Tài liệu Lt_dai so a

TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SỐ GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG NĂM HỌC: 2017 -2018 TRANG CHỦ: http://www.moon.vn/DaiHoc/TCC/ Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 1 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG TRÌNH GIẢNG DẠY TOÁN CAO CẤP TRÊN MOON.VN NĂM HỌC 2017 - 2018 Chúc mừng các bạn đã bước vào một ngưỡng cửa mới của cuộc đời. Việc đỗ Đại học mở ra cho các em một trang mới với đầy cơ hội nhưng không kém thách thức. Thách thức không chỉ ở việc học xa nhà hoặc ở môi trường mà cơ hội tiếp xúc để hỏi đáp với Giảng viên rất hạn chế trên những giảng đường lớn hàng trăm Sinh viên mà ở khối lượng kiến thức đồ xộ. Tại bậc học Đại học, một môn học được chia ra làm các phân môn (hay còn gọi là học phần). Các học phần có tính độc lập tương đối về nội dung kiến thức nên được tổ chức học và đánh giá kết quả học tập độc lập hoàn. Bài tập hoàn toàn được tập trung dồn vào cuối chương hoặc chuyên đề chứ không theo bài (các buổi học). Các bài tập cũng được giải theo tính chủ động học tập của Sinh viên. Rất nhiều bạn Sinh viên ngỡ ngàng với việc học ở bậc Đại học nên kết quả học tập các môn học Đại cương thường thấp hơn những môn học chuyên ngành ở năm thứ 3, thứ 4 (hoặc thứ 5). Tuy nhiên, chương trình giảng dạy Toán Cao Cấp tại Moon.vn vấn thiết kế bài tập tại cuối các bài học lý thuyết (qua Video theo truyền thống ở Moon.vn) và cuối các chương (Phần luyện tập chuyên đề). Cũng nhằm để làm quen với cách học ở Đại học, một số video bài tập được đưa ra với mục đích hướng dẫn các em cách làm bài tập và trình bầy ở bậc Đại học. Thầy thiết kế chương trình với lịch phát sóng sớm để các em có cơ hội tiếp cận sớm với kiến và kỹ năng làm bài tập tốt. Hy vọng với sự chuẩn bị sớm và tốt, các em sẽ thành đạt bởi theo kinh nghiệm: 95% thành công do việc chuẩn bị. Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 2 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG Để các bạn Sinh viên tiện theo dõi chương trình học, Thầy thiết kế chương trình đào tạo được đánh mã số chi tiết theo các phân đoạn đơn vị kiến thức tuần tự để các em dễ dàng theo dõi. Các em có thể vào đường link sau để biết rõ về toàn bộ chương trình: http://www.moon.vn/DaiHoc/TCC/ Tại bậc Phổ thông, các em học một chương trình Toán duy nhất còn đối với Toán Cao Cấp thì sự khác biệt rất lớn được thể hiện ở từng Trường, thâm chí từng khối ngành học trong Trường.  Đối với các khối ngành Kỹ thuật, Khoa học (Sư phạm, KHTN), Công nghệ, chương trình Toán Cao Cấp được học là Toán A gồm có 4 học phần riêng biệt với đường link chính cho Toán A (http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7): o Toán A1: Đại số tuyến tính o Toán A2: Giải tích 1 o Toán A3: Giải tích 2 o Toán A4: Giải tích 3  Đối với các khối ngành Nông – Lâm – Y – Dược, chương trình Toán Cao Cấp được học là Toán B gồm có 2 học phần riêng biệt với đường link chính cho Toán B (http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1011/7): o Toán B1: Đại số tuyến tính o Toán B2: Giải tích  Đối với các khối ngành Kinh tế, Thương mại, Tài chính, Ngân hàng, Luật hoặc Quản trị kinh doan ... chương trình Toán Cao Cấp được học là Toán C gồm có 2 học phần riêng biệt với đường link chính cho Toán C (http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1012/7): o Toán C1: Đại số tuyến tính o Toán C2: Giải tích Tại Moon.vn, kiến thức lý thuyết đã được bố trí với các nội dung chi tiết cho từng khối ngành thông qua hệ thống video bài giảng cùng giáo trình đầy đủ cũng như các tóm tắt lý thuyết vận dụng để nhanh chóng có thể giải bài tập cho cả Toán A, Toán B và Toán C. Đi kèm lý thuyết cơ bản là một kho dữ liệu khổng bài tập được tổng hợp từ các Đề thi giữa và cuối Học kỳ các năm gần đây của các khối ngành: Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 3 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG  Toán A1, A2, A3 và A4: hơn 3500 bài tập  Toán B1 và B2: gần 2000 bài tập  Toán C1 và C2: gần 2000 bài tập Các bài tập trọng yếu được quay Video đi kèm lời giải giúp các em ôn tập dễ dàng, tiếp cận phương pháp giải nhanh chóng và chính xác. Thầy và đội ngũ các Supper Mods (cũng đều là các Giảng viên dạy Đại học) rất vui được trao đổi trên diễn đàn Toán cao cấp tại Moon.VN trên Facebook với đường link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/ Các em cũng có thể thắc trực tiếp với thầy tại trang Facebook cá nhân với đường link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan Chúc các em nhanh chóng thu lượm được những kiến thức, hoàn thiện kỹ năng và vận dụng sáng tạo ! Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 4 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG MỤC LỤC MỤC LỤC..................................................................................................................5 Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính ...................................8 1.1.Ma trận. .............................................................................................................8 1.1.1.Định nghĩa: .................................................................................................8 1.1.2.Các khái niệm khác: ...................................................................................8 1.1.3.Các phép toán trên ma trận. ......................................................................10 1.1.4. Ma trận đối xứng và ma trận phản xứng. ................................................12 1.1.5.Hạng của ma trận. .....................................................................................13 1.1.6.Ma trận nghịch đảo. ..................................................................................13 1.1.7.Đa thức ma trận. .......................................................................................15 1.2..Định thức. ......................................................................................................15 1.2.1.Định thức cấp 2. ........................................................................................15 1.2.2.Định thức cấp 3. ........................................................................................15 1.2.3.Định thức cấp n. ........................................................................................16 1.2.4.Các tính chất của định thức. .....................................................................16 1.3.Hệ phương trình tuyến tính. ............................................................................17 1.3.1.Phương pháp Cramer: ...............................................................................17 1.3.2.Phương pháp Gauss. .................................................................................18 Chương 2 Không gian vecto. ...................................................................................19 2.1. Không gian vectơ, không gian con, không gian con sinh bởi một tập hợp. ..19 2.1.1.Không gian vecto. .....................................................................................19 2.1.2..Không gian vecto con. .............................................................................20 2.1.3.Tập sinh-không gian vecto sinh bởi một tập hợp .....................................20 2.2.Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính. ...................................................20 Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 5 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG 2.2.1.Tổ hợp tuyến tính......................................................................................20 2.2.2.Độc lập tuyến tính.....................................................................................21 2.2.3.Phụ thuộc tuyến tính. ................................................................................21 2.2.4.Các tính chất. ............................................................................................21 2.2.5.Định lý. .....................................................................................................21 2.3.Cơ sở, số chiều của một không gian vecto. ....................................................22 2.3.1.Cơ sở, số chiều của không gian vecto. .....................................................22 2.3.2.Định lý. .....................................................................................................22 2.4.Tọa độ và ma trận chuyển cơ sở. ....................................................................23 2.4.1.Tọa độ của vecto trong cơ sở. ...................................................................23 2.4.2.Ma trận chuyển cơ sở................................................................................23 2.4.3.Định lý ma trận chuyển cơ sở. ..................................................................24 2.4.4.Công thức đổi tọa độ.................................................................................24 Chương 3: Ánh xạ tuyến tính. ..................................................................................25 3.1.Ánh xạ tuyến tính. ...........................................................................................25 3.1.1.Định nghĩa. ...............................................................................................25 3.1.2.Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính. .............................................25 3.2.Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính. ................................................................25 3.2.1.Các định nghĩa. .........................................................................................25 3.2.2.Tìm cơ sở cho Imf và Kerf. ......................................................................26 3.2.3.Mối liên hệ giữa số chiều của hạt nhân và ảnh.........................................26 3.3.Ma trận của ánh xạ tuyến tính.........................................................................26 3.4.Toán tử tuyến tính. ..........................................................................................27 3.4.1.Định nghĩa: ...............................................................................................27 3.4.2.Cộng và nhân các toán tử tuyến tính. .......................................................27 Chương 4: Giá trị riêng và vecto riêng. ...................................................................29 4.1.Phương trình đặc trưng. ..................................................................................29 Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 6 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG 4.2.Giá trị riêng, vecto riêng. ................................................................................29 4.3.Chéo hóa ma trận. ...........................................................................................30 Chương 5: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, tích vô hướng và không gian Euclid. ......................................................................................................................31 5.1.Ánh xạ song tuyến tính, dạng song tuyến tính. ..............................................31 5.2.Dạng toàn phương...........................................................................................31 5.2.1.Định nghĩa. ...............................................................................................31 5.2.2.Phân loại dạng toàn phương. ....................................................................32 5.2.3.Dạng chính tắc của dạng toàn phương. ....................................................32 5.2.4.Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. ...............................................32 5.3.Tích vô hướng và không gian Euclid..............................................................33 5.3.1.Định nghĩa. ...............................................................................................33 5.3.2.Trực giao, trực chuẩn. ...............................................................................35 5.3.3.Thuật toán trực giao hóa một họ vecto độc lập tuyến tính. ......................35 Chương 6: Bổ sung về số phức. ...............................................................................36 6.1.Dạng đại số của số phức. ................................................................................36 6.2.Dạng lượng giác của số phức..........................................................................37 6.3.Dạng mũ của số phức......................................................................................38 6.4.Nâng số phức lên lũy thừa. .............................................................................38 6.5.Định lý cơ bản của đại số................................................................................38 6.6. Một số ví dụ ...................................................................................................38 Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 7 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG Chƣơng 1: Ma trận, định thức và hệ phƣơng trình tuyến tính 1.1.Ma trận. 1.1.1.Định nghĩa: Cho m, n là hai số nguyên dương. Ta gọi một ma trận A cấp m x n là một bảng   gồm m.n phần tử a ij  K i  1,m; j  1,n được sắp xếp thành m dòng và n cột như sau:  a11 a12 a a 22 A   21   a m1 a m2   Kí hiệu: A  a ij mxn a1n  a 2n     a mn  . Các phần tử ở dòng thứ i và cột thứ j được gọi là phần tử a ij . 1.1.2.Các khái niệm khác: 1. Ma trận không: Một ma trận cấp m x n được gọi là ma trận không nếu mọi phần tử đều bằng 0. 2. Ma trận vuông:   Một ma trận A  a ij mxn được gọi là ma trận vuông nếu m = n. Lúc đó ta gọi A là   ma trận vuông cấp n, kí hiệu A  a ij . n 3. Ma trận đơn vị:   Cho ma trận vuông A  a ij . A được gọi là ma trận đon vị nếu mọi phần tử nằm n trên đường chéo chính bằng 1 còn các phần tử khác đều bằng 0. Lúc đó A được kí hiệu là I n : ma trận đơn vị cấp n. Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 8 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG 1 0 0  1 0    Ví dụ: I 2    ; I3   0 1 0  0 1  0 0 1    4. Ma trận chéo:   Cho A  a ij . A được gọi là ma trận chéo nếu mọi phần tử không thuộc đường n chéo chính đều bằng 0. 1 0 0    Ví dụ: A  0 2 0 là ma trận chéo.   0 0 9    5. Ma trận tam giác:   Cho A  a ij . A là ma trận tam giác trên nếu mọi phần tử nằm dưới đường chéo n chính đều bằng 0. A là ma trận tam giác dưới nếu mọi phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 0. A là một ma trận tam giác nếu nó là ma trận tam giác trên hoặc dưới. 1 9 0    Ví dụ: A  0 8 5 là ma trận tam giác trên.   0 0 9     2 0 0 B   7 3 0  là ma trận tam giác dưới.    2 8 5    6. Ma trận dòng, cột:   Ma trận A  a ij 1xn  a11 a12 ... a1n  được gọi là ma trận dòng.  b11  b  21  Ma trận B   bij    được gọi là ma trận cột. mx1  ...     b m1  Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 9 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG 7. Ma trận bậc thang: Ma trận bậc thang là ma trận bậc thang có phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên nằm về bên trái so với phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới. 3 0 Ví dụ: A   0  0 5 2 7 12 3  0 1 9 2 1  là ma trận bậc thang. 0 0 0 4 2   0 0 0 0 0   8. Hai ma trận A  a ij mxn   và B  bij mxn được gọi là bằng nhau nếu a ij  bij với mọi i, j.   9. Cho ma trận vuông A  a ij n  a11 a12 a a 22   21   a n1 a n 2 a1n  a 2n     a nn  Các phần tử a11, a 22 , ...., a nn gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính. Các phần tử a ij  i  j gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ. 1.1.3.Các phép toán trên ma trận. a.Cộng ma trận.   -Định nghĩa: Cho hai ma trận cùng cấp A  a ij   hai ma trận A, B là một ma trận C  cij mxn mxn   và B  bij mxn . Tổng của với cij  a ij  bij. Kí hiệu A  B  C. -Tính chất: Cho A, B, C, 0 là các ma trận cùng cấp, khi đó: (i)  A  B  C  A   B  C  (tính kết hợp) (ii) A  B  B  A (tính giao hoán) (iii) A  0  0  A  A Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 10 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG (iv) A   A    A   A  0 b. Nhân một phần tử của trường K với ma trận.   , k  K. Phép nhân một phần tử của trường K với ma trận A cho ta một ma trận B   b  với b  k.a -Định nghĩa: Cho A  a ij mxn ij mxn ij ij  ka11 ... ka1n   ... ...  -Kí hiệu: kA  B  ...    ka m1 ... ka nn    Đặc biệt khi k  1 K, thay cho (-1)A ta sẽ viết –A và gọi nó là ma trận đối của A. -Tính chất: Cho A, B là các ma trận cùng cấp, ,  K. Khi đó: (i)   A  B  A  B (ii)      A  A  A (iii)  A     A    A  (iv) 1.A  A c. Phép nhân hai ma trận   -Định nghĩa: Cho A  a ij mxn   là ma trận cấp m x n trên K và B  b jk nxp là ma trận cấp n x p trên K. Ta gọi tích của A với B, kí hiệu AB, là một ma trận C   cik mxp cấp m x p trên K mà các phần tử của nó được xác định như sau: n cik   a ijb jk ; i  1,m, j  1,p. j1 *Nhận xét: 1) Điều kiện để phép nhân hai ma trận thực hiện được là số cột của ma trận 1 bằng số dòng của ma trận 2. Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 11 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG 2) Phép nhân hai ma trận không có tính giao hoán. d. Chuyển vị ma trận.   -Định nghĩa: Cho A  a ij mxn . Chuyển vị của ma trận A là ma trận B có cấp n x m và cá phần tử được xác định như sau: bij  a ji Ta kí hiệu ma trận chuyển vị của ma trận A là A t . Nói một cách khác chuyển vị của ma trận A là ma trận B được suy ra bằng cách đổi dòng thành cột và đổi cột thành dòng. e. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Các phép biến đổi ma trận A thành ma trận A’ sau được gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. d d i j  -Loại 1: Đổi chỗ hai dòng cho nhau, kí hiệu: A  A' di cdi -Loại 2: Biến dòng i thành c lần dòng i  c  0  , kí hiệu: A  A'  -Loại 3: Biến dòng i thành dòng i cộng c lần dòng j  c  0, i  j , kí hiệu: d d cd i i j A  A'  1.1.4. Ma trận đối xứng và ma trận phản xứng. -Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n. +) A gọi là ma trận đối xứng nếu A t  A. +) A gọi là ma trận phản xứng nếu A t  A. Ví dụ:  1 2 0   1 2 0   2 3 1   A t   2 3 1   A Vậy A là ma trận đối xứng. Cho A       0 1 1  0 1 1     Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 12 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG  0 2 1   0 2 1  0 3  Bt   2 0 3  B Vậy B là ma trận phản xứng. Cho B  2      1 3 0 1 3 0     1.1.5.Hạng của ma trận.   Cho ma trận A  a ij mxn   và B  bij mxn là ma trận bậc thang nhận được từ A bằng một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp. Khi đó số dòng (cột) khác không của B được gọi là hạng của A, kí hiệu là rank  A  hoặc r  A  .  1 2 3   Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A  4 5 6    3 3 9    Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang:  1 2 3 1 2 3  1 2 3  d3 d3 3d 2 d 2 d 2  4d1 A   4 5 6   0 3 6   0 3 6   B   d3 d3 3d1      3 3 9  0 9 18  0 0 0        Ma trận bậc thang B có hai dòng khác 0 nên rank(A) = 2. 1.1.6.Ma trận nghịch đảo. 1) Định nghĩa:   Cho ma trận A  a ij n ta nói A khả nghịch nếu B thỏa mãn BA  AB  In Ta nói B là ma trận nghịch đảo cua A, kí hiệu B  A1. A khả nghịch nếu và chỉ nếu det A  0. 2) Tính chất: Nếu A, B là hai ma trận khả nghịch thì: Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 13 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG (i)  A 1   A 1 (ii)  AB   B1A 1 1 (iii)  A t    A 1  1 t 1 1 (iv)  cA   A 1 c (v) Nếu A khả nghịch thì det A1   det A  1 3) Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp. Người ta chứng minh được kết quả sau: Cho A là ma trận khả nghịch, khi đó những phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào biến A thành I n thì chúng cũng biến I n (theo thứ tự đó) thành A 1. Từ đó ta có phương pháp tìm ma trận nghịch đảo như sau: Để tìm ma trận A 1  a11 a12 a a 22 21 với A    ... ...  a n1 a n 2  a11 a12  a 21 a 22 Ta lập ma trận  A | I n     ... ...  a n1 a n 2 ... a1n  ... a 2n   ... ...   ... a nn  ... a1n 1 0 ... a 2n 0 1 ... ... ... ... ... a nn 0 0 ... 0   ... 0  ... ...  ... 1  Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đối với  A | I n  để biến A thành I n khi đó I n biến thành A 1. 4) Tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức. Ta gọi ma trận phụ hợp PA của ma trận A là ma trận được xác định như sau:  PA ij  A ji Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 14 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG Để tìm A 1 ta thực hiện hai bước: - B1: Tính D  det A - 1 B2: Lập ma trận phụ hợp PA . Khi đó A  1 PA . D 1.1.7.Đa thức ma trận. nghĩa: -Định Cho A là một ma trận vuông trên K và p  x   a 0  a1x  ...  a n x n  K  x  là một đa thức của biến x với hệ số trên K. Khi đó n ma trận a 0I  a1A  ...  a n A Trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A, được gọi là giá trị của đa thức p  x  tại x  A, kí hiệu p  A  . Nó cũng được gọi là đa thức ma trận. A gọi là một nghiệm ma trận cảu đa thức p  x  nếu đa thức ma trận p  A   0 (ma trận không cùng cấp với A). 1.2..Định thức. 1.2.1.Định thức cấp 2.   Cho ma trận A  a ij 2 , định thức cấp 2 của ma trận A được xác định và kí hiệu như sau: detA  A  a11 a12  a11a 22  a 21a12 a 21 a 22 1 2  1 2  ta có det A  3 1  1.1  2. 3  7.  3 1  Ví dụ: Cho A   1.2.2.Định thức cấp 3.   Cho A  a ij , định thức cấp 3 của ma trận A được xác định và kí hiệu như sau: 3 Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 15 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG a11 a12 det A  a 21 a 22 a 31 a 32 a13 a 23  a11a 22a 33  a12a 23a 31  a 21a 32a13  a13a 22a 31  a12a 21a 33  a 23a 32a 11 a 33 1.2.3.Định thức cấp n.   Cho A  a ij n ta kí hiệu A  i, j là ma trận có được từ A bằng cách bỏ dòng i và cột j 1 3 4  1 4   Ví dụ: Cho A  4 5 6 thì A  2,2       3 3  3 2 3   Phần bù đại số của phần tử a ij là một số được xác định và kí hiệu như sau: Aij   1 det A  i, j i j   Cho A  a ij n , định thức cấp n của ma trận A được định nghĩa là: a11 det A  a12 a 21 ... n a 22 ... a 2n   a pjA pj (khai triển theo dòng p) hoặc ... ... ... j1 ... a1n a n1 a n 2 ... a nn n det A   a iq Aiq (Khai triển theo cột q). i 1 1.2.4.Các tính chất của định thức. 1) Nếu đổi dòng thành cột, cột thành dòng thì định thức không thay đổi. d d i j  2) Nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu, tức là A  A' thì det A   det A'. Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 16 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG 3) Từ một dòng (một cột) ta cộng vào một dòng khác (cột khác) sau khi nhân một d d cd i i j  số c  0 thì định thức không đổi, tức là A  A' khi đó det A'=detA. di cdi 4) Ta có thể đưa thùa số chung c  0 ra ngoài định thức, tức là A  A'  khi đó det A'  cdet A. 5) Cho hai ma trận vuông A, B khi đó det(AB)  det A.det B. 1.3.Hệ phƣơng trình tuyến tính. 1.3.1.Phương pháp Cramer: Hệ phương trình gồm n phương trình và n ẩn: a11x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2 2n n 2  ... a n1x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  b n   3.1 Đặt D  det A và D j là định thức có được bằng cách thay cột j của D bởi cột tự do. Khi đó hệ Cramer có nghiệm duy nhất xác định theo công thức: x1  D1 D D , x 2  2 ,..., x n  n . D D D *Định lí Kronecker-Capelli Hệ (3.1) có nghiệm khi và chỉ khi r(A)  r(A | B). Hơn nữa: (i) r(A)  r(A | B)  n : hệ có nghiệm duy nhất. (ii) r(A)  r(A | B)  n : hệ có vô số nghiệm. (iii) r(A)  r(A | B) : hệ vô nghiệm. Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 17 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG 1.3.2.Phương pháp Gauss.  a11 a12  a 21 a 22 B1: Lập ma trận mở rộng của A:  A | B     ... ...  a m1 a m2  ... a1n ... a 2n ... ... ... a mn b1   b2  ...   bm   B2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận  A | B về ma trận  A' | B'  trong đó A’ là ma trận bậc thang (rút gọn). Dựa vào định lí Kronecker_capelli để kết luận nghiệm. Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 18 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG Chƣơng 2 Không gian vecto. 2.1. Không gian vectơ, không gian con, không gian con sinh bởi một tập hợp. 2.1.1.Không gian vecto. -Định nghĩa: Tập hợp V   được gọi là một không gian vecto trên nếu ta định nghĩa hai phép toán cộng (+) và nhân vô hướng (.) trên V thỏa 10 tiên đề sau: u, v, w  V; ,  1) u, v  V, u  v  V 2) u  v  v  u 3)  u  v   w  u   v  w  4) 0  V, u  0  0  u  u 5) u  V, (u) : u  ( u)  0 1') u  V,   , u  V 2')   u      u    u  3')      u  u   u 4')   u  v   u  v 5') 1u  u -Tính chất:Từ các tiên đề trên ta suy ra được vài tính chất sau của không gian vecto: 1) 0  0 2) 0u  0 3)  1 u  u 4) u  0    0  u  0 u   u, u  0     u  v,   0  u  v 5) Vecto 0 là vecto đối (-u) của u tồn tại duy nhất. 6) u, v, w  V : u  w  v  w  u  v Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 19 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018) GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG 2.1.2..Không gian vecto con. Định nghĩa: Cho V là không gian vecto trên R và   W  V. W được gọi là không gian con của V nếu W cũng là không gian vecto trên R với các phép toán cộng và nhân như trên V. Kí hiệu: W  V. Định lý sau cho ta điều kiện cần và đủ để tập W là không gian con của V: Cho V là không gian vecto trên R và   W  V. W là không gian con của V khi và chỉ khi u, v  W,  R : u  v  W và u  W. Ví dụ: Xét W   x , x , x  / x 1 2 3 1  0  Thật vậy  x1,x 2 ,x 3 , y1, y 2, y 3   3 3 3 . Khi đó W là không gian con của . sao cho x1  y1  0. Ta có: x1  y1  0   x1  y1 , x 2  y 2 , x 3  y3   W x1  0    x1 , x 2 , x 3    x1, x 2 , x 3   3 2.1.3.Tập sinh-không gian vecto sinh bởi một tập hợp Cho V là không gian vecto trên R và u1 ,...,u n   V. Gọi S là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của u1 ,...,u n . Khi đó S là một không gian con của V, ta nói S là không gian con của V sinh bởi u1 ,...,u n . Ký hiệu là S  u1,...,u n Quy ước   0. Nếu S  V thì ta nói S sinh ra V hay S là tập sinh của V. 2.2.Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính. 2.2.1.Tổ hợp tuyến tính. Cho V là không gian vecto trên và các vecto u, u1,...,u n  V. Ta nói u là tổ hợp tuyến tính của hệ vecto u1 ,...,u n  khi và chỉ khi tồn tại 1, 2 ,..., n  sao cho u  1u1  ...  n u n . Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 20