Së gD&®T th¸i nguyªn
®Ò thi thö kú thi thpt quèc gia n¨m 2015
M«n: To¸n
Trêng thpt l¬ng ngäc quyÕn
Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y
x m
(Cm)
x2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1.
b) Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: 2x+2y -1= 0 cắt đồ thị (Cm) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 (O là gốc toạ độ).
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)
0
b) Tính tích phân: I
(x 1)
1
2
dx
3 2x x 2
x2 x 1
1
trên đoạn ;2 .
x 1
2
.
Câu 3 (2,0 điểm). Giải các phương trình sau:
a) log 3 x 1 log
2
b)
3
2 x 1 2 .
3sin 2x 2 sin x
2.
sin 2x cos x
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Cho số phức z thỏa mãn: (2 i)z
1 i
5 i. Tính mô đun của số phức w z z 2 .
1 i
b) Mét líp häc cã 20 häc sinh nam vµ 15 häc sinh n÷. ThÇy gi¸o chñ nhiÖm chän ra 5 häc sinh ®Ó
lËp mét tèp ca h¸t chµo mõng ngµy thµnh lËp Qu©n ®éi nh©n d©n ViÖt Nam(22 th¸ng 12).
TÝnh x¸c suÊt sao cho trong ®ã cã Ýt nhÊt mét häc sinh n÷.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
11
Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm F ;3 là
2
trung điểm của cạnh AD. Đường thẳng EK có phương trình 19x 8y 18 0 với E là trung điểm của
cạnh AB, điểm K thuộc cạnh DC và KD = 3KC. Tìm tọa độ điểm C của hình vuông ABCD biết
điểm E có hoành độ nhỏ hơn 3.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x 2y z 4 0 và
mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2x 4y 6z 11 0 . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo
một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
Câu 8 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
a2 1 b2 1 c2 1
1
1
1
.
2
2
2
4b
4c
4a
ab bc ca
-------------------------------- HÕt -----------------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Hä vµ tªn thÝ sinh: ………………………………………………. Sè b¸o danh: ………………………………
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o th¸i nguyªn
Híng dÉn chÊm
thi thö kú thi thpt quèc gia n¨m 2015
m«n To¸n
Trêng thpt l¬ng ngäc quyÕn
Lưu ý khi chấm bài:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh.
Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không
được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Trong lời giải câu 5, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không cho điểm.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
C©u
§iÓm
Néi dung
I. PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7,0 ®iÓm)
x m
Cho hàm số y
(Cm)
x2
C©u 1
a. 1,0
b. 1,0
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1.
b) Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: 2x+2y -1= 0 cắt đồ thị
(Cm) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 (O
là gốc toạ độ).
x 1
, TXĐ: D \ 2
x2
-Giới hạn : lim y 1 ; lim y 1 . Đường thẳng y = -1 là tiệm cân ngang của đồ
a) y
x
x
0,25
thị hàm số
lim y ; lim . Đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm
x 2
x 2
số
3
0 x 2
( x 2) 2
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (; 2) và (2; )
-Chiều biến thiên y '
0,25
Hàm số không có cực trị
Bảng biến thiên
x
y'
y
-2
||
+¥
- ¥
- 1
- ¥
Đồ thị
1
+¥
0,25
- 1
*Giao với trục Ox tại
A(1;0)
*Giao với trục Oy tại
8
6
1
B(0; )
2
4
2
* Đồ thị nhận I(-2;-1) giao
của hai tiệm cận làm tâm
đối xứng
15
10
5
-2
O
-1
5
10
15
2
4
6
0,25
8
x 2
x m
1
x 2
x2
2
2 x x 2m 2 0 (1)
Đường thẳng (d) cắt (Cm) tại 2 điểm A,B (1) có hai nghiệm phân biệt x 2
17
1 8(2m 2) 0
17 16m 0
m
16
2
m 2
2.(2) (2) 2m 2 0
m 2
b) Phương trình hoành độ giao điểm:
1
1
A x1 ; x1 , B x 2 ; x 2 trong đó x1; x2 là hai nghiệm phân biệt của
2
2
1
x1 x 2
phương trình (1), theo viet ta có
2
x1.x 2 m 1
2(17 16m)
AB (x 2 x1 ) (x1 x 2 ) 2 (x 2 x1 ) 4x1x 2
2
2(17 16m)
1
1 1
47
1
.
1 m
; S OAB AB.d(O, d) .
(t/m)
d O, d
2
2 2 2
2
16
2 2
2
Vậy: m
2
0
(x 1)
1
2
a) 0,5
b) 0,5
0,25
0,25
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)
b) Tính tích phân: I
0,25
2
47
16
C©u 2
0,25
dx
3 2x x 2
x2 x 1
trên đoạn
x 1
1
2 ;2 .
.
1
a) Hàm số f(x) liên tục trên đoạn ;2 .
2
1
x 0 2 ; 2
x 2x
+) f '( x)
, f '( x) 0
2
( x 1)
1
x 2 ; 2
2
2
2
0,25
1
7
7
+) f ; f (2)
3
2 6
Vậy: min f ( x)
1
x ;2
2
0
b) I
(x 1)
1
2
m axf ( x)
1
x ;2
2
0
dx
3 2x x
2
(x 1)
1
2
7
khi x=2.
3
0
dx
(x 1)(3 x)
1
2
0,25
dx
(x 1)2
3x
x 1
3x
dx
1
1
tdt . Đổi cận: x t 7;x 0 t 3.
2
x 1
(x 1)
2
2
Đặt: t
1
I
2
1
7
khi x ;
2
6
3
1
dt 2
7 3
0,25
0,25
7
Giải các phương trình sau:
2
C©u 3
a) log 3 x 1 log
b)
a) 1,0
b) 1,0
3
2x 1 2 (1) .
3sin 2x 2 sin x
2 (2).
sin 2x cos x
x 1
1
x 2
a) §k:
(1) 2log3 x 1 2log3 2x 1 2 log3 x 1 2x 1 log3 3
0,25
0,25
x 1 2x 1 3
1
x 1
2 x 1
hoac
2x 2 3x 2 0
2
2x 3x 4 0(vn)
0,25
x 2 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy: x=2
0,25
k
b) ĐK: sin 2x 0 x
(k )
2
(2) 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx 2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0
x k2
cos x 1
x k2
sin
2x
sin
x
3
3
0,25
0,25
0,25
Đối chiếu với điều kiện
Vậy : phương trình có nghiệm x
3
k 2
a) Cho số phức z thỏa mãn: (2 i)z
C©u 4
1 i
5 i. Tính mô đun của số phức
1 i
w z z 2 (3).
b) Mét líp häc cã 20 häc sinh nam vµ 15 häc sinh n÷. ThÇy gi¸o chñ nhiÖm chän
ra 5 häc sinh ®Ó lËp mét tèp ca h¸t chµo mõng ngµy thµnh lËp Qu©n ®éi nh©n d©n
3
0,25
a) 0,5
b) 0,5
ViÖt Nam(22 th¸ng 12). TÝnh x¸c suÊt sao cho trong ®ã cã Ýt nhÊt mét häc sinh n÷.
a) (3) (2 i)z 5 z 2 i
0,25
w 5 5i w 5 2
0,25
b) Chän ngÉu nhiªn 5 häc sinh trong 35 häc sinh cña líp, cã C355 (c¸ch)
Gäi A lµ biÕn cè: ‘‘Chän ®îc 5 häc sinh trong ®ã cã Ýt nhÊt mét em n÷’’
Suy ra A lµ biÕn cè: “Chän ®îc 5 häc sinh trong ®ã kh«ng cã hs n÷ nµo”
Ta cã sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ C205
P A
C©u 5
5
5
C20
C20
2273
P
A
1
P
A
1
0,95224
5
5
C35
C35 2387
0,25
0,25
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam giác
vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính
theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
1.0
S
A
C
K
H
d
J
0,25
B
SH ( ABC )
+) Theo bài ta có:
a
SH 2
+)
S ABC
a2 3
4
V S . ABC
a3 3
24
0,25
+) Dựng đường thẳng d đi qua B và d // AC
d ( AC , SB ) d ( A;( SB, d )) 2d ( H ; ( SB; d ))
Kẻ đoạn thẳng HJ sao cho HJ d, J d ; Kẻ đoạn thẳng HK sao cho
HK SJ, K SJ
+) d ( H ;( SB, d )) HK
0,25
1
1
1
28
a 3
2 HK
2
2
2
HK
HJ
SH
3a
2 7
d ( AC , SB) 2 HK a
3
7
0,25
4
Ghi chú : học sinh có thể giải bằng cách tọa độ hóa bài toán
11
C©u 6
1.0
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm F ;3 là
2
trung điểm của cạnh AD. Đường thẳng EK có phương trình 19x 8y 18 0 với
E là trung điểm của cạnh AB, điểm K thuộc cạnh DC và KD = 3KC. Tìm tọa
độ điểm C của hình vuông ABCD biết điểm E có hoành độ nhỏ hơn 3.
E
A
I
B
H
F
P
D
K
C
+) Gọi AB=a (a>0) S EFK S ABCD S AEF S FDK S KCBE
S EFK
5a 2
16
25
a 17
1
; EK
a5
FH.EK , FH d(F, EK)
2
4
2 17
ABCD là hình vuông cạnh bằng 5 EF
0,25
5 2
2
x 2
11
25
2
x 58 (loai)
x ( y 3)
5
+) Tọa độ E là nghiệm:
E 2;
2
2
17
2
19 x 8 y 18 0
5
y
2
+) AC qua trung điểm I của EF và AC EF
AC: 7 x y 29 0
2
10
x
7 x y 29 0
10 17
3
Có : AC EK P
P ;
3 3
19 8 y 18 0
y 17
3
9
Ta xác định được: IC IP C (3;8)
5
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x 2y z 4 0 và mặt
C©u 7
cầu S : x 2 y 2 z 2 2x 4y 6z 11 0 . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt
cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn
đó.
5
0,25
0,25
0,25
1,0
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R=5
d(I, (P))
2.1 2.2 3 4
3
0,25
Vì d(I,(P))
- Xem thêm -
.PDF 
7 
311 
91 
