Mô tả:
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
BÀI GiẢNG MÔN HỌC
SỨC BỀN VẬT LiỆU
GV: TRẦN HỮU HUY
Tp.HCM, tháng 10 năm 2009
(Lưu hành nội bộ)
1
CHƯƠNG 4:
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
ĐỊNH NGHĨA
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN
CÁC CÔNG THỨC BiẾN ĐỔI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH.
BÀI TẬP
2
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
1
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
ĐỊNH NGHĨA
P
P
z
z
y
y
Trong những trường hợp như thanh chịu uốn, xoắn… thì
ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào diện tích A
mà còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt…
nghĩa là phụ thuộc vào các yếu tố khác gọi chung là đặc3
trưng hình học của mặt cắt ngang.
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen tĩnh
Mômen tĩnh của diện tích A đối
với trục x (hay y) nào đó của mặt
cắt là biểu thức tích phân sau:
y
y
M
A
dA
Sx = ∫ ydA;Sy = ∫ xdA
A
A
x
x
Trong đó:
- x, y tọa độ của điểm M – tâm của phân tố diện tích dA.
Mômen tĩnh có thứ nguyên là [chiều dài3]. Mômen tĩnh có
thể có giá trị âm, dương hoặc bằng không.
4
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
2
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen tĩnh
- Trục trung tâm là trục có mômen tĩnh của diện tích A đối
với trục đó bằng không.
- Trọng tâm là giao điểm của hai trục trung tâm của mặt cắt.
- Như vậy, mômen tĩnh đối với trục đi qua trọng tâm là bằng
không.
Từ đó suy ra cách xác định trọng tâm đối với diện tích A
như sau:
5
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen tĩnh
Gọi C là trọng tâm của tiết diện cần tìm. Qua C dựng hệ
trục tọa độ x0Cy0 song song với hệ trục tọa độ oxy ban đầu
y
Y
Ta có được quan hệ sau:
x = xc + xo
M
A
0
SX = ∫ ( yc + yo ) dA
A
SY = ∫ ( x c + x o ) dA
dA
C
x0
yC
Y
Thay vào công thức tính
mômen tĩnh
y0
y = yc + yo
X
xC
x0
X
6
A
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
3
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen tĩnh
Triển khai biểu thức trên:
Sx = ∫ ( yc + yo ) dA = yc ∫ dA + ∫ yo dA = yc A + Sxo
A
A
A
Sy = ∫ ( x c + yo ) dA = x c ∫ dA + ∫ x o dA = x c A + Syo
A
A
A
Vì x0 và y0 là trục trung tâm nên Sx 0 = Sy0 = 0
Từ đó ta có: Sx = y c A;Sy = x c A
Tọa độ của điểm C là (xC,yC) được xác định như sau:
Sy
S
yc = x ; x c =
A
A
7
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen tĩnh
Nếu mặt cắt có một trục đối xứng, trọng tâm của tiết diện
sẽ nằm trên trục này vì mômen tỉnh của tiết diện đối với
trục này bằng không. Nếu mặt cắt có hai trục đối xứng,
trọng tâm sẽ nằm ở giao điểm hai trục đối xứng.
Trong thực tế, ta hay gặp những mặt cắt ngang có hình
dáng phức tạp được ghép từ nhiều hình đơn giản. Ta có
thể tính mômen tỉnh của hình phức tạp bằng tổng mômen
tĩnh của các hình đơn giản.
Sx = ∑ A i yi = A1 y1 + A 2 y y + ... + A n y n
Sy = ∑ A i x i = A1x1 + A 2 x y + ... + A n x n
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
8
4
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen quán tính
Mômen quán tính của diện tích
A đối với trục x (hay y) là các
biểu thức tích phân sau:
I x = ∫ y dA;
I y = ∫ x dA
2
2
A
y
y
M
A
dA
A
- Mômen quán tính có thứ nguyên
là [chiều dài4].
- Mômen quán tính luôn mang giá
trị dương.
x
x
9
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Bán kính quán tính
Một đặc trưng hình học hay được dùng để tính toán kết
cấu đó là bán kính quán tính được xác định như sau:
ix =
Ix
;
A
iy =
Iy
A
Bán kính quán tính đối với các trục chính được gọi là bán
kính quán tính chính và có thứ nguyên là [chiều dài].
10
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
5
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen quán tính độc cực
Mômen quán tính độc cực của diện tích A đối với góc tọa
độ 0 là biểu thức tích phân sau:
Ip = ∫ ρ2 dA
y
A
Trong đó, ρ là khoảng cách từ
điểm M – tâm của phân tố diện
tích dA đến góc tọa độ 0.
Từ đó ta có quan hệ:
A
M
y
dA
ρ
ρ2 = x 2 + y 2
x
Ip = I x + I y
x
11
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen quán tính ly tâm
Mômen quán tính ly tâm của diện tích A đối với hệ trục xoy
là biểu thức tích phân sau:
I xy = ∫ xydA
y
Mômen quán tính ly tâm có thứ
nguyên là [chiều dài4]. Và có
giá trị âm, dương hoặc bằng
không.
A
M
A
y
dA
ρ
x
x
12
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
6
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Hệ trục quán tính chính
Hệ trục quán tính chính là hệ trục có mômen quán tính ly
tâm bằng không.
Một hệ trục tọa độ bất kỳ trong đó có một trục nào đó là
trục đối xứng của diện tích A là hệ trục quán tính chính của
mặt cắt đó. Vì mômen quán tính ly tâm của hai nữa diện
tích đối xứng với trục đối xứng có giá trị bằng nhau nhưng
ngược dấu nhau nên mômen quán tính của cả hình bằng
không.
Hệ trục quán tính chính trung tâm là hệ trục quán tính
chính có gốc tọa độ đặt tại trọng tâm của tiết diện.
13
MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH
ĐƠN GiẢN
Hình chữ nhật
Cho hình chữ nhật b x h. Xác định các mômen quán tính Ix,
Iy đối với trục đối xứng x và y
y
⇒ I x = ∫ y 2 dA =
A
Tương tự:
h 2
∫
−h 2
Iy =
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
y 2 bdy =
hb3
12
by
3
3 h 2
−h 2
=
bh 3
12
h
Ta có: dA = b.dy
dy
y
dA
x
b
14
7
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH
ĐƠN GiẢN
Hình tam giác
by = b
Ta có:
h
h−y
h
y
dA
I x = ∫ y dA = ∫ y b y dy
2
A
dy
h
2
y
0
h−y
b
Ix = ∫ y b
dy = ∫ by 2 dy − ∫ y3dy
h
h
0
0
0
h
h
h
h
by3
by 4
Ix =
−
3 0 4h
h
0
x
by
2
b
bh 3
=
12
15
MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH
ĐƠN GiẢN
Hình tròn
Cho hình tròn bán kính R (D=2R). Xác định mômen quán
tính độc cực Ip của hình tròn.
Ta có:
R
I p = ∫ ρ2 2πρdρ =
0
Ip =
dA
dA = 2πρ.dρ
2πρ
4
4 R
0
ρ
0
πR
πD
=
≈ 0,1D 4
2
32
4
dρ
4
πD 4
Vì tính chất đối xứng nên: I x = I y = =
≈ 0, 05D 4 16
2
64
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
Ip
8
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH
ĐƠN GiẢN
Hình vành khăn
Coi diện tích hình vành khăn bằng diện tích hình tròn lớn
trừ diện tích hình tròn nhỏ, ta được:
4
πD 4 πd 4 πD 4 ⎛ ⎛ d ⎞ ⎞
Ip =
−
=
⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟
32
32
32 ⎜⎝ ⎝ D ⎠ ⎟⎠
πD 4
Ip =
1 − η4 ) Với: η = d D
(
32
Ix = Iy =
Ip
2
=
0
d
D
πD 4
1 − η4 ) ≈ 0, 05D4 (1 − η4 )
(
64
17
CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Công thức chuyển trục song song
- Biết Ix, Iy, Ixy.
- Tìm IX, IY, IXY
Ta có các liên hệ sau:
Y
M
y
A
X
I X = ∫ ( y 2 + 2by + b 2 ) dA
a
A
I X = ∫ y 2 dA + 2b ∫ ydA + b 2 ∫ dA
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
A
x
0
Y
2
b
I X = ∫ Y 2 dA = ∫ ( y + b ) dA
A
A
dA
X = x + a; Y = y + b
A
y
x
X
18
A
9
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Công thức chuyển trục song song
- Vậy ta có:
Y
y
M
I X = I x + 2bSx + b 2 A
y
I Y = I y + 2aSy + a 2 A
x
Y
0
b
I XY = I xy + aSx + bSy + abA
A
dA
X
Trong đó a, b là tọa độ của
gốc tọa độ ban đầu trong hệ
trục tọa độ mới XOY.
a
x
X
19
CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Công thức chuyển trục song song
Trong trường hợp đặc biệt
khi gốc tọa độ ban đầu nằm
tại trọng tâm mặt cắt.
Y
M
IY = I y + a 2 A
I XY = I xy + abA
y
x
Y
0
b
IX = I x + b2 A
A
dA
Sx = S y = 0
Ta có các công thức sau:
y
X
a
x
X
20
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
10
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Công thức xoay trục
y
u
A
a
os
dA
y.c
M
v
α
i
x.s
y
na
Xét hệ trục uov xoay
từ hệ trục ban đầu
một góc α
- Biết Ix, Iy, Ixy.
- Tìm Iu, Iv, Iuv
v
Ta có liên hệ tọa độ:
α
⎧u = x cos α + y sin α
⎨
⎩ v = y cos α − x sin α
y.s
x
a
os
x.c
ina
x
u
21
CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Công thức xoay trục
Thay vào công thức Iu
2
I u = ∫ ( y cos α − x sin α ) dA
A
2
2
I u = cos 2 α ∫ y dA + sin 2 α ∫ x dA − 2sin α.cosα ∫ xydA
A
A
A
I u = I x cos α + I y sin α − 2I xy sin α.cosα
2
2
Sử dụng các công thức lượng giác:
cos 2 α =
1
1
(1 + cos2α ) ;sin 2 α = (1 − cos2α ) ; 2sin α.cosα = sin 2α
2
2
22
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
11
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Công thức xoay trục
Triển khai và thu gọn ta được:
Iu =
Iv =
Ix + Iy
+
2
Ix + Iy
I uv =
2
Ix − Iy
−
2
Ix − Iy
2
Ix − Iy
2
cos2α − I xy sin 2α
cos2α + I xy sin 2α
sin 2α + I xy cos 2α
23
CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Công thức xoay trục
Các công thức trên có dạng tương tự với công thức ứng
suất trên mặt cắt nghiêng. Nên:
2
Ix + Iy
⎛ Ix − Iy ⎞
2
I max =
+ ⎜
⎟ + I xy
2
⎝ 2 ⎠
I min =
Ix + Iy
2
⎛ Ix − Iy ⎞
2
− ⎜
⎟ + I xy
⎝ 2 ⎠
Với phương quán tính chính:
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
2
tg2α = −
2I xy
Ix − Iy
24
12
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH
Công thức xoay trục
Về toán học ta nhận thấy có sự tương đồng giữa phương
trình chuyển đổi mômen quán tính và phương trình chuyển
đổi ứng suất.
- Iu tương đương σu
- Iv với tương đương σv
- Ix tương đương σx
- Iy với tương đương σy
- Ixy với tương đương τxy
Vì vậy, nếu dùng một hệ trục tọa độ với trục hoành biểu
diễn Iu và trục tung biểu diễn Iuv thì quan hệ giữa Iu và Iuv là
tương quan của một vòng tròn gọi là vòng tròn Mohr quán
25
tính.
VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH
Công thức xoay trục
Ở đây, vòng tròn Mohr luôn
nằm ở bên phải trục tung vì
các giá trị Iu là luôn dương
Ι uv
Ι uv
Ι xy
M
α
P
Ιu
D
α1
α2
B
F
C
G
E
A
Ιu
Ι max
Ι min
Ι min
Ιy
Ιu
Ιx
Ι max
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
26
13
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
Cách xác định hệ trục QTCTT của một hình phẳng
bất kỳ:
Trong trường hợp tổng quát, khi hình phẳng A không có
trục đối xứng, hệ trục QTCTT được xác định theo trình tự
như sau:
- Chọn hệ trục Oxy bất kỳ ban đầu. Xác định trọng tâm của
hình trong hệ trục này.
- Chuyển trục song song về trọng tâm của hình. Tính các
mômen quán tính đối với hệ trục trung tâm.
- Xoay trục để tìm phương chính đi qua trọng tâm.
27
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
14
- Xem thêm -
.PDF 
14 
759 
107 
