Tài liệu Chuyên đề tích phân nguyên hàm

Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng CHÖÔNG III NGUYEÂN HAØM, TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG I. NGUYEÂN HAØM 1. Khaùi nieäm nguyeân haøm · Cho haøm soá f xaùc ñònh treân K. Haøm soá F ñgl nguyeân haøm cuûa f treân K neáu: F '( x ) = f ( x ) , "x Î K · Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân K thì hoï nguyeân haøm cuûa f(x) treân K laø: ò f ( x )dx = F ( x ) + C , C Î R. · Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân K ñeàu coù nguyeân haøm treân K. 2. Tính chaát · ò f '( x )dx = f ( x ) + C · ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx · ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k ¹ 0) 3. Nguyeân haøm cuûa moät soá haøm soá thöôøng gaëp ax + C (0 < a ¹ 1) ln a · ò cos xdx = sin x + C · ò 0dx = C · ò a x dx = · ò dx = x + C · ò xa dx = · xa +1 + C, a +1 (a ¹ -1) · ò sin xdx = - cos x + C 1 ò x dx = ln x + C · ò e x dx = e x + C 1 sin(ax + b) + C (a ¹ 0) a 1 · ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C (a ¹ 0) a · ò cos(ax + b)dx = 1 dx = tan x + C cos2 x 1 · ò dx = - cot x + C sin 2 x 1 · ò eax + b dx = eax +b + C , (a ¹ 0) a 1 1 · ò dx = ln ax + b + C ax + b a · ò 4. Phöông phaùp tính nguyeân haøm a) Phöông phaùp ñoåi bieán soá Neáu ò f (u)du = F (u) + C vaø u = u( x ) coù ñaïo haøm lieân tuïc thì: ò f [u( x )] .u '( x )dx = F [ u( x )] + C b) Phöông phaùp tính nguyeân haøm töøng phaàn Neáu u, v laø hai haøm soá coù ñaïo haøm lieân tuïc treân K thì: ò udv = uv - ò vdu Trang 78 Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân VAÁN ÑEÀ 1: Tính nguyeân haøm baèng caùch söû duïng baûng nguyeân haøm Bieán ñoåi bieåu thöùc haøm soá ñeå söû duïng ñöôïc baûng caùc nguyeân haøm cô baûn. Chuù yù: Ñeå söû duïng phöông phaùp naøy caàn phaûi: – Naém vöõng baûng caùc nguyeân haøm. – Naém vöõng pheùp tính vi phaân. Baøi 1. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1 a) f ( x ) = x – 3 x + x 2 d) f ( x ) = ( x 2 - 1)2 x 2 g) f ( x ) = 2 sin 2 k) f ( x ) = b) f ( x ) = x 2 1 2x4 + 3 x 2 c) f ( x ) = x -1 x2 1 e) f ( x ) = x + 3 x + 4 x f) f ( x ) = h) f ( x ) = tan 2 x i) f ( x ) = cos2 x l) f ( x ) = x - 2 3 x cos 2 x m) f ( x ) = 2sin 3 x cos 2 x sin 2 x.cos2 x æ e- x ö x x( x ) o) f ( x ) = e çç 2 + p) f ( x ) = e3 x +1 n) f ( x ) = e e – 1 ÷ 2 ÷ cos x ø è Baøi 2. Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) thoaû ñieàu kieän cho tröôùc: sin 2 x.cos2 x a) f ( x ) = x 3 - 4 x + 5; c) f ( x ) = e) f (x )= 3 - 5x2 ; x x3 - 1 x2 ; g) f ( x ) = sin 2 x.cos x; i) f ( x ) = F (1) = 3 b) f ( x ) = 3 - 5 cos x; F ( e) = 1 d) f ( x ) = F (-2) = 0 f) f ( x ) = x x + æp ö F 'ç ÷ = 0 è3ø h) f ( x ) = x3 + 3x 3 + 3x - 7 2 ; F (0) = 8 x2 + 1 ; x F (p ) = 2 F (1) = 1 x ; 3x 4 - 2 x 3 + 5 x2 x k) f ( x ) == sin 2 ; 2 3 2 F (1) = -2 ; F (1) = 2 æp ö p Fç ÷ = è2ø 4 ( x + 1) Baøi 3. Cho haøm soá g(x). Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) thoaû ñieàu kieän cho tröôùc: æp ö a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x; Fç ÷ = 3 è2ø b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x; F (p ) = 0 c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x; F (2) = -2 Baøi 4. Chöùng minh F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x): ïì F ( x ) = (4 x - 5)e x ïì F ( x ) = tan 4 x + 3 x - 5 a) í b) í x 5 3 ïî f ( x ) = (4 x - 1)e ïî f ( x ) = 4 tan x + 4 tan x + 3 ì ì æ x2 + 4 ö x2 - x 2 + 1 F ( x ) = ln ï F ( x ) = ln çç ï ÷÷ ï ï x2 + x 2 + 1 è x2 + 3 ø c) í d) í 2 -2 x ï f (x) = ï f ( x ) = 2 2( x - 1) ïî ïî ( x 2 + 4)( x 2 + 3) x4 +1 Trang 79 Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng Baøi 5. Tìm ñieàu kieän ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x): ì F ( x ) = ln x 2 - mx + 5 ï b) í . Tìm m. 2x + 3 ï f (x) = 2 x + 3x + 5 î ìï F ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 - 4 x + 3 a) í . Tìm m. 2 ïî f ( x ) = 3 x + 10 x - 4 ìï F ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 - 4 x ìï F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x c) í . Tìm a, b, c. d) í . Tìm a, b, c. x ïî f ( x ) = ( x - 3)e ïî f ( x ) = ( x - 2) x 2 - 4 x ìï F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e-2 x ìï F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e- x f) e) í . Tìm a , b , c . . Tìm a, b, c. í -2 x 2 -x 2 ïî f ( x ) = -(2 x - 8x + 7)e ïî f ( x ) = ( x - 3 x + 2)e ì b c ï g) í F ( x ) = (a + 1)sin x + 2 sin 2 x + 3 sin 3 x . Tìm a, b, c. ïî f ( x ) = cos x ì F ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x - 3 ï h) í . Tìm a, b, c. 20 x 2 - 30 x + 7 f ( x ) = ï 2x - 3 î ò f ( x )dx baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá g [ u( x )] .u '( x ) thì ta ñaët t = u( x ) Þ dt = u '( x )dx . VAÁN ÑEÀ 2: Tính nguyeân haøm · Daïng 1: Neáu f(x) coù daïng: f(x) = Khi ñoù: ò f ( x )dx = ò g(t )dt , trong ñoù ò g(t )dt deã daøng tìm ñöôïc. Chuù yù: Sau khi tính ò g(t )dt theo t, ta phaûi thay laïi t = u(x). · Daïng 2: Thöôøng gaëp ôû caùc tröôøng hôïp sau: f(x) coù chöùa a2 - x 2 a2 + x 2 hoaëc hoaëc Caùch ñoåi bieán p p x = a sin t, - £t£ 2 2 x = a cos t , 0£t £p p p x = a tan t, - 0) -a a + 1 0 Ñeå chöùng minh tính chaát naøy, ta cuõng laøm töông töï nhö treân. a 0 a 0 a æ f ( x) f (x) f (x ) f ( x) f (x) ö çJ = ò I= ò dx = ò dx + ò dx dx; K = ò dx ÷ x x x x x ç ÷ a + 1 a + 1 a + 1 a + 1 a + 1 -a 0 -a -a 0 è ø Ñeå tính J ta cuõng ñaët: t = –x. ò x p 2 é pù Daïng 3. Neáu f(x) lieân tuïc treân ê 0; ú thì ë 2û ò f (sin x )dx = 0 p 2 ò f (cos x )dx 0 p -x 2 Daïng 4. Neáu f(x) lieân tuïc vaø f (a + b - x ) = f ( x ) hoaëc f (a + b - x ) = - f ( x ) thì ñaët: t=a+b–x Ñaëc bieät, neáu a + b = p thì ñaët t=p–x neáu a + b = 2p thì ñaët t = 2p – x Daïng 5. Tính tích phaân baèng caùch söû duïng nguyeân haøm phuï Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) ta caàn tìm moät haøm g(x) sao cho nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x) deã xaùc ñònh hôn so vôùi f(x). Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa f(x). Ta thöïc hieän caùc böôùc nhö sau: Böôùc 1: Tìm haøm g(x). Böôùc 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x), töùc laø: ì F ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1 (*) í F ( x ) - G( x ) = B( x ) + C 2 î Ñeå chöùng minh tính chaát naøy ta ñaët: Böôùc 3: Töø heä (*), ta suy ra F ( x ) = t= 1 [ A( x ) + B( x )] + C laø nguyeân haøm cuûa f(x). 2 Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau (daïng 1): a) p 4 7 5 x - x + x - x +1 ò p 4 1 4 cos x - d) ò 3 ( dx b) ) e) -1 g) ò p 2 5 sin x 1 + cos x dx cos x ln( x + 1 + x 2 )dx c) ò p 2 1 - ln x + 1 + x 2 dx p 2 p 2 h) ò x dx 4 - x2 + 1 xdx ò p 2 2 4 - sin x f) æ 1- x ö cos x.ln ç ÷dx è 1+ x ø 1 ò - -1 x p 2 1 2 2 1 ò -1 i) p 2 ò p 2 x 4 + sin x x2 + 1 dx x + cos x 4 - sin 2 x dx Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau (daïng 2): a) 1 x4 ò x dx -1 2 + 1 b) 1 ò 1 - x2 -1 1+ 2 x dx Trang 93 c) 1 ò -1 (e dx x + 1)( x 2 + 1) Nguyeân haøm – Tích phaân d) sin 2 x p ò -p p 2 g) ò x 3 +1 3 x2 +1 e) ò dx x -31 + 2 dx sin x sin 3 x cos 5 x 1 + ex p 2 Traàn Só Tuøng dx p 4 h) f) 6 6 sin x + cos x ò 6x + 1 p 4 dx 1 dx ò -1 (4 p 2 i) + 1)( x 2 + 1) x x 2 sin 2 x ò p 2 dx 1 + 2x Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau (daïng 3): p 2 a) ò 0 d) n cos x n n cos x + sin x p 2 sin 2009 p 2 dx (n Î N*) b) ò 0 7 sin x 7 sin x + cos x p 2 x 7 dx c) 4 cos x a) ò 0 d) g) x.sin x 4 - cos2 x b) dx ò ln(1 + tan x )dx 4 - sin 2 x 2p e) x h) ò 1 + sin x dx ò f) f) x sin x ò sin 4 x ln(1 + tan x )dx l) 0 ò 0 x sin x 2 9 + 4 cos x p 2 dx dx æ 1 + sin x ö ò ln çè 1 + cos x ÷ødx 0 i) ò 2 + cos x dx p cos4 x + sin 4 x 0 0 p 4 sin 4 x ò c) dx x.cos3 xdx 0 p 0 k) x + cos x ò 0 p 4 0 p p sin x + cos x p 2 0 p sin x ò 0 dx e) ò dx 4 4 sin 2009 x + cos 2009 x 0 cos x + sin x Baøi 4. Tính caùc tích phaân sau (daïng 4): ò p 2 p ò x.sin 0 p xdx x sin x ò 0 1 + cos m) dx 3 2 x dx p ò x sin x cos 4 xdx 0 Baøi 5. Tính caùc tích phaân sau (daïng 5): a) d) p 2 0 p 2 ò 0 g) b) cos x dx sin x + cos x p 2 ò 0 k) sin x ò sin x - cos x dx 6 sin x 6 6 sin x + cos x p 2 2 ò 2 cos e) dx x.sin 2 xdx h) n) ò -1 e ex x + e- x dx 0 p 2 ò o) sin 4 x sin 4 x + cos4 x p 2 ò 0 l) cos x 6 cos x 6 sin x + cos x 1 ò ex -1 e x 1 ò 6 - e- x dx e- x -1 e x + e- x dx Trang 94 p 2 c) ò sin x - cos x dx 0 0 1 p 2 dx f) 0 p 2 ò 0 dx i) sin x ò sin x + cos x dx cos4 x sin 4 x + cos4 x p 2 ò 2 sin 2 x.sin 2 xdx 0 m) 1 ò -1 e e- x x dx - e- x dx Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân VAÁN ÑEÀ 10: Thieát laäp coâng thöùc truy hoài b Giaû söû caàn tính tích phaân I n = ò f ( x , n)dx (n Î N) phuï thuoäc vaøo soá nguyeân döông n. Ta a thöôøng gaëp moät soá yeâu caàu sau: · Thieát laäp moät coâng thöùc truy hoài, töùc laø bieåu dieãn In theo caùc In-k (1 £ k £ n). · Chöùng minh moät coâng thöùc truy hoài cho tröôùc. · Tính moät giaù trò I n cuï theå naøo ñoù. 0 Baøi 1. Laäp coâng thöùc truy hoài cho caùc tích phaân sau: p 2 a) I n = ò sin n xdx 0 p 2 b) I n = ò cosn xdx 0 p 4 c) I n = ò tan n xdx n -1 ì · Ñaët íu = sin x îdv = sin x.dx n -1 ì · Ñaët íu = cos x îdv = cos x.dx · Phaân tích: tan n x = tan n -2 x ( tan 2 x + 1) - tan n -2 x 0 d) I n = p 2 n ò x cos x.dx 0 Jn = p 2 ò x n sin x.dx 0 1 n ì · Ñaët íu = x îdv = cos x.dx n ì · Ñaët íu = x îdv = sin x.dx ìïu = x n · Ñaët í x ïîdv = e .dx e) I n ò x n e x dx 0 e f) I n = ò ln n x.dx n ì · Ñaët íu = ln x îdv = dx g) I n = ò (1 - x 2 )n dx · Ñaët x = cos t 1 1 2n ì Ñaët íu = sin t îdv = sin t.dt ® 0 1 h) I n = ò dx 0 (1 + x 2 )n · Phaân tích 1 Tính Jn = ò 1 (1 + x 2 )n x2 0 (1 + 1 i) I n = ò x n 1 - x .dx 0 k) I n = p 4 ò 0 dx n cos x dx = x 2 )n 1 + x2 (1 + x 2 )n - x2 (1 + x 2 )n ìu = x ï x Ñaët í dv = dx 2 n ï (1 + x ) î dx . ìïu = x n · Ñaët í ïîdv = 1 - x .dx · Phaân tích 1 n cos x = Trang 95 cos x cos n +1 x ® Ñaët t = 1 cosn+1 x Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng III. ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN 1. Dieän tích hình phaúng · Dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: – Ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b]. – Truïc hoaønh. – Hai ñöôøng thaúng x = a, x = b. b S = ò f ( x ) dx laø: (1) a · Dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: – Ñoà thò cuûa caùc haøm soá y = f(x), y = g(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b]. – Hai ñöôøng thaúng x = a, x = b. b S = ò f ( x ) - g( x ) dx laø: (2) a Chuù yù: · Neáu treân ñoaïn [a; b], haøm soá f(x) khoâng ñoåi daáu thì: b ò f ( x ) dx = a b ò f ( x )dx a · Trong caùc coâng thöùc tính dieän tích ôû treân, caàn khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái cuûa haøm soá döôùi daáu tích phaân. Ta coù theå laøm nhö sau: Böôùc 1: Giaûi phöông trình: f(x) = 0 hoaëc f(x) – g(x) = 0 treân ñoaïn [a; b]. Giaû söû tìm ñöôïc 2 nghieäm c, d (c < d). Böôùc 2: Söû duïng coâng thöùc phaân ñoaïn: b ò a c d b a c d f ( x ) dx = ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx = c ò f ( x )dx + a d ò f ( x )dx + c b ò f ( x )dx d (vì treân caùc ñoaïn [a; c], [c; d], [d; b] haøm soá f(x) khoâng ñoåi daáu) · Dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: – Ñoà thò cuûa x = g(y), x = h(y) (g vaø h laø hai haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn [c; d]) – Hai ñöôøng thaúng x = c, x = d. d S = ò g( y ) - h( y ) dy c 2. Theå tích vaät theå · Goïi B laø phaàn vaät theå giôùi haïn bôûi hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc Ox taïi caùc ñieåm caùc ñieåm a vaø b. S(x) laø dieän tích thieát dieän cuûa vaät theå bò caét bôûi maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc Ox taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x (a £ x £ b). Giaû söû S(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b]. Theå tích cuûa B laø: b V = ò S( x )dx a · Theå tích cuûa khoái troøn xoay: Theå tích cuûa khoái troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: Trang 96 Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân (C): y = f(x), truïc hoaønh, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh truïc Ox: b V = p ò f 2 ( x )dx a Chuù yù: Theå tích cuûa khoái troøn xoay sinh ra do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau quay xung quanh truïc Oy: (C): x = g(y), truïc tung, y = c, y = d d V = p ò g2 ( y)dy laø: c VAÁN ÑEÀ 1: Tính dieän tích hình phaúng Baøi 1. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau: a) y = x 2 - 4 x - 6, y = 0, x = -2, x = 4 c) y = 1 + ln x , y = 0, x = 1, x = e x ln x 1 , y = 0, x = , x = e x e b) y = ln x d) y = 2 x , y = 0, x = e, x = 1 1 e) y = ln x , y = 0, x = , x = e f) y = x 3 , y = 0, x = -2, x = 1 e x 1 1 g) y = , y = 0, x = 0, x = h) y = lg x , y = 0, x = , x = 10 10 2 1- x4 Baøi 2. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau: -3 x - 1 a) y = , y = 0, x = 0 b) y = x , y = 2 - x , y = 0 x -1 c) y = e x , y = 2, x = 1 d) y = x , x + y - 2 = 0, y = 0 e) y = 2 x 2 , y = x 2 - 2 x - 1, y = 2 f) y = x 2 - 4 x + 5, y = -2 x + 4, y = 4 x - 11 g) y = x 2 , y = x2 27 , y= 27 x h) y = 2 x 2 , y = x 2 - 4 x - 4, y = 8 i) y 2 = 2 x, 2 x + 2 y + 1 = 0, y = 0 k) y = - x 2 + 6 x - 5, y = - x 2 + 4 x - 3, y = 3 x - 15 Baøi 3. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau: 1 a) y = x , y = , y = 0, x = e b) y = sin x - 2 cos x , y = 3, x = 0, x = p x c) y = 5 x -2 , y = 0, y = 3 - x , x = 0 d) y = 2 x 2 - 2 x , y = x 2 + 3 x - 6, x = 0, x = 4 e) y = x , y = 0, y = 4 - x f) y = x 2 - 2 x + 2, y = x 2 + 4 x + 5, y = 1 g) y = x , y = 2 - x, y = 0 h) y = a) y = 4 - x 2 , y = x 2 - 2 x b) y = x 2 - 4 x + 3 , y = x + 3 1 -2 x , y = e- x , x = 1 e Baøi 4. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau: c) y = 1 2 1 x , y = - x2 + 3 4 2 d) y = 1 1 + x2 Trang 97 ,y = x2 2