NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
.
NHÓM TOÁN VD – VDC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC: 2019 - 2020
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 10 tháng 06 năm 2020
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
Họ và tên: …………………………………………………………. SBD: ………………
Câu 1.
Hàm số y
x2
x
3
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
1
A. (1; 3).
Câu 2.
B. (
; 1).
Trong không gian Oxyz cho u
C. ( 3;1).
(2; 1;1), v
D. (1;
).
( 3; 4; 5) . Số đo góc giữa hai vectơ u và v
bằng
Câu 3.
A. 1500.
B. 1200.
C. 600.
D. 300.
Cho khối chóp có chiều cao bằng 2a , đáy là hình thoi cạnh a và có một góc bằng 60 . Thể
tích của khối chóp đã cho bằng
A. a3 3 .
Câu 4.
a3 3
.
3
A. x 1 .
B. x 4 .
Trong không gian
Oxyz ,
4z 1
B. u2 5; 2; 3 .
6 thì
1
D. x 1 .
mặt
phẳng
P : x 2y
3z
0,
C. u3 8;1; 2 .
D. u4 4; 1; 2 .
f 2 x 1 dx bằng
0
B. 12 .
C. 6 .
D. 4 .
Giá trị lớn nhất của hàm số y 2 x x 1 bằng
A.
3.
B. 3 .
C. 0 .
D. 2 .
Cho hình nón có bán kính đáy bằng 1 , góc giữa đường sinh và trục của hình nón bằng 300 .
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
A.
Câu 9.
a3 3
.
6
1
f x dx
Nếu tích phân
A. 3 .
C. x 0 .
giao tuyến của hai
3
Câu 8.
D.
0 có một véc tơ chỉ phương là.
A. u1 5; 2; 3 .
Câu 7.
a3 3
.
2
Điểm cực đại của hàm số y x3 3x 2 là
Q :x
Câu 6.
C.
4 3
.
3
B.
3 .
C.
2 3
.
3
D. 2 .
Trong không gian Oxyz , điểm đối xứng với điểm M 4; 5;3 qua trục Oz có tọa độ là
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
Trang 1
NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 5.
B.
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
A. 4; 5; 3 .
B. 4;5;3 .
C. 4;5; 3 .
A. 4 .
C. 2 .
B. 3 .
x2 4
là
x3 x 2 2 x
D. 1 .
Câu 11. Bất phương trình log 2 x 1 log 4 6 x 5 có bao nhiêu nghiệm nguyên?
C. 8 .
B. 7 .
A. 6 .
Câu 12. Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x
A.
1
C .
2 2 x 1
B.
D. 9 .
1
là
4x 4x 1
2
1
C.
2x 1
C.
1
C .
2x 1
D.
1
C .
2 2 x 1
NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 10. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
D. 0;0;3 .
Câu 13. Số điểm cực trị của hàm số y x sin 2 x trong khoảng ; 2 là
A. 0 .
Câu 14.
B. 1 .
Tích các nghiệm của phương trình 2 3
B. 2 .
A. 2 .
D. 3 .
C. 2 .
x 2 5 x
7 4 3 0 bằng
D. 5 .
C. 5 .
Câu 15. Cho khối trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và có diện tích thiết diện qua trục của khối trụ
bằng 16 . Thể tích khối trụ đã cho bằng.
A. 64 .
A.
x 1 .e
5
.
2
2x
64
.
3
C. 1 .
B. 4 .
80
.
3
D.
16 2
.
3
dx a x b .e2 x C , với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của a b bằng.
Câu 17. Biết phương trình log92 x log3
A.
C. 16 2 .
B.
D. 2 .
x
0 có hai nghiệm x1 , x2 với x1 x2 . Hiệu x2 x1 bằng
27
80
.
27
C.
6560
.
27
D.
6560
.
729
Câu 18. Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình 4x 8.6x 12.9x 0 là khoảng a; b . Giá trị của
b a bằng
A. log 2 4 .
B. log 2 4 .
3
C. log 2 3 .
3
D. log 2 3 .
3
3
Câu 19. Cho hình lập phương ABCD. ABCD cạnh a . Thể tích khối cầu có tâm A và tiếp xúc với
đường thẳng AC bằng
A.
2 a 3
.
3
B.
8 6 a 3
.
27
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
C.
3 a 3
.
2
D.
6 a3 .
Trang 2
NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 16. Biết
B.
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
4
Câu 20.
Biết
x dx a
2
b c với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a b c bằng
3
41
.
2
B.
25
.
2
C.
13
.
2
D.
5
.
2
Câu 21. Biết nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 1 3.cosx sinx cos2 x là x0
là các số nguyên dương và a 10 . Giá trị của a+b bằng
A. 23
B. 7
C. 11
Câu 22. Tiếp tuyến đi qua điểm A 1;0 của đồ thị hàm số y
1
1
A. y x .
3
3
B. y x 1 .
a
, với a,b
b
D. 17
2x 1
x 1
C
C. y 3x 3 .
có phương trình là
NHÓM TOÁN VD – VDC
A.
D. y x 1 .
Câu 23. Cho phương trình 9x 2 m 1 .3x m 7 0 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên
của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt?
A. 3 .
C. 5 .
B. 4 .
D. Vô số.
Câu 24. Cắt tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 ( độ dày không đáng kể) theo đường gấp khúc
SAQCPBS như hình 1, sau đó gấp phần đa giác còn lại theo các đoạn AB , BC , CA sao cho
các điểm S , P, Q trùng nhau để được hình chóp đều có đáy là tam giác ABC như hình 2.
NHÓM TOÁN VD – VDC
Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp SABC bằng
A.
1
.
9
B.
4 15
.
125
C.
15
.
125
D.
4
9
Câu 25. Cho lăng trụ tam giác đều ABC .A ' B 'C ' có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 3a . Một hình
trụ T có hai đáy nội tiếp tam giác ABC , A ' B 'C ' . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Đường
thẳng A ' M cắt mặt xung quanh của hình trụ T tại N ( N khác M ). Tính độ dài đoạn thẳng
MN .
A. MN
a 15
.
3
B. MN
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
a 15
.
6
C. MN
a 39
.
3
D. MN
a 39
.
6
Trang 3
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
1 3
x
3
Câu 26. Gọi C m là đồ thị của hàm số y
2m 1 2
x
2
m2
m x với m là tham số. Có
thị C m
1
và là điểm cực tiểu của đồ thị C m ?
2
B. 0 .
A. 2 .
C. 1 .
D. Vô số.
ln x
, trục hoành và đường thẳng
x
x 2 . Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H xung quanh trục hoành
Câu 27. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y
bằng a b ln với a, b là các số hữu tỉ. Tính a 3b .
NHÓM TOÁN VD – VDC
bao nhiêu điểm M sao cho tồn tại hai giá trị khác nhau m1, m2 mà M là điểm cực đại của đồ
1
5
B. a 3b .
C. a 3b 1 .
D. a 3b .
2
2
Câu 28. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB 2a , BC 4a ,
AA 3a . Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Diện tích thiết diện của lăng trụ ABC. ABC
khi cắt bới mặt phẳng MBC bằng
A. a 3b 2 .
A. 2 10a 2 .
B. 3 10a 2 .
C. 4 10a 2 .
D. 6 10a 2 .
Câu 29. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a và BAC 1200 . Hình
chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh BC với HC 2HB
. Góc giữa SB và mặt phẳng ABC bằng 600 . Mặt phẳng đi qua H và vuông góc với SA cắt
các cạnh SA, SC lần lượt tại A, C . Tính thế tích V của khối chóp B. ACCA
7 3a 3
.
192
B. V
3 3a 3
.
64
C. V
3 3a 3
.
100
D. V
5 3a3
.
108
x2 2m 3 x m2 m 6 log 2 1 x 0 với m là tham số. Có
bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có đúng một nghiệm?
A. 7 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
Câu 30. Cho phương trình log
2 1
Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu S1 , S2 có điểm chung A 1; 2; 1 , cùng tiếp xúc
với mặt phẳng Oxy và đều có tâm thuộc đường thẳng d :
giữa hai tâm của hai mặt cầu S1 , S2 bằng
A.
6.
B.
46 .
C. 4 .
x 1 y 1 z 1
. Khoảng cách
1
1
2
D. 2 6 .
Câu 32. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC a . Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABC là điểm H đối xứng với B qua AC . Góc giữa
hai mặt phẳng SAC và ABC bằng 45 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC
bằng
A. 2 a 2 .
B. V
2 a 2
.
3
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
C. 5 a 2 .
D.
5 a 2
.
4
Trang 4
NHÓM TOÁN VD – VDC
A. V
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
Câu 33. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn 1;4 , f 1 1, f 4 8 và
4
x
f x dx bằng
1
A.
1
.
2
B.
3
.
2
C.
2
.
3
D. 2.
Câu 34. Đồ thị C của hàm số y ax3 bx 2 cx 3a và đồ thị C ' của hàm số y 3ax 2 2bx c
a, b, c
, a 0 có đúng hai điểm chung khác nhau A, B và điểm A có hoành độ bằng 1.
Các tiếp tuyến của C và C ' tại điểm A trùng nhau; diện tích hình phẳng giới hạn bởi C
và C ' bằng 1. Giá trị của a b c bằng
A. 12.
B. 17.
C. 60.
NHÓM TOÁN VD – VDC
2 x. f x . f ' x x 2 f x , x 1; 4. Tích phân
2
3
D. 45.
Câu 35. Chọn ngẫu nhiên đồng thời sáu số tự nhiên khác nhau thuộc đoạn [1;25]. Gọi A là biến cố
“Chọn được sáu số tự nhiên sao cho tổng bình phương của sáu số đó chia hết cho 3”. Xác suất
của biến cố A bằng
633
453
211
1803
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
6325
6325
6325
6325
Câu 36. Cho bất phương trình x2 (m 2019) x 2020m ( x m 1) log 2019 x 2020 với m là tham số.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để tập nghiệm của bất phương trình đã cho chứa trong
khoảng (1000;2020) ?
A. 1018.
B. 1019.
C. 1020.
D. 1021.
thuộc cạnh CC ' sao cho mp( MBD) vuông góc với mp( A ' BD) . Thể tích khối tứ diện
A ' BDM bằng
13 3a 3
A.
.
8
10a 3
B.
.
9
Câu 38. Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm trên
100a 3
C.
.
3
13 3a 3
D.
.
24
và có bảng biến thiên sau :
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình
1
1
m
f ( x) f ( x) 2
có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử?
A. 3.
B. Vô số.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
C. 1.
D. 2.
Trang 5
NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 37. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB a, AD a 3, AA ' 3a . Gọi M là điểm
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A, B theo thứ tự thay đổi trên các tia Ox, Oy sao cho
OAOB
. 9 . Điểm S thuộc mặt phẳng Ozx sao cho hai mặt phẳng SAB và SOB cùng
thức P a 4 c 4 trong trường hợp thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất.
A. P
10
.
3
B. P
40
.
81
C. P
40
.
9
D. P
45
.
8
Câu 40. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x z 2 y z 3z 2 4 . Giá trị lớn nhất của biểu
2
2
x3 y z 4 y 3 x 2 z z 3 xy
thức P
bằng
xy
A.
112
.
27
B.
110
.
27
C.
128
.
27
D.
55
.
27
NHÓM TOÁN VD – VDC
tạo với mặt phẳng Oxy một góc 30o . Gọi a;0; c là tọa độ điểm S . Tính giá trị của biểu
-------------- HẾT ---------------
NHÓM TOÁN VD – VDC
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
Trang 6
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
BẢNG ĐÁP ÁN
2A
3B
4D
5C
6A
7A
8D
9B
10C
11B
12D
13A
14C
15C
16D
17D
18C
19B
20C
21A
22A
23A
24B
25C
26C
27C
28B
29A
30D
31A
32D
33D
34C
35D
36D
37D
38C
39A
40A
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Hàm số y
x2
x
3
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
1
A. (1; 3).
B. (
; 1).
1, y '
0
C. ( 3;1).
Lời giải
D. (1;
).
NHÓM TOÁN VD – VDC
1A
Chọn A
y'
x 2 2x 3
(x 1)2
x
x
1; x
3.
y ' 0 x (1;3) \ {1} .Hàm số nghịch biến trên (1;1) và (1; 3) .
Câu 2.
Trong không gian Oxyz cho u
(2; 1;1), v
( 3; 4; 5) . Số đo góc giữa hai vectơ u và v
bằng
A. 1500.
B. 1200.
C. 600.
Lời giải
D. 300.
cos(u, v )
Câu 3.
u.v
u .v
15
6.5 2
3
(u, v ) 1500.
2
Cho khối chóp có chiều cao bằng 2a , đáy là hình thoi cạnh a và có một góc bằng 60 . Thể
tích của khối chóp đã cho bằng
A. a3 3 .
B.
a3 3
.
3
C.
a3 3
.
2
D.
a3 3
.
6
Lời giải
Chọn B
Diện tích hình thoi là S a 2 .sin 60
a2 3
.
2
1
1 a2 3
a3 3
Thể tích của khối chóp là V Sh .
.
.2a
3
3 2
3
Câu 4.
Điểm cực đại của hàm số y x3 3x 2 là
A. x 1 .
B. x 4 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
C. x 0 .
D. x 1 .
Trang 7
NHÓM TOÁN VD – VDC
Chọn A
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
Lời giải
Chọn D
NHÓM TOÁN VD – VDC
TXĐ D
.
x 1
Ta có y 3x 2 3 ; y 0
.
x 1
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại x 1 .
Câu 5.
Trong không gian
4z 1
Q :x
Oxyz ,
giao tuyến của hai
mặt
P : x 2y
phẳng
3z
0,
0 có một véc tơ chỉ phương là.
A. u1 5; 2; 3 .
B. u2 5; 2; 3 .
C. u3 8;1; 2 .
D. u4 4; 1; 2 .
Lời giải
1; 2; 3 ;
Mặt Q có một véc tơ pháp tuyến là n2
1; 0; 4 ;
là giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q , và u là 1 véc tơ chỉ phương của
Gọi
đó ta có
u
n1
u
n1
n2
u
n2
8; 1; 2
n1 , n2
.
1
f x dx
Nếu tích phân
có 1 véc tơ chỉ phương là
u3 . Suy ra u3 cũng là 1 véc tơ chỉ phương của
3
Câu 6.
đường thẳng
; khi
6 thì
1
f 2 x 1 dx bằng
0
A. 3 .
C. 6 .
B. 12 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn A
Đặt 2 x 1
u
dx
1
Khi đó
3
f 2 x 1 dx
0
Câu 7.
1
du ; đổi cận x
2
1
1
f u du
2
0
1
2
u
1; x
3
f u du
1
1
2
1
u
3.
3
f x dx
1
1
.6
2
3.
Giá trị lớn nhất của hàm số y 2 x x 1 bằng
A. 3 .
B. 3 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
C. 0 .
D. 2 .
Trang 8
NHÓM TOÁN VD – VDC
Chọn C
Mặt P có một véc tơ pháp tuyến là n1
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
Lời giải
Chọn A
Ta có y
2 x x 1
1
1
1
1
0, x 1; 2 .
2 2 x 2 x 1
2 2 x 2 x 1
Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn 1; 2 nên Max y y 1 3 .
Câu 8.
Cho hình nón có bán kính đáy bằng 1 , góc giữa đường sinh và trục của hình nón bằng 300 .
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
A.
4 3
.
3
B.
3 .
C.
2 3
.
3
NHÓM TOÁN VD – VDC
2 x 0 x 2
x 1; 2
Hàm số có nghĩa
x 1 0
x 1
D. 2 .
Lời giải
Chọn D
NHÓM TOÁN VD – VDC
Xét tam giác SOB ta có OB 1, OSB 300 sin 300
OB
OB
SB
2.
SB
sin 300
Vậy ta có S xq Rl .1.2 2 .
Câu 9.
Trong không gian Oxyz , điểm đối xứng với điểm M 4; 5;3 qua trục Oz có tọa độ là
A. 4; 5; 3 .
B. 4;5;3 .
C. 4;5; 3 .
D. 0;0;3 .
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu của điểm M lên trục Oz là H 0;0;3 .
Gọi M là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oz . Ta có H là trung điểm của MM nên suy
ra H 4;5;3 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
Trang 9
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
Câu 10. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
C. 2 .
B. 3 .
NHÓM TOÁN VD – VDC
A. 4 .
x2 4
là
x3 x 2 2 x
D. 1 .
Lời giải
Chọn C
x 2
x 2 x 2
x2 4 0
Hàm số xác định khi
.
x 0
2
x 2
x x x 2 0
x 1
x 2
TXĐ: D ; 2 2; .
4
1
4
2 1 2
2
x 4
x lim x
x 0 0.
*) Ta có lim y lim 3
lim 3
x
x x x2 2x
x x x2 2x
x
1 2
1
1 2
x x
suy ra y 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x 1
2
*) Không tồn tại lim y, lim y, lim y, lim y
x 0
x 0
x 1
x 1
Khi x 2 thì hàm số không xác định nên ta chỉ tìm lim y
x 2
Ta có lim y lim
x 2
x x2 x 2
2 x x 2
lim
lim
x 2
lim
4 x2
x x 1 x 2
NHÓM TOÁN VD – VDC
x 2
x2 4
2 x
x x 1 x 2
x 2
x x 1 x 2
suy ra x 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Do đó tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 2 .
x 2
2
Câu 11. Bất phương trình log 2 x 1 log 4 6 x 5 có bao nhiêu nghiệm nguyên?
B. 7 .
A. 6 .
C. 8 .
Lời giải
D. 9 .
Chọn B
x 1 0
x 1.
Điều kiện
6 x 5 0
Bất phương trình log 2 x 1 log 4 6 x 5 log 2 x 1 log 2 6 x 5
2
x 1 6 x 5 x2 8x 4 0 4 2 5 x 4 2 5 .
2
Kết hợp điều kiện 1 x 4 2 5 .
Vì x Z x 2;3;4;5;6;7;8 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
Trang 10
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
Câu 12. Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x
1
C .
2 2 x 1
B.
1
C.
2x 1
C.
1
C .
2x 1
D.
1
C .
2 2 x 1
Lời giải
Chọn D
Ta có
1
1
f x dx 2 x 12 dx 2 2 x 1 C .
Câu 13. Số điểm cực trị của hàm số y x sin 2 x trong khoảng ; 2 là
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
NHÓM TOÁN VD – VDC
A.
1
là
4x 4x 1
2
D. 3 .
Lời giải
Chọn A
y 1 sin 2 x .
y 0, x ; 2 suy ra hàm số đồng biến trên ; 2 .
Vậy hàm số không có cực trị trong khoảng ; 2 .
Câu 14.
Tích các nghiệm của phương trình 2 3
7 4 3 0 bằng
C. 5 .
D. 5 .
NHÓM TOÁN VD – VDC
B. 2 .
A. 2 .
x 2 5 x
Lời giải
Chọn C
2 3
x 2 5 x
2 3
74 3 0
x 2 5 x
2 3
2
x2 5x 2 0 .
Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai x2 5x 2 0 bằng 5.
Câu 15. Cho khối trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và có diện tích thiết diện qua trục của khối trụ
bằng 16 . Thể tích khối trụ đã cho bằng.
A. 64 .
B.
64
.
3
C. 16 2 .
D.
16 2
.
3
Lời giải
Chọn C
Ta có:
Từ đây ta suy ra.
Ta có: chiều cao h R
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
Trang 11
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
Diện tích thiết diện qua trục S h.2R 16 h.R 8
R2 8 R 2 2 và h 2 2
2
Câu 16. Biết
A.
x 1 .e
2x
dx a x b .e2 x C , với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của a b bằng.
5
.
2
C. 1 .
B. 4 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn D
du dx
u x 1
Đặt
1 2x
2x
dv e dx v e
2
1
1
1
1
1
3
I x 1 .e2 x dx x 1 .e2 x e2 x dx x 1 .e2 x .e2 x C e2 x x C
2
2
2
4
2
2
1
3
Vậy a ; b
2
2
x
Câu 17. Biết phương trình log92 x log3
0 có hai nghiệm x1 , x2 với x1 x2 . Hiệu x2 x1 bằng
27
A.
80
.
3
B.
80
.
27
C.
6560
.
27
D.
NHÓM TOÁN VD – VDC
Thể tích khối trụ: V .R 2 .h . 2 2 .2 2 16 2
6560
.
729
Lời giải
NHÓM TOÁN VD – VDC
Chọn D
Điều kiện x 0 .
2
x
1
log x log3
0 log3 x log3 x log3 27 0 .
27
2
2
9
1
x 36
log3 x 6
1
log3 x 4 log3 x 12 0
, x2 9 .
729 x1
log
x
2
729
2
3
x 3 9
2
Do đó x2 x1 9
1
6560
.
729 729
Câu 18. Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình 4x 8.6x 12.9x 0 là khoảng a; b . Giá trị của
b a bằng
A. log 2 4 .
3
B. log 2 4 .
C. log 2 3 .
3
3
D. log 2 3 .
3
Lời giải
Chọn C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
Trang 12
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
2x
x
2
2
Vì 9 0 nên 4 8.6 12.9 0 8. 12 0
3
3
x
x
x
x
Suy ra a log 2 6, b log 2 2 b a log 2 2 log 2 6 log 2
3
3
3
3
3
1
log 2 3 .
3
3
Câu 19. Cho hình lập phương ABCD. ABCD cạnh a . Thể tích khối cầu có tâm A và tiếp xúc với
đường thẳng AC bằng
2 a 3
.
3
A.
B.
8 6 a 3
.
27
3 a 3
.
2
C.
D.
6 a3 .
NHÓM TOÁN VD – VDC
x
2
2 6 log 2 6 x log 2 2
3
3
3
Lời giải
Chọn B
Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên AC a 2
Vì ABCD. ABCD là hình lập phương nên AA ABCD AA AC tam giác ACA
vuông tại A .
Do đó ta có
1
1
1
3
a 6
.
2 AH
2
2
2
AH
AA
AC
2a
3
Vì khối cầu tâm A và tiếp xúc với đường thẳng AC nên có bán kính R AH
a 6
.
3
4
8 6 a3
3
Vậy thể tích khối cầu là V R
.
3
27
4
Câu 20.
Biết
x dx a
2
b c với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a b c bằng
3
A.
41
.
2
B.
25
.
2
C.
13
.
2
D.
5
.
2
Lời giải
Chọn C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
Trang 13
NHÓM TOÁN VD – VDC
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng AC .
NHÓM TOÁN VD – VDC
4
Ta có
HSG QUẢNG NAM-2020
4
4
3
3
x dx x dx x dx x dx x dx
3
4
a 1
13
Từ đó suy ra b 7 a b c .
2
25
c
2
Câu 21. Biết nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 1 3.cosx sinx cos2 x là x0
là các số nguyên dương và a 10 . Giá trị của a+b bằng
A. 23
B. 7
C. 11
Lời giải
Chọn A
Ta có:
a
, với a,b
b
NHÓM TOÁN VD – VDC
x2
x2
25
.
x x 2 7
2 3 2
2
D. 17
2 1 3.cosx sinx cos2 x 2sinx 3 sin2x cos2 x
s inx
3
1
s in2x cos2 x s inx sin 2x
2
2
6
1
2
, k, l
1
1
k 2 2k 0 k k
6
12
6
11
Vì a<10 nên suy ra 1 12k 10 k
k .
12
11
1
Vậy k k nên không có giá trị k thỏa mãn.
12
12
Nếu x0 có dạng (1) thì: x0
Nếu x0 có dạng (2) thì nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình ứng với k=0.Hay x0
5
18
Từ đây ta suy ra a=5;b=18. Vậy a+b=23.
Câu 22. Tiếp tuyến đi qua điểm A 1;0 của đồ thị hàm số y
1
1
A. y x .
3
3
B. y x 1 .
2x 1
x 1
C. y 3x 3 .
C
có phương trình là
D. y x 1 .
Lời giải
Chọn A
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
Trang 14
NHÓM TOÁN VD – VDC
x 6 k 2
x 5 l 2
18
3
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
Đường thẳng đi qua A 1;0 với hệ số góc k có phương trình y k x 1 kx k tiếp xúc
với (C) kx k
NHÓM TOÁN VD – VDC
2x 1
kx k x 1 2 x 1 có nghiệm kép x 1 .
x 1
kx2 2 x k 1 k 1 0 có nghiệm kép x 1
k 0
k 0
'
1
2
k 1 k k 1 1 3k 0
1k
3
k 3
k
2
1
k
1
k
1
0
1
1
Vậy tiếp tuyến đó là y x .
3
3
Câu 23. Cho phương trình 9x 2 m 1 .3x m 7 0 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên
của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt?
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D.Vô số.
Lời giải
Chọn A
Đặt t 3x t 0 ta được phương trình t 2 2 m 1 t m 7 0 1
Theo yêu cầu đề bài suy ra phương trình 1 phải có 2 nghiệm phân biệt cùng dương
Suy ra có 3 giá trị nguyên của tham số m là 6; 5; 4 .
Câu 24. Cắt tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 ( độ dày không đáng kể) theo đường gấp khúc
SAQCPBS như hình 1, sau đó gấp phần đa giác còn lại theo các đoạn AB , BC , CA sao cho
các điểm S , P, Q trùng nhau để được hình chóp đều có đáy là tam giác ABC như hình 2.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
Trang 15
NHÓM TOÁN VD – VDC
m 2 m 6 0
m ; 3 2;
0
S 0 2 m 1 0 m 1
7 m 3
P 0
m 7 0
m 7
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp SABC bằng
1
.
9
B.
4 15
.
125
C.
15
.
125
D.
4
9
NHÓM TOÁN VD – VDC
A.
Lời giải
Chọn B
NHÓM TOÁN VD – VDC
Đặt AB x; SA y x 0; y 0
Ta có tâm O của hình tròn cũng là tâm của tam giác đều ABC và SO AB .
2
2
x2
3 x2
x2
x
Khi đó: SH y ; OH x
4
4
12 2 3
3 2
2
Mà SO 1 SH OH 1 y 2
y2
x2
x
x2
x2
x
1 y2 1
4 2 3
4
12
3
x2
x
1
3
3
Mặt khác, ta có thể tích khối chóp đều SABC là V
Xét hàm số y x 2 1
3 2 2 x2
3 2
x
x y
x 1
12
3 12
3
4 3x 5 x 2
x
ĐK: 0 x 3 . Có y
3
2 3x
BBT:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
Trang 16
NHÓM TOÁN VD – VDC
x
HSG QUẢNG NAM-2020
4 3
5
0
0
y
48 5
125
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích bằng
3 48 5 4 15
.
12 125
125
Câu 25. Cho lăng trụ tam giác đều ABC .A ' B 'C ' có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 3a . Một hình
NHÓM TOÁN VD – VDC
y
3
trụ T có hai đáy nội tiếp tam giác ABC , A ' B 'C ' . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Đường
thẳng A ' M cắt mặt xung quanh của hình trụ T tại N ( N khác M ). Tính độ dài đoạn thẳng
MN .
A. MN
a 15
.
3
B. MN
a 15
.
6
C. MN
a 39
.
3
D. MN
a 39
.
6
Lời giải
Chọn C
NHÓM TOÁN VD – VDC
Ta có MD
2
MA
3
MN
2
MA '
3
Câu 26. Gọi C m là đồ thị của hàm số y
1 3
x
3
2
MA2
3
2 3a 2
3 4
AA '2
2m 1 2
x
2
m2
9a 2
a 39
.
3
m x với m là tham số. Có
bao nhiêu điểm M sao cho tồn tại hai giá trị khác nhau m1, m2 mà M là điểm cực đại của đồ
thị C m
1
và là điểm cực tiểu của đồ thị C m ?
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
2
Trang 17
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
B. 0 .
A. 2 .
C. 1 .
D. Vô số.
Lời giải
x2
Ta có y '
Giả
sử
x0
m1
M
m2
1
m
3 2
1
1x
m2
x 0 ; y0
m2
1 3
m
3 1
y0
2m
m
thỏa
x
x
0
mãn
1
1 2
m
2 1
2
2m2
1 m2
1
2
m
m
yêu
1
y
y
cầu
1
m
3 2
1
m1
0
3
bài
1
m
2 2
2m
1 m
1 3
m
3
1
2
6
1 2
m
2
toán,
2
1
.
ta
2m2
có
hệ
1 m2
1
2
NHÓM TOÁN VD – VDC
Chọn C
6
6
0
1
2
1
2m2
1
1
M
0; 0 .
6
Như vậy, có duy nhất điểm M
tiểu của đồ thị với m
m2
0; 0 là điểm cực đại của đồ thị với m
0 và là điểm cực
1.
ln x
, trục hoành và đường thẳng
x
x 2 . Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H xung quanh trục hoành
Câu 27. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y
1
B. a 3b .
2
A. a 3b 2 .
C. a 3b 1 .
D. a 3b
5
.
2
Lời giải
Chọn C
x 0
x 0
ln x
Xét phương trình
0 ln x 0 x 1 x 1 .
x
ln x 0
x 1
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H xung quanh trục hoành là
2
2
2
2
2
1
ln x
ln x
1
1
V
.dx 2 .dx ln x.d ln x .d ln x
x
x
x
x
1
1
1
1
1
x
2
2
2
1
1
1
1 1
1
1
ln 2 . dx ln 2 2 .dx ln 2
2
x x
x
x
1
1
1
2
2
1 1 1
1
ln 2 1 ln 2 .
2 2 2
2
1
1
Vậy a ; b . Suy ra a 3b 1 .
2
2
2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
Trang 18
NHÓM TOÁN VD – VDC
bằng a b ln với a, b là các số hữu tỉ. Tính a 3b .
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
A. 2 10a 2 .
B. 3 10a 2 .
C. 4 10a 2 .
Lời giải
D. 6 10a 2 .
Chọn B
Ta có
ABC. ABC là lăng trụ đứng nên
BC / / BC mà
NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 28. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB 2a , BC 4a ,
AA 3a . Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Diện tích thiết diện của lăng trụ ABC. ABC
khi cắt bới mặt phẳng MBC bằng
M MBC ABC
MBC ABC MN / / BC nên N là trung điểm của AC .
MBC ABC BC ; MBC ABBA BM
Suy ra thiết diện của lăng trụ ABC. ABC khi cắt bới mặt phẳng MBC là hình thang
BCNM .
Tam giác ABC vuông tại B nên BC AB và ABC. ABC là lăng trụ đứng nên AA BC suy
ra BC AABB mà MN / / BC MN AABB MN BM .
Suy ra S BCNM
MN BC
.BM .
2
BC
2a ; MB BB2 BM 2
2
MN BC
2a 4a
.BM
.a 10 3 10a 2 .
2
2
Mặt khác ta có BC BC 4a; MN
Vậy S BCNM
3a
2
a 2 a 10 .
Câu 29. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a và BAC 1200 . Hình
chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh BC với HC 2HB
. Góc giữa SB và mặt phẳng ABC bằng 600 . Mặt phẳng đi qua H và vuông góc với SA cắt
các cạnh SA, SC lần lượt tại A, C . Tính thế tích V của khối chóp B. ACCA
7 3a 3
A. V
.
192
3 3a 3
B. V
.
64
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
3 3a 3
C. V
.
100
Lời giải
5 3a3
D. V
.
108
Trang 19
NHÓM TOÁN VD – VDC
Do đó MBC ABC MN ; MBC ACCA NC ;
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG QUẢNG NAM-2020
Chọn A
NHÓM TOÁN VD – VDC
Do SH ABC nên góc giữa SB và mặt phẳng ABC bằng SBH 600
Ta có BC 2 AB2 AC 2 2 AB. AC.cos1202 3a 2 BC a 3
khi đó HB
a 3
2a 3
.
, HC
3
3
Trong ta giác vuông SHB ta có SH HB.tan 600
a 3
. 3a
3
2
2a 3
a 21
Trong ta giác vuông SHC ta có SC SH BC a
2
3
2
2
2
a2
a 3
AH
3
3
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trong tam giác AHC ta có AH 2 AC 2 HC 2 2 AC.HC.cos 300
2
a 3
2a 3
Trong ta giác vuông SHA ta có SA AH SH a
3
3
2
2
2
Khi đó SA2 AC 2 SC 2 khi đó tam giác SAC vuông tại A hay SA AC
SA SC
Do SA HAC SA AC . Vậy AC song song với AC , suy ra
SA SC
SA SH
SA SH 2
Khi đó SAH đồng dạng với SHA
.
SH SA
SA SA2
V
SA SC SH
9
.
VS . ABC VS . ACB . Mà S . AC B
.
VS . ACB
SA SC SA 16
4
Ta có VB. ACCA
Khi đó VB. ACCA
9
7 1
7 3a3
0
.
VS . ABC VS . ABC . SH . AB. AC.sin120
16
16 6
192
x2 2m 3 x m2 m 6 log 2 1 x 0 với m là tham số. Có
bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có đúng một nghiệm?
A. 7 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
Lời giải
Câu 30. Cho phương trình log
2 1
Chọn D
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
29 
95 
77 
