Tài liệu đề thi chọn hsg toán 10 năm học 2017 – 2018 cụm tân yên – bắc giang (1)

SỞ GD&ĐT BẮC GIANG CỤM TÂN YÊN Ngày thi: 28/01/2018 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN 10 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (6 điểm) Cho phương trình x 2  2 x  3m  4  0 (m là tham số). a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm. b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 x2 2  x12  x2 2  4 . c) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng thuộc đoạn  3;4 . Câu 2: (2 điểm) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): x 2  2  m  1 x  m3   m  1  0 2 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2  4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 3 3 của biểu thức sau: P  x1  x2  x1 x2  3 x1  3x2  8  . Câu 3: (2 điểm) Giải phương trình 3 81x  8  x 3  2 x 2  4 x2; 3  x    x2  y 2  2 y  6  2 2 y  3  0 Câu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình  ( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  2 2 2 2 2 . Câu 5: (2 điểm) Cho các số dương a, b, c có a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a a b b c c   2c  a  b 2a  b  c 2b  c  a Câu 6: (2 điểm) Không dùng máy tính hãy tính tổng P = cos2 00  cos210  cos2 20  cos2 30  cos2 40  ...  cos21800 . Câu 7: (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; 2  và B  4;3 . Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoành sao cho góc bằng 450 .   Câu 8: (2 điểm) Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC ,  2   4  CN  CA , AP  AB . Tìm k để AM vuông góc với PN . 3 15 …………………Hết………………… Họ và tên thí sinh:……………………………..…………Số báo danh:………………. ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Năm học 2017 – 2018 Môn thi: Toán – Lớp 10 (Thời gian làm bài: 150 phút) CỤM TÂN YÊN Câu Nội dung 2 1 Cho phương trình x  2 x  3m  4  0 (m là tham số). Điểm a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm. b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 x2 2  x12  x2 2  4 . c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng thuộc đoạn  3;4 . a) Để phương trình có hai nghiệm thì 12  (3m  4)  0 1 1 b) 5  m  . KL 3 x  x  2 (Không có bước này không trừ điểm) Khi m  5 thì  1 2 3 x x  3 m  4  1 2 0.5 x12 x2 2  x12  x2 2  4  (3m  4)2  (2)2  2(3m  4)  4 1  9m2  18m  0  m   0;2 c) Kết hợp với m  5 được m  0; 5  . KL 3  3 2 Nghiệm của pt x  2 x  3m  4  0 là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  x 2  2 x và y  3m  4 Vẽ bảng biến thiên của hàm số y  x 2  2 x trên đoạn  3;4 . Từ bảng biến thiên để phương trình x 2  2 x  3m  4  0 có hai nghiệm phân biệt cùng thuộc đoạn  3;4 thì 1  3m  4  3 . 0.5 0.5 0.5 0.5 1 5   m   ;  . KL 3 3  2 0.5 Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): x 2  2  m  1 x  m3   m  1  0 2 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2  4 . Tìm giá trị lớn nhất và 3 3 giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P  x1  x2  x1 x2  3 x1  3x2  8  . Trước hết xét biệt thức  '   m  1   m3   m  1   m3  4m  m  m  2  m  2  .   Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 nên  '  0  m  m  2  m  2   0. 2 2 (1) Khi đó, theo Vi-ét ta có x1  x2   b  2  m  1 với điều kiện 2  m  1  4 a 0,5 (2) và x1 x2  c 2  m3   m  1 . Điều kiện (1) và (2) giải được 2  m  0 hoặc 2  m  3. a Như vậy x13  x23   x1  x2   3 x1 x2  x1  x2  nên biểu thức 3 3 3 2 P   x1  x2   8 x1 x2   2  m  1   8  m3   m  1   16m2  40m.   Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  m   16m 2  40m với m   2;0   2;3. Ta lập bảng biến thiên của hàm số P  m   16m 2  40m với m   2;0   2;3. m  2 0 5 4 0 P  m 3 2 16 144 Giải phương trình 3 0,5 24 Từ đó ta kết luận được: Giá trị lớn nhất của biểu thức P  16 khi m  2 , Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  144 khi m  2 . 3  0,5 81x  8  x 3  2 x 2  0,5 4 x2; 3  x   3 2  46  2  46  x   PT đã cho tương dương với 3. 3 3  x    3  27  3  27  2  46  3u  v3  u  x  3    27 Đặt  ta có hệ:  v  3 3  x  2   46  3 3u  46 3v  u 3  46     27 3  27 27  0.5 Trừ hai phương trình cho nhau theo từng vế ta có: u  v  0, 1 3  u  v    v  u  v 2  uv  u 2   2 2 v  uv  u  3,  2  Dễ thấy v 2  uv  u 2  0 nên (2) vô nghiệm. 8 2 5 1  u  v  3 3x   x   x3  2 x 2  x  0 27 3 3 x  0 và kết luận.  x  3  2 6  3   0,5 0.5 0.5 4  x2  y 2  2 y  6  2 2 y  3  0 Giải hệ phương trình  (1) 2 2 2 2 ( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  2 (2) . ĐKXĐ: y  1,5 . (2)  x3  y 3  3 x  3 y  3  x 2  y 2   2   x  1   y  1  x  1  y  1  y  x  2 3 3 1 Thay vào pt thứ nhất ta được: 2 2  2x 1  1  x 1  1  x  3x  1   2 x  1   x     2 x  1     2  2   2 x  1  x 2 (Có thể bình phương được pt:  x  12 ( x 2  4 x  2)  0 ) Giải hai pt này ta được x  1, x  2  2 Vậy hệ có hai nghiệm là  x; y   1; 1 ,  2  2,  2  . 5 0.5 0.5 Cho các số dương a, b, c có a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a a b b c c .   2c  a  b 2a  b  c 2b  c  a 1 1 a a a3 a3 a3 c3 c3 )   (   8 16 2c  a  b c  ( a  b  c) 2 c  3 c3 a3 a 3 c  3 c  3 3a c  3    16 4 16 c3 c3 8 a a 3a c  3 Suy ra:   16 2c  a  b 4 1  33 2 Tương tự 3b a  3 và b b   16 2a  b  c 4 0.5 3c b  3 c c   16 2b  a  c 4 Cộng các vế tương ứng của ba BĐT cùng chiều ta được P  3 , 6 3 P  khi a=b=c=1. KL 2 Tính P=cos2 00  cos 210  cos 2 20  cos 2 30  cos 2 40  ...  cos 21800 . 2 0.5 cos00 =-cos1800  cos2 00 =cos 21800 . … cos890 =-cos910  cos 2 890 =cos 2 910 . 0,5  P=2cos 2 00  2(cos 210  cos 2 20  cos 2 30  cos 2 40  ...  cos 2 890 )  cos 2 900 =2  2(cos 210  cos2 20  cos2 30  cos2 40  ...  cos2 890 ) 0,5 cos890 =sin10  cos 2 890 =sin 210 . … 0,5 cos46 =sin44  cos 46 =sin 44 .  P=2  2(cos 210  sin 210  cos 2 20  sin 2 20  ...  cos 2 440  sin 2 440  cos 2 450 ) 0 0 2 0 2 0 =2  2(44  cos2 450 )  91 0,5 KL 7 A 1; 2  và B  4;3 . Tìm M nằm trên trục hoành sao cho góc bằng 450 . 0.5 Điểm M mằm trên trục hoành nên gọi M(m;0) ,   MA  (1  m;2) , MB  (4  m;3) (1  m)(4  m)  2.3 cos450  0.5 (1  m)2  22 (4  m)2  32 1  m4  10m3  44m2  110m  75  0  (m2  6m  5)(m2  4m  15)  0 m=1 hoặc m=5 . KL: M(1;0) hoặc M(5;0) 8   Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC ,  2   4  CN  CA , AP  AB . Tìm k để AM vuông góc với PN . 15 3       +) BM  k BC  AM  AB  k ( AC  AB)     AM  (1  k ) AB  k AC . A P N    4  1  +) PN  AN  AP   AB  AC 15 3   Để AM vuông góc với PN thì AM .PN  0 0.5 B    4  1    (1  k ) AB  k AC    AB  AC   0 3  15  4(1  k ) k 1  k 4k   AB 2  AC 2  (  ) AB AC  0 15 3 3 15 4(1  k ) k 1  k 4k   (  )cos600  0 15 3 3 15 1 k 3 M C 0.5  KL: k  1 3 1