THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
CHñ §Ò: tæ hîp vμ sè phøc
n¨m häc: 2010 - 2011
Hä vμ tªn: NguyÔn V¨n Loan
Tæ: To¸n Tin
Tr¦êng THPT CÈm Lý
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 1
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC
1. ĐỊNH NGHĨA PHÉP TOÁN SỐ PHỨC
I> Khái niệm số phức:
Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả i 2 = –1.
Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là = {a + b i / a, b
và i 2 = –1}. Ta có .
Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a
Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i
Số 0 = 0 + 0. i vừa là số thực vừa là số ảo.
II> Số phức bằng nhau:
a a '
Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i . Ta có z = z
b b '
VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1)
2 x 3 2 y 1
x y 2
x 2
(1)
3 y 1 3 x 7
x y 2
y 0
III> Biểu diễn hình học của số phức:
Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b).
Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục
hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.
VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:
z A = 1 + 4 i , z B = –3 + 0. i , zC = 0 –2 i , z D = 4 – i
IV> Môđun của số phức:
Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt
phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi là môđun của số
phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b 2
VD: z = 3 – 4 i có z 3 4i 32 (4) 2 = 5
Chú ý: z 2 a 2 b 2 2abi (a 2 b 2 ) 2 4a 2b 2 a 2 b 2 z
2
V> Số phức liên hợp:
Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z a bi .
z = a + bi z = a - bi ;
z z,
z = z*
Chú
ý
( Z n ) ( Z ) n ; i i;i i
Z là số thực Z Z
Z là số ảo Z Z
* Môđun số phức Z=a + b.i (a; b R)
Z OM a 2 b 2 z.z
Chú ý:
Z Z
z C
Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.
VI> Cộng, trừ số phức:
Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – b i
Cho z a bi và z ' a ' b ' i . Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i
Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.
VII> Phép nhân số phức:
Cho hai số phức z a bi và z ' a ' b ' i . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay i 2 = –1
và rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i
k.z = k(a + b i ) = ka + kb i . Đặc biệt 0.z = 0 z
2
z. z = (a + b i )(a – b i ) hay z.z = a 2 + b 2 = z
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 2
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
VD: Phân tích z 2 + 4 thành nhân tử. z 2 + 4 = z 2 – (2i ) 2 = (z – 2 i )(z + 2 i ).
Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.
VIII> Phép chia số phức:
1
a - bi
1
z
Số nghịch đảo của số phức z a bi 0 là z -1 = = 2 hay
= 2
z z
a + bi a + b 2
Cho hai số phức z a bi 0 và z ' a ' b ' i thì
z ' z '.z
a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)
2 hay
=
z
a + bi
a 2 + b2
z
VD: Tìm z thoả (1 + 2 i )z = 3z – i .
i
i (2 2i )
2 2i
1 1
Ta có (3 – 1 – 2 i )z = i z =
z
z
z i
2 2i
44
8
4 4
IX> Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k N
i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+ 2 = -1; i 4k+ 3 = -i
VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = (2 2i )13
6
z (2 2i ) 2 (2 2i ) (8i )6 (2 2i ) 86.2 86.2i 219 219 i
Phần thực a = 219 , phần ảo b = 219
2.BÀI TẬP PHÉP TOÁN SỐ PHỨC.
1) Tìm các số thực x, y biết:
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i;
b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;
3
4
1 5
1 3
Hướng dẫn: a) x = , y = c) x =
,y=
b) x = 0, y = 1.
2
3
2
3
2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) Phần thực của z bằng –2;
b) Phần ảo của z bằng 3;
c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].
Hướng dẫn:
a) Là đường thẳng x = –2;
b) Là đường thẳng y = 3;
c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;
d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;
e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2
tính cả biên.
3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) |z| = 1;
b) |z| 1
c) 1 < |z| 2
d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
Hướng dẫn:
a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a 2 b 2 1 , là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;
b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a 2 b 2 1 , là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;
c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 1 a 2 b 2 2 , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không
tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;
4)Thực hiện các phép tính sau:
(1 i ) 2 (2i )3
b) 2i(3 + i)(2 + 4i)
c)
2 i
5)Giải phương trình sau:
z
c) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z
c)
(2 3i ) 5 2i
4 3i
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 3
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
8 9
c) z = 15 – 5i.
i
5 5
6)Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt
phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.
Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i. F cos ;sin nên F
6
6
3 1
3 1
biểu diễn số
i . C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số
i . E đối xứng F qua Ox
2 2
2 2
3 1
3 1
nên E biểu diễn số
i . B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số
i
2 2
2 2
1
3
1
7)Cho z
i . Hãy tính: ; z ; z 2 ; ( z )3 ;1 z z 2 .
z
2 2
Hướng dẫn: Ta có z 1 nên
Hướng dẫn: a) z = 1
1
1
3
iz;
z
2 2
b) z =
1
3
z2
i;
2 2
z 3 z .z 2 1 ;
1 z z2 0
8)Chứng minh rằng:
1
1
z z , phần ảo của số phức z bằng z z
2
2i
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z z .
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi z z .
z' z'
d) Với mọi số phức z, z, ta có z z ' z z ', zz ' z.z ' và nếu z 0 thì
z z
Hướng dẫn: z a bi, z a bi (1)
1
a) Lấy vế cộng vế Phần thực của số phức z bằng z z . Lấy vế trừ vế phần ảo của số phức
2
1
z bằng z z .
2i
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 z z 0 z z .
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 z z 0 z z .
d) z a bi; z ' a ' b ' i; z z a 2 b 2 là số thực
a) Phần thực của số phức z bằng
z z ' ( a a ') (b b ')i ( a a ') (b b ')i ( a bi ) (a ' b ' i ) z z '
zz ' ( aa ' bb ') ( ab ' a ' b)i ( aa ' bb ') ( ab ' a ' b)i (a bi )( a ' b ' i ) z.z '
z ' z '.z z '.z z '.z z '
z. z
z
z z. z z . z
9)Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có i 4 m 1; i 4 m 1 i; i 4 m 2 1; i 4 m 3 i
Hướng dẫn: Ta có i 4 i 2 .i 2 1
i
4 m
1m i 4 m 1 i 4 m .i 1.i i 4 m 1 i i 4 m 1.i i.i i 4 m 2 1 i 4 m 2 .i 1.i i 4 m 3 i
10)Chứng minh
rằng:
e) Nếu u của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì | u | | z | và từ đó nếu hai điểm A1 , A2 theo
thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 thì A1 A2 z2 z1 ;
f) Với mọi số phức z, z, ta có |z.z| = |z|.|z| và khi z 0 thì
z'
z'
z
z
g) Với mọi số phức z, z, ta có z z ' z z '
Hướng dẫn:
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 4
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
a) z a bi thì z a 2 b 2 , u biểu diễn số phức z thì u = (a; b) u a 2 b 2 do đó
| u || z |
A1 , A2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 thì A1 A2 OA2 OA1 z2 z1 A1 A2 z2 z1
b) z a bi , z ' a ' b ' i , z.z ' aa ' bb ' ab ' a ' b i , z a 2 b 2 , z ' a '2 b '2
Ta có z . z ' a 2 b 2 a '2 b '2
2
2
Ta có z.z ' aa ' bb ' ab ' a ' b aa ' bb ' ab ' a ' b a 2 b 2 a '2 b '2
2
2
2
2
2
2
2
Vậy |z.z| = |z|.|z|
z'. z
z'. z
z'
z ' z '.z
Khi z 0 ta có
2
2
z
z. z
z
z
z
c) u biểu diễn z, u ' biểu diễn z thì u u ' biểu diễn z + z và z z ' u u '
2 2 2
2 2
Khi u , u ' 0 , ta có u u ' u u ' 2 u u ' cos u , u ' u u ' 2 u u ' u u '
u u ' u u ' do đó z z ' z z '
2
11)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
z i
b)
c) z z 3 4i
h) z i 1
1
zi
Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
a) Với z x yi z i 1 x ( y 1)i 1 x 2 ( y 1)2 1 x 2 y 1 1
2
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1.
z i
2
2
b) Với z x yi
1 x ( y 1)i x ( y 1)i x 2 y 1 x 2 y 1 y 0
z i
Tập hợp các điểm M là trục thực Ox.
c) Với z x yi z z 3 4i x yi ( x 3) (4 y )i x 2 y 2 ( x 3)2 (4 y )2
6 x 8 y 25 0 . Tập hợp các điểm M là đường thẳng 6 x 8 y 25 0
12)Chứng minh rằng với mọi số phức z 1, ta có 1 z z 2 ... z 9
z10 1
z 1
Hướng dẫn:
Với z 1, 1 z z 2 ... z 9 z 1 z z 2 ... z 9 z10 1 z z 2 ... z 9 z10 1
Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)
13)Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?
zz
z 2 ( z )2
2
2
z (z )
1 zz
z 3 ( z )3
2
Hướng dẫn: Ta có z a bi, z a bi , z (a 2 b 2 ) 2abi, z 2 (a 2 b 2 ) 2abi,
Và z 3 (a 3 3ab 2 ) (3a 2b b3 )i, z 3 (a 3 3ab 2 ) (3a 2b b3 )i
Vậy z 2 ( z ) 2 2(a 2 b 2 ) là số thực;
zz
b
z 2 ( z )2
4ab
i
là
số
ảo;
i là số
3
3
3
2
z (z )
a 3ab
1 z. z
1 a 2 b2
ảo.
13)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
1
i) z 2 là số thực âm;
b) z 2 là số ảo ;
c) z 2 ( z ) 2
d)
là số ảo.
z i
Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì z x yi z 2 x 2 y 2 2 xyi; z 2 x 2 y 2 2 xyi
a) z 2 là số thực âm khi xy = 0 và x 2 y 2 0 x = 0 và y 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ
O
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 5
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
b) z 2 là số ảo khi x 2 y 2 0 y = x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.
c) z 2 ( z ) 2 khi xy = 0 x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.
1
x ( y 1)i
1
2
là số ảo khi x = 0, y 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;
d)
=
z i x ( y 1)i x ( y 1) 2
14).Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
j) iz 2 i 0
c) 2 i z 4 0
e) z 2 4 0
k) 2 3i z z 1
d) iz 1 z 3i z 2 3i 0
Hướng dẫn:
a) z 1 2i
b) z
1 3
i
10 10
8 4
c) z i
5 5
d) i; 3i; 2 3i
e) z 2i
2) Tìm :
15) Cho số phức z x yi (x, yR). Khi z 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện
zi
z i
zi
là số
z i
thực dương.
Hướng dẫn:
x2 y 2 1
2x
, phần ảo 2
2
2
x ( y 1)
x ( y 1) 2
b) Là số thực dương khi x 0 và x 2 y 2 1 0 Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm
biểu diễn hai số phức i, i .
16)a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số
phức z1 , z2 , z3 . Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào?
a) Phần thực là
b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 thỏa z1 z2 z3 .
Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z1 z2 z3 0
Hướng dẫn:
1 1
a) Gọi G là trọng tâm ABC, ta có OG OA OB OC z1 z2 z3 vậy G biểu diễn số
3
3
1
phức z z1 z2 z3
3
b) Vì OA OB OC nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G
trùng O hay z1 z2 z3 0 .
3. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
I> Căn bậc hai của số phức:
Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b i thoả z 2 = w được gọi là căn bậc hai của w.
w là số thực: w = a
a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0
a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a
a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là
a .i và – a .i
w là số phức: w = a + b i (a, b , b 0) và z = x + y. i là 1 căn bậc hai của w khi
x2 - y2 = a
z 2 w (x + yi)2 = a + bi
2xy = b
Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.
VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4 i .
x 2 y 2 3
2
2
Gọi z = x + y i là căn bậc hai của w. Ta có z w ( x yi) 3 4i
2 xy 4
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 6
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
x 2 y 2 3 y 4 3 y 2 4 0
y2 4
y 2
y 2
hoặc
.
2
2
2
x 1
x 1
x y
x y
x y
Vậy có 2 căn bậc hai của w là z1 = 1 + 2 i , z2 = –1 – 2 i .
II> Phương trình bậc hai:
1) Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực: ax 2 bx c 0 (a 0),
b 2 4ac .
b
2a
b | |.i
2a
0: Phương trình có 2 nghiệm thực x1,2
< 0: Phương trình có 2 nghiệm phức x1,2
VD: Giải phương trình x 3 8 0
x 2
x3 8 0 x3 23 0 ( x 2)( x 2 2 x 4) 0 2
x 2 x 4 0 (1)
(1) có = 1 – 4 = –3 =
3.i
2
nên có 2 nghiệm phức x1,2 1 3.i .
Do đó phương trình có 3 nghiệm x1 1 3.i, x2 1 3.i, x3 2
2) Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ax 2 Bx C 0 ( A 0), B 2 4 AC , a bi
B
= 0: Phương trình có nghiệm kép x
2A
B
với là 1 căn bậc hai của .
0: Phương trình có 2 nghiệm x1,2
2A
VD: Giải phương trình: a) 2z 2 iz 1 0 ; b) z 2 (3 2i ) z 5 5i 0
a) 2z 2 iz 1 0 có = –1 – 8 = – 9 = (3i )2 .
i 3i
i 3i
1
Phương trình có 2 nghiệm phức z1
i , z2
i
4
4
2
2
2
b) z (3 2i ) z 5 5i 0 có = (3 2i ) 4(5 5i ) 9 12i 4i 2 20 20i 15 8i =
3 2i 1 4i
(1 4i ) 2 Phương trình có 2 nghiệm phức z1
1 3i ;
2
3 2i 1 4i
z2
2 i
2
4.BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a) 3 z 2 2 z 1 0
b) 7 z 2 3 z 2 0 ;
c) 5 z 2 7 z 11 0
Hướng dẫn:
1 i 2
3 i 47
7 i 171
a)
b)
c)
3
14
10
2) Giải các phương trình sau trên tập phức:
b) z 4 7 z 2 10 0
a) z 4 z 2 6 0
Hướng dẫn:
a) 2; i 3
b) i 2; i 5
3) Cho a, b, c R, a 0, z1 , z2 là hai nghiệm phương trình az 2 bz c 0 . Hãy tính z1 z2 và z1 z2
theo các hệ số a, b, c.
b
c
Hướng dẫn: z1 z2 = , z1 z2 =
a
a
4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm
nghiệm.
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 7
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
Hướng dẫn:
Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0 x 2 ( z z ) x zz 0 .
Với z + z = 2a, z z = a 2 b 2 . Vậy phương trình đó là x 2 2ax a 2 b 2 0
5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z
w
2
Hướng dẫn: z a bi là một căn bậc hai của w z 2 w z 2 w z w z
VD: 3 4i 2 i tức z 2 i là một căn bậc hai của w 3 4i thì z
2
6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:
a) z 2 z 1
b) z 2 2 z 5 0
Hướng dẫn:
w
w
c) z 2 (1 3i ) z 2(1 i ) 0
2
1 1 5
1
5
1
5
a) z 2 2.z. z z
2 4 4
2
4
2 2
b) z 2 2 z 5 0 z 1 4 z 1 2i z 1 2i z 1 2i
2
2
2
c) 1 3i 8 1 i 2i 1 i Phương trình có hai nghiệm phức là z1 2i; z2 1 i .
7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với
hệ số phức không? Vì sao?
b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
c) Có phải mọi phương trình bậc hai z 2 Bz C 0 (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai
số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng
không?
Hướng dẫn:
B
a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là z1,2
2 B 2 4 AC nên
2A
B
C
z1 z2 ; z1 z2 .
A
A
b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình z 2 4 i z 5 1 i 0
2
2
Có 5 12i 2 3i nên hai số cần tìm là z1 3 i; z2 1 2i .
2
c) Phương trình z 2 Bz C 0 có hai nghiệm là z a bi; z a bi thì B z z 2a là số
thực và C z.z a 2 b 2 là số thực. Điều ngược lại không đúng.
8) a) Giải phương trình sau: z 2 i z 2 2iz 1 0
b) Tìm số phức B để phương trình z 2 Bz 3i 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
Hướng dẫn:
2
2
2
2
2
a) z 2 i z i 0 có 3 nghiệm là
i;
i; i .
2
2
2
2
b) Ta có z1 z2 B; z1.z2 3i nên
z12 z22 8 z1 z2 2 z1 z2 8 B 2 6i 8 B 2 3 i B 3 i
2
2
1
k trong các trường hợp sau:
z
c) k = 2i.
a) k = 1;
b) k = 2 ;
1
k
Hướng dẫn: z k z 2 kz 1 0 có 2 nghiệm z1,2
2 k 2 4
z
2
1
3
2
2
a) k = 1 thì z1,2
b) k = 2 thì z1,2
c) k 2i z1,2 1 2 i
i
i
2 2
2
2
10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau:
a) z 3 1 0 ;
b) z 4 1 0 ;
c) z 4 4 0 ;
d) 8 z 4 8 z 3 z 1
Hướng dẫn:
9) Tìm nghiệm của phương trình z
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 8
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
a) z 3 1 0 z 1 z 2 z 1 0 z 1, z
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
1
3
1
3
i, z
i.
2 2
2 2
b) z 4 1 0 z 4 1 z 2 1 z 1, z i
c) z 4 4 0 z 4 4 z 2 2i z 1 i , z 1 i
1
1
3
d) z 1 8 z 3 1 0 z 1 2 z 1 4 z 2 2 z 1 0 z 1, z , z
i
2
4 4
11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình z 2 bz c 0 nhận z 1 i làm nghiệm.
b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình z 3 az 2 bz c 0 nhận z 1 i và z = 2 làm nghiệm.
Hướng dẫn:
2
a) 1 i b 1 i c 0 b c 2 b i 0 b c 0 vaø 2 b 0 b 2, c 2
b) Lần lượt thay z 1 i và z = 2 vào phương trình, ta được
b c 2
a 4
b c 2 (2 2a b)i 0
b 6
2a b 2
8 4a 2b c 0
4a 2b c 8 c 4
5. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC(tham khảo)
I> Số phức dưới dạng lượng giác:
1) Acgumen của số phức z 0:
Cho số phức z = a + b i 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian)
của góc (Ox, OM ) được gọi là một acgumen của z.
Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2 tức là có dạng + k2 (k )
(z và nz sai khác nhau k2 với n là một số thực khác 0).
1
VD: Biết z 0 có một acgumen là . Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; z ; – z ; .
z
z biểu diễn bởi OM thì –z biểu diễn bởi – OM nên có acgumen là + (2k + 1)
z biểu diễn bởi M đối xứng M qua Ox nên có acgumen là – + k2
– z biểu diễn bởi – OM ' nên có acgumen là – + (2k + 1)
z
1
1
là một số thực nên z 1 có cùng acgumen với z là – + k2.
= z 1 2 , vì
2
|z|
|z|
z
2) Dạng lượng giác của số phức z = a + b i :
Dạng lượng giác của số phức z 0 là z = r (cos + i sin ) với là một acgumen của z.
a
b
z = a + bi z = r cosφ + isinφ Vôùi r = a 2 + b 2 ; cosφ = ; sinφ =
r
r
VD:
Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng nên có dạng lượng giác là z = cos + i sin
1
3
Số 1 + 3 i có môđun bằng 2 và một acgumen bằng thoả cos = và sin =
. Lấy =
2
2
thì 1 + 3 i = 2(cos + i sin )
3
3
3
Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos + i sin )
Chú ý:
Số – cos – i sin có dạng lượng giác là cos( + ) + i sin( + )
Số cos – i sin có dạng lượng giác là cos(– ) + i sin(– )
Số – cos + i sin có dạng lượng giác là cos( – ) + i sin( – )
II> Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho z = r (cos + i sin ) và z = r (cos ’ + i sin ’) với r , r 0
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 9
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
z r
= [cos(φ - φ')+ isin(φ - φ')] ( r 0)
z' r'
1
1 1
Ta có
và z có cùng acgumen là – ’ + k2 nên
[cos( ') i sin( ')] .
z'
z' r'
z.z' = r.r'[cos(φ + φ')+ isin(φ + φ')] và
Do đó
z r
[cos( - ') i sin( - ')] ( r ’ 0)
z' r'
3
3
5
z1
5
VD: z1 2 cos
i sin
i cos
và z2 2 sin
. Tính z1.z2 và
4
4
12
12
z2
5
5
3 1
Với z2 2 cos i sin ; z1.z2 = 2 2 cos
i sin
i 6 2.i
2 2
12
12
6
6
2
2
1
z
2
2
2
3
2
6
và 1 =
i sin
i
i
cos
2
z2
3
3
2
2
2
2 2
III> Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng:
1) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cos + i sin )
r(cosφ + isinφ) = r n (cosnφ + isinnφ) (n
n
*
)
2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`
Mọi số phức z = r (cos + i sin ) ( r > 0) có 2 căn bậc hai là
φ
φ
φ
φ
r cos + isin và 2 r cos i sin 2 r cos + π + isin + π
2
2
2
2
2
2
100
VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính: 1 i và căn bậc hai của w = 1 + 3.i
1
1
2
i 2 cos i sin .
4
4
2
2
Ta có 1 + i =
100
Do đó 1 i = 2 cos i sin 250 cos 25 i sin 25
4
4
w = 1 + 3.i = 2 cos i sin có 2 căn bậc hai là 2 cos i sin và
3
3
6
6
7
7
i sin
2 cos
.
6
6
19
1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn 1 i và công thức Moavrơ để tính
100
ð190 ð192 ð194 ... ð1916 ð1918 .
Hướng dẫn: 1 i 2 cos i sin
4
4
Ta có 1 i
19
n 19
ð i
k 0
k k
n
ð190 i 0 ð191 i1 ð192 i 2 ... ð1918i18 ð1919i19 với phần thực là
ð ð ð ... ð1916 ð1918
0
19
2
19
1 i
19
4
19
19
2
2
9
9
9
i
2 2 i có phần thực 2 512
2
2
2
= –512.
19
19
19
2 cos
i sin
4
4
Vậy ð190 ð192 ð194 ... ð1916 ð1918
2004
i
2) Tính:
1 i
Hướng dẫn:
Gv: Nguyễn Văn Loan –
5 3 3i
;
1 2 3i
21
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 10
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
i
1 i
2004
1 i
2
21
www.VNMATH.com
2004
2
cos i sin
4
4
2
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
2004
1
1002
2
cos i sin
1
1002
2
21
21
5 3 3i
2
2
21
21
i sin
1 3i 2 cos
2 cos14 i sin14 2
3
3
1 2 3i
1
3) Cho số phức w 1 3i . Tìm các số nguyên dương n để wn là số thực. Hỏi có số nguyên
2
m
dương m để w là số ảo?
1
4
4
4n
4n
Hướng dẫn: w 1 3i cos
i sin
wn cos
i sin
2
3
3
3
3
4n
W là số thực khi sin
0 , điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.
3
Không có m nào để w m là số ảo.
6.CÁC DẠNG BAI TẬP CƠ BẢN
1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
2
1
1 i
10
1 i 2 3i 2 3i
i
1 i
2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
a.
2i
1 3i
z
;
1 i
2i
b. 2 i z 3 i . iz
1
0;
2i
2
d. z 2 z 0 ;
c. z 2 | z | 0;
3.Tính :
a.1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…….+(1+i)20
b. 1+i+i2+i3++……+i2011
4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện
sau:
b. | z z 1 i | 2;
a. | z z 3 | 4;
c. 2 z i z là số ảo tùy ý;
d. 2 | z i || z z 2i |;
5. Các vectơ u ,u ' trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
a. Chứng minh rằng tích vô hướng u . u '
1
z.z ' z.z ' ;
2
b. Chứng minh rằng u ,u ' vuông góc khi và chỉ khi | z z '|| z z '| .
6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
z
k,
z i
(k là số thực dương cho trước).
7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
z 1
1 và
z i
z 3i
1.
zi
8. Tìm số phức z thỏa mãn
4
z i
1
z i
9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức:
1 i tan
1 i tan
10. Giải các phương trình sau trên C :
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 11
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
1
z2
z 1 0 bằng cách đặt ẩn số phụ w z ;
z
2
a. z 4 z 3
b. z 2 3z 6 2 z z 2 3z 6 3z 2 0
2
c. (z2+1)2+(z+3)2=0a. z i z 2 1z 3 i 0
d. z 2 z 4z 2 z 12 0.
2
11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1 , z 2 sau :
z1 z 2 4 i
a/
z1 z 2 5 5i
b/
z z 5 2i
2
1
2
2
z1 z 2 5 2i
2
2
12. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :
cos i sin
;
a.-1-i 3 ; b.
4
sin
c.
4
i cos ;
8
8
d.
1 sin i cos
0 ;
2
13.
Cho PT : z2+ kz+1=0 (-20.
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: Ank
n k !
n!
3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: C nk
,
n≥k≥0.
k!n k !
4. Quy ước n!=0!=1.
5. Nhị thức Newton
a b n C n0 a n C n1 a n1b C n2 a n2 b 2 C nn2 a 2 b n2 C nn1ab n1 C nn b n .
a b
n
Cn0 a n Cn1 a n 1b Cn2 a n 2b 2 (1) n 2 Cnn 2 a 2b n 2 (1) n 1 Cnn 1ab n 1 (1) n Cnnb n
6. Hoán vị P n ! Ann
7. Cnk Cnn k , n k 0, n,k N
8. Cnk1 Cnk Cnk 1
n k 1 k 1
9. Cnk
Cn
k
10. Cnk Cnk11 Cnk21 Cnk31 ...... Ckk11 (k0). ĐS: 6528
x
2. (ĐH_Khối D 2004)
7
1
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 3 x 4 với x>0. ĐS: 35
x
3. (ĐH_Khối A 2003)
n
1
Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 3 x 5 , biết rằng
x
n 1
n
k
C n 4 C n 3 7n 3 , (n nguyên dương, x>0, ( C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 495
4. (ĐH_Khối D 2005)
An41 3 An3
Tính giá trị biểu thức M
, biết rằng C n21 2C n2 2 2C n23 C n2 4 149 (n là số nguyên
n 1!
k
dương, An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử)
3
ĐS: M
4
5. (ĐH_Khối A 2006)
8
n
1
Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 4 x 7 , biết rằng
x
n
1
2
20
k
C 2 n 1 C 2 n 1 C 2 n 1 2 1 , (n nguyên dương và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 210
6. (ĐH_Khối D 2008)
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C 21n C 23n C 22nn 1 2048 . ( C nk là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: n=6
7. (ĐH_Khối D 2007)
ĐS: 3320
Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10.
8. (ĐH_Khối D 2003)
Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n.
ĐS: n=5
Tìm n để a3n3=26n.
9. (ĐH_Khối D 2002)
26
ĐS: n=5
Tìm số nguyên dương n sao cho Cn0 2C1n 4Cn2 2n Cnn 243 .
10. (ĐH_Khối B 2008)
1
1
n 1 1
k k 1 k (n, k là các số nguyên dương, k≤n, C nk là số tổ hợp chập k
Chứng minh rằng
n 2 C n 1 C n 1 C n
của n phần tử).
11. (ĐH_Khối B 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết:
3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, C nk là số tổ hợp chập k của
n phần tử).
ĐS: 22
12. (ĐH_Khối B 2003)
2 2 1 1 23 1 2
2 n 1 1 n
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng C n0
Cn
Cn
C n , ( C nk là số tổ hợp
2
3
n 1
n 1
n 1
3 2
chập k của n phần tử).
ĐS:
n 1
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 19
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
13. (ĐH_Khối A 2008)
Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức
a
a
a 0 1 nn 4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an.
ĐS: a8=126720
2
2
14. (ĐH_Khối A 2007)
Chứng minh rằng
1 1
1
1
1 2n 1 22n 1
C2n C23n C25n
C2n
, ( C nk là số tổ hợp chập k của n
2
4
6
2n
2n 1
phần tử).
15. (ĐH_Khối A 2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho C 21n 1 2.2C 22n 1 3.2 2 C 23n 1 4.2 3 C 24n 1 2n 1.2 2 n C 22nn11 2005 ,
ĐS: n=1002
( C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
16. (ĐH_Khối A 2004)
Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8.
17. (ĐH_Khối A 2002)
Cho khai triển nhị thức
n
n
x
x21
x 1
x 1
2 2 3 C n0 2 2 C n1 2 2
n 1
ĐS: 238
3x
x 1 x
2 C nn 1 2 2 2 3
n 1
x
C 2 3
n
n
n
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó C n3 5C n1 và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.
ĐS: n=7, x=4
18. Cho số phức z=1+i.
a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n.
b. Tính các tổng S1=1Cn2+Cn4Cn6+…
S2=Cn1Cn3+Cn5…
19. Chứng minh rằng C1000–C1002+C1004–C1006+ … –C10098+C100100= –250.
o0o
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
20 
310 
107 
