Tài liệu đề thi chính thức môn toán ab 2007-2015

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi: TOÁN, khối A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m (1), m là tham số. x+2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = −1 . 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. Cho hàm số y = Câu II (2 điểm) ( ) ( ) 1. Giải phương trình: 1 + sin 2 x cos x + 1 + cos 2 x sin x = 1 + sin 2x. 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1. Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ⎧ x = −1 + 2t x y −1 z + 2 ⎪ d1 : = = và d 2 : ⎨ y = 1 + t 2 −1 1 ⎪z = 3. ⎩ 1. Chứng minh rằng d1 và d 2 chéo nhau. 2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P ) : 7x + y − 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 . Câu IV (2 điểm) 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = ( e + 1) x, y = 1 + e x x. ( ) 2. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x 2 (y + z) y 2 (z + x) z 2 (x + y) + + ⋅ P= y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ được chọn làm câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(−2; −2) và C(4; −2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. 1 1 1 1 2n −1 22n − 1 2. Chứng minh rằng: C12n + C32n + C52n + ... + C2n = 2 4 6 2n 2n + 1 k ( n là số nguyên dương, Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử). Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm) 1. Giải bất phương trình: 2 log 3 (4x − 3) + log 1 (2x + 3) ≤ 2. 3 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. ---------------------------Hết--------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………..……………………………số báo danh: ………………………………. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi: TOÁN, khối B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I. (2 điểm) Cho hàm số: y = − x 3 + 3x 2 + 3(m 2 − 1)x − 3m 2 − 1 (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O. Câu II. (2 điểm) 1. Giải phương trình: 2sin 2 2x + sin 7x − 1 = sin x. 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x 2 + 2x − 8 = m ( x − 2 ) . Câu III. (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu mặt phẳng ( P ) : 2x − y + 2z − 14 = 0. (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0 và 1. Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa trục Ox và cắt ( S ) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu ( S ) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P ) lớn nhất. Câu IV. (2 điểm) 1. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y = x ln x, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. 2. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ⎛x 1 ⎞ ⎛y 1 ⎞ ⎛z 1 ⎞ P = x ⎜ + ⎟ + y ⎜ + ⎟ + z ⎜ + ⎟. ⎝ 2 zx ⎠ ⎝ 2 xy ⎠ ⎝ 2 yz ⎠ PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chỉ được chọn làm một trong hai câu: V.a hoặc V.b) Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 điểm) 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niutơn của (2 + x) n , biết: 3n C0n − 3n −1 C1n + 3n − 2 Cn2 − 3n −3 C3n + ... + ( −1) Cnn = 2048 n (n là số nguyên dương, C kn là số tổ hợp chập k của n phần tử). 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A ( 2; 2 ) và các đường thẳng: d1: x + y – 2 = 0, d2: x + y – 8 = 0. Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) ( x 2 −1 + ) x 2 + 1 − 2 2 = 0. 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. ---------------------------Hết--------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………..……………………………Số báo danh: ………………………………. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi: TOÁN, khối A Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) mx 2 + (3m 2 − 2)x − 2 Cho hàm số y = (1), với m là tham số thực. x + 3m 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 . 2. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45o. Câu II (2 điểm) 1 1 ⎛ 7π ⎞ + = 4s in ⎜ − x ⎟ . 1. Giải phương trình 3π ⎞ s inx ⎛ ⎝ 4 ⎠ sin ⎜ x − ⎟ 2 ⎝ ⎠ 5 ⎧ 2 3 2 ⎪⎪ x + y + x y + xy + xy = − 4 2. Giải hệ phương trình ⎨ ( x, y ∈ \ ) . ⎪ x 4 + y 2 + xy(1 + 2x) = − 5 ⎪⎩ 4 Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 2;5;3) và đường thẳng x −1 y z − 2 = = . 2 1 2 1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d. 2. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất. Câu IV (2 điểm) d: π 6 tg 4 x dx. cos 2x 0 2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt : 4 2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m (m ∈ \). 1. Tính tích phân I = ∫ PHẦN RIÊNG __________ Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b __________ Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elíp (E) biết rằng 5 (E) có tâm sai bằng và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20. 3 n 2. Cho khai triển (1 + 2x ) = a 0 + a1x + ... + a n x n , trong đó n ∈ `* và các hệ số a 0 , a1 ,..., a n a1 a + ... + nn = 4096. Tìm số lớn nhất trong các số a 0 , a1 ,..., a n . 2 2 Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm) 1. Giải phương trình log 2x −1 (2x 2 + x − 1) + log x +1 (2x − 1) 2 = 4. 2. Cho lăng trụ ABC.A 'B 'C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A ' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A '.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA ' , B 'C ' . thỏa mãn hệ thức a 0 + ...........................Hết........................... Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:........................................................ Số báo danh:............................................... ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi: TOÁN, khối B Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = 4x 3 − 6x 2 + 1 (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M ( −1; − 9 ) . Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình sin 3 x − 3cos3 x = s inxcos 2 x − 3sin 2 xcosx. 4 3 2 2 ⎪⎧ x + 2x y + x y = 2x + 9 2. Giải hệ phương trình ⎨ 2 ( x, y ∈ \ ) . ⎪⎩ x + 2xy = 6x + 6 Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 0;1; 2 ) , B ( 2; − 2;1) , C ( −2;0;1) . 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. 2. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z − 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. Câu IV (2 điểm) π π⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟ dx 4 4⎠ ⎝ 1. Tính tích phân I = ∫ . sin 2x + 2(1 + sin x + cos x) 0 2. Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x 2 + y 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2(x 2 + 6xy) . 1 + 2xy + 2y 2 PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) n +1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 k 1. Chứng minh rằng ⎜ k + k +1 ⎟ = k (n, k là các số nguyên dương, k ≤ n, C n là n + 2 ⎝ Cn +1 Cn +1 ⎠ Cn số tổ hợp chập k của n phần tử). 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(−1; − 1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y − 1 = 0. Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm) ⎛ x2 + x ⎞ 1. Giải bất phương trình log 0,7 ⎜ log 6 ⎟ < 0. x+4 ⎠ ⎝ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. ...........................Hết........................... Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:........................................................ Số báo danh:............................................. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm): Câu I (2,0 điểm) x+2 Cho hàm số y = (1). 2x + 3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A , B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O. Câu II (2,0 điểm) (1 − 2sin x ) cos x = 3. 1. Giải phương trình (1 + 2sin x )(1 − sin x ) 2. Giải phương trình 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 ( x ∈ \ ) . Câu III (1,0 điểm) π 2 Tính tích phân I = ∫ ( cos3 x − 1) cos 2 x dx . 0 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a , CD = a; góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 60D. Gọi I là trung điểm của cạnh AD . Biết hai mặt phẳng SBI ( ) ( ) ( ) và ( SCI ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a. Câu V (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x ( x + y + z ) = 3 yz , ta có: ( x + y) + ( x + z) + 3 ( x + y )( x + z )( y + z ) ≤ 5 ( y + z ) . PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6;2) là giao điểm của hai đường 3 3 3 chéo AC và BD . Điểm M (1;5 ) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng Δ : x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB . 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (S ) : x ( P ) : 2 x − 2 y − z − 4 = 0 và phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) mặt cầu + y + z − 2 x − 4 y − 6 z − 11 = 0. Chứng minh rằng mặt đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó. Câu VII.a (1,0 điểm) 2 2 2 theo một 2 2 Gọi z1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0 . Tính giá trị của biểu thức A = z1 + z2 . B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 4 x + 4 y + 6 = 0 và đường thẳng Δ : x + my − 2m + 3 = 0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn ( C ) . Tìm m để Δ cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 1 = 0 và hai đường thẳng x +1 y z + 9 x −1 y − 3 z +1 = = = = , Δ2 : . Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng Δ1 sao cho −2 1 1 6 2 1 khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P ) bằng nhau. Câu VII.b (1,0 điểm) ⎧⎪log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy ) Giải hệ phương trình ⎨ 2 ( x, y ∈ \ ) . 2 ⎪⎩3x − xy + y = 81 ---------- Hết ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Δ1 : Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh................................ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC Môn: TOÁN; Khối: B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Với các giá trị nào của m, phương trình x 2 | x 2 − 2 | = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ? Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3x = 2(cos 4 x + sin 3 x). ⎧ xy + x + 1 = 7 y ( x, y ∈ \). 2. Giải hệ phương trình ⎨ 2 2 2 ⎩ x y + xy + 1 = 13 y Câu III (1,0 điểm) 3 3 + ln x Tính tích phân I = ∫ dx. ( x + 1) 2 1 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC . A ' B ' C ' có BB ' = a, góc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng ( ABC) bằng n = 60D. Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên mặt phẳng ( ABC ) 60D ; tam giác ABC vuông tại C và BAC trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a. Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn ( x + y )3 + 4 xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1 . PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 4 và hai đường thẳng Δ1 : x − y = 0, 5 Δ 2 : x − 7 y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1 ); biết đường tròn (C1 ) tiếp xúc với các đường thẳng Δ1 , Δ 2 và tâm K thuộc đường tròn (C ). 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B (−2;1;3), C (2; −1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến ( P ) bằng khoảng cách từ D đến ( P ). Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thoả mãn: z − (2 + i ) = 10 và z.z = 25. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(−1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng Δ : x − y − 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 và hai điểm A(−3;0;1), B(1; −1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với ( P ), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. Câu VII.b (1,0 điểm) x2 − 1 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm phân biệt x A, B sao cho AB = 4. ---------- Hết ---------1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x − 2) 2 + y 2 = Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC Môn: TOÁN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m (1), m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện x12 + x22 + x32 < 4. Câu II (2,0 điểm) π⎞ ⎛ (1 + sin x + cos 2 x) sin ⎜ x + ⎟ 1 4⎠ ⎝ = 1. Giải phương trình cos x . 1 + tan x 2 2. Giải bất phương trình x− 1− x 2 2( x − x + 1) ≥ 1. 1 x2 + e x + 2 x2e x ∫0 1 + 2e x dx . Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. ⎧⎪(4 x 2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 (x, y ∈ R). Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ 2 2 + + − = 4 x y 2 3 4 x 7 ⎪⎩ II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3 x + y = 0 và d2: 3 x − y = 0 . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết 3 và điểm A có hoành độ dương. phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 2 x −1 y z + 2 = = và mặt phẳng (P): x − 2y + z = 0. 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: −1 2 1 Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 6 . Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm phần ảo của số phức z, biết z = ( 2 + i ) 2 (1 − 2 i ) . B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. x+2 y−2 z +3 = = 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng ∆: . Tính 2 3 2 khoảng cách từ A đến ∆. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8. (1 − 3i )3 Câu VII.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z = . Tìm môđun của số phức z + i z. 1− i ----------- Hết ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh................................ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC Môn: TOÁN; Khối: B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x +1 Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = . x +1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ). Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình (sin 2 x + cos 2 x) cos x + 2 cos 2 x − sin x = 0 . 2. Giải phương trình 3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14 x − 8 = 0 (x ∈ R). e Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ln x ∫ x ( 2 + ln x )2 dx . 1 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BC ) và ( ABC ) bằng 60o . Gọi G là trọng tâm tam giác A ' BC . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 3( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 3(ab + bc + ca ) + 2 a 2 + b 2 + c 2 . PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(− 4; 1), phân giác trong góc A có phương trình x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y − z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng 1 (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng . 3 Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z − i = (1 + i ) z . B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) x2 y2 + = 1 . Gọi F1 và F2 là các 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 3 ) và elip (E): 3 2 tiêu điểm của (E) (F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2. x y −1 z 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: = = . Xác định tọa độ điểm M trên 2 1 2 trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến Δ bằng OM. ⎧⎪log 2 (3 y − 1) = x Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ x (x, y ∈ R). x 2 ⎪⎩4 + 2 = 3 y ---------- Hết ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: .............................................; Số báo danh: ................................... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) −x + 1 Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = . 2x − 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất. Câu II (2,0 điểm) 1 + sin 2 x + cos 2 x = 2 sin x sin 2 x. 1. Giải phương trình 1 + cot 2 x 2 2 3 ⎪⎧5 x y − 4 xy + 3 y − 2( x + y ) = 0 ( x, y ∈ \). 2. Giải hệ phương trình ⎨ 2 2 2 ⎪⎩ xy ( x + y ) + 2 = ( x + y ) π Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = 4 ∫ 0 x sin x + ( x + 1) cos x dx. x sin x + cos x Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của x y z biểu thức P = + + . y+z z+x 2x + 3 y PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + 2 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) và mặt phẳng ( P) : 2 x − y − z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3. 2 Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tất cả các số phức z, biết: z 2 = z + z. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) x2 y2 + = 1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ): 4 1 (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 4 y − 4 z = 0 và điểm A(4; 4; 0) . Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều. Câu VII.b (1,0 điểm) Tính môđun của số phức z, biết: (2 z − 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i ) = 2 − 2i . ----------- Hết ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối: B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 4 − 2(m + 1) x 2 + m (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx. 2. Giải phương trình 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x 2 = 10 − 3 x ( x ∈ \). π Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = 3 1 + x sin x dx. cos 2 x 0 ∫ Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 60o. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a. Câu V (1,0 điểm) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2). ⎛ a 3 b3 ⎞ ⎛ a 2 b2 ⎞ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4 ⎜ 3 + 3 ⎟ − 9 ⎜ 2 + 2 ⎟ ⋅ a ⎠ a ⎠ ⎝b ⎝b PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆: x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8. x − 2 y +1 z 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ : và mặt = = 1 −2 −1 phẳng (P): x + y + z – 3 = 0. Gọi I là giao điểm của ∆ và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với ∆ và MI = 4 14. 5+i 3 Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z, biết: z − − 1 = 0. z B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) ⎛1 ⎞ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B ⎜ ; 1⎟ . Đường tròn nội tiếp ⎝2 ⎠ tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho D (3; 1) và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương. x + 2 y −1 z + 5 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: và hai = = −2 1 3 điểm A(– 2; 1; 1), B(– 3; – 1; 2). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5. B B 3 ⎛1+ i 3 ⎞ Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 1+ i ⎠ ----------- Hết ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối A và khối A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x 4 − 2( m + 1) x 2 + m 2 (1), với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0. b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 3 sin 2 x + cos 2 x = 2 cos x − 1. ⎧ x3 − 3 x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 − 9 y ⎪ ( x, y ∈ \). Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình ⎨ 2 1 2 x + y − x + y = ⎪ 2 ⎩ 3 1 + ln( x + 1) dx. 2 x 1 Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2 HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực x, y , z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫ P = 3 | x− y | + 3 | y − z | + 3 | z − x | − 6 x 2 + 6 y 2 + 6 z 2 . II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm 11 1 của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2 ND. Giả sử M và đường thẳng AN có ; 2 2 phương trình 2 x − y − 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A. x +1 y z − 2 Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và = = 1 2 1 điểm I (0; 0;3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I. Câu 9.a (1,0 điểm). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn −1 = Cn3 . Tìm số hạng chứa x 5 trong khai ( ( ) ) n nx 2 1 − , x ≠ 0. triển nhị thức Niu-tơn của 14 x B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ): x 2 + y 2 = 8. Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông. x +1 y z − 2 Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : , mặt = = 2 1 1 phẳng ( P ): x + y − 2 z + 5 = 0 và điểm A(1; −1; 2). Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. 5( z + i ) Câu 9.b (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn = 2 − i. Tính môđun của số phức w = 1 + z + z 2 . z +1 ---------- HẾT ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:....................................................................; Số báo danh: .............................................. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3m3 (1), m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 2(cos x + 3 sin x) cos x = cos x − 3 sin x + 1. Câu 3 (1,0 điểm). Giải bất phương trình x + 1 + x 2 − 4 x + 1 ≥ 3 x . 1 Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫ 0 x3 x 4 + 3x2 + 2 dx. Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a. Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x 2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x5 + y5 + z 5 . II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn (C1 ): x 2 + y 2 = 4, (C2 ): x 2 + y 2 − 12 x + 18 = 0 và đường thẳng d : x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2 ), tiếp xúc với d và cắt (C1 ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d. x −1 y z và hai = = 2 1 −2 điểm A(2;1; 0), B (−2;3; 2). Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d. Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Câu 9.a (1,0 điểm). Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ. B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2 BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình x 2 + y 2 = 4. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi. Biết A thuộc Ox. Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0; 0;3), M (1; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM. Câu 9.b (1,0 điểm). Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 2 3 i z − 4 = 0. Viết dạng lượng giác của z1 và z2. ---------- HẾT ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ................................................................... ; Số báo danh:............................................. . BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO −−−−−−−−−− ÑEÀ CHÍNH THÖÙC ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC NAÊM 2013 Moân: TOAÙN; Khoái A vaø khoái A1 Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà −−−−−−−−−−−−−−−−−−− I. PHAÀN CHUNG CHO TAÁT CAÛ THÍ SINH (7,0 ñieåm) Caâu 1 (2,0 ñieåm). Cho haøm soá y = −x3 + 3x2 + 3mx − 1 (1), vôùi m laø tham soá thöïc. a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = 0. b) Tìm m ñeå haøm soá (1) nghòch bieán treân khoaûng (0; + ∞).  √ π Caâu 2 (1,0 ñieåm). Giaûi phöông trình 1 + tan x = 2 2 sin x + . 4 ( √ p √ x + 1 + 4 x − 1 − y4 + 2 = y Caâu 3 (1,0 ñieåm). Giaûi heä phöông trình x2 + 2x(y − 1) + y 2 − 6y + 1 = 0 Caâu 4 (1,0 ñieåm). Tính tích phaân I= Z2 (x, y ∈ R). x2 − 1 ln x dx. x2 1 [ = 30◦ , SBC laø Caâu 5 (1,0 ñieåm). Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng taïi A, ABC tam giaùc ñeàu caïnh a vaø maët beân SBC vuoâng goùc vôùi ñaùy. Tính theo a theå tích cuûa khoái choùp S.ABC vaø khoaûng caùch töø ñieåm C ñeán maët phaúng (SAB). Caâu 6 (1,0 ñieåm). Cho caùc soá thöïc döông a, b, c thoûa maõ√ n ñieàu kieän (a + c)(b + c) = 4c2 . Tìm giaù trò 32a3 32b3 a 2 + b2 nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc P = + − . (b + 3c)3 (a + 3c)3 c II. PHAÀN RIEÂNG (3,0 ñieåm): Thí sinh chæ ñöôïc laøm moät trong hai phaàn (phaàn A hoaëc phaàn B) A. Theo chöông trình Chuaån Caâu 7.a (1,0 ñieåm). Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hình chöõ nhaät ABCD coù ñieåm C thuoäc ñöôøng thaúng d : 2x + y + 5 = 0 vaø A(−4; 8). Goïi M laø ñieåm ñoái xöùng cuûa B qua C, N laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa B treân ñöôøng thaúng MD. Tìm toïa ñoä caùc ñieåm B vaø C, bieát raèng N(5; −4). x−6 y+1 z+2 Caâu 8.a (1,0 ñieåm). Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñöôøng thaúng ∆ : = = −3 −2 1 vaø ñieåm A(1; 7; 3). Vieát phöông trình maë t phaú n g (P ) ñi qua A vaø vuoâ n g goù c vôù i ∆. Tìm toï a ñoä ñieå m √ M thuoäc ∆ sao cho AM = 2 30. Caâu 9.a (1,0 ñieåm). Goïi S laø taäp hôïp taát caû caùc soá töï nhieân goàm ba chöõ soá phaân bieät ñöôïc choïn töø caùc chöõ soá 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xaùc ñònh soá phaàn töû cuûa S. Choïn ngaãu nhieân moät soá töø S, tính xaùc suaát ñeå soá ñöôïc choïn laø soá chaün. B. Theo chöông trình Naâng cao Caâu 7.b (1,0 ñieåm). Trong √ maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñöôøng thaúng√∆ : x − y = 0. Ñöôøng troøn (C) coù baùn kính R = 10 caét ∆ taïi hai ñieåm A vaø B sao cho AB = 4 2. Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi A vaø B caét nhau taïi moät ñieåm thuoäc tia Oy. Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C). Caâu 8.b (1,0 ñieåm). Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho maët phaúng (P ) : 2x + 3y + z − 11 = 0 vaø maët caàu (S) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 2z − 8 = 0. Chöùng minh (P ) tieáp xuùc vôùi (S). Tìm toïa ñoä tieáp ñieåm cuûa (P ) vaø (S). √ Caâu 9.b (1,0 ñieåm). Cho soá phöùc z = 1 + 3 i. Vieát daïng löôïng giaùc cuûa z. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc w = (1 + i)z5. −−−−−−Heát−−−−−− Thí sinh khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. Caùn boä coi thi khoâng giaûi thích gì theâm. Hoï vaø teân thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Soá baùo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO −−−−−−−−−− ÑEÀ CHÍNH THÖÙC ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC NAÊM 2013 Moân: TOAÙN; Khoái B Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà −−−−−−−−−−−−−−−−−−− I. PHAÀN CHUNG CHO TAÁT CAÛ THÍ SINH (7,0 ñieåm) Caâu 1 (2,0 ñieåm). Cho haøm soá y = 2x3 − 3(m + 1)x2 + 6mx (1), vôùi m laø tham soá thöïc. a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = −1. b) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) coù hai ñieåm cöïc trò A vaø B sao cho ñöôøng thaúng AB vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = x + 2. Caâu 2 (1,0 ñieåm). Giaûi phöông trình sin 5x + 2 cos2 x = 1. ( 2x2 + y 2 − 3xy + 3x − 2y + 1 = 0 Caâu 3 (1,0 ñieåm). Giaûi heä phöông trình (x, y ∈ R). √ √ 4x2 − y 2 + x + 4 = 2x + y + x + 4y Caâu 4 (1,0 ñieåm). Tính tích phaân Z1 √ I = x 2 − x2 dx. 0 Caâu 5 (1,0 ñieåm). Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu vaø naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy. Tính theo a theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD vaø khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán maët phaúng (SCD). Caâu 6 (1,0 ñieåm). Cho a, b, c laø caùc soá thöïc döông. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc 4 9 p P =√ − . a 2 + b 2 + c2 + 4 (a + b) (a + 2c)(b + 2c) II. PHAÀN RIEÂNG (3,0 ñieåm): Thí sinh chæ ñöôïc laøm moät trong hai phaàn (phaàn A hoaëc phaàn B) A. Theo chöông trình Chuaån Caâu 7.a (1,0 ñieåm). Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hình thang caân ABCD coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau vaø AD = 3BC. Ñöôøng thaúng BD coù phöông trình x + 2y − 6 = 0 vaø tam giaùc ABD coù tröïc taâm laø H(−3; 2). Tìm toïa ñoä caùc ñænh C vaø D. Caâu 8.a (1,0 ñieåm). Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(3; 5; 0) vaø maët phaúng (P ) : 2x + 3y − z − 7 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi (P ). Tìm toïa ñoä ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua (P ). Caâu 9.a (1,0 ñieåm). Coù hai chieác hoäp chöùa bi. Hoäp thöù nhaát chöùa 4 vieân bi ñoû vaø 3 vieân bi traéng, hoäp thöù hai chöùa 2 vieân bi ñoû vaø 4 vieân bi traéng. Laáy ngaãu nhieân töø moãi hoäp ra 1 vieân bi, tính xaùc suaát ñeå 2 vieân bi ñöôïc laáy ra coù cuøng maøu. B. Theo chöông trình Naâng cao Caâu 7.b (1,0 ñieåm). Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC coù chaân ñöôøng cao haï  17 1  töø ñænh A laø H ; − , chaân ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc A laø D(5; 3) vaø trung ñieåm cuûa caïnh 5 5 AB laø M(0; 1). Tìm toïa ñoä ñænh C. Caâu 8.b (1,0 ñieåm). Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho caùc ñieåm A(1; −1; 1), B(−1; 2; 3) vaø x+1 y−2 z −3 ñöôøng thaúng ∆ : = = . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua A, vuoâng goùc vôùi −2 1 3 hai ñöôøng thaúng AB vaø ∆. ( x2 + 2y = 4x − 1 Caâu 9.b (1,0 ñieåm). Giaûi heä phöông trình 2 log 3 (x − 1) − log√3(y + 1) = 0. −−−−−−Heát−−−−−− Thí sinh khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. Caùn boä coi thi khoâng giaûi thích gì theâm. Hoï vaø teân thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Soá baùo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO −−−−−−−−−− ÑEÀ CHÍNH THÖÙC Caâu 1 (2,0 ñieåm). Cho haøm soá y = ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC NAÊM 2014 Moân: TOAÙN; Khoái A vaø Khoái A1 Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà −−−−−−−−−−−−−−−−−−− x+2 x−1 (1). a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1). b) Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc (C) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán ñöôøng thaúng y = −x baèng Caâu 2 (1,0 ñieåm). Giaûi phöông trình √ 2. sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x. Caâu 3 (1,0 ñieåm). Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong y = x2 − x + 3 vaø ñöôøng thaúng y = 2x + 1. Caâu 4 (1,0 ñieåm). a) Cho soá phöùc z thoûa maõn ñieàu kieän z + (2 + i) z = 3 + 5i. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa z. b) Töø moät hoäp chöùa 16 theû ñöôïc ñaùnh soá töø 1 ñeán 16, choïn ngaãu nhieân 4 theû. Tính xaùc suaát ñeå 4 theû ñöôïc choïn ñeàu ñöôïc ñaùnh soá chaün. Caâu 5 (1,0 ñieåm). Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho maët phaúng (P ) : 2x+y −2z −1 = 0 y z+3 x−2 = = . Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa d vaø (P ). Vieát phöông vaø ñöôøng thaúng d : 1 −2 3 trình maët phaúng chöùa d vaø vuoâng goùc vôùi (P ). 3a , 2 hình chieáu vuoâng goùc cuûa S treân maët phaúng (ABCD) laø trung ñieåm cuûa caïnh AB. Tính theo a theå tích khoái choùp S.ABCD vaø khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SBD). Caâu 6 (1,0 ñieåm). Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SD = Caâu 7 (1,0 ñieåm). Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hình vuoâng ABCD coù ñieåm M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB vaø N laø ñieåm thuoäc ñoaïn AC sao cho AN = 3NC. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng CD, bieát raèng M(1; 2) vaø N(2; −1). ( √ p x 12 − y + y(12 − x2 ) = 12 Caâu 8 (1,0 ñieåm). Giaûi heä phöông trình (x, y ∈ R). √ x3 − 8x − 1 = 2 y − 2 Caâu 9 (1,0 ñieåm). Cho x, y, z laø caùc soá thöïc khoâng aâm vaø thoûa maõn ñieàu kieän x2 + y 2 + z 2 = 2. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc P = x2 y+z 1 + yz + − . x2 + yz + x + 1 x + y + z + 1 9 −−−−−−Heát−−−−−− Thí sinh khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. Caùn boä coi thi khoâng giaûi thích gì theâm. Hoï vaø teân thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Soá baùo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO −−−−−−−−− − ÑEÀ CHÍNH THÖÙC ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC NAÊM 2014 Moân: TOAÙN; Khoái B Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Caâu 1 (2,0 ñieåm). Cho haøm soá y = x 3 − 3mx + 1 (1), vôùi m laø tham soá thöïc. a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = 1. b) Cho ñieåm A(2; 3). Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) coù hai ñieåm cöïc trò B vaø C sao cho tam giaùc ABC caân taïi A. √ Caâu 2 (1,0 ñieåm). Giaûi phöông trình 2(sin x − 2 cos x) = 2 − sin 2x. Z2 2 x + 3x + 1 Caâu 3 (1,0 ñieåm). Tính tích phaân I = dx. x2 + x 1 Caâu 4 (1,0 ñieåm). a) Cho soá phöùc z thoûa maõn ñieàu kieän 2z + 3(1 − i) z = 1 − 9i. Tính moâñun cuûa z. b) Ñeå kieåm tra chaát löôïng saûn phaåm töø moät coâng ty söõa, ngöôøi ta ñaõ göûi ñeán boä phaän kieåm nghieäm 5 hoäp söõa cam, 4 hoäp söõa daâu vaø 3 hoäp söõa nho. Boä phaän kieåm nghieäm choïn ngaãu nhieân 3 hoäp söõa ñeå phaân tích maãu. Tính xaùc suaát ñeå 3 hoäp söõa ñöôïc choïn coù caû 3 loaïi. Caâu 5 (1,0 ñieåm). Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(1; 0; −1) vaø ñöôøng y+1 z x−1 = = . Vieát phöông trình maët phaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi d. thaúng d : 2 2 −1 Tìm toïa ñoä hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân d. Caâu 6 (1,0 ñieåm). Cho laêng truï ABC.A 0 B 0 C 0 coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a. Hình chieáu vuoâng goùc cuûa A 0 treân maët phaúng (ABC) laø trung ñieåm cuûa caïnh AB, goùc giöõa ñöôøng thaúng A 0 C vaø maët ñaùy baèng 60 ◦ . Tính theo a theå tích cuûa khoái laêng truï ABC.A 0B 0 C 0 vaø khoaûng caùch töø ñieåm B ñeán maët phaúng (ACC 0 A0 ). Caâu 7 (1,0 ñieåm). Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hình bình haønh ABCD. Ñieåm M (−3; 0) laø trung ñieåm cuûa caïnh AB, ñieåm H(0; −1) laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa B treân 4  AD vaø ñieåm G ; 3 laø troïng taâm cuûa tam giaùc BCD. Tìm toïa ñoä caùc ñieåm B vaø D. 3 Caâu 8 (1,0 ñieåm). Giaûi heä phöông trình ( √ √ (1 − y) x − y + x = 2 + (x − y − 1) y (x, y ∈ R). √ √ 2y 2 − 3x + 6y + 1 = 2 x − 2y − 4x − 5y − 3 Caâu 9 (1,0 ñieåm). Cho caùc soá thöïc a, b, c khoâng aâm vaø thoûa maõn ñieàu kieän (a + b)c > 0. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc r r a b c P = + + . b+c a + c 2(a + b) −−−−− −Heát−−−−− − Thí sinh khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. Caùn boä coi thi khoâng giaûi thích gì theâm. Hoï vaø teân thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Soá baùo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007 Môn: TOÁN, khối A (Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I Nội dung 1 Điểm 2,00 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm) x2 − 3 1 Khi m = −1 ta có y = . = x −2+ x+2 x+2 • Tập xác định: D = \ \{−2} . • Sự biến thiên: ⎡ x = −3 1 x 2 + 4x + 3 , y' = 0 ⇔ ⎢ y ' = 1− = 2 2 (x + 2) (x + 2) ⎣ x = −1. Bảng biến thiên: x −∞ −3 −2 −1 y' + 0 − − −6 y 0 +∞ −∞ 0,25 +∞ + 0,25 +∞ −∞ −2 yCĐ = y ( −3) = −6, yCT = y ( −1) = −2. • Tiệm cận: Tiệm cận đứng x = − 2, tiệm cận xiên y = x − 2. • Đồ thị: 0,25 y − 3 −2 −1 O x −2 −6 2 0,25 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và … (1,00 điểm) x 2 + 4x + 4 − m 2 . y' = 2 ( x + 2) Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu ⇔ g ( x ) = x 2 + 4x + 4 − m 2 có 2 nghiệm ⎧⎪∆ ' = 4 − 4 + m2 > 0 ⇔ m ≠ 0. phân biệt x ≠ −2 ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩g ( −2) = 4 − 8 + 4 − m ≠ 0 1/4 0,50 Gọi A, B là các điểm cực trị ⇒ A ( −2 − m; − 2 ) , B ( −2 + m; 4m − 2 ) . JJJG G JJJG G Do OA = ( − m − 2; − 2 ) ≠ 0 , OB = ( m − 2; 4m − 2 ) ≠ 0 nên ba điểm O, A, B JJJG JJJG tạo thành tam giác vuông tại O ⇔ OA.OB = 0 ⇔ − m 2 − 8m + 8 = 0 0,50 ⇔ m = −4 ± 2 6 (thỏa mãn m ≠ 0). Vậy giá trị m cần tìm là: m = −4 ± 2 6 . II 2,00 1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) Phương trình đã cho ⇔ (sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)2 ⇔ (sinx + cosx)(1−sinx)(1−cosx) = 0. 0,50 π π + kπ, x = + k2π, x = k2π (k ∈ Z ). 4 2 Tìm m để phương trình có nghiệm (1,00 điểm) x −1 x −1 + 24 = m (1). Điều kiện: x ≥ 1 . Phương trình đã cho ⇔ −3 x +1 x +1 ⇔ x=− 2 Đặt t = 4 0,50 0,50 x −1 , khi đó (1) trở thành −3t 2 + 2t = m (2). x +1 x −1 4 2 = 1− và x ≥ 1 nên 0 ≤ t < 1. x +1 x +1 Hàm số f (t) = −3t 2 + 2t, 0 ≤ t < 1 có bảng biến thiên: Vì t = 4 t 0 1/3 1 0,50 1/3 f(t) 0 -1 Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ∈ [0; 1) ⇔ −1 < m ≤ III 1 . 3 2,00 1 2 Chứng minh d1 và d2 chéo nhau (1,00 điểm) JJG +) d1 qua M(0; 1; −2), có véctơ chỉ phương u1 = (2; −1; 1), JJG d2 qua N(−1; 1; 3), có véctơ chỉ phương u 2 = (2; 1; 0). JJG JJG JJJJG +) [u1 , u 2 ] = (−1; 2; 4) và MN = (−1; 0; 5). JJG JJG JJJJG +) [u1 , u 2 ] . MN = 21 ≠ 0 ⇒ d1 và d2 chéo nhau. 0,25 0,50 0,25 Viết phương trình đường thẳng d (1,00 điểm) Giả sử d cắt d1 và d2 lần lượt tại A, B. Vì A ∈ d1, B ∈ d2 nên A(2s;1 − s; − 2 + s), B(−1 + 2t;1 + t;3). JJJG ⇒ AB = (2t − 2s − 1; t + s; − s + 5). G (P) có véctơ pháp tuyến = (7; 1; −G4). n JJJG AB ⊥ (P) ⇔ AB cùng phương với n ⎧s = 1 ⎧5t + 9s + 1 = 0 2t − 2s − 1 t + s −s + 5 ⇔ ⎨ = = ⇔ ⇔ ⎨ 7 1 −4 ⎩4t + 3s + 5 = 0 ⎩ t = −2 ⇒ A ( 2;0; − 1) , B ( −5; − 1;3) . Phương trình của d là: x − 2 y z +1 = = . 7 1 −4 2/4 0,25 0,25 0,25 0,25 IV 2,00 1 Tính diện tích hình phẳng (1,00 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là: (e + 1)x = (1 + ex)x ⇔ (ex − e)x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1. 1 Diện tích của hình phẳng cần tìm là: S = ∫ xe x 0 1 Ta có: e ∫ xdx = 0 2 e ex 2 1 = , 2 0 2 1 x x ∫ xe dx = xe 0 1 0 1 1 0 0 − ex dx = e ∫ xdx − ∫ xe x dx. 1 − ∫ e x dx = e − e x 0 1 = 1. 0 e Vậy S = − 1 (đvdt). 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của P (1,00 điểm) Ta có: x 2 (y + z) ≥ 2x x . Tương tự, y 2 (z + x) ≥ 2y y , z 2 (x + y) ≥ 2z z . ⇒ P≥ 0,25 0,25 0,50 0,25 2y y 2x x 2z z . + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y Đặt a = x x + 2y y , b = y y + 2z z , c = z z + 2x x . 4c + a − 2b 4a + b − 2c 4b + c − 2a Suy ra: x x = , y y= ,z z= . 9 9 9 0,25 2 ⎛ 4c + a − 2b 4a + b − 2c 4b + c − 2a ⎞ + + Do đó P ≥ ⎜ ⎟ 9⎝ b c a ⎠ = 2⎡ ⎛c a b⎞ ⎛a b c⎞ ⎤ 2 4 ⎜ + + ⎟ + ⎜ + + ⎟ − 6 ⎥ ≥ ( 4.3 + 3 − 6 ) = 2. ⎢ 9⎣ ⎝b c a⎠ ⎝b c a⎠ ⎦ 9 c a b ⎛c a⎞ ⎛b ⎞ a b + + = ⎜ + ⎟ + ⎜ + 1⎟ − 1 ≥ 2 +2 − 1 ≥ 4 − 1 = 3, b c a ⎝b c⎠ ⎝a ⎠ b a c a b a b c c a b hoặc + + ≥ 3 3 ⋅ ⋅ = 3. Tương tự, + + ≥ 3). b c a b c a b c a (Do Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2. V.a 1 Viết phương trình đường tròn (1,00 điểm) JJJG Ta có M(−1; 0), N(1; −2), AC = (4; − 4). Giả sử H(x, y). Ta có: JJJG JJJG ⎧⎪BH ⊥ AC ⎧x = 1 ⎧4(x + 2) − 4(y + 2) = 0 ⇔⎨ ⇒ H(1; 1). ⇔ ⎨ ⎨ ⎪⎩H ∈ AC ⎩y = 1 ⎩4x + 4(y − 2) = 0 Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là: x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 (1). Thay tọa độ của M, N, H vào (1) ta có hệ điều kiện: ⎧ 2a − c = 1 ⎪ ⎨ 2a − 4b + c = −5 ⎪ 2a + 2b + c = −2. ⎩ 1 ⎧ ⎪a = − 2 ⎪ 1 ⎪ ⇔ ⎨b = 2 ⎪ ⎪ c = −2. ⎪ ⎩ Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x 2 + y 2 − x + y − 2 = 0. 3/4 0,25 0,25 2,00 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Chứng minh công thức tổ hợp (1,00 điểm) Ta có: (1 + x ) 2n 2n 2n = C02n + C12n x + ... + C2n x , (1 − x ) ⇒ (1 + x ) − (1 − x ) 2n 1 ⇒ ∫ (1 + x ) 2n − (1 − x ) • ∫ (1 + x ) 2n ∫ (C 1 2n ) 0,50 1 2n − (1 − x ) 2 0 1 • ( 2n 2n = C02n − C12n x + ... + C2n x 2n −1 2n −1 = 2 C12n x + C32n x 3 + C52n x 5 + ... + C2n x . 2 0 1 2n 2n dx = ∫ (C 1 2n ) −1 2n −1 x + C32n x 3 + C52n x 5 + ... + C2n dx 2n x 0 2n dx = (1 + x ) 2n +1 + (1 − x ) 2n +1 2 ( 2n + 1) 1 0 = 22n − 1 (1) 2n + 1 ) −1 2n −1 x + C32n x 3 + C52n x 5 + ... + C2n dx 2n x 0 0,50 1 2n ⎛ ⎞ x2 x4 x6 −1 x . = ⎜ C12n . + C32n . + C52n . + ... + C2n ⎟ 2n 2 4 6 2n ⎠ 0 ⎝ 1 1 1 1 2n −1 C2n = C12n + C32n + C52n ... + (2). 2 4 6 2n Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. V.b 2,00 1 2 Giải bất phương trình logarit (1,00 điểm) 3 (4x − 3) 2 Điều kiện: x > . Bất phương trình đã cho ⇔ log 3 ≤2 4 2x + 3 ⇔ (4x − 3)2 ≤ 9(2x + 3) 3 ⇔ 16x2 − 42x −18 ≤ 0 ⇔ − ≤ x ≤ 3. 8 3 Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: < x ≤ 3. 4 Chứng minh AM ⊥ BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP (1,00 điểm) Gọi H là trung điểm của AD. S Do ∆SAD đều nên SH ⊥ AD. Do ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) nên SH ⊥ ( ABCD ) 0,25 0,25 0,25 M ⇒ SH ⊥ BP (1) . Xét hình vuông ABCD ta có ∆CDH = ∆BCP ⇒ CH ⊥ BP ( 2 ) . Từ (1) và (2) A suy ra BP ⊥ ( SHC ) . B 0,50 K H Vì MN // SC và AN // CH nên ( AMN ) // ( SHC ) . Suy ra BP ⊥ ( AMN ) ⇒ BP ⊥ AM. 0,25 N D P C 1 Kẻ MK ⊥ ( ABCD ) , K ∈ ( ABCD ) . Ta có: VCMNP = MK.SCNP . 3 2 1 a 3 1 a 3a 3 , SCNP = CN.CP = nên VCMNP = (đvtt). Vì MK = SH = 2 4 2 8 96 0,50 NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh− ®¸p ¸n quy ®Þnh. ----------------Hết---------------4/4