Tài liệu Đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 môn toán trường thpt thủ đức, tp. hồ chí minh

SỞ GD&ĐT HỒ CHÍ MINH  ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015  TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC  Môn  : TOÁN  Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề  Câu 1(2 điểm). Cho hàm số y = f ( x ) = -2 x 3 + 3 x 2  + 1  ( C )  a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.  b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình f '' ( x ) = 0  .  4  æ p pö æ pö ö æ Câu 2 a) Cho  cos a = ,   ç - < a < 0 ÷ . Tính giá trị biểu thức  A = sin ç a - ÷ cos ç a + ÷ .  5 è 2 4ø 4 ø  ø  è è b) Cho số phức  z = 3 - 2 i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức  w = iz - z .  Câu 3(0.5 điểm). Giải phương trình  2e x + 2e - x  - 5 = 0,  x ΠR .  e  1 ö æ Câu 4(1 điểm). Tính tích phân  I = ò ç x + ÷ ln xdx  .  xø 1  è Câu 5(0.5 điểm). Trong cuộc thi “ Rung chuông vàng”, đội Thủ Đức có 20 bạn lọt vào vòng chung  kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia các bạn thành 4  nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu  nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm.  Câu 6(1 điểm). Trong không gian cho hình chóp S.ABCD, tứ giác ABCD là hình thang cân, hai  đáy là BC và AD. Biết  SA = a 2, AD = 2 a, AB = BC = CD = a . Hình chiếu vuông góc của S trên  mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm cạnh AD. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và  khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.  Câu 7(1 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác  ABC là I ( - 2;1 ) và thỏa mãn điều kiện  ·  AIB = 90 ° . Chân đường cao kẻ từ A đến BC là D ( -1; - 1 ) .  Đường thẳng AC qua M ( - 1; 4 ) . Tìm tọa độ các đỉnh A, B biết đỉnh A có hoành độ dương.  Câu 8(1 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1; -1; 2 ) , B ( 3;0; - 4 )  và mặt  phẳng  (P) : x - 2 y + 2 z - 5 = 0 . Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P). Viết  phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (P).  ìï x + 3 xy + x - y 2  - y = 5 y + 4  Câu 9(1 điểm). Giải hệ phương trình í ïî  4 y 2  - x - 2 + y - 1 = x - 1  ;  ( x Î R )  Câu 10(1 điểm). Cho a, b, c là các số dương và  a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P = bc 3a + bc + ca 3b + ca + ab  3 c + ab .  CÂU  ĐÁP ÁN  ĐIỂM  Tập xác định  D = R y ' = -6x2  + 6 x 0,25 é x = 0  y ' = 0 Û ê ë x = 1  lim y = +¥; lim  y = -¥ x®-¥ x  -¥ y '  y  0,25 x ®+¥ 0  0 - + 1  0  +¥ - 2  +¥ 1  -¥ Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;1 ) .  1  ( 0,25  )( ) Hàm số nghịch biến trên khoảng -¥; 0 ; 1; +¥ .  Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y CD  = 2.  a  Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y CT  = 1.  x  -1 0 Bảng giá trị  y 6 1 1  1 2  2  3  2 - 3  2  0,25  b  Gọi M ( x0 ; y 0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến và (C).  0,25 f '' ( x ) = -12 x + 6  f '' ( x0 ) = 0 Û -12x 0  + 6 = 0  Û x0 = 0,25 1 3  Þ y 0  = 2 2  æ 1 ö 3  f ' ( x0 ) = f ' ç ÷ = è 2 ø  2  0,25  Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng  3æ 1 ö 3  çx- ÷+ 2è 2 ø 2  3 3  = x +  2 4  y= 0,25  sin 2 a + cos 2 a = 1 Û sin 2 a = 1 - cos 2 a 2  a  9  æ4ö = 1 - ç ÷ = 25  è5ø 3  Û sin a = ±  5 Vì  - 0,25 p 3  < a < 0 nên  sin a = -  .  2 5 pö æ pö æ A = sin ç a - ÷ cos ç a + ÷ 4ø 4 ø è è = 2 1 é æ p öù sin 2a + sin ç - ÷ ú ê 2ë è 2 ø û 0,25  1  = ( 2sin a cos a - 1 )  2  49 = -  50  z = 3 + 2 i 0,25 w = i ( 3 - 2i ) - ( 3 + 2 i )  b  = -1 + i Phần thực là ­1  0,25  Phần ảo là 1.  2ex + 2e- x - 5 = 0 Û 2e2 x - 5e x  + 2 = 0.  0,25 3 Đặt  t = e x , t > 0  . Phương trình trở thành  é t = 2  2t - 5t + 2 = 0 Û ê 1  êt = êë 2  2  éex  = 2  é x = ln2  Û ê x  1 Û ê êe  = ê x = ln 1  2  ëê 2  ëê 0,25  e  1 ö æ I = ò ç x + ÷ ln xdx  xø 1  è 0,25  e e  1  = ò x ln xdx + ò  ln xdx = I1 + I 2  x 1 1  e  I1  = ò x ln xdx 1  1  x Đặt  u = ln x Þ du =  dx  dv = xdx chọn  v =  x 2 2  0,25  a  e  e  x 2  1  I1  = ln x - ò xdx  2 2 1  1  e  4  e2 x 2 1  e2  = = + 2 4 1  4 4  e  1  I 2  = ò  ln xdx  x 1  1  Đặt  t = ln x Þ dt =  dx  x Đổi cận  1  x 1  e  0,25  t  0 1  1  t 2  1  I 2  = ò tdt = = 2 0  2  0  3  e 2  I = I1 + I 2  = +  4 4  0,25  5 Có  n( W) = C20 C155 C105 C5 5  cách chia 20 bạn vào 4 nhóm, mỗi nhóm 5 bạn.  0,25  Gọi A là biến cố “ 5 bạn nữ vào cùng một nhóm”  0,25 5  5 Xét 5 bạn nữ thuộc nhóm A có  C155 C10 C 5 5  cách chia các bạn nam vào các nhóm còn lại. Do vai trò  5 các nhóm như nhau nên có  W A  = 4 C15 C105 C5 5  Khi đó  P (A) =  4  5  C20  S  A  D  I  0,25 B  C  Ta có  S ABCD = 3 S ABI  =  6  3a 2  3  4  Xét  D SBI vuông tại I có:  SI 2 = SB 2 - BI 2 = a 2  Þ SI = a.  1 a 3  3  VS . ABCD = SI .S ABCD  =  (dvtt)  3 4  AD P BC  üï ý Þ AD P ( SBC ) .  BC Ì ( SBC ) ïþ Þ d ( AD, BC ) = d ( AD, (SBC) ) = d ( I,(SBC) ) = 1 1 a 3 3 a 3  3  VISBC = V S . ABCD  = = 3 3 4 12  S SBC  = a 2  7  p ( p - a )( p - b )( p - c )  =  4  Vậy d ( AD, SB ) =  a  21  7  3 V SIBC  S SBC  0,25 0,25  0,25 ·  = 45 °  hoặc  BCA ·  = 135 °  · AIB = 90° Þ BCA ·  = 45 ° Þ D ADC cân tại D.  Suy ra  CAD 0.25 Ta có  DI ^  AC Khi đó phương trình đường thẳng AC có dạng:  x - 2 y + 9 = 0  .  uuur A ( 2a - 9; a ) , AD = ( 8 - 2a; -1 - a )  AD 2 = 40 Û a 2  - 6 a + 5 = 0  7  0.25  é a = 1  Ûê ë a = 5  Þ  A (1;5 ) (n)  Phương trình BD :  x + 3 y + 4 = 0  0.25 Phương trình BI:  3 x + 4 y + 5 = 0  B = BI Ç BD Þ B ( 2; - 2 ) .  0.25  uuur  AB = ( 2;1; -6 )  là vtcp của đường thẳng AB.  8 ì x = 1 + 2 t  ï Ptts AB: í y = -1 + t ï z = 2 - 6 t î  0.25  ( t Î R )  Gọi M là giao điểm của AB và (P). Khi đó M (1 + 2t ; -1 + t ; 2 - 6 t )  . M Î (P) Þ (1 + 2t ) - 2 ( -1 + t ) + 2 ( 2 - 6t ) - 5 = 0  Û t =  1  6  0.25  æ 4 5  ö Þ M ç ; - ;1 ÷ è 3 6  ø  r uuur r  Vtpt n ( Q ) = é AB, n ( P ) ù = ( -10; -10; -5 ) .  0.25 ( Q ) : 2 x + 2 y + z - 2 = 0.  0.25  ë 9  û ì xy + x - y 2  - y ³ 0  ï 2  Đk:  í 4 y - x - 2 ³ 0  ï y - 1 ³ 0  î  Ta có (1) Û x- y+3 ( x - y )( y + 1) - 4( y + 1) = 0  0.25 Đặt  u = x - y,v = y + 1  ( u ³ 0, v ³ 0 )  Khi đó (1) trở thành :  u 2 + 3uv - 4v 2  = 0  Û éu = v  êu = -4v(vn)  ë  0.25 2  Với  u = v ta có  x = 2 y + 1 , thay vào (2) ta được :  4 y - 2 y - 3 + Û 4 y 2  - 2 y - 3 - ( 2 y - 1) + ( y - 1 = 2 y )  y - 1 - 1 = 0  0.25  2 ( y - 2 )  + 4 y 2  - 2 y - 3 + 2 y - 1  2 Û y = 2 ( vì  Û Với  y = 2  thì  æ 2 y - 2  + = 0  Û ( y - 2 ) ç 2  ç y - 1 + 1  4 y 2 y 3 + 2 y 1  è + 4 y 2  - 2 y - 3 + 2 y - 1  bc 3a + bc Vì theo BĐT Cô­Si:  Tương tự  ca 3 b + ca Suy ra P £ 0.25  1  > 0"y ³ 1 )  y - 1 + 1  x = 5 . Đối chiếu Đk ta được  nghiệm của hệ PT là ( 5; 2 )  Vì a + b + c = 3 ta có  10  ö 1  ÷ = 0  y - 1 + 1 ÷ø  = 1 1 + ³ a + b a + c  £ bc a ( a + b + c ) + bc 2  ( a + b)( a + c )  = bc  ( a + b)(a + c )  £ bc æ 1 1  ö + ç ÷ 2  è a + b a + c ø  0,25  , dấu đẳng thức xảy ra Û b = c  1  ö 1  ö ca æ 1 ab ab æ 1 + £ + ç ÷ và  ç ÷ 2  è b + a b + c ø  2  è c + a c + b ø  3 c + ab bc + ca ab + bc ab + ca a + b + c  3  + + = = ,  2(a + b) 2(c + a ) 2(b + c) 2 2  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P =  3  khi a = b = c = 1.  2  0,25  0,25  0,25