DIỄN ĐÀN DẠY TOÁN - HỌC TOÁN
Toán Đại học - Toán THPT - Toán THCS - Toán Tiểu học
VIETMATHS.NET
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG
Huỳnh Đức Khánh
Click G+1 hoặc Like để đăng ký theo dõi thông tin mới nhất!
CHỦ ĐỀ
3.
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG
Bài 01
NGUYÊN HÀM
f x
hàm số f x nếu
xác định trên khoảng
F ' x f x
F x
Nhận xét. Nếu
với mọi
Ký hiệu:
f x dx F x C .
2. Tính chất
f x dx
/
x K
K
. Hàm số
f x .
được gọi là nguyên hàm của
.
là một nguyên hàm của f x thì
của f x .
F x
THS
.NET
1. Định nghĩa
Cho hàm số
F x C , C
cũng là nguyên hàm
a. f x dx a. f x dx a , a 0 .
f x g x dx f x dx g x dx .
TMA
3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Bảng nguyên hàm
kdx kx C , k là hằng số
x 1
C 1
1
x dx
1
dx ln x C
x
e
x
dx e x C
a x dx
ax
C
ln a
1
1 ax b
ax b dx a . 1
1
C
1
ax b dx a ln ax b C
e
ax b
dx
1 ax b
e
C
a
a mx n dx
a mx n
C
m. ln a
cos ax b dx a sin ax b C
sin xdx cos x C
sin ax b dx a cos ax b C
VIE
cos xdx sin x C
1
cos
2
x
1
sin
2
x
1
1
dx tan x C
cos
dx cot x C
sin
1
2
ax b
2
ax b
1
dx
1
tan ax b C
a
1
dx cot ax b C
a
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Hàm số f x có nguyên hàm trên
A.
f x
xác định trên
C.
f x
có giá trị nhỏ nhất trên
K
K
nếu:
B. f x có giá trị lớn nhất trên
.
K
K
.
D. f x liên tục trên
.
Lời giải. Nếu hàm số f x liên tục trên
K
thì nó có nguyên hàm trên
K
K
.
.
THS
.NET
Chọn D.
Câu 2. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Nếu F x là một nguyên hàm bất kỳ của f x trên a; b thì
f x dx F x C
với
C
là hằng số.
B. Mọi hàm số liên tục trên khoảng a; b đều có nguyên hàm trên khoảng a; b .
C.
F x
là một nguyên hàm của f x trên a; b
D. f x dx
/
f x .
Lời giải. Chọn C. Sửa lại cho đúng là:
'' F x là một nguyên hàm của f x trên a; b
f / x F x , x a; b .
F / x f x , x a; b ''.
Câu 3. Xét hai khẳng định sau:
1) Mọi hàm số f x liên tục trên đoạn a; b đều có đạo hàm trên đoạn đó.
2) Mọi hàm số
f x
liên tục trên đoạn a; b đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
`B. Chỉ có 2) đúng. C. Cả hai đều đúng.
TMA
Trong hai khẳng định trên:
A. Chỉ có 1) đúng.
đều sai.
Lời giải. Hàm số có đạo hàm tại
chưa chắc đã có đạo hàm tại
x0
thì liên tục tại
x0 .
Ngược lại hàm số liên tục tại
Chẳng hạn xét hàm số f x
x0 .
x
tại điểm
Câu 4. Trong các khẳng định sau nói về nguyên hàm của một hàm số
khoảng D , khẳng định nào là sai?
1) F x là nguyên hàm của f x trên
D
nếu và chỉ nếu
x 0.
f x
x0
thì
Chọn B.
xác định trên
F ' x f x , x D.
thì f x có nguyên hàm trên
D.
VIE
2) Nếu f x liên tục trên
D
D. Cả hai
3) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.
A. Khẳng định 1) sai.
B. Khẳng định 2) sai.
C. Khẳng định 3) sai.
D. Không có khẳng định nào sai.
Lời giải. Chọn D.
Câu 5. Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng a; b . Giả sử G x cũng là
một nguyên hàm của f x trên khoảng a; b . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
F x G x
trên khoảng a; b .
B. G x F x C trên khoảng a; b , với
C.
số.
F x G x C
với mọi
x
C
là hằng số.
thuộc giao của hai miền xác định
F x
và
G x , C
là hằng
D. Cả ba câu trên đều sai.
Lời giải. Vì hai nguyên hàm trên
đó B đúng. Chọn B.
D
của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số. Do
Câu 6. Xét hai khẳng định sau:
1) f x g x dx f x dx g x dx F x G x C , trong đó
F x
và
G x
tương
ứng là nguyên hàm của f x , g x .
a. f x a 0
là tích của
a
với một nguyên hàm của f x .
THS
.NET
2) Mỗi nguyên hàm
Trong hai khẳng định trên:
A. Chỉ có 1) đúng.
B. Chỉ có 2) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.
Lời giải. Chọn C.
Câu 7. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu f x dx F x C thì f u du F u C .
B. kf x dx k f x dx ( k là hằng số và
C. Nếu
F x
k 0 ).
và G x đều là nguyên hàm của hàm số f x thì
D. f 1 x f 2 x dx f 1 x dx
F x G x .
f 2 x dx .
Lời giải. Các nguyên hàm sai khác nhau hằng số nên C là đáp án sai. Chọn C.
Câu 8. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. 0dx C ( C là hằng số).
1
dx ln x C
x
TMA
1
B.
C. x dx x C ( C là hằng số).
1
( C là hằng số).
D. dx x C ( C là hằng số).
Lời giải. Chọn C. Vì kết quả này không đúng với trường hợp
Câu 9. Hàm số
f x
A. 0; .
B.
có nguyên hàm trên khoảng nào với các khoảng đã cho sau đây?
; .
2 2
f x
1
cos x
C. ;2 .
khoảng này. Chọn B.
Câu 10. Kí hiệu F y là một nguyên hàm của hàm số
;
2 2
D.
xác định và liên tục trên
VIE
Lời giải. Hàm số
1
cos x
1 .
;
2 2
f y ,
biết
.
nên có nguyên hàm trên
F y x 2 xy C
. Hỏi hàm
số f y là hàm số nào trong các hàm số sau?
A. f y x .
B. f y 3 x y .
C. f y y .
Lời giải. Để tìm f y ta đi lấy đạo hàm của
F y
D. f y 2 x y .
theo biến
y
(tức là bây giờ
x
đóng vai trò
là tham số).
Ta có F ' y x . Chọn A.
Câu 11. Kí hiệu
F x
là một nguyên hàm của hàm số f x và
là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
A. f sin 2 x .
B. f cos2 x .
C. 2 sin xf sin 2 x . D.
F sin 2 x
xác định thì
sin 2 xf sin 2 x .
F sin 2 x
Lời giải. Theo định nghĩa, ta có f x dx F x C F x f x .
Áp dụng:
F sin 2 x sin 2 x / F / sin 2 x sin 2 x . f sin 2 x .
Chọn D.
Câu 12. Xác định f x dx biết f x 2 x 1.
A. 2 x 1 dx 2.
B. 2 x 1 dx C .
C. 2 x 1 dx x 2 x .
D. 2 x 1 dx x 2 x C .
x 3
5
A.
F x
C.
F x
x 3
5
B.
F x
2017 .
D.
F x
5
5
x 3
.
x
5
THS
.NET
Lời giải. Chọn D.
Câu 13. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f x x 34 ?
.
5
x 3
5
Lời giải. Xét đáp án A, ta có
F ' x x 3 1 f x .
4
Cách trắc nghiệm. Ta thấy hàm số
F x
1 .
5
Chọn A.
ở các đáp án B, C, D sai khác nhau hằng số nên
dung phương pháp loại suy, ta chọn được được đáp án A.
Câu 14. Kí hiệu
F x
là một nguyên hàm của hàm số
định nào sau đây là đúng?
F x
C.
F x 4 x x 2 1.
Lời giải. Ta có x 2 1
2
Theo giả thiết
F 1
F x
Đồ thị
Vậy
y F x
x5 2x3
x C.
5
3
D.
F x
x 5 2x3
x 1.
5
3
biết
và
F 1
F ' x 3x 2 2 x 1
Chọn A.
và đồ thị hàm số
B.
F x cos 2 x e 1.
D.
F x x 3 x 2 x e.
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
y F x
cắt trục tung tại
e
nên ta có
F 0 e C e.
Chọn D.
Câu 16. Kí hiệu
F x
và đồ thị hàm số
y f x
là một nguyên hàm của hàm số
f x 4 x 1 .
Đồ thị hàm số
B.
y F x
cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung. Tọa độ các điểm chung của
hai đồ thị hàm số trên là:
Lời giải. Ta có
Khẳng
F x 3x 2 2 x 1 dx x 3 x 2 x C .
F x x 3 x 2 x e.
A. 0; 1 .
28
15
x 5 2x 3
x C.
5
3
VIE
F x x 3 x 2 x 1.
Lời giải. Ta có
F x
dx x 4 2 x 2 1 dx
điểm có tung độ bằng e .
A. F x x 2 x e.
C.
B.
28
1 2
28
1 C
C 0 .
15
5 3
15
Câu 15. Tìm hàm số
2
TMA
x 5 2x 3
x.
5
3
A.
f x x 2 1
5
; 9 .
2
C. 0; 1 và
F x 4 x 1 dx 2 x 2 x C
.
5
; 9 .
2
D. 0;1 và
5
;8 .
2
Giả sử
M 0; m Oy
F x
là giao điểm của đồ thị hai hàm số
Ta có hệ phương trình
và f x .
M f x 4.0 1 m
m 1
2
F x 2 x 2 x 1 .
M F x 2.0 0 C m C 1
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
F x
và
f x
là nghiệm của phương trình:
x 0 y 1
2 x 2 x 1 4 x 1 x 2 x 5 0
.
x 5 y 9
2
Chọn C.
F x ax 3 a b x 2 2a b c x 1
Câu 17. Biết rằng
f x 3x 2 6 x 2.
5
; 9 .
2
THS
.NET
Vậy tọa độ các điểm cần tìm là 0; 1 và
Tính tổng
S a b c.
A. S 5.
B. S 4.
C. S 3.
2
3
Lời giải. Ta có 3x 6 x 2 dx x 3x 2 2 x C .
Suy ra
F x x 3 3x 2 2 x 1 .
Đồng nhất ta được
a 1
a 1
b 2
a b c 5 .
a b 3
2a b c 2 c 2
và
F 2 1.
F 3.
F 3 ln 2 1. B. F 3 ln 2 1.
Lời giải. Ta có
Theo giả thiết
Suy ra
Tính
C.
Chọn A.
F x
1
F 3
2
là một nguyên hàm của hàm số
D.
TMA
A.
1
x 1
S 2.
D.
Câu 18. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Biết
f x
là một nguyên hàm của
F 3
7
4
dx
ln x 1 C .
x 1
F 2 1
ln 2 1 C 1 C 1.
F x ln x 1 1
F 3 ln 2 1.
Câu 19. Cho hàm số
A. f 5 ln 2.
y f x
có đạo hàm
B. f 5 ln 3.
f ' x dx
f ' x
1
2 x 1
và f 1 1 . Tính f 5 .
C. f 5 ln 2 1.
D. f 5 ln 3 1.
dx
1
ln 2 x 1 C .
2 x 1 2
VIE
Lời giải. Ta có f x
Chọn B.
1
Theo giả thiết f 1 1
ln 2.11 C 1 C 1 .
2
1
1
Suy ra f x 1 ln 2 x 1 1
f 5 ln 2.5 1 1 ln 9 1 ln 3 1. Chọn D.
2
2
Câu 20. Tìm hàm số f x thỏa mãn đồng thời
2
f x
2x 3
x 1
và f 0 1.
A.
f x x 2 ln x 1 .
B.
f x 2 x ln 2 x 1 1.
C.
f x 2 x ln x 1 1.
D.
f x x ln x 1 1.
Lời giải. Ta có
2x 3
1
dx 2
dx 2 x ln x 1 C .
x 1
x 1
Theo giả thiết f 0 1
2.0 ln 0 1 C 1 C 1.
Suy ra f x 2 x ln
x 1 1.
Chọn C.
x 1
2
F x
Câu 21. Gọi
là một nguyên hàm của hàm số f x
x 2
và thỏa mãn
1
F 1
2
Tính
F 2 .
A.
F 2 2 ln 2.
B.
F 2 2 1 ln 2 .
C.
F 2 2 1 ln 2.
D.
F 2 4.
x 2
x 2 2 x 1 x x 2 1
1
x
x 2
x 2
x 2
x 1
2
1
x2
dx x
d
x
ln x 2 C.
x 2
x 2
2
1
1
1
ln 1 2 C C 0.
2
2
2
2
Theo giả thiết
Suy ra
THS
.NET
x 1
2
Lời giải. Ta có
F 1
x2
ln x 2
F 2 2 ln 4 2 1 ln 2.
2
F x
Chọn C.
x 1
3
Câu 22. Hàm số nào sau đây là nguyên một hàm của hàm số f x
A.
F x
x 2 3x 3
1
ln x
4
2
2
2x
C.
F x
x 2 3x
1
1
2 3
4
2 x
2x
x 1
2x 2
?
4
.
B.
F x
D.
F x
.
4x 3
3 x 1
2
.
3
Lời giải. Ta có
3 x 1
2x 2
dx
4x
.
x 3 3x 2 3 x 1
dx
2x 2
Chọn
C 0
F x
Câu 23. Biết
F x
5 F 1 F 2 43 .
Tính
151
.
4
B.
F 2
Lời giải. Ta có
Theo giả thiết
Suy ra
x 2 3x 3
1
ln x .
4
2 2
2x
Chọn A.
f x 4x 3
là nguyên hàm của hàm số
F 2 .
F 2 23.
C.
F 2
45
.
2
D.
F 2
1
3x
x2
86
.
7
1
1 3
F x 4 x 3 2 3x dx x 4 x 2 C .
x
x 2
VIE
A.
TMA
x 3 3
1
x 2 3x 3
1
2 dx ln x
C.
2 2 2 x 2 x
4
2 2
2x
7
45
1
5F 1 F 2 43
5 C C 43 C .
2
2
2
F x x 4
1 3 2 1
1 3
1
x
F 2 2 4 .22 23.
x 2
2
2 2
2
Chọn B.
Câu 24. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f x
A.
F x ln x ln x 1 .
B.
F x ln x ln x 1 .
C.
F x ln x ln x 1 .
D.
F x ln x ln x 1 .
Lời giải. Ta có
1
1
1
1
x2 x
x x 1
x x 1
1
x2 x
và thỏa mãn
1
1
1
2
dx
dx ln x ln x 1 C .
x x
x x 1
F x
Câu 25. Gọi
là một nguyên hàm của hàm số
1
x 3x 2
f x
2
và thỏa mãn
3
F 0.
2
F 3.
A.
F 3 ln 2.
Lời giải. Ta có
F 3 2 ln 2.
B.
C.
F 3 2 ln 2.
F 3 ln 2.
D.
1
1
1
1
x 2 3 x 2 x 1 x 2
x 1 x 2
THS
.NET
Tính
Chọn C.
1
1
1
2
dx
dx ln x 1 ln x 2 C .
x 3 x 2
x 1 x 2
Theo giả thiết
Suy ra
3
3
3
F 0
ln 1 ln 2 C 0 C 0.
2
2
2
F x ln x 1 ln x 2
F 3 ln 2.
Chọn D.
Câu 26. Xác định f x dx biết f x 2 x 3
x 3x 2
A. f x dx 2 ln x 2 ln x 1 C . B. f x dx 2 ln x 1 ln x 2 C .
C. f x dx 2 ln x 1 ln x 2 C . D. f x dx ln x 1 2 ln x 2 C .
Lời giải. Ta có
2
x 3
1
dx
dx 2 ln x 1 ln x 2 C .
x 1 x 2
x 3x 2
2
Câu 27. Cho hàm số
f x
có đạo hàm
phương trình f x 1 có nghiệm duy nhất
A.
T 2017.
2
f x
2 x 1
2
TMA
x 3
x 3
2
1
x 2 3x 2 x 1 x 2 x 1 x 2
B. T 1.
C.
x x0 .
Tính
T 2017.
Chọn B.
1
và thỏa
x 1
2
1
f 2
3
Biết
T 2017 x0 .
D. T 20173.
2
1
1
1
f ' x dx
dx
C.
2
2
x 1 2 x 1
2 x 1 x 1
Lời giải. Ta có
1 1
1
Theo giả thiết f 2 1
C C 1.
3
3
x
1 .
x
1
2 x 1
Suy ra f x 1
x
1 1 x 0 x 0
T 2017 0 1.
x 12 x 1
Câu 28. Tìm một nguyên hàm
g x dx
A.
x2
C
4
F x
3
VIE
Suy ra f x
1
và
F x
Chọn B.
của hàm số
f x . g x ,
x3
5.
4
F x
biết f x dx x C ,
F 2 5 .
x2
x2
4. B. F x
5.
4
4
C.
F x
D.
2
x
f x 1 và g x dx
Lời giải. Ta có f x dx x C
4
Khi đó f x . g x dx
1
1
xdx x 2 C .
2
4
x3
3.
4
C
g x
1
x.
2
1
F 2 5
.22 C 5 C 4.
4
F x
x2
4.
4
Câu 29. Cho
I 2
Suy ra
A.
I 2
x
C
Lời giải. Ta có
Chọn A.
x
ln 2
x
I 2
. B.
2
x
dx .
C
Mệnh đề nào sau đây là sai?
x 1
C
.
I 2 2
C.
2 x .2
/
x
/
/
x
ln 2
x
1 C .
1
2 x
.2
x
D.
ln 2 2
I 2 2
x
ln 2
x
.
x
1 C .
Chọn A.
THS
.NET
Theo giả thiết
Cách trắc nghiệm. Ta thấy các đáp án B, C, D sai khác nhau nên hằng số nên dễ dàng nhận
ra đáp án A là không thỏa mãn.
Câu 30. Tìm giá trị của các tham số
a, b, c
một nguyên hàm của hàm số f x 20 x
2
để hàm số
30 x 7
2x 3
F x ax 2 bx c 2 x 3
a 4, b 2, c 1 .
B.
a 4, b 2, c 1 .
C.
a 4, b 2, c 1 .
D.
a 4, b 2, c 1 .
Ta có
F 'x f x .
F ' x 2ax b 2 x 3
Để * xảy ra
5a 20
a 4
3b 6a 30 b 2 .
c 3b 7
c 1
3
2
là
*
ax 2 bx c
2x 3
x
.
A.
Lời giải. Theo bài ra ta có
với
5ax 2 3b 6a x 3b c
2x 3
.
Chọn C.
A. f x
x ln x C
C. f x
.
1
ln x C .
x2
TMA
Câu 31. Nếu f x dx 1 ln x C thì f x là hàm số nào trong các hàm số sau?
x
B. f x
x
1
C
x
.
D. f x x 2 1 .
x
Lời giải. Theo định nghĩa f x dx F x
F x f x .
/
x
1
1 x 1
2 2 .
x
x
x
/
Câu 32. Cho
F x
VIE
Do đó hàm số cần tìm f x 1 ln x C
là một nguyên hàm của hàm số
f x e 3x
nào sau đây là đúng?
A.
1
F x e 3 x 1.
3
B.
1
F x e 3 x .
3
C.
1
2
F x e 3x
3
3
D.
1
4
F x e 3x
3
3
Lời giải. Ta có e 3 x dx 1 e 3 x C .
3
Theo giả thiết
Suy ra
1
2
F 0 1
C 1 C .
3
3
1
2
F x e 3x
3
3
Chọn C.
Chọn D.
và thỏa mãn
F 0 1.
Mệnh đề
F x
Câu 33. Biết
f x e 3 x 1
là một nguyên hàm của hàm số
và thỏa
e
F 0
3
Tính
ln 3 3 F 1 .
A.
ln 3 3 F 1 64.
B.
ln 3 3 F 1 8.
C.
ln 3 3 F 1 81.
D.
ln 3 3 F 1 27.
Lời giải. Ta có e 3 x 1dx 1 e 3 x 1 C . .
3
Suy ra
e
e
e
C C 0.
3
3
3
THS
.NET
F 0
Theo giả thiết
1
1
F x e 3 x 1
ln 3 3 F 1 ln 3 3. e 4 64.
3
3
Chọn A.
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f x e x .e x 1 .
A. e x .e x 1dx e x .e x 1 C .
B. e x .e x 1dx 1 e 2 x 1 C .
2
C. e x .e x 1dx 2e 2 x 1 C .
D. e x .e x 1dx e x 1 e x C .
Lời giải. Ta có e x .e x 1dx e 2 x 1dx 1 e 2 x 1 C . Chọn B.
2
1
C.
4 .ln 4
A.
F x
C.
F x 4 x .ln 4 C .
x
của hàm f x 2 2 x .
4x
C.
ln 4
B.
F x
D.
F x 4 x C.
TMA
F x
Câu 35. Tìm nguyên hàm
x
Lời giải. Ta có 22 x dx 4 x dx 4 C . Chọn B.
ln 4
Câu 36. Hàm số
F x e x 2018
3
đây?
là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau
3
f x e
.
Lời giải. Hàm số
B. f x 3 x
F x
2
đây?
A. f x x
4
3
.
C.
F x
3
F x
.
x3
ex
3
x .e
/
2018 e x
D. f x x 3 .e x 1 .
3
3
/
3 /
x3
3
3x 2 .e x .
Chọn B.
là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau
B. f x 3x 2 e x .
ex .
Lời giải. Hàm số
ex
f x 2
3x
là một nguyên hàm của hàm số f x F ' x f x .
Suy ra hàm số cần tìm f x e x
Câu 37. Hàm số
.e
x3
VIE
A.
x3
C. f x x
4
12
ex .
D. f x x 2 e x .
là một nguyên hàm của hàm số f x F ' x f x .
e x x 2 e x .
3
Suy ra hàm số cần tìm f x x
3
/
Chọn D.
Câu 38. Biết
Tính
F x
là một nguyên hàm của hàm số f x 2 e 3x thỏa
2
3
F 0
2
1
F
3
A.
1 e 2 8e 8
F
3
6
B.
1 e 2 6e 6
F
3
8
C.
1 e 2 6e 6
F
3
8
D.
1 e 2 8e 8
F
3
6
Lời giải. Ta có 2 e 3 x dx 4 4e 3x e 6 x dx 1 e 6 x 4 e 3 x 4 x C . .
6
3
Theo giả thiết
F x
Suy ra
F 0
THS
.NET
2
3
1 4
3
C C 0.
2
6 3
2
1 1
1 6x 4 3x
4
4 e 2 8e 8
e e 4 x
F e 2 e
.
3 6
6
3
3
3
6
Câu 39. Tìm một nguyên hàm
F x
Chọn A.
của hàm số f x e x 2e x 1 , biết
A.
F x 2 x e x .
B.
F x 2 x e x 2.
C.
F x 2 e x .
D.
F x 2 x e x 1.
F 0 1.
Lời giải. Ta có e x 2e x 1dx 2 e x dx 2 x e x C .
Theo giả thiết
F 0 1
1 C 1 C 2.
F x 2 x e x 2.
Suy ra
Chọn B.
F x ax 2 bx c e x
Câu 40. Giả sử
là một nguyên hàm của hàm số
P abc.
Ta có
Vì
P 4 .
C.
/
là một nguyên hàm của f x nên ta có
P 3 .
D.
F / x f x , x .
ax 2 2 a b x b c .e x x 2 .e x ax 2 2a b x b c x 2 .
VIE
g x x 1 x e x .
A. S 2 .
Lời giải. Ta có
f x
a 1
a 1
2
a
b
0
P abc 4 .
b 2
b c 0
c 2
f x ax 2 bx c .e x
Câu 41. Giả sử hàm số
Do đó
.
/
Đồng nhất hệ số hai vế, ta được
Vì
P 5
Tính tích
F / x ax 2 bx c .e x ax 2 bx c .e x ax 2 2a b x b c e x .
F x
Do đó
B.
TMA
A. P 1 .
Lời giải.
f x x 2e x .
Tính tổng
S abc
B. S 4 .
f x 2ax b e
/
là một nguyên hàm của hàm số
.
C.
x
Chọn B.
S 1
.
ax bx c e
2
là một nguyên hàm của g x nên ta có
D.
x
S 3.
ax 2a b x b c e x .
2
f / x g x , x .
ax 2 2a b x b c e x x 1 x e x ax 2 2a b x b c x 2 x .
Đồng nhất hệ số hai vế, ta được
a 1
2a b 1 a b c 1 S a b c 3.
b c 0
Câu 42. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017)
Chọn D.
Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 2 x .
A. f x dx 1 sin 2 x C .
2
B. f x dx 1 sin 2 x C .
2
C. f x dx 2 sin 2 x C .
D. f x dx 2 sin 2 x C .
Lời giải. Ta có f x dx cos 2 x dx 1 sin 2 x C . Chọn A.
2
Câu 43. Biết rằng
f x sin 1 2 x
là một nguyên hàm của hàm số
và thỏa mãn
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
THS
.NET
1
F 1.
2
F x
A.
F x cos 1 2 x 1.
B.
F x cos 1 2 x .
C.
1
3
F x cos 1 2 x
2
2
D.
F x
1
1
cos 1 2 x
2
2
Lời giải. Ta có sin 1 2 x dx 1 cos 1 2 x C .
2
1
1
1
F 1
cos 0 C 1 C .
2
2
2
Theo giả thiết
Suy ra
1
1
cos 1 2 x .
2
2
F x
Chọn D.
Câu 44. Cho hàm số f x thỏa các điều kiện
A.
f 0 .
C.
f x 2x
sin 2 x
.
2
B.
f x 2x
D.
f 0.
2
và
f 2.
2
Mệnh đề nào sau
sin 2 x
.
2
TMA
đây là sai?
f x 2 cos 2 x
1
f x dx 2 cos 2 x dx 2 x sin 2 x C .
2
f 2
C 2 C .
2
Lời giải. Ta có
Theo giả thiết
Suy ra f x 2 x 1 sin 2 x . Chọn B.
2
Câu 45. Một nguyên hàm
8
khi
x
của hàm số
f x sin 2 x
A.
F x
sin 3 x
.
3
C.
F x
x sin 2 x 1
.
2
4
4
B.
F x
x sin 2 x
.
2
4
D.
F x
sin 3 x
2
.
3
12
Lời giải. Ta có f x dx sin2 x dx 1 cos 2 x dx
2
1
1
1
1 cos 2 x dx x sin 2 x C .
2
2
2
Theo giả thiết
Suy ra
F x
là kết quả nào sau đây, biết nguyên
?
4
VIE
hàm này bằng
F x
1 1
1
F
. sin C C .
4 8
2 4 4
2
8
4
x sin 2 x 1
.
2
4
4
Chọn C.
Câu 46. Tìm nguyên hàm của hàm số f x tan 2 x .
A. tan 2 x dx tan x x C .
3
C. tan 2 x dx tan
x
x
B. tan 2 x dx tan x x .
D. tan 2 x
dx
tan 3 x
C.
x
Lời giải. Dùng kỹ thuật thêm bớt, ta được tan 2 xdx 1 tan 2 x 1 dx
1 tan 2 x dx dx
1
dx dx tan x x C .
cos 2 x
đề bài yêu cầu tìm họ nguyên hàm thì ta chọn A, còn yêu cầu tìm một nguyên hàm thì
ta chọn B '' .
Ở đây yêu cầu tìm nguyên hàm, tức là phải tìm họ nguyên hàm. Chọn A.
Câu 47. Cho nguyên hàm f x dx sin 2 x cos x C . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
THS
.NET
'' Nếu
A. f x 1 3cos3 x cos x .
B. f x 1 cos3 x cos x .
1
f x 3 cos3 x cos x .
2
D. f x 1 cos3 x cos x .
2
C.
Lời giải. Ta có
2
2
1
f x dx sin 2 x cos x sin 3 x sin x .
2
Suy ra f x 1 sin 3x sin x / 1 3 cos 3x cos x . Chọn A.
2
2
Câu 48. Tìm giá trị thực của các tham số
nguyên hàm của hàm số f x e x cos x .
A.
a 1, b 0 .
B.
a 0, b 1 .
C.
a, b
để hàm số
a b 1.
D.
F x a cos x b sin x e x
ab
là một
1
.
2
Vì
F x
TMA
Lời giải.
Ta có F / x a sin x b cos x e x a cos x b sin x e x b a cos x b a sin x e x .
là một nguyên hàm của f x nên ta có
F / x f x , x .
Do đó b a cos x b a sin x e x e x cos x b a cos x b a sin x cos x .
Đồng nhất hệ số hai vế, ta được
F
4 8
A.
. Tìm
m
4
3
.
m.
là một nguyên hàm của hàm số
VIE
F x
Câu 49. Biết
b a 1
1
ab .
b a 0
2
B.
m
3
4
.
C.
m
Lời giải. Ta có f x dx 4m sin 2 x dx
3
4
.
Chọn D.
4m
sin 2 x
f x
D.
m
4
3
.
4m
dx sin 2 xdx
4m
1
4m
1
1
dx 1 cos 2 x dx
x x sin 2 x C .
2
2
2
Theo giả thiết
F 0 1
C 1
C 1
.
1 1
F
m C
m 3
4 8
2 4 2
8
4
Chọn C.
và thỏa mãn
F 0 1 ,
Câu 50. Biết
qua điểm
A.
F x
M ;0 .
6
F 0 .
3
là một nguyên hàm của hàm số
Tính
B.
Lời giải. Ta có
f x
1
sin 2 x
và đồ thị hàm số
F .
3
2 3
F
.
3
3
C.
3 1
F
.
3
3
D.
2
F .
3 3
1
dx cot x C .
sin 2 x
M ;0
6
Đồ thị
y F x
Suy ra
2 3
F x cot x 3
F
.
3
3
F 0
cot C 0 C 3.
6
6
THS
.NET
nên
Chọn B.
VIE
TMA
đi qua điểm
y F x
đi
Bài 02
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số
Nếu f x dx F x C thì
f u x .u ' x dx F u x C
f x g u x u ' x
I f x dx ,
t ux ,
trong đó ta có thể phân tích
dt u ' x dx
THS
.NET
Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm
.
thì ta thực hiện phép đổi biến số
suy ra
.
Khi đó ta được nguyên hàm: g t dt G t C G u x C .
Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo
t
thì ta phải thay
t u x .
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn a; b và có đạo hàm liên tục trên đoạn a; b . Khi
đó: udv uv vdu. *
Để tính nguyên hàm f x dx bằng từng phần ta làm như sau:
Bước 1. Chọn
u, v
Sau đó tính
sao cho f x dx udv (chú ý
v dv
và
dv v ' x dx ).
du u '.dx .
Bước 2. Thay vào công thức * và tính vdu .
Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được
vdu dễ tính hơn udv . Ta thường gặp các dạng sau
Với
● Dạng 2.
I P x e ax b dx
Với
, trong đó P x là đa thức.
u P x
dv e ax b dx
I P x ln mx n dx
Với dạng này, ta đặt
.
, trong đó P x là đa thức.
u ln mx n
.
dv P x dx
sin x x
e dx .
I
cos x
u sin x
dạng này, ta đặt cos x
dv e x dx
● Dạng 4.
là đa thức.
VIE
Với dạng này, ta đặt
● Dạng 3.
TMA
sin x
dx , trong đó P x
I P x
cos x
u P x
dạng này, ta đặt
sin x .
dv
dx
cos x
● Dạng 1.
hoặc có thể đặt ngược lại
u e x
sin x .
dv
dx
cos x
v
và tích phân
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Câu 1. Biết f u du F u C . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
B. f 2 x 1 dx 2 F x 1 C .
C. f 2 x 1 dx F 2 x 1 C .
D. f 2 x 1 dx 1 F 2 x 1 C .
2
THS
.NET
A. f 2 x 1 dx 2 F 2 x 1 C .
u 2 x 1
du 2dx
Lời giải. Đặt
Khi đó f 2 x 1 dx f u du 1 f u du 1 F u C 1 F 2 x 1 C .
2
2
2
2
Chọn D.
F x
Câu 2. Tìm hàm số
2 x 1
F x 2 x 1
2017
thỏa mãn
2018
F x
C.
F x 2017 2 x 1
2018.
2016
2018.
Lời giải. Ta có 2 x 12017 dx. Đặt
B.
F x
D.
F x 4034 2 x 1
2 x 1
2018
C.
4036
2 x 1
2018 .
4036
TMA
1
F 2018
C 2018.
2
2018
F x
2018.
u 2 x 1
du 2dx
2018
Vậy
2018.
4036
2016
Khi đó 2 x 12017 dx 1 u 2017 du 1 . u C
2
2 2018
Theo giả thiết
2 x 1
2018
A.
2018
1
F 2018.
2
và
Chọn B.
Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số f x x x 2 1
9
A. f x dx 1 x 2 1
20
10
C. f x dx 2 x 2 1
10
B. f x dx 1 x 2 1
20
C.
Đặt
dx
d x.
10
C.
C.
t x 2 1
dt 2 xdx
VIE
9
9
10
D. f x dx x 2 1
C.
Lời giải. Ta có f x dx x x 2 1
Khi đó x x 2 1
.
.
10
1
1 t 10
1
t 9 dt . C x 2 1 C .
2
2 10
20
Vậy f x dx 1 x 2 1
20
10
C.
Chọn B.
Câu 4. (ĐỀ MINH HỌA NĂM 2016 – 2017)
A. f x dx 2 2 x 1
3
C. f x dx 1
3
2 x 1 C .
2 x 1 C .
Lời giải. Ta có f x dx
2 x 1dx .
Tìm nguyên hàm của hàm số f x
B. f x dx 1 2 x 1
3
D. f x dx 1
2
Đặt
2 x 1 C .
2 x 1 C .
t 2 x 1 t 2 2 x 1
tdt dx .
2 x 1.
Khi đó
2 x 1dx t.tdt t 2 dt
F x
Câu 5. Biết
t3
1
C 2 x 1 2 x 1 C .
3
3
là một nguyên hàm của hàm số
f x
Chọn B.
ln x
ln 2 x 1
x
và
1
F 1
3
Tính
F e .
2
2
F e 8
3
Lời giải. Ta có
Đặt
2
F e 8
9
B.
C.
ln x
ln 2 x 1dx .
x
t ln 2 x 1 t 2 ln 2 x 1
tdt
F 1
Theo giả thiết
Suy ra F x
Câu 6. Biết
3
3
2
8
F e
9
ln 2 x 1
3
C.
3
Chọn B.
là một nguyên hàm của hàm số
đây là đúng?
f x
ln x
x
F x
ln 2 x
C .
2
B.
F x
ln 2 x
2 .
2
C.
F x
ln 2 x
2 .
2
D.
F x
ln 2 x
x C
2
TMA
A.
Lời giải. Ta có f x dx
ln x
dx .
x
Đặt
t ln x
dt
và
F e 2 4 .
Mệnh đề nào sau
.
dx
.
x
ln x
t2
ln 2 x
dx tdt C
C.
x
2
2
Theo giả thiết
F x
F e 2 4
ln 2 x
2.
2
ln 2 e 2
2
C 4 C 2.
Chọn B.
VIE
Khi đó
Suy ra
2
F e 1
9
1
1
1
C C 0.
3
3
3
ln 2 x 1
F x
D.
ln x
dx .
x
ln x
t3
ln 2 x 1dx t 2 dt C
x
3
Khi đó
2
F e 1
3
THS
.NET
A.
Chú ý: Đáp án A được gọi là họ nguyên hàm của hàm số f x .
Câu 7. Biết
nghiệm
A.
S
F x
của phương trình
S 3.
Lời giải. Ta có
Đặt
là một nguyên hàm của hàm số
B.
1
và
e 1
x
thỏa
F 0 ln 2 .
Tìm tập
F x ln e x 1 3.
S 3.
C.
S .
D.
S 3.
1
e x 1 e x
ex
ex
dx
dx dx x
dx x x
dx .
x
e 1
e 1
e 1
e 1
x
t e x 1
d t e x dx .
Do đó
f x
Khi đó
1
dx x ln e x 1 C .
e x 1
ex
dt
dx
ln t C ln e x 1 C ln e x 1 C .
x
e 1
t
Theo giả thiết
F x x ln e x 1.
F x ln e x 1 3 x ln e x 1 ln e x 1 3 x 3.
Xét phương trình
nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f x xe x ?
F x
Câu 8. Hàm
2
1 x2
e 2.
2
A.
F x
C.
1 2
F x e x C
2
.
2
xe x dx.
C
5
,
2
là một nguyên hàm của
.
1 x2
e 5
2
F x
D.
2
1
2 ex
2
.
t x 2
dt 2 xdx xdx
Đặt
Khi đó f x dx 1 e t dt 1 e t C 1 e x
2
2
2
F x
F x
B.
Lời giải. Ta có f x dx
Vì
Chọn B.
THS
.NET
Suy ra
F 0 ln 2
0 ln 2 C ln 2 C 0.
2
C
f x
1
dt.
2
.
nên đáp án A đúng với
C 2,
đáp án B đúng với
đáp án D đúng với C 1 . Vậy chỉ có đáp án C là sai. Chọn C.
Cách trắc nghiệm. Ta thấy các đáp án A, B, D sai khác nhau hằng số nên chắc chắn rằng
nó là một nguyên hàm của f x .
A.
I
e ln x
dx
x
I te t dt.
Lời giải. Đặt
B.
và
t ln x .
I e t dt.
t ln x
dt
Câu 10. Kí hiệu
F x
F x
cos 5 x
C .
5
C.
F x
sin 4 x
C .
4
1
dx .
x
C.
I
I e t dt .
Khi đó
5
5
x
cos 4 x
C
4
D.
F x
sin 5 x
C .
5
C.
I td t .
Chọn B.
F x
f x sin 4 x cos x
.
Chọn D.
là một nguyên hàm của hàm số f x
A.
1
F 0 ln 2 2.
3
B.
2
F 0 ln 2 2.
3
C.
2
F 0 ln 2 2.
3
D.
1
F 0 ln 2 2.
3
sin x
1 3 cos x
Lời giải. Ta có sin x dx .
1 3 cos x
Đặt
1
t 1 3 cos x
dt 3sin xdx sin xdx dt.
3
Khi đó sin x dx 1
1 3 cos x
3
. Mệnh đề nào sau
t sin x
dt cos xdx .
VIE
Khi đó f x dx t 4 dt t C sin
5
5
F x
D.
B.
Lời giải. Ta có f x dx sin 4 x cos xdx . Đặt
Câu 11. Biết
et
dt.
t
là họ các nguyên hàm của hàm số
đây là đúng?
A.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
TMA
Câu 9. Cho
dt
1
1
ln t C ln 1 3 cos x C .
t
3
3
và
F 2.
2
Tính
F 0 .
Theo giả thiết
1
1
2
F x ln 1 3cos x 2
F 0 2 ln 2 2 2 ln 2.
3
3
3
Suy ra
Câu 12. Cho
F x
f x cot x
là một nguyên hàm của hàm số
trên
2
0;
3
thỏa
F 0.
4
F
2
A.
F ln 2.
2
B.
1
F ln 2.
2 2
C.
F ln 2.
2
D.
F 2 ln 2.
2
Lời giải. Ta có cot x dx
Khi đó cot x dx
Theo giả thiết
T 2e
A.
F
6
e
Đặt
t sin x
dt cos xdx .
1
F 0
ln C 0 C ln
4
2
F x
F
2
2 F 2 ln 2 21 ln 2. Chọn B.
f x tan 2 x
là một nguyên hàm của hàm số
.
B. T
T 1.
2 .
C.
2.
T 2.
Lời giải. Ta có tan 2 x dx
thỏa mãn
F 0 0.
Tính
D. T 0.
TMA
Câu 13. Gọi
cos x
dx .
sin x
cos x
dt
dx
ln t C ln sin x C .
sin x
t
F x ln sin x ln
Suy ra
Đặt
Chọn B.
THS
.NET
Tính
F 2
C 2.
2
sin 2 x
dx .
cos 2 x
1
t cos 2 x
dt 2 sin 2 xdx sin 2 xdx dt.
2
Khi đó tan 2 x dx
Theo giả thiết
F 0 0
C 0.
1
F x ln cos 2 x
F 0
2
2
Vậy T
2. e ln
Câu 14. Biết
2
e 0 2 1 1.
F x
và
1 1
F ln ln
6
2 2
VIE
Suy ra
sin 2 x
1 dt
1
1
dx
.ln t C ln cos 2 x C .
cos 2 x
2
t
2
2
Chọn A.
là một nguyên hàm của hàm số
f x e sin x cos x
nào sau đây là đúng?
A. F x e sin x 4 .
B.
F x e sin x C
.
F x e cos x 4 .
D.
F x e cosx C
.
C.
Lời giải. Ta có f x dx e sin x cos xdx. Đặt
t sin x
dt cos xdx .
Khi đó f x dx e sin x cos xdx e t dt e t C e sin x C .
Theo giả thiết
Suy ra
F 5
e sin C 5 1 C 5 C 4.
F x e sin x 4.
2.
Chọn A.
và
F 5 .
Khẳng định
F x
Câu 15. Biết
nào sau đây là đúng?
A. F x e tan x .
F x e tan x .
D.
F x e tan x 2018.
Đặt
t tan x
dt
F x e tan x 2016.
Lời giải. Ta có f x dx
Khi đó f x dx
Theo giả thiết
Suy ra
B.
e tan x
dx .
cos2 x
e tan x
cos2 x
và
F 0 2017 .
Khẳng định
1
dx .
cos 2 x
e tan x
dx e t dt e t C e tan x C .
cos 2 x
THS
.NET
C.
f x
là một nguyên hàm của hàm số
F 0 2017
e tan 0 C 2017 C 2016.
F x e tan x 2016.
Chọn C.
Vấn đề 2. PHƯƠNG PHÁP LẤY NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu 16. Gọi
F x
là một nguyên hàm của hàm số f x ln x và thỏa mãn
F e 2 .
Tính
A.
F e 2 4.
B.
F e 2 3e 2 4.
Lời giải. Ta có ln xdx . Đặt
C.
F e 2 e 2 4.
D.
F 1 3.
F e 2 e 2 4.
dx
u ln x du
x .
dv dx v x
Theo giả thiết
Suy ra
TMA
Khi đó ln xdx x ln x dx x ln x x C .
F 1 3
1 C 3 C 4.
F x x .ln x x 4
F e 2 e 2 4.
Chọn D.
Câu 17. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho
f x
x
. Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
f ' x ln xdx
ln x
1
5 C.
3
x
5x
B.
f '( x ) ln xdx
C.
f ' x ln xdx
ln x
1
3 C.
x3
3x
D.
f ' x ln xdx
Lời giải. Ta có
Xét
ln x
1
5 C.
3
x
5x
ln x
1
3 C.
x3
3x
Đặt
du 1 dx
u ln x
x .
dv f ' x dx
v f x
f ' x ln xdx ln x . f x
f x
x
dx
ln x
1
3 C.
x3
3x
Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f x
A.
là một nguyên hàm của hàm
f x
1 3x 2
1
1
F 'x . 6 4
f x 3 .
3 x
x
x
x
f ' x ln xdx .
Khi đó
1
3x 3
f ' x ln x .
VIE
số
F x
ln ln x
dx ln x . ln ln x C .
x
B.
ln ln x
x
Chọn C.
.
ln ln x
dx ln x . ln ln x ln x C .
x
- Xem thêm -
.PDF 
102 
151 
138 
