Luận văn - Báo cáo
Kinh tế thương mại
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Công nghệ - Môi trường
Y khoa - Dược
Khoa học xã hội
Giáo dục học
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Tâm lý học
Văn học - Ngôn ngữ học
Quan hệ quốc tế
Khoa học tự nhiên
Địa lý - Địa chất
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Nông - Lâm - Ngư
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Báo cáo khoa học
Thạc sĩ - Cao học
Kỹ thuật
Nông - Lâm - Ngư
Kiến trúc - Xây dựng
Luật
Sư phạm
Y dược - Sinh học
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Khoa học xã hội
Kinh tế
Tiến sĩ
Kinh tế - Quản lý
Kiểm toán
Xuất nhập khẩu
Chứng khoán
Tài chính thuế
Marketing
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Kế toán
Dịch vụ - Du lịch
Bất động sản
Tài chính - Ngân hàng
Quản trị kinh doanh
Lý luận chính trị
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Triết học Mác - Lênin
Kỹ thuật
Hóa dầu
Giao thông - Vận tải
Điện - Điện tử
Viễn thông
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Mẫu Slide
Văn Bản
Box Hình
Box vòng tròn
Box Chú Giải
Box Thẻ
Box chữ nhật
Box Ghi Chú
Box mũi tên
Hình Vẽ
Hình Khối
Kim Tự Tháp
Mũi Tên
Hình Cầu
Bánh Xe
Biểu Đồ
Thanh
Đường
Hình Tròn
Ma Trận
Tổ Chức
Sơ Đồ
Giai Đoạn
Tiến Trình
Hình Cây
Lắp Hình
Mẫu Slide
Kế Hoạch
Công Việc Phải Làm
Lịch
Sơ Đồ Gantt
Thời Gian
Hình Minh Họa
Kinh Tế
Thiên Nhiên
Đất Nước
Nghệ Thuật
Giáo Dục
Ảnh Vui
Khoa Học
Công Nghệ
Con Người
Văn Hóa
Phân tích
Biểu Tượng
Hình Người
Biểu Tượng
Minh Họa
Hình Động
Hình Nền
Công Nghệ
Khoa Học
Dịch Vụ
Sản Phẩm
Tài Chính
Giáo Dục
Kinh Doanh
Giải Trí
Thiên Nhiên
Con Người
Trừu Tượng
Thể Thao
Tài chính - Ngân hàng
Báo cáo tài chính
Đầu tư Bất động sản
Bảo hiểm
Quỹ đầu tư
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Ngân hàng - Tín dụng
Kế toán - Kiểm toán
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
An ninh bảo mật
Phần cứng
Chứng chỉ quốc tế
Tin học văn phòng
Quản trị web
Kỹ thuật lập trình
Quản trị mạng
Thiết kế - Đồ họa
Hệ điều hành
Cơ sở dữ liệu
Giáo án - Bài giảng
Tư liệu khác
Văn mẫu
Văn Tự Sự
Văn Kể Chuyện
Văn Nghị Luận
Văn Miêu Tả
Văn Chứng Minh
Văn Biểu Cảm
Văn Bản Mẫu
Văn Thuyết Minh
Hóa học
Ngữ văn
Vật lý
Toán học
Sinh học
Lịch sử
Cao đẳng - Đại học
Tiểu học
Mầm non - Mẫu giáo
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng anh
Giáo dục hướng nghiệp
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Mầm non
Tiểu học
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Đề thi tuyển dụng
Đề thi dành cho sinh viên
Thi THPT Quốc Gia
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Sinh học
Lịch sử
Địa ly
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Toán học
Văn học
Ngoại ngữ
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối B
Môn hóa
Môn toán
Môn sinh
Khối A
Môn tiếng Anh A1
Môn hóa
Môn lý
Môn toán
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Mầm non - Mẫu giáo
Lứa tuổi 12 - 24 tháng
Lứa tuổi 3 - 12 tháng
Lứa tuổi 24 - 36 tháng
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Mẫu giáo lớn
Tiểu học
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trung học cơ sở
Lớp 9
Tiếng Anh
Tin học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Toán học
Lịch sử
Công nghệ
Ngữ văn
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lớp 8
Toán học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Ngữ văn
Lớp 7
Ngữ văn
Âm nhạc
Toán học
Tiếng Anh
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Tin học
Mỹ thuật
Công nghệ
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Lớp 6
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Âm nhạc
Mỹ thuật
Tin học
Ngữ văn
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Toán học
Trung học phổ thông
Lớp 10
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Toán học
Ngữ văn
Công nghệ
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Lớp 12
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Toán học
Vật lý
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Ngữ văn
Tin học
Lớp 11
Tin học
Ngữ văn
Giáo dục công dân
Vật lý
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Thể dục
Toán học
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật - Công nghệ
Hàng không
Điều khiển và tự động hóa
Kỹ thuật hạt nhân
Kỹ thuật nhiệt lạnh
Công nghệ sinh học
Công nghệ thực phẩm
Cơ điện tử
Hóa dầu - Tàu thủy
Điện - Điện tử - Viễn thông
Cơ khí - Luyện kim
Kiến trúc xây dựng
Vật liệu xây dựng
Quy hoạch và khảo sát xây dựng
Kết cấu - Thi công công trình
Công trình giao thông, thủy lợi
Màu sắc kiến trúc
Thiết kế ngoại thất
Thiết kế kiến trúc - Quy hoạch
Kỹ thuật nền móng - Tầng hầm
Văn bản pháp luật - Quy chuẩn xây dựng
Phong thủy
Thiết kế nội thất
Thi công - Nghiệm thu và Thiết bị xây dựng
Sư phạm
Sư phạm sinh
Sư phạm sử
Sư phạm mầm non
Sư phạm tiểu học
Sư phạm ngoại ngữ
Sư phạm địa
Sư phạm văn
Sư phạm hóa
Quản lý giáo dục
Sư phạm toán
Sư phạm vật lý
Công nghệ thông tin
Lập trình trên social network platform
Lập trình ứng dụng di động
Lập trình web
Database
Mã hóa - Giải mã và thuật toán
Lập trình ứng dụng
Ngôn ngữ nhúng và một số ngôn ngữ khác
Mạng căn bản
Chuyên đề mạng không dây
Quản trị mạng Linux
Quản trị mạng Windows
Hệ thống mạng Cisco
Bảo mật
Luật
Luật tài nguyên môi trường
Luật dân sự
Luật doanh nghiệp
Luật thương mại
Luật hình sự - Luật tố tụng hình sự
Khoa học xã hội
Đông phương học
Địa lý học
Nhân học - Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Hành chính - Văn thư
Văn hóa - Lịch sử
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Quản lý đô thị - Đất đai - Công tác xã hội
Giáo dục học
Việt Nam học
Xã hội học
Chuyên ngành kinh tế
Phân tích tài chính doanh nghiệp
Kinh tế công cộng
Kinh tế môi trường
Thị trường tài chính
Thẩm định dự án đầu tư
Đầu tư quốc tế
Tài chính công
Vận tải trong ngoại thương
Giao dịch thương mại quốc tế
Marketing quốc tế
Bảo hiểm
Hải quan
Dịch vụ - Du lịch
Thị trường chứng khoán
Nguyên lý kế toán
Kế toán tài chính
Kế toán ngân hàng thương mại
Kế toán quản trị
Thanh toán quốc tế
Thuế
Lý thuyết kiểm toán
Kiểm toán hành chính sự nghiệp
Quản trị tài chính doanh nghiệp
Kiểm toán phần hành
Y dược
Sản phụ khoa
Da liễu
Hóa dược
Tai - Mũi - Họng
Chẩn đoán hình ảnh
Răng - Hàm - Mặt
Nhãn khoa
Y học công cộng
Gây mê hồi sức
Y học cổ truyền
Tâm thần
Huyết học - Truyền máu
Truyền nhiễm
Vi sinh học
Bào chế
Điều dưỡng
Nội khoa
Nhi khoa
Ngoại khoa
Y học gia đình
Đại cương
Lý thuyết tài chính tiền tệ
Marketing căn bản
Lý thuyết xác suất - thống kê
Toán cao cấp
Triết học
Kinh tế vi mô
Đường lối cách mạng
Pháp luật đại cương
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩ xã hội
Toán rời rạc
Kinh tế lượng
Kinh tế vĩ mô
Logic học
Phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học
Tin học đại cương
Kỹ thuật - Công nghệ
Y - Dược
Giáo dục hướng nghiệp
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Vật lý
Toán học
Luật
Văn học
Hóa học
Ngoại ngữ
Tiếng Nhật - Hàn
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Luận văn báo cáo - ngoại ngữ
TOEFL - IELTS - TOEIC
Ngữ pháp tiếng Anh
Anh ngữ phổ thông
Anh văn thương mại
Anh ngữ cho trẻ em
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng viết tiếng Anh
Chứng chỉ A,B,C
Kiến thức tổng hợp
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quản lý nhà nước
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý dự án
Quy hoạch đô thị
Kinh doanh - Tiếp thị
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tổ chức sự kiện
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Kế hoạch kinh doanh
Thương mại điện tử
Tiếp thị - Bán hàng
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Công nghệ
Văn hóa giải trí
Giáo dục học tập
Y học
Kinh tế
Ngoại ngữ
Ngôn tình
Truyện dài
Truyện văn học
Truyện thiếu nhi
Truyện kiếm hiệp
Truyện cười
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Tự truyện
Văn hóa - Nghệ thuật
Âm nhạc
Ẩm thực
Khéo tay hay làm
Báo chí - Truyền thông
Mỹ thuật
Điêu khắc - Hội họa
Thời trang - Làm đẹp
Sân khấu điện ảnh
Du lịch
Tôn giáo
Chụp ảnh - Quay phim
Kỹ thuật - Công nghệ
Điện - Điện tử
Kỹ thuật viễn thông
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Kiến trúc xây dựng
Hóa học - Dầu khi
Năng lượng
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng làm việc nhóm
Y tế - Sức khỏe
Y học thường thức
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học - Dầu khi
Sinh học
Môi trường
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Lịch sử
Địa lý
Biểu mẫu - Văn bản
Đơn từ
Thủ tục hành chính
Hợp đồng
Văn bản
Biểu mẫu
Nông - Lâm - Ngư
Nông nghiệp
Lâm nghiệp
Ngư nghiệp
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Đăng ký
Đăng nhập
Luận văn - Báo cáo
Kinh tế thương mại
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Công nghệ - Môi trường
Y khoa - Dược
Khoa học xã hội
Giáo dục học
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Tâm lý học
Văn học - Ngôn ngữ học
Quan hệ quốc tế
Khoa học tự nhiên
Địa lý - Địa chất
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Nông - Lâm - Ngư
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Báo cáo khoa học
Thạc sĩ - Cao học
Kỹ thuật
Nông - Lâm - Ngư
Kiến trúc - Xây dựng
Luật
Sư phạm
Y dược - Sinh học
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Khoa học xã hội
Kinh tế
Tiến sĩ
Kinh tế - Quản lý
Kiểm toán
Xuất nhập khẩu
Chứng khoán
Tài chính thuế
Marketing
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Kế toán
Dịch vụ - Du lịch
Bất động sản
Tài chính - Ngân hàng
Quản trị kinh doanh
Lý luận chính trị
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Triết học Mác - Lênin
Kỹ thuật
Hóa dầu
Giao thông - Vận tải
Điện - Điện tử
Viễn thông
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Mẫu Slide
Văn Bản
Box Hình
Box vòng tròn
Box Chú Giải
Box Thẻ
Box chữ nhật
Box Ghi Chú
Box mũi tên
Hình Vẽ
Hình Khối
Kim Tự Tháp
Mũi Tên
Hình Cầu
Bánh Xe
Biểu Đồ
Thanh
Đường
Hình Tròn
Ma Trận
Tổ Chức
Sơ Đồ
Giai Đoạn
Tiến Trình
Hình Cây
Lắp Hình
Mẫu Slide
Kế Hoạch
Công Việc Phải Làm
Lịch
Sơ Đồ Gantt
Thời Gian
Hình Minh Họa
Kinh Tế
Thiên Nhiên
Đất Nước
Nghệ Thuật
Giáo Dục
Ảnh Vui
Khoa Học
Công Nghệ
Con Người
Văn Hóa
Phân tích
Biểu Tượng
Hình Người
Biểu Tượng
Minh Họa
Hình Động
Hình Nền
Công Nghệ
Khoa Học
Dịch Vụ
Sản Phẩm
Tài Chính
Giáo Dục
Kinh Doanh
Giải Trí
Thiên Nhiên
Con Người
Trừu Tượng
Thể Thao
Tài chính - Ngân hàng
Báo cáo tài chính
Đầu tư Bất động sản
Bảo hiểm
Quỹ đầu tư
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Ngân hàng - Tín dụng
Kế toán - Kiểm toán
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
An ninh bảo mật
Phần cứng
Chứng chỉ quốc tế
Tin học văn phòng
Quản trị web
Kỹ thuật lập trình
Quản trị mạng
Thiết kế - Đồ họa
Hệ điều hành
Cơ sở dữ liệu
Giáo án - Bài giảng
Tư liệu khác
Văn mẫu
Văn Tự Sự
Văn Kể Chuyện
Văn Nghị Luận
Văn Miêu Tả
Văn Chứng Minh
Văn Biểu Cảm
Văn Bản Mẫu
Văn Thuyết Minh
Hóa học
Ngữ văn
Vật lý
Toán học
Sinh học
Lịch sử
Cao đẳng - Đại học
Tiểu học
Mầm non - Mẫu giáo
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng anh
Giáo dục hướng nghiệp
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Mầm non
Tiểu học
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Đề thi tuyển dụng
Đề thi dành cho sinh viên
Thi THPT Quốc Gia
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Sinh học
Lịch sử
Địa ly
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Toán học
Văn học
Ngoại ngữ
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối B
Môn hóa
Môn toán
Môn sinh
Khối A
Môn tiếng Anh A1
Môn hóa
Môn lý
Môn toán
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Mầm non - Mẫu giáo
Lứa tuổi 12 - 24 tháng
Lứa tuổi 3 - 12 tháng
Lứa tuổi 24 - 36 tháng
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Mẫu giáo lớn
Tiểu học
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trung học cơ sở
Lớp 9
Tiếng Anh
Tin học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Toán học
Lịch sử
Công nghệ
Ngữ văn
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lớp 8
Toán học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Ngữ văn
Lớp 7
Ngữ văn
Âm nhạc
Toán học
Tiếng Anh
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Tin học
Mỹ thuật
Công nghệ
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Lớp 6
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Âm nhạc
Mỹ thuật
Tin học
Ngữ văn
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Toán học
Trung học phổ thông
Lớp 10
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Toán học
Ngữ văn
Công nghệ
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Lớp 12
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Toán học
Vật lý
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Ngữ văn
Tin học
Lớp 11
Tin học
Ngữ văn
Giáo dục công dân
Vật lý
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Thể dục
Toán học
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật - Công nghệ
Hàng không
Điều khiển và tự động hóa
Kỹ thuật hạt nhân
Kỹ thuật nhiệt lạnh
Công nghệ sinh học
Công nghệ thực phẩm
Cơ điện tử
Hóa dầu - Tàu thủy
Điện - Điện tử - Viễn thông
Cơ khí - Luyện kim
Kiến trúc xây dựng
Vật liệu xây dựng
Quy hoạch và khảo sát xây dựng
Kết cấu - Thi công công trình
Công trình giao thông, thủy lợi
Màu sắc kiến trúc
Thiết kế ngoại thất
Thiết kế kiến trúc - Quy hoạch
Kỹ thuật nền móng - Tầng hầm
Văn bản pháp luật - Quy chuẩn xây dựng
Phong thủy
Thiết kế nội thất
Thi công - Nghiệm thu và Thiết bị xây dựng
Sư phạm
Sư phạm sinh
Sư phạm sử
Sư phạm mầm non
Sư phạm tiểu học
Sư phạm ngoại ngữ
Sư phạm địa
Sư phạm văn
Sư phạm hóa
Quản lý giáo dục
Sư phạm toán
Sư phạm vật lý
Công nghệ thông tin
Lập trình trên social network platform
Lập trình ứng dụng di động
Lập trình web
Database
Mã hóa - Giải mã và thuật toán
Lập trình ứng dụng
Ngôn ngữ nhúng và một số ngôn ngữ khác
Mạng căn bản
Chuyên đề mạng không dây
Quản trị mạng Linux
Quản trị mạng Windows
Hệ thống mạng Cisco
Bảo mật
Luật
Luật tài nguyên môi trường
Luật dân sự
Luật doanh nghiệp
Luật thương mại
Luật hình sự - Luật tố tụng hình sự
Khoa học xã hội
Đông phương học
Địa lý học
Nhân học - Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Hành chính - Văn thư
Văn hóa - Lịch sử
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Quản lý đô thị - Đất đai - Công tác xã hội
Giáo dục học
Việt Nam học
Xã hội học
Chuyên ngành kinh tế
Phân tích tài chính doanh nghiệp
Kinh tế công cộng
Kinh tế môi trường
Thị trường tài chính
Thẩm định dự án đầu tư
Đầu tư quốc tế
Tài chính công
Vận tải trong ngoại thương
Giao dịch thương mại quốc tế
Marketing quốc tế
Bảo hiểm
Hải quan
Dịch vụ - Du lịch
Thị trường chứng khoán
Nguyên lý kế toán
Kế toán tài chính
Kế toán ngân hàng thương mại
Kế toán quản trị
Thanh toán quốc tế
Thuế
Lý thuyết kiểm toán
Kiểm toán hành chính sự nghiệp
Quản trị tài chính doanh nghiệp
Kiểm toán phần hành
Y dược
Sản phụ khoa
Da liễu
Hóa dược
Tai - Mũi - Họng
Chẩn đoán hình ảnh
Răng - Hàm - Mặt
Nhãn khoa
Y học công cộng
Gây mê hồi sức
Y học cổ truyền
Tâm thần
Huyết học - Truyền máu
Truyền nhiễm
Vi sinh học
Bào chế
Điều dưỡng
Nội khoa
Nhi khoa
Ngoại khoa
Y học gia đình
Đại cương
Lý thuyết tài chính tiền tệ
Marketing căn bản
Lý thuyết xác suất - thống kê
Toán cao cấp
Triết học
Kinh tế vi mô
Đường lối cách mạng
Pháp luật đại cương
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩ xã hội
Toán rời rạc
Kinh tế lượng
Kinh tế vĩ mô
Logic học
Phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học
Tin học đại cương
Kỹ thuật - Công nghệ
Y - Dược
Giáo dục hướng nghiệp
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Vật lý
Toán học
Luật
Văn học
Hóa học
Ngoại ngữ
Tiếng Nhật - Hàn
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Luận văn báo cáo - ngoại ngữ
TOEFL - IELTS - TOEIC
Ngữ pháp tiếng Anh
Anh ngữ phổ thông
Anh văn thương mại
Anh ngữ cho trẻ em
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng viết tiếng Anh
Chứng chỉ A,B,C
Kiến thức tổng hợp
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quản lý nhà nước
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý dự án
Quy hoạch đô thị
Kinh doanh - Tiếp thị
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tổ chức sự kiện
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Kế hoạch kinh doanh
Thương mại điện tử
Tiếp thị - Bán hàng
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Công nghệ
Văn hóa giải trí
Giáo dục học tập
Y học
Kinh tế
Ngoại ngữ
Ngôn tình
Truyện dài
Truyện văn học
Truyện thiếu nhi
Truyện kiếm hiệp
Truyện cười
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Tự truyện
Văn hóa - Nghệ thuật
Âm nhạc
Ẩm thực
Khéo tay hay làm
Báo chí - Truyền thông
Mỹ thuật
Điêu khắc - Hội họa
Thời trang - Làm đẹp
Sân khấu điện ảnh
Du lịch
Tôn giáo
Chụp ảnh - Quay phim
Kỹ thuật - Công nghệ
Điện - Điện tử
Kỹ thuật viễn thông
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Kiến trúc xây dựng
Hóa học - Dầu khi
Năng lượng
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng làm việc nhóm
Y tế - Sức khỏe
Y học thường thức
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học - Dầu khi
Sinh học
Môi trường
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Lịch sử
Địa lý
Biểu mẫu - Văn bản
Đơn từ
Thủ tục hành chính
Hợp đồng
Văn bản
Biểu mẫu
Nông - Lâm - Ngư
Nông nghiệp
Lâm nghiệp
Ngư nghiệp
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Trang chủ
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Thi THPT Quốc Gia
Môn toán
Phương trình và bất phương trình...
Tài liệu Phương trình và bất phương trình
.PDF
23
315
96
tranphuong
Báo vi phạm
Tải xuống
96
Đang tải nội dung...
Xem thêm (5 trang)
Tải về
Mô tả:
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Chương 1: Phương trình và bất phương trình Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI I. Cách giải 1) Phương trình bậc nhất: • ax + b = 0, a,b ∈ IR. Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = - b . a • Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm. • Nếu a = b = 0 thì phương trình nghiệm ñúng với mọi x ∈ IR. ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. 2) Phương trình bậc hai: 2 • Nếu ∆ = b – 4ac < 0 phương trình vô nghiệm. b • Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép x1 = x 2 = . 2a −b± ∆ • Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, 2 = . 2a II. ðịnh lí Viét và hệ quả về dấu các nghiệm 1) ðịnh lí Viét : Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghiệm x1 , x 2 thì b c và P = x1.x 2 = . S = x1 + x 2 = a a 2) Hệ quả: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghiệm: ∆ ≥ 0 c Trái dấu ⇔ <0 Cùng dấu ⇔ c a a > 0 ∆ ≥ 0 c Cùng dương ⇔ > 0 a b − a > 0 ∆ ≥ 0 c Cùng âm ⇔ > 0 a b − a < 0 III. ðịnh lí về dấu của tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 ta có 1. ðịnh lí thuận: • Nếu ∆ = b2 – 4ac < 0 thì a.f(x) > 0 với ∀ x. b • Nếu ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 với ∀ x ≠ . 2a • Nếu ∆ > 0 khi ñó f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 và a.f(x) > 0 với x ngoài [ x1 ; x 2 ] . a.f(x) < 0 với x1 < x < x 2 . 2. ðịnh lí ñảo: Nếu tồn tại số α sao cho a.f( α ) < 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt và số α nằm trong khoảng hai nghiệm ñó: x1 < α < x 2 . Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 1 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán IV. Ứng dụng 1. ðiều kiện ñể f(x) = ax2 + bx + c không ñổi dấu với mọi x a = b = 0 a = b = 0 c > 0 c ≥ 0 f(x) ≥ 0 với ∀ x ⇔ f(x) > 0 với ∀ x ⇔ a > 0 a > 0 ∆ < 0 ∆ ≤ 0 a = b = 0 a = b = 0 c < 0 c ≤ 0 f(x) ≤ 0 với ∀ x ⇔ f(x) < 0 với ∀ x ⇔ a < 0 a < 0 ∆ < 0 ∆ ≤ 0 2. So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α • • ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và x1 < α < x 2 là: a.f( α ) < 0. ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và α nằm ngoài khoảng hai ∆ > 0 nghiệm: a.f (α) > 0 - Nếu α nằm bên phải hai nghiệm: x1 < x 2 < α • ∆ > 0 ⇒ a.f (α ) > 0 S b =−
0 - Nếu α nằm bên trái hai nghiệm: α < x1 < x 2 ⇒ a.f (α ) > 0 S b =− >a 2a 2 ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm nằm trong, một nghiệm nằm ngoài ñoạn [ α; β ] là: f( α ).f( β ) < 0. 3. ðiều kiện ñể f(x) có nghiệm thỏa mãn x > α : • Trường hợp 1: f(x) có nghiệm x1 < α < x 2 ⇔ a.f( α ) < 0. ∆ ≥ 0 • Trường hợp 2: f(x) có nghiệm α < x1 < x 2 ⇔ a.f (α) > 0 S α < 2 f (α ) = 0 • Trường hợp 3: f(x) có nghiệm α = x1 < x 2 ⇔ S α < 2 ( Làm tương tự với trường hợp x < α và khi xảy ra dấu bằng) Ngoài ra ta chú ý thêm ñịnh lí sau: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục. Khi ñó ñiều kiện ñể phương trình f(x) = m có nghiệm là minf(x) ≤ m ≤ maxf(x). Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 2 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bảng tóm tắt ñịnh lý thuận về dấu của tam thức bậc hai Nếu ∆ < 0 N ếu ∆ = 0 a.f(x) > 0 với ∀ x a.f(x) > 0 với ∀ x ≠ - Nếu ∆ > 0 a.f(x) > 0 với x ngoài [ x1 ; x 2 ] a.f(x) < 0 với x1 < x < x 2 b 2a Bảng tóm tắt so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α ðiều kiện ñể f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt và α nằm giữa khoảng hai nghiệm x1 < α < x 2 α nằm ngoài khoảng hai nghiệm ∆ > 0 a.f (α ) > 0 a.f( α ) < 0 x1 < x 2 < α x1 < x 2 < α ∆ > 0 a.f (α ) > 0 S b =−
0 a.f (α ) > 0 S b =− >a 2a 2 Ví dụ 1. Tìm m ñể phương trình x 2 − 2( m + 4) x + m 2 + 8 = 0 có 2 nghiệm dương. Ví dụ 2. Xác ñịnh a ñể biểu thức (a + 1) x 2 − 2(a − 1) x + 3a − 3 luôn dương Ví dụ 3. Tìm m ñể bất phương trình x 2 + x − 2 ≥ m nghiệm ñúng với mọi x. Ví dụ 4. Tìm m ñể phương trình x 2 + mx + 2m = 0 có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn -1< x1 < x 2 2 Ví dụ 5. Tìm m ñể phương trình x − 2mx + 2m 2 − 1 = 0 có nghiệm thỏa mãn − 2 ≤ x1 ≤ x 2 ≤ 4 2 Ví dụ 6. Cho phương trình x + ( m + 2) x + 3m − 2 =0 Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 Ví dụ 7. Tìm m ñể phương trình x 2 − 2mx + m + 2 = 0 có nghiệm lớn hơn 1 Ví dụ 8. Tìm m ñể phương trình x 2 − 6mx + 9m 2 − 2m + 2 = 0 có nghiệm x1 ≤ x 2 ≤ 3 Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 3 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI I. Phương trình trùng phương (1) ax 4 + bx 2 + c = 0, a ≠ 0 2 2 ðặt t = x ≥ 0 phương trình (1) trở thành: at + bt + c = 0 (2) • PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có ít nhất một nghiệm không âm. • PT (1) có ñúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có ñúng một nghiệm dương. • PT (1) có ñúng 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương. • PT (1) có ñúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm dương phân biệt. Ví dụ 1. Cho phương trình: x4 + (1-2m)x2 + m2 – 1 = 0. a)Tìm các giá trị của m ñể phương trình vô nghiệm. b)Tìm các giá trị của m ñể phương trrình có 4 nghiệm phân biệt. Ví dụ 2. Tìm m sao cho ñồ thị hàm số y = x4 -2(m+4)x2 + m2 + 8 cắt trục hoành lần lượt tại 4 ñiểm phân biệt A, B, C, D với AB = BC = CD. II. Phương trình chứa giá trị tuyệt ñối 1) Các dạng cơ bản: b ≥ 0 |a|=b ⇔ | a | = | b | ⇔ a = ±b a = ± b |a| ≤ b b ≥ 0 ⇔ 2 2 a ≤ b b < 0 | a | ≥ b ⇔ b ≥ 0 a 2 ≥ b 2 | a | ≥ | b | ⇔ a 2 ≥ b2 Ví dụ 1. Giải phương trình | x2 – 3x + 2 | - 2x = 1. Ví dụ 2. Giải bất phương trình x2 - | 4x – 5 | < 0. Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình | 2x – m | = x. Ví dụ 4. Giải phương trình 4|sinx| + 2cos2x = 3. Ví dụ 5. Giải và biện luận bất phương trình | 3x2 -3x – m | ≤ | x2 – 4x + m |. 2)Phương pháp ñồ thị: a) Cách vẽ ñồ thị hàm số y = | f(x) | khi ñã biết ñồ thị hàm số y = f(x). - Chia ñồ thị hàm số f(x) ra 2 phần: phần ñồ thị nằm phía trên trục hoành (1) và phần ñồ thị nằm phía dưới trục hoành (2). - Vẽ phần ñồ thị ñối xứng với phần ñồ thị (2) qua trục hoành ñược phần ñồ thị (3). - ðồ thị hàm số y = | f(x) | là ñồ thị gồm phần ñồ thị (1) và phần ñồ thị (3) vừa vẽ. b) ðịnh lí: Số nghiệm của phương trình g(x) = h(m) là số giao ñiểm của ñường thẳng nằm ngang y = h(m) với ñồ thị hàm số y = g(x). Khi gặp phương trình có tham số ta tách riêng chúng về một vế của phương trình rồi vẽ ñồ thị hàm số y = g(x) và ñường thẳng y = h(m) rồi áp dụng ñịnh lí trên ñể biện luận. Ví dụ 6. Tìm m ñể phương trình | x2 – 1 | = m4 – m2 +1 có 4 nghiệm phân biệt. Ví dụ 7. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m. Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 4 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I.Các dạng cơ bản Dạng 1: Dạng 2: 2 n +1 2n f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔ f(x) = [ ϕ( x ) ]2n+1 ϕ( x ) ≥ 0 f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔ 2n f ( x ) = [ϕ( x )] Dạng 3: f ( x ) ≥ 0 , f ( x ) < ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) > 0 f ( x ) < [ϕ( x )]2 f ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≤ ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≤ [ϕ( x )]2 f ( x ) ≥ 0 ϕ( x ) < 0 , f ( x ) > ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) ≥ 0 f ( x ) > [ϕ( x )]2 f ( x ) < 0 ϕ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≥ ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≥ [ϕ( x )]2 Dạng 4: Ví dụ 1. Giải phương trình x 2 − 2x + 3 = 2x + 1 Ví dụ 2. Giải bất phương trình x 2 − x − 12 < x Ví dụ 3. Giải bất phương trình 2 x 2 + 5x − 6 > 2 − x Ví dụ 4. Tìm m ñể phương trình có nghiệm x − m = 2 x 2 + mx − 3 II. Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ không cơ bản 1) Phương pháp lũy thừa hai vế: - ðặt ñiều kiện trước khi biến ñổi - Chỉ ñược bình phương hai vế của một phương trình ñể ñược phương trình tương ñương (hay bình phương hai vế của một bất phương trình và giữ nguyên chiều) nếu hai vế của chúng không âm. - Chú ý các phép biến ñổi căn thức A2 = A . Ví dụ 5. Giải phương trình x +1 = 3 − x + 4 Ví dụ 6. Giải bất phương trình x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x Ví dụ 7. Giải bất phương trình 3 x − 5x + 5 > 1 Ví dụ 8. Giải bất phương trình x + 2 − x +1 ≤ x Ví dụ 9.Giải phương trình 2 x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2 Ví dụ 10.Giải bất phương trình x 2 − 4x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1 2)Phương pháp ñặt ẩn phụ: - Những bài toán có tham số khi ñặt ẩn phụ phải tìm tập xác ñịnh của ẩn mới. - Chú ý các hằng ñẳng thức (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 , a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) , … 5x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − x 2 − 2 x Ví dụ 11.Giải bất phương trình Ví dụ 12.iải phương trình x + 8 + 2 x + 7 + x +1− x + 7 = 4 Ví dụ 13.Giải phương trình x + 2 + x − 2 = 4 x − 15 + 4 x 2 − 4 Ví dụ 14.Giải phương trình 9x 2 + Ví dụ 15.Giải bất phương trình 4 3x 2 + 2 x − 2 = x2 x 5 1 5 x+ < 2x + +4 2x 2 x Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 5 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG I. Hệ phương trình ñối xứng loại 1 1)Khái niệm: Là hệ mà mỗi phương trình không ñổi khi ta thay x bởi y và thay y bởi x. 2)Tính chất: Nếu (xo, yo) là một nghiệm của hệ thì (yo, xo) cũng là nghiệm của hệ. 3)Cách giải: x + y = S Biến ñổi hệ phương trình về dạng: Hệ ñã cho ⇔ (1) x.y = P Khi ñó x, y là nghiệm của phương trình: t 2 − St + P = 0 (2) Nếu ∆ = S – 4P > 0 thì phương trình (2) có hai nghiệm t1 ≠ t2 nên hệ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt (t1, t2), (t2, t1). Nếu ∆ = 0 thì phương trình (2) có nghiệm kép t1 = t2 nên hệ (1) có nghiệm duy nhất (t1, t2). ðiều kiện ñể hệ (1) có ít nhất một cặp nghiệm (x, y) thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0 ∆ = S 2 − 4 P ≥ 0 S ≥ 0 P ≥ 0 2 x y + y x = 30 x − y − xy = 3 2 2 x x + y y = 35 x + y + xy = 1 x + 1 + y − 1 = m xy( x + 2)( y + 2) = 5m − 6 Ví dụ 2.Tìm m ñể hệ sau có nghiệm 2 2 x + y = m 2 − 4m + 6 x + y + 2( x + y ) = 2 m x + y = 2 Ví dụ 1.Giải hệ phương trình 3 3 x + y = 26 II. Hệ phương trình ñối xứng loại 2 1)Khái niệm: Là hệ phương trình mà trong hệ phương trình ta ñổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình nọ trở thành phương trình kia. 2)Tính chất: Nếu (xo, yo) là một nghiệm của hệ thì (yo, xo) cũng là nghiệm của hệ. 3)Cách giải: Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta ñược phương trình có dạng: (x – y).f(x,y) = 0 ⇔ x – y = 0 hoặc f(x,y) = 0. 1 2 2x = y + x 3 + xy 2 = 40 y x 2 y − 4 = y 2 y Ví dụ 3.Giải các hệ phương trình 3 2 2 2 y + x y = 40 x xy − 4 = x 2 y 2 = x + 1 x 2 2 x + y − 1 = m x = y − y + m Ví dụ 4.Tìm m ñể hệ sau có nghiệm: y = x 2 − x + m 2 y + x − 1 = m Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 6 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 5: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC I. Hệ vô tỷ x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình x + y = 4 x + y + xy = a Ví dụ 2. Giải và biện luận x − y = a x+ y + x− y =2 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình y + x − y − x = 1 x − 2 − y = 2 Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 2 − x + y = 2 x + 1 + y = m Ví dụ 5. Tìm m ñể hệ có nghiệm y + 1 + x = 1 II. Hệ hữu tỷ 3 2y x 2 + y2 −1 + x = 1 Ví dụ 6. Giải hệ phương trình x 2 + y 2 + 4 x = 22 y x 3 − y 3 = 7 Ví dụ 7. Giải hệ phương trình xy( x − y) = 2 3 3 x + 4 y = y + 16 x Ví dụ 8. Giải hệ phương trình 1 + y 2 = 5(1 + x 2 ) x − y = a (1 + xy) Ví dụ 9. Tìm a ñể hệ có nghiệm xy + x + y + 2 = 0 2 y( x 2 − y 2 ) = 3x Ví dụ 10. Giải hệ phương trình x ( x 2 + y 2 ) = 10 y x + y = m Ví dụ 11.Tìm m ñể hệ có hai nghiệm phân biệt: 2 2 x − y + 2x = 2 2 2 x − xy − y = −11 Ví dụ 12. Giải hệ phương trình 2 ( x − y 2 ) xy = 180 x 3 − y 3 = 19( x − y) Ví dụ 13. Giải hệ phương trình 3 x + y 3 = 7( x + y) ========================================================== Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 7 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Chương 2: Phương trình lượng giác, mũ, logarit Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Phương trình lượng giác cơ bản Khi giải các phương trình lượng giác cuối cùng dẫn ñến phép giải các phương trình lượng giác cơ bản. Ta cần ghi nhớ bảng sau ñây: Phương trình ðiều kiện có nghiệm ðưa về dạng Nghiệm sinx = m −1 ≤ m ≤ 1 sinx = sin α cosx = m tgx = m cotgx = m −1 ≤ m ≤ 1 m ọi m m ọi m cosx = cos α tgx = tg α cotgx = cotg α x = α + k 2π x = π − α + k 2π ± α + k2 π α + kπ α + kπ Ở bảng trên k nhận mọi giá trị nguyên ( k ∈ Z ) . ðơn vị góc thường dùng là radian. ðể thuận lợi cho việc chọn α ta cần nhớ giá trị của hàm lượng giác tại các góc ñặc biệt. ðường tròn lượng giác sẽ giúp ta nhớ một cách rõ ràng hơn. Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 8 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 ; 2 Ví dụ 2. Giải phương trình: π a) cos2x = cos ; 5 a) sin3x = b) sin(2x - π ) = 1; 5 c) sin( xπ ) = 0. Ví dụ 4. Giải phương trình: π π π ) = cos(x + ); c) cosx = sin(2x + ). 3 2 4 π 8π cos 2 ( cos x − ) = 0 . 3 3 cos(π sin x ) = cos(3π sin x ) Ví dụ 5. Giải phương trình: cos 2 x − sin 2 ( 2 x ) = 1 Ví dụ 3. Giải phương trình: b) cos(3x - II. Phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) , a 2 + b 2 ≠ 0 Chia hai vế của phương trình (1) cho a 2 + b 2 , ta ñược: a b c (1) ⇔ (2) sin x + cos x = 2 2 2 2 2 a +b a +b a + b2 a b ðặt = sin ϕ ; = cos ϕ . 2 2 2 a +b a + b2 c Khi ñó phương trình lượng giác có dạng: cos(x - ϕ ) = (3) 2 a + b2 c ≤ 1 ⇔ a 2 +b2 ≥ c2 Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 2 2 a +b c Khi ñó tồn tại α ∈ [0; π] sao cho cos α = nên ta có: 2 a + b2 (1) ⇔ cos( x − ϕ) = cos α ⇔ x = ϕ ± α + k 2π ; k ∈ Z Ví dụ 6. Giải phương trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx. Ví dụ 7. Cho phương trình: sinx + mcosx = 1 a) Giải phương trình với m = - 3 . b) Tìm m ñể phương trình vô nghiệm. Ví dụ 8. Giải phương trình: cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 3 sin 2 x = 1 Ví dụ 9. Tìm α ñể phương trình sau có nghiệm x ∈ IR: 3 cos x + sin( x + α) = 2 sin 8x − cos 6 x = 3 (sin 6 x + cos 8x ). π Ví dụ 11. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm x ∈ 0; : 2 cos2x – msin2x = 2m – 1 Ví dụ 12. Giải phương trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x). 1 Ví dụ 13. Giải phương trình: cos 2 4 x − cos x. cos 4 x − sin 2 x + = 0 4 Ví dụ 10. Giải phương trình: Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 9 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán III. Phương trình ñẳng cấp, phương trình ñối xứng ñối với sinx và cosx 1) Phương trình ñẳng cấp bậc cao ñối với sinx và cosx: Khái niệm: Một phương trình sau khi biến ñổi về cosx, sinx mà ở tất cả các số hạng có tổng số mũ của cosx và của sinx hoặc ñều là số tự nhiên chẵn hoặc ñều là số tự nhiên lẻ thì phương trình ñó ñược gọi là “ ñẳng cấp” ñối với cosx và sinx. Gọi k là số lớn nhất trong các tổng số mũ nói trên ñược gọi là bậc của phương trình. Cách giải: - Xét trường hợp cosx = 0 thử vào phương trình - Khi cos x ≠ 0 chia hai vế phương trình cho coskx sau ñó ñặt ẩn phụ t = tgx. 2sin3x = cosx π Ví dụ 15. Giải phương trình: sin 3 ( x + ) = 2 sin x 4 Ví dụ 16. Tìm m ñể phương trình có nghiệm: msin2x + cos2x + sin2x +m = 0. Ví dụ 14. Giải phương trình: Ví dụ 17: Tìm m ñể phương trình sau có ñúng hai nghiệm x nằm trong khoảng π π − ; : 2 2 3sin4x – 2(m+2)sin2x.cos2x + (1 – m2 )cos4x = 0. 2) Phương trình ñối xứng sinx và cosx: Khái niệm: Một phương trình sau khi biến ñổi về cosx, sinx mà các số hạng có chứa tổng (cosx ± sinx ) hoặc chứa tích cosx.sinx ñược gọi là phương trình ñối xứng ñối với cosx và sinx. Ví dụ phương trình: a (cos x ± sin x ) + b cos x. sin x + c = 0 . Cách giải: ðặt t = sinx + cosx, ta có t ≤ 2 . Khi ñó: sinx.cosx = Nếu ñặt t = sinx - cosx, ta có t ≤ 2 . Khi ñó: sinx.cosx = t 2 −1 2 1− t2 2 sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m). Ví dụ 18. Cho phương trình: a) Giải hệ phương trình với m = - 1. b) Tìm m ñể phương trình có nghiệm. 3 Ví dụ 19. Giải phương trình: 1 + sin 3 x + cos3 x = sin 2 x 2 3 Ví dụ 20. Giải phương trình: 1 + sin 3 2 x + cos 3 2x = sin 4x 2 π 3π Ví dụ 21. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm x∈ , : 4 4 3 3 cos x + sin x = m. Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 10 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán IV. Phương trình ñưa về dạng tích Các phương trình lượng giác không có dạng như những phương trình ñã trình bày ở các mục trước, người ta thường nghĩ tới phân tích chúng thành những phương trình cơ bản. Việc phân tích thành tích thực chất là ñi tìm thừa số chung của các số hạng có trong phương trình. ðể làm ñược ñiều ñó, chúng ta cần phải thành thạo các công thức lượng giác, các hằng ñẳng thức ñại số ñáng nhớ và cũng cần phải có kinh nghiệm nhìn nhận mối quan hệ giữa các số hạng có trong phương trình. 1 1 • Thử các nghiệm ñặc biệt như sin x = ±1 , sin x = ± , cos x = ±1 , cos x = ± 2 2 2 2 và phương trình có chứa thừa số (cosx ± sinx). Sử dụng ñẳng thức sin x + cos x = 1. • Dùng các công thức biến ñổi như hạ bậc, biến ñổi tổng thành tích , biến ñổi tích thành tổng, hàm số lượng giác của hai góc có liên quan ñặc biệt. Chú thêm một số biến ñổi sau ñây: 2 1 cot gx + tgx = , cot gx − tgx = 2 cot g 2 x , cot gx − cot g 2x = sin 2 x sin 2 x • ðặt các nhân tử chung (nhân tử chung suy ra từ nghiệm ñã thử ñược). Tham khảo thêm bảng họ các biểu thức có nhân tử chung. f(x) sinx cosx 1+cosx 1-cosx 1+sinx 1-sinx sinx+cosx sinx-cosx Biểu thức chứa thừa số f(x) sin2x, tgx, tg2x, ... sin2x, tg2x, cotgx, ... x x cos 2 , cot g 2 , sin2x, tg2x 2 2 x x sin 2 , tg 2 , sin2x, tg2x 2 2 π x π x cos2x, cotg2x, cos 2 ( − ) , sin 2 ( + ) 4 2 4 2 π x π x cos2x, cotg2x, cos 2 ( + ) , sin 2 ( − ) 4 2 4 2 cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx Ví dụ 1.Giải phương trình: cos3x – 2cos2x + cosx = 0 . 3 Ví dụ 2.Giải phương trình: sin2x + sin22x + sin23x = 2 Ví dụ 3.Giải phương trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x = 1 ( cos2x + cos4x). 2 2sin3x + cos2x + cosx = 0 sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx) 1 + tgx Ví dụ 6.Giải phương trình: = 1 + sin 2 x 1 − tgx π x Ví dụ 7.Giải phương trình sin x. cos 4 x − sin 2 2 x = 4 sin 2 − . 4 2 Ví dụ 4.Giải phương trình: Ví dụ 5.Giải phương trình: Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 11 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT I. Các kết quả cơ bản 1) Hàm số mũ: y = ax, 0 < a ≠ 1. • Tập xác ñịnh: IR. • Tập giá trị: IR+. (ñồ thị luôn nằm phía trên trục hoành) • Khi a > 1 hàm số ñồng biến. Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. • Dạng ñồ thị: 2) Hàm số logarit: y = logax , 0 < a ≠ 1. a) Các tính chất: • Tập xác ñịnh: IR* (x > 0 ). • Tập giá trị: IR • Khi a > 1 hàm số ñồng biến. Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. • Dạng ñồ thị: Chú ý: Trong các bất phương trình mũ, logarit, cơ số a lớn hơn hay bé hơn 1 quyết ñịnh chiều của bất phương trình. Vì vậy phải chú ý ñến chiều của bất phương trình trong quá trình biến ñổi. Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 12 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán b)Các công thức chú ý: b > 0 log a b có nghĩa ⇔ 0 < a ≠ 1 • log c b log c a • log a b = • log a n b m = • log a b 2 k = 2k. log a | b | ( Công thức ñổi cơ số với b > 0 , 0 < a ≠ 1 , 0 < c ≠ 1 ). m log a b ( Với b > 0 và 0 < a ≠ 1 ) n với k ∈ Z . II. Các phương trình, bất phương trình có dạng cơ bản 1) Phương trình mũ: Cho 0 < a ≠ 1. b > 0 Dạng 1: a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = log a b Dạng 2: a f ( x ) a > 1 f ( x ) < log a b < b (với b > 0) ⇔ 0 < a < 1 f ( x ) > log a b Dạng 3: a f ( x ) > b - Nếu b ≤ 0 bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x thuộc tập xác ñịnh của bất phương trình. - a > 1 f ( x ) > log a b Nếu b > 0, khi ñó bất phương trình tương ñương với: 0 < a < 1 f ( x ) < log a b Dạng 4: a f ( x ) < a g ( x ) a > 1 f ( x ) < g ( x ) ⇔ 0 < a < 1 f ( x ) > g ( x ) Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 13 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 2)Phương trình logarit Dạng 1: log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b . a > 1 b 0 < f ( x ) < a Dạng 2: log a f ( x ) < b ⇔ 0 < a <1 f ( x ) > a b a > 1 b f ( x ) > a Dạng 3: log a f ( x ) > b ⇔ 0 < a <1 0 < f ( x ) < a b a > 1 0 < f ( x ) < g ( x ) Dạng 4: log a f ( x ) < log a g ( x ) ⇔ 0 < a < 1 0 < g ( x ) < f ( x ) 1 Ví dụ 1. Cho phương trình: 5 x 2 −4 x +3 = m4 − m2 + 1 a)Giải phương trình khi m = 1. b)Tìm m ñể phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Ví dụ 2. Giải bất phương trình: log x (5x 2 − 8x + 3) > 2 Ví dụ 3. Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: log 2 (9 x + 9m 3 ) = x Ví dụ 4. Giải phương trình: log x (cos x − sin x ) + log 1 (cos x + cos 2 x ) = 0 x [ ] Ví dụ 5. Giải bất phương trình: log x log 3 (9 x − 72) ≤ 1 Ví dụ 6. Giải bất phương trình: log 1 ( 5 − x ) < log 1 (3 − x ) 3 3 Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 14 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán III. Các phương trình, bất phương trình không cơ bản • Phải ñặt ñiều kiện. • Những bài toán có tham số, ñặt ẩn phụ phải tìm tập xác ñịnh của ẩn mới. • Những bài toán phương trình, bất phương trình mũ, logarit mà ẩn x vừa ở số mũ của lũy thừa, vừa ở hệ số, thường chuyển về việc phân tích thành thừa số, nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất ñối với phương trình; xét dấu của tích ñối với bất phương trình. • Khi bài toán phức tạp, có những phần tử giống nhau hay nhân tử giống nhau ta có thể ñặt ẩn phụ ñể ñưa bài toán trở lên ñơn giản hơn. Ví dụ 7. Giải phương trình: 1 1 3.4 x + 9 x + 2 = 6.4 x +1 − 9 x +1 3 4 Ví dụ 8. Giải phương trình: 8.3x + 3.2 x = 24 + 6 x Ví dụ 9. Giải bất phương trình: log a (35 − x 3 ) > 3 (với 0 < a ≠ 1 ). log a (5 − x ) x −1 2 Ví dụ 10. Giải phương trình: log 27 ( x 2 − 5x + 6) 3 = log 3 + log 9 ( x − 3) 2 lg(lg x ) + lg(lg x 3 − 2) = 0 Ví dụ 11. Giải phương trình: Ví dụ 12. Giải phương trình: x 2 . log 6 5x 2 − 2 x − 3 − x. log 1 (5x 2 − 2 x − 3) = x 2 + 2 x 6 Ví dụ 13. Giải bất phương trình: log 3 x 2 − 5x + 6 + log 1 x − 2 > 3 Ví dụ 14. Giải phương trình: log 1 ( x − 1) + log 1 ( x + 1) − log 2 Ví dụ 15. Giải phương trình: Ví dụ 16. Giải phương trình: 2 1 2 1 log 1 ( x + 3) 2 3 (7 − x ) = 1 lg 4 ( x − 1) 2 + lg 2 ( x − 1)3 = 25 log 3x + 7 (9 + 12 x + 4 x 2 ) + log 2 x + 3 (6 x 2 + 23x + 21) = 4 Ví dụ 17. Tìm m ñể phương trình sau ñây có hai nghiệm trái dấu: (m + 3)16 x + (2m − 4)4 x + m + 1 = 0 Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 15 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Chương 3: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan Bài 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ Sơ ñồ khảo sát hàm số 1) Tìm tập xác ñịnh của hàm số (Xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn (nếu có)). 2) Khảo sát sự biến thiên hàm số a) Xét chiều biến thiên của hàm số • Tính ñạo hàm • Tìm các ñiểm tới hạn (ðiểm tới hạn thuộc TXð và tại ñó f ′( x ) không xác ñịnh hoặc bằng 0) • Xét dấu của ñạo hàm trong các khoảng xác ñịnh bởi các ñiểm tới hạn. (Giữa hai ñiểm tới hạn kề nhau thì f ′( x ) giữ nguyên một dấu) • Suy ra chiều biến thiên hàm số trong mỗi khoảng (ðồng biến nếu f ′( x ) >0, nghịch biến nếu f ′( x ) <0). b) Tính các cực trị (suy ra ngay từ phần xét chiều biến thiên) c) Tìm các giới hạn của hàm số • Khi x dần tới vô cực ( x → +∞ và x → −∞ ) • Khi x dần tới bên trái và bên phải, các giá trị của x tại ñó hàm số không xác ñịnh ( x → + x o , x → − x o ) • Tìm tiệm cận (nếu là hàm số phân thức) - Nếu lim f ( x ) = ∞ thì x = xo là một tiệm cận ñứng của hàm số x →∞ f (x) ; b = lim[f ( x ) − ax ] x →∞ x x →∞ - Tiệm cận xiên: y = ax + b . Trong ñó a = lim (khi x → +∞ ( x → −∞ ), x → + x o ( x → − x o ) thì ñó là tiệm cận bên phải (trái)) d) Xét tính lồi, lõm và tìm ñiểm uốn của ñồ thị hàm số (nếu là hàm số ña thức) • Tính ñạo hàm cấp 2 • Xét dấu của ñạo hàm cấp 2 • Suy ra tính lồi, lõm và ñiểm uốn của ñồ thị (lập bảng lồi lõm) ( nếu f ′′( x ) < 0 với ∀x ∈ (a; b) thì ñồ thị hàm số lồi trên khoảng ñó) e) Lập bảng biến thiên (ghi tất cả các kết quả tìm ñược vào bảng biến thiên) 3)Vẽ ñồ thị • Chính xác hóa ñồ thị (tìm giao ñiểm của ñồ thị với các trục tọa ñộ và nên lấy thêm một số ñiểm của ñồ thị, nên vẽ tiếp tuyến ở một số ñiểm ñặc biệt) • Vẽ ñồ thị (ñọc lại các ví dụ mẫu SGK từ trang 80 ñến trang 97). Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 16 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I. Tìm giao ñiểm của hai ñường Giả sử hàm số y = f ( x ) có ñồ thị là (C) và hàm số y = g ( x ) có ñồ thị là (C1 ) . Rõ ràng M o ( x o ; y o ) là giao ñiểm của (C) và (C1 ) khi và chỉ khi ( x o ; y o ) là nghiệm của hệ phương trình y = f (x ) y = g(x Do ñó ñể tìm hoành ñộ các giao ñiểm của (C) và (C1 ) ta giải phương trình: f ( x ) = g( x ) (1) Số nghiệm của phương trình chính là số giao ñiểm của hai ñồ thị (C) và (C1 ) . Nếu x o , x1 ,... là các nghiệm của (1) thì các ñiểm M o ( x o ; f ( x o )), M1 ( x1 ; f ( x1 ))... là các giao ñiểm của (C) và (C1 ) . Bài toán: Tìm m ñể ñồ thị hàm số cắt ñường thẳng tại một số ñiểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 1. Biện luận theo m số giao ñiểm của ñồ thị các hàm số y= x 2 − 6x + 3 x+2 và Ví dụ 2. Biện luận số nghiệm của phương trình y = x−m x 3 + 3x 2 − 2 = m Ví dụ 3. Với giá trị nào của k thì ñường thẳng y = kx − k + 2 cắt ñồ thị hàm số y = x 2 + x −1 x −1 tại hai ñiểm phân biệt. Ví dụ 4. Tìm k ñể ñường thẳng y = kx + 1 cắt ñồ thị y = x 2 + 4x + 3 tại hai ñiểm phân biệt x+2 Ví dụ 5. Tìm m ñể ñường thẳng y = − x + m cắt ñồ thị y = Ví dụ 6. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x2 + x −1 tại hai ñiểm phân biệt x −1 mx 2 + x + m cắt trục hoành tại 2 ñiểm phân biệt có hoành x −1 ñộ dương. Ví dụ 7. Tìm m ñể ñường thẳng y = m cắt ñồ thị hàm số y = − x 2 + 3x − 3 tại hai ñiểm A và B 2( x − 1) sao cho ñộ dài ñoạn AB = 1. Ví dụ 8. Tìm m ñể ñồ thị y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 cắt ñường thẳng y = 1 tại 3 ñiểm phân biệt. 1 2 Ví dụ 9 . Tìm m ñể ñồ thị y = x 3 − mx 2 − x + m + cắt trục hoành tại 3 ñiểm phân biệt. 3 3 Ví dụ 10. Tìm a ñể ñường thẳng y = a ( x + 1) + 1 cắt ñồ thị hàm số y = x + 1 + 1 tại hai ñiểm x+2 có hoành ñộ trái dấu. Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 17 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán II. Viết phương trình tiếp tuyến Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) a) Phương trình tiếp tuyến của ñường cong (C) tại ñiểm M o ( x o ; f ( x o )) y − y o = f ′( x o )( x − x o ) b) Phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M1 ( x1 ; y1 ) và tiếp xúc với (C) ðường thẳng d ñi qua M1 ( x1 ; y1 ) có dạng y − y1 = k ( x − x1 ) ⇔ y = k ( x − x1 ) + y1 ðể cho ñường thẳng d tiếp xúc với (C), hệ phương trình sau phải có nghiệm: y = k ( x − x1 ) + y1 f ′( x ) = k Hệ phương trình này cho phép xác ñịnh hoành ñộ x o của tiếp ñiểm và hệ số góc k = f ′( x ) Chú ý: Hai ñồ thị hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) tiếp xúc với nhau nếu và chỉ nếu hệ phương trình sau ñây có nghiệm: f ( x ) = g ( x ) f ′( x ) = g′( x ) c) Phương trình ñường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc (C). Phương trình ñường thẳng có hệ số góc k có dạng y = kx + b tiếp xúc với ñồ thị (C), ta giải phương trình f ′( x ) = k tìm ñược hoành ñộ các tiếp ñiểm x o , x1 , x 2 ,... Từ ñó suy ra phương trình các tiếp tuyến phải tìm: y − y i = k ( x − x i ) ( i = 0, 1, ...) Bài toán : Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số khi biết phương của tiếp tuyến hoặc ñi qua một ñiểm cho trước nào ñó. Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) của hàm số y = (2 − x 2 ) 2 biết tiếp tuyến ñó ñi qua ñiểm A(0 ; 4) Ví dụ 2. Viết phương trình các ñường thẳng vuông góc với ñường thẳng y = với ñồ thị hàm số 1 x + 3 và tiếp xúc 4 y = f ( x ) = − x 3 + 3x 2 − 4 x + 2 Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) của hàm số y = − x 3 + 3x + 1 biết tiếp tuyến ñó song song với ñường thẳng y = −9 x + 1 Ví dụ 4. Từ gốc tọa ñộ có thể kẻ ñược bao nhiêu tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = x 3 + 3x 2 + 1 Viết phương trình các tiếp tuyến ñó. Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 18 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 1 3 Ví dụ 5. Cho hàm số y = − x 4 − 3x 2 + có ñồ thị là (C) 2 2 a) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại các ñiểm uốn. 3 b) Tìm tiếp tuyến của (C) ñi qua ñiểm A (0; ) 2 Ví dụ 6. Cho hàm số y= 3x + 2 có ñồ thị là (C). x+2 Chứng minh rằng, không có tiếp tuyến nào của ñồ thị (C) ñi qua giao ñiểm của hai tiệm cận của ñồ thị ñó. Ví dụ 7. Cho hàm số y=x− 1 có ñồ thị là (C) x +1 Chứng minh rằng trên (C) tồn tại những cặp ñiểm mà tiếp tuyến tại ñó song song với nhau. Ví dụ 8. Cho hàm số y= x 2 + mx − 2m − 4 có ñồ thị (C) x+2 Giả sử tiếp tuyến tại M ∈ (C) cắt hai tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng MP=MQ Ví dụ 9. Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị hàm số y = x 2 − 4x + 5 biết rằng tiếp tuyến ñi x−2 qua ñiểm A(1;1). Ví dụ 10. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị y = x 2 − x −1 biết tiếp tuyến song song với x +1 ñường thẳng y = − x . Ví dụ 11. Cho hàm số y = x 2 − x −1 có ñồ thị là (C) x +1 Tìm tất cả các ñiểm trên trục tung mà từ ñó có thể kẻ ñược 2 tiếp tuyến với ñồ thị (C) Ví dụ 12. Tìm a ñể ñồ thị y = x 2 + 3x + a có tiếp tuyến vông góc với ñường thẳng y = x. x +1 Ví dụ 13. Tìm m ñể ñồ thị y = 2mx 3 − ( 4m 2 + 1) x 2 + 4m 2 tiếp xúc với trục hoành. Ví dụ 14. Tìm m ñể ñồ thị y = mx 2 + 3mx + 2m + 1 tiếp xúc với ñường thẳng y = m. x+2 Ví dụ 15. Tìm a ñể tiệm cận xiên của ñồ thị y= 2 x 2 + (a + 1) x − 3 x+a tiếp xúc với parabôn y = x 2 + 5 . Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 19 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán III. Sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số Cho hàm số y = f(x) có ñạo hàm trên khoảng (a;b) a) Hàm số f(x) ñồng biến trên (a;b) ⇔ f ′( x ) ≥ 0 với ∀x ∈ (a; b) b) Hàm số f(x) nghịch biến trên (a;b) ⇔ f ′( x ) ≤ 0 với ∀x ∈ (a; b) Bài toán : Yêu cầu tìm m ñể cho hàm số ñồng biến, nghịch biến trong một khoảng nào ñó Chú ý: Cần nắm vững các ñịnh lý về dấu của tam thức bậc hai Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3( 2m − 1) x + 1 Xác ñịnh m sao cho hàm số ñồng biến trên tập xác ñịnh. Ví dụ 2. Cho hàm số y = 2 x 2 + 2mx + m − 1 Xác ñịnh m sao cho hàm số ñồng biến trong khoảng ( −1;+∞) Ví dụ 3. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + ( m + 1) x + 4m Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên (-1,1) Ví dụ 4. Cho hàm số y = x 2 + 2( m + 1) x + 2 x +1 Tìm m ñể hàm số ñồng biến trong khoảng (0;+∞) 1 Ví dụ 5. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 + (2m − 1) x − m + 2 3 Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên (-2;0). Ví dụ 6. Cho hàm số y = 2 x 2 − 3x + m x −1 Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên (3,+∞) Ví dụ 7. Cho hàm số y = x 3 − 3( m − 1) x 2 + 3m( m − 2) x + 1 Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho 1 ≤ x ≤ 2 Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 20
- Xem thêm -
Tài liệu liên quan
Trọn bộ trắc nghiệm toán 12 (3548 câu trắc nghiệm 12...
3
15950
159
đề thi vào lớp 6 trường thcs chu văn an thái nguyên ...
1
14294
148
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học lớp 1...
154
13400
88
Câu hỏi trắc nghiệm hoá phân tích định lượng...
7
12575
86
[VIP] Bộ 10 đề 8 điểm toán 2017 cô nguyễn thị lanh c...
290
9792
94
Đề kiểm tra 1 tiết chương tổ hợp xác suất (7 điểm tr...
21
9657
70
Bộ đề trắc nghiệm luyện thi thpt quốc gia năm 2017 k...
204
9272
110
25 đề thi thử thần tốc thpt quốc gia môn toán 2016 c...
50
8946
79
12 câu thực tế lấy 9đ toán...
10
7690
100
Tuyển tập 151 bài toán thực tế có đáp án chi tiết - ...
49
7469
151
[HOT] đề thi trắc nghiệm môn toán ôn thi thpt quốc g...
244
6994
103
6 bộ đề 7 điểm toán...
15
6740
70
Ngân hàng đề trắc nghiệm chuyên đề mũ và lôgarit (f...
41
5949
90
Ma trận các dạng bài trong đề thi thpt quốc gia 2017...
34
5830
128
35 đề trắc nghiệm môn toán thi thử thpt quốc gia năm...
353
5602
64
bộ đề tinh túy ôn thi thpt quốc gia 2017 môn toán...
43
5008
134
30 đề thi thử thpt quốc gia môn toán năm 2016 của cá...
243
4914
140
Ngân hàng đề trắc nghiệm chuyên đề hình học tọa độ t...
122
4840
121
20 đề thi thử thpt quốc gia 2016 môn Toán cực hay có...
102
4277
66
Ngân hàng đề trắc nghiệm chuyên đề mũ - lôgarit có ...
92
4197
115
×
Tải tài liệu
Chi phí hỗ trợ lưu trữ và tải về cho tài liệu này là
đ
. Bạn có muốn hỗ trợ không?
Tài liệu vừa đăng
Đề ôn thi thpt rất hay
45
52
99
Đề thi học sinh giỏi môn toán có đáp án
85
70
79
Tài liệu ôn thi thptqg môn toán toàn tập
84
66
88
Bộ đề ôn thi tốt nghiệp môn toán 12
98
52
89
Bộ đề thi thử tn thpt 2010 -2011 (có đáp án lời giải chi tiết)
111
71
59
Câu lý thuyết gài bẫy và tránh sai ẩu công thức (đề và đáp án chi tiết)
66
38
106
Tóm tắt công thức toán 10-11-12
41
115
53
đề tham khảo thpt quốc gia môn toán 2020 có lời giải chi tiết
21
210
102
Chuyên đề khảo sát hàm số
31
212
125
Các chuyên đề chọn lọc sáng tạo và chứng minh bất đẳng thức hình học
50
184
125
Tài liệu xem nhiều nhất
Trọn bộ trắc nghiệm toán 12 (3548 câu trắc nghiệm 12 file Word có đáp án)
3
15950
159
đề thi vào lớp 6 trường thcs chu văn an thái nguyên năm 2014
1
14294
148
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học lớp 12 (phần 1)
154
13400
88
Câu hỏi trắc nghiệm hoá phân tích định lượng
7
12575
86
[VIP] Bộ 10 đề 8 điểm toán 2017 cô nguyễn thị lanh có đáp án chi tiết từng câu (full)
290
9792
94
Đề kiểm tra 1 tiết chương tổ hợp xác suất (7 điểm trắc nghiệm)
21
9657
70
Bộ đề trắc nghiệm luyện thi thpt quốc gia năm 2017 khoa học tự nhiên (vật lý - hóa học - sinh học) gồm cả 2 tập nhà xuất bản giáo dục
204
9272
110
25 đề thi thử thần tốc thpt quốc gia môn toán 2016 có đáp án -megabook
50
8946
79
12 câu thực tế lấy 9đ toán
10
7690
100
Tuyển tập 151 bài toán thực tế có đáp án chi tiết - Tác giả thầy Đặng Việt Đông.
49
7469
151