Mô tả:
UBND HUYÊÊN HÒA BÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYÊÊN
NĂM HỌC 2014 -2015
MÔN : TOÁN
LỚP : 9
Thời gian : 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
(Đề gồm 01 trang)
ĐỀ
Câu 1: (5 điểm)
31
a) Chứng minh: 2 4 M
b) Tìm số nguyên tố p sao cho p+10 và p+14 cũng là số nguyên tố.
2002
Câu 2: (5 điểm)
a) Giải phương trình: x 3 x 5 2
b) Giải hệ phương trình sau:
4
4
3 xy 2 x y
5 yz 6 y z
4 zx 3 z x
(I)
Câu 3: (5 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x 2 3x 3
b) Cho a,b,c 0 .Chưng minh rằng a3 b3 c3 a 2 bc b2 ca c 2 ab .
Dấu “ =” xảy ra khi nào ?
Câu 4: (5 điểm)
Cho đường tròn (O,R), hai đường kính AH và DE.Qua H kẻ tiếp tuyến với đường
tròn (O,R) cắt AD và AE kéo dài lần lượt tại B và C.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
BH và HC.
a) Chứng minh DM là tiếp tuyến của đường tròn (O,R)
b) Chứng minh trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH
c) Hai đường kính AH và DE của (O,R) phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tích
tam giác AMN bé nhất?
-----Hết-----
UBND HUYÊÊN HÒA BÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYÊÊN
NĂM HỌC 2014 -2015
MÔN : TOÁN
LỚP : 9
Thời gian : 150 phút
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Nội dung
2002
31
a) (2điểm) Chứng minh : 2 4 M
Điểm
22002 4(mod 31)
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
22002 4 0(mod 31)
0.25đ
Ta có : 25 1(mod 31)
2
2000
1(mod 31)
22000 22 22 (mod 31)
2002
31
Vậy : 2 4 M
1
0.25đ
b) (3 điểm) Tìm số nguyên tố p sao cho p+10 và p+14 cũng là số
nguyên tố.
- Nếu p=2 thì p+10=12 và p+14=16 đều là hợp số nên loại
0.5đ
- Nếu p=3 thì p+10=13 và p+14=17 đều là số nguyên tố nên
0.5đ
nhận
- Nếu p>3 thì p 3k 1 (do p là số nguyên tố)
0.5đ
3
Với p=3k+1 thì p 14 3k 15 M
3
Với p=3k-1 thì p 10 3k 9 M
0.5đ
Vậy số nguyên tố cần tìm là p=3
2
0.5đ
0.5đ
a) (2 điểm) Giải phương trình: x 3 x 5 2
4
4
35
x4 x t 4
2
0.25đ
Ta có : t 4 3 t 4 5 2
0.25đ
Đặt t x
4
t 1
4
4
t 1 2
4
t 4 4t 3 6t 2 4t 1 t 4 4t 3 6t 2 4t 1 2 0
0.25đ
0.25đ
2t 4 12t 2 0
0.25đ
t 4 6t 2 0
t 2 t 2 6 0
t 0
(vì t 2 6 0 vô nghiệm)
0.25đ
Với t = 0 thì x = -4
0.25đ
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -4
0.25đ
b) (3 điểm) Giải hệ phương trình:
3 xy 2 x y
5 yz 6 y z
4 zx 3 z x
(I)
Dễ thấy x = y = z = 0 là một nghiệm của hệ đã cho
0.5đ
Xét trường hợp xyz 0 thì hệ
x y 3
xy 2
yz 5
yz
6
zx 4
3
xz
(I)
1 1 3
x y 2
1 1 5
y z 6
1 1 4
z x 3
1đ
(II)
Cộng theo vế ba phương trình của hệ pt (II) ta được:
1
1
1 11
1
1
1
11
2
( 1)
x y z 6
x y z 3
Lấy (1) trừ theo vế lần lượt các pt của hệ (II ) ta được:
x=1;y=2;z=3
Vậy hệ pt có hai nghiệm ( 0;0;0) và ( 1;2;3)
3
0.5đ
0.75đ
0.25đ
a) (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x 2 3x 3
2
3 9 3
3 3
Ta có B = x 3x 3 = x 2 2 x. x
2 4 4
2 4
2
2
2
3
3 3 3
Vì x 0 nên x
2
2 4 4
0.5đ
2
Vâ Êy B đạt GTNN bằng
1đ
3
3
3
khi x 0 x
4
2
2
0.5đ
b) (3 điểm)
Cho a,b,c 0. Chứng minh rằng:
a 3 b3 c3 a 2 bc b 2 ca c 2 ab .
Dấu “ =” xảy ra khi nào ?
Áp dụng BĐT Cosi cho hai số không âm a3 và abc
0,25đ
Ta có : a 3 abc 2 a 4bc 2a 2 bc
0,5đ
b3 abc 2b 2 ca
Tương tự ta có :
0,25đ
c 3 abc 2c 2 ab
Cô ng từng vế ba BĐT trên ta được:
Ê
a b c 3abc 2 a 2 bc b 2 ca c 2 ab ( 1)
3
3
0,5đ
3
3
3
3
2
2
2
Mà a b c 3abc a b c a b c ab bc ca
1
2
2
2
= a b c a b b c c a 0
0,25đ
0,25đ
2
Do đó a 3 b3 c3 3abc (2 )
0,25đ
Cô ng (1) và (2) vế theo vế ta được:
Ê
2 a3 b3 c3 2 a 2 bc b2 ca c 2 ab
0,5đ
Hay a3 b3 c 3 a 2 bc b2 ca c 2 ab
Dấu “=” xảy ra khi a = b= c
0,25đ
A
E
O
D
//
I
C
// N
4
H
/
M
/
B
0.25đ
a) (1.75điểm) Chứng minh DM là tiếp tuyến của đường tròn
(O,R)
ˆ
ˆ
Ta có: OHD ODH (Vì VDOH cân tại O) (1)
0.25đ
ˆ
ˆ
Chứng minh được tam giác DMH cân tại M MHD MDH (2)
0.25đ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Cộng (1) với (2) theo vế ta được: OHD MHD ODH MDH
0.5đ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Mà: OHD MHD 900 nên ODH MDH 900
0.25đ
DM OD tại D
0.25đ
Vậy: DM là tiếp tuyến của đường tròn (O;R)
0.25đ
b) (1.5 điểm) Chứng minh trực tâm I của tam giác AMN là trung
điểm của OH
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có:
0.25đ
AH2=HB.HC
AH CH
AH : 2 CH : 2
OH HN
BH AH
BH
AH
BH AH
VBHO :VAHN (c g c )
ˆ
ˆ
OBH NAH
ˆ
ˆ
Mà: NAH IMH ( Vì cùng phụ với góc ANM)
ˆ
ˆ
OBH IMH OB // MI
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Vì M là trung điểm của BH nên I là trung điểm của OH
0.25đ
Vậy trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH
c) (1.5điểm) Hai đường kính AH và DE của (O,R) phải thỏa mãn
điều kiện gì để diện tích tam giác AMN bé nhất?
AH .MN
R.MN R MH HN
2
R
BH HC R
R
BH HC .2 BH .CH
2
2
2
Ta có: SAMN
0.25đ
0.25đ
Mà : R BH .CH R. AH 2 R. 2R 2 R 2
0.25đ
Do đó: SVAMN 2 R 2 BH HC
0.25đ
VABC vuông cân tại A AH DE
0.25đ
Vậy min SVAMN 2 R 2 AH DE
0.25đ
2
( Chú ý: Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa cho ý đó)
------Hết-----
- Xem thêm -