Tài liệu Ly thuyet dao dong

Tr−êng ®¹i häc thuû lîi Bé m«n c¬ häc øng dông --- [\ [\ --GS.TS NguyÔn Thóc An PGS.TS NguyÔn §×nh ChiÒu PGS.TS Khæng Do·n §iÒn Lý thuyÕt dao ®éng Hμ Néi 2003 Lêi nãi ®Çu Gi¸o tr×nh “C¬ häc Lý thuyÕt II – Lý thuyÕt Dao ®éng” – T¸c gi¶ PGS. PTS NguyÔn Thóc An, PTS NguyÔn §×nh ChiÒu, PTS Khæng Do·n §iÒn, xuÊt b¶n t¹i Tr−êng §¹i häc Thñy lîi, n¨m 1989, ®· ®¸p øng yªu cÇu gi¶ng d¹y cho sinh viªn ngµnh C«ng tr×nh, ngµnh Thuû ®iÖn vµ ngµnh M¸y X©y Dùng nh÷ng n¨m qua, trong ®ã ®Ò cËp ®Õn c¸c bµi to¸n dao ®éng cña hÖ mét bËc tù do, hai bËc tù do, v« sè bËc tù do vµ gi¶i quyÕt nguyªn lý cña bé t¾t chÊn ®éng lùc, triÖt tiªu dao ®éng cña mét vµi tr−êng hîp cô thÓ vµ c¸ch gi¶i quyÕt khi hÖ cã nguy c¬ xuÊt hiÖn hiÖn t−îng céng h−ëng. §Ó ®¸p øng yªu cÇu gi¶ng d¹y cho sinh viªn ngµnh M¸y X©y Dùng & TBTL vµ c¸c häc viªn Cao häc, Nghiªn cøu sinh mµ luËn ¸n cã ®Ò cËp ®Õn bµi to¸n ®éng lùc, chóng t«i biªn so¹n vµ ®−a vµo thªm: Ch−¬ng IV (Va ch¹m cña vËt r¾n vµo thanh ®µn håi vµ ¸p dông Lý thuyÕt va ch¹m vµo bµi to¸n ®ãng cäc); Ch−¬ng V (C¬ së cña Lý thuyÕt dao ®éng phi tuyÕn) vµ cã ®−a vµo nh÷ng vÝ dô gÇn víi thùc tÕ tÝnh to¸n c«ng tr×nh cho ngµnh Thuû lîi. Tµi liÖu dïng ®Ó gi¶ng d¹y “ Lý thuyÕt dao ®éng” cho sinh viªn c¸c ngµnh C«ng tr×nh, Thuû ®iÖn, CÊp tho¸t n−íc, Tr¹m b¬m vµ gi¶ng d¹y m«n “ Dao ®éng kü thuËt” cho sinh viªn ngµnh M¸y X©y Dùng & ThiÕt BÞ Thuû Lîi. Tµi liÖu nµy còng cã thÓ dïng lµm tµi liÖu «n tËp thi tuyÓn Cao häc vµ Nghiªn cøu sinh cho c¸c ngµnh C«ng tr×nh, §éng lùc vµ lµm tµi liÖu häc tËp vµ tham kh¶o cho Nghiªn cøu sinh c¸c ngµnh cã liªn quan. Chóng t«i mong nhËn ®−îc nh÷ng ®ãng gãp ý kiÕn cña ®ång nghiÖp vµ b¹n ®äc ®Ó bæ xung, söa ch÷a cho tËp gi¸o tr×nh ngµy mét hoµn chØnh h¬n. Hµ Néi, th¸ng 10 n¨m 2003. C¸c t¸c gi¶ 1 Ch−¬ng më ®Çu §1. Mét vμi kh¸i niÖm vμ ®Þnh nghÜa 1.1. C¸c qu¸ tr×nh thay ®æi kh¸c nhau cña c¸c ®¹i l−îng v« h−íng ®−îc chia thµnh hai d¹ng: C¸c qu¸ tr×nh dao ®éng vµ c¸c qu¸ tr×nh kh«ng dao ®éng. Qu¸ tr×nh dao ®éng ®−îc ®Æc tr−ng b»ng sù t¨ng hay gi¶m mét c¸ch lu©n phiªn cña c¸c ®¹i l−îng biÕn ®æi. Nã ®−îc m« t¶ b»ng c¸c ph−¬ng tr×nh to¸n häc. Dao ®éng trong ®ã c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ chuyÓn ®éng cña nã lµ tuyÕn tÝnh, gäi lµ dao ®éng tuyÕn tÝnh. Ng−îc l¹i, gäi lµ dao ®éng kh«ng tuyÕn tÝnh (phi tuyÕn). 1.2. ChuyÓn ®éng dao ®éng ®−îc ®Æc biÖt quan t©m lµ nh÷ng dao ®éng cã chu kú. Hµm f*(t) m« t¶ qu¸ tr×nh dao ®éng cã chu kú, nÕu nh− tån t¹i gi¸ trÞ T > 0, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau: f * ( t ) = f * ( t ± T ) = f * ( t ± 2T ) = ... = f * ( t ± nT ) (1) Trong ®ã: T gäi lµ chu kú; n lµ sè nguyªn d−¬ng. Mét d¹ng ®Æc biÖt cña dao ®éng cã chu kú chiÕm vÞ trÝ quan träng trong thùc tÕ lµ dao ®éng ®iÒu hoµ. VÒ mÆt ®éng häc dao ®éng ®iÒu hoµ ®−îc miªu t¶ bëi hÖ thøc: q = A sin(kt + α) (2) ë ®©y: q lµ to¹ ®é cña ®iÓm dao ®éng tÝnh tõ vÞ trÝ trung b×nh cña nã (chän lµm gèc to¹ ®é); A lµ to¹ ®é cña q øng víi ®é lÖch lín nhÊt cña ®iÓm vÒ mét phÝa vµ ®−îc gäi lµ biªn ®é dao ®éng; (kt+α) lµ Argument cña sin gäi lµ pha dao ®éng; α lµ pha ban ®Çu; k lµ tÇn sè vßng (riªng) cña dao ®éng. TÇn sè riªng k liªn quan víi chu kú T bëi hÖ thøc: 2π k ( t + T) + α = kt + α + 2π , tõ ®ã: k = (rad / s) (3) T Sè lÇn dao ®éng trong mét ®¬n vÞ thêi gian ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: 1 k (4) f= = T 2π f ®−îc gäi lµ tÇn sè; ®¬n vÞ th−êng dïng lµ Hecz (Hz). §2. §éng n¨ng cña hÖ XÐt hÖ N chÊt ®iÓm cã n bËc tù do. Gäi to¹ ®é suy réng x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña hÖ: q1, q2 ..., qn (qi, i = 1, n ). Víi hÖ chÞu liªn kÕt dõng, vÞ trÝ cña mét ®iÓm Mk bÊt kú ®−îc biÓu diÔn: rk = rk (q 1 , q 2 , ..., q n ) 2 Tõ ®ã: vk = d rk = dt n ∑ i =1 ∂ rk • qi ∂q i (5) §éng n¨ng cña hÖ x¸c ®Þnh b»ng biÓu thøc: T = 1 n m k v 2k ∑ 2 k =1 Thay (5) vµo biÓu thøc trªn víi chó ý: v 2k = v k . v k Ta cã: T= • • 1 n A ij q i q j ∑ 2 i , j=1 (6) ë ®©y: Aij = Aji lµ c¸c hÖ sè chØ phô thuéc vµo c¸c täa ®é suy réng. Khai triÓn chóng theo chuçi lòy thõa t¹i l©n cËn vÞ trÝ c©n b»ng (q i = 0; i = 1, n ) vµ chØ gi÷ l¹i sè h¹ng ®Çu, ta nhËn ®−îc biÓu thøc ®éng n¨ng cña hÖ ®· tuyÕn tÝnh ho¸: T= • • 1 n a ij q i q j ∑ 2 i , j=1 (7) Trong ®ã: a ij = a ji = (A ij ) 0 gäi lµ c¸c hÖ sè qu¸n tÝnh (thùc tÕ lµ khèi l−îng hoÆc m«men qu¸n tÝnh). 1 •2 NÕu hÖ cã mét bËc tù do (n = 1), ta cã: T = a q , trong ®ã a = A(0) 2 (8) NÕu hÖ cã hai bËc tù do (n = 2), ta ®−îc: •2 • • •2⎞ 1⎛ ⎜ T = ⎜ a 11 q 1 + 2a 12 q 1 q 2 + a 22 q 2 ⎟⎟ 2⎝ ⎠ (9) ë ®©y: a 11 = (A11 ) 0 ; a 12 = (A12 ) 0 ; a 22 = (A 22 ) 0 . C¸c hÖ sè cña d¹ng toµn ph−¬ng (7) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Xin-vec-tr¬ (x¸c ®Þnh d−¬ng), nghÜa lµ: a 11 > 0; a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 ... a 1n > 0; ...; a 21 a 22 ... a 2 n > 0 a n1 a n 2 ... a nn §3. ThÕ n¨ng cña c¬ hÖ. Víi liªn kÕt dõng, thÕ n¨ng cña hÖ còng lµ hµm cña c¸c to¹ ®é suy réng: π = π(q1 , q 2 , ..., q n ) Trong hÖ b¶o toµn, t¹i vÞ trÝ c©n b»ng (q i = 0; i = 1, n ) , thÕ n¨ng cña hÖ cã gi¸ trÞ cùc trÞ nªn: 3 ⎛ ∂π ⎜⎜ ⎝ ∂q i ⎞ ⎟⎟ = 0 Víi i = 1, n ⎠ q i =0 (10) Theo ®Þnh lý Lagr¨ng-§iriclª th×: T¹i vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh cña hÖ b¶o toµn, thÕ n¨ng cña hÖ cùc tiÓu. Khai triÓn π theo chuçi luü thõa t¹i l©n cËn vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh (q i = 0; i = 1, n) , ta cã: n ⎛ ∂π π = (π) 0 + ∑ ⎜⎜ i =1 ⎝ ∂q i ⎞ 1 n ⎟⎟ q i + ∑ c ij q i q j + .... 2 i , j=1 ⎠0 (11) NÕu chän vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh cña hÖ lµm gèc tÝnh π th× (π) 0 = 0 vµ do (10) nªn sè h¹ng thø hai trong (11) b»ng kh«ng. MÆt kh¸c víi hÖ tuyÕn tÝnh sÏ kh«ng chøa trong khai triÓn cña thÕ n¨ng c¸c thµnh phÇn bËc cao h¬n hai ®èi víi to¹ ®é suy réng. Do ®ã thÕ n¨ng π cña hÖ khi tuyÕn tÝnh ho¸ lµ d¹ng toµn ph−¬ng sau: π= 1 n c ij q i q j 2 i , j=1 ∑ (12) ⎛ ∂2π ⎞ ⎟ gäi lµ c¸c hÖ sè cøng. ë ®©y: c ij = c ji = ⎜⎜ ⎟ ∂ ∂ q q ⎝ i j ⎠0 NÕu hÖ cã mét bËc tù do (n = 1), ta cã: 1 π = cq 2 , c = π′′(0) 2 NÕu hÖ cã hai bËc tù do (n = 2), ta ®−îc: π= 1 (c11 q 12 + 2c12 q 1 q 2 + c 22 q 22 ) 2 (13) (14) ⎛ ∂ 2π ⎞ ⎛ ∂ 2π ⎞ ⎛ ∂ 2π ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ; c ; c Trong ®ã: c11 = ⎜⎜ = = 12 22 2 ⎟ ⎜ ∂q ∂q ⎟ ⎜ ∂q 2 ⎟ ⎝ 1 2 ⎠0 ⎝ 2 ⎠0 ⎝ ∂q1 ⎠ 0 T−¬ng tù nh− phÇn §2, c¸c hÖ sè cij cña d¹ng toµn ph−¬ng (12) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh d−¬ng. §4. Hμm hao t¸n. Gi¶ sö hÖ chÞu t¸c dông lùc c¶n (nhít) phô thuéc bËc nhÊt vµo vËn tèc: R k = −β k . v k Trong ®ã: β k > 0 lµ hÖ sè c¶n (nhít); v k lµ vËn tèc cña chÊt ®iÓm thø k thuéc hÖ. Gäi to¹ ®é suy réng cña cña hÖ: q i (i = 1, n ) . C¸c lùc suy réng t−¬ng øng víi lùc c¶n b»ng: n Q iΦ = ∑ R k k =1 n ∂ rk ∂r = −∑ β k v k k ∂q i ∂q i k =1 4 • Khi sö dông ®ång nhÊt thøc Lagr¨ng: Q iΦ = − n ∑ k =1 • β k rk • ∂ rk = • ∂ qi n ë ®©y ta ®Æt: φ = ∑ β k k =1 ∂ rk ∂ rr = • , ta cã: ∂q i ∂ qi v 2k ⎞ ∂ ⎛⎜ n ⎟ β k • ⎜ 2 ⎟⎠ k 1 = ⎝ ∂ qi ∑ Hay: Q i φ = − ∂φ • (15) ∂ qi v 2k 2 (16) φ ®−îc biÓu diÔn ë (16) gäi lµ hµm hao t¸n. Ta cã thÓ viÕt φ gièng nh− ®éng n¨ng T trong täa ®é suy réng: φ = • • 1 n B ij q i q j 2 i , j=1 ∑ (17) Trong ®ã: B ij = B ji lµ c¸c hµm chØ cña to¹ ®é suy réng: q i (i = 1, n ) . Khai triÓn chóng theo chuçi luü thõa t¹i l©n cËn vÞ trÝ c©n b»ng q i = 0; (i = 1, n ) vµ chØ gi÷ l¹i sè h¹ng ®Çu, ta nhËn ®−îc biÓu thøc cña hµm hao t¸n ®· tuyÕn tÝnh ho¸: φ= • • 1 n b ij q i q j 2 i , j=1 ∑ (18) ë ®©y: b ij = b ji = (Bij ) 0 lµ c¸c hÖ sè c¶n suy réng. Khi hÖ cã mét bËc tù do (n = 1): φ = 1 •2 b q ; b = B(0) > 0 2 •2 • • •2 1 Khi hÖ cã hai bËc tù do (n = 2): φ = (b1 q1 + 2b12 q1 q 2 + b 22 q 2 ) 2 Trong ®ã: b11 = (B11 ) 0 ; b12 = (B12 ) 0 ; b 22 = (B 22 ) 0 . (19) (20) C¸c hÖ sè b ij cña d¹ng toµn ph−¬ng (18) còng tho¶ m·n tiªu chuÈn x¸c ®Þnh d−¬ng. §5. Ph−¬ng ph¸p thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng. 5.1. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng theo ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II. C¬ së lý thuyÕt cña nhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu dao ®éng c¸c hÖ H«l«n«m nhiÒu bËc tù do lµ viÖc ¸p dông ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II. Ph−¬ng ph¸p thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña hÖ dao ®éng b»ng c¸ch sö dông ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II gäi lµ ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n. §èi víi hÖ H«l«n«m, cã n bËc tù do, x¸c ®Þnh bëi c¸c to¹ ®é suy réng ®éc lËp: q 1 , q 2 , ... q n (q i : i = 1, n ) , ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II cã d¹ng: ⎛ d ⎜ ∂T dt ⎜⎜ ∂ q• ⎝ i 5 ⎞ ⎟ ∂T ⎟⎟ − ∂q = Q i ; i = 1, n i ⎠ (21) 5.1a. NÕu c¸c lùc t¸c dông lªn hÖ chØ lµ lùc cã thÕ. Ta cã: π Qi = Qi = − ∂π ; i = 1, n ∂q i Ph−¬ng tr×nh (21) trë thµnh: ⎞ ⎟ ∂T ∂π ⎟ − ∂q = − ∂q ; i = 1, n ⎟ i i ⎠ ⎛ d ⎜ ∂T dt ⎜⎜ • ⎝ ∂ qi (21a) §−a vµo hµm Lagr¨ng: L = T − π , ta ®−îc: ⎛ d ⎜ ∂L dt ⎜⎜ ∂ q• ⎝ i ⎞ ⎟ ∂L ⎟⎟ − ∂q = 0; i = 1, n i ⎠ (21b) 5.1b. NÕu c¸c lùc t¸c dông lªn hÖ bao gåm c¶ lùc cã thÕ vµ lùc c¶n nhít ta cã: π φ Qi = Qi + Qi = − ∂φ ∂π − • ; i = 1, n ∂q i ∂ qi Ph−¬ng tr×nh (21) trë thµnh: ⎞ ∂φ ⎟ ∂T ∂π ⎟ − ∂q = − ∂q − • ; i = 1, n ⎟ i i ∂ qi ⎠ ⎛ d ⎜ ∂T dt ⎜⎜ • ⎝ ∂ qi (22) Khi chó ý ®Õn hµm Lagr¨ng L: ⎞ ∂φ ⎟ ∂L ⎟ − ∂q + • = 0; i = 1, n ⎟ i ∂ qi ⎠ ⎛ d ⎜ ∂L dt ⎜⎜ • ⎝ ∂ qi (22a) 5.1c. NÕu lùc t¸c dông lªn hÖ ngoµi c¸c lùc cã thÕ, vµ lùc c¶n nhít cßn cã c¸c ngo¹i lùc kh¸c (lùc kÝch ®éng) phô thuéc vµo thêi gian t; lùc suy réng cña nã ký hiÖu QiP, ta cã: π φ Q i = Q i + Q i + Q i ; i = 1, n P Vµ ph−¬ng tr×nh (21) viÕt ë d¹ng: ⎛ d ⎜ ∂T dt ⎜⎜ • ⎝ ∂ qi ⎞ ∂π ∂φ ⎟ ∂T P ⎟ − ∂q = − ∂q − • + Q i ; i = 1, n ⎟ i i ∂ qi ⎠ (23) ThÝ dô 1: Con l¾c kÐp gåm hai thanh ®ång chÊt: AB = BC = 2L, träng l−îng P1 = P2 = P nèi víi nhau bëi b¶n lÒ B. Con l¾c thùc hiÖn dao ®éng nhá trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng xung quanh vÞ trÝ c©n b»ng Ay; ngoµi ra AB quay xung quanh trôc A; BC quay xung quanh b¶n lÒ B (H×nh 1). 6 Bµi gi¶i Gi¶ thiÕt c¸c thanh r¾n tuyÖt ®èi ; hÖ cã hai bËc tù do. Ta chän θ1, θ2 lµ c¸c gãc lÖch cña thanh víi ph−¬ng th¼ng ®øng Ay lµm täa ®é suy réng. T¹i vÞ trÝ c©n b»ng th× θ1 = θ2 = 0. Ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II viÕt cho hÖ kh¶o s¸t lµ: x A d ⎛⎜ ∂T ⎞⎟ ∂T (a) − = Q i ; i = 1, 2 dt ⎜ ∂ θ• ⎟ ∂θ i ⎝ i⎠ θ 1 Chän hÖ trôc täa ®é Axy nh− h×nh vÏ. §éng n¨ng cña hÖ b»ng: T = TAB + TBC = Ta cã: J Az = P1 ⎛ ⎞ 1 1 1 J Az θ1 + m BC ⎜⎜ x D + y D ⎟⎟ + J Dz θ 2 2 2 ⎝ ⎠ 2 •2 •2 •2 1P P 1 P (2L) 2 , m BC = , J Dz = ( 2 L) 2 12 g 3g g θ2 2PL2 3g D P2 C y ⎧x D = L(2 sin θ1 + sin θ 2 ) ⎨ ⎩ y D = L(2 cos θ1 + cos θ 2 ) Ta cã: T = B •2 H×nh 1 • • ⎡ •2 •2 ⎤ θ + θ + θ 4 3 1 2 1 θ 2 cos(θ1 − θ 2 ) ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ XÐt dao ®éng nhá: cos(θ1 − θ 2 ) ≈ 1 , ta nhËn ®−îc: • • 2PL2 • 2 • 2 T= (4 θ1 + θ 2 + 3 θ1 θ 2 ) 3g (b) ThÕ n¨ng cña hÖ b»ng c«ng träng l−îng c¸c thanh khi hÖ chuyÓn dÞch tõ vÞ trÝ kh¶o s¸t (θ1; θ2) tíi vÞ trÝ c©n b»ng th¼ng ®øng (θ1 = 0 ; θ2 = 0), ta cã: π = PL(1 − cos θ1 ) + PL[2(1 − cos θ1 ) + (1 − cos θ 2 )] π = PL(4 − 3 cos θ1 − cos θ 2 ) Rót gän: Víi θ1 , θ 2 nhá: cos θ1 ≈ 1 − Ta cã: π= θ12 θ2 ; cos θ 2 ≈ 1 − 2 2 2 PL (3θ12 + θ 22 ) 2 Thay (b) vµ (c) vµo (a), ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá cña hÖ: 3θ1 = − 7 16L •• 2L •• 2 L •• 4 L •• θ1 − θ 2 ; θ2 = − θ1 − θ2 3g g g 3g (c) 5.2. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng theo ph−¬ng ph¸p §al¨mbe. Theo nguyªn lý §al¨mbe: ë mçi thêi ®iÓm c¸c lùc ho¹t ®éng t¸c dông lªn c¬ hÖ vµ c¸c ph¶n lùc liªn kÕt c©n b»ng víi c¸c lùc qu¸n tÝnh. Tõ ®ã: ⎧ F a + N + F qt = 0 ∑ k ∑ k k ⎪⎪∑ k k k ⎨ a ⎪∑ m O ⎛⎜ Fk ⎞⎟ + ∑ m O N k + ∑ m O ⎛⎜ Fk qt ⎞⎟ = 0 ⎪⎩ k ⎝ ⎠ k ⎝ ⎠ k (24) ( ) Trong ®ã: F qtk = −m k Wk 5.3. ¸p dông ph−¬ng ph¸p lùc ®Ó lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá (tr−êng hîp riªng cña ph−¬ng ph¸p §al¨mbe). Gi¶ sö cho mét dÇm ®µn håi cã g¾n mét sè h÷u h¹n khèi l−îng tËp trung m1 , m 2 , ..., m n . §Ó lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng (uèn) cña dÇm, thuËn lîi h¬n c¶ lµ dïng ph−¬ng ph¸p lùc. Khi nµy cÇn sö dông kh¸i niÖm dÞch chuyÓn ®¬n vÞ. C¸c dÞch chuyÓn theo h−íng i do lùc ®¬n vÞ t¸c dông theo h−íng k g©y ra gäi lµ dÞch chuyÓn ®¬n vÞ, ký hiÖu δik. C¸c dÞch chuyÓn ®¬n vÞ δik cßn gäi lµ c¸c hÖ sè ¶nh h−ëng (H×nh 2). Pk = 1 m1 m2 m3 mn i k δik H×nh 2 §èi víi c¸c hÖ ®µn håi, theo h−íng k hÖ chÞu t¸c dông cña lùc Pk th× dÞch chuyÓn do nã g©y ra theo h−íng i sÏ tû lÖ víi lùc, nghÜa lµ: yi = Pkδik. Do ®ã, d−íi t¸c dông ®ång thêi cña c¸c lùc P1, P2, ..., Pn dÞch chuyÓn toµn phÇn x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: yi = n ∑P δ k ik (25) k =1 C«ng thøc (25) lµ c¬ së ®Ó thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ theo ph−¬ng ph¸p lùc. Theo kÕt qu¶ trong gi¸o tr×nh SBVL, ta cã c¸c c«ng thøc x¸c ®Þnh hÖ sè ¶nh h−ëng δik sau ®©y: 8 5.3a. X¸c ®Þnh δik khi uèn cña thanh: Dïng c«ng thøc MO: L δ ik = ∑ ∫ 0 M i . M k . dx EJ (26) Trong ®ã: EJ lµ ®é cøng cña thanh khi uèn; M i ( x ) vµ M k ( x ) lµ c¸c m«men uèn do lùc ®¬n vÞ Pi = 1 vµ Pk = 1 g©y ra (H×nh 3). Pi = 1 Pk = 1 M i =(x) M k =(x) x x H×nh 3 5.3b. Sö dông phÐp nh©n biÓu ®å Vªrªsaghin: * Ω Mk δ ik = ∑ i EJ (27) * ë ®©y: Ω i lµ diÖn tÝch biÓu ®å M i , M k lµ tung ®é cña biÓu ®å M k t−¬ng øng hoµnh ®é träng t©m cña Ω i . Khi sö dông c«ng thøc (27) cÇn chó ý chia chiÒu dµi thanh sao cho trong mçi ®o¹n cña M k lµ ®−êng th¼ng. Theo ®Þnh lý Macxoen ta lu«n cã: δ ik = δ ki ThÝ dô 2: X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè ¶nh h−ëng trong tr−êng hîp dÇm chÞu c¸c träng t¶i tËp trung nh− h×nh vÏ (H×nh 4). m m L/6 L/3 P1 = 1 m L/3 5L 36 L/6 L/6 H×nh 4 9 M1 5L/6 H×nh 5a Bµi gi¶i: §Ó x¸c ®Þnh c¸c dÞch chuyÓn ®¬n vÞ (hÖ sè ¶nh h−ëng) δik (i, k = 1, 2, 3) ta x©y dùng c¸c biÓu ®å M«men uèn M 1 , M 2 , M 3 t−¬ng øng víi c¸c lùc ®¬n vÞ P1 = 1, P2 = 1, P3 = 1 vµ biÓu diÔn nh− trªn h×nh vÏ (H×nh 5a, b, c). P2 = 1 L 4 P3 = 1 M2 L/2 5L 36 M3 L/2 5L/6 H×nh 5b L/6 H×nh 5c Theo c«ng thøc nh©n biÓu ®å Vªrªsaghin, ta cã: δ11 = δ 33 = = 5 ⎞⎤ 1 ⎡⎛ 1 L 5 5 ⎞ ⎛1 5 5 ⎜ . . L. L ⎟ + ⎜ . L. L. L ⎟⎥ ⎢ EJ ⎣⎝ 2 6 36 54 ⎠ ⎝ 2 6 36 54 ⎠⎦ 1 5 5 ⎛1 5 ⎞ 1 5 5 1 25L3 ⋅ ⋅L⋅ ⋅L⋅ ⋅L = = 75k . L. L⎜ L + L ⎟ = 36 2 3888EJ EJ 54 36 ⎝ 12 12 ⎠ EJ 54 ë ®©y ta ®Æt: k = δ 22 = L3 9.1296EJ 1 ⎛1 L L L 1 L L L⎞ L3 L3 L3 = = 243. = 243k ⎜ . . . + . . . ⎟ = 2. EJ ⎝ 2 2 4 6 2 2 4 6 ⎠ 96EJ 48EJ 9.1296EJ Thùc hiÖn tÝnh to¸n mét c¸ch t−¬ng tù, ta nhËn ®−îc: δ13 = δ 31 = 51 L3 L3 = 51k; δ12 = δ 21 = δ 32 = δ 23 = 117 = 117k 9.1296EJ 9.1296EJ §6. X¸c ®Þnh ®é cøng cña hÖ dao ®éng. C¸c tÝnh chÊt ®µn håi cña hÖ dao ®éng trong mçi tr−êng hîp cô thÓ ®−îc ®Æc tr−ng b»ng hÖ sè cøng C. 6.1. Thanh ®µn håi 6.1.1. Thanh ®µn håi kh«ng träng l−îng, chÞu kÐo nÐn (H×nh 6). 10 ΔL = Ta cã: PL EF ë ®©y: E lµ m«®un ®µn håi, F lµ diÖn tÝch tiÕt diÖn ngang. P= Tõ ®ã: EF .ΔL = C.ΔL L EF VËy, ta cã: (28) C= L 6.1.2. Thanh ®µn håi kh«ng träng l−îng chÞu xo¾n (H×nh 7) th×: Δϕ = L MxL GJ p Trong ®ã: G lµ m«®un tr−ît, JP lµ m«men qu¸n tÝnh ®éc cùc cña ΔL mÆt c¾t ngang. Suy ra: Mx = VËy, nhËn ®−îc: C= GJ p L P H×nh 6 Δϕ = C.Δϕ GJ p (29) L Mx L P L f H×nh 7 H×nh 8 6.1.3. Thanh ®µn håi kh«ng träng l−îng chÞu uèn. Khi nµy: HÖ sè cøng C cßn phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn biªn. Ta xÐt thanh chÞu uèn bÞ ngµm ë mét ®Çu (H×nh 8). §é vâng f b»ng: f= 3EJ 1 PL3 , suy ra: P = 3 f = Cf 3 EJ L ë ®©y: EJ lµ ®é cøng chèng uèn. VËy ®é cøng C b»ng: 11 C= 3EJ L3 (30) 6.2. HÖ c¸c lß xo. 6.2.1. §èi víi hÖ lß xo m¾c song song (H×nh 9). Tõ biÓu thøc tÝnh lùc ®µn håi, ta cã: Fdh = C1 x + C 2 x = Cx C1 C C2 VËy, ta ®−îc: C = C1 + C2. NÕu hÖ cã n lß xo m¾c song song, t−¬ng tù nhËn ®−îc: n C = ∑ Ci (31) i =1 H×nh 9 6.2.2. §èi víi hÖ lß xo m¾c nèi tiÕp (H×nh 10). BiÓu thøc tÝnh lùc ®µn håi b»ng: Fdh = C1 x 1 + C 2 x 2 C1 ë hÖ thay thÕ t−¬ng ®−¬ng hÖ sè cøng C, lß xo x = x 1 + x 2 ; Fdh = Cx d·n mét ®o¹n: C2 Ta cã: x= F1 F2 Fdh 1 1 1 + = ⇒ = + C1 C 2 C C C1 C 2 C H×nh 10 NÕu hÖ cã n lß xo m¾c nèi tiÕp, th× hÖ sè cøng C cña lß xo thay thÕ x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc: n 1 1 =∑ C i =1 C i (32) Nãi chung ®é cøng C ®−îc tÝnh to¸n theo lý thuyÕt víi c¸c gi¶ thiÕt nhÊt ®Þnh vµ cã thÓ tra cøu trong c¸c sæ tay kü thuËt. Ta thèng kª mét sè c«ng thøc ë mét sè d¹ng c¬ b¶n th−êng dïng trong tÝnh to¸n (b¶ng 1). B¶ng 1. C«ng thøc x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè cøng t−¬ng ®−¬ng STT S¬ ®å HÖ sè C Gd 4 Víi G: m«®un tr−ît cña 8iD vËt liÖu; d: ®−êng kÝnh d©y lß xo; i, D: sè vßng vµ ®−êng kÝnh lß xo. C= 1 C1 2 C1 C2 C2 C = C1+ C2 12 EJ L 4 5 6 7 C= C1 C2 3 a C=3 C= b a 8 L 12EJ(a + b) 3 a 3 b 2 (3a + 4b) C= b C= 9 b L 3EJ(a + b) 3 a 3b3 C= b 3EJ ( b + L) b 2 12EJ (4b + 3L)b 2 C= 10 L N L N L 13 α 3 EJsh α L , α Lch α L − sh α L α= C= 12 24EJ L3 (EJ lµ ®é cøng khi uèn cña mét trong hai lß xo ph¼ng) C = 11 EJ L3 3EJ(a + b) a 2b2 C= b a C1C 2 C1 + C 2 N EJ α 2 EJsh ( α L ) L (α Lch α L − sh α L ) α= N EJ 14 Ch−¬ng I Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ mét bËc tù do §1.1. Dao ®éng tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do 1.1.1. Dao ®éng tù do kh«ng c¶n XÐt hÖ mét bËc tù do, lùc t¸c dông lªn hÖ cã thÕ. To¹ ®é suy réng x¸c ®Þnh vÞ trÝ c¬ hÖ lµ q. Ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II cã d¹ng: d ⎛⎜ ∂T ⎞⎟ ∂T ∂π − =− • ⎟ ⎜ dt ⎜ ∂ q ⎟ ∂q ∂q ⎝ ⎠ Víi dao ®éng nhá th×: T = 1 •2 1 a q ; π = cq 2 : Thay vµo ph−¬ng tr×nh trªn vµ rót gän, 2 2 •• q+ k 2q = 0 ta ®−îc: (1-1) c gäi lµ tÇn sè vßng (riªng) cña dao ®éng, ®¬n vÞ th−êng dïng rad/s, a nã phô thuéc vµo tÝnh chÊt cña hÖ (khèi l−îng vµ ®é cøng). Ph−¬ng tr×nh (1-1) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng nhá tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do. NTQ cña (1-1) t×m ®−îc ë d¹ng: q = C1coskt + C2sinkt (1-2) Trong ®ã: k = §Æt: C1 = Asinα; C2 = Acosα Ta viÕt ®−îc nghiÖm (1-2) d−íi d¹ng biªn ®é: q = Asin(kt +α) (1-3) ë ®©y: A = C12 + C 22 lµ biªn ®é dao ®éng; (kt +α) lµ pha dao ®éng; α lµ pha ban ®Çu; k lµ tÇn sè vßng (tÇn sè dao ®éng riªng) cña hÖ. 2π a = 2π k c Gäi f lµ sè dao ®éng trong mét ®¬n vÞ thêi gian (tÇn sè dao ®éng), khi ®ã: Chu kú dao ®éng T tÝnh theo c«ng thøc: T = (1-4) 1 k 1 c (1-5) = = T 2π 2π a C¸c h»ng sè A vµ α ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu. Gi¶ sö t¹i t = 0: q(0) = q0 f= • • vµ q (0) = q 0 ta nhËn ®−îc: A = q 02 + •2 q0 k 2 vµ α = arctg kq 0 • . Do ®ã: q0 14 q= q 02 + q 02 k2 ⎛ ⎞ kq 0 ⎟ ⎜ ⋅ sin ⎜ kt + arctg • ⎟ ⎜ q 0 ⎟⎠ ⎝ (1-6) Nh− vËy, dao ®éng nhá tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do lµ dao ®éng ®iÒu hoµ. Trong thùc tÕ, viÖc x¸c ®Þnh tÇn sè riªng k lµ nhiÖm vô quan träng cña bµi to¸n nghiªn cøu dao ®éng tù do. B¶ng 2 thèng kª mét sè c«ng thøc ®èi víi k cña mét sè hÖ ®¬n gi¶n. B©y giê ta biÓu diÔn nghiÖm cña bµi to¸n trªn mÆt ph¼ng pha (hÖ täa ®é dÞch chuyÓn vËn tèc). T¹i mçi thêi ®iÓm tr¹ng th¸i cña hÖ ®−îc ®Æc tr−ng b»ng dÞch chuyÓn q vµ vËn tèc • v = q . Ta cã trong tr−êng hîp kh¶o s¸t: ⎧⎪q = A sin( kt + α) • ⎨ ⎪⎩v = q = Ak cos(kt + α) (1-7) TËp hîp c¸c ph−¬ng tr×nh nµy cã thÓ kh¶o s¸t nh− quü ®¹o pha cho ë d¹ng th«ng sè. §Ó nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh quü ®¹o pha cÇn khö t tõ hÖ (1-7) ta ®−îc: q2 v2 + =1 A2 A2k 2 (1-8) NghÜa lµ ph−¬ng tr×nh EllÝp (H×nh 11a). §iÓm biÓu diÔn ban ®Çu (tõ ®ã chuyÓn ®éng • • ®−îc b¾t ®Çu) t−¬ng øng víi ®iÒu kiÖn ®Çu q(0) = q0 vµ q(0) = q 0 . Khi thay ®æi ®iÒu kiÖn ban ®Çu quü ®¹o pha biÓu diÔn trªn EllÝp kh¸c. TËp hîp tr¹ng th¸i cã thÓ cña hÖ ®−îc m« t¶ b»ng hÖ c¸c EllÝp (H×nh11). Gèc to¹ ®é t−¬ng øng víi tr¹ng th¸i c©n b»ng cña hÖ (q0 =0 vµ • q 0 = 0 ). §iÓm nµy lµ ®iÓm kú dÞ vµ gäi lµ t©m. v v q 0, v 0 q O O q H×nh 11 B¶ng 2: TÇn sè riªng cña mét sè m« h×nh dao ®éng Stt M« h×nh dao ®éng Ph−¬ng tr×nh •• x 1 HÖ khèi l−îng lß xo ®¬n gi¶n C x+ m C x=0 m (q = x) 15 k2 C m 2 HÖ khèi l−îng lß xo träng tr−êng •• C y+ y M C y=0 m C m (q = y) O •• 3 ϕ Con l¾c to¸n häc ϕ+ L 4 •• a ϕ+ ϕ Con l¾c vËt lý C Bµn quay mga ϕ=0 JO mga JO (q = ϕ ) m •• JO 5 g L (q = ϕ) m O g ϕ=0 L ϕ+ C C ϕ=0 JO C JO (q = ϕ) O r 6 HÖ khèi l−îng v¾t qua rßng däc JO m1 •• y+ 1+ y C 1 JO C y=0 m1 m1 r 2 1+ 1 JO C m1 m1 r 2 (q = y) m •• 7 ϕ+ ϕ C¬ cÊu gâ nhÞp L C O (q = ϕ) •• x+ x 8 HÖ con l¨n lß xo m C O C − mgL ϕ=0 JO r J C 1 C x=0 JC m 1+ mr 2 (q = x) •• L 9 Con l¨n trªn quü ®¹o trßn ϕ ϕ+ m JC C r g 1 ϕ=0 JC L 1+ mr 2 (q = ϕ) C − mgL JO 1 C J m 1 + C2 mr g 1 J L 1 + C2 mr 16 rC 10 ϕ+ Nöa ®Üa trßn trªn mÆt ph¼ng mgrC •• C ϕ r m J C + m(r − rC ) 2 (q = ϕ) ϕ=0 mgrC J C + (r − rC ) 2 m 1.1.2. Dao ®éng tù do cã c¶n. ë trªn ta coi sù hao t¸n n¨ng l−îng trong dao ®éng kh«ng x¶y ra vµ thiÕt lËp ®Æc tÝnh kh«ng t¾t dÇn cña dao ®éng tù do. Tuy nhiªn c¸c dao ®éng gÆp trong thùc tÕ lµ t¾t dÇn, do: ma s¸t trong c¸c bé phËn gi¶m chÊn, phanh h·m, tiÕp xóc víi m«i tr−êng xung quanh v.v... Gi¶ sö lùc t¸c dông lªn hÖ ngoµi lùc cã thÕ cßn cã lùc c¶n (nhít) phô thuéc bËc nhÊt vµo vËn tèc. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II cã d¹ng: ⎛ ⎞ ∂π ∂φ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T − =− − • • ⎟ ⎜ ∂q ∂q dt ⎜ ⎟ ∂q ⎝∂q ⎠ 2 2 1 • 1 1 • Víi dao ®éng nhá: T = a q ; π = cq 2 ; φ = b q . Thay vµo ph−¬ng tr×nh vµ rót 2 2 2 gän, ta ®−îc: •• • q + 2n q + k 2 q = 0 ë ®©y: 2n = (1-9) b c , k2 = a a Ph−¬ng tr×nh (1-9) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng nhá tù do t¾t dÇn cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do. NTQ cña (1-9) t×m ®−îc d−íi d¹ng: q = e λt . Trong ®ã λ ®−îc x¸c ®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng sau: λ2 + 2nλ + k2 = 0 (1-10) Ph−¬ng tr×nh (1-10) cho hai nghiÖm sè: λ 1, 2 = − n ± n 2 − k 2 (1-11) Ta kh¶o s¸t ba tr−êng hîp: 1.1.2a. Tr−êng hîp 1: n < k (lùc c¶n nhá). Trong tr−êng hîp nµy ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng cã nghiÖm phøc: λ 1, 2 = − n ± ik 1 ; k 1 = k 2 − n 2 ; i 2 = −1 TÝch ph©n tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh (1-9) cã d¹ng: Hay viÕt ë d¹ng biªn ®é: 17 q = e − nt (C 1 cos k 1 t + C 2 sin k 1 t ) (1-12) q = Ae − nt sin( k 1 t + β) (1-13) • • Khi xÐt ®Õn ®iÒu kiÖn ®Çu t = 0: q(0) = q0, q (0) = q 0 Ta cã: 2 ⎛• ⎞ ⎜ q 0 + nq 0 ⎟ ⎛ 2 2 C1 ⎜ q0 k − n ⎝ ⎠ 2 2 2 = arctg⎜ • ; β = arctg A = C1 + C 2 = q 0 + C2 k2 − n2 ⎜ q + nq 0 0 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 2 VËy: ⎛• ⎞ ⎜ q 0 + nq 0 ⎟ ⎛ q0 k2 − n2 ⎜ ⎝ ⎠ − nt 2 + q = q0 + e sin k t arctg • ⎜ 1 k2 − n2 ⎜ q 0 + nq ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (1-14) ë ®©y: k 1 = k 2 − n 2 gäi lµ tÇn sè dao ®éng t¾t dÇn. Chu kú dao ®éng t¾t dÇn ®−îc x¸c ®Þnh b»ng: T1 = 2π = k1 2π (1-15) k2 − n2 Víi n kh¸ nhá ta viÕt ®−îc: 2π ⎡ 1 ⎛ n ⎞ T1 = ≈ ⎢1 + ⎜ ⎟ 2 k ⎢⎣ 2 ⎝ k ⎠ ⎛n⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝k⎠ T 2 ⎡ 1 ⎛ n ⎞2 ⎤ ⎤ ⎥ = T ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ 2 ⎝ k ⎠ ⎥⎦ ⎥⎦ (1-16) nt NghiÖm (1-13) cña ph−¬ng tr×nh (1-9) chØ ra r»ng: §é lÖch A e cña hÖ cã c¶n gi¶m theo thêi gian víi quy luËt hµm sè mò. Nã tiÖm cËn tíi kh«ng vµ do ®ã dao ®éng lµ t¾t dÇn (H×nh 1-1). q O y1 y T1 t T1 H×nh 1-1 Trong thùc tÕ ®Ó ®Æc tr−ng cho sù gi¶m biªn ®é ng−êi ta th−êng dïng mét ®¹i l−îng, ký hiÖu δ vµ gäi lµ ®é suy gi¶m L«garit cña dao ®éng: δ = ln ψ = ln y 2π = nT1 = 2 y1 ⎛k⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎝n⎠ (1-17) Muèn x¸c ®Þnh δ b»ng thùc nghiÖm, ta dïng c«ng thøc gÇn ®óng: 18