PT – BPT vô tỷ
LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình, bất phương trình vô tỷ là một chủ đề quan trọng trong chương trình
bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như luyện thi đại học, cao đẳng. Có rất nhiều dạng toán về
phương trình, bất phương trình hay và khó, có thể dùng là một câu phân loại trong các
đề thi HSG hay đề thi ĐH, CĐ.
Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân và những kinh nghiệm
trong quá trình dạy học, dạy luyện thi, dạy bồi dưỡng HSG, tác giả viết chuyên đề :
“ Một số dạng toán về phương trình, bất phương trình vô tỷ và phương pháp giải”.
Ở mỗi phần là phương pháp giải, dạng toán, cách giải tương ứng, những lưu ý, ví
dụ minh hoạ sau đó là bài tập vận dụng. Có ba phương pháp giải cơ bản thường dùng là
phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp hàm số.
Trong bản báo cáo này tác giả có đề cập thêm phương pháp khử căn đưa về phương
trình bậc bốn.
Đề tài được viết nhằm giúp học sinh có kỹ năng và phương pháp giải về phương
trình, bất phương trình được tốt hơn. Do hạn chề về thời gian chắc không tránh khỏi
thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các bạn đồng nghiệp và cấp
trên.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Tác giả
Đỗ Thị Thanh Huyền
Tổ trưởng tổ Toán-Tin, Trường THPT Trần Phú
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
1
PT – BPT vô tỷ
CHUYÊN ĐỀ
Phương trình - bất phương trình vô tỷ
I. Phương pháp biến đổi tương đương
1. Kiến thức cần nhớ:
1.
a
n
n
a
ab 0
a, b
2. a b a 2 n b 2 n
3. a b a
2 n 1
b
2 n 1
4. a b 0 a 2 n b 2 n
5. a b
a 2 n 1 b 2 n 1
a, b
2. Các dạng cơ bản:
* Dạng 1:
g x 0
(Không
f x g x
2
f x g x
* Dạng 2:
f x g x
* Dạng 3:
xét 2 trường hợp:
g x 0
TH1:
f x 0
cần đặt điều kiện f x 0 )
TH2:
g ( x) 0
2
f x g x
f ( x) 0
f x g x g x 0
2
f x g x
Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x) là
tam thức bậc hai (ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện
cho g x 0 rồi bình phương 2 vế đưa phương trìnhbất phương trình về dạng quen
thuộc.
+ Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 an 1 x an 0 có
nghiệm x= thì chia vế trái cho cho x– ta được x b0 xn1 b1 xn2 bn2 x bn1 0 ,
tương tự cho bất phương trình.
* Phương trìnhbất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải
theo hướng này là đúng, nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương
pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm số không được nữa thì ta phải quay
lại sử dụng phương pháp khác.
* Phương trìnhbất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì
việc giải phương trình theo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử
dụng như phương trìnhbất phương trình bậc 3 và nếu không ta phải chuyển sang
hướng khác.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 x 1 x 2 3x 1 0 (ĐH Khối D – 2006)
Biến đổi phương trình thành: 2 x 1 x 2 3x 1 (*), đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế
ta được: x 4 6 x 3 11x 2 8x 2 0 ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa
thức ta được:
(*) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = 0.
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
2
PT – BPT vô tỷ
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 4 x 12 2 x 10 1
3 2x
2
x
3
2
3
hai
2
2
0 x 3 x 1 0
pt x 2 2 x 1 x 5 2 x 3 2 x ( x 5) 3 2 x 9 5 x
không âm nên ta bình phương 2 vế: x3 – x2 – 5x – 3
b) Tương tự với 2 dạng: * f x g x
, ĐK:
(1), Với
*
x
vế (1) đều
f x g x
Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2 x2 6 x 1 x 2 0 1
Giải
1 2 x2 6 x 1 x 2 bất phương trình tương đương với hệ:
x 2
x 2 0
3 7
3 7
3 7
2
2
x
6
x
1
0
x
x3
x
2
2
2
2
2 x 6 x 1 x 2 1 x 3
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 2mx 1 m 2 có nghiêm.
Giải
* Nếu m < 2 phương trình vô nghiệm.
* Nếu m 2 phương trình x22mxm2+4m3=0. Phương trình này có
=2m24m+3>0 với mọi m.
Vậy với m 2 thì phương trình đã cho có nghiêm.
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2x2 mx 3 x 1 có hai nghiệm phân biệt.
Giải:
Cách 1:
x1
x 1
,
PT 2
x
m
2
x
4
0,
(*)
phương trình (*) luôn có 2 nghiệm:
2 m m 2 4m 20
2 m m 2 4m 20
0, x2
0.
2
2
Phương trình đã cho có 2 nghiệm
m 4
m 1
2
2
4 m m 4m 20
(*) có 2 nghiệm x 1 x2 1 4 m m2 4m 20
Chú ý:
+ x1 > 0, x2 < 0 vì x1 > x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu.
+ Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm.
+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với x 1 t 0 .
(*) trở thành: t 12 m 2 t 1 4 0 (**). Để (*) có 2 nghiệm x 1 thì (**) phải có 2
nghiệm t 0 .
Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:
x2 mx 2 2 x 1 , (1)
Giải:
2 x 1 0
pt 2
3x m 4 x 1 0, 2
nghiệm lớn hơn hoặc bằng
để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai
1
hay
2
2
m 4 12 0
9
1
m .
f 0
2
2
S
1
2
2
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
3
PT – BPT vô tỷ
Chú ý : Cách 2: đặt
tx
1
,
2
2
1
1
3 t m 4 t 1 0
2
2
khi đó để (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng
1
2
thì
có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0.
3. Các kỹ năng:
a. Để bình phương 2 vế phương trình – bất phương trình thì một là ta biến đổi cho
2 vế không âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5 x 1 x 1 2 x 4 (ĐH Khối A – 2005)
Vế phải không âm, nhưng vế trái chưa nhận xét được do đó ta phải biến đổi thành:
5 x 1 x 1 2 x 4 khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ bản để giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình: x x 1 x x 2 2 x 2 1 .
Giải
Điều kiện:
x 1
x 2 *
x 0
1 2 x 2 x 2
x 2 x 1 x 2 4 x 2 2 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1
4 x 2 x 2 x 2 x 2 2 x 1
2
x2 8x 9 0
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0,
(Còn có cách giải khác)
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình
x
9
.
8
2 x2 mx x2 4 0
có nghiệm.
HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm được
x1,2
m m 2 16
2
. Kết hợp
với điều kiện ta tìm được |m| 4.
b. Chuyển về phương trình – bất phương trình tích:
- Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức
Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích...
Ví dụ 4: Giải phương trình: x 2 x 7 7 .
HD:
Bình phương hai vế.
Dùng hằng đẳng thức a2 b2=0.
Nghiệm
x 2, x
1 29
2
.
Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a.
x
2
1
x2
1 x
2
x4
b.
3x 2 x 2 3x 2 0
ĐS: a. 1x<8, b.
1
;
2
2 3; .
Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m,
phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
x2 2 x 8 m x 2 .(1)
Giải: ĐK: x 2 , do m > 0.
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
4
PT – BPT vô tỷ
x 2
pt x 2x 4 mx 2 3
. Để chứng minh m 0 , phương
2
x 6 x 32 m, (2)
trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì chỉ cần chứng minh phương trình (2) có một nghiệm
khác 2.
Thật
vậy:
đặt
ta
có
f(2)
=
0,
f x x3 6 x 2 32, x 2 ,
lim f x , f ' x 3x 2 12 x 0, x 2 nên f(x) là hàm liên tục trên 2; và đồng biến
x
trên khoảng đó suy ra m 0 phương trình (2) luôn có nghiệm x0 mà 2 < x0 < .
Một số dạng chuyển thành tích:
a - c x b - d
- Dạng: ax b cx d
m
Ta biến đổi thành: m( ax b cx d ) ax b cx d
Ví dụ: Giải phương trình:
4 x 1 3x 2
x3
.
5
ĐS: x=2.
- Dạng: u+v=1+uv (u-1)(v-1)=0
Ví dụ: Giải phương trình: 3 x 1 3 x 2 1 3 x2 3x 2 .
ĐS: x=0,
x=1.
Ví dụ: Giải phương trình: 4 x 1 x 1 4 x3 x2 .
ĐS: x=0,
x=1.
- Dạng: au+bv=ab+uv (ub)(va)=0
Ví dụ 1: Giải phương trình: x 3 2x x 1 2x x2 4x 3 .
ĐS: x=0,
x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình: x3 x2 3x 3 2x x2 3 2x2 2x .
ĐS: x=0.
3
3
2
2
- Dạng: a b (ab)(a +ab+b )=0 a=b
Ví dụ: Giải phương trình: 2 3 3 9 x2 x 2 2 x 3 3 3x x 22 .
ĐS: x=1.
c. Chuyển về dạng: A1 + A2 +....+ An = 0 với Ai 0, 1 i n khi đó pt tương đương
với: A1 0, A2 0, An 0 .
Ví dụ 1: Giải phương trình: 4 x 2 3x 3 4 x x 3 2 2 x 1 .
HD: Phương trình tương đương 4 x2 4 x x 3 x 31 2 2 x 1 2 x 1 0 . ĐS: x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Giải
4x y 2 y 2 4x2 3 y 4 .
Bình phương hai vế ta được 2 x 12 y 2 2 2 y 2 4 x 2 3 y 4 0 x 1 , y 2.
2
d. Sử dụng lập phương:
Với dạng tổng quát 3 a 3 b 3 c ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức
a b
3
a 3 b3 3ab a b
khi đó phương trình tương đương với hệ
3
3
3
a b c
.
3
a
b
3
abc
c
Giải
hệ này ta có nghiệm của phương trình.
Ví dụ: Giải bất phương trình
3
x 1 3 x 2 3 2x 3 .
ĐS:
x 1; x 2; x
3
.
2
e. Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu:
- TH1: Mẫu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
5
PT – BPT vô tỷ
2 x 2 16
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
Giải
ĐK:
x4.
1
x3
x3
7x
x3
1 (ĐH Khối A2004)
2 x 2 16 x 3 7 x 2 x 2 16 10 2 x
x 4
10 2 x 0
10 2 x 0
2 x 2 16 10 2 x 2
x5
10 34 x 5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: x 10 34 .
TH2: Mẫu âm, dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp:
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a. x 3
x2 4 x2 9
HD: a. Xét ba trường hợp x=3, x>3 và x<3.
b. Xét hai trừng hợp của x1.
1 52 x 5 x 1 .
Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. x 2 x 1 x x 1 x2 x 0 .
HD: Bình phương 2 vế và biến đổi thành:
b.
51 2 x x 2
1.
1 x
ĐS: x 5 x 3 .
6
ĐS:
2 x x 2 x 4 x 2 x x3 4 x 2 6 x 4 0 .
( x 2)(2 x 2 x x 2 2 x 2) 0
b. 4x2 5x 1 2 x2 x 1 9x 3 . HD: Nhân lượng liên hợp.
Bài 2: Giải bất phương trình sau: 1 2 x 1 2 x 2 x 2 .
HD: Cách 1: Đặt
t 1 2x 1 2x x2
t 4 4t 2
16
. Cách 2: Bình phương rồi đưa về
dạng:A1+A2 = 0, với A1, A2 0 .
Bài 3: Giải phương trình 4 3 10 3x x 2 . (HD: Bình phương hai lần ra phương trình
bậc 4 đầy đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức).
Bài 4: Giải phương trình 1 2
3
x x2 x 1 x
Bài 5: Giải phương trình 2 x 6 x2 1 x 1 .
Bài 6: Giải các phương trình sau:
1. x 2 1 x 1
2.
3
3
3
3. 2 x 2 x 2 9 x
4.
5.
x2
4
5 x 3 3x 1 x 1.
1 x 1 x 2
6.
.
3
x 2 3 2x 3 1
3
x 1 3 x 1 x 3 2
x 2
2 x 3 3x 1
4
7.
(HD:Bình phương rồi sử dụng dạng: A1+A2 = 0, với A1, A2 0 ).
Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x m x m .
Bài 8: Tìm m sao cho phương trình: 4x x2 x m .
a. Có nghiệm.
b. Có hai nghiệm phân biệt.
Bài 9: Giải các bất phương trình sau:
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
6
PT – BPT vô tỷ
a.
1 1 4 x2
3.
x
b. x2 3x 2 x2 6x 5 2x2 9x 7 .
c. x2 x 2 x2 2x 3 x2 4x 5 .
Bài 10: Giải các phương trình:
x 1 3 x2 3 x 3 x2 x .
a.
3
c.
4 x 3 1 4x
b.
x3
3
.
x
d.
4x
x3
4 x
.
2 x 3 9 x2 x 4 .
e. 2x x2 x 1 4 3x 1 2x2 2x 6 .
II. Phương pháp khử căn sử dụng phương trình bậc bốn
*)C¸ch gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc 4 tæng qu¸t: ax 4 bx3 cx 2 dx e 0
VÝ dô:
x 4 6x 3 3x 2 18x 8 0
x 2 2.x 2 . 3x 9x 2 6x 2 18x 8 0
2
x 2 3x 6x 2 18x 8
2
Ta sÏ thªm bít ®Ó hai vÕ lµ b×nh ph-¬ng cña mét ®a thøc:
x 2 3x 2a x 2 3x a 2 6 2a x 2 6 3 a x 8 a 2
2
x 2 3x a 6 2a x 2 6 3 a x 8 a 2
2
(*)
Ta thÊy vÕ tr¸i lµ b×nh ph-¬ng mét sè, ta sÏ chän a sao cho vÕ ph¶i còng lµ b×nh
ph-¬ng cña mét ®a thøc. Mµ vÕ ph¶i lµ mét tam thøc bËc hai. Do vËy ®Ó nã lµ b×nh
ph-¬ng ta cÇn 0 ( hoÆc ' 0 )
Nh- vËy: 9 3 a 6 2a 8 a 2 0
2
Đây là phương trình bậc ba nên bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm
Ta cã thÓ gi¶i ph-¬ng tr×nh nµy theo hai c¸ch:
C¸ch 1: BiÕn ®æi ®-a vÒ ph-¬ng tr×nh bËc 3.
C¸ch 2: Dïng m¸y tÝnh cÇm tay nhËp th¼ng ph-¬ng tr×nh vµo råi gi¶i:
Gi¶i theo hai c¸ch ta cã: a 3 .
Víi a 3 ph-¬ng tr×nh (*) cã d¹ng: x2 3x 3 17 ®Õn ®©y th× ph-¬ng tr×nh dÔ gi¶i.
2
+) VÝ dô 2: x 3 4 x 12 x 28 x
(1)
Khi nh×n vµo bµi nµy, th× h-íng ®i tù nhiªn ®Çu tiªn ta nghÜ ®Õn lµ b×nh ph-¬ng hai vÕ
®-a vÒ ph-¬ng tr×nh bËc 4. Mµ ta võa ®-îc lµm ë trªn:
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
7
PT – BPT vô tỷ
1 x 3 4 x 12 x 28 x
2
2
x 2 6x 9 x 2 8x 48 784 56x x 2
x 4 14x 3 10x 2 272x 352 0
x 2 6x 22 x 2 8x 16 0
x 3 31
x 4 4 2
V× ®©y lµ ph-¬ng tr×nh hÖ qu¶ nªn sau khi tÝnh ra nghiÖm, ta sÏ ph¶i lo¹i bít nghiÖm
ngo¹i lai.
Dïng m¸y tÝnh thö trùc tiÕp ta cã: x 3 31, x 4 4 2 lµ tháa m·n ph-¬ng tr×nh ban
®Çu nªn ph-¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm: x 3 31, x 4 4 2 .
+) Bµi (1) ta còng cã thÓ gi¶i ®-îc b»ng ph-¬ng ph¸p ®Æt Èn phô kh«ng hoµn toµn. Sau
®©y sÏ tr×nh bµy theo c¸ch ®Æt Èn phô kh«ng hoµn toµn.
®Æt t x 2 8x 48 . Khi ®ã ph-¬ng tr×nh (1) sÏ ®-îc viÕt l¹i lµ:
x 3 t 28 x
1 2
1
t x 3 t x 2 8x 48 28 x 0
2
2
1 2
1
t x 3 t x 2 3x 4 0
2
2
(1.1)
Coi ph-¬ng tr×nh (1.1) lµ ph-¬ng tr×nh bËc 2 Èn t ta ®-îc:
2
1
x 3 2 x 2 3x 4 1
2
t x 3 1 x 4
Suy ra: Ph-¬ng tr×nh 1.1
. §Õn ®©y th× ph-¬ng tr×nh (1) dÔ gi¶i vµ
t x 3 1 x 2
cho kÕt qu¶ nh- trªn.
Khi ®äc lêi gi¶i , c¸c b¹n sÏ ®Æt c©u hái t¹i sao lµ sè
c¸ch nµo ®Ó t×m ra sè
§Ó t×m ra sè
1
mµ kh«ng ph¶i lµ sè kh¸c. Lµm
2
1
th× s¸ch tham kh¶o l¹i kh«ng chØ ra cho chóng ta. Thùc ra
2
1
ta sÏ ph¶i gi¶i mét ph-¬ng tr×nh bËc 4 rÊt phøc t¹p n÷a
2
Nªn tèt nhÊt khi h-íng dÉn häc sinh gi¶i bµi tËp nµy c¸c b¹n nªn h-íng dÉn häc sinh
®-a vÒ ph-¬ng tr×nh bËc 4 c¬ b¶n ®Ó gi¶i trùc tiÕp thay v× ph¶i ®-a vÒ c¸ch trªn.
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
8
PT – BPT vô tỷ
+) Tõ ph-¬ng tr×nh : 1
x 2 8x 48 x 2
x 2 8x 48 x 4 0 . Nh×n vµo
®©y sÏ cho ta nhiÒu ý nghÜa h¬n lµ viÖc ®i gi¶i c¸c líp bµi to¸n nµy lµ ta cã thÓ ®-a ra
mét lo¹t bµi to¸n d¹ng nµy b»ng c¸ch cho tÝch hai nh©n tö tr-íc sau ®ã nh©n ra khai
triÓn vµ rót gän. Nh÷ng d¹ng bµi nh- thÕ nµy sÏ rÊt tèt cho kÜ n¨ng tÝnh to¸n cña häc
sinh.
- Qua hai bµi tËp ë trªn cho thÊy ý nghÜa cña viÖc gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc 4. Tuy nã ch-a
ph¶i lµ mét c«ng cô tèi -u cho viÖc gi¶i to¸n nh-ng Nã lµ mét c«ng cô m¹nh ®Ó gi¶i
to¸n vµ gióp cho häc sinh tù tin h¬n trong viÖc gi¶i nh÷ng ph-¬ng tr×nh bËc cao.
- Về mặt lý thuyết thì ta có thể giải mọi phương trình bậc bốn theo cách trên, cũng như
việc áp dụng cho những phương trình vô tỷ mà khi khử hết căn đưa về phương trình
bậc. Tuy nhiên trên thực tế thì nhiều lúc việc giải không dễ dàng như vậy
- Ngoài cách đưa về hằng đẳng thức ở trên ta còn cách sử dụng phương pháp hệ số bất
định
Mét sè bµi tËp ¸p dông:
1/ x 1 5 x 3 3 x 2 4
2/ x 2 2 x 2 x 1 3x 2 4 x 1
3/ 12x 8 8x 28 2x 2 22x 40
4/ x 3 x 2 x 1 3x 4
5/ 8x 27 4 3x 2 24 x 4 0
6/ 4 x 1 1 3x 2 1 x 1 x 2
III. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Dạng 1: F n f x 0 , đặt t n f x (lưu ý nếu n chẵn ta phải thêm điều kiện t 0).
Ví dụ 1: Giải các phương trình: a.
x 5 2 x 3 x2 3x .
HD: a. Đặt t x2 11, t 0 .
b. Đặt
x2 x2 11 31 .
t x 2 3x , t 0 .
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Giải
Đặt: t 5 2 x x2 6 x 12 t 0; 6 .
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
b.
ĐS: x=5.
ĐS:
x
3 109
2
.
x2 2 x 2m 5 2 x x2 m2 .
9
PT – BPT vô tỷ
t 2 2mt m2 5 0 * t m 5 .
Khi đó phương trình trở thành
nghiệm khi (*) có nghiệm
t 0; 6
hay
Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình:
nghiệm x 0;1 3 .
Phương trình đã cho có
0 m 5 6
5 m 6 5
.
0 m 5 6
5 m 6 5
m( x2 2 x 2 1) x 2 x 0 ,
(1) có
Giải: Đặt t x2 2x 2 x2 2x t 2 2 . Nếu x 0;1 3 thì t x 12 1 1;2
BPT trở thành: m t 1 2 t 2 0, 2
Khi đó ta có
Dạng 2:
m f x
t2 2
m,
t 1
với 1 t 2 . Đặt
f t
t2 2
,
t 1
dùng đồ thị ta tìm được
g x 2n f x g x n f x g x p 0 ,
đặt
t
f x g x
m
2
.
3
, bình phương
hai vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua t.
Ví dụ 1: Cho phương trình 3 x 6 x m 3 x 6 x .
a. Giải phương trình khi m=3.
b. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
Giải
Đặt: t 3 x 6 x t 2 9 2 3 x 6 x * . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
2 3 x 6 x 9 nên từ (*) ta có 3 t 3 2 .
Phương trình đã cho trở thành t22t9=2m (1).
a. Với m=3 (1) t22t3 t =3. Thay vào (*) ta được x=3, x=6.
b. PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm t 3;3 2 . Xét hàm số
f t t 2 2t 9
với
t 3;3 2 ,
ta thấy f(t) là một hàm đb nên:
6 f (3) f t f 3 2 9 6 2
chỉ khi
6 2m 9 6 2
với
t 3;3 2 .
Do vậy (1) có nghiệm
t 3;3 2
khi và
6 2 9
m3
2
Chú ý: Để tìm miền giá trị của t ta có 2 cách thương dùng như sau:
Cách 1: dùng BĐT như bài trên
Cách2: dùng pp hàm số ( xem phần PP hàm số ).
Ví dụ 2: Giải phương trình x 3 35 x3 x 3 35 x3 30 .
HD: đặt:
t x 3 35 x3 x 3 35 x3
t 3 35
.
3t
ĐS: x=2, x=3.
Cách khác: Đặt y 3 35 x3 x3 y3 35
Pt chuyển về hệ:
xy ( x y ) 30
, Giải hệ ta được ( x; y ) (2;3) (3; 2) . ĐS: x=2, x=3.
3
3
x y 35
Ví dụ 3: Giải bất phương trình
HD: Đặt
7 x 7 7 x 6 2 49 x2 7 x 42 181 14x .
6
t 7x 7 7x 6 0 … x 6 .
7
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
10
PT – BPT vô tỷ
Dạng 3:
F n f x , n g x 0 , trong đó F(t) là một phương trình đẳng cấp bậc k.
TH1: Kiểm tra nghiệm với g x 0 .
TH2: Giả sử g x 0 chia hai vế phương trình cho
Ví dụ 1: Giải phương trình
ĐK:
t
x 1
, t 0.
x x 1
tn
f x
g x
.
x 1 x2 x 1 2 x2 x 1 2 x 1
x 1 . 5 x3 1 2 x 2 2 5
2
và đặt
5 x3 1 2 x 2 2 .
x 1
x 1
5 2
20
x x 1
x x 1
t 2
trở thành 2t 2 5t 2 0 1 .
t
2
2
Đặt
g k x
Phương trình
2
Với t=2: Phương trình đã cho vô nghiệm.
Với
t
1
:
2
Phương trình đã cho có nghiệm
x
5 37
2
.
Ví dụ 2: Giải phương trình 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x 1 .
Giải
ĐK: x 5 . 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x 1 5x2 14x 9 5 x 1
Bình phương hai vế: 2 x2 4 x 5 3 x 4 5 x2 4 x 5 x 4
x2 4 x 5
, t 0.
x4
x2 x 20
3
.
2
Với t = 1: Phương trình đã cho có nghiệm x 5 61 5, x 5 61 5 .
2
2
7
3
Với t : Phương trình đã cho có nghiệm x 8 5, x 5 .
5
2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x 5 61 , x 8 .
2
Đặt
t
phương trình trở thành
2t 2 5t 3 0 t 1, t
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 x 1 m x 1 2 4 x2 1 .
HD: ĐK x 1 . Xét hai trường hợp x = 1 và x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho
đặt
t4
x 1 4
2
1
x 1
x 1
0 t 1 . ĐS
1 m
4
x2 1
1
.
3
Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để).
af x g x f x h x 0 . Đặt t f x , khi đó phương trình trở thành
at 2 g x t h x 0 .
Ví dụ: Giải phương trình 2 1 x x2 2 x 1 x2 2 x 1 .
HD
Đặt t x2 2x 1 x 1 6 .
(Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình, bất phương trình lượng giác,
mũ, logrit,…)
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
11
PT – BPT vô tỷ
Bài tập
Giải các phương trình sau:
9 193
17 3 73
.
, x
4
4
1.
2 x 2 5 x 2 4 2 x3 21x 20
ĐS:
x
2.
x3 3x 2 2
x 2
Đặt
y x2,
3.
2 x 2 3x 2 3 x3 8
ĐS:
x 3 13 .
4.
2x
Đặt
t 1
3
6x 0
x 1
1
1
1 3 x
x
x
x
1
x
ĐS:
, ĐS:
x 2, x 2 2 3 .
x
1 5
2
.
Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác).
Khi giải các phương trình, bất phương trình lượng giác chúng ta thường tìm mọi
cách đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình, bất phương trình đại số. Tuy nhiên, trong
nhiều trường hợp cách là ngược lại tỏ ra khá hiệu quả, bằng những tính chất của hàm
lượng giác ta sẽ đưa các bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải quyết bài toán
lượng giác này.
Lưu ý vài tính chất cơ bản:
* sin a 1, cos a 1 .
* sin 2 a cos 2 a 1 .
* 1 tan 2 a
1
cos2 a
* 1 cot 2 a
1
sin 2 a
.
Ví dụ 1: Giải phương trình 1 1 x2 2x2 .
Giải
ĐK x 1 . Đặt x cos t , t 0; . Khi đó phương trình trở thành
1 1 cos2 t 2cos2 t 2sin 2 t sin t 1 0.
x cos t 1 sin 2 t
3
2
Ta tìm được:
1
.
2
Khi đó
.
Nhận xét: * Nếu bài toán có tập xác định
u x a sin t , t ;
2 2
sin t
u x a .
Ta có thể nghĩ đến cách đặt
hoặc đặt u x a cos t , t 0; .
* Nếu u x 0; a ta có thể đặt u x a sin 2 t , t 0; .
Ví dụ 2: Giải phương trình
x3
1 x
2 3
2
x 2 1 x 2 .
HD: Đặt x cos t , t 0; dưa về phương trình lượng giác
sin t cos t 1 sin t cos t 2 sin t cos t . Để gải phương trình này ta lại đặt
u sin t cos t , u 2 .
ĐS:
x
2
1 2 2 2
, x
2
2
Ví dụ 3: Giải phương trình
.
1 x 2 4 x 3 3x .
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
ĐS:
x
1
2
, x
2 2
4
.
12
PT – BPT vô tỷ
Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình).
* Khi gặp phương trình có dạng F f x , n a f x , m b f x 0 .
Đặt
u n a f x, v m b f x .
Khi đó ta được hệ phương trình sau:
F u , v 0
.
n
m
u v a b
Giải
hệ này tìm u, v rồi ta lại tìm x. Khi tìm x ta chỉ giải một trong hai phương trình
u n a f x hoặc v m b f x .
Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 x 6 x 3 3 x 6 x .
ĐS: x 0, x 3 .
Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 24 x 12 x 6 .
ĐS:
x 24, x 88, x 3 .
Ví dụ 3: Giải phương trình: 4 x 4 17 x 3 .
ĐS: x 1, x 16 .
Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 2 x 2 3 7 x 2 3 2 x 7 x 3 .
ĐS: x 1, x 6 .
Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 x 1 3 x 3 3 2 , đặt u 3 x 1, v 3 x 3, pt trở thành:
u v 3 2
3
3
u v 2
Ví dụ 6: Giải phương trình:
3
1
1
x
x 1,
2
2
đặt
u
3
1
x,v
2
1
x
2
Ví dụ 7: Với giá trị nào của a thì phương trình: 3 1 x 3 1 x a có nghiệm.
Đặt u 3 1 x , v 3 1 x . Phương trình trở thành:
a u 2 v 2 uv 2
u v a
TH1: a = 0 hệ phương trình vô nghiệm.
TH2:
a0,
hệ phương trình trở thành
u v a
1 2 2.
uv 3 a a
Hệ có nghiệm khi
S 2 4P 0 0 a 2 .
Vậy phương trình có nghiệm khi 0 a 2 .
* Khi gặp phương trình có dạng f n x b a n af x b .
n
t b ay
Đặt t f x , y af x b ta có hệ n
.
y b at
phương trình x3 1 2 3 2 x 1 . ĐS: x 1, x 1 5 .
2
phương trình 2 x2 4 x x 3 .
2
n
Ví dụ 1: Giải
Ví dụ 2: Giải
Giải
ĐK
x 3 . 2 x 2 4 x
Đặt
t x 1, y
x3
2
2 x 1 2
2
x 1
t
t
1
1 y2 1 .
2
2
2
2
x 1
1 .
2
1
2
t 1 2 y
trình
y2 1 1 t
2
x 1 1
2
Ta được hệ phương
1
2
3 17
5 13
, x
4
4
3 17
x
. x 5 13
4
4
Giải ra ta được kết quả:
Thử lại ta được ĐS:
x 1 2
x
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
13
PT – BPT vô tỷ
Chú ý: bài này không thể sử dụng phương pháp bình phương vì không nhẩm được
nghiệm, nên ta phải biến đổi để xuất hiện những biểu thức giống nhau và từ đó ta đặt ẩn
phụ.
Ví dụ 3: Giải phương trình
4 x2 7 x 1 2 x 2 .
ĐS:
7
1
x 1, x , x .
4
4
Chú ý: Bài này có thể sử dụng phương pháp bình phương.
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1. 3x 2 x 1 4x 9 2 3x2 5x 2
2. x2 x 2 x2 x
x 2 x 4 x2 x 1 2 x 2 2 x 9
4.
4
1
5
x x 2x
x
x
x
Bài 2: Giải cácbất phương trình sau:
1. 5x2 10x 1 7 2x x2
2.
3
3.
3.
2 x2 x2 5x 6 10 x 15
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1. 3 12 x 3 14 x 2
3. 1 x2 2 3 1 x2 3
5.
1 x 1 x 2
x2
4
(đặt
t 1 x 1 x
2.
4.
24 x 12 x 6
1 x 1 x 2
4.
3
.
x2
4
.
x 1 3 x 3 3 2
x2 2 2 x
).
IV. Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k
(kR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có
f (u ) f v u v .
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì
phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng
F b F a
(a;b) thì c a; b : F ' c
. Khi áp dụng giải phương trình: nếu có F(b) – F(a)
ba
c a; b : F ' c 0 F ' x 0
= 0 thì
có nghiệm thuộc (a;b).
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoăc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ
không có quá hai nghiệm thuộc D.
Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:
Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng
minh f(x) đồng biến (nghịch biến) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.
Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng
lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra phương
trình có nghiệm duy nhất.
Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu khi
đó ta có: u = v.
Ví dụ: Giải phương trình: 4 x 1 4 x2 1 1
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
14
PT – BPT vô tỷ
ĐK:
x
1
.
2
Đặt
f x 4 x 1 4 x2 1 .
Do đó hàm số đồng biến với
duy nhất. Thấy
x
1
2
x
1
,
2
Miền xác định:
x
1
, f ' x
2
2
4x 1
4x
4x2 1
0.
nên phương trình nếu có nghiệm thì đó là nghiệm
là nghiệm của phương trình.
Đối với phương trình chứa tham số ta thực hiện như sau:
Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1)
B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và
đường thẳng
d: y = g(m).
B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)
B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm: min
f x, m g m max f x, m .
xD
xD
* phương trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm.
* phương trình vô nghiệm khi: d không cắt (C ) .
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: x2 x 1 x2 x 1 m có nghiệm.
TXĐ: R
Xét hs:
y f x x2 x 1 x2 x 1 ,
Df = R,
y'
2x 1
x2 x 1
2x 1
x2 x 1
2 x 1 2 x 1 0
y ' 0 2 x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 2 x 1
2
2
2
2
2 x 1 x x 1 2 x 1 x x 1
(v.nghiệm)
Mặt khác: f’(0) = 1 > 0 suy ra y’ > 0 nên hàm số đồng biến.
2x
lim lim
Giới hạn:
x
x
x2 x 1 x2 x 1
2x
lim lim
x
BBT:
x
y’
y
x
x2 x 1 x2 x 1
1
1
+
1
1
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1.
Chú ý: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số, rất có
thể chúng ta ngộ nhận tập giá trị của hàm số là R và dẩn đến việc kết luận sai lầm rằng
phương trình có nghiệm với mọi m. Do đó việc tìm giới hạn trong bài toán khảo sát là
rất cần thiết để tìm ra tập giá trị.
Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
bpt
1 x 3
m,
x 1
và f(3) =
xét hs
y
mx x 3 m 1 ,
1 x 3
5 x
y'
2
x 1
2 x 3 x 1
.
ĐK:
x3
y ' 0 x 5 . lim y 0
x
1
.
2
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
15
PT – BPT vô tỷ
BBT:
x
y’
y
3
+
5
0
y(5)
1
2
0
Vậy bất phương trình có nghiệm
y 5 m m
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình:
x x x 12 m
Giải: ĐK:
0 x4
pt ( x x x 12)
5 x 4 x m
3 1
4
5 x 4 x
có nghiệm.
y f x ( x x x 12)
xét hs
5 x 4 x
.
Miền
xác định: D 0; 4
Nhận xét: Hàm số h x x x x 12 đồng biến trên D.
Hàm số g x 5 x 4 x đồng biến trên D.
Suy ra y = f(x) = h(x).g(x) là hàm đồng biến trên D. Vậy phương trình có nghiệm khi và
chỉ khi f 0 m f 4
Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình:
Giải: Phương trình được viết lại dưới dạng:
x3
x2 1
x 3 m x2 1
m
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C):
Lập BBT :
x
y’
y
+
1/3
0
y
x3
x2 1
và đường thẳng: y = m.
10
1
1
phương trình vô nghiệm.
1 m 1 hoặc m 10 : phương trình có nghiệm duy nhất.
1 m 10 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 1 3 x x 13 x m , (1)
Giải: ĐK: 1 x 3 . Đặt t x 1 3 x , lập BBT của t(x) với 1 x 3 ta có 2 t 2
KL:
m 1 m 10 :
1 2
t +
2
1 m 2 .
Khi đó phương trình (1) trở thành:
trái với
2 t 2
từ đó kết luận:
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
t + 1 = m, lập bảng biến thiên của hàm số vế
16
PT – BPT vô tỷ
Bài tập và hướng dẫn giải
Bài 1: Giải phương trình sau:
2x 1 3 2x 2 3 2x 3 0
3
(1)
Giải:
Tập xác định: D = R. Đặt f(x) =
Ta có:
2
f ' ( x)
3
(2 x 1)
2x 1 3 2x 2 3 2x 3
2
2
3
3
(2 x 2)
2
2
3
1
3
0; x ,1,
2
2
(2 x 3)
2
Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên tập M= , 1 1 ,1 1, 3 3 ,
2
2
2
2
Ta thấy f(-1)=0 x=-1 là một nghiệm của (1). Ta có: f ( 1 ) 3; f ( 3 ) 3
2
2
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):
x
-∞
f’(x)
F(x)
3
2
-1
+∞
1
2
+∞
0
3
-∞ -3
Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0 x = -1. Vậy phương trình đã cho có duy nhất
một nghiệm x = -1.
Bài 2. Tìm điều kiện của m để phương trình x2 2x m
1) có nghiệm thực,
2) có 1 nghiệm thực,
phân biệt.
HƯỚNG DẪN GIẢI
(1)
Đặt y
3x2
6x
1
2
2x
x
x2
1 , với x
1
2
x
m
(2x
1)2
m
2x
1 (1)
3) có 2 nghiệm thực
3x 2
6x
1.
1
ta có:
2
Bảng biến thiên
x
1
2
1
y
2
5
4
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
1) m
2,
2) m
5
4
m
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
2,
3)
5
4
m
2.
17
PT – BPT vô tỷ
Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình x
x
1
2
1
4
x
m (2) có nghiệm
thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t
x
1
4
0
1
4
2
t
Do t
0
1
2
t
t2
x
2
t
2
t
1
, (2) trở thành:
4
1
4
2
m
t
1
4
t
m
2
1
2
t
m.
1
.
4
1
nên (2) có nghiệm m
4
Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình 16
m
x2
0 (3) có nghiệm
4
x2
16
thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t
16
x2
t
m
4
t
m 0.
(0; 4] , (3) trở thành t
Lập BBT của hàm số y = t2 – 4t, ta có 4
t2
0
4t
m.
Chú ý: Nếu giải như bài 2, ta sẽ loại mất m = 0. Do đó nên lập BBT để tránh sai sót.
Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình
x
x
1
2
m
x
x
2
1
0 (4) có nghiệm
2
thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
x
x
Đặt t
1
2
) \ {1} , (4) trở thành t
m
t
2
0
t2
Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình x 1 m x
nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện: x 1 .
+ x = 1: (5) vô nghiệm.
1
2 4 x2
t
(0;
Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có 0
+ x > 1: (5)
Đặt t
4
x
x
4
1
1
x
x
1
1
4
1
m4
x
x
2
x
1
1
1
2
t
(1;
m
2t
m.
3.
0 (5) có
1
0.
) , (5) trở thành t
m
t
2
0
t2
2t
m.
Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có m > 3.
Bài 7. Tìm điều kiện của m để phương trình x2 2x 3 x m (6)
1) có nghiệm thực,
2) có 2 nghiệm phân biệt.
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
18
PT – BPT vô tỷ
HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có (6)
x2 2x 3 x
Đặt y
x2 2x 3 x, x
m.
y'
Bảng biến thiên
x
y’
y
x
1
x
x
1
2
3
2x
x
1
3
–1
x2
1
x
2
2x
2x
3
3
.
3
–
+
1
–3
1
Dựa vào bảng biến thiên:
1 m
1) 3 m
2) không có m.
1,
Bài 8. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
x
1
1
x
m (7).
HƯỚNG DẪN GIẢI
Xét hàm số f(x)
1
x
Bảng biến thiên
x
f’(x)
f(x)
1
x, x
–1
0
0
2
+
1
f /(x)
[ 1; 1]
x
1
2 1
x
2
x2
9x
x
.
1
–
2
2
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
2 m 2 : (7) vô nghiệm.
+m
+ m = 2: (7) có 1 nghiệm.
+ 2 m 2 : (7) có 2 nghiệm phân biệt.
9 x
Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình x
thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
(8)
Đặt t
9x
x
9
9
2 9x
x2
0
x
x2
t
0
0
x
t2
9
x2 )
x2
m
(9x
(9
2
x)
9
, x
2
2t 9
[0; 9] , ta có (8) trở thành:
2t
9
m.
m.
9 trên [0 ; 9/2] ta có
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
2 9x
x2
9x
t2
Lập BBT của hàm số y
x
m (8) có nghiệm
9
4
m
10 .
19
PT – BPT vô tỷ
Bài 10. Tìm điều kiện m để phương trình x 4 x
nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t
x 4 0
x t2 4. Ta có (9) trở thành:
t2
Lập BBT của hàm số y
4
4 t2 4 t m
t2 2t
2t 6, t 0 ta có m 6 .
4t
t2
Bài 11. Tìm điều kiện m để phương trình
x
6 x
x
6
9
x
x
m (9) có
4
m.
6 x
9
3
t2
x
m
6
(10)
có nghiệm thực.
Đặt t
x
9
2
t
6t
0
x
t
2
9
HƯỚNG DẪN GIẢI
9 . Ta có (10) trở thành:
2
t
6t
t2
9
t2
2
t
9
6
m
6 t
12t
9
27
m, 0
m, t
3
t
9
m
3 (*)
t
3 (**)
m
+ Lập BBT của hàm số y
t2 12t 9, t 3 ta suy ra (*) có nghiệm thực
18 m 27 .
+ Do 18
t2 27 27, t [0; 3) nên (**) có nghiệm thực
Vậy với m 27 thì (10) có nghiệm thực.
Bài 12. Tìm m để phương trình
thực.
x
1
3
x
(x
1)(3
27 .
m (11) có nghiệm
x)
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t
x 1
3 x 0
Mặt khác t2 2 2 x 1. 3
Ta có (11) trở thành:
t
2
t
x
t2
2
Chú ý: Nên lập BBT của t
x
9
m
1
Đặt t
x
4
4x
(3
1 2
t
2
2
x)]
t
t
2.
4
1
2
t
2.
m.
2; 2 ta có 1
m
2.
x để tìm miền giá trị t.
3
x
x
8
x
(1
x)(8
x)
m có nghiệm thực.
6 2
.
2
Bài 14. Tìm m để phương trình
4
1)
1, t
Bài 13. Tìm m để phương trình 1
Đáp số: 3
1. 3
m
2
t
2 x
[(x
2
1 2
t
2
Lập BBT của hàm số y
2
m
t2 t 6
(13)
Lập BBT của hàm số y
x4
4x
m
4
x4
4x
m
6 (13) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
0. Ta có:
4
0
t 2
x4
x4 4x 16 trên
Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú
m 2
x4
ta có m 19 .
4x
4x
16
m.
20
- Xem thêm -
.PDF 
27 
123 
123 
