Tài liệu Chuyên đề phương trình lượng giác hay trong ôn thi đại học

LÖÔÏNG GIAÙC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC Chuyeân ñeà 7 A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. Ñôn vò ño goùc vaø cung: 1. Ñoä: Goùc 10 = 1 goùc beït 180 2. Radian: (rad) . 180 o x O y 1800 = π rad 3. Baûng ñoåi ñoä sang rad vaø ngöôïc laïi cuûa moät soá goùc (cung ) thoâng duïng: 00 0 Ñoä Radian 300 450 600 900 6 4 3 2 π π π 1200 2π 3 π 1350 3π 4 1500 5π 6 1800 π II. Goùc löôïng giaùc & cung löôïng giaùc: 1. Ñònh nghóa: (tia ngọn) y y (điểm ngọn) + B O x (Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z) + α α t α 3600 2π x O (tia gốc) t M A (điểm gốc) AB = α + k 2π 2. Ñöôøng troøn löôïng giaùc: q = α + k2π Soá ño cuûa moät soá cung löôïng giaùc ñaëc bieät: AM M A → B → C → D → A, C → B, D → y 2kπ B π + 2kπ + 2 π + 2kπ - π + 2kπ 2 kπ 27 x A O D π + kπ 2 C − y III. Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc: x' u B 1 u' 1. Ñöôøng troøn löôïng giaùc: • A: ñieåm goác • x'Ox : truïc coâsin ( truïc hoaønh ) • y'Oy : truïc sin ( truïc tung ) • t'At : truïc tang • u'Bu : truïc cotang t −1 C R =1 O + 1 A − −1 D y' x t' 2. Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc: a. Ñònh nghóa: Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc cho AM= α . Goïi P, Q laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân x'Ox vaøø y'Oy T, U laàn löôït laø giao ñieåm cuûa tia OM vôùi t'At vaø u'Bu Ta ñònh nghóa: t y t Trục sin Trục cotang u' U B M Q x' O Trục cosin + T α α t u P A − b. Caùc tính chaát : • Trục tang t' y' sin α = OQ x −1 Vôùi moïi α ta coù : −1 ≤ sin α ≤ 1 hay sinα ≤ 1 −1 ≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1 • • tanα xaùc ñinh ∀α ≠ π 2 cotα xaùc ñinh ∀α ≠ kπ + kπ c. Tính tuaàn hoaøn sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cos α tan(α + kπ ) = tan α cos α = OP (k ∈ Z ) cot(α + kπ ) = cot α 28 tanα = AT cot α = BU IV. Giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc ) ñaëc bieät: Ta neân söû duïng ñöôøng troøn löôïng giaùc ñeå ghi nhôù caùc giaù trò ñaëc bieät y t 3 - 3 - 3 /3 -1 u' B 1 2π/3 π u π/4 2 /2 5π/6 3 1 π/3 3 /2 3π/4 x' 3 /3 π/2 π/6 3 /3 1/2 1/2 - 3 /2 - 2 /2 -1/2 -1 2 /2 3 /2 O -π/4 - 3 /2 -1 -π/2 Hslg sin α 0 cos α 1 tan α 0 cot α kxñ 450 6 1 2 π 3 2 3 3 3 π 600 900 π π 4 2 2 2 2 1 3 3 2 1 2 2 1 3 kxñ 1 3 3 0 0 t' 1200 2π 3 3 2 1 − 2 − 3 − 29 -1 -π/3 y' 300 − - 3 /3 -π/6 - 2 /2 00 0 x 1 A (Ñieåm goác) -1/2 Goùc + 3 3 1350 3π 4 2 2 2 − 2 -1 -1 - 3 1500 5π 6 1 2 3 2 3 − 3 − 3 − 1800 3600 π 2π 0 0 -1 1 0 0 kxñ kxñ V. Haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc) coù lieân quan ñaëc bieät: Ñoù laø caùc cung : 1. Cung ñoái nhau : α vaø -α 2. Cung buø nhau : α vaø π -α 3. Cung phuï nhau : α vaø 4. Cung hôn keùm π 2 : α vaø π 2 π 2 (toång baèng 0) −α ( toång baèng π ) ( toång baèng π 2 ) = co s α = − sin α = − tan α = − cot α Buø sin Ñoái cos π sin( − α ) 2 = cos α tan( − α ) 2 = cotα cot( − α ) 2 = tan α π π (Vd: 6 π 6 6 ,…) 5π ,…) 6 π & 3 ,…) & 2π ,…) 3 & 7π ,…) 6 π 6 cos(π − α ) sin(π − α ) tan(π − α ) cot(π − α ) = − cos α = sin α = − tan α = − cot α 4. Cung hôn keùm Phuï cheùo Hôn keùm tan(π + α ) cot(π + α ) = = tanα cot α 2 cos( + α ) = − sin α 2 π sin( + α ) 2 = cos α tan( + α ) 2 = −cotα cot( + α ) 2 = − tan α π π cos(π + α ) = − cos α = − sin α π 2 sin baèng cos cos baèng tröø sin 5. Cung hôn keùm π : sin(π + α ) π π cos( − α ) = sin α 2 π 6 & π 2. Cung buø nhau : 3. Cung phuï nhau : π π (Vd: (Vd: 1. Cung ñoái nhau: &− 6 (Vd: +α 5. Cung hôn keùm π : α vaø π + α cos(−α ) sin(−α ) tan(−α ) cot(−α ) π (Vd: Hôn keùm π tang , cotang 30 VI. Coâng thöùc löôïng giaùc: 1. Caùc heä thöùc cô baûn: 2 1 cos2α 1 1 + cot 2α = sin 2 α tanα . cotα = 1 1 + tan2α = 2 cos α + sin α = 1 tanα cotα sinα cosα cosα = sinα = Ví duï: Chöùng minh raèng: 1. cos4 x + sin 4 x = 1 − 2 sin2 x cos2 x 2. cos 6 x + sin 6 x = 1 − 3 sin 2 x cos 2 x Chứng minh 2 2 1) cos4 x + sin 4 x = (cos2 x ) + (sin2 x ) 2 = (cos2 x + sin2 x ) − 2 sin2 x cos2 x = 1 − 2 sin2 x cos2 x 3 3 2) cos6 x + sin6 x = (cos2 x ) + (sin2 x ) 3 = (cos2 x + sin2 x ) − 3 sin2 x cos2 x (cos2 x + sin2 x ) = 1 − 3 sin2 x cos2 x 2. Coâng thöùc coäng : cos(α + β ) = cos α .cos β − sin α .sin β cos(α − β ) = cos α .cos β + sin α .sin β sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cos α sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cos α tanα +tanβ 1 − tan α .tan β tanα − tanβ tan(α − β ) = 1 + tan α .tan β tan(α +β ) = Ví duï: Chöùng minh raèng: π 1.cos α + sin α = 2 cos(α − ) 4 π 2.cos α − sin α = 2 cos(α + ) 4 Chứng minh 31 ⎛ 2 ⎞ 2 1) cos α + sin α = 2 ⎜⎜ cos α + sin α ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 2 ⎠⎟ π π⎞ ⎛ = 2 ⎜⎜cos α cos + sin α sin ⎟⎟ ⎝ 4 4⎠ π⎞ ⎛ = 2 cos ⎜⎜α − ⎟⎟ ⎝ 4⎠ ⎛ 2 ⎞ 2 2) cos α − sin α = 2 ⎜⎜ cos α − sin α ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 2 ⎠⎟ π⎞ π ⎛ = 2 ⎜⎜cos α cos − sin α sin ⎟⎟ ⎝ 4 4⎠ π⎞ ⎛ = 2 cos ⎜⎜α + ⎟⎟ ⎝ 4⎠ 3. Coâng thöùc nhaân ñoâi: cos2 α = 1 + cos 2α 2 sin2 α = 1 − cos 2α 2 cos 2α = cos2 α − sin 2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α = cos4 α − sin 4 α sin 2α = 2 sin α .cos α tan 2α = 2 tan α 1 − tan2 α sin α cos α = 4 Coâng thöùc nhaân ba: cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α cos 3 α = cos 3α + 3 cos α 4 sin 3 α = 3 sin α − sin 3α 4 5. Coâng thöùc haï baäc: cos2 α = 1 + cos 2α ; 2 sin2 α = 6.Coâng thöùc tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tan sin α = 2t ; 1 + t2 32 1 − cos 2α ; 2 tan2 α = α 2 cos α = 1 − t2 ; 1 + t2 1 sin 2α 2 tan α = 2t 1 − t2 1 − cos 2α 1 + cos 2α 7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång : 1 [ cos(α + β ) + cos(α − β )] 2 1 sin α .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] 2 1 sin α .cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] 2 cosα .cos β = 8. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích : cos α + cos β = 2 cos α +β .cos α −β 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2 sin .sin 2 2 α +β α −β sin α + sin β = 2 sin .cos 2 2 α +β α −β sin α − sin β = 2 cos .sin 2 2 sin(α + β ) tan α + tan β = cos α cos β sin(α − β ) tan α − tan β = cos α cos β 9. Caùc coâng thöùc thöôøng duøng khaùc: π π cosα + sin α = 2 cos(α − ) = 2 sin(α + ) 4 4 π π cosα − sin α = 2 cos(α + ) = − 2 sin(α − ) 4 4 33 3 + cos 4α 4 cos 4α 5 3 + cos6 α + sin6 α = 8 cos4 α + sin 4 α = B. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC Caùc böôùc giaûi moät phöông trình löôïng giaùc Böôùc 1: Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa aån soá ñeå hai veá cuûa pt coù nghóa Böôùc 2: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñeå bieán ñoåi pt ñeán moät pt ñaõ bieát caùch giaûi Böôùc 3: Giaûi pt vaø choïn nghieäm phuø hôïp ( neáu coù) Böôùc 4: Keát luaän I. Ñònh lyù cô baûn: ( Quan troïng ) sinu=sinv cosu=cosv ⎡ u = v+k2π ⇔ ⎢ ⎣ u = π -v+k2π ⎡ u = v+k2π ⇔ ⎢ ⇔ u = ± v + k2π ⎣ u = -v+k2π tanu=tanv ⇔ u = v+kπ cotu=cogv ⇔ u = v+kπ (u;v ≠ π + kπ ) 2 (u;v ≠ kπ ) ( u; v laø caùc bieåu thöùc chöùa aån vaø k ∈ Z ) Ví duï : Giaûi phöông trình: π 3π 4 4 1 4. sin 4 x + cos4 x = (3 − cos 6 x ) 4 2. cos( x − 1. sin 3 x = sin( − 2 x ) 4 3. cos 3x = sin 2 x Bài giải π ) = cos π ⎡ π k 2π π ⎡ ⎡ 3 x = − 2 x + k 2π x= + 5 x = + k 2π ⎢ ⎢ ⎢ 4 π 20 5 4 ⎢ 1) sin 3 x = sin( − 2 x ) ⇔ ⇔⎢ ⇔⎢ 4 ⎢3 x = π − ⎛ π − 2 x ⎞ + k 2π ⎢ x = 3π + k 2π ⎢ x = 3π + k 2π ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎢⎣ ⎢ ⎣ 4 4 ⎝4 ⎠ ⎡ π 3π ⎡ x = π + k2π + k2π ⎢x − = ⎢ π 3π ⎢ 4 4 2)cos(x − ) = cos ⇔⎢ ⇔⎢ π ⎢ x = − + k2π 4 4 ⎢ x − π = − 3π + k2π 2 ⎢ ⎣⎢ 4 4 ⎣ π ⎡ k2π π ⎡ + ⎢x = ⎢ 3x = − 2x + k2π ⎛π ⎞⎟ 2 10 5 ⇔ ⎢⎢ 3) cos 3x = sin 2x ⇔ cos 3x = cos ⎜⎜ − 2x⎟ ⇔ ⎢⎢ π π ⎝2 ⎠ ⎢ ⎢ 3x = − + 2x + k2π ⎢⎣ x = − 2 + k2π ⎢⎣ 2 34 1 3 + cos 4 x 3 − cos 6 x 4) sin 4 x + cos4 x = (3 − cos 6 x ) ⇔ = ⇔ cos 6 x = − cos 4 x ⇔ cos 6 x = cos (π − 4 x ) 4 4 4 π k 2π ⎡ ⎢ x = 10 + 5 ⎡6 x = π − 4 x + k 2π ⇔⎢ ⇔⎢ ⎣6 x = −π + 4 x + k 2π ⎢ x = − π + kπ ⎢⎣ 2 II. Caùc phöông trình löôïng giaùc cô baûn: 1. Daïng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( ∀m ∈ R ) * Gpt : sinx = m (1) • Neáu m > 1 thì pt(1) voâ nghieäm • Neáu m ≤ 1 thì ta ñaët m = sin α vaø ta coù ⎡ x = α +k2π (1) ⇔ sinx=sinα ⇔ ⎢ ⎣ x = (π -α )+k2π * Gpt : cosx = m (2) • Neáu m > 1 thì pt(2) voâ nghieäm • Neáu m ≤ 1 thì ta ñaët m = cos β vaø ta coù ⎡ x = β +k2π (2) ⇔ cosx=cosβ ⇔ ⎢ ⎣ x = − β +k2π * Gpt: tanx = m (3) ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R ) • Ñaët m = tan γ thì (3) ⇔ tanx = tanγ ⇔ x = γ +kπ * Gpt: cotx = m (4) • ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R ) Ñaët m = cot δ thì (4) ⇔ cotx = cotδ ⇔ x = δ +kπ 35 Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät: sin x = −1 ⇔ x = − sinx = 0 ⇔ x = kπ sin x = 1 ⇔ x = cosx = 0 ⇔ x= π 2 y + k 2π B π + k 2π 2 cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π cos x = 1 π C + kπ 2 ⇔ x = k 2π Giaûi caùc phöông trình : 1 1) sin 2 x = 2 3) sin 2 x + cos 2 x = 1 1) sin 2 x = π 2 2) cos( x − ) = − 4 2 4 4 4) cos x + sin x = cos 2 x 1 π ⇔ s in2x=sin 2 6 π ⎡ ⎢2 x = 6 + k 2π ⇔⎢ ⎢2 x = π − π k 2π ⎢⎣ 6 π ⎡ ⎢ x = 12 + kπ ⇔⎢ ⎢ x = 5π + kπ ⎢⎣ 12 π 2 π 3π 2) cos( x − ) = − ⇔ cos( x − ) = cos 4 2 4 4 ⎡ π 3π ⎢ x − 4 = 4 + k 2π ⇔⎢ ⎢ x − π = − 3π + k 2π ⎢⎣ 4 4 ⎡ x = π + k 2π ⇔⎢ ⎢ x = − π + k 2π 2 ⎣ 36 x A O D Ví duï: Bài giải: + − π⎞ ⎛ 3) sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ 2 cos ⎜⎜2x − ⎟⎟ = 1 ⎝ 4⎠ π⎞ 2 ⎛ ⇔ cos ⎜⎜2x − ⎟⎟ = ⎝ 4⎠ 2 π⎞ π ⎛ ⇔ cos ⎜⎜2x − ⎟⎟ = cos ⎝ ⎠ 4 4 π π ⎡2x − = + k2π ⎢ 4 4 ⇔ ⎢⎢ π π ⎢2x − = − + k2π ⎢⎣ 4 4 ⎡ x = π + kπ ⎢ 4 ⇔⎢ ⎢ x = kπ ⎢⎣ 3 + cos 4x 4) cos4 x + sin 4 x = cos 2x ⇔ = cos 2x 4 ⇔ 3 + 2 cos2 2x − 1 = 4 cos 2x 2 ⇔ (cos 2x − 1) = 0 ⇔ cos 2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ Ví duï: Giaûi caùc phöông trình: 1) 1 + cos4 x − sin 4 x = 2 cos 2 x 3) 4(sin 4 x + cos 4 x) + sin 4 x − 2 = 0 1 4) sin3 x.cos x − cos3 x.sin x = 4 2) sin 6 x + cos6 x = cos 4 x Bài giải 1) 1 + cos4 x − sin 4 x = 2 cos 2 x ⇔ cos 2 x = 1 ⇔ 2 x = k 2π ⇔ x = kπ Vậy nghiệm pt là x = kπ 5 + 3 cos 4 x 2) sin 6 x + cos6 x = cos 4 x ⇔ = cos 4 x 8 ⇔ cos 4 x = 1 ⇔ 4 x = k 2π kπ ⇔x= 2 Vậy nghiệm pt là x = kπ 2 37 3) 4(sin 4 x + cos4 x) + sin 4x − 2 = 0 ⇔ 3 + cos 4x + s in4x − 2 = 0 π⎞ ⎛ ⇔ 2 cos ⎜⎜4x − ⎟⎟ = −1 ⎝ 4⎠ 3π π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜⎜4x − ⎟⎟ = cos ⎝ ⎠ 4 4 ⎡ π 3π + k2π ⎢4x − = 4 4 ⇔ ⎢⎢ ⎢4x − π = − 3π + k2π ⎢ 4 4 ⎣ ⎡4x = π + k2π ⎢ ⇔⎢ π ⎢4x = − + k2π ⎢⎣ 2 ⎡ π kπ ⎢x = + ⎢ 4 2 ⇔⎢ π ⎢ x = − + kπ ⎢ 8 2 ⎣ ⎡ π kπ ⎢x = + ⎢ 4 2 Vậy nghiệm pt là ⎢ ⎢ x = − π + kπ ⎢ 8 2 ⎣ 1 1 4) sin3 x.cos x − cos3 x.sin x = ⇔ − sin x cos x. cos2 x − sin2 x = 4 4 1 ⇔ − s in2x.cos2x = 2 ⇔ s in4x = −1 ( ⇔ 4x = − ⇔x=− π kπ Vậy nghiệm pt là x = − + 8 2 2. Daïng 2: π π 8 2 + k 2π + kπ 2 a sin 2 x + b sin x + c = 0 a cos2 x + b cos x + c = 0 a tan2 x + b tan x + c = 0 Caùch giaûi: ) a cot 2 x + b cot x + c = 0 38 ( a ≠ 0) Ñaët aån phuï : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx) Ta ñöôïc phöông trình : at 2 + bt + c = 0 (1) Giaûi phöông trình (1) tìm t, roài suy ra x Chuù yù : Phaûi ñaët ñieàu kieän thích hôïp cho aån phuï (neáu coù) Ví duï : 1) 2 cos2 x + 5sin x − 4 = 0 3) 2(sin 4 x + cos 4 x) − cos( Bài giải ( 5 =0 2 2(cos 6 x + sin 6 x) − sin x. cos x 2) cos 2 x − 4 cos x + π 2 − 2 x) = 0 4) ) 1) 2 cos2 x + 5sin x − 4 = 0 ⇔ 2 1 − sin 2 x + 5sin x − 4 = 0 ⇔ 2 sin2 x − 5sin x + 2 = 0 ⎡sin x = 2 (VN) ⇔⎢ ⎢sin x = 1 2 ⎣ π ⎡ ⎢ x = 6 + k 2π ⇔⎢ ⎢ x = 5π + k 2π ⎢⎣ 6 π ⎡ ⎢ x = 6 + k 2π Vậy nghiệm pt là ⎢ ⎢ x = 5π + k 2π ⎢⎣ 6 5 2) cos 2 x − 4 cos x + = 0 ⇔ 2(2 cos2 x − 1) − 8 cos x + 5 = 0 2 ⇔ 4 cos2 x − 8 cos x + 3 = 0 ⎡ ⎢ cos x = ⇔⎢ ⎢ cos x = ⎢⎣ ⇔x=± Vậy nghiệm pt là x = ± π 3 π 3 3 (VN) 2 1 2 + k 2π + k 2π 39 2 − 2 sin x =0 π 3 + cos 4x 3) 2(sin 4 x + cos4 x) − cos( − 2x) = 0 ⇔ − s in2x = 0 2 2 ⇔ 3 + 1 − 2 sin2 2x − 2 s in2x = 0 ⇔ 2 sin2 2x + 2 s in2x − 4 = 0 ⎡s in2x = 1 ⇔ ⎢⎢ ⎢⎣s in2x = −2 (VN) π ⇔ 2x = + k2π 2 π ⇔ x = + kπ 4 π + kπ 4 2(cos6 x + sin6 x) − sin x.cos x 4) =0 2 − 2 sin x ⎡ x ≠ π + k2π ⎢ 2 4 Điều kiện: sin x ≠ ⇔ ⎢⎢ 3 2 ⎢ x ≠ π + k2π ⎢⎣ 4 Khi đó: 2(cos6 x + sin6 x) − sin x.cos x 5 + 3 cos 4x 1 =0⇔ − s in2x = 0 2 − 2 sin x 4 2 2 ⇔ 5 + 3 (1 − 2 s in 2x ) − 2 s in2x = 0 Vậy nghiệm pt là x = ⇔ 6 sin2 2x + 2 s in2x − 8 = 0 ⎡ s in2x = 1 ⎢ ⇔⎢ ⎢ s in2x = − 4 (VN) ⎢⎣ 3 π ⇔ 2x = + k2π 2 π ⇔ x = + kπ 4 5π So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình (1) là x = + k2π . 4 40 3. Daïng 3: a cos x + b sin x = c (1) ( a;b ≠ 0) Caùch giaûi: • • Chia hai veá cuûa phöông trình cho a2 + b2 thì pt a b c (1) ⇔ cos x + sin x = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Ñaët a 2 a +b 2 = cosα vaø b = sin α vôùi α ∈ [ 0;2π ) thì : a + b2 2 (2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα = ⇔ cos(x-α ) = c a + b2 Pt (3) coù daïng 1. Giaûi pt (3) tìm x. Chuù yù : (2) 2 c 2 a + b2 (3) Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm ⇔ a2 + b2 ≥ c 2 Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : 1) cos x + 3 sin x = −1 2) 4(sin 4 x + cos4 x ) + 3 sin 4 x = 2 Bài giải 1 3 1 cos x + sin x = − 2 2 2 2π π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = cos 3⎠ 3 ⎝ 1) cos x + 3 sin x = −1 ⇔ ⎡ π 2π ⎢ x − 3 = 3 + k 2π ⇔⎢ ⎢ x − π = − 2π + k 2π ⎢⎣ 3 3 ⎡ x = π + k 2π ⇔⎢ ⎢ x = − π + k 2π 3 ⎣ ⎡ x = π + k 2π Vậy nghiệm pt là ⎢ ⎢ x = − π + k 2π 3 ⎣ 41 2) 4(sin 4 x + cos4 x ) + 3 sin 4 x = 2 ⇔ cos 4 x + 3 s in4x = −1 1 3 1 cos 4 x + s in4x = − 2 2 2 π⎞ 2π ⎛ ⇔ cos ⎜ 4 x − ⎟ = cos 3⎠ 3 ⎝ ⇔ π 2π ⎡ ⎢ 4 x − 3 = 3 + k 2π ⇔⎢ ⎢ 4 x − π = − 2π + k 2π ⎢⎣ 3 3 ⎡ 4 x = π + k 2π ⇔⎢ ⎢ 4 x = − π + k 2π 3 ⎣ π kπ ⎡ ⎢x = 4 + 2 ⇔⎢ ⎢ x = − π + kπ ⎢⎣ 12 2 π kπ ⎡ ⎢x = 4 + 2 Vậy nghiệm pt là ⎢ ⎢ x = − π + kπ ⎢⎣ 12 2 d. Daïng 4: a sin2 x + b sin x.cos x + c cos2 x = 0 (a;c ≠ 0) (1) Caùch giaûi 1: 1 − cos2 x 1 + cos 2 x vaø cos2 x = 2 2 1 vaø coâng thöùc nhaân ñoâi : sin x.cos x = sin 2 x thay vaøo (1) ta seõ bieán ñoåi pt (1) veà daïng 3 2 Aùp duïng coâng thöùc haï baäc : sin2 x = Caùch giaûi 2: ( Quy veà pt theo tang hoaëc cotang ) Chia hai veá cuûa pt (1) cho cos2 x ta ñöôïc pt: a tan2 x + b tan x + c = 0 Ñaây laø pt daïng 2 ñaõ bieát caùch giaûi. Chuù yù: Tröôùc khi chia phaûi kieåm tra xem x = π + kπ coù phaûi laø nghieäm cuûa (1) khoâng? 2 Ví duï : Giaûi phöông trình: 3 sin 2 x + (1 − 3 ) sin x. cos x − cos 2 x + 1 − 3 = 0 42 d. Daïng 5: a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = 0 Caùch giaûi : (1) π Ñaët t = cos x + sin x = 2 cos( x − ) vôùi - 2 ≤ t ≤ 2 4 t2 −1 2 Do (cos x + sin x ) = 1 + 2 sin x.cos x ⇒ sinx.cosx= 2 • Thay vaøo (1) ta ñöôïc phöông trình : t2 − 1 at + b + c = 0 (2) 2 • • Giaûi (2) tìm t . Choïn t thoûa ñieàu kieän roài giaûi pt: π 2 cos( x − ) = t tìm x. 4 Ví duï : Giaûi phöông trình : sin 2 x − 2 2(sin x + cos x ) − 5 = 0 Chuù yù : Ta giaûi töông töï cho pt coù daïng : a(cos x − sin x ) + b sin x .cos x + c = 0 Ví duï : Giaûi phöông trình : sin 2 x + 4(cos x − sin x ) = 4 4. Caùc phöông phaùp giaûi phöông trình löôïng giaùc thöôøng söû duïng : a. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà moät trong caùc daïng pt löôïng giaùc cô baûn ñaõ bieát Ví duï: Giaûi phöông trình: 3 =0 2 2) sin 3x − 3 cos 3x = 2 s in2x 1 3) tan x − 3 = cos x 1) sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x − b. Phöông phaùp 2: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà daïng tích soá Cô sôû cuûa phöông phaùp laø döïa vaøo caùc ñònh lyù sau ñaây: ⎡ A=0 A.B = 0 ⇔ ⎢ ⎣ B=0 hoaëc A.B.C = 0 Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : a. sin2 x + sin 2 2 x + sin 2 3 x = 2 b. 2 sin3 x + cos 2 x − cos x = 0 43 ⎡ A=0 ⇔ ⎢⎢ B=0 ⎢⎣C=0 c. Phöông phaùp 3: Bieán ñoåi pt veà daïng coù theå ñaët aån soá phuï Moät soá daáu hieäu nhaän bieát : * Phöông trình chöùa cuøng moät moät haøm soá löôïng giaùc ( cuøng cung khaùc luõy thöøa) Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : a. cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0 b. 4 cos 3 x − cos 2 x − 4 cos x + 1 = 0 * Phöông trình coù chöùa (cos x ± sin x ) vaø sinx.cosx 3 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x Ví duï : Giaûi phöông trình : 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau ⎛ 7π ⎞ 1 1 1) + = 4 sin ⎜⎜ − x⎟⎟⎟ ⎝4 ⎠ sin x sin ⎛⎜x − 3π ⎞⎟ ⎟ ⎝⎜ ⎠ 2 2) 2 sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + 2 cos x 3) sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x Bài giải: ⎛ 7π ⎞ 1 1 1) + = 4 sin ⎜⎜ − x⎟⎟⎟ ⎛ ⎞ ⎝4 ⎠ sin x sin ⎜x − 3π ⎟ ⎜⎝ ⎟ ⎠ 2 44 Bài giải: 2) 2 sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + 2 cos x Bài giải: 3) sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau 1) (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = 1 + s in2x 2) 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x x ⎞⎟2 ⎛ x ⎜ 3) ⎜sin + cos ⎟ + 3 cos x = 2 ⎝ 2 2⎠ Bài giải 1) (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = 1 + s in2x Bài giải: 2) 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x 45 Bài giải: x x ⎞2 ⎛ 3) ⎜⎜sin + cos ⎟⎟ + 3 cos x = 2 ⎝ 2 2⎠ Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau 2 (cos6 x + sin6 x ) − sin x cos x 1) =0 2 − 2 sin x x⎞ ⎛ 2) cot x + sin x ⎜⎜1 + tan x tan ⎟⎟ = 4 ⎝ 2⎠ 3) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0 Bài giải: 2 (cos6 x + sin6 x ) − sin x cos x 1) =0 2 − 2 sin x Bài giải: x⎞ ⎛ 2) cot x + sin x ⎜⎜1 + tan x tan ⎟⎟ = 4 ⎝ 2⎠ 46