Tài liệu Đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 môn toán trường thpt chuyên nguyễn bỉnh khiêm, quảng nam

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM KÌ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 MÔN TOÁN Thời gian làm bài : 180 phút ĐỀ CHÍNH THỨC: Câu 1) (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 - 2 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 1 b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - x 9 Câu 2) (1,0 điểm) 2 x a) Giải phương trình: cos x + 2 cos - 3 = 0 3 b) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z + z = 6 và z 2 + 2 z - 8i là một số thực. 2 Câu 3) (0,5 điểm) Giải phương trình: log 4 ( x - 7 x + 10) - log 4 ( x - 2) = log 1 ( x + 5) 4 Câu 4) (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 ïì x ( x + 6 y - 4) + 3 y (3 y - 4) + 8 + 2( x + y ) = ( x + y ) + 4(1 - xy ) + 2 í 2 ïî 3 x - xy + 22 - 1 - y = x - 2 y + 3 Câu 5) (1,0 điểm) Tính tích phân I = p 4 ò ( x + 2 + tan 2 x) sin xdx 0 Câu 6) (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC = a 3 , BC = 3a , · ACB = 300 . Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh BC sao cho BC = 3BH và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C ' và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (A’AC). Câu 7) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(– 3; – 4), tâm đường tròn nội tiếp 1 I(2; 1) và tâm đường tròn ngoại tiếp J( - ;1 ). Viết phương trình đường thẳng BC. 2 Câu 8) (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4; – 2; 11), B( – 2; – 10; 3) và mặt phẳng (P): x + y – z – 4 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB và tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA = MB = 13. Câu 9) (0,5 điểm) Một hộp đựng 3 xanh , 4 bi đỏ và 5 bi vàng . Lấy ngẫu nhiên 5 bi từ hộp. Tính xác suất để trong 5 bi lấy ra có đủ 3 màu và số bi xanh và số bi đỏ bằng nhau. Câu 10) (1,0 điểm) Cho hai số thực a, b thuộc khoảng (0, 1) thỏa mãn (a 3 + b3 )(a + b) - ab(a - 1)(b - 1) = 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 12 a 4 + b4 + 3 ab P= ab 36 + (1 + 9a 2 )(1 + 9b 2 ) 1 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Câu Đáp án Điểm Câu1) a) y = x3 + 3 x 2 - 2 y = -¥ , lim y = +¥ + TXĐ D = R , xlim ®-¥ x ®+¥ é x = 0 Þ y = -2 + y ' = 3x 2 + 6 x , y ' = 0 Û ê ë x = -2 Þ y = 2 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------+ BBT -¥ x 0 +¥ -2 y’ + 0 0 + ¥ y Câu 1 -¥ -2 (2,0đ) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Hàm ĐB trên các khoảng ( -¥ ; -2 ), (0; + ¥ ) và NB trên khoảng ( -2 ; 0). Điểm cực đại đồ thị ( -2 ; 2); điểm cực tiểu đồ thị (0; -2 ) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Đồ thị 0,25 0,25 0,25 4 2 -10 -5 0,25 5 10 -2 -4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 b)Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - x nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9. 9 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------é x0 = 1 Þ y0 = 2 2 Ta có y '( x0 ) = 9 Û 3x0 + 6 x0 = 9 Û ê ë x0 = -3 Þ y0 = -2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1, 2) là y = 9( x - 1) + 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------+Phương trình tiếp tuyến tại điểm (– 3, – 2 ) là y = 9( x + 3) - 2 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Câu 2 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------(1,0đ) Câu 2) x 2 x 3 x 2 x a) cos x + 2cos - 3 = 0 Û 4cos - 3cos + 2 cos - 3 = 0 3 3 3 3 x x x Û (cos - 1)(4 cos 2 + 6cos + 3) = 0 3 3 3 Câu Đáp án x x Û cos = 1 Û = k 2p Û x = 6kp , k Î Z 3 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Gọi z = x + yi . Ta có z + z = 6 Û ( x + yi ) + ( x - yi) = 6 Û x = 3 (1) 2 2 2 z 2 + 2 z - 8i = ( x + yi) + 2( x - yi ) - 8i = ( x - y + 2 x) + (2 xy - 2 y - 8)i là số thực nên 2 xy - 2 y - 8 = 0 (2). --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Từ (1) và (2) ta giải được x = 3 và y = 2. Vậy z = 3 + 2i -------------------------------------------------------------------------------------------------------------ì x 2 - 7 x + 10 > 0 ìx < 2 Ú x > 5 ï ï Câu 3 x-2>0 Û íx > 2 Û x>5 (0,5đ) Câu 3) b)ĐK í ï ï x > -5 î îx + 5 > 0 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Với ĐK trên phương trình tương đương : log 4 ( x - 7 x + 10) - log 4 ( x - 2) = - log 4 ( x + 5) Û log 4 ( x 2 - 7 x + 10)( x + 5) = log 4 ( x - 2) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------Û ( x 2 - 7 x + 10)( x + 5) = x - 2 Û ( x - 5)( x + 5) = 1 Û x = 26 (vì x > 5) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------ìï x( x + 6 y - 4) + 3 y (3 y - 4) + 8 + 2( x + y ) = ( x + y ) 2 + 4(1 - xy ) + 2 (1) Câu 4) í 2 ïî 3 x - xy + 22 - 1 - y = x - 2 y + 3(2) Câu 4 (1,0đ) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------+Ta có (1) Û ( x + 3 y - 2) 2 + 4 + ( x + 3 y - 2) = ( y - x) 2 + 4 + ( y - x) + Xét hàm f (t ) = t + 4 + t , t Î R . Ta có f '(t ) = 2 t t +4 2 +1 = t2 + 4 + t t +4 2 > 0, "t Î R Suy ra f(t) đồng biến trên R. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Ta có (1) Û f ( x + 3 y - 2) = f ( y - x ) Û x + 3 y - 2 = y - x Û y = 1 - x --------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Thế y = 1 – x vào (2) ta có : x 2 + 2 x + 22 - x = x 2 + 2 x + 1 (3) . Với ĐK x ³ 0. ta có 0,25 0,25 0,25 (3) Û ( x 2 + 2 x + 22 - 5) - ( x - 1) = x 2 + 2 x - 3 Û x2 + 2 x - 3 x 2 + 2 x + 22 + 5 - x -1 = ( x - 1)( x + 3) x +1 0,25 3 é 1 æ öù 1 Û ( x - 1) ê + ( x + 3) ç1 ÷ú = 0 Û x = 1 x 2 + 2 x + 22 + 5 ø ûú è ëê x + 1 æ ö 1 1 + ( x + 3) ç1 ÷ > 0 (phải giải thích) x +1 x 2 + 2 x + 22 + 5 ø è -------------------------------------------------------------------------------------------------------------x = 1 Þ y = 0 .Vậy hệ có nghiệm (x ; y) = (1 ; 0) Vì với x ³ 0 thì Câu Đáp án p 4 p 4 Điểm p 4 sin x dx cos 2 x 0 0 0 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------ìu = x + 1 ì du = dx Þí + Đặt í . î dv = sin xdx îv = - cos x Câu 5 Câu 5) I = (1,0đ) Ta có ò ( x + 2 + tan 2 x)sin xdx = ò ( x + 1)sin xdx + ò p 4 p 4 p p 2 2 = -( + 1) + 1 + sin x 04 = p +1 ( x + 1) sin xdx = ( x + 1) cos x + cos xdx ò0 ò0 4 2 8 p 4 0 0,25 0,25 0,25 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------p 4 p 4 p 4 + sin x dx = -d (cos x) = 1 ò0 cos2 x ò0 cos2 x cos x 0 = 2 - 1 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 + Vậy I = p+ 2 8 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 6 Câu 6) (1,0đ) ì( A ' BC ) ^ ( ABC ) A' ï Þ A ' H ^ ( ABC ) í( A ' AH ) ^ ( ABC ) ï A ' H = ( A ' BC ) Ç ( A ' AH ) î C' B' Suy ra · A ' AH = 600 Þ A ' H = AH tan 600 = a 3 2 0,25 0,25 3 9a 4 4 -------------------------------------------------------Vì AH 2 + AC 2 = HC 2 Þ HA ^ AC Þ AA ' ^ AC 1 1 S A ' AC = . AC. AA ' = .a 3.2a = a 2 3 2 2 H 0,25 ---------------------------------------------------------AH 2 = AC 2 + HC 2 - 2 AC.HC .cos 300 = a 2 Þ AH = a A B 0,25 C VABC . A ' B 'C ' = S ABC . A ' H = 3a 3 .a 3 = 0,25 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------9 3 a 3 3a Þ d ( B, ( A ' AC )) = 3.VA ' ABC = 4 = 2 S A ' AC 4 a 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 7 Câu 7) (1,0đ) 1 2 125 2 + Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : ( x + ) + ( y - 1) = (1) 2 4 x+3 y+4 Û x - y -1 = 0 = + Phương trình đường thẳng AI : 2 + 3 1+ 4 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu Đáp án + Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là D, trung điểm cung BC. Hoành độ điểm D là nghiệm khác – 3 của phương trình : é x = -3 1 2 125 9 7 2 Ûê ( x + ) + ( x - 2) = . Suy ra D( ; ) 9 êx = 2 4 2 2 ë 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------A B · = IBC · + CBD · = B + A suy ra · · = + và IBD · Þ DI = DB = DC + Ta có BID BID = IBD 2 2 2 2 Þ B, C nằm trên đường tròn tâm D bán kính DI có phương trình : 9 7 50 ( x - )2 + ( y - )2 = (2) 2 2 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Tọa độ điểm B và C là nghiệm hệ phương trình (1) và (2) 1 2 125 ì 2 + + = ( ) ( 1) x y 2 2 ïï 2 4 Û ïì x + y + x - 2 y - 30 = 0 Û ì10 x + 5 y - 50 = 0 í 2 í í 2 2 2 ïî x + y - 9 x - 7 y + 20 = 0 î x + y - 9 x - 7 y + 10 = 0 ï( x - 9 ) 2 + ( y - 7 ) 2 = 50 ïî 2 2 4 Suy ra phương trình đường thẳng BC : 10 x + 5 y - 50 = 0 hay 2 x + y - 10 = 0 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 8)  Câu 8 + Mp trung trực (Q) của đoạn AB qua trung điểm I(1; – 6; 7) của AB nhận AB = (-6; -8; -8) (1,0đ) làm VTPT ------------------------------------------------------------------------------------------------------------Suy ra phương trình mp(Q): -6( x - 1) - 8( y + 6) - 8( z - 7) = 0 Û 3 x + 4 y + 4 z - 7 = 0 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Gọi D = (Q) Ç (P). Đường thẳng D là tập hợp các điểm thỏa hệ phương trình: ì3 x + 4 y + 4 z - 7 = 0 (1) í îx + y - z - 4 = 0   + (P) có VTPT nP = (1;1; -1) , (Q) có VTPT nQ = (3; 4; 4)    suy ra D có VTCP u = [nP , nQ ] = (8; -7;1) . Trong (1) cho x = 1 giải được y = 2; z = – 1 suy 0,25 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 5 ra D đi qua điểm I(1; 2; – 1). Vậy phương trình tham số đường thẳng D ì x = 1 + 8t ï í y = 2 - 7t ï z = -1 + t î ------------------------------------------------------------------------------------------------------------+M Î D thì M Î (P) và MA = MB. Ta có M(1 + 8t ; 2 – 7t ; – 1 + t) MA = 13 Û (8t - 3) 2 + (4 - 7t )2 + (t - 12) 2 = 169 Û 114t 2 - 128t = 0 Û t = 0 hoặc t = 64 / 27 569 334 7 ;; ) Vậy có hai điểm M thỏa bài toán : M 1 (1; 2; -1) , M 2 ( 57 57 57 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 9) Câu 9 5 (0,5đ) + Có C12 = 792 cách chọn 5 bi từ hộp 12 bi Þ W = 792 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Gọi X là biến cố :’’ 5 bi lấy ra có đủ 3 màu và số bi xanh và số bi đỏ bằng nhau’’ 1 1 3 TH1 : 1X, 1Đ, 3V Þ có C3C4C5 = 120 cách chọn 2 2 1 TH2 : 2X, 2Đ, 1V Þ có C3 C4 C5 = 90 cách chọn Câu 10 (1,0đ) Suy ra W X = 120 + 90 = 210 WX 210 35 = = Vậy P(X) = W 792 132 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------12 a 4 + b4 + 3 ab Câu 10) P = ab 36 + (1 + 9a 2 )(1 + 9b 2 ) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------(a 3 + b3 )(a + b) = (1 - a)(1 - b) (*) GT : (a 3 + b 3 )(a + b) - ab(a - 1)(b - 1) = 0 Û ab (a 3 + b3 )(a + b) æ a 2 b 2 ö = ç + ÷ (a + b) ³ 2 ab .2 ab = 4ab Vì ab aø è b 0,25 0,25 0,25 0,25 và (1 - a )(1 - b) = 1 - ( a + b) + ab £ 1 - 2 ab + ab , khi đó từ (*) suy ra 4ab £ 1 - 2 ab + ab , 1 ì 1 ï0 < t £ Û0 0) ta được 2 t £ 1 - 3t Û í 9 ï 4t £ (1 - 3t ) 2 î ------------------------------------------------------------------------------------------------------Ta có (1 + 9a 2 )(1 + 9b 2 ) ³ 36ab Þ 12 36 + (1 + 9a )(1 + 9b ) 2 2 £ 2 1 + ab a 4 + b4 £ 3ab - 2ab = ab . ab 2 1 + ab . Dấu đẳng thức xảy ra Û a = b = . Suy ra P £ 1 + ab 3 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------và 3ab - 0,25 6 2 1 + t với 0 < t £ , 1+ t 9 1 1 1 > 0, "t Î (0, ] Þ f(t) đồng biến trên (0, ] ta có f '(t ) = 1 9 (1 + t ) 1 + t 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ìa = b 1 6 1 1 ï + , dấu đẳng thức xảy ra Û í f(t) £ f ( ) = 1 Ûa=b= 9 3 10 9 ïît = ab = 9 6 1 1 + đạt được tại a = b = Vậy MaxP = 10 9 3 . Xét hàm f (t ) = 0,25 0,25 7