Tài liệu Tài liệu luyện thi đại học - cao đẳng môn toán - ts. nguyễn viết đông (chủ biên)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐH KHOA HỌC XÃ HỘI& NHÂN VĂN TRUNG TÂM BỒI DƢỠNG VĂN HÓA VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 10 -12 Đinh Tiên Hoàng, Q.1, TP.HCM ĐT: (08) 38 232 748 Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG MÔN TOÁN Biên soạn TS. Nguyễn Viết Đông(Chủ biên) Trần Huỳnh Đàng, Nguyễn Duy Linh, Lê Hoàn Ngọc, ThS.Lê Thành Thái, Nguyễn Thành Phƣơng, Trƣơng Phƣớc Truyền LƢU HÀNH NỘI BỘ Trang 1 Phần I. KHẢO SÁT HÀM SỐ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT : 1. Định nghĩa: Cho hàm số y f (x) xác định trên (a, b) a) Hàm số f (x) đƣợc gọi là đồng biến trên (a, b) nếu x1, x2 (a, b) ; x1 x2 f (x1 ) f (x 2 ) b) Hàm số f (x) đƣợc gọi là nghịch biến trên (a, b) nếu x1, x2 (a, b) ; x1 x2 f (x1 ) f (x 2 ) 2. Điều kiện cần: Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm trên (a, b) a) f (x) đồng biến trên (a, b) thì : f '(x) 0, x (a,b) b) f (x) nghịch biến trên (a, b) thì : f '(x) 0, x (a,b) 3. Điều kiện đủ: Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm trên (a, b) a) Nếu f '(x) 0, x (a,b) ( f '(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc (a, b)) thì hàm số đồng biến trên (a,b) b) Nếu f '(x) 0, x (a,b) ( f '(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc (a, b)) thì hàm số nghịch biến trên (a,b) BÀI TẬP ÁP DỤNG : B1: Với giá trị nào của m thì hàm số : y x3 (m 2)x 2 (m2 4)x 9 đồng biến trên R Giải Tập xác định : D = R y' 3x 2 2(m 2)x m2 4 y' 0, x R Hàm số đồng biến trên R Điều này tƣơng đƣơng với m2 B2: Cho hàm số : y 2 8 0 ' (m 2)2 3(m2 4) 0 m 4 m 2 mx 1 . Định m để hàm số luôn luôn đồng biến trên từng khoảng xác định x m của nó. Giải Tập xác định : D = R \ {m} Trang 2 m2 1 (x m)2 Yêu cầu bài toán y’ > 0, x D 2 m –1>0 m < –1 m > 1. Đạo hàm : y' BÀI TẬP THỰC HÀNH : 1. Với những giá trị nào của m thì các hàm số sau luôn luôn đồng biến với mọi x. 1 3 x x 2 (m 1)x 9 a. y 3 1 (m 1)x 3 mx 2 (3m 2)x b. y 3 2. CMR : Hàm số y x3 (m 1)x 2 (m 2 2)x m luôn nghịch biến. mx 4 . Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng x m (– , 1). (ĐS: –2 < m ≤ –1) 3. Cho hàm số y 4. Cho hàm số : y x 3 3x 2 mx 4 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (– , 0). (ĐS: m ≤ –3) 5. Cho hàm số : y x 3 (1 2m)x 2 5 + ) (ĐS: m ≤ ) 4 (2 m)x m 2 . Tìm m để hàm số đồng biến trên (0, 6. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y 9 độ dài bằng 1. (ĐS: m ) 4 x 3 3x 2 mx m nghịch biến trên 1 đoạn có Trang 3 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT : 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm tại điểm x 0 và đạt cực trị tại đó thì: f '(x 0 ) 0 . 2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: a) Dấu hiệu 1: Giả sử y f (x) liên tục trên khoảng (a, b) chứa điểm x 0 , có đạo hàm trên khoảng (a, b) và f '(x 0 ) 0 . 1) Nếu f '(x) đổi dấu từ âm sang dƣơng khi x qua điểm x 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 . 2) Nếu f '(x) đổi dấu từ dƣơng sang âm khi x qua điểm x 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 . b) Dấu hiệu 2: Giả sử hàm số y f (x) có đạo hàm cấp hai trên (a, b) chứa điểm x 0 và f '(x 0 ) 0  Nếu: f "(x 0 ) 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 .  Nếu: f "(x 0 ) 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 . BÀI TẬP ÁP DỤNG : B1: Tìm m để hàm số y Giải x 3 (m 3)x 2 mx m 5 đạt cực tiểu tại x 2. Tập xác định D = R. y' 3x 2 2(m 3)x m y" 6x 2(m 3) Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 y'(2) 0 y"(2) 0 3x 0 6 0 m=0 B2: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số : y (m 2)x 3 3x 2 mx m có cực đại và cực tiểu. Giải Tập xác định : D = R y ' 3(m 2)x 2 6x m y' 0 có hai nghiệm phân biệt. Hàm số có cực đại và cực tiểu 3(m 2)x2 6x m 0 có 2 nghiệm phân biệt. Trang 4 m m 2 0 ' 9 3m(m 2) 0 Vậy: 3 m 1 và m B3: Cho hàm số y 1 4 x mx 2 2 2 3( m 2 2 3) 0 m 2 3 m 1 2 3 . Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không 2 có cực đại. Giải Tập xác định : D = R y' 2x3 2mx x 0 y' 0 x 2 m (1) y' 0 có 1 nghiệm duy nhất và y' đổi dấu từ Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại âm sang dƣơng khi x đi qua nghiệm đó pt (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x 0 m 0. Vậy : m 0 BÀI TẬP THỰC HÀNH : B1. Tìm m để hàm số y = x3 – (m + 3)x2 + mx + m + 5 đạt cực tiểu tại x = 2. B2. Cho hàm số y = –(m2 + 5m) x3 + 6mx2 + 6x – 6. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1. B3. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + m (ĐS: m (–3,1) \ {–2}) B4. Với giá trị nào của m thì hàm số sau đây không có cực trị : y = (m – 3)x3 – 2mx2 + 3 (ĐS: m = 0) B5. Cho hàm số y = x3 – (2m + 1) x2 + (m2 – 3m + 2) x + 4 Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía của trục tung. (ĐS: 1 < m < 2) B6. Cho hàm số y = 2x3 + ax2 – 12x – 13 (a tham số) với những giá trị nào của a thì đồ thị của hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, các điểm này cách đều trục tung. (ĐS: a = 0) B7. Cho hàm số y x 3 (1 2m)x 2 (2 m)x m 2 (1) (m tham số). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu 5 7 1 nhỏ hơn . (ĐS: < m < ) 4 5 2 B8. Cho hàm số y (m 2)x 3 3x 2 mx 5 (m tham số). Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dƣơng. (ĐS: –3 < m < –2) 1 4 3 x mx 2 (1). Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà 2 2 không có cực đại. (ĐS: m 0 ) B9. Cho hàm số y Trang 5 B10. Cho hàm số y x4 2mx 2 . Xác định m để hàm số có 3 điểm cực trị. (ĐS: m > 0) B11. Cho hàm số : y x4 2mx 2 m3 m 2 . Xác định m để hàm số có 3 điểm cực trị và ba điểm này lập thành một tam giác đều. (ĐS: m = 3 3 ) B12. Cho hàm số y x 3 (2m 1)x 2 (m 2 3m 2)x 4 . Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. (ĐS: 1 < m < 2). B13. Cho hàm số y x 4 2m 2 x 2 1 (1) (m là hàm số). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. (ĐS: m 1) x 3 3x 2 3(m 2 1)x 3m 2 1 (1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực B14. Cho hàm số y đại, cực tiểu và các điểm cực trị của (1) cách đều gốc tọa độ 0. 1 (ĐS: m = ) 2 x 3 3mx 2 3(1 m 2 )x m3 m 2 (1). Viết phƣơng trình đƣờng B15. Cho hàm số : y = y thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). (ĐS: y = 2x - m 2 + m ) x2 mx 8 . Xác định m để hàm số có cực trị. Khi đó viết phƣơng trình x m đƣờng thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số. (ĐS: y =2x + m) B16. Cho hàm số y B17. Cho hàm số y x 3 3mx 2 4m 3 có đồ thị (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau đƣờng thẳng y = x. (ĐS: m = ± 2 ) 2 B18. Cho hàm số y x 3 3x 2 mx (1) với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đƣờng thẳng d : x 2y 4 0 . (ĐS: m = 0) 1 3 1 x (m 1)x 2 3(m 2)x . Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị 3 3 -4 ± 34 tại x1 , x 2 sao cho x1 2x 2 1 . (ĐS: m = ) 4 B19. Cho hàm số y B20. Cho hàm số y x 3 3(m 1)x 2 x1 , x 2 sao cho x1 x 2 9x m . Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 2 . (ĐS: -3 m < -1- 3 và -1 + 3 < m 1 ) Trang 6 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT : 1. Giá trị lớn nhất: Số M đƣợc gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của f (x) trên D nếu : x D : f (x) M x 0 D : f (x 0 ) M Kí hiệu : M max f (x) x D 2. Giá trị nhỏ nhất: Số m đƣợc gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f (x) trên D nếu : x D : f (x) m x 0 D : f (x 0 ) M Kí hiệu : m min f (x) x D BÀI TẬP ÁP DỤNG : B1: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y f (x) 3x 1 trên [0,2] x 3 Giải Ta có y 8 (x 3)2 0, x 3 1 , f (2) 3 Hàm nghịch biến trên [0, 2] và f (0) min y x [0,2] 5 nên : max y x [0,2] 1 khi x = 0, 3 5 khi x = 2. B2: Tìm GTLN – GTNN của hàm số : y Giải x 4 x2 TXĐ: D = [–2, 2] y' 1 y' 0 4 x2 x 2 4 x x 0 4 x2 Ta có : y( 2) 4 x x2 x 2 x 2 2, y( 2) 2 2 , y(2) 2 Trang 7 Vậy : max y x [ 2,2] 2 2 khi x 2 ; min y x [ 2,2] 2 khi x 2. BÀI TẬP THỰC HÀNH : B1. Tìm GTLN – GTNN của các hàm số sau : 1. y x3 3 2. y 1 4 x 2 2x 2 3x 4, x [ 4;0] 1 2 x , x [ 2;5] 2 3. y 3 2x, x [ 3;1] (maxy = 3 ; min y = 1) 4. y x 2 (maxy = 2 ; miny = 4 x 5. y x . 5 x ( max y 10 15 không có min) 9 B2. Tìm các giá trị của tham số a, b sao cho hàm số y bằng –1. (ĐS: a b 4 3 hay a 4 b 3 2) ax b có GTLN bằng 4 và GTNN x2 1 ) B3. Xác định m để GTNN của hàm số : y 4x 2 (ĐS: a 1 4mx m 2 3 hay a 2m trên đoạn [2, 0] bằng 2. 1) Trang 8 TIỆM CẬN TÓM TẮT LÝ THUYẾT : 1. Tiệm cận ngang: Đƣờng thẳng y y0 đƣợc gọi là đƣờng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f (x) nếu : lim f (x) hoặc lim f (x) y0 . x x x0 2. Tiệm cận đứng: Đƣờng thẳng x x 0 đƣợc gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây đƣợc thỏa : lim f (x)  lim f (x) ; x x0 x  lim f (x) x lim f (x) ; x0 x 3. Tiệm cận xiên: Đƣờng thẳng y ax b (a y f (x) nếu : x0 0) đƣợc gọi là tiệm cận đứng xiên của đồ thị hàm số lim f (x) (ax b) x x0 0 hoặc lim f (x) (ax b) x 0 Cách tìm a, b : a lim f (x) ; x b lim f (x) ; x b x lim f (x) ax x hoặc a x lim f (x) ax x BÀI TẬP ÁP DỤNG : B1: Tìm các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số : 2x 2 x 1 2x 1 a) y ; b) y 2x 3 x 1 Giải 2x 1 a) y x 1  Tập xác định : D R \{1}  Ta có : lim x 2x 1 2x 1 2 ; lim 2 nên đƣờng thẳng y x x 1 x 1 2 là đƣờng tiệm cận ngang. Trang 9 2x x 1 x 2x lim x 1 x lim  1 1 1 1 nên x 1 là đƣờng tiệm cận đứng. 2x 2 x 1 2x 3 b) y  Tập xác định : D  Ta có : lim y x 3 R \{ } 2 ) nên đƣờng thẳng x (hoặc lim f (x) 3 2 x 3 2 3 là đƣờng tiệm 2 cận đứng.  Ta có : y 7 x 2 lim y (x 2) x 2 7 0 x 2 Vậy đồ thị của hàm số có tiệm cận xiên là y x 2 . x lim x BÀI TẬP THỰC HÀNH : B1. Tìm các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số : 1) y 3) y 5) y x 2) y x 5 x 3 2x 5 x 1 4) y 3x 5 x 2 x 1 2x 1 6) y 5 2 x 1 x 1 B2. Tìm các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số : 1) 3) y x 2 3x 4 2x 1 2) y x2 x 1 5x 2 2x 3 y x 2 3x 2 2x 2 x 1 4) y x x2 x 1 (ĐS: y 2x y 1 khi x 2 1 khi x 2 + – ) Trang 10 Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ________________________________________________________________________ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A- TÓM TẮT LÝ THUYẾT : I- HÀM SỐ BẬC 3, BẬC 4 : 1. Các bƣớc khảo sát :  Tập xác định D = R  Tính đạo hàm y’, giải phƣơng trình y’ = 0 và tìm các điểm cực trị.  Tính các giới hạn lim y, lim y x x  Lập bảng biến thiên, nhận xét về tính đơn điệu và cực trị của hàm số.  Tìm các điểm đặc biệt : giao của đồ thị với trục Ox, Oy, tâm đối xứng. 2. Các dạng đồ thị : Hàm số bậc 3 có cực đại, cực tiểu a>0 Hàm số bậc 4 có cực đại, cực tiểu a<0 a<0 Có cực đại hoặc cực tiểu Không cực trị a>0 a>0 a<0 a>0 a<0 BÀI TẬP : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số : 1. y x3 3x 2 1 6. y= x 2. y x 3 3x 2 1 7. y 3. y x 3 3x 2 8. y x4 2x 2 4. y x 3 3x 2 9. y x4 x2 1 5. y 2x 3 3x 2 1 10. y 2x 4 4 2x 2 1 x4 4x 2 3 4x 2 1 Trang 11 Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ________________________________________________________________________ ax b (ad bc 0, c 0) cx d II- HÀM NHẤT BIẾN : y 1. Các bƣớc khảo sát :  Tập xác định D = R \ d c ad bc (cx d) 2  Tính đạo hàm : y'  Giới hạn, tiệm cận : lim y x d c d c Tiệm cận đứng x , lim y d c x a a a , lim y Tiệm cận ngang y x c x c c  Bảng biến thiên và nhận xét tính đơn điệu : ad – bc > 0 ad – bc < 0 lim y x – y' y d + x + c + a c y' y – d – – a c a c  Đồ thị : + c a c TCÑ TCÑ I TCN I TCN BÀI TẬP ÁP DỤNG : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : x 1 x 1 1. y 4. y x 2 x 2 2x 1 2x 1 2. y 5. y x 1 x 2 3x 1 2x 1 3. y 6. y x 1 x 2 Trang 12 Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ________________________________________________________________________ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ I. SỰ TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ : 1. Giao điểm hai đồ thị: Cho hàm số y f (x) có đồ thị (C1 ) và hàm số y g(x) có đồ thị (C2 )  (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại điểm M(x 0 , y0 ) (x 0 , y 0 ) là nghiệm của hệ y f (x) y g(x)  Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phƣơng trình : f (x) g(x) (1)  Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của (C1 ) và (C2 ) . 2. Sự tiếp xúc của hai đƣờng cong:  (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc với nhau hệ phƣơng trình sau có nghiệm : f (x) g(x) f '(x) g '(x) BÀI TẬP ÁP DỤNG : 1 3 4 4 x 2x 2 (3 m)x m (Cm). Xác định m để đồ thị hàm số tiếp 3 9 3 xúc với trục hoành. Giải (C m ) tiếp xúc trục hoành hệ phƣơng trình sau có nghiệm : B1: Cho hàm số y 1 3 x 2x 2 (3 m)x 3 x 2 4x 3 m 0 4 m 9 4 3 0 (1) (2) Thay (2) vào (1), thu gọn ta đƣợc : x 0 3x 3 11x 2 8x 0 x 1 8 x 3 m 3 Thay x tìm đƣợc vào (2) ta đƣợc : m 0 m 5 9 2x 1 (C) và đƣờng thẳng d : y mx 2(m 1) . Biện luận theo m số giao x 1 điểm của (C) và d. B2: Cho hàm số y Trang 13 Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ________________________________________________________________________ Giải    Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) và d : 2x 1 mx 2(m 1) mx 2 3mx 2m 3 0 (1) (x x 1 Đặt g(x) mx 2 3mx 2m 3 (1) 1) Khi m = 0 (1) 3 = 0 (vô nghiệm) d và (C) không có điểm chung. Khi m ≠ 0 = m (m – 12) M số giao điểm – + 0 0 2 0 – 12 0 + 0 1 2 + BÀI TẬP THỰC HÀNH : B1. Biện luận theo m số giao điểm của (C) : y d: y m(x 1) 2 4x 3 3x 1và đƣờng thẳng B2. Cho hàm số y x 3 2x 3 (1 m)x m (C). Xác định m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x 2 , x 3 thỏa điều kiện x12 x 22 x32 4 . (ĐS: 1 4 m 1 và m 0 ) 4x (C) và điểm A(0; 3). Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua A và cắt x 1 (C) tại 2 điểm phân biệt B, C sao cho tam giác OBC vuông tại O. 1 (ĐS: hệ số góc đƣờng thẳng a pt đƣờng thẳng) 4 B3. Cho hàm số y (m 2)x 2m . Xác định m để đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm 1 phân biệt có hoành độ âm. (ĐS: 0 m ) 4 B4. Cho hàm số y x 3 3x 2 x 3 (C). 1. Chứng minh rằng đƣờng thẳng (d): y x 1 tại 2 điểm phân biệt M và N. B5. Cho hàm số y 2. Xác định m để độ dài đoạn MN nhỏ nhất. 2x m luôn cắt (C) (ĐS: m = 3) Trang 14 Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ________________________________________________________________________ TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ A- TÓM TẮT LÝ THUYẾT : 1) Biết tiếp điểm: Nếu tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị (C): y f (x) là M(x 0 , y 0 ) thì phƣơng trình tiếp tuyến là: y f '(x 0 )(x x 0 ) y0 2. Biết hệ số góc của tiếp tuyến là K: C1: Gọi M 0 (x 0 , y 0 ) là tiếp điểm, ta có f '(x 0 ) K (1). Giải (1) tìm x 0 y0 f (x 0 ) . . Phƣơng trình tiếp tuyến: y C2: Tiếp tuyến có dạng y K(x x 0 ) y 0 Kx b (d) tiếp xúc với (C): y f (x) hệ phƣơng trình sau có nghiệm : f (x) Kx b f '(x) K . Giải hệ trên ta tìm đƣợc b. B- BÀI TẬP ÁP DỤNG : B1: Cho hàm số y x4 x2 góc với đƣờng thẳng: y 6 . Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến vuông 1 x 1. 6 Giải 1 x 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là: K = –6. Khi đó 6 6x b . phƣơng trình tiếp tuyến có dạng: d : y d tiếp xúc với đồ thị khi và chỉ khi hệ phƣơng trình sau có nghiệm : Tiếp tuyến vuông góc với y x4 x2 6 4x 3 2x 6x b 6 (1) (2) Giải hệ trên suy ra b =10. Vậy phƣơng trình tiếp tuyến : y 6x 10 B2: Cho hàm số y x(x 3) 2 . Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng y 9x 3 . Giải Tiếp tuyến song song với y 0x 3 nên hệ số góc của tiếp tuyến K = 9 pt tiếp tuyến d có 3) . d tiếp xúc đồ thị khi và chỉ khi hệ phƣơng trình sau có nghiệm : dạng y 9x b (b Trang 15 Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ________________________________________________________________________ x 3 6x 2 9x 9x b (1) 3x 2 12x 9 9 (2) Giải hệ trên suy ra : b = 0, b = –32. Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm : y 9x và y 9x 32 BÀI TẬP THỰC HÀNH : B1. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến d có hệ số góc K cho trƣớc. a) (C) y = 2x 3 3x 2 5 , K = 12 b) (C) = 2x 1 , x 2 K = –3 B2. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng d cho trƣớc. a) y 1 4 x 3x 2 2 b) y 2x 1 x 2 c) y x3 3 2x 2 3 2 3x 1 d: y 4x 1 d: y 3 x 2 4 d: y 3x 2 1 3 m 2 1 x x (Cm). M là điểm trên đồ thị có hoành độ bằng -1. Tìm m 3 2 3 để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đƣờng thẳng 5x y 0 B3. Cho hàm số y (K.D. 05. ĐS: m = 4) B4. Viết phƣơng trình của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng d cho trƣớc. 2x 1 a) y d: y x x 2 x3 x 2x 2 3x 1 2 b) y d: y 3 8 2 (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của (C) 3 4 1 2 x vuông góc với đƣờng thẳng y . (ĐS: M1 (2; ) , M 2 ( 2;0) 3 3 3 B5. Cho hàm số y 1 3 x 3 x x 1 (C). Xác định m để đƣờng thẳng d: y 2x m cắt (C) tại 2 điểm x 1 phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song nhau. (ĐS: m = –1). B6. Cho hàm số y Trang 16 Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ________________________________________________________________________ 2x (C). Tìm điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục x 1 1 tọa độ tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng . 4 1 (ĐS: M 1 ( ; 2) , M 2 (1;1) ) 2 B7. Cho hàm số y x (C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai đƣờng x 1 tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành tam giác cân. (Dự bị D_07. ĐS: y = –x , y = –x + 4) B8. Cho hàm số y x 2 (C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi x 2 1 7 x qua điểm A (–6, 5). (ĐS: y= –x – 1 ; y ) 4 2 B9. Cho hàm số : y x 2 có đồ thị (C) và điểm A(0; a). Xác định a để từ A kẻ đƣợc hai tiếp x 1 tuyến đến (C) sao cho hai tiếp tuyến tƣơng ứng nằm về hai phía đối với trục Ox. 2 (ĐS: a và a 1 ) 3 B10. Cho hàm số y B11. Cho hàm số y x 3 3x (C). Tìm trên đƣờng thẳng x = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số. (ĐS: M(2, m) với –6 < m < 2) x4 5 3x 2 (C). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M có hoành độ 2 2 a . Tìm các giá trị của a để tiếp tuyến d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khác M. B12. Cho hàm số : y xM (ĐS: 3 a 3, a 1) B13.Cho hàm số y x 3 3x 2 mx 1 (Cm). 1. Xác định m để đồ thị (Cm) cắt đƣờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C. 9 (ĐS: m , m 0) 4 2. Tìm m để tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau. (ĐS: m 9 65 8 ) Trang 17 Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ________________________________________________________________________ BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ TÓM TẮT LÝ THUYẾT : 1) Dạng : y f(x) : Dựa vào đồ thị (C): y f (x) . Suy ra đồ thị hàm số (C1 ) : y1 f (x) nhƣ sau : f (x) khi f(x) 0 Ta có : (C1 ) : y1 -f (x) khi f(x)<0 Do đó đồ thị (C1 ) gồm 2 phần : . phần 1: giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên Ox. . phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dƣới trục Ox qua trục Ox. 2. Dạng y f( x ) : Dựa vào đồ thị (C): y f (x) suy ra đồ thị hàm số (C2 ) : y 2 (C2 ) : y 2 đồ thị (C2 ) nhận Oy làm trục đối xứng. f ( x ) là hàm số chẵn f (x) khi x f ( x) khi x Ta có : (C2 ) : y 2 f ( x ) nhƣ sau : 0 0 Do đó đồ thị (C2 ) gồm 2 phần . phần 1: giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung. . phần 2: Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung. BÀI TẬP ÁP DỤNG : B1: Từ đồ thị (C): y x 4 4x 2 3 . Suy ra đồ thị của hàm số y Giải - Các bƣớc khảo sát học sinh tự làm. x4 4x 2 3 y 3 1 2 2 -2 -1 1 2 x -1 Ta có : (C1 ) : y x 4 4x 2 3 = x 4 4x 2 3 (x 4 4x 2 3) khi x 4 4x 2 3 0 khi x 4 4x 2 3 0 Trang 18 Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ________________________________________________________________________ y 3 1 -2 -1 1 x 2 -1 B2: Cho hàm số: y 2x 3 3x 2 1 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị (C’): y 2 x Giải 3 3x 2 2 y -1 0 y 1 2 -1 x 0 1 x 2 BÀI TẬP THỰC HÀNH : 1 4 x 4x 2 3 có đồ thị (C). 2 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 1 2) Định m để phƣơng trình x 4 4x 2 3 lg m có 8 nghiệm phân biệt. 2 (ĐS: 1 < m < 1000) B1. Cho hàm số y B2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) : 1) y x 3 3x 2 6 từ đó suy ra đồ thị (C’) : y x3 3x 2 6 x 4 3x 2 3 từ đó suy ra đồ thị (C’): y x 4 2x 2 3 2x 2 2x 2 từ đó suy ra đồ thị (C’): y x 2 x 2 2) y 3) y 4) y 2x 3 9x 2 12x 4 từ đó suy ra đồ thị (C’): y 2 x 5) y x 3 6x 2 9x từ đó suy ra đồ thị (C’): y x 3 3 9x 2 12 x 4 6x 2 9 x Trang 19 Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ________________________________________________________________________ 6) y 2x từ đó suy ra đồ thị (C’): y x 1 2x x 1 BÀI TẬP TỔNG HỢP B1. Cho hàm số y x 3 (2m 1)x 2 (2 m)x 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị là các số 5 m 2) dƣơng. (ĐS: 4 B2. Cho hàm số y x 3 (1 2m)x 2 (2 m)x m 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. B3. Cho hàm số y x 3 3x 2 m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 4.  2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho AOB 1200 (O là gốc tọa độ). B4. Cho hàm số y x 3 3x 2 mx 2 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Cho đƣờng thẳng (d) có hệ số góc bằng 1 và đi qua A(0, 2). Tìm m để (Cm) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho OB vuông góc với OC. (ĐS: m = –4). B5. Cho hàm số y x 3 3x 2 4 có đồ thì (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi (d) là đƣờng thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m. Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với 18 3 35 nhau. (ĐS: m = . 9 x 3 3mx 2 3(1 m 2 )x m3 m 2 (1) B6. (A_02) Cho hàm số y 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm K để phƣơng trình x 3 3x 2 K 3 3K 2 0 có 3 nghiệm phân biệt. 3) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) (ĐS: C.2: –1 < K < 3 , K ≠ 0 K ≠ 2 ; C.3: y 2x m 2 m ) B7. (D_06) Cho hàm số y x 3 3x 2 (C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho Trang 20