Tài liệu Kỹ Thuật Giải Nhanh Hình Phẳng OXY Phiên Bản Mới Nhất Của Đặng Thành Nam

  • Số trang: 729 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 823 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Tham gia: 27/02/2015

Mô tả:

Kỹ Thuật Giải Nhanh Hình Phẳng OXY Phiên Bản Mới Nhất Của Đặng Thành Nam
ĐẶNG THÀNH NAM om .v n (Trung tâm nghiên cứu tư vấn và phát triển sản phẩm giáo dục Newstudy.vn) vi et bo ok .c THEO CAÁU TRUÙC ÑEÀ THI MÔÙI NHAÁT CUÛA BOÄ GD & ÑT ng PHIÊN BẢN MỚI NHẤT kh a Dành cho học sinh luyện thi quốc gia Bồi dưỡng học sinh giỏi 10, 11, 12 Giáo viên giảng dạy, dạy thêm và luyện thi quốc gia NHAØ XUAÁT BAÛN ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA HAØ NOÄI MUÏC LUÏC Chöông 1. ÑIEÅM VAØ ÑÖÔØNG THAÚNG Chuû ñeà 1. ÑIEÅM VAØ ÑÖÔØNG THAÚNG ..................................................................3 Chuû ñeà 2. CAÙ C BAØ I TOAÙ N VEÂ TÍNH CHAÁ T ÑOÁ I XÖÙNG ................................... 35 Chuû ñeà 3. BAØ I TOAÙ N COÙ CHÖÙ A THAM SOÁ ....................................................... 47 Chuû ñeà 4. TÌM ÑIEÅM THOÛ A MAÕN ÑIEÀ U KIEÄN CHO TRÖÔÙ C ........................... 67 Chuû ñeà 5. BAØ I TOAÙ N CÖÏ C TRÒ HÌNH GIAÛ I TÍCH PHAÚNG ............................... 83 et bo ok .c om .v n Chöông 2. TAM GIAÙC, TÖÙ GIAÙC VAØ ÑA GIAÙC Chuû ñeà 1. NHAÄ N BIEÁT TAM GIAÙ C, TÖÙ GIAÙ C VAØ ÑA GIAÙ C .......................... 106 Chuû ñeà 2. ÑÖÔØNG TRUNG TUYEÁN .................................................................. 113 Chuû ñeà 3. ÑÖÔØNG CAO ..................................................................................... 128 Chuû ñeà 4. ÑÖÔØNG PHAÂ N GIAÙ C TRONG TAM GIAÙ C ...................................... 143 Chuû ñeà 5. CAÙ C ÑIEÅM VAØ CAÙ C ÑÖÔØNG ÑAË C BIEÄT TRONG TAM GIAÙ C ...... 167 Chuû ñeà 6. HÌNH BÌNH HAØ NH ............................................................................ 226 Chuû ñeà 7. HÌNH THANG .................................................................................... 239 Chuû ñeà 8. HÌNH THOI ......................................................................................... 265 Chuû ñeà 9. HÌNH CHÖÕ NHAÄ T VAØ HÌNH VUOÂ NG .............................................. 281 Chuû ñeà 10. VAÄ N DUÏNG PHEÙ P BIEÁ N HÌNH TRONG HÌNH GIAÛ I TÍCH PHAÚ NG ............................................................... 365 Chuû ñeà 11. VAÄ N DUÏ NG PHEÙP BIEÁN HÌNH TRONG HÌNH GIAÛI TÍCH PHAÚ NG .......................................................... 376 Chuû ñeà 12. BAØ I TOAÙN CHOÏ N LOÏ C .................................................................... 391 kh a ng vi Chöông 3. ÑÖÔØNG TROØN Chuû ñeà 1. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØ NG TROØ N ..................................................... 449 Chuû ñeà 2. ÑÖÔØNG TROØ N NGOAÏ I TIEÁ P, ÑÖÔØNG TROØN NOÄ I TIEÁ P TAM GIAÙ C, TAM GIAÙ C NOÄ I TIEÁ P ÑÖÔØ NG TROØ N ............................................. 478 Chuû ñeà 3. TIEÁ P TUYEÁ N VÔÙ I ÑÖÔØ NG TROØN ................................................... 502 Chuû ñeà 4. TIEÁ P TUYEÁ N CHUNG CUÛA HAI ÑÖÔØ NG TROØ N .......................... 530 Chuû ñeà 5. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁ I CUÛ A ÑIEÅM, ÑÖÔØNG THAÚNG VÔÙ I ÑÖÔØ NG TROØ N ............................................. 540 Chuû ñeà 6. BAØ I TOAÙ N TÌM ÑIEÅM THUOÄ C ÑÖÔØNG TROØN .............................. 586 Chuû ñeà 7. BAØ I TOAÙ N CHOÏ N LOÏ C ...................................................................... 601 Chöông 4. BA ÑÖÔØNG CONIC Chuû ñeà 1. XAÙ C ÑÒNH CAÙ C THUOÄ C TÍNH CUÛ A BA ÑÖÔØ NG CONIC ............. 648 Chuû ñeà 2. VIEÁ T PHÖÔNG TRÌNH CHÍNH TAÉ C CUÛ A BA ÑÖÔØNG CONIC ..... 656 Chuû ñeà 3. VÒ TRÍ CUÛ A ÑIEÅM, ÑÖÔØNG THAÚ NG VÔÙ I BA ÑÖÔØNG CONIC ..... 670 Chuû ñeà 4. ÑIEÅM THUOÄ C BA ÑÖÔØNG CONIC .................................................. 692 Chuû ñeà 5. BAØ I TOAÙ N CHOÏ N LOÏ C ...................................................................... 720 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt ÑIEÅM VAØ ÑÖÔØNG THAÚNG Chöông 1. Chuû ñeà 1. ÑIEÅM VAØ ÑÖÔØNG THAÚNG A. LÝ THUYẾT I. KIẾN THỨC CƠ BẢN .v n Mặt phẳng tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, hệ trục gồm trục hoành nằm ngang Ox và trục tung Oy vuông góc với Ox tại O- được gọi là gốc tọa độ.  Xét điểm M ( x; y ) khi đó OM   x; y .  om Các phép toán đối với véc tơ: Cho hai véc tơ   = u (= x1; y1 ) , v ( x 2 ; y 2 ) . ok    Phép cộng: u + v= ( x1 + x 2 ; y1 + y 2 ) .   Phép nhân: = u.v x1x 2 + y1y 2 .   Độ dài véc tơ:= u x12 + y12 .    u.v  Góc giữa hai véc tơ: cos = u, v =  u.v .c Nhân véc tơ với một số: k.u = ( kx1;ky1 ) . bo ( ) x1x 2 + y1y 2 x12 + y12 . x 22 + y 22 (góc giữa hai et   véc tơ có thể nhọn, tù hoặc vuông). Suy ra u ⊥ v ⇔ x1x 2 + y1y 2 = 0 . x1 y1 =. x 2 y2 ng vi  Hai véc tơ cùng phương ⇔ Xét ba điểm A ( x1; y1 ) , B ( x 2 ; y 2 ) ,C ( x 3 ; y3 ) khi đó A, B,C thẳng hàng khi và x 2 − x1 x 3 − x1 . = y 2 − y1 y3 − y1  Độ dài đoạn thẳng AB = AB = kh a chỉ khi ( x 2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 . II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Định nghĩa véc tơ chỉ phương, véc tơ pháp tuyến của đường thẳng a) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng    u ≠ 0 . Véc tơ u được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d ⇔   u / /d  Nhận xét. Nếu u là một véc tơ chỉ phương (vtcp) của đường thẳng d thì mọi  véc tơ ku , với k ≠ 0 đều là véc tơ chỉ phương của đường thẳng đó. 3 Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam ( om 2. Phương trình tổng quát của đường thẳng Đường thẳng trong mặt phẳng có dạng tổng quát: .v n b) Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng    n ≠ 0 Một véc tơ n được gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d ⇔   . n ⊥ d  Nhận xét. Nếu n là một véc tơ pháp tuyến(vtpt) của đường thẳng d thì mọi véc  tơ kn , với k ≠ 0 đều là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng đó.  - Nếu đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n = ( a;b ) thì nó có véc tơ chỉ phương  là u = ( −b;a ) .  - Ngược lại nếu đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u = ( a;b ) thì nó có véctơ  pháp tuyến là n = ( −b;a ) . ) d : a x + by += c 0, a 2 + b 2 > 0 . .c Trong đó a, b,c là các hệ số thực. bo ok  Đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) ⇔ ax 0 + by0 + c = 0.   Véc tơ pháp tuyến vuông góc với d là n = ( a;b ) .   Véc tơ chỉ phương song song với d là u = ( −b;a ) . et x x 0 − bt =  Phương trình tham số của đường thẳng: d :  ,( t ∈ ) . y y0 + at = x − x 0 y − y0 . = a b 3. Các dạng phương trình đường thẳng đặc biệt.  Trục hoành: Ox : y = 0 . ng vi  Phương trình chính tắc của đường thẳng: d : kh a  Trục tung: Oy : x = 0 .  Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A ( a;0 ) và B ( 0;b ) (phương trình đoạn chắn) có phương trình là: x y + = 1. a b (áp dụng khi đường thẳng cắt hai trục tọa độ).  Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt M ( x1; y1 ) , N ( x 2 ; y 2 ) là: MN : d: x − x1 y − y1 = x 2 − x1 y 2 − y1 (áp dụng khi đường thẳng đi qua hai điểm xác định cho trước). 4 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  Phương trình đường thẳng đi qua đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và có hệ số góc k là: d : y = k ( x − x 0 ) + y0 (áp dụng khi chỉ biết đường thẳng đi qua một điểm và thỏa mãn một điều kiện khác).  Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và có véc tơ  pháp tuyến n = ( a;b ) là: d : a ( x − x 0 ) + b ( y − y0 = ) 0, a 2 + b2 > 0 ( ) (có thể sử dụng thay thế cho dạng đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc). 4. Vị trí tương đối của điểm so với đường thẳng. ( ) .v n Xét đường thẳng d : a x + by += c 0, a 2 + b 2 > 0 và hai điểm A ( x A ; yA ) , B ( x B ; yB ) . ( ax A + byB + c )( ax B + byB + c ) . om Xét tích T = ( ok .c thì A, B nằm về hai phía so với d .  Nếu  Nếu thì A, B nằm về cùng một phía so với d .  Nếu T = 0 thì hoặc A hoặc B nằm trên d . 5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. ) Xét đường thẳng d : a x + by += c 0, a 2 + b 2 > 0 và điểm M ( x 0 ; y0 ) . bo Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được ký hiệu là d ( M;d ) và được xác định theo công thức: d ( M;d ) = ax 0 + by0 + c vi et . a 2 + b2  Ứng dụng. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng. Xét hai đường thẳng ( ) ( ) ng 2 2 2 2 d1 : a1 x + b1y + c= 1 0, a1 + b1 > 0 ; và d 2 : a 2 x + b 2 y + c 2= 0, a 2 + b 2 > 0 . kh a Nếu điểm M(x; y) nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d 2 thì d ( M;d1 ) = d ( M;d 2 ) . Suy ra phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1 ,d 2 có phương trình là: ∆: a1x + b1y + c1 a12 + b12 = a 2 x + b2 y + c2 a 22 + b 22 6. Góc giữa hai đường thẳng. ⇔ ∆: a1x + b1y + c1 a12 + b12 ( =± ) ( a 2 x + b2 y + c2 a 22 + b 22 . 2 2 Xét hai đường thẳng d1 : a1 x + b1y + c= 1 0, a1 + b1 > 0 có véctơ pháp tuyến  n1 = ( a1;b1 ) ; và đường thẳng d 2 : a 2 x + b 2 y + c 2= 0, a 22 + b 22 > 0 có véctơ  pháp tuyến n 2 = ( a 2 ;b 2 ) . ) 5 Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam ( ) Khi đó góc α 0 ≤ α ≤ 900 giữa hai đường thẳng được xác định theo công thức:   n1.n 2 a1a 2 + b1b 2 . = cos α =   n1 . n 2 a12 + b12 . a 22 + b 22 7. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. 2 2 Xét hai đường thẳng d1 : a1 x + b1y + c= 1 0,(a1 + b1 > 0) có véc tơ pháp tuyến  n1 = ( a1;b1 ) ; và đường thẳng d 2 : a 2 x + b 2 y + c 2= 0, a 22 + b 22 > 0 có véc tơ  pháp tuyến n 2 = ( a 2 ;b 2 ) . ) .v n (  d1 / /d 2 ⇔ a1 b1 c1 . = ≠ a 2 b2 c2  d1 ≡ d 2 ⇔ a1 b1 c1 . = = a 2 b2 c2 ok Đặc biệt: d1 ⊥ d 2 ⇔ a1a 2 + b1b 2 = 0 . .c d1 cắt d 2 ⇔ om a1 b1 . ≠ a 2 b2  bo Các bài toán được áp dụng là xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phụ thuộc tham số. ng vi et B. CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP - Vận dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc k. - Vận dụng công thức phương trình đoạn chắn. - Vận dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua điểm và có véctơ pháp  tuyến n = ( a;b ) . kh a - Vận dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng. - Vận dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng. - Vận dụng công thức phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng. Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng đi ∆ qua hai điểm M1 ( x1; y1 ) và M 2 ( x 2 ; y2 ) . - Nếu x= = x1 . 1 x2 ⇒ ∆ : x - Nếu y= = y1 . 1 y2 ⇒ ∆ : y - Nếu x1 ≠ x 2 , y1 ≠ y 2 ⇒ ∆ : 6 x − x1 y − y1 . = x 2 − x1 y 2 − y1 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M ( −1;2 ) và N ( 3; −6 ) . Đường thẳng đi qua hai điểm M, N xác định bởi: x +1 y − 2 d: = ⇔ d : 2x = + y 0. 3 + 1 −6 − 2 Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và có véctơ pháp tuyến ( a;b ) . d : a ( x − x 0 ) + b ( y − y0 ) =0 ⇔ d : a x + by − ax 0 − by0 =0 . .v n Đường thẳng đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và có véctơ pháp tuyến (a; b) xác định bởi: om Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( −1;2 ) và có véctơ pháp  tuyến = n ( 2; −3) .  Đường thẳng d đi qua điểm M ( −1;2 ) và có véc tơ pháp tuyến = n ( 2; −3) xác định bởi: .c d : 2 ( x + 1) − 3 ( y − 2 ) = 0 ⇔ d : 2x − 3y + 8 = 0 . bo ok Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và có véctơ chỉ  phương u = ( a;b ) .  Đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và có véctơ chỉ phương u = ( a;b ) xác định bởi: x − x 0 y − y0 . = a b x x 0 + at = Cách 2: Phương trình tham số d :  ,( t ∈ ) . y y0 + bt = ng vi et Cách 1: Phương trình chính tắc d : kh a Ví dụ 3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( 3;4 ) và có véc tơ chỉ  phương u = ( 2;3) .  Đường thẳng d đi qua điểm M ( 3;4 ) và có véc tơ chỉ phương u = ( 2;3) xác định bởi:  x= 3 + 2t x −3 y−4 hoặc d :  = ,( t ∈ ) . 2 3  y= 4 + 3t Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d (phương trình đoạn chắn) đi qua hai điểm nằm trên các trục tọa độ A ( a;0 ) , B ( 0;b ) , ( ab ≠ 0 ) . d: Đường thẳng d xác định bởi: d: x y + = 1. a b 7 Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A ( 4;0 ) , B ( 0;6 ) . Đường thẳng d đi qua hai điểm A ( 4;0 ) , B ( 0;6 ) xác định bởi: d: x y + =1 ⇔ d : 3x + 2y − 12 =0 . 4 6 Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và có hệ số góc k. Đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và có hệ số góc k xác định bởi: d : y = k ( x − x 0 ) + y0 . om .v n Trong đó = k tan α , là góc tạo bởi đường thẳng d và chiều dương trục hoành. Ví dụ 5. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau đây: a) Đi qua điểm M (1;2 ) và có hệ số góc k = 3 . b) Đi qua điểm A ( −3;2 ) và tạo với chiều dương trục hoành một góc 450 . .c c) Đi qua điểm B ( 3;2 ) và tạo với trục hoành một góc 600 . ok Giải a) Đường thẳng đi qua điểm M (1;2 ) và có hệ số góc k = 3 xác định bởi: d : y= 3 ( x − 1) + 2 ⇔ d : 3x − y − 1= 0 . bo b) Đường thẳng đi qua điểm A ( −3;2 ) và tạo với chiều dương trục hoành một góc et góc k tan = 450 1 ⇒ d : y= 1( x + 3) + 2 ⇔ d : x − y + 5= 0 . 450 nên có hệ số = vi c) Đường thẳng đi qua điểm B ( 3;2 ) và tạo với trục hoành một góc 600 nên có hệ  tan 600 = 3  . số góc k =  tan 1800 − 600 = − 3  Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là ) kh a ng ( d1 : 3x − y + 2 − = 3 3 0; d 2 : 3x + y − 2 − = 3 3 0. Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và song song với đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0. Đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và song song với đường thẳng  ∆ : Ax + By + C = 0 nhận n = ( A;B ) véc tơ pháp tuyến của ∆ làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là: d : A ( x − x 0 ) + B ( y − y0 ) =0 ⇔ d : Ax + By − Ax 0 − By0 =0 . Ví dụ 6. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( 3;2 ) và song song với đường thẳng ∆ : 3x + 4y − 12 = 0. 8 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Đường thẳng d đi qua điểm M ( 3;2 ) và song song với đường thẳng  ∆ : 3x + 4y − 12 = 0 nên nhận n = ( 3;4 ) véc tơ pháp tuyến của ∆ làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là: d : 3 ( x − 3) + 4 ( y − 2 ) =0 ⇔ d : 3x + 4y − 17 =0 . Áp dụng. Trong các bài toán về đường thẳng đi qua điểm song song với đường thẳng cho trước, đường trung bình trong tam giác, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông. Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và vuông góc .v n với đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0. om Đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ) và vuông góc với đường thẳng  u ( B; − A ) véc tơ chỉ phương của ∆ làm véc tơ pháp ∆ : Ax + By + C = 0 nhận = tuyến nên có phương trình là: d : B ( x − x 0 ) − A ( y − y0 ) =0 ⇔ d : Bx − Ay + Ay0 − Bx 0 =0 . đường thẳng ∆ : 4x − 5y + 6 = 0. .c Ví dụ 7. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1;2 ) và vuông góc với ok  Vì d vuông góc với ∆ nên nhận véc tơ chỉ phương u = ( 5;4 ) của ∆ làm véc tơ bo pháp tuyến nên có phương trình là: d : 5 ( x − 1) + 4 ( y − 2 ) = 0 ⇔ d : 5 x + 4 y − 13 = 0 . ng vi et Áp dụng. Trong các bài toán về đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng, đường cao, đường trung trực trong tam giác, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang vuông. Dạng 8: Hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d cho trước; điểm M1 đối xứng với M qua đường thẳng d. kh a - Tọa độ H là giao của đường thẳng đi qua M và vuông góc với d. 2x H − x M  x= M - Tọa độ điểm M1 xác định bởi:  1 . 2y H − y M M1  y= Ví dụ 8. Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M ( 7;4 ) trên đường thẳng d : 3x + 4y − 12 = 0 . Tìm điểm M1 đối xứng với M qua d. Đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với d nhận véc tơ chỉ phương  = u ( 4; −3) của d làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là: ∆ : 4 ( x − 7 ) − 3 ( y − 4 ) = 0 ⇔ ∆ : 4x − 3y − 16 = 0 . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 16 0 = 4x − 3y −= x 4 ⇔ ⇒ H ( 4;0 ) .  12 0 = 3x + 4y −= y 0 9 Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam  x M = 2x H − x M = 1 Vì H là trung điểm của MM1 ⇒  1 ⇒ M1 (1; −4 ) . 2y H − y M = −4  y M1 = Áp dụng. Bài toán điểm đối xứng qua đường thẳng, đường phân giác trong tam giác, bài toán cực trị. Dạng 9: Góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.  Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. ( ) Xét đường thẳng d : a x + by += c 0, a 2 + b 2 > 0 và điểm M ( x 0 ; y0 ) . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được ký hiệu là d ( M;d ) và được ax 0 + by0 + c .v n xác định theo công thức: d ( M;d ) = ( om . a 2 + b2  Ứng dụng. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng.  Xét hai đường thẳng ) ( ) 2 2 2 2 d1 : a1 x + b1y + c= 1 0, a1 + b1 > 0 ; và d 2 : a 2 x + b 2 y + c 2= 0, a 2 + b 2 > 0 . .c Nếu điểm M ( x; y ) nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d 2 thì d1 ,d 2 có phương trình là: a12 + b12 = a 2 x + b2 y + c2 bo a1x + b1y + c1 a 22 + b 22 ⇔ ∆: a1x + b1y + c1 et ∆: ok d ( M;d1 ) = d ( M;d 2 ) . Suy ra phương trình đường phân giác của góc tạo bởi a12 + b12 =± a 2 x + b2 y + c2 a 22 + b 22 .  Góc giữa hai đường thẳng. ng vi 2 2 Xét hai đường thẳng d1 : a1 x + b1y + c= 1 0,(a1 + b1 > 0) có véc tơ pháp tuyến  n1 = ( a1;b1 ) ; và đường thẳng d 2 : a 2 x + b 2 y + c 2= 0, a 22 + b 22 > 0 có véc tơ  pháp tuyến n 2 = ( a 2 ;b 2 ) . ( ( ) ) kh a Khi đó góc α 0 ≤ α ≤ 900 giữa hai đường thẳng được xác định theo công   n1.n 2 a1a 2 + b1b 2 . thức:= cos α =   2 n1 . n 2 a1 + b12 . a 22 + b 22 Ví dụ 9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P ( 2;5 ) sao cho khoảng cách từ điểm Q ( 5;1) đến đường thẳng đó bằng 3. Đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tổng quát là ( ) ∆ : a ( x − 2 ) + b ( y − 5 ) = 0 ⇔ ∆ : a x + by − 2a − 5b = 0, a 2 + b 2 > 0 . 10 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Khoảng cách từ Q đến ∆ bằng 3 b = 0 2 . =⇔ 3 ( 3a − 4b ) = 9 a 2 + b2 ⇔  a = 7 b a 2 + b2 24  - Với b = 0 , chọn a = 1 ⇒ ∆1 : x − 2 = 0 . ⇔ 5a + b − 2a − 5b ( ) 7 b , chọn b = 24 ⇒ a = 7 ⇒ ∆ 2 : 7x + 24y − 134 = 0 . 24 Vậy có hai đường thẳng cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là ∆1 : x − 2 = 0; ∆ 2 : 7x + 24y − 134 = 0 . - Với a = thẳng ∆ : 2 x + 3 y + 4 = 0 góc 450 .  Giả = sử n ( a;b ) , a 2 + b 2 > 0 là véc tơ pháp tuyến của d .  Đường thẳng ∆ có véc tơ pháp tuyến n ∆ = ( 2;3) .   n.n ∆ Góc giữa hai đường thẳng bằng 450 ⇔ cos 450 =   . n . n∆ om ) ok .c ( .v n Ví dụ 10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ( 2;1) và tạo với đường a = 5b 1 . ⇔ = ⇔ a = − 1 b 2 2 2 2 2 2 +3 . a +b  5 - Với a = 5b , chọn b =1 ⇒ a =5 ⇒ d : 5x + y − 11 =0 . et bo 2a + 3b kh a ng vi 1 - Với a = − b , chọn b =−5 ⇒ a =1 ⇒ d : x − 5y + 3 =0 . 5 Áp dụng. Trong các bài toán tính góc và khoảng cách, đường phân giác. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 : A1x + B1y= + C1 0;d 2 : A 2 x + B2 y= + C2 0 được xác định bởi: ∆: A1x + B1y + C1y A12 + B12 A x + B2 y + C 2 y . = ± 2 A 22 + B22 C. BÀI TẬP CHỌN LỌC Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M ( −1;2 ) và đường thẳng d : x − 2y + 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a) ∆ vuông góc với d . b) ∆ tạo với d một góc 600 . c) Khoảng cách từ điểm A ( 2;1) đến ∆ bằng 1. 11 Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam Giải a) ∆ vuông góc với d . Đường thẳng ∆ đi qua M ( −1;2 ) và có hệ số góc k có phương trình là: ∆ : y= k ( x + 1) + 2 .  Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n= 1 (1; −2 ) ; đường thẳng ∆ có véc tơ pháp  tuyến n= 2 ( k; −1) .   Vì vậy ∆ ⊥ d ⇔ n1 ⊥ n 2 ⇔ k.1 + ( −1) . ( −2 ) = 0 ⇔ k = −2 . .v n Suy ra ∆ : y = −2 ( x + 1) + 2 ⇔ ∆ : y = −2x . b) ∆ tạo với d một góc 600 .   n1.n 2 k.1 + ( −1) .( −2 ) 1 Góc giữa ∆ và d bằng 60 ⇔ cos 60 =   ⇔ . = 2 2 2 n1 . n 2 k 2 + ( −1) . 12 + ( −2 ) ( om 0 0 ) 2 .c ⇔ 4 ( k + 2 ) =5 k 2 + 1 ⇔ k 2 − 16k − 11 = 0 ⇔ k =8 ± 5 3 . ( ) ok Suy ra có hai đường thẳng thỏa mãn là ∆1,2 : y = 8 ± 5 3 ( x + 1) + 2 . c) Khoảng cách từ điểm A ( 2;1) đến ∆ bằng 1 . k ( 2 + 1) + 2 − 1 = 2 k 2 + ( −1) k2 + 1 . et Mặt khác d ( A / ∆ ) = 1 do đó 3k + 1 bo Ta có d ( A; ∆ ) = k = 0 =⇔ 1 ( 3k + 1) = k + 1 ⇔ 8k + 6k =0 ⇔  . 2 k = − 3 k +1 4   Với k = 0 ⇒ ∆1 : y = 2 . vi 3k + 1 2 2 kh a ng 2 3 3 3 5  Với k = − ⇒ ∆2 : y = − ( x + 1) + 2 ⇔ ∆ 2 : y = − x+ . 4 4 4 4 Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M ( 2; −1) và hai đường thẳng d1 : x + 2y + 1 = 0 ; d 2 : 2x − y − 3 = 0. a) Xác định giao điểm I của hai đường thẳng trên và chứng minh hai đường thẳng đó vuông góc. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt d1 ,d 2 lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho M là trung điểm của AB . c) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt d1 ,d 2 lần lượt tại hai điểm   phân biệt A và B sao cho MA  2MB . 12 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt d) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt d1 ,d 2 lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho MA = 2MB . Giải  a) Đường thẳng d1 có véc tơ pháp tuyến n1  1;2 ; đường thẳng d 2 có véc tơ    pháp tuyến n= . Suy ra 2; − 1 n ( ) 2 1.n 2 = 1.2 + 2. ( −1) = 0 vì vậy d1 ⊥ d 2 (đpcm). Tọa độ giao điểm I của d1 và d 2 là nghiệm của hệ phương trình. = +1 0 =  x + 2y x 1 . ⇔  2x − y − 3 =0  y =−1 .v n Vì vậy I (1; −1) . b) Giả sử A ( −2a − 1;a ) ∈ d1 , B ( b;2b − 3) ∈ d 2 . .c om 9   −2a − 1 + b a= − =2   5  −2a + b = 5 2 . ⇔ ⇔ M là trung điểm của AB ⇔  a + 2b = 1 7   a + 2b − 3 =  −1 b=   2 5 bo ok  13 9   7 1  Suy ra A  ; −  , B  ; −   5 5 5 5 nên đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm A, B xác định có phương trình là: vi et 13 9 x− y+ 5 5 ⇔ d : 4 x + 3= d: = y− 5 0 . 7 13 1 9 − − + 5 5 5 5   c) Ta có MA  2a  3;a  1, MB  b  2;2b  2 . kh a ng   a   3    2a  3  2b  2   5 Vì vậy MA  2MB   .     11 a  1  2 2b  2      b   10    1 3   11 4  Suy ra A  ; −  , B  ; −  và đường thẳng đi qua hai điểm xác định trên ta  5 5   10 5  1 3 x− y+ 5 5 ⇔ d : 2 x + 9= y+ 5 0 . có d : = 11 1 4 3 − − + 10 5 5 5 d) Ta chuyển qua véc tơ, với MA = 2MB thì có hai trường hợp.   Trường hợp 1: MA = 2MB theo câu trên ta có phương trình đường thẳng: d : 2 x + 9 y+ 5 = 0. 13 Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam 11  a= −    − 2a − 3 = − 2 b − 2 ( )   5 Trường hợp 2: MA = . −2MB ⇔  ⇔ 13 a + 1 =−2 ( 2b − 2 ) b =  10 om Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng .v n  17 11   13 2  Suy ra A  ; −  , B  ; −  và đường thẳng được xác định bởi 5   10 5   5 17 11 x− y+ 5 5 ⇔ d : 30x + 35y − d: 25 0 . = = 13 17 2 11 − − + 10 5 5 5 Vậy có hai đường thẳng cần tìm là d : 5x + 45y + 26 = 0 và d : 30x + 35y − 25 = 0. d1 : x − 7y + 17 = 0 và d 2 : x + y − 5 = 0. ok .c a) Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d 2 . b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0; 1) và tạo với hai đường thẳng d1 ,d 2 một tam giác cân tại giao điểm của d1 và d 2 . d ( M / d1 ) = d ( M / d 2 ) . bo Giải a) Điểm M ( x; y ) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d 2 khi và chỉ khi ng vi x − 7y + 17 et 21  x + y−5 ∆ : x + 3y − = 0 . = ⇔ 1 2  2 2 2 2 + 1 1 1 + ( −7 ) 0  ∆ 2 : 3x − y − 4 = Vậy phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d 2 có phương trình là ⇔ kh a 21 = 0 và ∆ 2 : 3x − y − 4 = 0. 2 b) Giả sử đường thẳng d cần tìm cắt d1 ,d 2 lần lượt tại M, N và gọi I là giao điểm ∆1 : x + 3y − của hai đường thẳng d1 và d 2 . Khi đó tam giác IMN cân tại I nên MN vuông  do đó d vuông góc với đường phân góc với đường phân giác của góc MIN giác của góc tạo bởi d1 ,d 2 . Trường hợp 1: d ⊥ ∆1 suy ra d nhận véc tơ chỉ phương của ∆1 làm véc tơ pháp  tuyến nên n d = ( −3;1) , suy ra d : −3 ( x − 0 ) + 1( y − 1) = 0 ⇔ d : −3x + y − 1 = 0 . Trường hợp 2: d ⊥ ∆ 2 suy ra d nhận véc tơ chỉ phương của ∆ 2 làm véc tơ pháp  tuyến nên n d = (1;3) , suy ra d :1( x − 0 ) + 3 ( y − 1) = 0 ⇔ d : x + 3 y − 3 = 0 . 14 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt d1 : −3x + y − 1 =0 Vậy có hai đường thẳng cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là  . 0 d 2 : x + 3y − 3 = 1 1 1 3a 3a 2 . OA.OB = = a.b a. = 2 2 2 2 ( 2a + 1) 4 2a + 1 ok Khi đó = SOAB .c om .v n  1 3 Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M  − ;  . Viết phương trình  2 4 đường thẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ lần lượt tại hai điểm A và B sao 1 cho diện tích tam giác OAB bằng (trong đó O là gốc tọa độ). 4 Giải Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ lần lượt tại hai 1 điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng (trong đó O là gốc tọa độ). 4 x y Giả sử A ( a;0 ) , B ( 0;b ) khi đó phương trình đường thẳng d : + = 1. a b 1 3 3a Do M ∈ d ⇒ − + . = 1⇔ b = 2a 4b 2 ( 2a + 1) et bo a = 1 2 3a= 2a + 1 1 3a 2 1 . Mặt khác SOAB = ⇔ = ⇔ ⇔ a = − 1 4 4 2a + 1 4 − ( 2a + 1) 3a 2 =  3 1 ta có phương trình đường thẳng d : x + 2 y = 1. 2 1 3 2  Với a =− ⇒ b =− ta có phương trình đường thẳng d : −3x − y + 1 = 0. 3 3 2 ng vi  Với a =1 ⇒ b = Bài 5. Viết phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm M ( 4;1) cắt các trục tọa kh a độ lần lượt tại hai điểm A ( a;0 ) , B ( 0;b )( a, b > 0 ) sao cho. a) Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất. b) Tổng độ dài OA + OB nhỏ nhất. 9 4 c) Tổng đạt giá trị nhỏ nhất. + 2 OA OB2 Trong đó O là gốc tọa độ. Giải a) Giả sử (d) cắt các trục tọa độ tại A ( a;0 ) , B ( 0;b ) ,a, b > 0 . Khi đó phương trình của (d) là ( d ) : 4 1 x y 1 (1) . + = 1 . Do M ( 4;1) ∈ ( d ) ⇒ + = a b a b 15 Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam Ta có = SOAB 1 1 = OA.OB ab , theo (1) ta có 2 2 4 1 4 1 4 + ≥2 . = ⇒ ab ≥ 16 ⇒ SOAB ≥ 8. a b a b ab x y Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =8, b =2 ⇒ ( d ) : + =1. 8 2 1= a 4 4 = a −4+ + 5 ≥ 2 ( a − 4). +5=9. a−4 a−4 a−4 4 x y Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a − 4 = ⇔ a = 6;b = 3 ⇒ ( d ) : + = 1. a−4 6 3 .v n b) Ta có OA + OB = a + b = a + 9 + 4 ( a − 4) 9 4 73 − 32a + 4a 2 . c) Ta có + = + = = OA 2 OB2 a 2  a 2 a2 a2   a −4 2 ta có f '(a) = 73 − 32a + 4a 2 a2 −32a − 2 ( 73 − 32a ) a 3 trên ( 4;+∞ ) . .c Xét hàm số f (a) = = 2 (16a − 73) a 3 ;f '(a) = 0 ⇔ a = 73 . 16 73 73 . ⇒b= 16 9 et bo Suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại a = Suy ra d :16 x + 9 y − 73 = 0 . om 4 ok 9 Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : 3x + y + 5 = 0 và vi đường thẳng d 2 : 3x + y + 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm ng I (1; −2 ) và cắt d1 và d 2 lần lượt tại A và B sao cho độ dài AB bằng 2 2 . Giải kh a  IA = ( a − 1; −3a − 3) . Giả sử điểm A ( a; −3a − 5 ) ∈ d1;B ( b; −3b − 1) ∈ d 2 . Ta có   IB = ( b − 1; −3b + 1)   1 k ( a − 1) b − = ⇔ a = 3b − 2 . I, A, B thẳng hàng khi và chỉ khi IB = kIA ⇔  −3b + 1 = k ( −3a − 3) Khi đó AB = (a − b) 2 a − b =−2 . + [3 ( a − b ) + 4] = 2 2 ⇔  a − b =− 2  5 2 a − b =−2 a =−2  Với a − b =−2 ⇔  ⇔ ⇒ d : x + y + 1 =0 . 3b − 2 0 a = b = 16 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2  2 a=   2 a − b =−  5  Với a − b =− ⇔  ⇒ d : 7x − y − 9 =0 . 5⇔ 4 5 = b = a 3b − 2  5 Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 2x − y − 2 = 0 và điểm I (1;1) . Viết phương trình đường thẳng ∆ tạo với d một góc 450 và cách I một khoảng bằng 10 . Giải ( ) a = 3b . = 1⇔  2  b = −3a a 2 + b 2 . 22 + ( −1) 2a − b  Với a= 3b ⇒ ∆ : 3x + y + c= 0 . 4+c = 32 + 12 10 . .c 10 ⇔ ok Khoảng cách từ d ( I, ( ∆ ) )= om Góc giữa d và ∆ bằng 450 nên .v n Giả sử đường thẳng ∆ : ax + by += c 0, a 2 + b 2 > 0 . bo 0  ∆1 : 3x + y + 6 = c = 6 . ⇔ ⇒ c =−14  ∆ 2 : 3x + y − 14 =0  Với b = −3a ⇒ ∆ : x − 3y + c = 0 . 10 ⇔ et Khoảng cách từ d ( I, ( ∆ ) )= −2 + c 12 + ( −3) = 2 10 . kh a ng vi 0  ∆3 : x − 3y + 12 = c = 12 . ⇔ ⇒ 0 c = −8  ∆ 4 : x − 3y − 8 = Vậy có bốn đường thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán như trên. Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1; –1) và hai đường thẳng d1 : x −= y − 1 0,d 2 : 2x += y − 5 0 . Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng trên. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M , cắt hai đường thẳng trên lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC có BC = 3AB . Giải Tọa độ giao điểm A = d1  d 2 là nghiệm của hệ phương trình. − y −1 0 =  x= x 2 ⇔ ⇒ A ( 2;1) .  y −5 0 = 2 x + = y 1 Lấy điểm B1 (1;0 ) ⇒ AB1 = 2. Lấy điểm C1 ( t ;5 − 2t ) ∈ d 2 sao cho B1C= 3 AB1 ⇔ 1 ( t − 1) + ( 5 − 2t )= 2 2 3 2. 17 Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam   2 21     3 21   2 t = C1  ;   B1C1 =  − 5 ; 5  .   ⇔ 5t 2 − 22t + 8 = 0 ⇔  5 ⇒   5 5  ⇒     1 ( 3; −3) C2 ( 4; −3) t = 4  B1C= Ta có: .v n (Talets đảo). om Đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng đi qua M (1; −1) và song song với bo ok .c x −1 y +1   d : −3 / 5 = 21/ 5 0 d : x + y = . B1C1 nên có phương trình là  ⇔ 0 d : 7 x + y− 6 = d : x − 1 = y + 1 3 −3  Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là d : x  y  0 và d : 7x  y  6  0 . et Cách 2: Tọa độ giao điểm A  d1  d 2 là nghiệm của hệ phương trình. . vi TH1: Đường thẳng d / /Oy ⇒ d : x = 1. ng Tọa độ giao điểm B  d  d1 là nghiệm của hệ phương trình kh a =  x 1= x 1 ⇔ ⇒ B (1;0 ) .  y −1 0 =  x −= y 0 Tọa độ giao điểm C = d  d 2 là nghiệm của hệ phương trình =  x 1= x 1 ⇔ ⇒ C (1;3) .  −5 0 = 2x + y= y 3 Suy ra BC = 3 ≠ 3AB = 3 2 (nên loại trường hợp này). TH2: Đường thẳng d không song song với Oy . Giả sử đường thẳng cần tìm đi qua M có hệ số góc k có phương trình là d : y= k ( x − 1) − 1 . Khi đó tọa độ B = d1  d là nghiệm của hệ phương trình 18 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 6+k  x=  2x y 5 0 + − =    6 + k 3k − 2  2+k ; ⇔ ⇒ C  . 2+k 2+k   y= k ( x − 1) − 1  y = 3k − 2  2+k Ta tính được .v n k   x = k − 1 0  x − y − 1 = 1   k ⇔ ⇒ B ;  .  k −1 k −1  y= k ( x − 1) − 1  y = 1 k −1  Tọa độ C = d 2  d là nghiệm của hệ phương trình 2 2 9 ( k − 2) 9k 2 ( k − 2 ) k   3k − 2 1  6+k . BC2 = − + − = +     2 + k k −1  2 + k k −1 ( 2 + k )2 ( k − 1)2 ( 2 + k )2 ( k − 1)2 2 2 2  k   1  k−2 AB =  − 2 +  − 1 = 2   .  k −1   k −1   k −1  Yêu cầu bài toán tương đương với 2 + 9k 2 ( k − 2 ) ok 9 ( k − 2) .c 2 2 om 2 2 bo ( 2 + k )2 ( k − 1)2 ( 2 + k )2 ( k − 1)2 2 k−2 9.2  =  .  k −1  ⇔ ( k − 2) + k 2 ( k − 2) = 2 ( k + 2) ( k − 2) . 2 2 2 2 vi et  k = −1 k = 2 k = 2 ⇔ ⇔ 2 ⇔  k = −7 . 2 2 0 0  2 ( k + 2 ) − k − 1 =  k + 8k + 7 =  k = 2 ng Trường hợp k = 2 ⇒ B(2; 1) ≡ A nên loại trường hợp này. Vậy có hai đường thẳng cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là kh a d : y = − ( x − 1) − 1 0 d : x + y = . ⇔  0 −7 ( x − 1) − 1 d : 7x + y − 6 = d : y = Cách 3: Tọa độ giao điểm A = d1  d 2 là nghiệm của hệ phương trình. − y −1 0 =  x= x 2 ⇔ ⇒ A ( 2;1) .  y −5 0 = 2 x + = y 1 Vì B ∈ d1 ⇒ B (1 + b; b ) , C ∈ d 2 ⇒ C ( c;5 − 2c ) , ( b ≠ 1, c ≠ 2 ) . Suy ra   MB = ( b; b + 1) , MC =   ( c − 1;6 − 2c ) , AB = ( b − 1; b− 1) , BC = ( c − b − 1;5 − 2c − b ) . 19 Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam Ba điểm M , B, C thẳng hàng nên   7b + 1 . MB = k MC ⇔ b ( 6 − 2c ) = ( b + 1)( c − 1) ⇔ c = 3b + 1 ( c − b − 1) + ( 5 − 2c − b ) Mặt khác BC = 3 AB ⇔ 2 2 2 = 3 ( b − 1) + ( b − 1) 2 2 . 2  −3b 2 + 3b   −3b 2 + 3  2 ⇔  3 2 ( b − 1) .  +  =  3b + 1   3b + 1  ⇔ ( 3b + 1) 2 2 .v n 2 2 2 2 2 = 18 ( b − 1) ⇔ ( b − 1) b 2 + ( b + 1) − 2 ( 3b + 1) = 0 .   ok .c  b = 1  1 2 2 b = ⇔ ( b − 1) ( −16b − 10b − 1) =⇔ − . 0  2  1 b = − 8  om 9b 2 ( b − 1) + 9 ( b 2 − 1) 1 1 hoặc b = − . 2 8 bo Đối chiếu với điều kiện suy ra b = − ng vi et  1 1  B  2 ; − 2  , C ( 5; −5 )  Từ đó suy ra tọa độ điểm B, C là   .   7 1   1 23  B  ; −  ,C  ;   8 8 5 5  kh a Phương trình đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm B, C ta có kết quả tương tự trên. Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là d : x  y  0 và d : 7x  y  6  0 . Nhận xét. Rõ ràng cách 1 nhanh và hiệu quả nhất nếu sử dụng tính chất hình học trong quá trình giải toán (xem thêm Chương 2 – Chủ đề 10). 20
- Xem thêm -