1
Mu c Lu c
.
.
’ ¯ˆ
Mo. d` u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
a
’ .
`
Chu.o.ng 1. Phu.o.ng pha p su. dung tı
´
´nh chˆt ham lˆi (lo m) . . . . . . . . . . 5
a `
o ˜
´
´ ’
’ ˜
’ ` ` ˜
a ¯a
u
1.1 Th´. tu. s˘p d .o.c cua da y bˆ t d ˘ng th´.c sinh bo.i ham lˆi (lo m) 5
u . a ¯u .
o
.c Karamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
´ ’
1.2 Bˆ t d ˘ng th´
a ¯a
u
.i thiˆu mˆt sˆ ham lˆi va ham lo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
e
o o ` ` ` ` ˜
o
1.3 Gi´
o
.
. ´
1.3.1 Mˆt sˆ ham lˆi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
o o ` `
o
. ´
1.3.1 Mˆt sˆ ham lo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
o o ` ˜
. ´
1.4 Bai tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
` a
.
´
´
o
Chu.o.ng 2 Phu.o.ng pha p lu.a chon tham sˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
.
.
.a tham sˆ d ˆc lˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
´ . .
o ¯o a
2.1 Cac dang toan ch´
´ .
´
u
´
´ ’
2.1.1 Tham sˆ chı thuˆc mˆt vˆ cua bˆ t d ˘ng th´.c . . . . . . . . . . . 25
o ’
o
o e ’ a ¯a
u
.
. ´
.c . . . . . . . . . . . . . 30
´
´
´ ’
2.1.2 Tham sˆ co trong hai vˆ cua bˆ t d ˘ng th´
o ´
e ’ a ¯a
u
.a tham phu thuˆc vao tham sˆ khac . . . . . . . . . 36
´
o `
o ´
2.2 Cac dang toan ch´
´ .
´
u
.
.
2.3 Bai tˆp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
` a
.
’ .
´
’
Chu.o.ng 3 Phu.o.ng pha p su. dung tı
´
´nh chˆ t cua ham d o.n d iˆu . . . . 45
a
` ¯
¯e
.
.n d eu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1 Ham d o ¯iˆ
` ¯
.
.n d eu cua ham cac d ai lu.o.ng trung bı . . . . . . . . . . . . . . 49
´ ¯.
`nh
3.2 Tı d
´nh ¯o ¯iˆ ’ `
.
.
.o.ng trung bı
`nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Cac d . i lu .
´ ¯a
`nh
o
3.2.2 Cac d . i lu.o.ng trung bı suy rˆng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
´ ¯a
.
.
.n d eu cua ham cac d a th´.c d ˆ i x´.ng so. cˆ p . . . . . . . . . . 55
´
´
´ ¯
u ¯o u
a
3.3 Tı d
´nh ¯o ¯iˆ ’ `
.
´
`nh hoc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chu.o.ng 4 Phu.o.ng pha p hı
.
.o.ng trung bı
`nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
4.1 Hı hoc hoa cac d . i lu .
`nh . ´ ´ ¯a
.o.ng phap khac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
´
´
4.2 Mˆt sˆ phu
o o
. ´
4.1 Bai tˆp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
` a
.
´
’
Kˆ t luˆn cua luˆn v˘n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
e
a
a
a
.
.
’
Tai liˆu tham khao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
` e
.
2
’ ¯ˆ
Mo. d` u
a
´ ’
Bˆ t d ang th´.c (BDT) la mˆt trong nh˜.ng nˆi dung quan trong trong chu.o.ng
a ¯˘
u
` o
u
o
.
.
.
’
’ thˆng, no v`.a la d o i tu.o.ng d e nghiˆn c´.u ma cu ng v`.a la mˆt
´
¯ˆ
e u
` ˜
u ` o
trı
`nh toan phˆ o
´
o
´ u ` ¯ˆ
.
.
.c, v´.i nh˜.ng u.ng dung trong nhiˆu lı nh vu.c khac nhau cua toan hoc.
´
` ˜
’
o
u ´
e
´
´
cˆng cu d ˘c lu
o
.
.
.
. ¯a .
. cac cˆ p, nh˜.ng bai toan vˆ ch´.ng minh
´
’ ´ ’
` ´ ` u
e
Trong cac d` thi chon hoc sinh gioi toan o ´ a
´ ¯ˆ
e
u
.
.
- T thu.`.ng xuˆ t hiˆn nhu. mˆt dang toan kha quen thuˆc, nhu.ng d e tı ra l`.i
’
´
o
a
e
o .
´
´
o
¯ˆ `m
o
BD
.
.
.
’
’ ` o
giai khˆng phai la mˆt viˆc dˆ dang.
o
e ˜ `
.
. e
.o.c kha nhiˆu tai liˆu d` cˆp va cac bai tˆp vˆ BDT cu ng
˜
` ` e ¯ˆ a ` ´ ` a ` ´ - ¯a ¯
´
e
e .
e
Ly thuyˆ t BDT d˜ d u .
´
e
.
.
´
u
` `
a o
kha phong phu, d dang, trong d´ cac phu.o.ng phap ch´.ng minh BDT la phˆn nˆi
´
´ ¯a .
¯o ´
.
.`.ng g˘p trong nhiˆu tai liˆu.
` ` e
a
e
dung quan trong thu o
.
.
.
.ng phu.o.ng phap ch´.ng minh BDT ho˘c sang tao ra nh˜.ng BDT
´
u
a ´
u
Mˆt trong nh˜
o
u
.
.
.
a m´.i la viˆc lam ch˘t BDT.
o ` e `
.
.
. ta co (ho˘c cˆn ch´.ng minh) BDT A < B (tu.o.ng tu. v´.i BDT A > B, A ≤
’ ’
Gia su
´
a `
u
. o . a
.o.c biˆ u th´.c C sao cho A < C < B, thı ta noi r˘ ng BDT
’
`
´
e
u
`
´ a
B, A ≥ B). Nˆ u tı d .
e `m ¯u
’
´
’
a ¯a ¯ . `
a
e
a
` e
e
th´. nhˆ t d˜ d u.o.c lam ch˘t (nghiˆm ng˘t) bo.i BDT th´. hai va hiˆ n nhiˆn, BDT
u
u
.
.
´
a ¯u .
u u
e
u
¯u .
u
th´. nhˆ t d .o.c suy ra t`. BDT th´. hai. Viˆc ch´.ng minh d .o.c BDT th´. hai cho
u
.
.ng minh BDT th´. nhˆ t va d` ng th`.i sang tao ra nh˜.ng BDT m´.i.
´
u a ` ¯ˆ
o
o ´
u
o
ta mˆt cach ch´
o ´
u
.
.
’
˜
´
´ ¯ˆ `
a ` a ´ y
Do d´ , viˆc tı ra cac phu.o.ng phap d e lam ch˘t BDT la rˆ t co ´ nghı a.
¯o e `m
´
.
.
-o ˜
D´ cu ng la nˆi dung ma luˆn v˘n nay d` cˆp.
` o
` a a ` ¯ˆ a
e .
.
.
´
`
`
’ ¯ˆ
o
e
Luˆn v˘n day 74 trang, gˆm cac phˆn muc luc, Mo. d` u, 4 chu.o.ng nˆi dung, Kˆ t
a a `
o ´
a
a
.
.
. .
’
luˆn va Tai liˆu tham khao.
a ` ` e
.
.
´
’ .
Chu.o.ng 1: Phu.o.ng phap su. dung tı chˆ t cua ham lˆi (lo m) .
´
´nh a ’ ` ` ˜
o
-a `
’
´
’ `
´
a ¯e `
a
` o o
Dˆy la phu.o.ng phap co. ban va quan trong nhˆ t dˆ lam ch˘t BDT ma mˆt sˆ
.
.
. ´
˜
` ¯o
’
tai liˆu hiˆn hanh cu ng d˜ d` cˆp, d ac biˆt la tai liˆu [1]. Phˆn d´ ng gop cua luˆn
` e
e `
¯a ¯ˆ a ¯˘
e .
e ` ` e
a
´
a
.
.
.
.
.
.
.o.ng phap nay b˘ ng nh˜.ng vı du
’
`
´
´
’ e ` e . e ´ ´
´
` a
u
´ .
v˘n, chu yˆ u la viˆc cu thˆ hoa ly thuyˆ t cua phu
a
e ’
.
’, co thˆ tach riˆng thanh nh˜.ng bai tˆp vˆ BDT kha phong phu.
’
va bai tˆp cu thˆ ´ e ´
` ` a . e
e
`
u
` a ` e
´
´
.
.
.`.ng ho.p riˆng cua cac BDT d˜ d u.o.c tao ra t`.
- ¯a ¯ . .
`
’ ´
e
u
Kha nhiˆu BDT quen thuˆc, la tru o
´
e
o `
.
.
.ng minh hoa nay. Trong phˆn cuˆ i chu.o.ng, luˆn v˘n cu ng d˜ d u.a ra d .o.c kha
`
´
nh˜
u
a
o
a a ˜
¯a ¯
¯u .
´
. `
.
3
’
’
`
`
´
nhiˆu ham lˆi (lo m) dˆ ban d . c co thˆ ´ p dung sang tao ra nhiˆu BDT khac.
e ` ` ˜
o
¯e . ¯o ´ e a
´
e
.
.
.o.ng 2: Phu.o.ng phap lu.a chon tham sˆ .
´
Chu
´ .
o
.
.o.ng cua phu.o.ng phap nay bo.i mˆt vı du sau d ay: Gia su.
’
’
’
’ ’
´
`
Co thˆ minh hoa ´ tu ’
´ e
o ´ .
¯ˆ
. y
.
’
`
˜ `
´ ’
´ o a
¯u . a ¯a
u
a, b, c la 3 sˆ khˆng ˆm co tˆ ng b˘ ng 3. Dˆ dang ch´.ng minh d .o.c bˆ t d ˘ng th´.c
`
o
´ o
a
e
u
√
√
√
a + b + c ≥ ab + bc + ca.
1
Nhu. vˆy, v´.i k ≥ thı BDT sau d ay luˆn d´ ng
` ¯ˆ
o ¯u
a
o
.
2
ak + bk + ck ≥ ab + bc + ca.
1
˜
’ .
Mˆt cˆu hoi tu. nhiˆn d u.o.c d ˘t ra, v´.i k < thı khi nao BDT trˆn vˆn d´ ng?
o a
`
`
e a ¯u
e ¯ . ¯a
o
.
.
2
1
˜
´
´
’
a
e a ¯u
o
Viˆc tı d .o.c sˆ k (k < ) nho nhˆ t sao cho BDT trˆn vˆn d´ ng cho ta mˆt
e `m ¯u . o
.
.
2
.o.ng phap d e lam ch˘t BDT.
’
´ ¯ˆ `
a
phu
.
-o ˜
´
`
¯o
o
D´ cu ng la nˆi dung ma luˆn v˘n d` cˆp trong chu.o.ng nay, trong d´ tham sˆ
` o
` a a ¯ˆ a
e .
.
.
´ . .
´
k d u.o.c xet o. hai dang, la tham sˆ d ˆc lˆp ho˘c con phu thuˆc vao mˆt tham sˆ khac.
¯ . ´ ’
`
o ¯o a
a `
o `
o
o ´
.
.
.
.
.
´
’ .
´
¯e
´nh a ’ ` ¯
Chu.o.ng 3: Phu.o.ng phap su. dung tı chˆ t cua ham d o.n d iˆu.
.
.o.ng phap nay cu ng d˜ d u.o.c mˆt sˆ tai liˆu d` cˆp, d ac biˆt la tai liˆu [1].
˜
´ ` e ¯ˆ a ¯˘
´
`
¯a ¯ .
o o
e .
e ` ` e
Phu
.
.
.
.
.
. chu.o.ng nay chu yˆ u la viˆc hˆ thˆ ng hoa mˆt sˆ
´
` ¯o
’ e ` e e o
’
`
´
o o
Phˆn d´ ng gop cua luˆn v˘n o
a
´
a a ’
. . ´
. ´
.
.o.ng phap s˘p th´. tu. cac d i lu.o.ng trung bı
’
´
´ ’
phu
´ a
u . ´ ¯a
`nh va cu thˆ hoa ly thuyˆ t cua
` . e ´ ´
e
.
.
’
`
`
´
a
u
´ . ` ` a . e
´
e
o ¯u .
a
phu.o.ng phap b˘ ng nh˜.ng vı du va bai tˆp cu thˆ . Kha nhiˆu BDT m´.i d .o.c luˆn
.
.
. dung phu.o.ng phap nay.
`
’
´
`
v˘n sang tac, thˆng qua viˆc lam ch˘t BDT b˘ ng cach su .
a ´
´
o
e `
a a
´
.
.
Chu.o.ng 4: Phu.o.ng phap hı hoc.
´ `nh .
.o.ng nay d` cˆp dˆ n mˆt sˆ phu.o.ng phap lam ch˘t BDT d ai sˆ
´
´
` ¯ˆ a ¯e
e .
o o
´ `
a
¯. o
Nˆi dung chu
o
. ´
.
.
.ng u.´.c lu.o.ng tru.c quan t`. hı hoc, v´.i nh˜.ng vı du minh hoa kha
o
u `nh .
o
u
´ .
´
thˆng qua nh˜
o
u
.
.
.
’
cu thˆ .
. e
˜
´
’
`
`
o .
o
a
e ˜
Luˆn v˘n d u.o.c hoan thanh du.´.i su. hu.´.ng dˆn khoa hoc cua Tiˆ n sy Trinh
a
a ¯ .
.
.
.
.`.i Thˆy rˆ t nghiˆm kh˘c va tˆn tˆm trong cˆng viˆc, ngu.`.i Thˆy
-a
´
` a
`
´
a ´
e
a ` a a
o
e
o
a
D`o Chiˆ n - Ngu o
e
.
.
´
` y
’ ´ ¯o
’
’
’
a ` e
khˆng chı giup d ˜., cung cˆ p tai liˆu, go.i mo. cho tac gia nhiˆu ´ tu.o.ng hay va
o
´
e
`
.
.
.c quı bau, cu ng nhu. nh˜.ng kinh nghiˆm nghiˆn c´.u khoa
˜
` ¯.
`
´
´ ´
u
e
e u
truyˆn d at nhiˆu kiˆ n th´
e
e
e
u
.
´
’ ’
’
’
hoc ma con chı bao cho tac gia trong tac phong lam viˆc, thˆng cam, khuyˆ n khı
` `
´
´
`
e
o
e
´ch
.
.
’
u
´ a
e
o ` o o
´nh
d ˆng viˆn tac gia vu.o.t qua nh˜.ng kho kh˘n trong chuyˆn mˆn va cuˆc sˆ ng. Chı
¯o
e ´
.
. ´
.
.n chˆn thanh va su. kı phuc sˆu s˘c d ˆ i v´.i
´ ´
´
’ o ’ `
a
`
` . ´nh . a a ¯o o
vı vˆy ma tac gia luˆn to long biˆ t o
` a
` ´
e
.
.´.ng dˆn - Tiˆ n sy Trinh Dao Chiˆ n.
˜
´
´
`
a
e ˜ . -`
e
thˆy giao hu o
a
´
´
´
’ ˜
a
`
¯ˆ
´
e
Nhˆn d ˆy, tac gia cu ng xin bay to long biˆ t o.n chˆn thanh d e n Ban Giam Hiˆu
a ¯a ´
` ’ `
e
.
4
-. .
-. .
´
´
o
` ¯a . - . . `
tru.`.ng Dai hoc Quy Nho.n, Phong d `o tao Dai hoc va sau Dai hoc, khoa Toan, quı
.c tiˆ p giang day d˜ tao moi d ` u kiˆn thuˆn lo.i trong th`.i gian tac
` o ´
´
’
Thˆy cˆ giao tru e
a
e
e
a .
o
´
.
. ¯a .
. ¯iˆ
.
.
’
gia tham gia khoa hoc.
´
.
- ` ng th`.i tac gia cu ng xin bay to long biˆ t o.n d e n UBND Tı nh Gia Lai, So.
´
´
’ ˜
’
’
` ’ `
e
¯ˆ
Dˆ
o
o ´
.`.ng THPT Ia Grai, d˜ d ˆng
’
¯a ¯o
Giao duc va d ao tao Tı nh Gia Lai, Ban Giam Hiˆu tru o
´
´
e
.
. ` ¯` .
.
.i dˆ tac gia co nhiˆu th`.i gian nghiˆn c´.u va
’
`
’ ´
e
o
e u `
viˆn va tao moi d iˆu kiˆn thuˆn lo ¯e ´
e ` .
¯`
e
e
a .
.
.
.
hoan thanh d` tai.
`
`
¯ˆ `
e
’ `
a
Trong qua trı hoan thanh luˆn v˘n nay, tac gia con nhˆn d .o.c su. quan tˆm
´ `nh `
`
a a ` ´
a ¯u . .
.
.
., cac anh chi em trong gia d`nh, cac ban d` ng nghiˆp, cac anh
d ˆng viˆn cua me , vo ´
¯o
e ’
¯ı
´ . ¯ˆ
o
e ´
.
. .
.
.
.p cao hoc khoa VII, VIII, IX cua tru.`.ng Dai hoc Qui Nho.n. Tac gia
-. .
’
’
´
o
´
chi em trong l´
o
.
.
.n tˆ t ca su. quan tˆm va d ˆng viˆn d´ .
´
’
xin chˆn thanh cam o a ’ .
a
`
a
` ¯o
e ¯o
.
-e `
’
´ ´ ´
’ ¯a a o a
Dˆ hoan thanh luˆn v˘n, tac gia d˜ rˆ t cˆ g˘ng tˆp trung nghiˆn c´.u, song do
`
a a ´
a
e u
.
.
˜
´
´
` a
`
´ e
e
a
a
a a
´t nhiˆu han chˆ vˆ th`.i gian, cu ng nhu. vˆ n˘ng lu.c nˆn ch˘c ch˘n trong luˆn v˘n
ı
e .
e ` o
. e
.
.a d` cˆp d e n va kho tranh khoi nh˜.ng thiˆ u sot nhˆ t d inh.
´
´
´
`
´ e
’
e .
u
e ´
a ¯.
con nhiˆu vˆ n d` chu ¯ˆ a ¯ˆ ` ´ ´
`
e a ¯ˆ
.o.c su. chı bao cua quı thˆy cˆ va nh˜.ng gop ´ cua ban
´
’ ’
’
’ a
´ ` o ` u
a
´ y ’
Tac gia rˆ t mong nhˆn d . .
´
a ¯u
.
.
d oc vˆ luˆn v˘n nay.
¯. ` a a `
e .
Quy Nho.n, thang 02 n˘m 2008
´
a
’
Tac gia
´
5
Chu.o.ng 1
´
˙
’
a
Phu.o.ng ph´p su. dung t´
ınh chˆt
a
.
h`m lˆi (l˜m)
a `
o o
1.1
˜
’
´
´
’
a ¯˘
u
Th´. tu. s˘p d .o.c cua da y bˆ t dang th´.c
u
. a ¯u .
’
` `
o ˜
sinh bo.i ham lˆi (lo m)
’ a
´
´ .
’ .
Tru.´.c hˆ t, v´.i hai sˆ thu.c a ≥ b, ta su. dung kı hiˆu I(a; b) d e ngˆm d .nh mˆt
o e
o
o
´ e
¯ˆ ` ¯i
o
.
.
.p (a; b), [a; b), (a; b] va [a; b].
´ .
`
trong bˆ n tˆp ho
o a
.
´
’
u
Trong [1], hai kˆ t qua sau d ˆy d˜ d u.o.c ch´.ng minh:
e
¯a ¯a ¯ .
-.
´
’ ’
` `
o
e
o `
o
´
Dinh ly 1.1.1. Gia su. cho tru.´.c ham sˆ y = f (x) co f (x) ≥ 0 (ham lˆi) trˆn
´
. x , x ∈ I(a; b) v´.i x < x . Khi d´ , v´.i moi da y sˆ t˘ng dˆn {u }
´
`
o 1
¯o o
a
I(a; b) va gia su 1 2
` ’ ’
2
k
. ˜ o a
x1 + x2
trong x1 ;
:
2
x1 = u0 < u1 < u2 < ... < un <
´
`
va da y sˆ giam dˆn {vk } trong
` ˜ o ’
a
x1 + x2
2
(1.1)
x1 + x2
; x2 :
2
x1 + x2
< vn < vn−1 < ... < v1 < v0 = x2
2
(1.2)
uj + vj = x1 + x2, ∀j = 0, 1, ..., n
(1.3)
f (u0 ) + f (v0 ) ≥ f (u1 ) + f (v1 ) ≥ ... ≥ f (un ) + f (vn ).
(1.4)
sao cho
ta d` u co
¯ˆ ´
e
˜
’
` o ˜
Noi cach khac: Da y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, ..., n, la mˆt da y giam.
´ ´
´
.
6
-.
´
’ ’
` ˜
e
o `
o
´
Dinh ly 1.1.2. Gia su. cho tru.´.c ham sˆ y = f (x) co f (x) 0 (ham lo m) trˆn
´
. x , x ∈ I(a; b) v´.i x < x . Khi d´ , v´.i moi da y sˆ t˘ng dˆn {u }
´
`
o 1
¯o o
a
I(a; b) va gia su 1 2
` ’ ’
2
k
. ˜ o a
x1 + x2
trong x1 ;
:
2
x1 + x2
x1 = u0 < u1 < u2 < ... < un <
2
x1 + x2
´
`
; x2 :
va da y sˆ giam dˆn {vk } trong
` ˜ o ’
a
2
x1 + x2
< vn < vn−1 < ... < v1 < v0 = x2
2
sao cho
uj + vj = x1 + x2, ∀j = 0, 1, ..., n,
ta d` u co
¯ˆ ´
e
f (u0 ) + f (v0 )
f (u1 ) + f (v1 )
...
f (un ) + f (vn ).
(1.5)
˜
Noi cach khac: Da y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, ..., n, la mˆt da y t˘ng.
´ ´
´
` o ˜ a
.
’
`
´
’ u -.
´
u
e
´
a -.
Nhˆn xe r˘ ng, d e co d u.o.c nh˜.ng kˆ t qua t`. Dinh lı 1.1.1 ho˘c Dinh lı 1.1.2,
a ´t a
¯ˆ ´ ¯ .
.
.
.´.c hˆ t la phai xˆy du.ng trˆn I(a; b) hai da y {u } va {v } thoa
˜
´
’
’ a
d iˆu quan trong tru o e `
¯`
e
` k
e
k
.
.
˜
´
’ ¯i
ma n nh˜.ng d ` u kiˆn cua d .nh lı Sau d´ la viˆc tı nh˜.ng ham sˆ y = f (x) co
u
¯iˆ
e
e
´.
¯o ` e `m u
`
o
´
.
.
’
a
e
¯ˆ a
f (x) ≥ 0 ho˘c f (x) 0 trˆn I(a; b) d e ´ p dung.
.
.
.´.i d ay la mˆt vai minh hoa cho hai d nh lı trˆn, v´.i nh˜.ng da y sˆ va ham
˜ o ` `
´
¯i
´ e
o
u
Du o ¯ˆ ` o `
.
.
.
’
´
´
´
’
’ ´
a
u
e
´
sˆ d o.n gian nhˆ t. Ban d . c co thˆ tı ra nh˜.ng kˆ t qua khac, phong phu ho.n.
o ¯
. ¯o ´ e `m
.i hai sˆ thu.c cho tru.´.c x < x , hı
’
`
´ .
’
’ ´ ¯e
`nh anh cua cac d iˆ m uj va vj lˆn lu.o.t
`
a
o
o 1
V´
o
2
.
x1 + x2
.ng
’
´
´ e
`
’ ¯oa
trˆn truc sˆ giup ta xˆy du
e
a
`
”tiˆ n d` u” vˆ trung d iˆ m cua d . n [x1x2 ] la
e ¯ˆ
e
¯e
. o ´
.
2
.o.c hai da y {u } va {v } thoa ma n nh˜.ng d ` u kiˆn cua Dinh lı 1.1.1 va Dinh lı
-.
˜
’ ˜
’ -.
` k
u
¯iˆ
e
e
´
`
´
du .
¯
k
.
. sau:
1.1.2 nhu
Vı du 1.1.
´ .
u0 = x1 , u1 = x1 +
(n + 2)x1 + nx2
x2 − x1
x2 − x1
, . . . , u n = x1 + n
=
;
2.(n + 1)
2(n + 1)
2(n + 1)
v0 = x2, v1 = x2 −
nx1 + (n + 2)x2
x2 − x1
x2 − x1
, . . . , vn = x 2 − n
=
.
2.(n + 1)
2(n + 1)
2(n + 1)
´
Bˆy gi`., xe ham sˆ
a
o ´t `
o
f (x) = x2; x ∈ R.
Ta co
´
f (x) = 2 > 0; ∀x ∈ R.
-.
Do d´ , theo Dinh lı 1.1.1, ta co
¯o
´
´
7
’
´
Bˆ t d ˘ng th´.c 1.1.
a ¯a
u
(2n + 1)x1 + x2
2(n + 1)
(n + 2)x1 + nx2
≥
2(n + 1)
x2 + x2 ≥
1
2
x1 + (2n + 1)x2 2
2nx1 + 2x2 2 2x1 + 2nx2
≥
+
2(n + 1)
2(n + 1)
2(n + 1)
2
2
2
nx1 + (n + 2)x2
x1 + x2
+
≥
; ∀x1, x2 ∈ R.
2(n + 1)
2
2
2
+
´
´
´
Tiˆ p tuc, nˆ u xe ham sˆ
e .
e ´t `
o
f (x) =
Ta co
´
f (x) =
1
; x > 0.
x
2
> 0; ∀x > 0.
x3
-.
Do d´ , theo Dinh lı 1.1.1, ta co
¯o
´
´
’
´
Bˆ t d ˘ng th´.c 1.2.
a ¯a
u
1
2(n + 1)
2(n + 1)
2(n + 1)
2(n + 1)
1
+
≥
+
≥
+
≥ ···
x1 x2
(2n + 1)x1 + x2 x1 + (2n + 1)x2
2nx1 + 2x2 2x1 + 2nx2
≥
2(n + 1)
4
2(n + 1)
+
≥
; ∀x1, x2 > 0, n ≥ 1.
(n + 2)x1 + nx2 nx1 + (n + 2)x2
x1 + x2
´
Bˆy gi`., xe ham sˆ
a
o ´t `
o
f (x) =
Ta co
´
f (x) = −
√
x; x > 0.
1
√ > 0; ∀x > 0.
4x x
-.
Do d´ , theo Dinh lı 1.1.1, ta co
¯o
´
´
’
´
Bˆ t d ˘ng th´.c 1.3.
a ¯a
u
√
√
x1 + x2
···
(2n + 1)x1 + x2
+
2(n + 1)
(n + 2)x1 + nx2
+
2(n + 1)
x1 + (2n + 1)3x2
2(n + 1)
nx1 + (n + 2)x2
≤
2(n + 1)
2nx1 + 2x2
+
2(n + 1)
x1 + x2
; ∀x1, x2 > 0 n ≥ 1.
2
´
´
´
Tiˆ p tuc, nˆ u xe ham sˆ
e .
e ´t `
o
f (x) =
Ta co
´
sinx
; x ∈ (0; π).
1 + sinx
sinx + 1 + cos2 x
< 0; ∀x ∈ (0; π).
(1 + sinx)3
-.
Do d´ , theo Dinh lı 1.1.1, ta co
¯o
´
´
f (x) = −
2x1 + 2nx2
2(n + 1)
···
8
’
´
Bˆ t d ˘ng th´.c 1.4.
a ¯a
u
x1 + (2n + 1)x2
(2n + 1)x1 + x2
sin
sinx2
sinx1
2(n + 1)
2(n + 1)
+
+
≤
(2n + 1)x1 + x2
x1 + (2n + 1)x2
1 + sinx1 1 + sinx2
1 + sin
1 + sin
2(n + 1)
2(n + 1)
nx1 + (n + 2)x2
(n + 2)x1 + nx2
sin
sin
2(n + 1)
2(n + 1)
+
(n + 2)x1 + nx2
nx1 + (n + 2)x2
1 + sin
1 + sin
2(n + 1)
2(n + 1)
x1 + x2
sin
2
≤2
x1 + x2 ; ∀x1, x2 ∈ (0; π), n ≥ 1
1 + sin
2
sin
···
’
’ . o -.
Bˆy gi`., tro. lai v´.i Dinh lı 1.1.1 va Dinh lı 1.1.2. Co thˆ ch´.ng minh d u.o.c
a
o
´
` -.
´
´ e u
¯ .
.i mˆt gia thiˆ t manh ho.n.
`
˜
´
´
´
’
’
’
r˘ ng kˆ t qua (1.4) va (1.5) vˆn d´ ng nˆ u thay (1.3) bo
a
e
`
a ¯u
e
o
e
.
.
´
’
Ta co cac kˆ t qua sau d ˆy:
´ ´ e
¯a
-.
´
’ ’
` `
o
e
o `
o
´
Dinh ly 1.1.3. Gia su. cho tru.´.c ham sˆ y = f (x) co f (x) ≥ 0 (ham lˆi) trˆn
´
. x , x ∈ I(a; b) v´.i x < x . Khi d´ , v´.i moi da y sˆ t˘ng dˆn {u }
´
`
o 1
¯o o
a
I(a; b) va gia su 1 2
` ’ ’
2
k
. ˜ o a
x1 + x2
trong x1 ;
:
2
x1 = u0 < u1 < u2 < ... < un <
´
`
va da y sˆ giam dˆn {vk } trong
` ˜ o ’
a
x1 + x2
2
x1 + x2
; x2 :
2
x1 + x2
< vn < vn−1 < ... < v1 < v0 = x2
2
sao cho
x1 + x2 = u0 + v0 ≥ u1 + v1 ≥ · · · ≥ un + vn ,
ta d` u co
¯ˆ ´
e
f (u0) + f (v0 ) ≥ f (u1 ) + f (v1 ) ≥ · · · ≥ f (un ) + f (vn ).
˜
’
Noi cach khac: Da y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, · · · , n, la mˆt da y giam.
´ ´
´
` o ˜
.
˜
´
’
o o
u ´
e
´
Ch´.ng minh. V´.i mˆi j ∈ {0, 1, · · · , n}, t`. cac gia thiˆ t, ta co
u
uj < uj+1 <
uj+1 + vj+1
2
u0 + v0
x1 + x2
=
< vj+1 < vj .
2
2
(1.6)
9
˜
o
¯˘
Bˆy gi`., v´.i mˆi j ∈ {0, 1, ..., n}, d at
a
o o
.
u
j+1 − uj = j+1
vj − vj+1 = δj+1 .
´
Thˆ thı
e `
0<
j+1
δj+1 ; ∀j ∈ {0, 1, ..., n}.
-.
˜
Bˆy gi`., v´.i mˆi j ∈ {0, 1, ..., n}, theo Dinh lı Lagrange, ta co
a
o o
o
´
´
.i c
o
f (uj+1 ) − f (uj ) = f (cj+1 )(uj+1 − uj ) = f (cj+1 ) j+1 , v´ j+1 ∈ (uj ; uj+1);
o
f (vj ) − f (vj+1 ) = f (dj+1 )(vj − vj+1 ) = f (dj+1 )δj+1 , v´.i dj+1 ∈ (vj+1 ; vj ).
.n n˜.a, vı c
`
e
´
` j+1 < dj+1 ; ∀j ∈ {0, 1, ..., n} va f (x) ≥ 0, nˆn ta co
Ho u
f (cj+1 )
f (dj+1 ); ∀j ∈ {0, 1, ..., n}.
Do d´ , ta co
¯o
´
f (uj+1 ) − f (uj )
f (vj ) − f (vj+1 ); ∀j ∈ {0, 1, ..., n},
hay
f (uj ) + f (vj ) ≥ f (uj+1 ) + f (vj+1 ); ∀j ∈ {0, 1, ..., n}.
’
Ta co d ` u phai ch´.ng minh.
´ ¯iˆ
e
u
Tu.o.ng tu., ta co
´
.
-.
´
’ ’
` ˜
e
o `
o
´
Dinh ly 1.1.4. Gia su. cho tru.´.c ham sˆ y = f (x) co f (x) 0 (ham lo m) trˆn
´
. x , x ∈ I(a; b) v´.i x < x . Khi d´ , v´.i moi da y sˆ t˘ng dˆn {u }
´
`
o 1
¯o o
a
I(a; b) va gia su 1 2
` ’ ’
2
k
. ˜ o a
x1 + x2
trong x1 ;
:
2
x1 + x2
x1 = u0 < u1 < u2 < · · · < un <
2
x1 + x2
´
`
; x2 :
va da y sˆ giam dˆn {vk } trong
` ˜ o ’
a
2
x1 + x2
< vn < vn−1 < · · · < v1 < v0 = x2
2
sao cho
x1 + x2 = u0 + v0 ≥ u1 + v1 ≥ · · · ≥ un + vn ,
ta d` u co
¯ˆ ´
e
f (u0) + f (v0 )
f (u1 ) + f (v1 )
···
f (un ) + f (vn ).
˜
` o ˜ a
Noi cach khac: Da y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, · · · , n, la mˆt da y t˘ng.
´ ´
´
.
10
’
`
´ .
’ ´ ¯iˆ
`nh ’
`
a
o
o
Bˆy gi`., v´.i hai sˆ thu.c cho tru.´.c x1 < x2 , hı anh cua cac d e m uj va vj lˆn
a
o o
.o.t ”tiˆ n chˆm dˆn d` u” vˆ trung d e m cua d n [x x ] la x1 + x2 trˆn truc sˆ
’
´
´
` ¯ˆ
`
’ ¯oa
e
e
a
a
e
e
¯iˆ
lu .
1 2 `
. o
.
.
2
˜
’ ˜
`
u
¯ .
¯iˆ
e
e ’ -.
giup ta xˆy du.ng d u.o.c hai da y {uk } va {vk } thoa ma n nh˜.ng d ` u kiˆn cua Dinh
´
a
.
.
. sau:
- inh lı 1.1.4 nhu
lı 1.1.3 va D.
´
`
´
Vı du 1.2.
´ .
x2 − x1
, ...,
22
x2 − x1
x2 − x1
(2n+1 − 2n + 1)x1 + (2n − 1)x2
+ · · · + n+1 =
;
un = x1 +
22
2
2n+1
x2 − x1
,··· ,
v0 = x2 , v1 = x2 −
22
x2 − x1
x2 − x1
(2n − 1)x1 + (2n+1 − 2n + 1)x2
vn = x2 −
− · · · − n+1 =
.
22
2
2n+1
’ ´
e
¯u . ´ a ˜
Ngoai ra, co thˆ phˆ i ho.p cac cach tao da y nhu. trˆn, ta thu d .o.c cac c˘p da y
`
´ e o . ´ ´
. ˜
.
.ng d ` u kiˆn cua Dinh lı 1.1.3 va Dinh lı 1.1.4, ch˘ng
’
’ ˜
’ -.
`
u
¯iˆ
e
e
´
` -.
´
a
{uk } va {vk } thoa ma n nh˜
.
han:
.
u0 = x1, u1 = x1 +
Vı du 1.3.
´ .
u0 = x1 , u1 = x1 +
un = x1 + n
x2 − x1
−
2(n + 1)
x2 − x1
x2 − x1
− 2
,··· ,
2(n + 1) 2 (n + 1)
x2 − x1
x2 − x1
x2 − x1
+ 3
+ · · · + n+1
2 (n + 1)
2
2 (n + 1)
2 (n + 1)
(n + 1)2n+1 − (n − 1)2n − 1 x1 + (n − 1)2n + 1 x2
;
=
(n + 1)2n+1
v0 = x2, v1 = x2 −
nx1 + (n + 2)x2
x2 − x1
x2 − x1
, · · · , vn = x2 − n
=
.
2(n + 1)
2(n + 1)
2(n + 1)
´
´
Cuˆ i cung, v´.i viˆc chon cac ham sˆ y = f (x) co f (x) ≥ 0 ho˘c f (x)
o `
o
a
0
e
o
´
.
.
. ´ `
˜
` ´ .
´
e
´
trˆn I(a; b), ta se thu d u.o.c kha nhiˆu vı du phong phu.
e
¯ .
- ˆ i v´.i cac ham sˆ lˆi ho˘c lo m, ngoai cac d .nh lı nˆu trˆn, cac dang cua Bˆ t
´ o
´
´
’
o `
a ˜
` ´ ¯i
´ e
e ´ .
a
Do o ´ `
.
.c Karamata con cho ta nh˜.ng phu.o.ng phap lam ch˘t bˆ t d ˘ng th´.c rˆ t
’
´
`
u
´ `
a a ¯a
u a
d ˘ng th´
¯a
u
. ´ ’
’ ’
´
’
’ o ¯ e ¯a ¯ .
`nh bay trong [1], ma ta co
`
`
´
hiˆu qua. Sau d ay la cac kˆ t qua cˆ d iˆ n, d˜ d u.o.c trı
e
¯ˆ ` ´ e
.
’
thˆ mˆ ta thˆng qua mˆt sˆ vı du.
e o ’ o
o o ´ .
. ´
11
1.2
’
´
Bˆ t dang th´.c Karamata
a ¯˘
u
-.
´ ’
Dinh ly 1.2.1. (Bˆ t d a ng th´.c Karamata)
´
a ¯˘
u
´
´
Cho ham sˆ y = f (x) co d ao ham cˆ p hai tai moi x ∈ (a; b) sao cho f (x) > 0
`
o
´ ¯. `
a
.
.
.i moi x ∈ (a; b).
v´
o
.
´
’ ˜ ¯`
’ ’
`
` ´ o
o
e
e
Gia su. a1, a2, · · · , an va x1 , x2, · · · , xn la cac sˆ thuˆc [a;b], thoa ma n d iˆu kiˆn
.
.
x 1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn ,
a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an
va
`
x1 ≥ a1
x + x ≥ a + a
1
2
1
2
...
x1 + x2 + ... + xn−1 ≥ a1 + a2 + ... + an−1
x1 + x2 + ... + xn = a1 + a2 + ... + an
Khi d´ , ta luˆn co
¯o
o ´
n
n
f (xk ) ≥
k=1
f (ak ).
k=1
˜
`
´
’
`
` ´
e
o
u
Nhˆn xe r˘ ng, cac gia thiˆ t cua hai da y {xk } va {ak } la kha nhiˆu. V´.i nh˜.ng
a ´t `
a
´
e ’
.
.c co. ban vˆ d ai sˆ tuyˆ n tı
.ng minh kˆ t qua sau d ˆy
’
´
´
´
´
’ ` ¯. o
’
e
e ´nh, ta co thˆ ch´
´ e u
e
¯a
kiˆ n th´
e
u
-.
Dinh ly 1.2.2. (I.Schur)
´
- `
’
´
’
¯e
Diˆu kiˆn cˆn va d u dˆ hai bˆ da y sˆ d o.n d iˆu giam {xk , ak ; k = 1, 2, · · · , n},
e
e ` ` ¯ ’ ¯e
o ˜ o ¯
.
. a
.
’ ˜ ´ ¯`
thoa ma n cac d iˆu kiˆn
e
e
.
x1 ≥ a1
x + x ≥ a + a
1
2
1
2
...
x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ a1 + a2 + · · · + an−1
x1 + x2 + · · · + xn = a1 + a2 + · · · + an
’
´
´
la gi˜.a chung co mˆt phe biˆ n d o i tuyˆ n tı dang
` u
´
´ o
´p e ¯ˆ
e ´nh .
.
n
ai =
tij xj ; i = 1, 2, · · · , n,
j=1
12
trong d´
¯o
n
tkl ≥ 0,
n
tkj = 1,
j=1
tjl = 1; k, l = 1, 2, · · · , n.
j=1
’
o ´ .
¯a
Co thˆ mˆ ta ma trˆn (tij ) qua mˆt vı du sau d ˆy:
´ e o ’
a
.
.
’
`
´
´
´ o
a
Vı du 1.4.
´ .
Xe da y sˆ khˆng ˆm bˆ t ky α1 , α2 , · · · , αn co tˆ ng b˘ ng α > 0.
´t ˜ o o a
a `
˜
o
¯a
V´.i mˆi i = 1, 2, · · · , n, ta d ˘t
o
.
αi
= ai
α
’
´
Thˆ thı ma trˆn (aij ); i, j = 1, 2, · · · , n, co thˆ xac d. nh nhu. sau
e `
a
´ e ´ ¯i
.
´
e
aij = ai+j−1 ; nˆ u i + j n + 1
´
e
aij = ai+j−n−1 ; nˆ u i + j > n + 1.
Vı du 1.5.
´ .
’ ’
Gia su.
0
k
1,
2,
3
’
`
´
’ ˜
la 3 sˆ du.o.ng co tˆ ng b˘ ng 1. Chon k thoa ma n
`
o
´ o
a
.
1
1 (1 −
min{
1)
;
1
2 (1 −
2)
;
1
3 (1 −
3)
}.
’
´
´ e ´ ¯i
Thˆ thı ma trˆn (aij ); i, j = 1, 2, · · · , n, co thˆ xac d. nh nhu. sau
e `
a
.
´
e
aij = k 2 − k i + 1 ; nˆ u i = j
i
´
e
aij = k i j ; nˆ u i = j.
Tu.o.ng tu. Dinh lı 1.2.5, ta co
´
´
. -.
-.
´
´
Dinh ly 1.2.3.
´
Cho ham sˆ y = f (x) co d ao ham cˆ p hai tai moi x ∈ (a; b)
`
o
´ ¯. `
a
.
.
.i moi x ∈ (a; b).
o
sao cho f (x) < 0 v´
.
´
’ ˜ ¯`
’ su. a1, a2, · · · , an va x1 , x2, · · · , xn la cac sˆ thuˆc [a;b], thoa ma n d iˆu kiˆn
’
`
` ´ o
o
e
e
Gia
.
.
x1
···
xn ,
a1
va
`
x2
a2
···
an
x1 a1
x + x
1
a1 + a2
2
...
x1 + x2 + · · · + xn−1 a1 + a2 + · · · + an−1
x1 + x2 + · · · + xn = a1 + a2 + · · · + an
Khi d´ , ta luˆn co
¯o
o ´
n
n
f (xk )
k=1
f (ak ).
k=1
13
´
´
’
Tuy nhiˆn, khi gia thiˆ t cuˆ i cung
e
e
o `
x1 + x2 + · · · + xn = a1 + a2 + · · · + an
-. ´
´
’ ´ u
’ .
trong Dinh lı 1.2.1 va Dinh lı 1.2.2 bi pha v˜., cˆn phai co nh˜.ng kˆ t qua manh ho.n
`-. ´
a
e
. ´ o `
’
´
´
’
dˆ thay thˆ . Ta co hai kˆ t qua sau d ˆy
¯e
e
´
e
¯a
-.
´
´
Dinh ly 1.2.4.
´
Cho ham sˆ y = f (x) co d ao ham cˆ p hai tai moi x ∈ (a; b)
`
o
´ ¯. `
a
.
.
.i moi x ∈ [a; b] va f (x) > 0 v´.i moi x ∈ (a; b).
o
o
`
sao cho f (x) ≥ 0 v´
.
.
. a , a , · · · , a va x , x , · · · , x la cac sˆ thuˆc [a;b], d` ng th`.i thoa ma n
´
’ ˜
’ ’
` 1 2
` ´ o
o
¯ˆ
o
o
Gia su 1 2
n
n
.
cac d iˆu kiˆn
´ ¯`
e
e
.
a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an ,
x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn
va
`
x1 ≥ a1
x + x ≥ a + a
1
2
1
2
...
x1 + x2 + · · · + xn ≥ a1 + a2 + · · · + an
Khi d´ , ta luˆn co
¯o
o ´
n
n
f (xk ) ≥
k=1
f (ak ).
k=1
-.
´
´
Dinh ly 1.2.5.
´
Cho ham sˆ y = f (x) co d ao ham cˆ p hai tai moi x ∈ (a; b)
`
o
´ ¯. `
a
.
.
.i moi x ∈ [a; b] va f (x) < 0 v´.i moi x ∈ (a; b).
o
o
`
sao cho f (x) ≥ 0 v´
.
.
. a , a , · · · , a va x , x , · · · , x la cac sˆ thuˆc [a;b], d` ng th`.i thoa ma n
´
’ ˜
’ ’
` 1 2
` ´ o
o
¯ˆ
o
o
Gia su 1 2
n
n
.
cac d iˆu kiˆn
´ ¯`
e
e
.
a1
···
an ,
x1
va
`
a2
x2
···
xn
x1 a1
x + x
a1 + a2
1
2
...
x1 + x2 + · · · + xn
a1 + a2 + · · · + an
Khi d´ , ta luˆn co
¯o
o ´
n
n
f (xk )
k=1
f (ak ).
k=1
14
´ ’
´ a
´
’ a ¯a
u
e `m
´
Ta thˆ y r˘ ng, d o i v´.i cac dang cua bˆ t d ˘ng th´.c Karamata, viˆc tı ra cac
a `
¯ˆ o ´ .
.
´
’ ˜ ¯iˆ
’ ¯i
`
e
e
´ ` a
¯ˆ
c˘p da y {ak } va {xk } thoa ma n d ` u kiˆn cua d .nh lı la rˆ t quan trong. Sau d ay
a ˜
.
.
.
.ng cac da y nay.
la mˆt sˆ vı du vˆ viˆc xˆy du
` o o ´ . ` e a
e .
´ ˜
`
. ´
.
Vı du 1.6.
´ .
´
’ ’
Gia su. cho tru.´.c da y sˆ giam
o ˜ o ’
x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn .
´
Khi d´ , luˆn tˆn tai da y sˆ khˆng ˆm α1 , α2 , · · · , αn−1 sao cho
¯o o ` . ˜ o o a
o
x1 − α1 ≥ x2 + α1 − α2 ≥ · · · ≥ xn−1 + αn−2 − αn−1 ≥ xn + αn−1 .
’ `
Thˆt vˆy, ta chı cˆn chon da y α1 , α2, · · · , αn−1 nhu. sau
a a
a
. .
. ˜
x1 − x2
x2 − x3
, 0 α2
, · · · , 0 αn−1
0 α1
2
2
’
´
Ch˘ng han, xe da y sˆ {xn }, v´.i xn = −n, n = 1, 2, · · ·
a
´t ˜ o
o
.
xn−1 − xn
.
2
Khi d´ , ta co x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn .
¯o
´
.i moi n ≥ 2, ta co
´
Ngoai ra, v´
`
o
.
xn−1 − xn
1
= .
2
2
´
´
¯o
Vˆy, nˆ u chon da y sˆ α1 , α2 , · · · , αn−1 , trong d´
a
e
.
. ˜ o
1
αn =
;n ≥ 2
2n
thı ta co
`
´
1
; ∀n ≥ 2
0 < αn
2
va
`
1
; ∀n ≥ 3.
αn−2 − αn−1 =
2(n − 2)(n − 1)
´
Thˆ thı ta co
e `,
´
x1 − α1 ≥ x2 + α1 − α2 ≥ · · · ≥ xn−1 + αn−2 − αn−1 ≥ xn + αn−1 .
´
´
e `,
a ´t e
´ e
o
Bˆy gi`., xe ham lˆi f (x) = x2 ; x ∈ R. Thˆ thı theo nhˆn xe trˆn, ta co kˆ t
a
o ´t ` `
.
’
qua sau d ˆy
¯a
’
´
Bˆ t d ˘ng th´.c 1.5.
a ¯a
u
x2 + x2 + · · · + x2 ≥ x1 −
1
2
n
+ xn−1 +
1
2(n − 2)(n − 1)
´
v´.i moi sˆ thu.c x1 , x2, · · · , xn .
o
. o .
1
2
2
+ x2 +
2
+ xn +
1
4
2
+···
1
2(n − 1)
2
15
´
’ ’
` ´ o .
Vı du 1.7.
´ .
Gia su. a1, a2, · · · , an la cac sˆ thu.c du.o.ng.
˜
` o ´
Ta xe bˆ b = b1, b2, · · · , bn la bˆ hoan vi cua da y lna1, lna2, · · · , lnan
´t o
.
. ’
.
. tu. giam dˆn. V´.i mˆi i ∈ {1, · · · , n}, co thˆ coi b = lna , v´.i
’
˜
`
´
’
o
a
o
o
´ e
xˆ p theo th´ .
e
u
i
ki
` ´ . ` ¯o ’
k1 , k2 , · · · , kn la hoan vi nao d´ cua (1, 2, · · · , n).
., ta lai xe bˆ c = c , c , · · · , c la bˆ hoan vi cua da y
` o ´ . ’ ˜
Bˆy gi`
a
o
1 2
n
.
. ´t o
.
2
2
a2
a1 a2
a2
n−1
ln ,ln , · · · ,ln
,ln n
a2 a3
an
a1
a2
k
’
˜
`
´
’
o
a
o
o
´ e
xˆ p theo th´. tu. giam dˆn. V´.i mˆi i ∈ {1, · · · , n}, co thˆ coi ci = ln i , v´.i
e
u .
a
ki +1
` ´ . ` ¯o ’
k1 , k2 , · · · , kn la hoan vi nao d´ cua (1, 2, · · · , n).
’
˜ `
`
’ ˜ ¯`
Dˆ dang kiˆ m tra d u.o.c r˘ ng c˘p da y {ck } va {bk } thoa ma n d iˆu kiˆn cua D. nh
e
e
¯ . a
`
e
e ’ -i
a ˜
.
.
lı 1.2.1.
´
-.
´
Bˆy gi`., xe ham lˆi f (x) =ln 1 + ex , x ∈ R. Thˆ thı theo Dinh lı 1.2.1, ta
a
o ´t ` `
o
e `,
´
co
´
’
´
Bˆ t d ˘ng th´.c 1.6.
a ¯a
u
a2
1+ 1
a2
1 + a1 1 + a2 · · · 1 + an
a2
a2
2
1+
··· 1 + n
a3
a1
´
v´.i moi sˆ thu.c du.o.ng a1 , a2, · · · , an.
o
. o .
’
Hˆ qua 1.2.1.
e
.
1 + a1 1 + a2 · · · 1 + an
1+
a4 a3
1
a4
2
1+
1+
a2
1
a2
1+
a2
a2
2
··· 1 + n
a3
a1
a4a4
a4 a2
2
· · · 1 + n4
a4
a1
3
···
´
v´.i moi sˆ thu.c du.o.ng a1 , a2, · · · , an.
o
. o .
´ a
´
´
Ta thˆ y r˘ ng, v´.i c˘p da y {ck } va {bk } trˆn, nˆ u chon ham sˆ phu ho.p, ta
a `
o a ˜
`
e
e
`
o
` .
.
.
√
˜
’
`
´ ’
se thu d u.o.c nhiˆu bˆ t d ang th´.c khac. Ch˘ng han, xe ham lˆi f (x) = 1 + ex,
¯ .
e a ¯˘
u
´
a
´t ` `
o
.
x ∈ R, ta d u.o.c
¯ .
’
´
Bˆ t d ˘ng th´.c 1.7.
a ¯a
u
√
√
√
1 + a1 + 1 + a2 + · · · + 1 + an
´
v´.i moi sˆ thu.c du.o.ng a1 , a2, · · · , an.
o
. o .
1+
a2
1
+
a2
1+
a2
2
+ ··· +
a3
1+
a2
n
,
a1
16
’
Hˆ qua 1.2.2.
e
.
√
1 + a1 +
√
√
1 + a2 + · · · + 1 + an
1+
a4a3
1
+
a4
2
1+
a2
1
+
a2
a4a4
2
+ ··· +
a4
3
1+
1+
1+
a2
2
+ ··· +
a3
a4 a2
n
a4
1
1+
a2
n
a1
···
´
v´.i moi sˆ thu.c du.o.ng a1 , a2, · · · , an.
o
. o .
`
˜
´
´
´
Vı du 1.8.
´ .
Tru.´.c hˆ t, ta co nhˆn xe r˘ ng: Nˆ u hai da y sˆ {xk , yk ∈
o
e
´
a ´t a
e
o
.
’ ˜ ´ ¯`
I(a; b); k = 1, 2, · · · , n} thoa ma n cac d iˆu kiˆn
e
e
.
x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn ,
y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn
va
`
yi
xi
≥ ; ∀i < j,
xj
yj
’ ˜ ¯`
’ -i ´
thı chung thoa ma n d iˆu kiˆn cua D. nh lı 1.2.1.
` ´
e
e
.
Ch´.ng minh.
u
`
Thˆt vˆy, xet hai bˆ sˆ (x1 , x2, · · · , xn ) va (y1, y2, · · · , yn ).
a a ´
o o
. .
. ´
.i i lˆn lu.o.t b˘ ng 1, 2, · · · , n, ta co
a
a
´
V´ `
o
. `
yi
xi
≥ .
x1
y1
´
´ ’
e
´
Cˆng cac bˆ t d ˘ng th´.c nay theo vˆ , ta co
o
´ a ¯a
u `
.
x1 + x2 + · · · + xn
y1 + y2 + · · · + yn
≥
.
x1
y1
Suy ra
x1 ≥ y1 .
´
Bˆy gi`., tiˆ p tuc xet hai bˆ sˆ (x1 + x2, x3 , · · · , xn ) va (y1 + y2, y3 , · · · , yn ).
a
o e . ´
`
o o
. ´
´
Ch´.ng minh tu.o.ng tu., ta co
u
.
x1 + x2 ≥ y1 + y2.
´
´
Tiˆ p tuc qua trı tu.o.ng tu., ta co
e .
´ `nh
.
x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ y1 + y2 + · · · + yn−1
17
’
´
’
a `
o
u
e
¯ˆ
a
a ´
e ¯a ¯ .
a ¯.
Nhu. vˆy, cung v´.i nh˜.ng gia thiˆ t ban d` u, nhˆn xet trˆn d˜ d u.o.c kh˘ng d inh.
.
.
˜
´ .
` ´ o
o o
¯a
Bˆy gi`., xe a1, a2, ..., an la cac sˆ thu.c du.o.ng. V´.i mˆi i ∈ {1, ..., n}, ta d ˘t
a
o ´t
.
yi =
ai
,
a1 + a2 + · · · + an
a2
i
xi = 2
.
2
a1 + a2 + · · · + a2
n
Khi d´
¯o
x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · · + yn = 1.
’
´
’ ’
Khˆng mˆ t tı tˆ ng quat, gia su. a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an . Khi d´
o
a ´nh o
´
¯o
x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn ,
y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn .
Ngoai ra, v´.i moi i ≥ j, ta co
`
o
´
.
xi
a2
ai
yi
= i ≥
= .
2
xj
aj
aj
yj
´
’ ˜ ¯iˆ
Nhu. vˆy, theo nhˆn xe trˆn, c˘p da y sˆ {xk } va {yk } thoa ma n d ` u kiˆn cua
`
e
e ’
a
a ´t e
a ˜ o
.
.
.
.
.i ham sˆ lˆi
- inh lı 1.2.1 va do d´ , v´ `
´ `
o o
D.
´
`
¯o o
f (x) =
x
; x > 0,
1−x
´
’
ta co kˆ t qua sau
´ e
’
´
Bˆ t d ˘ng th´.c 1.8.
a ¯a
u
a1
an
+...+
a2 + a3 + · · · + an
a1 + a2 + · · · + an−1
a2
a2
1
n
+· · ·+ 2
,
a2 + a2 + · · · + a2
a1 + a2 + · · · + a2
2
3
2
n−1
n
´
v´.i moi sˆ thu.c du.o.ng a1 , a2, · · · , an.
o
. o .
’
Hˆ qua 1.2.3.
e
.
a1
an
+· · ·+
a2 + a3 + · · · + an
a1 + a2 + · · · + an−1
a2
a2
1
n
+...+ 2
2
2
2
2
a2 + a3 + · · · + an
a1 + a2 + ... + a2
n−1
a4
a4
1
n
+ ··· + 4
a4 + a4 + · · · + a4
a1 + a4 + · · · + a4
2
3
2
n−1
n
.i moi sˆ thu.c du.o.ng a , a , · · · , a .
´
v´
o
1
2
n
. o .
··· ,
18
`
´
’ ’ -.
´
y
Ngu.`.i ta d˜ ch´.ng minh d .o.c r˘ ng, cac kˆ t qua cua Dinh lı 1.2.1
o
¯a u
¯u . a
´ e
Lu.u ´ :
˜
` ¯ˆ
´
’
´
a ¯u
` o
a ´
e
va Dinh lı 1.2.4 vˆn d´ ng ma khˆng cˆn d e n gia thiˆ t
` -.
x 1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn .
- `
´
´
’
e
Diˆu nay cu ng tu.o.ng tu. d ˆ i v´.i gia thiˆ t
e ` ˜
. ¯o o
x1
x2
···
xn
trong cac Dinh lı 1.2.3 va Dinh lı 1.2.5.
´ -.
´
` -.
´
-.
´
´
o . ´ ¯i
´
a
Khi d´ , ta quy u.´.c goi cac d .nh lı tu.o.ng tu. lˆn lu.o.t la Dinh lı 1.2.1a, Dinh lı
¯o
. `
. ` -.
-.
1.2.3a, Dinh lı 1.2.4a va Dinh lı 1.2.5a.
´
` -.
´
-.
˜
’ ` ´
Ngoai ra, trong [1] cu ng d˜ trı
`
¯a `nh bay mˆt sˆ kˆ t qua vˆ cac dang Dinh lı
`
o o e
e
´
. ´ ´
.
’
’ o
’
Karamata mo. rˆng ma ban d . c co thˆ tham khao.
` . ¯o ´ e
.
.n n˜.a, kha nhiˆu kˆ t qua vˆ d ˆ gˆn d` u va th´. tu. s˘p d .o.c cua mˆt da y
´
`
´
’ ` ¯o ` ¯ˆ ` u . a ¯u .
’
u
´
e e
e . a
e
o ˜
Ho
.
.o.c d` cˆp trong [1]. Dˆy chı la mˆt phu.o.ng phap kha
-a
e .
´nh ` o
´
´
cac tam giac cu ng d˜ d u . ¯ˆ a
´
´ ˜
¯a ¯
.
’
´ ’
’
e ¯ˆ `
a ´ a ¯a
u
´
´
´ .
¯a
h˜.u hiˆu d e lam ch˘t cac bˆ t d ˘ng th´.c lu.o.ng giac cua tam giac. Vı du sau d ˆy
u
.
.
.
.n gian vˆ vˆ n d` nay.
˜
’ ` a ¯ˆ `
e ´ e
se cho ta mˆt minh hoa d o
o
.
. ¯
Vı du 1.9.
´ .
’
’
´
Xe tam giac ABC. Khˆng mˆ t tı tˆ ng quat, co thˆ gia su.
´t
´
o
a ´nh o
´ ´ e ’ ’
A ≥ B ≥ C.
-a
D˘t A = 2A − B, B = 2B − C, C = 2C − A.
.
˜ `
´
´
’
`
¯o e
e
e
u `
Ro rang A > 0 va B > 0. Do d´ , nˆ u thˆm gia thiˆ t C > 0 (t´.c la A < 2C),
.n n˜.a, ta co
˜
’
`
´
o
´
u
´
thı A , B , C cu ng la 3 goc cua mˆt tam giac. Ho
`
.
A ≥A
A +B ≥ A+B
A +B +C =A+B+C
´
’ ˜ ´ ¯`
’
e
e
Do d´ , hai bˆ da y sˆ {A, B, C} va {A , B , C } thoa ma n cac d iˆu kiˆn cua
¯o
o ˜ o
`
.
.
-i ´
D. nh lı 1.2.1a.
´
´ o
´
’
Bˆy gi`., nˆ u xe ham sˆ lˆi f (x) = sinx; x ∈ (0; π), thı ta co kˆ t qua sau
a
o e ´t `
o `
`
´ e
’
´
`
´
’
’ ’
a
a
Bˆ t d a ng th´.c 1.9.
a ¯˘
u
Gia su. tam giac ABC co goc l´.n nhˆ t nho ho.n hai lˆn
´
´ ´ o
´
´
’ a
goc nho nhˆ t. Thˆ thı ta co
´
e `,
´
sin(2A − B) + sin(2B − C) + sin(2C − A) ≥ sinA + sinB + sinC.
’
`
Phˆn nay se d u.o.c khep lai v´.i viˆc gi´.i thiˆu mˆt sˆ ham lˆi, lo m d e ban d . c
a ` ˜ ¯ .
´ . o e
o
e
o o ` ` ˜ ¯ˆ . ¯o
o
.
.
. ´
’
co thˆ ´ p dung.
´ ea
.
19
1.3
1.3.1
´
o
o
o o a ` a a
Gi´.i thiˆu mˆt sˆ h`m lˆi v` h`m l˜m
o
e
.
.
´
o
Mˆt sˆ ham lˆi
o o ` `
.
f (x) = xα ; x > 0, α < 0.
f (x) = (S − x)α ; S > 0, x ∈ (0; S), α < 0.
1 α
f (x) = x +
; x > 0, α > 1.
x
x2
; S > 0, x ≥ 0.
f (x) =
x+S
1
f (x) = 2 ; x > 0.
x
x
f (x) =
; S > 0, x ∈ (0; S).
S−x
f (x) = eαx ; x ∈ R, α > 0.
1
; x ≥ 0, α ≥ 1.
f (x) =
1 + eαx
1 2
f (x) = ex + x ; x ∈ R.
e
1
; x > 0.
f (x) =ln 1 +
x
f (x) =ln 1 + eαx ; x ∈ R, α > 0.
1
f (x) =ln ex + x ; x ∈ R.
e
f (x) =sink x ; x ∈ (0; π), k < 0.
1
; x ∈ (0; π).
f (x) =ln 1 +
sin2 x
π
f (x) =cosk x ; x ∈ 0; , k < 0.
2
π
f (x) =tank x ; x ∈ 0; , k ≥ 1.
2
f (x) =arcsinx ; x ∈ (0; 1).
f (x) =arctan(ex ) ; x < 0.
x
; S > 0, x ∈ (0; S).
f (x) =arctan
S−x
1.3.2
˜
´
Mˆt sˆ ham lo m
o o `
.
f (x) = xα ; x > 0, 0 < α < 1.
f (x) = (S − x)α ; S > 0, x ∈ (0; S), 0 < α < 1.
f (x) =lnx1/n ; x > 1, n = 1, 2, ...
f (x) =ln eαx − 1 ; x > 0, α > 0.
f (x) =lnx ; x > 0.
f (x) =sink x ; x ∈ (0; π), k ∈ (0; 1].
f (x) =ln(sinx) ; x ∈ (0; π).
20
sinx
; x ∈ (0; π).
1 + sinx
π
f (x) =cosk x ; x ∈ 0; , k ∈ (0; 1].
2
f (x) =ln(1- cosx) ; x ∈ (0; π).
π
f (x) =cosx tanx ; x ∈ 0; .
2
x
; x ≥ 0.
f (x) =arcsin
1+x
x
f (x) =arcsin
; S > 0, x > 0.
S+x
f (x) =arctanx ; x > 0.
f (x) =
1.4
Bai tˆp
` a
.
`
Bai tˆp 1.1. Cho a, b, c > 0. Ch´.ng minh r˘ ng v´.i α > 0, ta co:
` a
u
a
o
´
.
a+b
2
α
+
b+c
2
α
+
c+a
2
α
≤
≤
2a + b α 2b + c α
2c + a α
+
+
3
3
3
α
α
2(4a + b)
2(4b + c)
2(4c + a)
+
+
9
9
9
˜
´
o
a
´t `
o
Hu.´.ng dˆn: Xe ham sˆ f (x) = xα; x > 0
`
a
Bai tˆp 1.2. Cho a ≥ b ≥ c ≥ 0. Ch´.ng minh r˘ ng
` a
u
.
1 4 9
+ + ≥
a b c
≥
1
4
9
+ c+a +
a+b
b+c
2
2
2
4
1
+
+
2a + b + c
a + 2b + c
4
4
9
a + b + 2c
4
≥ ···
1
˜
´
Hu.´.ng dˆn: Xe ham sˆ f (x) = ; x > 0
o
a
´t `
o
x
1
`
Bai tˆp 1.3. Cho a, b, c khˆng ˆm.Ch´.ng minh r˘ ng v´.i α ≥ , ta co:
` a
o a
u
´
a
o
.
2
1 + a2
α
+ 1 + b2
α
+ 1 + c2
α
α
≥
1 + ab + 1 + bc
√
α
3
≥ 3 3 + a2b2c2 .
√
˜
´
o
a
´t `
o
Hu.´.ng dˆn: Xe ham sˆ f (x) = 1 + x2 ; x ≥ 0
α
α
+ 1 + ca
α
≤ ···
- Xem thêm -
.PDF 
74 
51 
127 
