất. Đây là một dạng bài khó, đòi hỏi học sinh cần có tư duy tốt cũng như các kinh nghiệm giải Toán trong quá trình học tập và rèn luyện. Tài liệu này sẽ cung cấp cho các em một hướng tiếp cận khá hay và độc đáo để giải quyết các bài Bất Đẳng Thức hoặc tìm Min Max. Chúc các em học tốt! Một số dấu hiệu nhận biết  x  sin  với   0; 2   y  cos Dạng 1 : Nếu x2 + y2 =1 thì đặt   x  a sin  với   0; 2   y  acos Dạng 2 : Nếu x2 + y2 =a2(a>0) thì đặt        x  sin  ,    2 ; 2  Dạng 3 : Nếu x  1 thì đặt     x  cos ,    0;         x  m sin  ,    2 ; 2  Dạng 4 : Nếu x  m thì đặt     x  mcos ,    0;   Dạng 5 :Nếu x  1 hoặc bài toán có chứa x 2  1 thì đặt x= 1     3  với    0;    ;  cos  2  2  Dạng 6 :Nếu x  m hoặc bài toán có chứa x 2  m2 thì đặt x = m với cos     3     0;    ;  2 2     Dạng 7 :Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức     x = tan  với    ;   2 2 x 2  1 thì đặt Thầy Sơn Đoàn – FB: 20’ học TOÁN mỗi ngày – Lớp 12 Dạng 8 : Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức     x = m tan  với    ;   2 x 2  m2 thì đặt 2 MỘT SỐ VÍ DỤ TIÊU BIỂU : Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số a, b ta đều có:  1 (a  b)(1  ab) 1   2 2 2 (1  a )(1  b ) 2 Giải: Đặt: a = tg , b = tg với Khi đó: A =    ; .  2 2 ,     (a  b)(1  ab) ( tg  tg)(1  tgtg)  2 2 (1  a )(1  b ) (1  tg 2 )(1  tg 2) = cos2 cos2  . sin(   )  sin  sin   .1   cos  cos   cos  cos   = sin ( + ) . cos ( + ) = Suy ra: A = Vậy: - 1 sin (2 + 2) 2 1 1 sin (2 + 2)  2 2 1 1 (a  b)(1  ab)   2 (1  a 2 )(1  b 2 ) 2 (đpcm). Bài 2: Chứng minh rằng nếu x < 1 thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có: Thầy Sơn Đoàn – FB: 20’ học TOÁN mỗi ngày – Lớp 12 (1 + x)n + (1 – x)n < 2n (1) Giải: Vì x < 1 nên có thể đặt x = cost với t  (0; ) và bất đẳng thức (1) được viết thành: (1 + cos t)n + (1 – cos t)n < 2n (2) t t 2 Thay trong (2) 1 + cos t = 2cos 2 và 1 – cost = 2sin 2 ta được 2   2n  cos 2 n t t  sin 2 n  < 2n 2 2 (3) t t t  Bởi vì 0 < 2 < nên 0 < sin 2 , cos 2 < 1 nên chắc chắn: 2 n t t  2 t  2 cos 2 =  cos < cos  2 n > 1. Tương tự ta có: 2  2n t t 2 sin 2 < sin 2 n > 1. Do đó 2n   2n  cos 2 n t t t t   sin 2 n  < 2n  cos 2  sin 2  = 2n 2 2 2 2  Vậy bất đẳng thức (3), cũng có nghĩa là bất đẳng thức (1) được chứng minh. Bài 3: Chứng minh rằng từ 4 số thực cho trước ta luôn luôn chọn được hai số x, y trong 4 số đó sao cho: 0 xy 1 1  xy (1) Giải: y1 y2 y3 y4 y5 Thầy Sơn Đoàn – FB: 20’ học TOÁN mỗi ngày – Lớp 12 Giả sử 4 số thực cho trước là a  b  c  d Đặt a = tgy1, b = tgy2, c = tgy3, d = tgy4 với -   < y1  y2  y3  y4 < < y5 =  + y1 2 2 Các điểm y1, y2, y3 chia đoạn [y1; y1 + ] thành 4 đoạn [y1; y2], [y2; y3], [y3; y4] , [y4; y5]. Trong số 4 đoạn này phải có ít nhất một đoạn có độ dài không lớn hơn Giả sử 0  y2 – y1   . 4  . Thế thì: 4 0  tg (y2 – y1)  1  0  tgy 2  tgy 1 ba  1  1  tgy 2 tgy 1 1  ab Đặt x = b, y = a ta được điều cần chứng minh. Bài 4: Cho x, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh:  2 1   2 1  17 x  2   y  2   x   y  2  Giải: Ta có: x + y = 2 để x = cosa và  x    y  = 1, theo mệnh đề IV thì có một số a với 2 2 y = sina. Bất đẳng thức đã cho được viết thành: 1   4 1  17  4 +  sin a   cos a   4  sin 4 a  2 cos a    0a Thầy Sơn Đoàn – FB: 20’ học TOÁN mỗi ngày – Lớp 12 Ta có: cos4a + 1 1 1   + sin4a + 4 = (cos4a + sin4a) 1   4 cos a sin a  sin 4 a cos 4 a  16  1    sin 2 2a  = (1 – 2sin2acos2a) 1  = 1  1     2  sin 4 2a   sin 4 a cos 4 a   Vì 0 < sin22a  1 nên 1 - và 1+ 1 sin 2 2a  2 2 16  17. Từ đó suy ra điều cần chứng minh. sin 4 2a Bài 5: Chứng minh với mọi cặp số thực x, y ta luôn có:   x2 + (x – y)2  4 x 2  y 2 sin2  . 10 Giải: Theo cách tính giá trị biểu thức lượng giác không dùng bảng ta có: 4sin2   3 5  = 2 1  cos   . 10 5 2  Bất đẳng thức đã cho có thể viết: 3 5    2   x2 + (x – y)2  (x2 + y2)  (1) Nếu y = 0 bất đẳng thức (1) hiển nhiên đúng. Nếu y  0. Chia hai vế (1) cho y2 và đặt thức có dạng: tg2a + (tga – 1)2    x = tga với < a < thì bất đẳng 2 2 y 3 5 (1 + tg2a) 2 Thầy Sơn Đoàn – FB: 20’ học TOÁN mỗi ngày – Lớp 12  sin2a + (sina – cosa)2  3 5 2  sin2a + 1 – 2sinacosa  3 5 2  cos2a + 2sin2a   1 5 cos 2a  2 2 5 5 sin 2a  1 (2) 2  1   2  Bởi vì     =1  5  5 vì vậy 1 5 = cos và 2 5 = sin. Với 0 <  <  2 Bất đẳng thức (2) có thể viết là: cos(2a - )  1. Điều này hiển nhiên. Vậy bất đẳng thức đã cho đúng. (đpcm) Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a, b > c > 0 ta có bất đẳng thức: c(a  c)  c( b  c)  ab (1) Giải: Vì a > 0, b > 0, ab > 0 nên bất đẳng thức (1) tương đương với c(a  c) c( b  c)  1 ab ab 2 2  c  ac    =1 Nhận xét rằng     a a     (2) Thầy Sơn Đoàn – FB: 20’ học TOÁN mỗi ngày – Lớp 12 c = cosu , a Nên đặt  ac = sinu với 0  u  a 2 2 2  c  b  c     =1 Ta cũng thấy  b   b  c = cosv , b Nên đặt  bc = sinv với 0  v  . b 2 Khi đó (2) có thể viết thành c ac + b a c bc = cosv sinu + cosusinv  1 (3) a b Bởi vì cosusinv + sinucosv = sin(u + v)  1 nên (3) luôn luôn đúng có nghĩa là (1) đúng.     Bài 7: Chứng minh rằng: 4 a 3  (1  a 2 ) 3  3 a  1  a 2  2 Giải: Điều kiện: 1 – a2  0  a  1 Đặt a = cos, với   [0; ] Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:   4 cos 3   (1  cos 2 ) 3 - 3(cos  4(cos3 - sin3) – 3 (cos - sin)   (4cos3 - 3cos) + (3sin - 4sin3)  2  cos (3 - ) 1, luôn đúng. Bài 8: Chứng minh rằng: a 2  1  3  2a Giải: 1  cos 2  )  2 2 2 cos3 + sin3 2 Thầy Sơn Đoàn – FB: 20’ học TOÁN mỗi ngày – Lớp 12 Điều kiện: a2 – 1  0  a  1. Đặt a =  1 , với   [0 ; ). cos  2 Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng: 1 2 2 1  3   tg  3  2 cos  cos  cos  Bài 9: 3 1 sin + cos  1 2 2  sin + 3 cos  2   sin ( +  )  1, luôn đúng. 3 Cho x2 + y2 = 1 ; u2 + v2 = 1. Chứng minh a) xu + yv 1. b) xv + yu 1. c) –2  (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v)  2. d) –2  (x + y) (u + v) – (x – y) (u – v)  2. Giải: Áp dụng mệnh đề IV. Đặt x = cosa ; y = sina ; u = cosb ; v = sinb và 0  a, b  2. Khi đó a) xu + yv=cos(a – b) 1. b) xv + yu=sin(a + b) 1. c) (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) = (cos a – sin a) (cos b + sin b) + + (cos a + sin a) (cos b – sin b) = Thầy Sơn Đoàn – FB: 20’ học TOÁN mỗi ngày – Lớp 12  2 sin   a  2 sin 4  =    b +   4    2 cos   a  2 cos   b  4  4  = 2cos (a + b) Rõ ràng –2  2cos (a + b)  2. Bài 10: (đpcm) Chứng minh: a) (a + b)4  8(a4 + b4) b) 32(a6 + b6)  (a + b)6 c) (a + b)8  64(a8 + b8) Giải: a) Với a = 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Nếu a  0 chia hai vế cho a và đặt tgx = b   với 0, cos > 0. 2 2 2 cos2  cos2  cos  cos 3 5 4 5   3x + 4y = 3cos + 4sin  2cos + 4sin = 5  cos   sin   3 = 5cos( - )  5 trong đó cos = . 5 b) Nếu 0 <  <   , <  <  ta có sin > 0 , sin > 0 thì 2 2 sin2  sin2  sin  sin 3x + 4y = 3cos + 4sin  3cos + 4sin = 5cos( - )  5 c) Nếu -   <  < 0 , <  <  thì sin  < 0 , sin > 0. 2 2 sin2  sin2  sin  -sin 3x + 4y = 3cos + 4sin  3cos - 4sin = 5cos( + )  5. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG : Bài 1: Cho x2 + y2 = 1 chứng minh 1  x6 + y6  1 4 Bài 2: Cho ab + bc + ca = 1 , chứng minh rằng: 4abc = a(1- b2)(1 – c2) + b(1 – c2)(1 – a2) + c(1 – a2)(1 – b2) Thầy Sơn Đoàn – FB: 20’ học TOÁN mỗi ngày – Lớp 12 Bài 3: Cho 0  ai  1 , i = 1, 2, …, n. Chứng minh (1 + a12)(1 + a22)… (1 + an2) + (1 – a12) (1 – a22)… (1 – an2)  22 Bài 4: Cho 4 số dương a1, a2, a3, a4 phân biệt. Chứng minh rằng có thể chọn được ít nhất 2 trong 4 số đó sao cho: 0 ai  a j 1  a i  a j  2a i a j <2- 3 Bài 5: Cho x, y thoả mãn 2x + 5y = 7. Chứng minh rằng: x2 + y2  49 29 Bài 6: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, x và y thoả mãn ax + by = c. Chứng minh rằng: c2 x +y  2 a  b2 2 2 Bài 7: Cho 4a2 + 9b2 = 25. Chứng minh 6a + 12b  25 Bài 8: Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh 16 (x5 + y5) – 20 (x3 + y3) + 5(x + y)  2 Bài 9: Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh x y z 3 3    2 2 2 2 1 x 1 y 1 z Bài 10: Cho a  1. Chứng minh –2  a2 1  3  2. a (Các bài tập được tham khảo và tổng hợp từ Internet)
- Xem thêm -