Tài liệu đường thẳng và mặt phẳng trong không gian oxyz

Đ  ĐƯ  ƯỜ  ỜN  NG T  TH  HẲ  ẲN  NG V  VÀ M  MẶ  ẶT P  PH  HẲ  ẲN  NG  T  YZ  XY  OX  AN O  IA  GI  NG G  ÔN  HÔ  KH  NG K  ON  RO  TR  TS.Trần Phương PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG:

1. Hai véctơ u = ( a1 , a 2 , a3 ) ; v = ( b1 ; b2 ; b3 ) là một cặp véc tơ chỉ phương (VTCP)


của mặt phẳng (α) ⇔ u , v ≠ 0 ; không cùng phương và các giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α) 2. Véctơ n = ( a; b; c ) là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (α)
⇔ (α) ⊥ giá của n 3. Nhận xét: Mặt phẳng (α) có vô số cặp véctơ chỉ phương và vô số véctơ pháp


tuyến đồng thời n // [ u , v ] .
u = ( a1 , a 2 , a 3 )  Nếu 
là một cặp VTCP của mp(α) thì VTPT là: v = ( b1 ; b2 ; b3 )


 a n = [u , v ] =  2  b2 a3 a ; 3 b3 b3 a1 a ; 1 b1 b1 a2   b2  II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG 2. Phương trình tổng quát: 2.1. Phương trình chính tắc: Ax + By + Cz + D = 0 với A 2 + B 2 + C 2 > 0 . Nếu D = 0 thì Ax + By + Cz = 0 ⇔ (α) đi qua gốc tọa độ. Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì (α): By + Cz + D = 0 sẽ song song hoặc chứa với trục x’Ox. Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì (α): Ax + Cz + D = 0 sẽ song song hoặc chứa với trục y’Oy. Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì (α): Ax + By + D = 0 sẽ song song hoặc chứa với trục z’Oz. 2.2. Phương trình tổng quát của mp(α) đi qua M0(x0, y0, z0) với cặp VTCP
u = ( a1 , a 2 , a 3 )


 a a3 a a1 a a2   hay VTPT n = [u , v ] =  2 ; 3 ; 1 
 là: b3 b1 b1 b2   b 2 b3 v = ( b1 ; b2 ; b3 ) a2 b2 a3 b3 ( x − x0 ) + a3 b3 a1 b1 ( y − y0 ) + a1 b1 a2 b2 ( z − z0 ) = 0 2.3. Phương trình tổng quát của mp(α) đi qua 3 điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ; C ( x 3 , y 3 , z 3 ) không thẳng hàng có VTPT là: 

 y − y1
n =  AB, AC  =  2  y 3 − y1 z 2 − z1 z − z1 , 2 z 3 − z1 z 3 − z1 x 2 − x1 x − x1 , 2 x 3 − x1 x 3 − x1 y 2 − y1   y 3 − y1  nên phương trình là: y 2 − y1 z 2 − z1 y3 − y1 z3 − z1 ( x − x1 ) + z 2 − z1 x2 − x1 z3 − z1 x3 − x1 ( y − y1 ) + x2 − x1 x3 − x1 y 2 − y1 y3 − y1 ( z − z1 ) = 0 Đặc biệt: Phương trình mặt phẳng đi qua A ( a; 0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0; 0; c ) là: x + y + z = 1 ( abc ≠ 0 ) a b c 3. Phương trình chùm mặt phẳng: Cho 2 mặt phẳng cắt nhau ( α 1 ) : a1 x + b1 y + c1 z + d 1 = 0 ; ( α 2 ) : a 2 x + b2 y + c 2 z + d 2 = 0 ( ∆ ) = ( α1 ) ∩ ( α 2 ) . với Mặt phẳng (α) chứa (∆) là p ( a1 x + b1 y + c1 z + d 1 ) + q ( a 2 x + b2 y + c 2 z + d 2 ) = 0 với p 2 + q 2 > 0 III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG
Cho 2 mặt phẳng (α1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 có VTPT n1 = ( A1 , B1 , C1 )
và (α2): A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 có VTPT n 2 = ( A2 , B 2 , C 2 ) .

Nếu n1 , n 2 không cùng phương thì (α1) cắt (α2).

Nếu n1 , n 2 cùng phương và (α1 ), (α2) không có điểm chung thì (α1) // (α2)

Nếu n1 , n 2 cùng phương và (α1 ), (α2) có điểm chung thì (α1) ≡ (α2) IV. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Góc giữa 2 mặt phẳng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và (α2): A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) thỏa mãn:

n1 .n2 A1 A2 + B1 B2 + C1C2

với n1 , n 2 là 2 VTPT của (α1), (α2). cos ϕ =

= n1 n2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C 22 V. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ M0(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 là: d ( M , α) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song: d ( α; β ) = d ( M ; β ) ∀M ∈ ( α ) d ( α; β ) = d ( M ; α ) ∀M ∈ ( β ) VI. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. Lập phương trình tổng quát của mp(α) đi qua A(2; 1; −1) và vuông góc với đường thẳng xác định bởi 2 điểm B(−1; 0; −4), C(0; −2; −1). 

Mp(α) đi qua A nhận BC = (1; −2;3) làm VTPT nên phương trình mp(α) là: 1 ( x − 2 ) − 2 ( y − 1) + 3 ( z + 1) = 0 ⇔ x − 2 y + 3 z + 3 = 0 Bài 2. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của mp(α) đi qua A ( 2; −1; 4 ) , B ( 3; 2; −1) và vuông góc với ( β ) : x + y + 2 z − 3 = 0 

HD: AB = (1; 3; −5 ) , nβ = (1;1; 2 ) . Do mp(α) đi qua A, B và ( α ) ⊥ ( β ) nên (α) 

nhận AB, n b làm cặp VTCP. Suy ra VTPT của (α) là:
 3 −5 −5 1 1 3  n = ; ;  = (11; −7; −2 ) . Mặt khác (α) đi qua A ( 2; −1; 4 ) nên 2 1 1 1   1 2 phương trình mp(α): 11 ( x − 2 ) − 7 ( y + 1) − 2 ( z − 4 ) = 0 ⇔ 11x − 7 y − 2 z − 21 = 0 . Bài 3. Lập phương trình mp(α) đi qua A(1; 0; 5) và // mp(γ): 2x − y + z − 17 = 0 . Lập phương trình mp(β) đi qua 3 điểm B(1; −2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0) và tính góc nhọn ϕ tạo bởi 2 mp(α) và (β).
HD: mp(α) // (γ): 2 x − y + z − 17 = 0 có n = ( 2; −1;1) ⇒ (α): 2 x − y + z + c = 0 (α) đi qua A(1; 0; 5) ⇒ 2 ⋅ 1 − 0 + 5 + c = 0 ⇔ c = −7 ⇒ PT (α): 2 x − y + z − 7 = 0 


mp(β) nhận 2 véc tơ BC = ( 0; 2; −1) , BD = ( −1;3; −1) làm cặp VTCP nên có 0 2 
 2 −1 −1 0 VTPT là: nβ =  ; ;  = (1;1; 2 ) .  3 −1 −1 −1 −1 3  Vậy phương trình mp(β): x + ( y − 1) + 2 z = 0 ⇔ x + y + 2 z − 1 = 0


cos ϕ = cos ( n , nβ ) = 2 ⋅1 − 1⋅1 + 1 ⋅ 2 = 3 = 1 ⇒ ϕ = π = 60° 6 2 3 2 +1+1 1+1+ 2 2 2  x − 2 z = 0 Bài 4. Viết PT mặt phẳng chứa đường thẳng (∆):  3 x − 2 y + z − 3 = 0 và vuông góc với mặt phẳng (P): x − 2 y + z + 5 = 0 HD: Phương trình chùm mặt phẳng chứa (∆) là: m ( x − 2 z ) + n ( 3 x − 2 y + z − 3) = 0 ( m, n ∈  ; m 2 + n 2 > 0 ) ⇔ ( m + 3n ) x − 2ny + ( n − 2m ) z − 3n = 0
⇒ mp(α) chứa (∆) có VTPT u = ( m + 3n; −2n; n − 2m )


Mặt phẳng (P) có VPPT v = (1; −2;1) nên để (α) ⊥ (P) thì u ⋅ v = 0 ⇔ 1 ⋅ ( m + 3n ) − 2 ⋅ ( −2n ) + 1 ⋅ ( n − 2m ) = 0 ⇔ 8n − m = 0 . Cho n = 1 suy ra m = 8 , khi đó phương trình mp(α) là: 11x − 2 y − 15 z − 3 = 0 Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Oz và lập với mặt phẳng (α): 2 x + y − 5 z = 0 một góc 60°. HD: Mặt phẳng (P) chứa Oz ⇒ (P) có dạng: mx + ny = 0 ( m 2 + n 2 > 0 )

⇒ VTPT u = ( m; n; 0 ) . Mặt phẳng (α) có VTPT v = ( 2;1; − 5 ) suy ra

cos ( u , v ) = cos 60° ⇔ 2.m + 1.n − 0. 5 m2 + n2 2 = 1 ⇔ ( 2 2m + n ) = 10 ( m 2 + n 2 ) 2 2 + 12 + 5 2 ⇔ 4 ( 4m 2 + 4mn + n 2 ) = 10 ( m 2 + n 2 ) ⇔ 2 ( 3m 2 + 8mn − 3n 2 ) = 0 Cho n = 1 ⇒ 3m 2 + 8m − 3 = 0 ⇔ m = −3 ∨ m = 1 . 3 Vậy ( P ) : 3 x − y = 0 hoặc ( P ) : x + 3 y = 0 Bài 6. Viết phương trình tổng quát của mp(α) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và tạo với (Oxy) một góc 60°. HD: (α): Ax + By + Cz + D = 0 qua M, N suy ra: C + D = 0; 3 A + D = 0 ⇒ C = 3 A; D = −3 A . Mặt phẳng (Oxy) có VTPT là ( 0; 0;1) suy ra C 2 2 A +B +C 2 = cos 60° ⇔ 3A = 1 ⇔ 36 A 2 = 10 A 2 + B 2 2 10 A + B 2 2 ⇔ 26 A 2 = B 2 ⇔ B = ± 26 A . Do A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ⇒ A ≠ 0 . Cho A = 1 suy ra mp(α): x − 26 y + 3 z − 3 = 0 hoặc x + 26 y + 3 z − 3 = 0 Bài 7. Cho A(a; 0; a), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là 3 số dương thay đổi luôn luôn thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) đạt Max. y 1 HD:
(ABC): x + + z − 1 = 0 . Suy ra = 12 + 12 + 12 a b c d ( O; ABC ) a b c ⇒ 12 = 12 + 12 + 12 ⇒ = 1  12 + 12 + 12  ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 1 ⋅ 9 = 3 3 a 3 d a b c b c  ⇒ d 2 ≤ 1 ⇒ d ≤ 1 . Với a = b = c = 1 thì Max d = 1 3 3 3 Bài 8. Cho chùm mặt phẳng ( Pm ) : 2 x + y + z + 1 + m ( x + y + z + 1) = 0 . Chứng minh rằng: (P m) luôn đi qua (d) cố định ∀m Tính khoảng cách từ O đến (d). Tìm m để (Pm) ⊥ ( P0 ) : 2 x + y + z + 1 = 0  2 x + y + z + 1 = 0 HD:
Với mọi m, (Pm) luôn đi qua đường thẳng cố định (d):   x + y + z + 1 = 0

Mặt phẳng 2 x + y + z + 1 = 0 có VTPT: u = ( 2;1;1) và x + y + z + 1 = 0 có



VTPT v = (1;1;1) suy ra (d) có VTCP là: a = [u ; v ] = ( 0; −1;1) . 
[OM ⋅ a
] Mặt khác (d) đi qua M ( 0; 0; −1) ⇒ d ( O, ( d ) ) =
a = 12 + 0 + 0 = 1 2 0 +1+1 2

( Pm ) : ( m + 2) x + ( m + 1) y + ( m + 1) z + m + 1 = 0 có VTPT n1 = ( m + 2; m + 1; m + 1) ;
Trường hợp đặc biệt mặt phẳng ( P0 ) có VTPT n 2 = ( 2;1;1) .

Để (Pm) ⊥ (P0) thì n1 ⋅ n2 = 0 ⇔ 2 ( m + 2) + 1( m + 1) + 1( m + 1) = 0 ⇔ 4m + 6 = 0 ⇔ m = −3 2 Bài 9. Cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; −1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). CMR: O ∈ (ABC) và OABC là một hình chữ nhật. Cho S(9; 0; 0). Tính thể tích chóp S.OABC. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và đi qua trung điểm OS. 




HD:
AB = ( 2; 2; −1) , AC = ( 2;1; −3) ⇒ VTPT n =  AB, AC  = ( −5; 4; −2 ) Do (ABC) đi qua A(0; 1; 2) nên phương trình mặt phẳng (ABC) là: −5 ( x − 0 ) + 4 ( y − 1) − 2 ( z − 2 ) = 0 ⇔ 5 x − 4 y + 2 z = 0
O(0; 0; 0) và 5.0 − 4.0 + 2.0 = 0 nên O ∈ (ABC). 



Ta có: OA = ( 0;1; 2 ) , OC = ( 2; 2; −1) ⇒ OC = AB 

OA ⋅ OC = 0.2 + 1.2 − 2.1 = 0 suy ra OABC là hình chữ nhật.
Gọi H là hình chiều của S lên (OABC) suy ra 


V = 1 S OABC ⋅ SH = 2 ⋅ 1 S ABC ⋅ SH = 2.V SABC = 2 ⋅ 1  AB, AC  ⋅ AS 3 3 6 


Ta có: AS = ( 9; −1; −2 ) và  AB, AC  = ( −5; 4; −2 ) ⇒ V = 1 9 ( −5 ) − 1 ⋅ 4 − 2 ( −2 ) = 1 −45 = 15 3 3 

Trung điểm của OS là M 9 ; 0; 0 ⇒ AM = 9 ; −1; −2 2 2


⇒ Mặt phẳng chứa AB và đi qua M có VTPT là: n = [ AB. AM ] = −5; − 1 ; −11 2 ( ) ( ) ( ) ⇒ Phương trình mặt phẳng: 10 x + y + 22 z − 45 = 0 . Bài 10. Lập phương trình của mặt phẳng ( α ) thuộc chùm tạo bởi hai mặt phẳng ( P ) : x − 3 y + 7 z + 36 = 0; ( Q ) :2 x + y − z − 15 = 0 nếu biết khoảng cách từ gốc tọa độ O đến α bằng 3. Giải Mặt phẳng ( α ) thuộc chùm tạo bởi (P) và (Q) nên có phương trình dạng: m ( x − 3 y + 7 z + 36 ) + n ( 2 x + y − z − 15 ) = 0 ( m 2 + n 2 > 0 ) ⇔ ( m + 2n ) x + ( n − 3m ) y + ( 7 m − n ) z + 36m − 15n = 0 . Ta có d ( O, ( α ) ) = 3 ⇔ 36m − 15n 2 ( m + 2n ) + ( n − 3m ) 2 + ( 7 m − n ) 2 =3 ⇔ 12m − 5n = 59m 2 − 16mn + 6n 2 ⇔ 19n 2 − 104mn + 85m 2 = 0 ⇔ ( n − m ) (19n − 85m ) = 0 ⇔ n = m ∨ 19n = 85m + Cho n = m = 1 thì nhận được ( α 1 ) : 3x − 2 y + 6 z + 21 = 0 + Cho m = 19, n = 85 ta có ( α 2 ) : 189 x + 28 y + 48 z − 591 = 0 . Bài 11. Lập phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua 2 điểm A(2; –1; 0), B(5; 1; 1) ( ) và khoảng cách từ điểm M 0; 0; 1 đến mặt phẳng ( α ) bằng 6 3 . 2 Giải Gọi phương trình mặt phẳng ( α ) là: Ax + By + Cz + D = 0 ( A 2 + B 2 + C 2 > 0 ) Ta có A ∈ ( α ) ⇒ 2 A − B + D = 0 (1) ; B ∈ ( α ) ⇒ 5 A + B + C + D = 0 ( 2 ) Mặt khác: d ( M , ( α ) ) = 7 ⇔ 1 C + D = 7 2 6 3 6 3 2 2 2 2 ⇔ 27 ( C + 2 D ) = 49 ( A + B + C ) ( 3) . A2 + B 2 + C 2 Từ (1) và (2), ta có C = −3 A − 2 B, D = B − 2 A ( 4 ) 2 Thế (4) vào (3), ta được: 27.49 A 2 = 49  A 2 + B 2 + ( 3 A + 2 B )  5B 2 + 12 AB − 17 A 2 = 0 ⇔ B = A ∨ B = − 17 A 5 + Chọn A = B = 1 ⇒ C = –5, D = –1 thì nhận được ( α 1 ) : x + y − 5 z − 1 = 0 + Chọn A = 5, B = 17 ⇒ C = 19, D = –27 thì ( α 2 ) : 5 x − 17 y + 19 z − 27 = 0 VII. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI Bài 1. Viết PT mp(α) chứa gốc tọa độ O và vuông góc với ( P ) : x − y + z − 7 = 0 , ( Q ) : 3 x + 2 y − 12 z + 5 = 0 Bài 2. Viết PT mp(α) đi qua M(1; 2;1) và chứa giao tuyến của ( P ) : x + y + z − 1 = 0, ( Q ) : 2 x − y + 3 z = 0  x − y + z − 3 = 0 Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng chứa ( ∆ ) :  3x + y + 2 z − 1 = 0 và vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + 2 z − 3 = 0 Bài 4. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Viết PT mp(ABC). Tính khoảng cách từ gốc O đến (ABC). Viết PT mặt phẳng: a. Qua O, A và // BC; Qua C, A và ⊥ (α): x − 2 y + 3z + 1 = 0 . b. Qua O và ⊥ (α), (ABC); Qua I(−1; 2; 3) và chứa giao tuyến của (α), (ABC) Bài 5. Xác định các tham số m, n để mặt phẳng 5 x + ny + 4 z + m = 0 thuộc chùm mặt phẳng có phương trình: α ( 3 x − 7 y + z − 3) + β ( x − 9 y − 2 z + 5 ) = 0 Bài 6. Cho 2 mặt phẳng ( α ) : 2 x − y + 3 z + 1 = 0 , ( β ) : x + y − z + 5 = 0 và điểm M(1; 0; 5). Tính khoảng cách từ M đến mp(α). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến (d) của (α) và (β) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x − y + 1 = 0 . Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(1; 1; 3), B(−1; 3; 2), C(−1; 2; 3). Tính khoảng cách từ gốc O đến (P). Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC. Bài 8. Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của OA và BC; P, Q là 2 điểm trên OC và AB sao cho OP = 2 và OC 3 2 đường thẳng MN, PQ cắt nhau. AQ . AB Bài 9. Cho A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(a; a; 0), D(0; 0; d) với a, d > 0. Gọi A’, B’ là hình chiếu của O lên DA, DB. Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường OA’, OB’. Chứng minh mặt phẳng đó vuông góc CD. Viết phương trình mp(MNPQ) và tìm tỉ số  ′OB ′ = 45° . Tính d theo a để số đo góc A Bài 10. Tìm trên Oy các điểm cách đều 2 mặt phẳng ( α ) : x + y − z + 1 = 0, ( β ) : x − y + z − 5 = 0 Bài 11. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) cùng đi qua điểm I(2; 1; −3) biết (P) chứa Oy và (Q) chứa Oz. Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mặt phẳng (P) và (Q). Bài 12. Cho ∆OAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng (Oxy), đường thẳng AB // Oy. ( ) Điểm A nằm trên phần tư thứ nhất trong mp(Oxy). Cho điểm S 0; 0; a . 3 Xác định A, B và trung điểm E của OA. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa SE và song song với Ox. Tính d ( O, P ) từ đó suy ra d ( Ox; SE ) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN:

1. Véctơ a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) là véc tơ chỉ phương (VTCP) của (∆) ⇔ (∆) // giá của a

2. Nhận xét: Nếu a là một VTCP của (∆) thì ka (k ≠ 0) cũng là VTCP của (∆) tức là (∆) có vô số VTCP. II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Phương trình tham số: Phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x 0, y 0, z0)  x = x 0 + a1t 
và có VTCP a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) :  y = y 0 + a 2 t ( t ∈  )   z = z 0 + a 3 t 2. Phương trình chính tắc: Phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x0, y0, z0) x − x0 y − y 0 z − z 0
và có VTCP a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) : = = a1 a2 a3 3. Phương trình tổng quát: Phương trình đường thẳng (∆) tổng quát là giao  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B 2 : C 2 tuyến của hai mặt phẳng   A2 x + B 2 y + C 2 z + D2 = 0 4. Phương trình đường thẳng (∆) đi qua 2 điểm M1 (x1, y1, z1), M2(x 2, y2, z2): x − x1 y − y1 z − z1 = = x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1 5. Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc: ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ( A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B 2 : C 2 ) Cho (∆):  ( β ) : A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
n1 = ( A1 , B1 , C1 )


 ⇒VTPT của hai mặt phẳng là 
⇒ VTCP a =  n1 , n 2  n 2 = ( A2 , B 2 , C 2 ) Tìm điểm M0(x0, y0, z0) ∈ (α) ∩ (β) ⇒ x − x0 y − y 0 z − z 0 . = = a1 a2 a3 Đặt tỉ số này bằng t suy ra dạng tham số. III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng:
Cho (∆ 1) đi qua M1(x 1; y 1 , z1) với VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) ,
(∆2) đi qua M2(x 2; y 2, z2) với VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 )



Nếu [u , v ] ⋅ M 1 M 2 ≠ 0 thì ( ∆ 1 ) , ( ∆ 2 ) chéo nhau.



Nếu [u , v ] ⋅ M 1 M 2 = 0 và a1 : a 2 : a 3 ≠ b1 : b2 : b3 thì (∆1), (∆2) cắt nhau. 
( ∆ 1 ) [u
, v
] ⋅ M M = 0 1 2  
Nếu  và hệ phương trình của  vô nghiệm ( ∆ 2 )  a1 : a 2 : a 3 = b1 : b2 : b3 thì (∆1), (∆2) song song nhau. 
( ∆ 1 ) [u
, v
] ⋅ M M = 0 1 2  
Nếu  và hệ phương trình của  có nghiệm  a1 : a 2 : a 3 = b1 : b2 : b3 ( ∆ 2 ) thì (∆1), (∆2) trùng nhau. 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Cho (∆) đi qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) và mp(α):
Ax + By + Cz + D = 0 với VTPT n = ( A, B, C )


Nếu n ⋅ u ≠ 0 ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0 thì (∆) cắt (α).


Nếu n // u ⇔ a : b : c = A : B : C thì (∆) ⊥ (α).

 n ⋅ u = 0  Aa + Bb + Cc = 0
Nếu  ⇔  thì (∆) // (α).  M 0 ∉ ( α )  Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0

 n ⋅ u = 0  Aa + Bb + Cc = 0
Nếu  ⇔  thì (∆) ⊂ (α).  M 0 ∈ ( α )  Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 IV. GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Góc giữa 2 đường thẳng: Cho
(∆1) đi qua M1(x1; y1, z1) với VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) ,
(∆2) đi qua M2(x 2; y2, z2) với VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 ) Góc giữa (( ∆ 1 ) , ( ∆ 2 ) ) = ϕ∈ [0, 90°] xác định bởi:

u ⋅v cos ϕ =

= u ⋅v a 1 b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a 12 + a 22 + a 32 b12 + b 22 + b 32 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho (∆) đi qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) và mp(α):
Ax + By + Cz + D = 0 với VTPT n = ( A, B, C ) Góc giữa ( ( ∆ ) , ( α ) ) = ϕ∈ [ 0, 90°] xác định bởi:

u ⋅n aA + bB + cC sin ϕ =

= 2 2 u ⋅ n a + b + c2 A2 + B 2 + C 2 3. Góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa 2 mặt phẳng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và (α2): A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) thỏa mãn:

n1 .n2 A1 A2 + B1 B2 + C1C2

với n1 , n 2 là 2 VTPT của (α1), (α2). cos ϕ =

= 2 2 2 2 2 2 n1 n2 A1 + B1 + C1 A2 + B2 + C2 V. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng:
Cho (∆) đi qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) . Khoảng cách từ điểm 
u
⋅ M 0 M 1  M1(x1; y 1, z1) đến đường thẳng (∆) là: d ( M 1 , ( ∆ ) ) =
u 2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
Cho (∆ 1) đi qua M1(x 1; y 1 , z1) với VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) ,
(∆2) đi qua M2(x 2; y2, z2) với VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 )


Giả sử ( ∆ 1 ) , ( ∆ 2 ) chéo nhau, khi đó [ u , v ] ⋅ M 1M 2 d ( (∆ 1 ),(∆ 2 ) ) =

[u , v ] 3. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ M0(x0, y0 , z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 là: d ( M , α) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 VI. CÁC DẠNG BÀI TẬP 1. Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng ( ∆ 1 )  Phương pháp: Giải hệ PT tạo bởi  ; ( ∆ 2 ) ( ∆ ) hoặc sử dụng dấu hiệu nhận  ( α ) biết qua hệ thức của các véctơ Bài 1. Xét vị trí tương đối bằng 2 cách khác nhau:  x = 9t  ( ∆ 1 ) :  y = 5t   z = −3 + t x − 2 y + 3 = 0 ( ∆ 1 ) :   2 x + 3 y = 0 2 x − 3 y − 3z − 9 = 0 ( ∆ 2 ) :   x − 2 y + z + 3 = 0 ;  y + 2z − 8 = 0 ( ∆ 2 ) :   x + z − 8 = 0  x = 1 + 2t  Bài 2. Xác định giao điểm của đường thẳng ( ∆ ) :  y = 1 − t ( t ∈  ) với mặt   z = 1 + t phẳng ( α ) : 2 x + y − z − 2 = 0  x + y + z − 2 = 0 Bài 3. Xác định giao điểm của đường thẳng ( ∆ ) :  với mặt  x + 2 y − z − 1 = 0 phẳng ( α ) : x + y + 2 z − 1 = 0 Bài 4. Cho 3 đường thẳng:  x = 3t y+2  ( ∆ 1 ) :  y = 1 − t , ( ∆ 2 ) : x 1− 1 = 4 = z −3 2 , z = 5 + t   x − y + 3z − 3 = 0 ( ∆ 3 ) :   2 x − y + z + 1 = 0 a. Xét vị trí tương đối của các cặp 2 đường thẳng với nhau. b. Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với (∆1), cắt (∆2) và (∆ 3) α) 2. Dạng 2: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên mặt phẳng (α Phương pháp: Viết phương trình tham số của đường thẳng (∆ ) qua M và (∆ ) ⊥(α) Giao điểm H của (∆ ) và (α) là hình chiếu vuông góc của M lên (α) Bài 1. Tìm hình chiếu vuông góc của M(1; 2;−3) lên ( α ) : x + y − 3 z + 5 = 0 3. Dạng 3: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng (α α) Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (α ). Giả sử M(x1, y 1 , z1), H(x0 , y0, z0), khi đó điểm M’ đối xứng M qua (α) là M ′ ( 2 x 0 − x1 , 2 y 0 − y1 , 2 z 0 − z1 ) Bài 1. Xác định điểm đối xứng với điểm M(13; 2; 3) qua mặt phẳng (α): x + y – 3z + 5 = 0 4. Dạng 4: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên đường thẳng (∆ ∆) Phương pháp 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua M và (α ) ⊥ (∆ ). Giao điểm H của (∆) và (α ) là hình chiếu vuông góc của M lên (∆) Phương pháp 2: Viết PT tham số của (∆ ) ⇒ Tọa độ H theo tham số t. 



MH ⊥ u là véctơ chỉ phương của (∆). GPT MH ⋅ u = 0 ⇒ tham số t ⇒ Tọa độ H Bài 1. Xác định hình chiếu vuông góc của M(−1; −1; 1) lên đường thẳng (∆): { x = 1 + t ; y = 2 + t ; z = −3 − 3t} 5. Dạng 5: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng (∆ ∆) Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (∆ ) Giả sử M(x1, y 1 , z1), H(x0 , y0, z0), khi đó điểm M’ đối xứng M qua (∆) là M ′ ( 2 x 0 − x1 , 2 y 0 − y1 , 2 z 0 − z1 ) Bài 1. Xác định điểm đối xứng với điểm M(0; 2; −1) lên đường thẳng (∆): { x = 1 + t ; y = 2 + t ; z = 3 − 3t} 6. Dạng 6: ∆ ) lên mặt phẳng (α α) Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng (∆ Phương pháp: TH1: (∆ ) ⊥ (α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc của (∆ ) lên (α ) là điểm H≡ (∆) ∩ (α ) TH2: (∆ ) ⊂ (α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc của (∆ ) lên (α ) là đường thẳng (∆) TH3: (∆ ) không vuông góc với (α), (∆ ) ⊄ (α ): C1: Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (∆ ) và (β ) ⊥ (α ). Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là đường thẳng (∆ ’) = (β ) ∩ (α ). C2: Lấy 2 điểm A, B phân biệt thuộc (∆ ). Xác định hình chiếu vuông góc của A, B lên (α ) là H1, H2. Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là đường thẳng (∆ ’) ≡ H1 H2 C3: Nếu (∆ ) cắt (α ): Xác định A ≡ (∆ ) ∩ (α ). Lấy M bất kì ∉ (∆) và M ≠ A. Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên (α). Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là (∆ ’) ≡ AH 5 x − 4 y − 2 z − 5 = 0 Bài 1. Xác định hình chiếu vuông góc của (∆):   x + 2 z − 2 = 0 lên mặt phẳng (α): 2x – y + z – 1 = 0 7. Dạng 7: Xác định hình chiếu song song của đường thẳng (∆ ∆ 1) lên (α α) ∆ 2) cắt (α α) theo phương (∆ Phương pháp: TH1: (∆1 ) // (∆ 2) ⇒ Hình chiếu song song của (∆1 ) lên (α ) theo phương (∆2 ) là điểm H≡ (∆1 ) ∩ (α ) TH2: (∆1 ) và (∆2 ) không song song: Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (∆1 ) và // (∆2 ) Hình chiếu song song của (∆1) lên (α) theo phương (∆2) là (∆) = (β) ∩ (α) 7 x + y − z − 1 = 0 Bài 1. Xác định hình chiếu song song của đt (∆1):  lên (α): + 2 + + 1 = 0 x y z  y +1 z + 2 x − 2 y + 2 z − 3 = 0 theo phương (∆ 2): x − 1 = = 2 1 3 ∆ ) qua M và cắt (∆ ∆ 1), (∆ ∆2) với (∆ ∆ 1), (∆ ∆ 2) chéo 8. Dạng 8: VPT đường thẳng (∆ nhau và không đi qua M Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M chứa (∆ 1) Nếu cho (∆1) dưới dạng tổng quát thì nên viết phương trình (α) dưới dạng chùm Nếu (∆1 ) dạng tham số thì lấy 2 điểm A, B ∈ (∆1 ) ⇒ Phương trình (α ) qua 3 điểm A, B, M.
Nếu (α ) // (∆2 ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu (α) cắt (∆2 ) thì tìm N = (∆2) ∩ (α ) Nếu MN // (∆ 1) thì bài toán vô nghiệm, nếu MN cắt (∆1 ) suy ra đường thẳng cần tìm là (∆) ≡ MN. Phương pháp 2: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M chứa (∆ 1), mặt phẳng (β ) qua M chứa (∆2 )
Xét (∆) = (α ) ∩ (β). Nếu (∆) cắt (∆1 ) và (∆2 ) thì đường thẳng (∆) là đường thẳng cần tìm. Nếu (∆ ) // (∆1 ) hoặc (∆ 2) thì bài toán vô nghiệm.  y − 2 = 0 Bài 1. VPT ĐT (∆) qua M(1; 3; 0) và (∆) cắt (∆1):  ,  2 x − z − 5 = 0 (∆2): { x = 1 + 2t , y = 3 − t , z = 4 + t} ∆ ) cắt (∆ ∆ 1), (∆ ∆ 2) và song song với (∆ ∆ 3) 9. Dạng 9: VPT đường thẳng (∆ Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) và // (∆3 ), mặt phẳng (β ) chứa (∆2 ) và // (∆3 ) Nếu (α ) // (β ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu (α ) cắt (β ) thì xét (∆ ) = (α) ∩ (β). Nếu (∆ ) cắt (∆1 ) và (∆2 ) thì đường thẳng (∆) là đường thẳng cần tìm. Nếu (∆ ) // (∆ 1) hoặc (∆2 ) thì bài toán vô nghiệm. Phương pháp 2: Viết phương trình tham số của (∆1 ) theo t1, của (∆ 2) theo t2. 
Lấy M ∉ (∆1 ), N ∉ (∆2 ) ⇒ Tọa độ M, N theo t1, t2. ⇒ MN theo t1, t2. Xác định t1, t2 sao cho MN // (∆ 3) ⇒ Đường thẳng (∆ ) cắt (∆1 ), (∆ 2) và song song với (∆3 ) là (∆ ) ≡ MN Phương pháp 3: Gọi M(x0, y0, z0) là giao điểm của (∆) và (∆ 1). (∆) nhận VTCP của (∆3) làm VTCP ⇒ Phương trình tham số của (∆) theo x0, y0, z0. ( ∆ ) (∆ ) cắt (∆ 2) suy ra hệ  có nghiệm ⇒ x 0, y0, z0. ⇒ Phương trình (∆ ) ( ∆ 2 )  y − 2 = 0 Bài 1. VPT đường thẳng (∆) cắt (∆1):  , (∆2):  2 x − z − 5 = 0 { x = 1 + 2t , y = 3 − t , z = 4 + t} và // với trục Oz. y + 2 z −1 y −3 z −9 = = Bài 2. VPT ĐT (∆) cắt (∆1): x − 2 = , (∆2): x − 7 = 3 4 1 1 2 1 y+3 z−2 và // (∆3): x + 1 = = 3 1 −2 ∆ ) qua M và vuông góc (∆ ∆ 1), cắt (∆ ∆ 2) trong 10. Dạng 10: VPT đường thẳng (∆ ∆ 1), (∆ ∆ 2) đó M ∉ (∆ Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M và ⊥ (∆1 ), mặt phẳng (β ) qua M chứa (∆ 2) Nếu (α ) // (β ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu (α ) cắt (β ) thì xét (∆ ) = (α) ∩ (β). Nếu (∆ ) cắt (∆2 ) thì đường thẳng (∆ ) là đường thẳng cần tìm. Nếu (∆ ) // (∆ 2) thì bài toán vô nghiệm. y +1 z + 2 = Bài 1. VPT đường thẳng (∆) qua M(1; 2; 0) và ⊥ (∆1): x − 1 = , 2 2 1 7 x + y − z − 1 = 0 cắt (∆ 2):   x + 2 y + z + 1 = 0 ∆ 1), (∆ ∆ 2) 11. Dạng 11: VPT đường vuông góc chung của 2 đường thẳng (∆ chéo nhau a. TH đặc biệt: (∆ 1) ⊥ (∆2): Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) và (α) ⊥ (∆2 ) Tìm M = ( ∆ 2 ) ∩ ( α ) , H là hình chiếu vuông góc của M lên (∆1 ) ⇒ MH là đường vuông góc chung của (∆1 ), (∆2) b. Phương pháp 1: Viết phương trình (∆1 ), (∆ 2) dưới dạng tham số 
Lấy M∈ (∆ 1), N∈ (∆ 2) ⇒ Tọa độ M, N theo t1 , t 2 ⇒ MN theo t1 , t 2 . MN là đường vuông góc chung của (∆1 ), (∆ 2) ⇒ MN ⊥ ( ∆ 1 ) , MN ⊥ ( ∆ 2 ) ⇒ t1 , t 2 ⇒ MN.

c. Phương pháp 2: Gọi a1 , a 2 là VTCP của (∆1 ) và (∆ 2)


⇒ Đường vuông góc chung (∆) có VTCP a = a1 , a2  Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) và // (∆), mặt phẳng (β) chứa (∆2 ) và // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β). Bài 1. Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8). Viết phương trình đường vuông góc chung của SB, OA. Bài 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của x + y + z − 3 = 0 ( ∆1 ) :  y + z − 1 = 0  x − 2 y − 2z + 9 = 0 và ( ∆ 2 ) :  y − z +1= 0 Bài 3. Viết phương trình đường vuông góc chung của x = 2 + t2  x = 1 + 2t1  ( ∆ 1 ) :  y = 2 + t1 và ( ∆ 2 ) :  y = −3 + 2t 2  z = 1 + 3t  z = −3 + 3t 1 2   Bài 4. VPT đường vuông góc chung của 3 x − 2 y − 8 = 0 ( ∆ 1 ) : 5 x + 2 z − 12 = 0 và ( ∆ 2 ) : {x = −1 + 3t; y = −3 − 2t; z = 2 − t}  x = 2 + t x + 2z − 2 = 0  Bài 5. Cho ( ∆ 1 ) :  y = 1 − t và ( ∆ 2 ) :  . y − 3 = 0  z = 2t  Viết phương trình mặt phẳng cách đều (∆ 1) và (∆2). 12. Dạng 12: Các bài toán về khoảng cách 12.1. Tính khoảng cách: y +1 z −1 Bài 1. Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến ( ∆ ) : x − 1 = = 2 1 3 Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;−1; 1). Tính khoảng cách từ A đến BC. Bài 3. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng x + y = 0 ( ∆ 1 ) :  x − y + z − 4 = 0 ( ∆ 2 ) : { x = 1 + 3t; y = −t; z = 2 + t}  Bài 4. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ( ∆ 1 ) : x 1− 1 = y −2 z −3 = , 2 3 x + 2 y − z = 0 ( ∆ 2 ) : 2 x − y + 3z − 5 = 0  Bài 5. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng  x + 8 z + 23 = 0  x − 2z − 3 = 0   ( ∆ 1 ) :  y − 4 z + 10 = 0 , ( ∆ 2 ) :  y + 2 z + 2 = 0 Bài 6. Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (α): 2x + y + z – 1 = 0 và (β):2x + y + z + 10 = 0. Bài 7. Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4). Tính khoảng cách từ D(−1; 5; 0) đến (ABC) 12.2. Tìm điểm biết khoảng cách cho trước: Bài 1. Cho (α): x + 2y – 2z – 2 = 0. Tìm M∈Oy sao cho khoảng cách từ M đến (α) bằng 4. Bài 2. Cho A(1;−2; 0). Tìm M∈Oz sao cho khoảng cách từ M đến (α): 3x – 2y + 6z + 9 = 0 bằng MA. Bài 3. Cho (α): x + y + z + 5 = 0. 2 x + y + z − 1 = 0 Tìm M∈(∆):  sao cho d ( M , ( α ) ) = 3 . x + y + 2z + 3 = 0 Bài 4. Cho (α): 12x – 16y + 15z + 1 = 0 và (β): 2x + 2y – z – 1 = 0. Tìm M∈Ox cách đều (α) và (β) 12.3. Các bài toán về tổng, hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất: a. Dạng 1: Cho 2 điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = 0 để (MA + MB) min. Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại lượng: t A = ax1 + by 1 + cz1 + d ; t B = ax 2 + by 2 + cz 2 + d
Nếu t A t B < 0 ⇔ A, B khác phía đối với (P). Gọi M 0 ≡ (AB)∩ (P), khi đó MA + MB ≥ AB = M 0A + M0 B.
Nếu t A t B > 0 ⇔ A, B cùng phía đối với (P). Lấy A1 đối xứng A qua (P). Gọi M0 ≡ (A1 B)∩ (P). Khi đó MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0 B. b. Dạng 2: Cho 2 điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = 0 để |MA – MB| max. Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại lượng: t A = ax1 + by 1 + cz1 + d ; t B = ax 2 + by 2 + cz 2 + d
Nếu t A t B > 0 ⇔ A, B cùng phía đối với (P). Gọi M 0 ≡ (AB)∩ (P), khi đó |MA – MB| ≤ AB = | M0 A – M 0B|.
Nếu t A t B < 0 ⇔ A, B khác phía đối với (P) Lấy A1 đối xứng A qua (P). Gọi M0 ≡ (A1B)∩ (P).Khi đó |MA – MB| = |MA1 – MB| ≤ A1B = | M0A1 – M0B| b. Dạng 3: Cho 2 điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Tìm M∈(∆) cho trước sao cho (MA + MB) min. Phương pháp: Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là hình chiếu tương ứng của các điểm A, B lên (∆ ). Gọi M0 là điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số 

M 0 A' AA ' k = 
= − 
. Ta chứng minh MA + MB ≥ M 0A + M0 B M 0B' BB ' Thật vậy, gọi A1 ∈(P) = ((∆), B) sao cho A 1 khác phía B so với (∆ ) và thỏa mãn 

 A1 A ' = AA ' A1 A′ M 0 A′ ⇒ 
= 
⇒ A1, M 0 ,B thẳng hàng  B B′ M B′  A1 A ' ⊥ ( ∆ ) 1 0 ⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0B = M0 A + M 0B Bài 1. Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3). Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = 0 để (MA + MB) min;|MA – MB| max. Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5). Tìm M∈ mặt phẳng Oxy sao cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max. Bài 3. Cho A(1; 0; 2), B(2; −1; 3). Tìm M∈ ( P ) : x − 2 y + z − 4 = 0 để (MA + MB) min; |MA – MB| max. Bài 4. Cho A(1; 3; −2), B(13; 7; −4). Tìm M∈ ( P ) : x − 2 y + 2 z − 9 = 0 để (MA + MB) min; |MA – MB| max. Bài 5. Cho A(1; 2;−1), B ( 2 − 2; 2; −3) . x + y + z − 3 = 0 Tìm M∈ ( ∆ ) :  sao cho (MA + MB) min. y + z − 5 = 0 Bài 6. Cho A(1; 1; 0), B(3;−1; 4). y −1 z + 2 sao cho (MA + MB) min. Tìm M∈ ( ∆ ) : x + 1 = = 1 2 −1 y−2 z −2 A(1;2; −1) Bài 7. Cho  Tìm M∈ ( ∆) : x + 1 = sao cho (MA + MB) min. = 3 2 −2 B ( 7; −2;3) Bài 8. Cho A(2; 3; 0) và B ( 0; − 2; 0 ) . x + y + z − 2 = 0 sao cho (MA + MB) min. Tìm M∈ ( ∆ ) :  x − y + z − 2 = 0 13. Dạng 13: Các bài toán về góc Bài 1. Xác định góc giữa 2 mặt phẳng ( P1 ) : x + y + 2z + 4 = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + 1 = 0 Bài 2. Cho tứ diện ABCD với A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1). Tính góc của mỗi cặp cạnh đối của ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)). Bài 3. Cho ( P1 ) : 3 x − y − z + 2 = 0 , ( P2 ) : x + 2 y + z − 3 = 0 , ( P3 ) : − x + 3 y − 2 z + 1 = 0 . Gọi (∆) là giao tuyến của (P1) và (P2). Tính góc giữa (∆) với giao tuyến của (P1), (P3) và với mặt phẳng (P3). x = 2 + t 3 x − y − 1 = 0  Bài 4. Cho ( ∆ 1 ) :  và ( ∆ 2 ) :  y = −1 . Tìm m để: − − = 3 5 0 z y   z = 1 + mt  a. Góc giữa (∆1) và (∆2) bằng 45° b. Góc giữa (∆1) và (∆2) bằng 60°. Khi đó tính góc giữa (P) với (∆2) biết rằng (P) ⊥ (∆1). ( ) Bài 5. Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D − 1 ; −1; 0 . 2 a. Tính góc giữa ((ABC); (ABD)) b. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng (AD) và (BC). 14. Bài mẫu. Trong hệ Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( d ) : x − 1 = −1 y+2 z = 1 2 1. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho: 

b) MA 2 + MB 2 nhỏ nhất; a) MA + MB nhỏ nhất; c) MA + MB nhỏ nhất d) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất 2. VPT mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất. 3. VPT mặt phẳng (Q) chứa (d) và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất. 4. VPT mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất. 5. Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng (d), viết phương trình các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất? nhỏ nhất? Giải 

1. M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; 6 − t ; 2 − 2t ) , MB = ( −2 + t ; 4 − t ; 4 − 2t ) 



2 a. MA + MB = ( −2 + 2t ; 10 − 2t ; 6 − 4t ) . Suy ra MA + MB = 24 ( t − 2 ) + 44 

Do đó MA + MB nhỏ nhất khi t = 2 và lúc đó M ( −1; 0; 4 ) 2 b. Ta có MA 2 + MB 2 = 12t 2 − 48t + 76 = 12 ( t − 2 ) + 28 Vậy MA 2 + MB 2 nhỏ nhất khi t = 2 và khi đó M ( −1; 0; 4 ) c. Ta sẽ xác định hình chiếu A1 , B1 của hai điểm A, B lên đường thẳng (d) ) ( − 14t + 18 ) min ⇔ t = 7 ⇔ M ≡ B ( − 4 ; 1 ; 14 ) với BB ⊥ ( d ) 3 3 3 3 MA 2 = 2 ( 3t 2 − 10t + 20 ) min ⇔ t = 5 ⇔ M ≡ A1 − 2 ; − 1 ; 10 với AA1 ⊥ ( d ) 3 3 3 3 MB 2 = 2 ( 3t 2 1 1 AA1 = 1 210 ; BB1 = 1 30 . Điểm M cần tìm là điểm chia đoạn A1 B1 theo tỉ 3 3  −2 (1 + 2 7 ) 10 − 14 7  ; − 1; = − 7 nên tọa độ của M là    3 3 (1 + 7 )  BB1  3 (1 + 7 ) 



d. AM ( −t ; − 6 + t ; − 2 + 2t ) ; AB ( −2; − 2; 2) ;  AM ; AB  = ( 6t −16; − 2t + 4; 4t −12) 

2 2 2 S AMB = 1  AM ; AB  = 1 ( 6t − 16 ) + ( −2t + 4 ) + ( 4t − 12 ) = 1 56t 2 − 304t + 416 2 2 2 số k = − AA1 ) ( Dễ thấy S AMB nhỏ nhất khi t = 304 = 19 , khi đó M − 12 ; 5 ; 38 . 112 7 7 7 7  x + y + 1 = 0 2. PT tổng quát của (d) là  . Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng  2 y − z + 4 = 0 (d) nên (P) có phương trình a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 với a 2 + b 2 ≠ 0 2.4 − 2 + 4 = 10 = 2 5 5 2 + ( −1) • Nếu a ≠ 0 thì có thể giả sử a = 1 . Khi đó ( P ) : x + (1 + 2b ) y − bz + 1 + 4b = 0 . • Nếu a = 0 thì (P): 2 y − z + 4 = 0 . Khi đó d ( A; ( P ) ) = Suy ra d ( A; ( P ) ) = 2 5b + 3 . Xét hàm số f ( b ) = 2 2 ( 5b + 3) 2 . 5b 2 + 4b + 2 5b 2 + 4b + 2 2 Ta có f ′ ( b ) = −50b + 10b + 24 = 0 ⇔ b = 4 ∨b = − 3 2 5 5 2 ( 5b + 4b + 2 ) Do f 4 = 35 ; f − 3 = 0 ; lim f ( b ) = 5 nên d ( A; ( P ) ) lớn nhất bằng 2 35 . b →∞ 6 5 6 5 () ( ) Kết luận: So sánh hai trường hợp ta có Max d ( A; ( P ) ) = 2 35 khi b = 4 , lúc đó 5 6 phương trình (P) có dạng x + 13 y − 4 z + 21 = 0 , hay ( P ) : 5 x + 13 y − 4 z + 21 = 0 5 5 5 3. Do (Q) chứa (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 với a 2 + b 2 ≠ 0 . Mặt phẳng (xOy) có phương trình z = 0