Mô tả:
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LƯỢNG GIÁC
I. CÔNG THỨC
I. 1. Công thức lượng giác cơ bản
1
, a k ( k )
2
cos a
2
1
tan a.cot a 1, a k (k )
1 cot 2 a
, a k k
2
sin 2 a
I. 2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
sin 2 a cos 2 a 1
1 tan 2 a
a. Cung đối: và
cos cos
tan tan
sin sin
cot cot
b. Cung bù: và
sin sin
tan tan
cos cos
c. Cung phụ: và
2
cot cot
sin cos
2
tan cot
2
cos sin
cot tan
2
2
d. Cung hơn kém : và
sin sin
tan tan
cos cos
cot cot
Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém tan và cot
I. 3. Công thức cộng
sin a b sin a.cos b cos a.sin b
sin a b sin a.cos b cos a.sin b
cos a b cos a.cos b sin a.sin b
cos a b cos a.cos b sin a.sin b
tan a tan b
1 tan a.tan b
tan a tan b
tan a b
1 tan a.tan b
tan a b
Chú ý: sin bằng sin.cos , cos.sin ; cos bằng cos.cos , sin.sin giữa trừ ; tan bằng tan tổng chia
1 trừ tích tan.
I. 4. Công thức nhân đôi
Trang 1
Gia sư Tài Năng Việt
sin 2a 2sin a.cos a
https://giasudaykem.com.vn
cos2a cos 2 a sin 2 a 2 cos 2 a 1 1 2sin 2 a
tan 2a
2 tan a
1 tan 2 a
I. 5. Công thức hạ bậc
1 cos2a
1 cos2a
1 cos2a
sin 2 a
cos 2 a
tan 2 a
2
2
1 cos2a
I. 6. Công thức tính theo t tan
2
2
2t
1 t
2t
a
sin a
cos a
tan a
k , k
2
2
2
1 t
1 t
1 t
2 2
I. 7. Công thức nhân ba
3 tan a tan 3 a
sin 3a 3sin a 4sin 3 a
cos3a 4 cos 3 a 3cos a
tan 3a
1 3 tan 2 a
I. 8. Công thức biến đổi tổng thành tích
ab
a b
ab
a b
cos a cos b 2 cos
cos
cos a cos b 2sin
sin
2
2
2
2
ab
a b
ab
a b
sin a sin b 2sin
cos
sin a sin b 2cos
sin
2
2
2
2
sin a b
sin a b
tan a tan b
tan a tan b
a, b k , k
a, b k , k
cos a.cos b
2
cos a.cos b
2
I. 9. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos a b cos a b
2
1
sin a.sin b cos a b cos a b
2
1
sin a.cos b sin a b sin a b
2
I. 10. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
cos a.cos b
Cung
00 0
sin
0
cos
1
tan
0
cot
║
300
6
1
2
3
2
1
3
3
450
4
600
3
2
2
2
2
3
2
1
2
1
3
1
1
3
2
1200
3
3
1350
4
3
2
1
2
2
2
2
2
║
3
1
0
1
3
1
900
2
1
0
5
1500
6
1
2
1800
3
2
1
3
1
3
║
0
0
Chú ý:
sin
n
với 00 ; 300 ; 450 ; 600 ; 900 ứng với n = 0; 1; 2; 3; 4 .
2
Trang 2
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại:
a0
0
180
I. 11. Đường tròn lượng giác
sin
1
π
2
3π
π
4
4
2π
π
cos
1
O
-1
0
7π
5π
4
4
-1
3π
2
Trang 3
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
II. 1. Phương trình lượng giác cơ bản:
II.1.1. Phương trình
sin x a
a 1 : Phương trình vô nghiệm
a 1
x k 2
sin x sin
k
x k 2
x 0 k 3600
sin x sin 0
k
0
0
0
x 180 k 360
x arc sin a k 2
sin x a
k
x arc sin a k 2
f x g x k 2
Tổng quát: sin f x sin g x
k
f x g x k 2
* Các trường hợp đặc biệt
sin x 1 x
2
k 2
sin x 1 x
sin x 0 x k
2
k
k 2
k
k
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a ) sin x sin
12
b)sin 2 x sin 360
c) sin 3 x
1
2
d ) sin x
2
3
Giải
x k 2
x k 2
12
12
a)sin x sin
k
11
12
x k 2
x
k 2
12
12
2 x 360 k 3600
2 x 360 k 3600
0
0
b) sin 2 x sin 36 sin 2 x sin 36
0
0
0
0
0
2 x 180 36 k 360
2 x 216 k 360
x 180 k1800
k
0
0
x 108 k180
2
3x k 2
x k
1
6
18
3
c)sin 3x sin 3x sin
k
2
6
3x 5 k 2
x 5 k 2
6
18
3
Trang 4
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
2
x arcsin k 2
2
3
d )sin x
k
3
x arcsin 2 k 2
3
II.1.2. Phương trình cos x a
a 1 : Phương trình vô nghiệm
a 1
cosx cos x k 2 k
cosx cos x k 360 k
0
0
0
cosx a x arccosa k 2 k
Tổng quát: cosf x cosg x f x g x k 2 k
* Các trường hợp đặc biệt
k
cosx 1 x k 2 k
cosx 1 x k 2
k k
2
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
2
a ) cos x cos
b) cos x 450
4
2
cosx 0 x
Giải
a) cos x cos
b) cos x 45
4
0
x
4
k 2 k
c)cos4 x
2
;
2
d ) cos x
3
4
x 450 450 k 3600
x 450 k 3600
2
0
0
cos x 45 cos45
k
0
0
0
0
0
2
x 90 k 360
x 45 45 k 360
2
3
3
3
cos4 x cos
4x
k 2 x
k , k
2
4
4
16
2
3
3
d ) cos x x arccos k 2 , k
4
4
II.1.3. Phương trình tan x a
c)cos4 x
k
tan x t an 0 x = 0 k1800 k
tan x a x = arctan a k k
Tổng quát: tan f x tan g x f x g x k k
tan x t an x = k
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) tan x tan
3
b) tan 4 x
1
3
c) tan 4 x 200 3
Giải
Trang 5
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
k , k
3
3
1
1
1
1
b) tan 4 x 4 x arctan k x arctan k , k
3
4
4
3
3
0
0
0
0
0
c) tan 4 x 20 3 tan 4 x 20 tan 60 4 x 20 60 k1800 4 x 800 k1800
a) tan x tan
x
II.1.4. Phương trình
x 200 k 450 , k
cot x a
k
cot x cot x = + k1800 k
cot x a x = arc cot a + k k
cot x cot x = + k
0
0
Tổng quát: cotf x cotg x f x g x k k
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a ) cot 3 x cot
3
7
1
c) cot 2 x
6
3
b) cot 4 x 3
Giải
3
3
3x
k x k , k
7
7
7
3
1
b) cot 4 x 3 4 x arctan 3 k x arctan 3 k , k
4
4
1
c) cot 2 x
cot 2 x cot 2 x k 2 x k x k , k
6
6
6
6 6
3
6
2
3
a) cot 3x cot
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) sin 2 x 1 sin 3x 1
4) cot 450 x
3
3
2) cos x cos 2 x
4
2
5) sin2x
3) tan 2 x 3 tan
3
2
6) cos 2x 250
3
2
2
7) sin3x sin x
8) cot 4x 2 3
10) sin 8 x 600 sin 2 x 0
11) cos
13) tan x cot 2 x
4
14) sin2x cos3x
16) sin4x cos x
17) sin5x sin2x
2
15) sin x
cos2x
3
18) sin2 2x sin2 3x
20) sin4x cos5x 0
21) 2sin x 2sin2x 0
19) tan 3x 2 cot 2x 0
22) sin2 2x cos2 3x 1
x
24) cos x 2sin2 0
2
x
cos 2 x 300
2
9) tan x 150
23) sin5x.cos3x sin6x.cos2x
25) tan 3x cot 5x 1
2
3
3
12) sin x cos 2 x 0
26) tan5x.tan3x 1
Trang 6
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
2
27) sin cos x
28) tan sin x 1 1
4
4
2
Bài 2: Tìm x ; sao cho: tan 3x 2 3 .
2 2
Bài 3: Tìm x 0;3 sao cho: sin x 2cos x 0 .
3
6
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Giải các phương trình sau:
18)
sin2 2x sin2 3x
1 cos4x 1 cos6x
cos4x cos6x cos4x cos 6x
2
2
.....
22)
sin2 2x cos2 3x 1
1 cos4x 1 cos6x
1 cos4x cos6x
2
2
.....
23)
sin5x.cos3x sin6x.cos2x
1
1
sin2x sin8x sin4x sin8x sin2 x sin4x
2
2
....
24)
cos x 2sin2
x
1
0 cos x 1 cos x 0 cos x
2
2
....
25) tan 3x cot 5x 1 25
2
Vì tan 3x 0 hoặc cot 5x 0 không là nghiệm của pt (25) nên ta có:
2
1
tan 3x cot 5x 1 tan 3x
tan 3x tan 5x
2
2 cot 5x
2
...
26) tan5x.tan3x 1 26
Vì tan5x 0 hoặc tan3x 0 không là nghiệm của pt (26) nên ta có:
1
tan5x.tan3x 1 tan5x
tan5x cot 3x tan5x tan 3x
tan3x
2
....
Trang 7
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
II.2. Một số phương trình lượng giác thường gặp:
II.2.1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
II.2.1.1. Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
at b 0 t trong đó a,b là các hằng số a 0 và t là một trong các hàm số lượng giác.
1
0; 3 tan x 1 0; 3 cot x 1 0
2
II.2.1.2. Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ: 2sin x 1 0; cos2 x
Giải
x k 2
1
6
a) 2sin x 1 0 sin x sin x sin
k
2
6
x 5 k 2
6
1
1
2
2
b) cos2 x 0 cos2 x
cos2 x cos
2x
k 2 k x k k
2
2
3
3
3
1
1
c) 3 tan x 1 0 tan x x arctan k k
3
3
1
2
2
d)
3 cot x 1 0 cot x
cot x cot
x
k k
3
3
3
II.2.1.3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
Ví dụ: Giải phương trình sau: 2cos x sin 2 x 0
Giải
cos x sin 2 x 0 cos x 2sin x cos x 0 cos x 1 2sin x 0
x 2 k
cos x 0
cos x 0
x l k , l
1
sin x
6
1 2sin x 0
2
x 5 l
6
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
29) 2cos x 3 0
30) 3 tan 3x 3 0
II.2.2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Trang 8
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
II.2.2.1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
at bt c 0 , trong đó a, b, c là các hằng số a 0 và t là một trong các hàm số lượng giác.
Ví dụ:
a) 2sin 2 x sin x 3 0 là phương trình bậc hai đối với sin x .
b) cos 2 x 3cosx 1 0 là phương trình bậc hai đối với cos2 x .
c) 2 tan 2 x tan x 3 0 là phương trình bậc hai đối với tan x .
d) 3cot 2 3x 2 3 cot 3x 3 0 là phương trình bậc hai đối với cot 3x .
2
II.2.2.2. Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai
theo t giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện 1 t 1 nếu đặt t bằng sin hoặc
cos).
Giải
a) 2sin x sin x 3 0(1)
Đặt t sin x , điều kiện t 1 . Phương trình (1) trở thành:
2
t 1 nhân
2t t 3 0 3
t loai
2
Với t=1, ta được sin x 1 x k 2 k
2
b) cos x 3cosx 1 0 2
2
Đặt t cosx , điều kiện t 1 . Phương trình (2) trở thành:
3 13
nhân
t
2
2
t 3t 1 0
3 13
loai
t
2
3 13
3 13
3 13
Với t
ta được cosx
x arccos
k 2 k
2
2
2
Các câu còn lại giải tương tự
II.2.2.3. Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)3sin 22 x 7 cos 2 x 3 0
b)7 tan x 4cot x 12
Giải
a)3sin 2 2 x 7 cos 2 x 3 0 3 1 cos 2 2 x 7 cos 2 x 3 0
3cos 2 2 x 7 cos 2 x 0 cos 2 x 3cos 2 x 7 0
cos 2 x 0
3cos 2 x 7 0
*) Giải phương trình: cos 2 x 0 2 x
2
k x
*) Giải phương trình: 3cos 2 x 7 0 cos 2 x
Vì
4
k
2
,k
7
3
7
1 nên phương trình 3cos 2 x 7 0 vô nghiệm.
3
Trang 9
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
b)7 tan x 4cot x 12 1
4
k
2
,k
Điều kiện: sin x 0 và cos x 0
Khi đó:
1
12 0 7 tan 2 x 12 tan x 4 0
1 7 tan x 4.
tan x
Đặt t tan x , ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t 2 4t 12 0
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
32) cos2 x sin x 1 0
35) 2cos2x 2cosx - 2 0
38) 24 sin 2 x 14cosx 21 0
31) 2cos2 x 3cos x 1 0
34) 2sin 2 x 5sinx – 3 0
37) 3 tan 2 x (1 3) tan x=0
39) sin 2 x 2cos
3
x 1
3
33) 2cos2x 4cos x 1
36) 6 cos2 x 5 sin x 2 0
40) 4cos2 x 2( 3 1)cosx 3 0
II.2.3. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:
II.2.3.1. Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng
a.sin 2 x b.sin x cos x c.cos 2 x d a, b, c 0
II.2.3.2. Phương pháp:
Kiểm tra cos x 0 có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này.
cos x 0 chia cả hai vế cho cos 2 x đưa về phương trình bậc hai theo tan x :
a d tan 2 x b tan x c d 0
Ví dụ: Giải phương trình sau
Bài tập đề nghị:
41) 3sin 2 x 4sin x cos x+5cos2 x 2
42) 2cos 2 x 3 3 sin 2 x 4sin 2 x 4
44) 4sin 2 x 5sin x cos x 6cos 2 x 0
46) 4sin 2 x 6cos 2 x 0
43) 25sin 2 x 15sin 2 x 9cos 2 x 25
45) 4sin 2 x 5sin x cos x 0
II.2.4. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :
II.2.4.1. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng
a sin x b cos x c trong đó a, b, c và a 2 b2 0
Ví dụ: sin x cos x 1; 3cos 2 x 4sin 2 x 1;
II.2.4.2. Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho
a
b
c
sin x
cos x
2
2
2
2
2
a b
a b
a b2
c
1 : Phương trình vô nghiệm.
Nếu
2
a b2
Nếu
c
a b
2
2
1 thì đặt cos
a
a b
2
2
sin
a 2 b 2 ta được:
b
a b2
2
Trang 10
Gia sư Tài Năng Việt
(hoặc sin
a
cos
https://giasudaykem.com.vn
b
)
a b2
c
c
Đưa phương trình về dạng: sin x
(hoặc cos x
) sau đó giải phương trình
a 2 b2
a 2 b2
lượng giác cơ bản.
a b
2
2
2
Chú ý: Phương trình a sin x b cos x c trong đó a, b, c
và a 2 b2 0 có nghiệm khi c2 a 2 b2 .
Giải
Ví dụ: giải các phương trình sau:
a) sin x cos x 1;
b) 3cos 2 x 4sin 2 x 1;
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
47) 2sin x 2cos x 2
48) 3sin x 4cos x 5
50) 3cos x 4sin x 5
51) 2sin 2 x 2 cos 2 x 2
1
53) sin4 x cos4 x (*)
4 4
49) 3sin x 1 4cos x 1 5
52) 5sin 2 x 6cos 2 x 13;(*)
54) sin x 3 cos x
III. BÀI TẬP
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1
3
55. sin 2 x
56. cos2 x
2
2
1
58. cot 5 x
59. sin 2 x sin x
4
8
5
61. cos 2 x 200 sin 600 x
62. tan x cot 2 x
6
3
Bài 2. Giải các phương trình sau:
64. 2sin 3x 3 0
65. cos2 2 x cos2x=0
6
2
67. 2sin x sin x 3 0
68. 4sin 2 x 4cos x 1 0
70. 2cot 4 x 6cot 2 x 4 0
57. tan x 300
1
3
60. cot 2 x cot 5 x
3
4
1
63. tan 2 5 x
3
66. tan x 1 cos x 0
69. tan x 2cot x 3 0
71. sin 4 x cos4 x cos x 2
72. 1 cos4 x sin 4 x 2 sin 2 2 x (*)
73. 3sin 2 x 2sin x cos x cos 2 x 0
74. cos2 x sin 2 x 3 sin 2 x 1
75. sin 2 2 x sin 4 x 2 cos 2 2 x
Bài 3. Giải các phương trình sau:
76. 3sin x 4cos x 5
77. 2 sin 2 x 2 cos 2 x 2
1
79. sin 2 x sin 2 x
80. cos 2 x 9cos x 5 0
2
Bài 4. Giải các phương trình sau:
81) sin 6 x 3 cos 6 x 2
78.
1
2
3 cos x sin x 2
Trang 11
Gia sư Tài Năng Việt
82)
cos 2 x sin x 1 0
83)
84)
3sin x 3 cos x 1
5cos 2 x 12sin 2 x 13
1
sin 2 x sin 2 x
2
2
cos x sin x 2
85)
86)
87)
88)
89)
90)
91)
92)
93)
94)
https://giasudaykem.com.vn
4sin 2 x 3 3sin 2x 2cos2 x 4
24sin 2 x 14cosx 21 0
tan 2 x cot 2 x 3 0
6
6
sin 2 x 2 cos x 1
3
3
2
3sin x 8sinxcosx 8 3 9 cos 2 x 0
2sin 3x 2 sin 6 x 0
3 cos 2 x 5 sin 2 x 1
sin x 3cos x 1
3
3
95)
4cos 2 x 2
96)
sin x –10sinxcosx 21cos 2 x 0
97)
98)
cos2 x sin 2 x 2sin 2x 1
cos 4x sin3x.cosx sinx.cos 3x
1
sinx cosx
sinx
99)
3 1 cosx 3 0
2
Dành cho HS khá – giỏi
100)
cos x 3 sin x 2cos3x
101)
HD:
tanx tan 2x tan 3x
tanx tan 2x tan 3x
sin 3x
sin 3x
1
1
sin 3x
0
cos x.cos 2 x cos 3x
cos x.cos 2 x cos 3x
Giải phương trình
Trang 12
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
1
1
0
cos x.cos 2 x cos 3 x
cos 3 x cos x.cos 2 x 0
4 cos3 x 3cos x cos x. 2 cos 2 x 1 0
2 cos x 2 cos x 0
3
cos x cos 2 x 1 0
...
102)
2sinx cosx 1
cosx sin 2 x
(1 cos 2x)sin 2x sin 2 x
Hướng dẫn:
(1 cos 2x)sin 2x sin 2 x
104) cosx 1 tanx sinx cosx sinx
103)
105)
cot x tan x sin x cos x
Hướng dẫn
cot x tan x sin x cos x , (điều kiện sin x 0 và cos x 0 )
cos x sin x
sin x cos x
sin x cos x
cos 2 x sin 2 x
sin x cos x
sin x cos x
cos x sin x cos x sin x sin x cos x sin x cos x 0
cos x sin x cos x sin x sin x cos x 0
cos x sin x 0 91a
cos x sin x sin x cos x 0 91b
HD giải pt 91b):
cos x sin x sin x cos x 0
Đặt t cos x sin x t 2 cos x sin x 1 2sin x cos x sin x cos x
2
t 2 1
2
Thay vào phương trình, ta được:
t 2 1
t
0 t 2 2t 1 0 t 1 2 t 1 2
2
Ta giải 2 phương trình: cos x sin x 1 2 ; cos x sin x 1 2
106) sin 2 2x 2 cos 2 x
3
0
4
3
3
0 1 cos 2 2 x 1 cos 2 x 0
4
4
Giải phương trình bậc hai đối với hàm số cos 2x
2sin 17x 3cos 5x sin 5x 0
HD:
HD: sin 2 2x 2 cos 2 x
107)
Trang 13
Gia sư Tài Năng Việt
https://giasudaykem.com.vn
2sin17x 3cos 5x sin 5x 0
3
1
cos 5x sin 5x 0
2
2
sin17x sin 5 x 0
3
...
cos 7x sin 5x 3 cos 5x sin 7x
sin17x
108)
x
tan 2x 450 . tan 1800 1
2
1 cos 2 x
sin 2 x
200)
cos x
1 cos 2 x
b) cos 2 x sin x cos x 0
109)
HƯỚNG DẪN GIẢI
52) 5sin 2 x 6cos x 13;(*)
5sin 2 x 3 1 cos 2 x 13
2
sin 2 x 3cos 2 x 16
.......
2
2
1 cos 2x
2
1 1 cos2x
1
53) sin4 x cos4 x
4 4
2
2
4
1 cos2x 1 sin2 x 1
2
2
1 2cos2x cos2 2x 1 2sin2x sin2 2 x 1
1 cos2x sin2x 0
cos2x sin2x 1
1
cos2x
2
sin
1
sin2 x
2
1
2
cos2 x cos sin2 x sin
4
4
4
sin 2x sin
4
4
...
72) 1 cos4 x sin 4 x 2 sin 2 2 x
1 cos4 x sin 4 x
2 sin 2 2 x
Trang 14
Gia sư Tài Năng Việt
85) sin 2 x sin 2 x
https://giasudaykem.com.vn
1
2
1
1
1 cos 2 x sin 2 x
2
2
sin 2 x cos 2 x 0
...
87) cos x 3 sin x cos3x
cos x 3 sin x cos3x
BÀI TẬP BỔ SUNG:
Giải các phương trình sau:
201) cos5x sin4x cos3x sin2x
1
202) cos2 x cos2 2x
2
203) sin x sin2x sin3x cos x cos2x cos3x
204) sin3x sin5x sin7x 0
205) cos2 x cos2 2x cos2 3x 1 (*)
3
3 x
206) sin x 2sin3
(*) (hay)
4 2
4 2
HD : t
3
3 x 3
x 3t 2 sin x sin3t
4 2
4 2
4 2
3
207) sin 3x 2sin x
4
4
III. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG QUA CÁC NĂM
1) cos 2 3x cos 2 x cos 2 x 0
2) 1 sin x cos x sin 2 x cos2 x 0
3
cos 4 x sin 4 x cos x sin 3x 0
4
4 2
6
6
2 cos x sin x sin x cos x
4)
0
2 2sin x
x
5) cot x sin x 1 tan xtan 4
2
6) cos3x cos2 x cos x 1 0
3)
(Khối A - 2005)
(Khối B - 2005)
(Khối D - 2005)
(Khối A - 2006)
(Khối B - 2006)
(Khối D - 2006)
7) 1 sin 2 x cos x 1 cos 2 x sin x 1 sin 2 x
(Khối A – 2007)
8) 2sin 2 2 x sin 7 x 1 sin x
(Khối B – 2007)
2
x
x
9) sin cos 3 cos x 2
2
2
(Khối D – 2007)
Trang 15
Gia sư Tài Năng Việt
7
4sin
x
3
4
sin x
2
3
3
11) sin x 3 cos x sin xcos 2 x 3 sin 2 xcosx
10)
1
sin x
1
12) 2sin x 1 cos2 x sin 2 x 1 2cos x
13)
1 2sin x cos x
3
1 2sin x 1 sin x
https://giasudaykem.com.vn
(Khối A – 2008)
(Khối B – 2008)
(Khối D – 2008)
(Khối A – 2009)
14) sin x cos x sin 2 x 3 cos 3x 2 cos 4 x sin 3 x
(Khối B – 2009)
15) 3 cos5 x 2sin 3x cos 2 x sin x 0
(Khối D – 2009)
1 sin x cos2 x sin x
1
4
16)
cos x
1 tan x
2
17) sin 2 x cos 2 x cos x 2 cos 2 x sin x 0
(Khối A – 2010)
(Khối B – 2010)
18) sin 2 x cos2 x 3sin x cos x 1 0
1 sin 2 x cos2 x
2sin x.sin 2 x
19)
1 cot 2 x
20) sin 2 x cos x sin x cos x cos2 x sin x cos x
sin 2 x 2 cos x sin x 1
0
21)
tan x 3
22) 3 sin 2 x cos2 x 2cos x 1
(Khối D – 2010)
23) 2 cos x 3 sin x cos x cos x 3 sin x 1
(Khối B - 2012)
24) sin 3 x cos3 x sin x cos x 2 cos 2 x
(Khối D - 2012)
(Khối A - 2011)
(Khối B - 2011)
(Khối D - 2011)
(Khối A và A1 - 2012)
Trang 16
- Xem thêm -
.PDF 
16 
27 
144 
