Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 (a; b):
f '(x 0 ) lim
f (x) f (x 0 )
x x0
x x 0
y
x 0 x
= lim
(x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0)
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại diểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa hình học:
+ f (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M x 0 ;f (x 0 ) .
+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M x 0 ;f (x 0 ) là:
y – y0 = f (x0).(x – x0)
Ý nghĩa vật lí:
+ Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t0 là v(t0) =
s(t0).
+ Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q(t0).
3. Qui tắc tính đạo hàm
(C)' = 0
(x) = 1
(xn) = n.xn–1
x
1
(u v) = u v
(uv) = uv + vu
2 x
u uv vu
(v 0)
v
v2
1
v
2
v
v
(ku) = ku
Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là ux và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là
yu thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là: yx yu.ux
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác
lim
sinx
1;
x0 x
sinu(x)
1 (với lim u(x) 0 )
x x 0
xx 0 u(x)
(sinx) = cosx
(cosx) = – sinx
tanx
lim
1
2
cos x
5. Vi phân
dy df (x) f (x).x
6. Đạo hàm cấp cao
cot x 1
sin2 x
f (x 0 x) f (x 0 ) f (x 0 ).x
f ''(x) f '(x) ; f '''(x) f ''(x) ; f (n) (x) f (n1) (x) (nN, n 4)
Ý nghĩa cơ học:
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là a(t0) = f(t0).
VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước:
Cách 1:
B1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0.
Tính y = f(x0 + x) – f(x0).
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
y
.
x 0 x
f (x) f (x 0 )
f (x) f (x 0 )
Cách 2 : Tính lim
nếu lim
=L thì f '(x 0 ) L (1)
x x 0
x x 0
x x0
x x0
B2: Tính lim
Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm
+ Hàm số liên tục thì có thể có đạo hàm. Ta thường gặp bài toán CM hs liên tục nhưng không có đạo
hàm.
+ Hàm số có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0.
Vậy hàm số không có đạo hàm khi :+f(x) không liên tục tức là lim
f (x) f (x 0 )
x x 0
x x0
hoặc f’(x0+)≠f’(x0-)
Baøi 1:
Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
1) y f (x) 2x 2 x 2 tại x 0 1 ĐS: f’(1)=3
2) y f (x) 3 2x tại x0 = –3
2x 1
tại x0 = 2
x 1
4) y f (x) sinx tại x0 =
6
3) y f (x)
5) y f (x) 3 x tại x0 = 1
6) y f (x)
ĐS: f’(-3)=-1/3
ĐS: f’(2)=-3
6
ĐS: f’( )=
3
2
ĐS: f’(1)=1/3
x2 x 1
tại x0 = 0 ĐS: f’(0)=-2
x 1
7) f(x)= x(x-1)(x-2)...(x-1997) tại x0 = 0 ĐS : f’(0)=- 1997!
8) f(x)= x(x+1)(x+2)...(x+2013) tại x0 = -1000 ĐS: f’(-1000)= 1000!.1013!
sin 2 x
khi x 0
9) f(x) = x
tại x0 = 0 ĐS: f’(0)=1
0
khi
x
0
2 1
x sin khi x 0
10) f(x) =
tại x = 0 ĐS: f’(0)=0
x
0
khi x = 0
11)
1
2
x cos khi x 0
f(x) =
tại điểm x0 = 0 ĐS: f’(0)=0
x
0
khi x 0
1 - cosx
khi x 0
12) f(x) =
tại x = 0 ĐS: f’(0)=1/2
x
0
khi x = 0
13)
(x 1)2 nÕux 0
f(x) =
x 2
nÕux 0
tại x0 = 0 ĐS: f’(0) k. HD: tính đạo hàm trái và phải nếu bằng nhau thì
có đạo hàm tại x0.
14) f ( x) x x 2 tại x0 = 0 ĐS: f’(0)=0
15)
f(x) =
x
tại x0 = 0 ĐS: f’(0)=1
1 | x |
16)
f(x) =
|x |
taïi x0 = 0 ĐS: f’(0) kxđ. ĐH trái khác ĐH phải.
x 1
x 3 neáux 0
17) f(x) = 2
taïi ñieåm x0 = 0 ĐS: f’(0)=0
x neáux 0
Gia sư Tài Năng Việt
18)
https://giasudaykem.com.vn
(ĐHHH 1997): Chứng minh rằng hàm số y =
x 2 2 | x 3|
liên tục tại x = -3 những không có đạo
3x 1
hàm tại điểm ấy. ĐS: kxđ vì 53/100 ≠13/100
1
1
2
x sin khi x 0
x sin khi x 0
19) Cho f(x)
và g(x)
x
x
0
khi x 0
khi x 0
0
a. Xét tính liên tục của f(x), g(x) tại x=0 ĐS: đều liên tục tại x=0
b. Tính f’(x), g’(x) tại x=0.
ĐS:f’(0) kxđ; g’(0)=0
1
xsin 2 khi x 0
20) Cho hàm số f(x) =
x
0
khi x = 0
Chứng minh rằng hàm số liên tục trên R nhưng không có đạo hàm tại x = 0. ĐS: gh kẹp; giới hạn không
hội tụ tới 1 số cụ thể.
1
xcos 2 khi x 0
21) Cho hàm số f(x) =
x
0
khi x = 0
a) Chứng minh rằng hàm số liên tục trên R. ĐS: Giới hạn kẹp
b) Hàm số có đạo hàm tại x = 0 không? Tại sao? ĐS: vì cos(a) luôn thuộc đoạn [-1;1] và không tiến
tới một số cụ thể nào.
ax 2 + bx khi x 1
22) Cho hàm số f(x) =
khi x < 1
2x - 1
Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 1 ĐS:a=1;b=0 HD:b1 hàm số phải liên tục tại x=1. b2: có đạo hàm
tại x=1(đạo hàm trái bằng đạo hàm phải tại x=1).
khi x 0
ax + b
23) Cho hàm số f(x) = cos2x - cos4x
khi x < 0
x
Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 0
24)
ĐS: a=6;b=0
2
x + a
khi x 3
4x - 1
khi x > 3
Cho hàm số f(x) =
Tìm a để hàm số không có đạo hàm tại x = 3. ĐS :a≠2 HD : có ĐH khi a=2 vậy ngược lại sẽ không có.
x 2
khi x 1
25) Cho hàm số: f(x) =
. Tìm a, b để f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 ĐS:a=2; b=-1
ax b khi x 1
p cosx q sin x khi x 0
26) Cho hàm số: f(x) =
.Chứng tỏ rằng với mọi cách chọn p, q hàm f(x)
khi x 0
px q 1
không thể có đạo hàm tại điểm x = 0 ĐS: hàm số liên tục :p=q+1; hs có ĐH thì p=q. nên kxđ đc p,q.
Baøi 2:
Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
1
1) f (x) x 2 3x 1
4) f (x)
2) f (x) x3 2x
3) f (x) x 1, (x 1)
2x 3
7) f(x) = cos2x
8) f(x) = cosx
5) f (x) sinx
6) f (x)
1
cosx
VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm.
Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp.
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
Tính đạo hàm của các hàm số sau: (Tổng, hiệu, tích, thương)
Baøi 1:
1
1
1
1) y = x4 x3 + x2 x + a3
3
2
4
1
2) y 2x 4 x3 2 x 5
3
1 3
x – 2x2 + 3x
3
3) y =
4) y = - x4 + 2x2 + 3
5) y
3
2
x x x
3
x
2
ĐS: y '
6
x
1
3
x AD : y
2 x
m
n
x
y'
mn
x
Tính : y
n1
2
x
5
1
;y
2x
5
;y
6) y = (x + 1)(x + 2)(x + 3) ĐS: y’=3x +12x+11
7) y (x3 2)(1 x 2 )
ĐS: y’=3x2-5x4+4x
2
8) y (x2 1)(x 2 4)(x 2 9) ĐS: y’=6x5-56x3+88x
9) y (x 2 3x)(2 x)
ĐS:y’=-3x2-2x+6
10) y = ( x3 – 3x + 2 ) ( x4 + x2 – 1 ) ĐS:y’=7x6-10x4+8x3-12x2+4x+3
1
1
1
x 1
1 ĐS: y
x
2 x2 2 x
ax b
2x 5
2x 1
x3
x 1
3
12) y
; y
;y
;y
;y
(ad bc 0) AD: y
cx d
1 3x
2x 1
2x 3
2x 1
x2
11) y
13) y =
14) y
15) y
16) y =
17) y =
ax2 bx c
px q
x 2 3x 3
x 1
2x 2 3x 1
x 2 2x 2
x 2 3x 3
x2 x 2
AD: y =
;y=
;y=
;y=
x 1
x 1
x2
x2
ĐS: y
x 2 2x
x 1
2
2x 2 4x 1
2x 2 12x 11
ĐS: y
2
x 3
x 3
2x
ĐS: ĐS: y
x2 1
x2 x 1
ĐS: y
1 x x2
x 3 2x
x2 x 1
19) y =
2 2x 2
x 1
2
5x 3
1 x x2
18) y
20) y
2
ĐS: y
ĐS: y
2x 2
x 2 2x 3
x
2
x 1
5) y
(x 2x 5)
2
ĐS:
7) y
2(2x 2)
(x 2 2x 5)3
Baøi 3:
Tính đạo hàm của các hàm số sau; Tìm x để y’=0
1) y 9 3 x
2) y 3 x 5
3) y x 1 x 9 ĐS: x=5
4) y 6 x 4 x ĐS: x=1
x 1
2
x
2
x 1
2
4x 2 12x
x
2
2x 3
2
ĐS: -16x(3-2x2)3
1
2
2
x 4 2x3 5x 2 2
5x 2 6x 8
3)y = (8x 3x 2 )5 ĐS :5(8-6x)(8x-3x2)4
4
x
ĐS: y
Baøi 2:
Tính đạo hàm của các hàm số sau: (Hàm số hợp: y=f’u. u’x)
3
2
1) y (x x 1)4 ĐS:4(x2+x+1)3(2x+1)
2x 1
6) y
ĐS :
2) y (1 2x 2 )5 ĐS:-20x(1-2x2)4
x 1
4) y 3 2x 2
2 4x
(x 1)2
(x 1)3
ĐS:
2x 1
2 x 1
x 1
9
x 2 4x 3
(x 1)4
2
2
1
3x
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
5) y x 4 x 2
ĐS:x= 2
2
6) y 2 x 3 x 2 1 ĐS:x=
5
7) y 3x 9x 2 6x 5 ĐS:vô nghiệm
8) y 2 x
x 2 1 ĐS: VN
3
;VN.
x x
2x 2 x
3
x ; y’=0 khi x=0
10)y = x2 + x x + 1ĐS: y’= 2x
2
9) y =
1
ĐS: y '
11) y 2x 2 5x 2 ĐS:x=5/4
12) y x 2 2x 4 x 2 2x 4 ĐS: y’=0 khi x=0
13) y 3 x3 3x 2 ĐS: x=-1
14) y x x ĐS: y
2 x 1
4 x x x
2
x2
15) y x 1 x 2 ĐS: y
2
16) y
17) y
x3
ĐS: y
x2 1
x 1
x x 1
2
1 3x
x2 1
; VN
x 2
2
; x=-2
; x=1/3
ĐS: y x(x 2) ; x=0;x=-2
x2 x 1
2
18) y (x 2) x 2 3 ĐS: y 2x 2x 3 , VN
x2 3
19) y
20) y
21) y
4x 1
ĐS: y 8 x
x2 2
x2 2
3x 1
x 1
x
2
4 x
ĐS: y 3 x
2
x2 1
ĐS: y
4
4 x2
22) y x 1 x ĐS: y 1 2x
2
2
1 x2
23) y
24) y =
25) y
26)y =
4 x2
4
ĐS: y
x
x2 x2 4
x2 1
x2 1
x
ĐS: y'
; x=±1
x
2x 2 x 2 1
x2
x 2 2x
ĐS: y '
x 1
2(x 1) 2
1 x
1 x
ĐS: y
27) y (x 2)3
x 1
;x=2
x2
3 x
; VN
2 1 x
ĐS: y
3
(x 2)
2
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
28)yx 1với x≠1 ĐS:y’=-1 với x<1; y’=1 với x>1
29) y=x2 3x+2với x≠1;x≠2 ĐS:y’=2x-3 với x<1;x>2; y’=3-2x với 10
2
e) y ' 0 , x 0 . ĐS: m>0
1
Baøi 12: Cho hàm số y mx3 m 1 x 2 mx 3 . Xác định m để :
3
a) y ' 0 , x .ĐS: m≥1/2
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
b) y ' 0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm. ĐS: 0 0 với mọi x.
Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x R:
a) f '(x) 0 vôùi f (x)
mx 3
3x 2 mx 5
3
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
3
2
b) f '(x) 0 vôùi f (x) mx mx (m 1)x 15
3
2
Baøi 6:
Cho hàm số y x3 2 x 2 mx 3. Tìm m để:
a) f '( x) bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b) f '( x) 0 với mọi x.
Cho hàm số f ( x)
Baøi 7:
mx 3 mx 2
(3 m) x 2. Tìm m để:
3
2
a) f '( x) 0 với mọi x.
b) f '( x) 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
c) Trong trường hợp f '( x) 0 có hai nghiệm, tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
VẤN ĐỀ 7: Dùng Đạo hàm để tính giới hạn
Lời dẫn: Việc tính đạo hàm thì dễ xong việc tính giới hạn trực tiếp lại khó. Khi đó ta nhớ áp dụng tính
chất này của đạo hàm thì tính giới hạn lại cực dễ.
Phương pháp áp dụng
Giả sử cần xác định giới hạn:
L = lim Q(x),
xx0
ta có thể thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định một hàm f(x) f(x0)
Xác định f’(x) f’(x0).
Bước 2: Khéo léo biến đổi giới hạn trên về một trong các dạng:
f (x) f (x 0 )
= f ’(x0)
x x 0
x x0
f (x) f (x 0 )
Dạng 2: L = lim
.P(x) = f ’(x0) .P(x0) với P(x0)
x x 0
x x0
Dạng 1: L = lim
f (x) f (x 0 )
f ' (x 0 )
x x0
Dạng 3: L = lim
=
với g’(x0) 0.
x x 0 g( x ) g( x 0 )
g' (x 0 )
x x0
Baøi 1:
Tìm các giới hạn sau:
f (x) f (1)
x2 1
f '(1) 2
1) lim
ĐS:đặt f(x)=x2; f(1)=1; f’(x)=2x; f’(1)=2 ta có: lim
x 1 x 1
x 1
x 1
x 8 3
2) lim 2
ĐS: Đặt f(x)= x 8 ;…,f’(1)=1/6 ta có:
x 1 x 2x 3
x 8 3
f (x) f (1)
f (x) f (1)
1
1 1
lim 2
lim
lim
.lim
f '(1).
x 1 x 2x 3
x 1 (x 1)(x 3)
x 1
x
1
(x 1)
x 3
4 24
4x 2
ĐS :1/12
x 2
x2
x 3 3x 2
4) lim
ĐS:3/2
x 1
x 1
3
3) lim
5 x3 3 x 2 7
ĐS:-11/24
x 1
x2 1
4
2x 1 5 x 2
6) lim
ĐS:7/10
x 1
x 1
(x 2 2001) 7 1 2x 2001
7) lim
ĐS:-3995/7
x 0
x
1 2x 1 sin x
8) lim
ĐS:0
x 0
3x 4 2 x
5) lim
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
x x2
xn n
9) lim
ĐS: n(n+1)/2
x1
x 1
x n nx n 1
10) lim
ĐS:n(n-1)/2
x 1
( x 1) 2
3 3 4 x3 24 x 2 8 2 x 3
ĐS:-65/16
x 2
4 x2
3
x 1
12) lim
ĐS:4/3
x 1 4
x 1
11) lim
n
13) lim m
x 0
1 2x 1
ĐS:2m/3n
1 3x 1
2x 1 3 x 2 1
ĐS: 1/3
x 0
sin x
cos5 x cos3 x
15) lim
ĐS:-4
x 0
x.sin 2 x
14) lim
2 x2 1 3 4 x2 1
ĐS:
x 0
1 cos x
17) lim cos 3x 1 sin 3x
1 sin 3 x
x
16) lim
2
18) lim
x 0
19) lim
x1
1 tan x 1 sin x
x3
x2 3 2x2 4x 19 3x2 46
x2 1
VẤN ĐỀ 8: RÚT GỌN BIỂU THỨC, CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
Chú ý : + bài toán thuận của phần này là tính đạo hàm.
+ bài toán ngược của phần này là biết đạo hàm f’(x) tìm f(x).
Baøi 1:
Rút gọn biểu thức, tính tổng các biểu thức sau:( Biết f(x) tính f’(x) rồi chọn x thích hợp)
Tính chất Cấp số nhân
1) A1=1+2x+3x2+4x3+….+(n+1)xn HD: x n2 1 x 1 x n1 x n ... x2 x 1 - Tính chất CSN
2) A2=1+x+2x2+3x3+….+nxn
3) A3= 2nx2n1 (2n 1)x2n2 (2n 2)x2n3 ... 2x 1
Baøi 2: Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng đạo hàm của khai triển (a b)n ):
Chú ý: hệ số tăng hoặc mũ tăng dần thì (1±x)n; hệ số giảm ; mũ giảm thì (x±1)n
Tính chất nhị thức niu tơn
. nn n.2n1
1) S 1.Cn1 2.Cn2 ... nC
HD: (1 x)n , với x = 1
2) S 2.1.Cn2 3.2.Cn3 ... n(n 1).Cnn n.(n 1)2n2
3) S 12Cn1 22Cn2 ... n2Cnn n(n 1).2n2
HD: (1 x)n , với x = 1
HD c1: k2Cnk k(k 1) kCnk
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
c2:Khai triển (1 x)n rồi (1 x)n rồi nhân 2 vế với x lại lấy đạo hàm lần 2, chọn x=1
4) S Cn1 3n1 2Cn2 3n2 3Cn33n3 ... nCnn n.4n1
HD: (3 x)n , với x = 1
Baøi 3:
Tính tổng các hệ thức sau (sử dụng đạo hàm của khai triển (a b)n ):
5) B = C 0n + 2 C1n + 3 C2n + ... + n Cnn1 + (n + 1) Cnn . HD: KT x(1 x)n rồi lấy ĐH, chọn x=1
6) C = 3.2 C0n + 4.3 C1n + 5.4 C2n + ... + (n + 3)(n + 2) Cnn . HD: KT x3(1 x)n rồi lấy ĐH 2lần, chọn x=1
HD: (1 x)n , chọn x = 1
8) S1 Cn1 2Cn2 5 3Cn3 52 nCnn 5n1 HD: (1 x)n , chọn x = 5
''
n
9) S2 2.1.Cn2 2n2 3.2.Cn3 2n3 1 .n n 1 .Cnn HD: ( x 1)n , chọn x = 2
7) D = 2.1 C2n 3.2 C3n + ... + n(n 1)(1)n Cnn
10) S3 12.Cn1 22.Cn2 32.Cn3
n2 .Cnn HD: KT (1 x)n , tính đh, nhân 2 vế với x, lại tính đh, chọn x=1
11) S4 2Cn0 5Cn1 8Cn2 ..... 3n 2 Cnn HD: (3k 2)Cnk 3kCnk 2Cnk Khi đó
S4 3 0.Cn0 1Cn1 2Cn2 ..... nCnn 2 Cn0 Cn1 Cn2 ..... Cnn
99
100
0 1
1 1
12) S1 100C100
101C100
2
2
198
99 1
199C100
2
199
100 1
200C100
2
.
'
HD:Khai triển ( x 1)100 ; nhân 2 vế với x100 ; x100 ( x 1)100 , chọn x = 1/2
2 18
3 17
20
13) S2 2.1.C20
. HD:Kt (1-x)20 tính đh lần 2; chọn x=1/2 rồi quy đồng.
2 3.2.C20
2 380.C20
1
2
3
2009
14) S3 12.C2009
. HD: KT (1 x)n , tính đh, rồi nhân 2 vế với x, lại
22.C2009
32.C2009
20092.C2009
tính đh, chọn x=1.
2010
15) S4 3Cn0 5Cn1 7Cn2 ..... 4023C2010
HD: Cấp số cộng. 3,5,7,…,4023 là CSC có u1=3; d=2;
4023=2.2011+1
2010
2010
1 Cn0 Cn1 Cn2 ..... C2010
Ta tách thành : S4 2 1.Cn0 2.Cn1 3.Cn2 ..... 2011.C2010
Kt(1-x)2010; nhân 2 vế với x lấy đh; chọn x=1.
An3 Cn3
Baøi 4: Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức
35, n 3 . Tính tổng :
n 1 n 2
1 n 2 .Cnn . (Dự bị B1 – 2008) .
ĐS: n=30; kt (1-x)n;tính đh; nhân 2 vế với x, tính đh; chọn x=1; n=30 là xong
Baøi 5: Chứng minh rằng với n là số nguyên dương , ta luôn có :
n.2n.Cnn n 1 .2n1.Cn1 n 2 .2n2.Cn2 2.Cnn1 2n.3n1 (Dự bị D1 – 2008) .
S 22.Cn2 32.Cn3
n
ĐS: kt (x+1)n; tính đh; chọn x=2; nhân 2 vế với 2.
Baøi 6: Tìm số nguyên dương n sao cho :
C21n1 2.2C22n1 3.22 C23n1 4.23C24n1 ... 2n 1 .22n C22nn11 2011 (1)
( Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử ) .
ĐS: Kt (1-x)2n+1; tính đh 2 vế rồi chọn x=2 suy ra n=1005
Baøi 7:
1)
2)
3)
Chứng minh đẳng thức sau
2 C2n + ... + n(1)n 1 Cnn = 0
C0n 2 C1n + 22 C2n ... + (1)n. 2n Cnn = (1)n.
C1n 2 C2n + 3 C3n ... + (1)k1k Ckn + ... + (1)n1n Cnn = 0
C1n
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
4) C1n + 2 C2n + ... + (n1) Cnn1 + n Cnn = n.2n1
5) 2.1 C2n + 3.2 C3n + ... + n(n1) Cnn = n(n1).2n2
6) C2n + 2 C3n + ... + (n1) C nn > (n2)2n1
7) Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
(-1)r C rr C rn + ( - 1)r + 1 C rr 1 Crn1 + ... + ( - 1)n C rn C nn = 0, với r nguyên dương và r n.
8) n.3n1 = C1n + 4 C 2n + ... + n2n1. C nn
9) n.3n1 = n.4n1. C0n (n1).4n2 C1n + ... + (1) n1. C nn1
10) C1n + 4 C 2n + ... + n2n1. C nn = n.4n1. C0n (n1).4n2 C1n + (n2).4n3 C 2n + ... + (1) n1. C nn1
11) n4 n1 C0n ( n 1)4 n2 C1n ... (1) n1 Cnn1 = C1n 22 C2n ... n2 n1 Cnn
12)
1
( C1n
n
+ 2 C2n + 3 C3n + ... + n C nn ) < n!
Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng khai triển (a b)n ):
Baøi 8:
a) S 2Cn0
22 1 23 2
2n1 n 3n1 1
Cn Cn ...
C
HD: khai triển f '( x) (1 x)n f ( x) rồi chọn x=2
2
3
n1 n
n 1
1
1
1
2n1 1
Cnn
b) S Cn0 Cn1 Cn2 ...
HD: khai triển f '( x) (1 x)n f ( x) rồi chọn x=1
2
3
n 1
n 1
1
1
(1)n n
1
Cn
c) S Cn0 Cn1 Cn2 ...
HD: khai triển f '( x) (1 x)n f ( x) rồi chọn x=1
2
3
n 1
n 1
1 0 1 1 1 2
(1)n n
1
d) S Cn Cn Cn ...
Cn
2
4
6
2(n 1)
2(n 1)
1
1
1
1
2n1 1
e) S Cn0 Cn1 Cn2 ...
Cnn
2
4
6
2(n 1)
2(n 1)
f) S Cn0
1
HD: S x(1 x2 )ndx
0
1
HD: S x(1 x2 )ndx
0
2
22 1 1 22 1 2
2n1 1 n 3n1 2n1
Cn
Cn ...
Cn
HD: S (1 x)ndx
2
3
n1
n 1
1
BÀI TẬP ÔN CHƯỜNG V
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y x3( x2 4)
b) y ( x 3)( x 1)
c) y x6 2 x 2
d) y x (2x2 1)
e) y (2x2 1)(4x3 2x)
f) y
x 2 3x 2
1
h) y
2x 3
x2 2 x
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
g) y
a) y x4 3x2 7
d) y
1 x
b) y 1 x2
e) y
1 x
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y sin( x3 x 2)
x
1 x2
b) y tan(cos x)
1 9x
x 1
i) y (3 2 x2 )2
c) y x2 3x 2
f) y
c) y
x3
x
sin x
x
x
sin x
Gia sư Tài Năng Việt
d) y
sin x cos x
sin x cos x
https://giasudaykem.com.vn
e) y x cot( x2 1)
f) y cos2 ( x2 2x 2)
g) y cos2x
h) y cot 3 1 x2
i) y tan2 (3x2 4x)
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của các hàm số, với:
a) (C) : y x3 3x2 2 tại điểm M(1, 2).
b) (C) : y
x2 4 x 5
tại điểm có hoành độ x0 0.
x2
1
c) (C) : y 2x 1 biết hệ số góc của tiếp tuyến là k .
3
Bài 5: Cho hàm số y x3 5x2 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) sao cho tiếp
tuyến đó:
a) Song song với đường thẳng y 3x 1.
b) Vuông góc với đường thẳng y
1
x 4.
7
c) Đi qua điểm A(0;2) .
. Tính giá trị của f ' f ' .
cos2x
6
3
1
b) Cho hai hàm số f ( x) sin4 x cos4 x và g( x) cos4x. So sánh f '( x) và g '( x) .
4
Bài 7: Tìm m để f ( x) 0, x R , với:
Bài 6: a) Cho hàm số f ( x)
cos x
a) f ( x) x3 (m 1) x2 2x 1.
1
b) f ( x) sin x msin2x sin3x 2mx
3
Bài 8: Chứng minh rằng f ( x) 0, x R , với:
a) f ( x) 2x sin x.
b) f ( x)
2 9
x x6 2x3 3x2 6x 1.
3
- Xem thêm -
.PDF 
19 
71 
126 
