Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
4
Traàn Só Tuøng
22. (ÑH Sö phaïm HN 2 khoái A 2000)
Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 8 chöõ soá töø caùc chöõ soá: 1, 2, 3, 4,
5, 6 trong ñoù caùc chöõ soá 1 vaø 6 ñeàu coù maët 2 laàn, caùc chöõ soá khaùc
coù maët 1 laàn.
23. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái ABE 2000)
Coù bao nhieâu soá khaùc nhau goàm 7 chöõ soá sao cho toång caùc chöõ soá
cuûa moãi soá laø moät soá chaün.
24. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái DGM 2000)
Tìm taát caû caùc soá töï nhieân coù ñuùng 5 chöõ soá sao cho trong moãi soá ñoù
chöõ soá ñöùng sau lôùn hôn chöõ soá ñöùng lieàn tröôùc.
25. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000)
Moät ñoàn caûnh saùt khu vöïc coù 9 ngöôøi. Trong ngaøy, caàn cöû 3 ngöôøi
laøm nhieäm vuï ôû ñòa ñieåm A, 2 ngöôøi ôû ñòa ñieåm B, coøn 4 ngöôøi
thöôøng tröïc taïi ñoàn. Hoûi coù bao nhieâu caùch phaân coâng?
26. (ÑH GTVT 2000)
Moät lôùp hoïc coù 20 hoïc sinh, trong ñoù coù 2 caùn boä lôùp. Hoûi coù bao
nhieâu caùch cöû 3 ngöôøi ñi döï hoäi nghò Hoäi sinh vieân cuûa tröôøng sao
cho trong 3 ngöôøi ñoù coù ít nhaát moät caùn boä lôùp.
27. (HV Quaân y 2000)
Xeáp 3 vieân bi ñoû coù baùn kính khaùc nhau vaø 3 vieân bi xanh gioáng nhau
vaøo moät daõy 7 oâ troáng. Hoûi:
1. Coù bao nhieâu caùch xeáp khaùc nhau?
2. Coù bao nhieâu caùch xeáp khaùc nhau sao cho 3 vieân bi ñoû xeáp caïnh
nhau vaø 3 vieân bi xanh xeáp caïnh nhau?
28. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CPB 2000)
Coù bao nhieâu soá leû goàm 6 chöõ soá, chia heát cho 9?
29. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CB 2000)
Coù bao nhieâu soá leû goàm 6 chöõ soá khaùc nhau lôùn hôn 500000?
30. (CÑSP Nha Trang 2000)
Vôùi caùc soá: 0, 1, 2, 3, 4, 5 coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï
nhieân goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø trong ñoù phaûi coù maët chöõ soá 0.
31. (CÑSP Nhaø treû – Maãu giaùo TÖ I 2000)
Moät lôùp hoïc sinh maãu giaùo goàm 15 em, trong ñoù coù 9 em nam, 6 em
nöõ. Coâ giaùo chuû nhieäm muoán choïn moät nhoùm 5 em ñeå tham döï troø
chôi goàm 3 em nam vaø 2 em nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn?
32. (ÑH An ninh khoái D 2001)
Cho caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4. Hoûi coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá
coù baûy chöõ soá töø nhöõng chöõ soá treân, trong ñoù chöõ soá 4 coù maët ñuùng
Traàn Só Tuøng
1
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Phaàn 1. BAØI TOAÙN ÑEÁM
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(ÑHQG TPHCM khoái A ñôït 1 1999)
Cho taäp hôïp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1. Coù bao nhieâu taäp con X cuûa taäp A thoaû ñieàu kieän X chöùa 1 vaø
khoâng chöùa 2.
2. Coù bao nhieâu soá töï nhieân chaün goàm 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau
laáy töø taäp A vaø khoâng baét ñaàu bôûi 123.
(ÑHQG TPHCM khoái D ñôït 1 1999)
Moät hoïc sinh coù 12 cuoán saùch ñoâi moät khaùc nhau, trong ñoù coù 2 cuoán
saùch Toaùn, 4 cuoán saùch Vaên vaø 6 cuoán saùch Anh. Hoûi coù bao nhieâu
caùch xeáp taát caû caùc cuoán saùch leân moät keä saùch daøi, neáu caùc cuoán
saùch cuøng moân ñöôïc xeáp keà nhau?
(ÑHQG TPHCM khoái AB ñôït 2 1999)
Moät baøn daøi coù hai daõy gheá ñoái dieän nhau, moãi daõy coù 6 gheá. Ngöôøi
ta muoán xeáp choã ngoài cho 6 hoïc sinh tröôøng A vaø 6 hoïc sinh tröôøng
B vaøo baøn noùi treân. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp trong moãi tröôøng hôïp
sau:
1. Baát cöù 2 hoïc sinh naøo ngoài caïnh nhau hoaëc ñoái dieän nhau thì khaùc
tröôøng vôùi nhau.
2. Baát cöù 2 hoïc sinh naøo ngoài ñoái dieän nhau thì khaùc tröôøng vôùi nhau.
(ÑHQG TPHCM khoái D ñôït 2 1999)
Cho taäp X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá n goàm 5
chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät töø X (chöõ soá ñaàu tieân phaûi khaùc 0) trong
moãi tröôøng hôïp sau:
1. n laø soá chaün.
2. Moät trong ba chöõ soá ñaàu tieân phaûi baèng 1.
(ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 1999)
Moät hoäp ñöïng 4 vieân bi ñoû, 5 vieân bi traéng vaø 6 vieân bi vaøng. Ngöôøi ta
choïn ra 4 vieân bi töø hoäp ñoù. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå trong soá
bi laáy ra khoâng coù ñuû caû 3 maøu?
(ÑH Hueá khoái D chuyeân ban 1999)
Ngöôøi ta xeáp ngaãu nhieân 5 laù phieáu coù ghi soá thöù töï töø 1 ñeán 5 caïnh
nhau.
1. Coù bao nhieâu caùch xeáp ñeå caùc phieáu soá chaün luoân ôû caïnh nhau?
2. Coù bao nhieâu caùch xeáp ñeå caùc phieáu phaân thaønh hai nhoùm chaün leû
rieâng bieät (chaúng haïn 2, 4, 1, 3, 5)?
(ÑH Hueá khoái RT chuyeân ban 1999)
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2
Traàn Só Tuøng
Ngöôøi ta vieát caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5 leân caùc taám phieáu, sau ñoù xeáp
thöù töï ngaãu nhieân thaønh moät haøng.
1. Coù bao nhieâu soá leû goàm 6 chöõ soá ñöôïc saép thaønh?
2. Coù bao nhieâu soá chaün goàm 6 chöõ soá ñöôïc saép thaønh?
(HV Ngaân haøng TPHCM 1999)
Xeùt nhöõng soá goàm 9 chöõ soá, trong ñoù coù naêm chöõ soá 1 vaø boán chöõ soá
coøn laø 2, 3, 4, 5. Hoûi coù bao nhieâu soá nhö theá, neáu:
1. Naêm chöõ soá 1 ñöôïc xeáp keà nhau.
2. Caùc chöõ soá ñöôïc xeáp tuyø yù.
(ÑH Haøng haûi 1999)
Coù bao nhieâu caùch saép xeáp naêm baïn hoïc sinh A, B, C, D, E vaøo moät
chieác gheá daøi sao cho:
1. Baïn C ngoài chính giöõa.
2. Hai baïn A vaø E ngoài ôû hai ñaàu gheá.
(HV BCVT 1999)
Hoûi töø 10 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu
soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau, sao cho trong caùc chöõ soá ñoù coù maët soá
0 vaø 1.
(ÑHQG HN khoái B 2000)
Töø 5 chöõ soá 0, 1, 3, 5, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 4 chöõ soá
khaùc nhau vaø khoâng chia heát cho 5.
(ÑHQG TPHCM khoái A 2000)
Moät thaày giaùo coù 12 cuoán saùch ñoâi moät khaùc nhau trong ñoù coù 5 cuoán
saùch Vaên, 4 cuoán saùch Nhaïc vaø 3 cuoán saùch Hoaï. OÂng muoán laáy ra
6 cuoán vaø taëng cho 6 hoïc sinh A, B, C, D, E, F moãi em moät cuoán.
1. Giaû söû thaày giaùo chæ muoán taëng cho caùc hoïc sinh treân nhöõng cuoán
saùch thuoäc 2 theå loaïi Vaên vaø Nhaïc. Hoûi coù bao nhieâu caùch taëng?
2. Giaû söû thaày giaùo muoán raèng sau khi taëng saùch xong, moãi moät trong
ba loaïi saùch treân ñeàu coøn laïi ít nhaát moät cuoán. Hoûi coù bao nhieâu caùch
choïn?
(ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 2000)
Moät lôùp coù 30 hoïc sinh nam vaø 15 hoïc sinh nöõ. Coù 6 hoïc sinh ñöôïc
choïn ra ñeå laäp moät toáp ca. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn khaùc nhau
neáu:
1) phaûi coù ít nhaát laø 2 nöõ.
2) choïn tuyø yù.
(ÑH Hueá khoái DRT chuyeân ban 2000)
Cho caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5. Töø caùc chöõ soá ñaõ cho ta coù theå laäp
Traàn Só Tuøng
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
3
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
ñöôïc:
1. Bao nhieâu soá chaün coù boán chöõ soá vaø boán chöõ soá ñoù khaùc nhau
töøng ñoâi moät.
2. Bao nhieâu soá chia heát cho 5, coù ba chöõ soá vaø ba chöõ soá ñoù khaùc
nhau töøng ñoâi moät.
3. Bao nhieâu soá chia heát cho 9, coù ba chöõ soá vaø ba chöõ soá ñoù khaùc
nhau töøng ñoâi moät.
(ÑH Y HN 2000)
Coù 5 nhaø toaùn hoïc nam, 3 nhaø toaùn hoïc nöõ vaø 4 nhaø vaät lí nam. Laäp
moät ñoaøn coâng taùc 3 ngöôøi caàn coù caû nam vaø nöõ, caàn coù caû nhaø toaùn
hoïc vaø nhaø vaät lí. Hoûi coù bao nhieâu caùch?
(ÑH Caàn Thô khoái D 2000)
Vôùi caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta laäp caùc soá maø moãi soá coù naêm chöõ soá
trong ñoù caùc chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät. Hoûi
1. Coù bao nhieâu soá trong ñoù phaûi coù maët chöõ soá 2.
2. Coù bao nhieâu soá trong ñoù phaûi coù maët hai chöõ soá 1 vaø 6.
(ÑH Thaùi Nguyeân khoái AB 2000)
Moät ñoäi vaên ngheä coù 20 ngöôøi, trong ñoù coù 10 nam vaø 10 nöõ. Hoûi coù
bao nhieâu caùch choïn ra 5 ngöôøi sao cho:
1. Coù ñuùng 2 nam trong 5 ngöôøi ñoù.
2. Coù ít nhaát 2 nam vaø ít nhaát 1 nöõ trong 5 ngöôøi ñoù.
(ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2000)
Töø 3 chöõ soá 2, 3, 4 coù theå taïo ra ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5
chöõ soá, trong ñoù coù maët ñuû 3 chöõ soá treân.
(ÑH Thaùi Nguyeân khoái G 2000)
Coù bao nhieâu soá goàm 5 chöõ soá sao cho toång caùc chöõ soá cuûa moãi soá
laø moät soá leû.
(ÑH Caàn Thô khoái AB 2000)
Coù 9 vieân bi xanh, 5 vieân bi ñoû, 4 vieân bi vaøng coù kích thöôùc ñoâi moät
khaùc nhau.
1. Coù bao nhieâu caùch choïn ra 6 vieân bi, trong ñoù coù ñuùng 2 vieân bi
ñoû.
2. Coù bao nhieâu caùch choïn ra 6 vieân bi, trong ñoù soá bi xanh baèng soá
bi ñoû.
(ÑH Ñaø Laït khoái ADV 2000)
Coù 5 theû traéng vaø 5 theû ñen, ñaùnh daáu moãi loaïi theo caùc soá 1, 2, 3, 4,
5. Coù bao nhieâu caùch saép xeáp taát caû caùc theû naøy thaønh moät haøng sao
cho hai theû cuøng maøu khoâng naèm lieàn nhau.
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
8
Traàn Só Tuøng
Moät ñoäi thanh nieân tình nguyeän coù 15 ngöôøi, goàm 12 nam vaø 3 nöõ.
Hoûi coù bao nhieâu caùch phaân coâng ñoäi thanh nieân tình nguyeän ñoù veà
giuùp ñôõ 3 tænh mieàn nuùi, sao cho moãi tænh coù 4 nam vaø 1 nöõ.
(ÑH khoái A 2005 döï bò 1)
Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï
nhieân, moãi soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau vaø toång caùc chöõ soá haøng
chuïc, haøng traêm, haøng ngaøn baèng 8.
(ÑH khoái B 2005 döï bò 1)
Moät ñoäi vaên ngheä coù 15 ngöôøi goàm 10 nam vaø 5 nöõ. Hoûi coù bao nhieâu
caùch laäp moät nhoùm ñoàng ca goàm 8 ngöôøi, bieát raèng trong nhoùm ñoù
phaûi coù ít nhaát 3 nöõ.
(ÑH khoái B 2005 döï bò 2)
Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï
nhieân, moãi soá goàm 5 chöõ soá khaùc nhau vaø nhaát thieát phaûi coù 2 chöõ
soá 1, 5.
(ÑH khoái D 2006)
Ñoäi thanh nieân xung kích cuûa moät tröôøng phoå thoâng coù 12 hoïc sinh,
goàm 5 hoïc sinh lôùp A, 4 hoïc sinh lôùp B vaø 3 hoïc sinh lôùp C. Caàn
choïn 4 hoïc sinh ñi laøm nhieäm vuï, sao cho 4 hoïc sinh naøy thuoäc
khoâng quaù 2 trong 3 lôùp treân. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn nhö vaäy?
(CÑ GTVT III khoái A 2006)
Töø moät nhoùm goàm 15 hoïc sinh khoái A, 10 hoïc sinh khoái B, 5 hoïc sinh
khoái C, choïn ra 15 hoïc sinh sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A vaø
ñuùng 2 hoïc sinh khoái C. Tính soá caùch choïn.
(CÑ Taøi chính – Haûi quan khoái A 2006)
Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá, trong ñoù chöõ soá 0 coù maët
ñuùng 2 laàn, chöõ soá 1 coù maët ñuùng 1 laàn vaø hai chöõ soá coøn laïi phaân
bieät?
(CÑ Xaây döïng soá 3 khoái A 2006)
Coù bao nhieâu soá töï nhieân chaün goàm hai chöõ soá khaùc nhau? Tính toång
cuûa taát caû caùc soá ñoù.
(CÑBC Hoa Sen khoái D 2006)
Cho 2 ñöôøng thaúng d1, d2 song song vôùi nhau. Treân ñöôøng thaúng d1
cho 10 ñieåm phaân bieät, treân ñöôøng thaúng d2 cho 8 ñieåm phaân bieät.
Hoûi coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu tam giaùc maø 3 ñænh cuûa moãi tam giaùc
laáy töø 18 ñieåm ñaõ cho.
Traàn Só Tuøng
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
5
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
3 laàn, coøn caùc chöõ soá khaùc coù maït ñuùng 1 laàn.
(ÑH Caàn Thô 2001)
Moät nhoùm goàm 10 hoïc sinh, trong ñoù coù 7 nam vaø 3 nöõ. Hoûi coù bao
nhieâu caùch saép xeáp 10 hoïc sinh treân thaønh moät haøng daøi sao cho 7
hoïc sinh nam phaûi ñöùng lieàn nhau.
(HV Chính trò quoác gia 2001)
Moät ñoäi vaên ngheä coù 10 ngöôøi, trong ñoù coù 6 nöõ vaø 4 nam.
1. Coù bao nhieâu caùch chia ñoäi vaên ngheä thaønh hai nhoùm coù soá ngöôøi
baèng nhau vaø moãi nhoùm coù soá nöõ nhö nhau.
2. Coù bao nhieâu caùch choïn ra 5 ngöôøi maø trong ñoù khoâng coù quaù 1
nam.
(ÑH Giao thoâng vaän taûi 2001)
Cho 8 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hoûi coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá
goàm 6 chöõ soá khaùc nhau, trong ñoù nhaát thieát phaûi coù maët chöõ soá 4.
(ÑH Hueá khoái ABV 2001)
Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá sao cho khoâng coù chöõ soá
naøo laëp laïi ñuùng 3 laàn?
(ÑH Hueá khoái DHT 2001)
Töø moät nhoùm hoïc sinh goàm 7 nam vaø 6 nöõ, thaày giaùo caàn choïn ra 5
em tham döï leã mittinh taïi tröôøng vôùi yeâu caàu coù caû nam vaø nöõ. Hoûi coù
bao nhieâu caùch choïn?
(HV Kyõ thuaät quaân söï 2001)
Trong soá 16 hoïc sinh coù 3 hoïc sinh gioûi, 5 khaù, 8 trung bình. Coù bao
nhieâu caùch chia soá hoïc sinh ñoù thaønh 2 toå, moãi toå coù 8 ngöôøi sao cho
ôû moãi toå ñeàu coù hoïc sinh gioûi vaø moãi toå coù ít nhaát 2 hoïc sinh khaù.
(ÑH Kinh teá quoác daân 2001)
Vôùi caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï
nhieân maø moãi soá coù 5 chöõ soá khaùc nhau vaø trong ñoù phaûi coù chöõ soá
5.
(HV Ngaân haøng TPHCM khoái A 2001)
1. Coù theå tìm ñöôïc bao nhieâu soá goàm 3 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät?
2. Töø caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá
chaün coù 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau?
(ÑH Ngoaïi thöông TPHCM khoái A 2001)
Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå thieát laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù 6
chöõ soá khaùc nhau maø hai chöõ soá 1 vaø 6 khoâng ñöùng caïnh nhau?
(ÑH Noâng nghieäp I HN khoái A 2001)
Coù 6 hoïc sinh nam vaø 3 hoïc sinh nöõ xeáp thaønh moät haøng doïc. Hoûi coù
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
6
Traàn Só Tuøng
bao nhieâu caùch xeáp ñeå coù ñuùng 2 hoïc sinh nam ñöùng xen keõ 3 hoïc
sinh nöõ. (Khi ñoåi choã 2 hoïc sinh baát kì cho nhau ta ñöôïc moät caùch
xeáp môùi).
(HV Quan heä quoác teá 2001)
Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù
9 chöõ soá maø chöõ soá 9 ñöùng ôû vò trí chính giöõa?
(ÑH Quoác gia TPHCM 2001)
1. Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau, trong
ñoù coù maët chöõ soá 0 nhöng khoâng coù maët chöõ soá 1.
2. Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 7 chöõ soá, bieát raèng chöõ soá 2 coù maët
ñuùng 2 laàn, chöõ soá 3 coù maët ñuùng 3 laàn vaø caùc chöõ soá coøn laïi coù maët
khoâng quaù moät laàn.
(ÑHSP HN II 2001)
Tính toång taát caû caùc soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät
ñöôïc laäp töø 6 chöõ soá 1, 3, 4, 5, 7, 8.
(ÑHSP TPHCM khoái DTM 2001)
Cho A laø moät hôïp coù 20 phaàn töû.
1. Coù bao nhieâu taäp hôïp con cuûa A?
2. Coù bao nhieâu taäp hôïp con khaùc roãng cuûa A maø coù soá phaàn töû laø soá
chaün?
(ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2001)
1. Coù bao nhieâu soá chaün coù ba chöõ soá khaùc nhau ñöôïc taïo thaønh töø
caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5.
2. Coù bao nhieâu soá coù ba chöõ soá khaùc nhau ñöôïc taïo thaønh töø caùc
chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6 maø caùc soá ñoù nhoû hôn soá 345.
(ÑH Vaên Lang 2001)
Moät lôùp coù 10 hoïc sinh nam vaø 10 hoïc sinh nöõ. Caàn choïn ra 5 hoïc
sinh ñeå ñi laøm coâng taùc “Muøa heø xanh”. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn
neáu trong 5 hoïc sinh ñoù phaûi coù ít nhaát:
1. Hai hoïc sinh nöõ vaø hai hoïc sinh nam.
2. Moät hoïc sinh nöõ vaø moät hoïc sinh nam.
(ÑH Y HN 2001)
Vôùi caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá
chaün coù ba chöõ soá khaùc nhau vaø khoâng lôùn hôn 789?
(ÑH khoái D döï bò 1 2002)
Ñoäi tuyeån hoïc sinh gioûi cuûa moät tröôøng goàm 18 em, trong ñoù coù 7 hoïc
sinh khoái 12, 6 hoïc sinh khoái 11, 5 hoïc sinh khoái 10. Hoûi coù bao
nhieâu caùch cöû 8 hoïc sinh trong ñoäi ñi döï traïi heø sao cho moãi khoái coù
Traàn Só Tuøng
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
7
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
ít nhaát moät em ñöôïc choïn.
(ÑH khoái A 2003 döï bò 2)
Töø caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân
maø moãi soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø chöõ soá 2 ñöùng caïnh chöõ soá 3.
(ÑH khoái B 2003 döï bò 1)
Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5,6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân
maø moãi soá coù 6 chöõ soá vaø thoaû maõn ñieàu kieän: saùu chöõ soá cuûa moãi
soá laø khaùc nhau vaø trong moãi soá ñoù toång cuûa 3 chöõ soá ñaàu nhoû hôn
toång cuûa 3 chöõ soá cuoái moät ñôn vò.
(ÑH khoái B 2003 döï bò 2)
Töø moät toå goàm 7 hoïc sinh nöõ vaø 5 hoïc sinh nam caàn choïn ra 6 em
trong ñoù soá hoïc sinh nöõ phaûi nhoû hôn 4. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn
nhö vaäy?
(ÑH khoái D 2003 döï bò 1)
Töø caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï
nhieân chaün maø moãi soá goàm 7 chöõ soá khaùc nhau?
(CÑ Sö phaïm khoái A 2002)
1. Tìm soá giao ñieåm toái ña cuûa:
a) 10 ñöôøng thaúng phaân bieät.
b) 6 ñöôøng troøn phaân bieät.
2. Töø keát quaû cuûa caâu 1) haõy suy ra soá giao ñieåm toái ña cuûa taäp hôïp
caùc ñöôøng noùi treân.
(CÑ Sö phaïm khoái A 2002 döï bò)
Cho ña giaùc loài n caïnh. Xaùc ñònh n ñeå ña giaùc coù soá ñöôøng cheùo gaáp
ñoâi soá caïnh.
(CÑ Xaây döïng soá 3 – 2002)
Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 3 chöõ
soá khaùc nhau vaø nhoû hôn 245.
(CÑ Sö phaïm Quaûng Ngaõi 2002)
Töø 5 chöõ soá 0, 1, 2, 5, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá leû, moãi soá goàm
4 chöõ soá khaùc nhau.
(ÑH khoái B 2004)
Trong moät moân hoïc, thaày giaùo coù 30 caâu hoûi khaùc nhau goàm 5 caâu
hoûi khoù, 10 caâu hoûi trung bình, 15 caâu hoûi deã. Töø 30 caâu hoûi ñoù coù
theå laäp ñöôïc bao nhieâu ñeà kieåm tra, moãi ñeà goàm 5 caâu hoûi khaùc nhau
vaø nhaát thieát phaûi coù ñuû 3 loaïi caâu hoûi (khoù, trung bình, deã) vaø soá caâu
hoûi deã khoâng ít hôn 2.
(ÑH khoái B 2005)
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
12
Traàn Só Tuøng
2. Laäp moät soá coù 9 chöõ soá thoaû maõn yeâu caàu; thöïc chaát laø vieäc xeáp
caùc soá 2, 3, 4, 5 vaøo 4 vò trí tuyø yù trong 9 vò trí (5 vò trí coøn laïi ñöông
nhieân daønh cho chöõ soá 1 laëp 5 laàn).
9!
= 6.7.8.9 = 3024 soá.
Vaäy: coù taát caû A94 =
5!
9. (ÑH Haøng haûi 1999)
1. Xeáp C ngoài chính giöõa: coù 1 caùch.
Xeáp A, B, D, E vaøo 4 choã coøn laïi: coù 4! = 24 caùch.
Vaäy: coù 24 caùch xeáp thoaû yeâu caàu.
2. Xeáp A vaø E ngoài ôû hai ñaàu gheá: coù 2! = 2 caùch.
Xeáp B, C, D vaøo 3 choã coøn laïi: coù 3! = 6 caùch.
Vaäy: coù 2.6 = 12 caùch xeáp thoaû yeâu caàu.
10. (HV BCVT 1999)
* Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau laø:
Traàn Só Tuøng
1.
A69 = 9.8.7.6.5.4 = 60480
a2, a3, a4, a5 Î A, coù nghóa laø:
Laáy a1 töø {2, 4, 6, 8} ® coù 4 caùch
* Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø ñeàu khaùc 1 laø:
A69 - A59 = 8.8.7.6.5.4 = 53760
Laáy a2, a3, a4, a5 töø 7 soá coøn laïi cuûa A ® coù A74 = 7.6.5.4 = 840 caùch
Vaäy soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau trong ñoù ñeàu coù maët 0 vaø 1 laø:
136080 – 60480 – 53760 = 21840 soá.
11. (ÑHQG HN khoái B 2000)
* Tröôùc heát ta tìm soá caùc soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau:
Coù 4 khaû naêng choïn chöõ soá haøng ngaøn (khoâng choïn chöõ soá 0)
Do ñoù: m = 4.840 = 3360.
· Tính n: Laäp moät soá chaün 123a2a1 baét ñaàu bôûi 123; a1,a2Î A; a1 ≠ a2
Coù A34 khaû naêng choïn 3 chöõ soá cuoái.
2.
* Tìm soá caùc soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 5:
Neáu chöõ soá taän cuøng laø 0: coù A34 = 24 soá
Neáu chöõ soá taän cuøng laø 5: coù 3 khaû naêng choïn chöõ soá haøng nghìn,
coù A32 = 6 khaû naêng choïn 2 chöõ soá cuoái. Vaäy coù 3.6 = 18 soá
Vaäy soá caùch taëng laø A69 = 60480
(ÑHQG TPHCM khoái A ñôït 1 1999)
ìX Ì A
ìï X = {1} È Y
ï
1. í1Î X Û í
.
ï2 Ï X
îï Y Ì {3,4,5,6,7,8}
î
Do ñoù soá caùc taäp X baèng soá caùc taäp con Y cuûa taäp hôïp {3,4,5,6,7,8}
Maø soá caùc taäp con Y cuûa {3,4,5,6,7,8} laø: 26 = 64.
Vaäy coù 64 taäp con X cuûa A chöùa 1 vaø khoâng chöùa 2.
2. Goïi
* m laø soá caùc soá töï nhieân chaün goàm 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc
nhau laáy töø A.
* n laø soá caùc soá töï nhieân chaün goàm 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc
nhau laáy töø A vaø baét ñaàu bôûi 123.
* p laø soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi.
Ta caàn tính p. Hieån nhieân p = m – n
· Tính m: Laäp moät soá chaün a5a4a3a2a1 goàm 5 chöõ soá khaùc nhau a1,
* Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø ñeàu khaùc 0 laø:
Do ñoù coù 24 + 18 = 42 soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 5.
Vaäy coù: 96 – 42 = 54 soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø khoâng chia heát
cho 5.
12. (ÑHQG TPHCM khoái A 2000)
1. Soá caùch taëng laø soá caùch choïn 6 cuoán saùch töø 9 cuoán coù keå thöù töï.
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
BAØI GIAÛI
6
5
A10
= 9.9.8.7.6.5 = 136080
- A10
Þ Coù 4. A34 = 4.4! = 96 soá.
9
3.
Laáy a1 töø {4,6,8} ® coù 3 caùch
Laáy a2 töø A \ {1,2,3,a1} ® coù 4 caùch
Do ñoù: n = 3.4 = 12
Vaäy: soá p caàn tìm laø: p = 3360 – 12 = 3348.
(ÑHQG TPHCM khoái D ñôït 1 1999)
Böôùc 1: Ñaët 3 nhoùm saùch leân keä daøi: 3! caùch
Böôùc 2: Trong moãi nhoùm ta coù theå thay ñoåi caùch xeáp ñaët saùch:
Nhoùm saùch Toaùn: 2! caùch
Nhoùm saùch Vaên: 4! caùch
Nhoùm saùch Anh: 6! caùch
Keát luaän: coù 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 caùch.
(ÑHQG TPHCM khoái AB ñôït 2 1999)
1. Giai ñoaïn 1: Xeáp choã ngoài cho hai nhoùm hoïc sinh, coù 2 caùch xeáp:
A B A B A B
B A B A B A
B A B A B A
A B A B A B
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
4.
10
Traàn Só Tuøng
Giai ñoaïn 2: Trong nhoùm hoïc sinh cuûa tröôøng A, coù 6! caùch xeáp caùc
em vaøo 6 choã.
Töôïng töï, coù 6! caùch xeáp 6 hoïc sinh tröôøng B vaøo 6 choã.
Keát luaän: coù 2.6!6! = 1036800 caùch
2. Hoïc sinh thöù nhaát tröôøng A ngoài tröôùc: coù 12 caùch choïn gheá ñeå
ngoài.
Sau ñoù, choïn hoïc sinh tröôøng B ngoài ñoái dieän vôùi hoïc sinh thöù nhaát
tröôøng A: coù 6 caùch choïn hoïc sinh tröôøng B.
Hoïc sinh thöù hai cuûa tröôøng A coøn 10 choã ñeå choïn, choïn hoïc sinh
tröôøng B ngoài ñoái dieän vôùi hoïc sinh thöù hai tröôøng A: coù 5 caùch choïn,
v.v…
Vaäy: coù 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 caùch.
(ÑHQG TPHCM khoái D ñôït 2 1999)
1. Xem caùc soá chaén hình thöùc abcde (keå caû a = 0), coù 4 caùch choïn e
Î {0,2,4,6}, vì laø soá chaün.
Sau ñoù choïn a, b, c, d töø X \ {e}, soá caùch choïn laø: A74 = 840
Traàn Só Tuøng
* 1 ñoû + 1 traéng + 2 vaøng: coù
6.
7.
Vaäy: coù 4.840 = 3360 soá chaün hình thöùc.
Ta loaïi nhöõng soá coù daïng 0bcde . Coù 3 caùch choïn e, vaø A36 caùch
choïn b, c, d töø X \ {0,e}. Vaäy coù 3. A36 = 360 soá chaün coù daïng 0bcde .
Keát luaän: coù 3360 – 360 = 3000 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi.
2. n = abcde
* Xem caùc soá hình thöùc abcde (keå caû a = 0). Coù 3 caùch choïn vò trí
cho 1. Sau ñoù choïn chöõ soá khaùc nhau cho 3 vò trí coøn laïi töø X \ {1}: coù
A74 caùch.
Nhö theá: coù 3. A74 = 2520 soá hình thöùc thoaû yeâu caàu ñeà baøi.
* Xem caùc soá hình thöùc 0bcde . Coù 2 caùch choïn vò trí cho 1. Choïn chöõ
soá khaùc nhau cho 3 vò trí coøn laïi töø X \ {0,1}, soá caùch choïn laø A36 .
Nhö theá: coù 2. A36 = 240 soá hình thöùc daïng 0bcde .
5.
Keát luaän: soá caùc soá n thoaû yeâu caàu ñeà baøi laø: 2520 – 240 = 2280 soá.
(ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 1999)
4
Soá caùch choïn 4 bi trong soá 15 bi laø: C15
= 1365.
Caùc tröôøng hôïp choïn 4 bi ñuû caû 3 maøu laø:
* 2 ñoû + 1 traéng + 1 vaøng: coù
C24C15C16 = 180
* 1 ñoû + 2 traéng + 1 vaøng: coù
C14C52C16
= 240
8.
11
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
C14C15C62
= 300
Do ñoù soá caùch choïn 4 bi ñuû caû 3 maøu laø: 180 + 240 + 300 = 720
Vaäy soá caùch choïn ñeå 4 bi laáy ra khoâng ñuû 3 maøu laø: 1365 – 720 =
645.
(ÑH Hueá khoái D chuyeân ban 1999)
1. * Xeáp caùc phieáu soá 1, 2, 3, 5 coù 4! = 24 caùch.
* Sau ñoù xeáp phieáu soá 4 vaøo caïnh phieáu soá 2 coù 2 caùch.
Vaäy: coù 2.24 = 48 caùch xeáp theo yeâu caàu ñeà baøi.
2. * Khi nhoùm chaün ôû beân traùi, nhoùm leû ôû beân phaûi. Soá caùch xeáp cho
2 soá chaün laø 2! caùch. Soá caùch xeáp cho 3 soá leû laø: 3! caùch.
Vaäy coù 2.6 = 12 caùch.
* Töông töï cuõng coù 12 caùch xeáp maø nhoùm chaün ôû beân phaûi, nhoùm leû
ôû beân traùi.
Vaäy: coù 12 + 12 = 24 caùch.
(ÑH Hueá khoái RT chuyeân ban 1999)
Soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau coù daïng: abcdef vôùi a ≠ 0
1. Vì soá taïo thaønh laø soá leû neân f Î {1, 3, 5}.
Do ñoù:
f coù 3 caùch choïn
a coù 4 caùch choïn (tröø 0 vaø f)
b coù 4 caùch choïn (tröø a vaø f)
c coù 3 caùch choïn (tröø a, b, f)
d coù 2 caùch choïn (tröø a, b, c, f)
e coù 1 caùch choïn (tröø a, b, c, d, f)
Vaäy: coù 3.4.4.3.2.1 = 288 soá
2. Vì soá taïo thaønh laø soá chaün neân f Î {0, 2, 4}.
* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) laø moät hoaùn vò cuûa (1,2,3,4,5). Do ñoù coù 5! soá
* Khi f Î {2, 4} thì:
f coù 2 caùch choïn
a coù 4 caùch choïn
b coù 4 caùch choïn
c coù 3 caùch choïn
d coù 2 caùch choïn
e coù 1 caùch choïn
Do ñoù coù 2.4.4.3.2.1 = 192 soá.
Vaäy: coù 120 + 192 = 312 soá chaün.
(HV Ngaân haøng TPHCM 1999)
1. Goïi 11111 laø soá a. Vaäy ta caàn saép caùc soá a, 2, 3, 4, 5. Do ñoù soá coù
9 chöõ soá trong ñoù coù 5 chöõ soá 1 ñöùng lieàn nhau laø: 5! = 120 soá.
16
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Traàn Só Tuøng
a1a2a3a4a5a6a7 maø toång caùc chöõ soá laø moät soá chaün.
5
5
Vaäy coù taát caû: 9.10 .5 = 45.10 soá.
24. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái DGM 2000)
Theo yeâu caàu cuûa baøi toaùn vaø soá 0 khoâng ñöùng tröôùc baát kì soá naøo
neân caùc soá coù 5 chöõ soá chæ coù theå taïo thaønh töø caùc soá {1, 2, 3, 4, …,
8, 9} = T. ÖÙng vôùi moãi boä 5 chöõ soá phaân bieät baát kì trong T chæ coù 1
caùch saép xeáp duy nhaát thoaû maõn ñöùng sau lôùn hôn chöõ soá lieàn tröôùc.
9!
C59 =
= 126.
Vaäy soá caùc soá caàn tìm laø:
5!4!
25. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000)
Coù taát caû: C39 .C62 = C94 .C52 = C92 .C74 = 1260 caùch
26. (ÑH GTVT 2000)
Coù 2 khaû naêng:
2
* 1 caùn boä lôùp vaø 2 hoïc sinh thöôøng: coù C12 .C18
* 2 caùn boä lôùp vaø 1 hoïc sinh thöôøng: coù C22 .C118
2
Vaäy soá choïn laø: C12 .C18
+ C22 .C118 = 324 caùch.
27. (HV Quaân y 2000)
1. Tröôùc heát xeáp 3 vieân bi ñoû vaøo 7 oâ troáng. Do caùc vieân bi ñoû khaùc
nhau neân soá caùch xeáp laø
A37 .
Sau ñoù xeáp 3 vieân bi xanh vaøo 4 oâ coøn laïi. Do caùc vieân bi xanh gioáng
nhau neân soá caùch xeáp laø C34 .
Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau laø: A37 . C34 = 840 caùch.
2. Tröôùc heát ta caàn chuù yù veà maøu, ñeå ñoû ñöùng caïnh nhau vaø xanh
ñöùng caïnh nhau chæ coù 6 caùch xeáp.
Sau ñoù, do caùc vieân bi ñoû khaùc nhau, neân ta hoaùn vò caùc vieân bi ñoû
vôùi nhau. Soá caùc hoaùn vò laø 3!
Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau ñeå caùc vieân bi ñoû ñöùng caïnh nhau vaø
caùc vieân bi xanh ñöùng caïnh nhau laø: 6.3! = 36 caùch.
28. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CPB 2000)
Caùc soá coù 6 chöõ soá, chia heát cho 9, vieát theo thöù töï taêng laø:
100008, 100017, 100035, …, 999999
Caùc soá leû coù 6 chöõ soá, chia heát cho 9, laäp thaønh moät caáp soá coäng:
u1 = 100017, 100035, …, un = 999999
vôùi coâng sai d = 18. Do ñoù:
un = u1 + (n – 1)d Û 999999 = 100017 + (n – 1).18 Û n = 50000
Vaäy taát caû coù 50000 soá leû goàm 6 chöõ soá, chia heát cho 9.
13
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
2. Nhaän xeùt: khoâng theå choïn sao cho cuøng heát 2 loaïi saùch.
Soá caùch choïn 6 cuoán saùch töø 12 cuoán saùch laø:
6
A12
= 665280
Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Vaên laø:
A56 .7 = 5040
Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Nhaïc laø: A64 .A82 = 20160
Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Hoaï laø:
A36 .A39 = 60480
Soá caùch choïn caàn tìm laø: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600
13. (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 2000)
1. Ñeå coù ít nhaát laø 2 nöõ thì ta phaûi choïn:
* 2 nöõ, 4 nam ®
2
4
coù C15
.C30
caùch
hoaëc
* 3 nöõ, 3 nam ®
3
coù C15
.C330 caùch
hoaëc
* 4 nöõ, 2 nam ®
4
2
coù C15
.C30
caùch
hoaëc
* 5 nöõ, 1 nam ®
5
coù C15
.C130 caùch
hoaëc
* 6 nöõ
6
coù C15
caùch
®
2
4
3
4
2
5
6
Vaäy: coù C15
.C30
+ C15
.C330 + C15
.C30
+ C15
.C130 + C15
caùch
2. Neáu choïn tuyø yù thì soá caùch choïn laø: C645 .
14. (ÑH Hueá khoái DRT chuyeân ban 2000)
1. Soá chaün goàm boán chöõ soá khaùc nhau coù daïng:
abc0 hoaëc abc2 hoaëc abc4
* Vôùi soá abc0 ta coù: 5 caùch choïn a, 4 caùch choïn b, 3 caùch choïn c.
Þ Coù 5.4.3 = 60 soá
* Vôùi soá abc2 hoaëc abc4 ta coù: 4 caùch choïn a, 4 caùch choïn b, 3
caùch choïn c.
Þ Coù 4.4.3 = 48 soá abc2 vaø 48 soá abc4
Vaäy coù: 60 + 48 + 48 = 156 soá chaün.
2. Soá chia heát cho 5 vaø goàm ba chöõ soá coù daïng ab0 hoaëc ab5 .
* Vôùi soá ab0 ta coù: 5 caùch choïn a, 4 caùch choïn b.
Þ Coù 5.4 = 20 soá
* Vôùi soá ab5 ta coù: 4 caùch choïn a, 4 caùch choïn b.
Þ Coù 4.4 = 16 soá
Vaäy coù: 20 + 16 soá caàn tìm.
3. Goïi abc laø soá chia heát cho 9 goàm ba chöõ soá khaùc nhau. Khi ñoù
{a,b,c} coù theå laø: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}.
* Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì caùc soá phaûi tìm laø: 405, 450, 504, 540
® coù 4 soá
14
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Traàn Só Tuøng
* Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì soá phaûi tìm laø hoaùn vò cuûa 3 phaàn
töû ® coù 3! = 6 soá.
Vaäy coù: 4 + 6 + 6 = 16 soá caàn tìm.
15. (ÑH Y HN 2000)
Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nam, 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí
nam laø: C15 .C13 .C14 = 5.3.4 = 60
Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 2 nhaø vaät lí nam laø: C13 .C42 = 18
Soá caùch choïn 2 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí nam laø: C32 .C14 = 12
Vaäy: coù 60 + 18 + 12 = 90 caùch choïn
16. (ÑH Caàn Thô khoái D 2000)
Xeùt soá naêm chöõ soá a1a2a3a4a5
1. Xeáp chöõ soá 2 vaøo moät trong naêm vò trí: coù 5 caùch xeáp
Sau ñoù xeáp 5 chöõ soá coøn laïi vaøo 4 vò trí coøn laïi: coù A54 = 120 caùch.
Vaäy coù 5.120 = 600 soá.
2. Xeáp caùc chöõ soá 1 vaø 6 vaøo 5 vò trí: coù A52 caùch.
Xeáp 4 chöõ soá coøn laïi vaøo 3 vò trí coøn laïi: coù A34 = 24 caùch.
Vaäy coù A52 . A34 = 480 soá.
17. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái AB 2000)
2
3
1. Choïn 2 nam vaø 3 nöõ: coù C10
.C10
= 5400 caùch.
2. Coù ít nhaát 2 nam vaø 1 nöõ, coù caùc kieåu choïn sau:
* 2 nam vaø 3 nöõ: coù 5400 caùch
* 3 nam vaø 2 nöõ: coù
* 4 nam vaø 1 nöõ: coù
3
2
C10
.C10
4
C10
.C110
= 5400 caùch
= 2100 caùch
Vaäy coù: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 caùch.
18. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2000)
Taát caû coù 9.10.10.10.10 = 90000 soá töï nhieân coù 5 chöõ soá. Trong caùc
soá coù 5 chöõ soá naøy, xeùt caùc soá khoâng coù maët caùc chöõ soá 2, 3, 4. Loaïi
naøy coù:
6 caùch choïn chöõ soá haøng vaïn
7 caùch choïn chöõ soá haøng nghìn
7 caùch choïn chöõ soá haøng traêm
7 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc
7 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn vò
Do ñoù coù 6.7.7.7.7 = 14406 soá.
Vaäy taát caû coù: 90000 – 14406 = 75594 soá coù 5 chöõ soá, trong ñoù coù
maët ñuû caùc chöõ soá 2, 3, 4.
15
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
19. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái G 2000)
Xeùt moät soá coù 4 chöõ soá tuyø yù ñaõ cho a1a2a3a4 . Coù hai khaû naêng:
1. Neáu a1 + a2 + a3 + a4 laø soá chaün thì coù theå laáy a5 Î {1, 3, 5, 7, 9} vaø
laäp ñöôïc 5 soá coù 5 chöõ soá a1a2a3a4a5 vôùi toång caùc chöõ soá laø moät soá
leû.
2. . Neáu a1 + a2 + a3 + a4 laø soá leû thì coù theå laáy a5 Î {0, 2, 4, 6, 8} vaø
laäp ñöôïc 5 soá coù 5 chöõ soá a1a2a3a4a5 vôùi toång caùc chöõ soá laø moät soá
leû.
Vì coù taát ca 9.10.10.10 = 9000 soá coù 4 chöõ soá, moãi soá coù 4 chöõ soá
naøy laïi sinh ra 5 soá coù 5 chöõ soá coù toång caùc chöõ soá laø moät soá leû, neân
coù taát caû 9000.5 = 45000 soá coù 5 chöõ soá maø toång caùc chöõ soá laø moät
soá leû.
20. (ÑH Caàn Thô khoái AB 2000)
1. Coù:
C52 caùch choïn ra 2 vieän bi ñoû.
4
C13
caùch choïn ra 4 vieân bi coøn laïi.
4
Vaäy coù: C52 . C13
= 7150 caùch choïn
2. Coù caùc tröôøng hôïp xaûy ra:
* 3 xanh, 3 ñoû, 0 vaøng ® coù C39 .C35 caùch
* 2 xanh, 2 ñoû, 2 vaøng ® coù C92 .C52 .C42 caùch
* 1 xanh, 1 ñoû, 4 vaøng ® coù C19 .C15 .C44 caùch
Vaäy coù taát caû: C39 .C35 + C92 .C52 .C24 + C19 .C15 .C44 = 3045 caùch.
21. (ÑH Ñaø Laït khoái ADV 2000)
Coù 2 khaû naêng:
1. Caùc theû traéng ôû vò trí leû, caùc theû ñen ôû vò trí chaün ® coù 5!5! caùch
2. Caùc theû traéng ôû vò trí chaün, caùc theû ñen ôû vò trí leû ® coù 5!5! caùch
Vaäy taát caû coù: 5!5! + 5!5! caùch.
22. (ÑH Sö phaïm HN 2 khoái A 2000)
Coù 8 oâ troáng, caàn choïn ra 1 oâ ñieàn chöõ soá 2, 1 oâ ñieàn chöõ soá 3, 1 oâ
ñieàn chöõ soá 4, 1 oâ ñieàn chöõ soá 5. Sau ñoù trong 4 oâ coøn laïi, caàn choïn
2 oâ ñieàn chöõ soá 1, cuoái cuøng coøn laïi 2 oâ ñieàn chöõ soá 6.
Vaäy coù taát caû coù: 8.7.6.5. C24 .1 = 10080 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi.
23. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái ABE 2000)
Soá caùc soá coù 6 chöõ soá a1a2a3a4a5a6 laø 9.105 soá
Vôùi moãi soá coù 6 chöõ soá a1a2a3a4a5a6 ta laäp ñöôïc 5 soá coù 7 chöõ soá
20
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Traàn Só Tuøng
· Tröôøng hôïp 2: Soá taïo thaønh khoâng chöùa soá 0:
Coù 5 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 5.
Soá caùch choïn 4 chöõ soá coøn laïi laø: A54
Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 5. A54 = 600 soá.
Vaäy coù taát caû: 960 + 600 = 1560 soá.
40. (HV Ngaân haøng TPHCM khoái A 2001)
1. Coù 9 caùch choïn chöõ soá haøng traêm, 9 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc,
8 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn vò. Vaäy coù 9.9.8 = 648 soá.
2. · Tröôøng hôïp 1: Chöõ soá taän cuøng baèng 0. Boán chöõ soá ñöùng ñaàu
ñöôïc choïn tuyø yù trong 7 chöõ soá coøn laïi neân soá caùc soá taïo thaønh laø:
A74
= 840
· Tröôøng hôïp 2: Chöõ soá taän cuøng khaùc 0.
* Chöõ soá taän cuøng coù 3 caùch choïn (töø 2, 4, 6)
* Chöõ soá ñöùng ñaàu coù 6 caùch choïn
* 3 chöõ soá coøn laïi ñöôïc choïn tuyø yù trong 6 chöõ soá coøn laïi.
Þ Soá caùc soá taïo thaønh:
3.6. A36
= 2160
Vaäy coù taát caû: 840 + 2160 = 3000 soá.
41. (ÑH Ngoaïi thöông TPHCM khoái A 2001)
Soá caùc soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau laø: 6! = 720
Trong ñoù, soá caùc soá coù chöùa 16 laø 5! = 120
soá caùc soá coù chöùa 61 laø 5! = 120
Vaäy soá caùc soá caàn tìm laø: 720 – 240 = 480 soá.
42. (ÑH Noâng nghieäp I HN khoái A 2001)
Ñaùnh soá vò trí ñöùng töø 1 ñeán 9.
Ñeå coù ñuùng 2 hoïc sinh nam ñöùng xen keõ vôùi 3 hoïc sinh nöõ thì moãi
hoïc sinh nöõ ñöùng caùch nhau moät, töùc laø 3 hoïc sinh nöõ ñöùng ôû caùc vò
trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9).
Coù 5 caëp 3 vò trí cuûa 3 hoïc sinh nöõ.
Caùch xeáp 3 baïn nöõ vaøo moãi caëp 3 vò trí laø 3!. Caùch xeáp 6 baïn nam
vaøo 6 vò trí coøn laïi laø 6!.
Vaäy taát caû soá caùch xeáp laø: 5.3!.6! = 21600 caùch.
43. (HV Quan heä quoác teá 2001)
Ta chæ coù 1 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 9.
Khi ñoù soá caùch xeáp 8 chöõ soá coøn laïi laø 8!
Vaäy taát caû coù: 8! = 40320 soá.
44. (ÑH Quoác gia TPHCM 2001)
1. Soá ñöôïc xeùt coù daïng: a1a2a3a4a5a6 . Xeáp chöõ soá 0 vaøo caùc vò trí töø
17
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
29. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CB 2000)
Xeùt soá leû coù 6 chöõ soá khaùc nhau, lôùn hôn 500000:
x = a1a2a3a4a5a6
Töø giaû thieát Þ a1 Î {5,6,7,8,9}, a6 Î {1,3,5,7,9}
Coù 2 khaû naêng:
1. a1 leû:
* a1 coù 6 caùch choïn
* a6 coù 4 caùch choïn
* sau khi choïn a1, a6, caàn choïn a2a3a4a5 , moãi caùch choïn öùng vôùi
moät chænh hôïp chaäp 4 cuûa 8 phaàn töû.
Vaäy khaû naêng thöù nhaát coù: 6.4. A84 = 40320 soá
2. a1 chaün:
* a1 coù 2 caùch choïn
* a6 coù 5 caùch choïn
* a2a3a4a5 coù A84 caùch choïn
Vaäy khaû naêng thöù hai coù: 2.5. A84 = 16800 soá
Keát luaän: Taát caû coù: 40320 + 16800 = 57120 soá caàn tìm.
30. (CÑSP Nha Trang 2000)
Soá caùc soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc vieát töø 6 chöõ soá: 0,
1, 2, 3, 4, 5 laø: 5. A35 = 300
Trong caùc soá noùi treân, soá caùc soá töï nhieân khoâng coù maët chöõ soá 0 laø:
A54 = 120
Vaäy soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn yeâu caàu laø: 300 – 120 = 180 soá.
31. (CÑSP Nhaø treû – Maãu giaùo TÖ I 2000)
Choïn 3 em nam: coù C39 caùch
Choïn 2 em nöõ:
coù C62 caùch
Vaäy coù: C39 . C62 = 1260 caùch.
32. (ÑH An ninh khoái D 2001)
Giaû söû soá coù 7 chöõ soá laäp ñöôïc vieát trong 7 oâ cuûa hình sau:
Theá thì:
* Coù 6 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 0 (tröø oâ soá 1)
* Sau khi ñaõ choïn vò trí cho soá chöõ 0 ta coøn C36 = 20 caùch choïn vò trí
cho 3 chöõ soá 4.
* Sau khi ñaõ choïn vò trí cho chöõ soá 0 vaø chöõ soá 4, ta coøn 3! = 6 caùch
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
18
Traàn Só Tuøng
choïn cho 3 chöõ soá coøn laïi.
Vaäy soá caùc soá laäp ñöôïc laø: 6.20.6 = 720 soá.
33. (ÑH Caàn Thô 2001)
Coi 7 hoïc sinh nam ñöùng lieàn nhau nhö moät vò trí maø thoâi thì soá caùch
ñeå boá trí 7 hoïc sinh ñöùng lieàn nhau xen keõ vôùi 3 hoïc sinh nöõ baèng 4!.
Nhöng ñeå xeáp 7 hoïc sinh nam ñöùng lieàn nhau thì laïi coù 7! caùch.
Vaäy taát caû coù: 4!7! = 120960 caùch.
34. (HV Chính trò quoác gia 2001)
1. Chia ñoäi vaên ngheä thaønh hai nhoùm coù soá ngöôøi baèng nhau vaø moãi
nhoùm coù soá nöõ nhö nhau töùc laø chia moãi nhoùm coù 5 ngöôøi maø trong
ñoù coù 3 nöõ vaø 2 nam Þ soá caùch chia laø: C36 .C24 = 120
2. * Soá caùch choïn ra 5 ngöôøi maø khoâng coù nam laø:
C56
=6
* Soá caùch choïn ra 5 ngöôøi maø coù 1 nam (vaø 4 nöõ) laø:
C64 .C14 = 60
Vaäy soá caùch choïn ra 5 ngöôøi maø coù khoâng quaù 1 nam laø:
6 + 60 = 66.
35. (ÑH Giao thoâng vaän taûi 2001)
Giaû söû soá caàn tìm coù daïng: A = a1a2a3a4a5a6 .
+ Neáu a1 = 4 thì caùc chöõ soá coøn laïi cuûa A laø moät trong 7 chöõ soá 0, 1,
2, 3, 5, 6, 7. Vaäy coù A57 = 2520 soá.
+ Neáu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 neân chæ coù 6 caùch choïn a1. Vì soá 4 phaûi coù
ñuùng moät trong 5 vò trí coøn laïi laø a2, a3, a4, a5, a6. Khi ñoù caùc vò trí
khaùc (khoâng coù chöõ soá 4) seõ chæ coøn A64 soá khaùc nhau. Vaäy tröôøng
hôïp naøy coù 6.5. A64 = 10800 soá.
Vaäy taát caû coù: 2520 + 10800 = 13320 soá.
36. (ÑH Hueá khoái ABV 2001)
· Soá caùc soá töï nhieân coù 4 chöõ soá laø: 9.10.10.10 = 9000 soá
· Ta tìm soá caùc soá töï nhieân coù 1 chöõ soá laëp laïi ñuùng 3 laàn:
+ Soá 0 laëp laïi ñuùng 3 laàn öùng vôùi soá töï nhieân a000 vôùi a Î
{1,2,3,..,9} Þ coù 9 soá
+ Soá 1 laëp laïi ñuùng 3 laàn öùng vôùi caùc soá:
* a111 vôùi a Î {2,3,4, …,9} Þ coù 8 soá
* 1b11 vôùi b Î {0,2,3,…, 9} Þ coù 9 soá
Traàn Só Tuøng
19
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Þ coù 8 + 9 + 9 + 9 = 35 soá
+ Töông töï vôùi moãi soá töø 2 ñeán 9 ta cuõng tìm ñöôïc 35 soá töï nhieân sao
cho moãi chöõ soá treân laëp laïi ñuùng 3 laàn.
Do ñoù soá caùc soá töï nhieân coù moät chöõ soá laëp laïi ñuùng 3 laàn laø:
9 + 9.35 = 324 soá
· Vaäy soá caùc soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá maø trong ñoù khoâng coù chöõ soá
naøo laëp laïi ñuùng 3 laàn laø: 9000 – 324 = 8676 soá.
37. (ÑH Hueá khoái DHT 2001)
5
= 1287
* Soá caùch choïn 5 em töø 13 em laø: C13
* Soá caùch choïn 5 em toaøn nam laø: C57 = 21
* Soá caùch choïn 5 em toaøn nöõ laø: C56 = 6
Vaäy soá caùch choïn 5 em coù caû nam vaø nöõ laø: 1287 – (21 + 6) = 1260
38. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2001)
Moãi toå coù 1 hoaëc 2 hoïc sinh gioûi. Vì khoâng phaân bieät thöù töï cuûa 2 toå
neân soá caùch chia phaûi tìm laø soá caùch taïo thaønh moät toå coù 8 hoïc sinh
trong ñoù phaûi coù 1 hoïc sinh gioûi vaø ít nhaát 2 hoïc sinh khaù. Caùc hoïc
sinh coøn laïi taïo thaønh toå thöù hai.
· Tröôøng hôïp 1: Coù 2 hoïc sinh khaù:
* Coù 3 caùch choïn 1 hoïc sinh gioûi.
* Coù C52 = 10 caùch choïn 2 hoïc sinh khaù.
* Coù C58 = 56 caùch choïn 5 hoïc sinh trung bình.
Þ Coù: 3.10.56 = 1680 caùch.
· Tröôøng hôïp 2: Coù 3 hoïc sinh khaù:
* Coù 3 caùch choïn 1 hoïc sinh gioûi.
* Coù C35 = 10 caùch choïn 3 hoïc sinh khaù.
* Coù C84 = 70 caùch choïn 4 hoïc sinh trung bình.
Þ Coù: 3.10.70 = 2100 caùch.
Vaäy coù taát caû: 1680 + 2100 = 3780 caùch.
39. (ÑH Kinh teá quoác daân 2001)
Ta söû duïng 5 oâ sau ñeå vieát soá coù 5 chöõ soá:
· Tröôøng hôïp 1: Soá taïo thaønh chöùa chöõ soá 0:
Coù 4 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 0. Sau ñoù coøn 4 caùch choïn vò trí cho
* 11c1 vôùi c Î {0,2,3,…, 9} Þ coù 9 soá
chöõ soá 5. Soá caùch choïn 3 chöõ soá coïn laïi laø: A35
* 111d vôùi d Î {0,2,3,…, 9} Þ coù 9 soá
Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 4.4. A35 = 960 soá
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
24
Traàn Só Tuøng
Ta coi caëp (2;3) chæ laø moät phaàn töû “keùp”, khi ñoù chæ coù 5 phaàn töû laø 0,
1, (2; 3), 4, 5. Soá hoaùn vò cuûa 5 phaàn töû naøy laø P5, phaûi loaïi tröø soá
tröôøng hôïp phaàn töû 0 ôû vò trí ñaàu goàm P4 tröôøng hôïp. Chuù yù raèng ñoái
vôùi phaàn töû keùp, ta coù theå giao hoaùn neân soá tröôøng hôïp seõ ñöôïc
nhaân ñoâi. Neân soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn ñeà baøi laø: 2(P5 – P4) =
192 soá.
52. (ÑH khoái B 2003 döï bò 1)
Coi soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc choïn töø taäp 6 chöù soá
ñaõ cho coù daïng: a1a2a3a4a5a6 (ai Î {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ai ≠ aj )
sao cho: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 – 1
Û a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1
Û 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1
Û a4 + a5 + a6 = 11 Þ a1 + a2 + a3 = 10
(1)
Vì a1, a2 a3 Î {1, 2, 3, 4, 5, 6} neân heä thöùc (1) chæ coù theå thoaû maõn
trong 3 khaû naêng sau:
· a1, a2, a3 Î {1; 3; 6}
· a1, a2, a3 Î {1; 4; 5}
· a1, a2, a3 Î {2; 3; 5}
Moãi boä soá a1, a2, a3 neâu treân taïo ra 3! hoaùn vò, vaø moãi hoaùn vò ñoù laïi
ñöôïc gheùp vôùi 3! hoaùn vò cuûa boä soá a4, a5, a6 . Vì vaäy toång coäng soá
caùc soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi laø: 3.3!.3! =
108 soá.
53. (ÑH khoái B 2003 döï bò 2)
Coù 3 khaû naêng:
· 5 nam vaø 1 nöõ: coù C55 .C17 caùch
· 3 nam vaø
Vaäy taát caû
21
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
a2 ñeán a6: coù 5 caùch xeáp. Coøn laïi 5 vò trí, ta choïn 5 trong 8 chöõ soá ñeå
xeáp vaøo 5 vò trí naøy: coù A58 caùch.
Vaäy taát caû coù: 5. A58 = 33600 caùch.
2. Soá ñöôïc xeùt coù daïng: a1a2a3a4a5a6a7 .
Choïn 2 vò trí ñeå xeáp hai chöõ soá 2: coù C72 caùch.
Choïn 3 vò trí ñeå xeáp ba chöõ soá 3: coù C35 caùch.
Coøn 2 vò trí, choïn 2 chöõ soá tuyø yù ñeå xeáp vaøo 2 vò trí naøy: coù 2! C82
caùch.
Nhö vaäy neáu xeùt caû caùc soá baét ñaàu baèng chöõ soá 0 thì coù:
C72 . C35 .2! C82 = 11760 soá.
Trong caùc soá naøy, caàn loaïi boû caùc soá baét ñaàu bôùi chöõ soá 0.
Ñoái vôùi caùc soá 0a2a3a4a5a6a7 :
* Choïn 2 vò trí ñeå xeáp chöõ soá 2: coù C62 caùch.
* Choïn 3 vò trí ñeå xeáp ba chöõ soá 3: coù C34 caùch.
* Choïn 1 soá ñeå xeáp vaøo vò trí coøn laïi: coù 7 caùch.
Nhö vaäy loaïi naøy coù: C62 . C34 .7 = 420 soá.
Vaäy taát caû coù: 11760 – 420 = 11340 soá.
45. (ÑHSP HN II 2001)
Kí hieäu X laø taäp hôïp taát caû caùc soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau
ñoâi moät laäp töø 6 chöõ soá 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Xeùt x = a1a2a3a4a5 Î X.
Neáu choïn a5 = 1 thì a1a2a3a4 öùng vôùi moät chænh hôïp chaäp 4 cuûa 5
· 4 nam vaø 2 nöõ: coù C54 .C72 caùch
3 nöõ: coù C35 .C37 caùch
coù: C55 .C17 + C54 .C72 +
Traàn Só Tuøng
phaàn töû 3, 4, 5, 7, 8 Þ coù A54 soá coù chöù haøng ñôn vò laø 1.
C35 .C37
= 7 + 5.21 + 10.35 = 462
caùch.
54. (ÑH khoái D 2003 döï bò 1)
Caùc soá phaûi laäp laø chaün neân phaûi coù chöõ soá ñöùng cuoái cuøng laø 0 hoaëc
2, 4, 6, 8.
· Tröôøng hôïp chöõ soá ñöùng cuoái laø 0: thì 6 chöõ soá coøn laïi laø moät chænh
hôïp chaäp 6 cuûa 8 phaàn töû. Do ñoù coù A68 soá thuoäc loaïi naøy.
· Tröôøng hôïp chöõ soá ñöùng cuoái laø moät trong caùc chöõ soá 2, 4, 6, 8: thì
6 chöõ soá coøn laïi laø moät chænh hôïp chaäp 6 cuûa 8 phaàn töû (keå caû soá coù
Töông töï coù A54 soá coù chöù haøng ñôn vò laø 3; …
Þ Toång taát caû chöõ soá haøng ñôn vò cuûa caùc phaàn töû x Î X laø:
(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8). A54 = 3360.
Laäp luaän töông töï, toång taát caû chöõ soá haøng chuïc cuûa caùc phaàn töû x Î
X laø: 3360.10; …
Vaäy toång taát caû caùc phaàn töû cuûa X laø:
S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000
= 3360.11111 = 3732960.
46. (ÑHSP TPHCM khoái DTM 2001)
20
1. Soá taäp con cuûa A laø: C020 + C120 + C220 + ... + C20
20 = 2
22
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Traàn Só Tuøng
2. Soá taäp con khaùc roãng cuûa A coù soá phaàn töû chaün laø:
Ta coù: 0 = (1 – 1)20 = C020 - C120 + C220 - ... + C20
20
Þ
+ C220
+ C420
+ ... + C20
20
=
C120
(
+ C320
+ ... + C19
20
4
20
2
20
Þ C020 + C120 + C20
+ ... + C20
= 2 C020 + C220 + C20
+ ... + C20
)
220
- C020 = 219 – 1.
2
47. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2001)
1. Xeùt caùc soá chaün x = abc vôùi 3 chöõ soá khaùc nhau; a, b, c Î
{1;2;3;4;5} = E.
Vì x chaün neân c Î {2;4} Þ coù 2 caùch choïn c.
Þ T = C220 + C420 + ... + C20
20 =
Vôùi moãi caùch choïn c, coù A24 caùch choïn bc .
Vaäy taát caû coù: 2. A24 = 24 soá chaün.
2. Xeùt x = abc vôùi 3 chöõ soá khaùc nhau thuoäc E = {1;2;3;4;5;6}
* Neáu a ≥ 4 thì x > 345.
* Neáu a = 1 hoaëc 2 thì vôùi moïi chænh hôïp chaäp 2 (b,c) cuûa E \ {a} ta
ñeàu coù x = abc < 345. Loaïi naøy coù: 2. A52 = 40 soá.
éb = 1hoaëc 2;
c Î E \ {a,b}
* Neáu a = 3 thì x = 3bc < 345 Û ê
c = 1hoaëc 2
ëb = 4;
Loaïi naøy coù: 2.4 + 1.2 = 10 soá.
Vaäy coù taát caû: 40 + 10 = 50 soá.
48. (ÑH Vaên Lang 2001)
1. Neáu trong 5 hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 2 hoïc sinh nöõ vaø 2 hoïc sinh
nam thì coù 2 tröôøng hôïp:
2
3
* 2 nam vaø 3 nöõ: coù C10
.C10
caùch.
3
2
* 3 nam vaø 2 nöõ: coù C10
.C10
caùch.
2
3
Vaäy taát caû coù: 2. C10
.C10
= 10800 caùch.
2. Neáu trong 5 hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 1 hoïc sinh nöõ vaø 1 hoïc sinh
nam thì coù 4 tröôøng hôïp:
4
* 1 nam vaø 4 nöõ: coù C110 .C10
caùch.
2
3
* 2 nam vaø 3 nöõ: coù C10
.C10
caùch.
3
2
* 3 nam vaø 2 nöõ: coù C10
.C10
caùch.
23
4
* 4 nam vaø 1 nöõ: coù C10
.C110 caùch.
4
2
3
Vaäy taát caû coù: 2. C110 .C10
+ 2. C10
.C10
4
T = C220 + C20
+ ... + C20
20
C020
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
= 15000 caùch.
49. (ÑH Y HN 2001)
Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau:
1. Chöõ soá haøng ñôn vò laø 2, 4, 6 Þ coù 3 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn
vò.
a) Chöõ soá haøng traêm nhoû hôn 7: Khi ñaõ choïn chöõ soá haøng ñôn vò, ta
coøn 5 caùch choïn chöõ soá haøng traêm. Sau khi ñaõ choïn chöõ soá haøng
ñôn vò vaø haøng traêm, ta coøn 7 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc.
Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 3.5.7 = 105 soá.
b) Chöõ soá haøng traêm baèng 7: Sau khi choïn chöõ soá haøng ñôn vò, ta
coøn 6 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc.
Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 3.6 = 18 soá.
2. Chöõ soá haøng ñôn vò laø 8:
a) Chöõ soá haøng traêm nhoû hôn 7: coù 6 caùch choïn chöõ soá haøng traêm.
Sau khi ñaõ choïn chöõ soá haøng traêm, ta coøn 7 caùch choïn chöõ soá haøng
chuïc.
Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 6.7 = 42 soá.
b) Chöõ soá haøng traêm baèng 7: coù 6 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc.
Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 6 soá.
Vaäy taát caû coù: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 soá.
50. (ÑH khoái D döï bò 1 2002)
8
Toång soá caùch choïn 8 hoïc sinh töø 18 em cuûa ñoäi tuyeån laø: C18
=
43758
Toång soá caùch treân ñöôïc phaân laøm hai boä phaän rôøi nhau:
Boä phaän I goàm caùc caùch choïn töø ñoäi tuyeån ra 8 em sao cho moãi khoái
ñeàu coù em ñöôïc choïn (soá caùch phaûi tìm).
Boä phaän II goàm caùc caùch choïn töø ñoäi tuyeån ra 8 em chæ goàm 2 khoái
(löu yù laø soá em thuoäc moãi khoái ñeàu ít hôn 8 neân khoâng coù caùch choïn
naøo maø caû 8 em thuoäc cuøng moät khoái).
Boä phaän II coù theå chia thaønh ba loaïi:
8
· 8 em ñöôïc choïn töø khoái 12 hoaëc 11: coù C13
caùch.
8
· 8 em ñöôïc choïn töø khoái 12 hoaëc 10: coù C12
caùch.
8
· 8 em ñöôïc choïn töø khoái 11 hoaëc 10: coù C11
caùch.
8
8
8
8
Vaäy soá caùch phaûi tìm laø: C18
– ( C13
+ C12
+ C11
) = 41811 caùch.
51. (ÑH khoái A 2003 döï bò 2)
28
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Traàn Só Tuøng
· Choïn 13 hoïc sinh trong soá 25 hoïc sinh khoái A vaø B. Soá caùch choïn
baát kì laø:
C13
25
= 5200300
4
9
Soá caùch choïn ñöôïc 4 hoïc sinh khoái A vaø 9 hoïc sinh khoái B laø: C15
C10
Soá caùch choïn ñöôïc 3 hoïc sinh khoái A vaø 10 hoïc sinh khoái B laø:
3 10
C15
C10
Þ Soá caùch choïn sao cho coù nhieàu nhaát 4 hoïc sinh khoái A laø:
4
9
3 10
C15
C10
+ C15
C10 = 13650 + 455 = 14105
Þ Soá caùch choïn sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A laø:
(
)
4
9
3
10
C13
25 - C15 .C10 + C15 .C10 = 5186195
· Vaäy soá caùch choïn sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A laø:
4
9
3
10 ù
C52 éëC13
25 - C15 .C10 + C15 .C10 û = 51861950
(
)
66. (CÑ Taøi chính – Haûi quan khoái A 2006)
Choïn 2 vò trí xeáp chöõ soá 0: coù C24 caùch.
Choïn 1 vò trí xeáp chöõ soá 1: coù 3 caùch.
Choïn 2 chöõ soá xeáp vaøo 2 vò trí coøn laïi: coù caùch.
Vaäy taát caû coù: C24 .3. A82 = 1008 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi.
67. (CÑ Xaây döïng soá 3 khoái A 2006)
· Goïi ab laø soá töï nhieân phaûi tìm Þ a ≠ 0
Do ab chaün neân b Î {0, 2, 4, 6, 8}
Coù 2 tröôøng hôïp:
* Neáu b = 0 thì a Î {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Þ coù 9 caùch choïn a.
Þ coù 9 soá a0
* Neáu b ≠ 0 thì b Î {2, 4, 6, 8} Þ coù 4 caùch choïn b.
Khi ñoù coù 8 caùch choïn a.
Þ coù 4.8 = 32 soá ab
Vaäy taát caû coù: 9 + 32 = 41 soá caàn tìm.
· Ñaët S laø toång cuûa 41 soá ñoù.
S = (10 + 12 + 14 + … + 96 + 98) – (22 + 44 + 66 + 88)
10 + 98
= 45.
– 10.22 = 45.54 – 220 = 2210.
2
68. (CÑBC Hoa Sen khoái D 2006)
2
· Hai ñænh thuoäc d1, moät ñænh thuoäc d2: coù C10
.8 tam giaùc
· Hai ñænh thuoäc d2, moät ñænh thuoäc d1: coù C82 .10 tam giaùc
2
Vaäy taát caû coù: C10
.8 + C82 .10 = 640 tam giaùc.
25
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
(
)
chöõ soá 0 ñöùng ñaàu). Vaäy soá caùc soá loaïi naøy laø: 4. A68 - A57 .
(
)
Vaäy taát caû coù: A68 + 4. A68 - A57 = 90720 soá.
55. (CÑ Sö phaïm khoái A 2002)
1. a) Hai ñöôøng thaúng phaân bieät coù toái ña 1 giao ñieåm Þ Soá giao
2
= 45 ñieåm.
ñieåm toái ña cuûa 10 ñöôøng thaúng phaân bieät laø C10
b) Hai ñöôøng troøn phaân bieät coù toái ña 2 giao ñieåm Þ Soá giao ñieåm
toái ña cuûa 6 ñöôøng troøn phaân bieät laø 2. C62 = 30 ñieåm.
2. Vì 1 ñöôøng thaúng vaø 6 ñöôøng troøn coù toái ña 12 giao ñieåm. Do ñoù soá
giao ñieåm toái ña giöõa 10 ñöôøng thaúng vaø 6 ñöôøng troøn laø: 10.12 =
120.
Vaäy soá giao ñieåm toái ña cuûa taäp hôïp caùc ñöôøng ñaõ cho laø:
45 + 30 + 120 = 195 ñieåm.
56. (CÑ Sö phaïm khoái A 2002 döï bò)
Moät ñoaïn thaúng noái 2 ñænh cuûa ña giaùc töông öùng moät toå hôïp chaäp 2
cuûa n phaàn töû Þ Soá ñoaïn thaúng noái 2 ñænh cuûa ña giaùc laø: Cn2
Moät ñoaïn thaúng noái 2 ñænh cuûa ña giaùc hoaëc laø caïnh hoaëc laø ñöôøng
cheùo
n(n - 1)
Þ Cn2 = n + 2n Û
= 3n Û n2 – n = 6n
2
én = 7
Û n2 – 7n = 0 Û ê
ën = 0 (loaïi)
Vaäy n = 7.
57. (CÑ Xaây döïng soá 3 – 2002)
Goïi soá caàn tìm laø: x = a1a2a3
Vì x < 245 neân a1 = 1 hoaëc a1 = 2
· a1 = 1:
x = 1a2a3
a2, a3 laø chænh hôïp chaäp 2 cuûa 4 phaàn töû: 2, 3, 4, 5
Þ Coù: A24 = 4.3 = 12 soá
· a1 = 2:
x = 2a2a3
a2 coù 2 khaû naêng:
* a2 < 4 Þ a2 Î {1, 3} Þ a2 coù 2 caùch choïn, a3 coù 3 caùch choïn trong 3
soá coøn laïi Þ Coù 2.3 = 6 soá
* a2 = 4; a3 ≠ 5, 2, 4 Þ a3 coù 2 caùch choïn Þ Coù 2 soá
Þ Coù 6 + 2 = 8 soá x = 2a2a3
Vaäy coù taát caû: 12 + 8 = 20 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi.
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
26
Traàn Só Tuøng
58. (CÑ Sö phaïm Quaûng Ngaõi 2002)
Soá caàn tìm coù daïng: a1a2a3a4 .
Choïn a4 töø {1, 5, 9} Þ coù 3 caùch choïn.
Choïn a1 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4} Þ coù 3 caùch choïn.
Choïn a2 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4} Þ coù 3 caùch choïn.
Choïn a3 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4} Þ coù 2 caùch choïn.
Vaäy taát caû coù: 3.3.3.2 = 54 soá thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi.
59. (ÑH khoái B 2004)
Moãi ñeà kieåm tra coù soá caâu deã laø 2 hoaëc 3, neân coù caùc tröôøng hôïp
sau:
Traàn Só Tuøng
27
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Vaäy taát caû coù: 720 + 720 = 1440 soá x.
62. (ÑH khoái B 2005 döï bò 1)
Ta coù caùc tröôøng hôïp:
5
· 3 nöõ vaø 5 nam: coù C35C10
= 2520 caùch.
4
· 4 nöõ vaø 4 nam: coù C54C10
= 1050 caùch.
3
· 5 nöõ vaø 3 nam: coù C55C10
= 120 caùch.
Vaäy taát caû coù: 2520 + 1050 + 120 = 3690 caùch.
63. (ÑH khoái B 2005 döï bò 2)
· Caùch 1: Goïi x = a1a2a3a4a5 laø soá caàn laäp.
2
2
.C10
.C15 ñeà.
* Ñeà coù 2 caâu deã, 2 caâu trung bình, 1 caâu khoù Þ coù C15
Tröôùc tieân ta coù theå xeáp 1 vaø 5 vaøo 2 trong vò trí: coù A52 = 20 caùch.
2
* Ñeà coù 2 caâu deã, 1 caâu trung bình, 2 caâu khoù Þ coù C15
.C110 .C52 ñeà.
Sau ñoù, ta coù 5 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi ñaàu tieân.
4 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi thöù hai.
3 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi thöù ba.
Vaäy taát caû coù: 20.5.4.3 = 1200 soá.
· Caùch 2:
3
* Ñeà coù 3 caâu deã, 1 caâu trung bình, 1 caâu khoù Þ coù C15
.C110 .C15 ñeà.
Vaäy taát caû coù:
2
2
2
3
1
C15
.C10
.C15 + C15
.C110 .C52 + C15
.C10
.C15 = 23625 + 10500 + 22750
60. (ÑH khoái B 2005)
Coù
4
C13C12
= 56875 ñeà.
caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù
nhaát. Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù
nhaát, thì coù C12C84 caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh
thöù hai. Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh
thöù nhaát vaø tænh thöù hai, thì coù
C11C44
caùch phaân coâng caùc thanh nieân
tình nguyeän veà tænh thöù ba.
4
Vaäy taát caû coù: C13C12
. C12C84 . C11C44 = 207900 caùch phaân coâng.
61. (ÑH khoái A 2005 döï bò 1)
Goïi x = a1a2a3a4a5a6 laø soá caàn laäp.
YCBT: a3 + a4 + a5 = 8 Þ a3, a4, a5 Î {1, 2, 5} hoaëc a3, a4, a5 Î {1, 3,
4}
a) Khi a3, a4, a5 Î {1, 2, 5}
· Coù 6 caùch choïn a1
· Coù 5 caùch choïn a2
· Coù 3! caùch choïn a3, a4, a5
· Coù 4 caùch choïn a6
Þ Coù: 6.5.6.4 = 720 soá x.
b) Khi a3, a4, a5 Î {1, 3, 4}, töông töï ta cuõng coù 720 soá x.
* Böôùc 1: Xeáp 1, 5 vaøo 2 trong 5 vò trí: coù A52 = 20 caùch.
* Böôùc 2: coù A35 = 60 caùch xeáp 3 trong 5 soá coøn laïi vaøo 3 vò trí coøn
laïi.
Vaäy coù 20.60 = 1200 soá.
64. (ÑH khoái D 2006)
4
Soá caùch choïn 4 hoïc sinh töø 12 hoïc sinh ñaõ cho laø: C12
= 495
Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät em ñöôïc tính nhö
sau:
· Lôùp A coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp B, C moãi lôùp 1 hoïc sinh.
Þ Soá caùch choïn laø:
C52C14C13 = 120
· Lôùp B coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp A, C moãi lôùp 1 hoïc sinh:
Þ Soá caùch choïn laø:
C15C24C13 = 90
· Lôùp C coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp A, B moãi lôùp 1 hoïc sinh:
Þ Soá caùch choïn laø:
C15C14C32 = 60
Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät hoïc sinh laø:
120 + 90 + 60 = 270
Vaäy soá caùch choïn phaûi tìm laø: 495 – 270 = 225 caùch.
65. (CÑ GTVT III khoái A 2006)
· Soá caùch choïn 2 hoïc sinh khoái C laø: C52 = 10
32
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Traàn Só Tuøng
nhaát neáu k laø soá töï nhieân lôùn nhaát khoâng vöôït quaù
30. (ÑH Vinh khoái DTM 2001)
Chöùng minh raèng:
n+1
.
2
2000
=2
2001
(2
£
- 1)
( )
2
Cn2n
(
+
)
-x n
23
+ Cnn-1
(ÑHDL Kyõ thuaät coâng ngheä khoái D 1999)
6
7
8
9
Tính toång: C10
+ C10
+ C10
+ C10
+ C10
10
trong ñoù Ckn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû.
4.
x -1 n
0
Cn 2 2
x -1
2
k
k+2
k +1
C14
+ C14
= 2C14
(ÑH Ngoaïi ngöõ HN chuyeân ban 1999)
Tìm caùc soá nguyeân döông x thoaû: C1x + 6C2x + 6C3x = 9x2 - 14x
( ) ( ) ( ) + ... +
(2 )( )
( )
=
2.
3.
32. (ÑH khoái A 2002)
Cho khai trieån nhò thöùc:
x -1
22
(CÑSP TPHCM 1999)
Tìm soá töï nhieân k thoaû maõn heä thöùc:
31. (ÑH Y Döôïc TPHCM 2001)
Cho k vaø n laø caùc soá nguyeân thoaû maõn: 9 ≤ k ≤ n. Chöùng minh raèng:
Cn2n+k .Cn2n-k
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Phaàn II. BIEÅU THÖÙC TOÅ HÔÏP – NHÒ THÖÙC NEWTON
1.
C02001 + 32 C22001 + 34 C42001 + ... + 32000 C2000
2001
29
Traàn Só Tuøng
x -1 n-1 - x
1
+ Cn 2 2
23
- x n-1
-x n
n
23
+ Cn 2 3
(n laø soá nguyeân döông). Bieát raèng trong khai trieån ñoù
(ÑH Baùch khoa HN 1999)
Tính toång: S = C1n - 2Cn2 + 3Cn3 - 4Cn4 + ... + (-1)n-1.nCnn
5.
Cn3
=
5C1n
1001
+1
Chöùng minh raèng: Ck2001 + Ck2001
£ C1000
2001 + C2001
vaø soá
haïng thöù tö baèng 20. Tìm n vaø x.
33. (ÑH khoái B 2002)
Cho ña giaùc ñeàu A1A2…A2n (n ≥ 2, n nguyeân) noäi tieáp ñöôøng troøn (O).
Bieát raèng soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 3 trong 2n ñieåm A1, A2, …, A2n
nhieàu gaáp 20 laàn soá hình chöõ nhaät coù caùc ñænh laø 4 trong 2n ñieåm A1,
A2, …, A2n. Tìm n?
34. (ÑH khoái D 2002)
Tìm soá nguyeân döông n sao cho:
Cn0 + 2C1n + 4Cn2 + ... + 2n Cnn = 243
6.
(trong ñoù k nguyeân, 0 ≤ k ≤ 2000û)
(ÑHQG HN khoái B 2000)
Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån cuûa bieåu thöùc sau:
17
æ 1
ö
4
ç
+ x3 ÷
ç3 2
÷
è x
ø
7.
8.
35. (ÑH döï bò 2 2002)
,x≠0
(ÑH Baùch khoa HN khoái AD 2000)
1 2
6
Giaûi baát phöông trình:
A2x - A2x £ .C3x + 10
2
x
(ÑHSP HN khoái A 2000)
n
28 ö
æ
Trong khai trieån nhò thöùc ç x 3 x + x 15 ÷ , haõy tìm soá haïng khoâng phuï
ç
÷
è
ø
Tìm soá n nguyeân döông thoaû maõn baát phöông trình: An3 + 2Cnn- 2 ≤ 9n.
36. (ÑH döï bò 4 2002)
Giaû söû n laø soá nguyeân döông vaø:
(1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn
a
a
a
Bieát raèng toàn taïi soá k nguyeân (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho k -1 = k = k +1 .
2
9
24
Haõy tính n.
37. (ÑH döï bò 6 2002)
Goïi a1, a2, …, a11 laø caùc heä soá trong khai trieån sau:
(x + 1)10.(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11.
trong ñoù n laø soá töï nhieân lôùn hôn 2.
(ÑHQG HN khoái A 2000)
thuoäc vaøo x, bieát raèng Cnn + Cnn-1 + Cnn- 2 = 79
9.
(ÑHSP HN khoái BD 2000)
Bieát toång taát caû caùc heä soá cuûa khai trieån nhò thöùc (x2 + 1)n baèng 1024,
haõy tìm heä soá a (a laø soá töï nhieân) cuûa soá haïng ax12 trong khai trieån
ñoù.
10. (ÑHSP TPHCM khoái DE 2000)
1
1
1 n
Tính toång: S = Cn0 + C1n + Cn2 + ... +
Cn
2
3
n+1
30
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Traàn Só Tuøng
11. (ÑH Kinh teá quoác daân khoái A 2000)
Chöùng minh: 2n-1C1n + 2n-1Cn2 + 2n-3 Cn3 + 2n- 4 Cn4 + ... + nCnn = n.3n-1
12. (ÑH Noâng nghieäp I khoái A 2000)
1ö
æ
Tìm heä soá cuûa x31 trong khai trieån cuûa f(x) = ç x + 2 ÷
x ø
è
40
13. (ÑH Thuyû lôïi 2000)
Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân n ≥ 2, ta luoân coù:
1
1
1
1
n-1
+ 2 + 2 + ... + 2 =
2
n
A2 A3 A4
An
14. (ÑH Thuyû lôïi II 2000)
Cho ña thöùc P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + … + (1 + x)14 coù
daïng khai trieån laø: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a14x14.
Haõy tính heä soá a9.
15. (ÑH Y Döôïc TPHCM 2000)
Vôùi n laø soá nguyeân döông, haõy chöùng minh caùc heä thöùc sau:
1. Cn0 + C1n + Cn2 + ... + Cnn = 2n
-1
2. C12n + C32n + C52n + ... + C2n
= C02n + C22n + C42n + ... + C2n
2n
2n
16. (ÑH An ninh nhaân daân khoái DG 2000)
Tính toång:
S = C02000 + 2C12000 + 3C22000 + ... + 2001C2000
2000
17. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000)
Khai trieån ña thöùc: P(x) = (1 + 2x)12 thaønh daïng:
a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12
Tìm max(a1, a2, …, a12).
18. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái A 2000)
Tính tích phaân:
I=
1
2 n
ò x(1- x ) dx
(n Î N*)
0
Töø ñoù chöùng minh raèng:
1 0 1 1 1 2 1 3
(-1)n n
1
Cn - Cn + Cn - Cn + ... +
Cn =
2
4
6
8
2(n + 1)
2(n + 1)
19. (CÑ Caûnh saùt nhaân daân khoái A 2000)
Tìm heä soá cuûa x5 trong khai trieån cuûa bieåu thöùc:
(x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7
20. (ÑH An Ninh khoái A 2001)
Tìm caùc soá aâm trong daõy soá x1, x2, …, xn, … vôùi
31
Traàn Só Tuøng
xn =
An4+ 4
Pn+ 2
-
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
143
(n = 1, 2, 3, …)
4Pn
21. (ÑH An ninh nhaân daân khoái A 2001)
Chöùng minh raèng vôùi n laø soá töï nhieân, n ≥ 2, ta coù:
1
1
1
n-1
+ 2 + ... + 2 =
.
2
n
A2 A3
An
22. (ÑH Baùch khoa HN khoái AD 2001)
ìï 2Ayx + 5Cyx = 90
Giaûi heä phöông trình:
í y
y
ïî5Ax - 2Cx = 80
23. (ÑH Daân laäp Duy Taân khoái A 2001)
1. Tính tích phaân: I =
1
6
ò (x + 2) dx
0
2 0 25 1 24 2 23 3 22 4 2 5 1 6
C6 +
C6 +
C6 +
C6 +
C6 + C6 + C6
1
2
3
4
5
6
7
24. (ÑH Ñaø Laït khoái D 2001)
1 n
Chöùng minh raèng vôùi moïi soá x ta coù: xn = n å Ckn (2x - 1)k (n Î N) (*)
2 k =0
2. Tính toång: S =
6
25. (ÑH Ñaø Naüng khoái A 2001)
Vôùi moãi n laø soá töï nhieân, haõy tính toång:
1
1
1
1 n n
S = Cn0 + C1n .2 + Cn2 .22 + Cn3 .23 + ... +
Cn .2
2
3
4
n+1
26. (ÑH Haøng haûi 2001)
2n
= 22n-1(22n + 1)
Chöùng minh: C02n + C22n .32 + C42n .34 + ... + C2n
2n .3
27. (ÑH Luaät TPHCM khoái A 2001)
Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân n ≥ 1, ta coù:
C1n .3n-1 + 2.Cn2 .3n- 2 + 3.Cn3 .3n-3 + ... + n.Cnn = n.4n–1
28. (ÑHSP HN khoái A 2001)
10
æ1 2 ö
Trong khai trieån cuûa ç + x ÷ thaønh ña thöùc:
è3 3 ø
a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9 + a10x10 (ak Î R)
haõy tìm heä soá ak lôùn nhaát (0 ≤ k ≤ 10).
29. (ÑH Vinh khoái AB 2001)
Cho n laø moät soá nguyeân döông coá ñònh. Chöùng minh raèng Ckn lôùn
36
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
20
Traàn Só Tuøng
10
1ö
1ö
æ
æ
Cho A = ç x - 2 ÷ + ç x3 - ÷ . Sau khi khai trieån vaø ruùt goïn thì bieåu
x
è
ø
x ø
è
thöùc A seõ goàm bao nhieâu soá haïng?
69. (CÑ KT Y teá I 2006)
Tìm soá töï nhieân n thoaû maõn ñaúng thöùc sau:
2k 2k
- 2 2n- 2
2n 2n
C02n + C22n 32 + ... + C2n
3 + ... + C2n
+ C2n
3 = 215 (216 + 1)
2n 3
70. (CÑ Xaây döïng soá 2 2006)
Chöùng minh: Cn0 3n - C1n 3n-1 + ... + (-1)n Cnn = Cn0 + C1n + ... + Cnn
71. (CÑ KT Y teá 1 2005)
Giaûi baát phöông trình: 2C2x+1 + 3A2x - 20 < 0
72. (CÑBC Hoa Sen khoái D 2006)
Tìm heä soá cuûa x29y8 trong khai trieån cuûa (x3 – xy)15.
73. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái DM 2006)
Khai trieån bieåu thöùc (1 – 2x)n ta ñöôïc ña thöùc coù daïng:
a 0 + a 1 x + a 2 x2 + … + a n xn
Tìm heä soá cuûa x5, bieát a0 + a1 + a2 = 71.
33
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Haõy tính heä soá a5.
38. (ÑH khoái A 2003)
Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x8 trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa
n
æ 1
5ö
n+1
n
ç 3 + x ÷ , bieát raèng: Cn+ 4 - Cn+ 3 = 7(n + 3) (n nguyeân döông, x > 0).
èx
ø
39. (ÑH khoái B 2003)
Cho n laø soá nguyeân döông. Tính toång:
22 - 1 1 23 - 1 2
2n+1 - 1 n
Cn +
Cn + ... +
Cn
2
3
n+1
40. (ÑH khoái D 2003)
Vôùi n laø soá nguyeân döông, goïi a3n–3 laø heä soá cuûa x3n–3 trong khai trieån
thaønh ña thöùc cuûa (x2 + 1)n(x + 2)n. Tìm n ñeå a3n–3 = 26n.
41. (ÑH khoái D 2003 döï bò 2)
Tìm soá töï nhieân n thoaû maõn:
Cn0 +
Cn2Cnn- 2 + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn-3 = 100
42. (CÑ Xaây döïng soá 3 – 2002)
Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n ta ñeàu coù:
-1
0
2
4
2n
C12n + C32n + C52n + ... + C2n
2n = C2n + C2n + C2n + ... + C2n
BAØI GIAÛI
1.
(CÑSP TPHCM 1999)
k
k+2
k +1
C14
+ C14
= 2C14
(0 ≤ k ≤ 12, k Î N)
14!
14!
14!
Û
+
=2
k!(14 - k)! (k + 2)!(12 - k)!
(k + 1)!(13 - k)!
1
1
1
Û
+
=2
(14 - k)(13 - k) (k + 1)(k + 2)
(k + 1)(13 - k)
2.
Û (k + 1)(k + 2) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k)
Û k2 – 12k + 32 = 0
Û k = 4 hoaëc k = 8
Vaäy: k = 4 hoaëc k = 8
(ÑHDL Kyõ thuaät coâng ngheä khoái D 1999)
1 0
1 10
1 10 1 5
9
C10 + C110 + ... + C10
+ C10
.2 - C10 = 386.
10 - C10 =
2
2
2
2
(ÑH Ngoaïi ngöõ HN chuyeân ban 1999)
3.
(
C1x + 6C2x + 6C3x = 9x2 - 14x
1. Giaûi phöông trình: C1x + 6Cx2 + 6C3x = 9x2 – 14x
19
19
2. Chöùng minh raèng: C120 + C320 + C520 + ... + C17
20 + C20 = 2
44. (CÑ khoái AD 2003)
Chöùng minh raèng:
P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – 1
45. (CÑ Giao thoâng II 2003)
Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n ≥ 2, ta ñeàu coù:
n-1
æ 2n - 2 ö
Cn0C1n ...Cnn £ ç
÷
è n-1 ø
46. (CÑ Giao thoâng III 2003)
1. Tính toång:
)
(x Î N, x ≥ 3)
S = C1n - 2Cn2 + 3Cn3 - 4Cn4 + ... + (-1)n-1nCnn
1 1 1 2
1 n
Cn + Cn + ... +
Cn
2
3
n+1
bieát raèng n laø soá nguyeân döông thoaû ñieàu kieän:
2. Tính toång:
6
7
8
9
10
S = C10
+ C10
+ C10
+ C10
+ C10
=
43. (CÑ Sö phaïm Beán Tre khoái A 2002)
T = Cn0 +
Cnn + Cnn-1 + Cnn- 2 = 79
47. (CÑ Taøi chính keá toaùn IV 2003)
(n > 2)
34
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Chöùng minh raèng:
+
C02Ckn- 2
Traàn Só Tuøng
+ C12Cnk--12
+ C22Cnk-- 22
=
Cnk
Tìm k Î {0; 1; 2; …; 2005} sao cho
(vôùi n, k Î Z ;n ≥ k + 2)
48. (CÑ Taøi chính keá toaùn IV 2003 döï bò)
An3 + 2Cn2 = 16n
51. (CÑ Noâng Laâm 2003)
Tìm heä soá lôùn nhaát cuûa ña thöùc trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa:
15
æ1 2 ö
ç + x÷ .
è3 3 ø
52. (CÑ Coäng ñoàng Tieàn Giang 2003)
Haõy khai trieån nhò thöùc Newton (1 – x)2n, vôùi n laø soá nguyeân döông.
Töø ñoù chöùng minh raèng:
-1
2
4
2n
1C12n + 3C32n + ... + (2n - 1)C2n
2n = 2C2n + 4C2n + ... + 2nC2n
53. (ÑH khoái A 2004)
Tìm heä soá cuûa x8 trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa [1 + x2(1 – x)]8.
54. (ÑH khoái D 2004)
Tìm caùc soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa:
1 ö
æ3
ç x+4 ÷
xø
è
+1
C12n+1 - 2.2C22n+1 + 3.22 C32n+1 - 4.23 C42n+1 + ... + (2n + 1).22n C2n
2n+1 = 2005
56. (ÑH khoái D 2005)
An4+1 + 3An3
(n + 1)!
57. (ÑH khoái A 2005 döï bò 2)
Tìm heä soá cuûa x7 trong khai trieån ña thöùc (2 – 3x)2n, trong ñoù n laø soá
nguyeân döông thoaû maõn:
58. (ÑH khoái D 2005 döï bò 1)
n
æ 1
7ö
1
2
n
20
ç 4 + x ÷ , bieát raèng: C2n+1 + C2n+1 + ... + C2n+1 = 2 - 1
èx
ø
61. (ÑH khoái B 2006)
Cho taäp A goàm n phaàn töû (n ≥ 4). Bieát raèng soá taäp con goàm 4 phaàn töû
cuûa A baèng 20 laàn soá taäp con goàm 2 phaàn töû cuûa A. Tìm kÎ{1,2,…, n}
sao cho soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát.
62. (CÑ Baùn coâng Hoa Sen khoái A 2006)
1
ì x
x
ïïCy : Cy+ 2 = 3
Giaûi heä phöông trình:
í
ïCx : Ax = 1
y
ïî y
24
63. (CÑ KT–KT Caàn Thô khoái AB 2006)
1
1
1
Tìm soá töï nhieân n sao cho:
- n = n
n
C4 C5 C6
64. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái A 2006)
Tính toång S =
1.Cn0
A11
+
2.C1n
A12
+
3.Cn2
A13
+ ... +
(n + 1).Cnn
A1n+1
65. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái BT 2006)
Khai trieån bieåu thöùc (1 – 2x)n ta ñöôïc ña thöùc coù daïng:
a 0 + a 1 x + a 2 x2 + … + a n xn
Tìm heä soá cuûa x5, bieát a0 + a1 + a2 = 71.
66. (CÑ Ñieän löïc TPHCM 2006)
n
1ö
æ
Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån nhò thöùc ç x2 + 3 ÷ , bieát
x ø
è
bieát Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+ 3 + Cn2+ 4 = 149.
+1
C12n+1 + C32n+1 + C52n+1 + ... + C2n
2n+1
60. (ÑH khoái A 2006)
Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x26 trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa
Bieát raèng: Cn0 + C1n + Cn2 = 211
vôùi x > 0
55. (ÑH khoái A 2005)
Tìm soá nguyeân döông n sao cho:
Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: M =
ñaït giaù trò lôùn nhaát.
Tìm soá nguyeân n > 1 thoaû maõn ñaúng thöùc: 2Pn + 6 An2 - Pn An2 = 12.
49. (CÑ Coâng nghieäp HN 2003)
Cho ña thöùc: P(x) = (16x – 15)2003. Khai trieån ña thöùc ñoù döôùi daïng:
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a2003x2003
Tính toång S = a0 + a1 + a2 + … + a2003.
50. (CÑ Khí töôïng thuyû vaên khoái A 2003)
7
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Ck2005
59. (ÑH khoái D 2005 döï bò 2)
Giaûi baát phöông trình: (n!)3 Cnn .Cn2n .Cn3n £ 720
Tìm soá nguyeân döông n thoaû maõn ñaúng thöùc:
35
Traàn Só Tuøng
= 1024
raèng: C1n + Cn3 = 13n (n laø soá töï nhieân lôùn hôn 2, x laø soá thöïc khaùc 0).
67. (CÑ Kinh teá TPHCM 2006)
Tìm n Î N sao cho: C04n+ 2 + C24n+ 2 + C44n+ 2 + ... + C2n
4n+ 2 = 256
68. (CÑ Kinh teá ñoái ngoaïi khoái AD 2006)
40
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
1
Thaät vaäy,
A22
1
+
A32
2
+
1
A24
+ ... +
1
Ak2
Traàn Só Tuøng
1
+
Ak2+1
=
2
k -1
1
k -1
1
+ 2 =
+
k
k
(k
1)k
+
Ak +1
(k - 1) + 1
k
=
(k + 1)k
k +1
1
1
1
1
n-1
, "n ≥ 2
Vaäy:
+ 2 + 2 + ... + 2 =
2
n
A2 A3 A4
An
=
37
Traàn Só Tuøng
3
4.
Xeùt ña thöùc p(x) = (1 – x) . Khai trieån theo coâng thöùc Newton ta ñöôïc:
p(x) = (1 – x)n =
Suy ra: – p¢(x) = n(1 – x)n–1 =
+ C1n + Cn2 + ... + Cnn = 2n
C02n - C12nx + C22nx2 - C32nx3
Cho x = 1 ta ñöôïc: 0 =
i= 0
Ci2000 xi
5.
2n
+ ... + C2n
2n x
Trong (1) cho x = 1 ta ñöôïc
+1
Thaät vaäy, chæ caàn chöùng toû: Ck2001 < Ck2001
(1) vôùi "k = 0, 1, 2, …, 999.
Ta coù: (1) Û
å Ci2000
= 22000
Ñaïo haøm 2 veá cuûa (1) theo x, ta coù: 2000.(x + 1)1999 =
2000
å i.Ci2000xi-1
i=1
Cho x = 1 ta ñöôïc:
å i.Ci2000
= 2000.21999 = 1000.22000
i=1
Do ñoù: S =
2000
å
i= 0
Ci2000 +
2000
å i.Ci2000
+1
1001
Þ Ck2001 + Ck2001
£ C1000
2001 + C2001 (ñaúng thöùc Û k = 1000)
= 1001.22000.
i=1
17. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000)
P(x) = (1 + 2x)12 = a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12
23
k
ak = C12
.2k ;
ak < ak+1 Û k <
3
2001!
2001!
<
k!(2001- k)! (k + 1)!(2000 - k)!
Û (k + 1) < 2001 – k
Û 2k < 2000 Û k < 1000 ñuùng vì k = 0, 1, 2, …, 999.
ék = 1000
Vì vaäy: Ck2001 £ C1000
)
2001 ,"k = 0, 1, …, 2000 (ñaúng thöùc Û ê
ëk = 1001
ék = 999
+1
vaø: Ck2001
£ C1001
)
2001 , "k = 0, 1, …, 2000 (ñaúng thöùc Û ê
ëk = 1000
i= 0
2000
Vaäy: S = 0
(ÑHQG HN khoái A 2000)
Ta seõ chöùng toû:
1
2000
2
1999
1000
1001
C02001 = C2001
2001 < C2001 = C2001 < C2001 = C2001 < ... < C2001 = C2001
(1)
2000
å (-1)k-1.kCkn
= C1n - 2Cn2 + 3Cn3 - 4Cn4 + ... + (-1)n-1.nCnn = S
Cho x = 1 Þ ñpcm.
16. (ÑH An ninh nhaân daân khoái DG 2000)
å
n
k =1
Cn0
2000
n
å (-1)k -1.kCkn.xk -1
k =1
1. (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2 x2 + ... + Cnnxn
Coù (x + 1)2000 =
n
å (-1)k Ckn .xk
k =0
11.10 12.11.10 13.12.11.10 14.13.12.11.10
= 1 + 10 +
+
+
+
2
6
24
120
= 3003
15. (ÑH Y Döôïc TPHCM 2000)
=
(n > 2)
n
2
3
4
5
= 1 + C110 + C11
+ C12
+ C13
+ C14
2. (1 – x)
Vaäy: x = 7
(ÑH Baùch khoa HN 1999)
S = C1n - 2Cn2 + 3Cn3 - 4Cn4 + ... + (-1)n-1.nCnn
9
9
9
9
9
a9 = 1 + C10
+ C11
+ C12
+ C13
+ C14
2n
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
2
Û x + 3x – 3x + x – 3x + 2x = 9x – 14x
é x = 0 (loaïi)
2
Û x(x – 9x + 14) = 0 Û êê x = 2 (loaïi)
êë x = 7 (nhaän)
14. (ÑH Thuyû lôïi II 2000)
Cho x = 1 Þ
2
6.
(ÑHQG HN khoái B 2000)
Soá haïng toång quaùt cuûa khai trieån laø:
k
C17
( ) ( )
2 17-k
x 3
3 k
x4
k
= C17
17 34
3 12 k - 3
x4
( )
(k Î N, 0 ≤ k ≤ 17)
38
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Ñeå soá haïng khoâng chöùa x thì
Traàn Só Tuøng
17
34
k=0 Þk=8
12
3
* Ta coù: I =
(ÑH Baùch khoa HN khoái AD 2000)
ìx Î N
ï 2 £ 2x
ìx Î N
ï
Ñieàu kieän: í
Ûí
2
£
x
îx ³ 3
ï
ïî3 £ x
Ta coù:
8.
*I=
1
.2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤
2
Û x2 ≤ x2 – 3x + 12 Û x ≤ 4
Keát hôïp ñieàu kieän, ta ñöôïc: x
(ÑHSP HN khoái A 2000)
12
28 ö
æ
3
15
ç
÷
* Ta coù: x x + x
ç
÷
è
ø
k
æ 4ö
k ç 3÷
C12 x
n(n - 1)
= 79
2
12-k
7
Vaäy soá haïng caàn tìm laø: C12
= 792
9.
(ÑHSP HN khoái BD 2000)
2
n
Ta coù: (x + 1) =
n
å
k =0
Ckn x2k
(1)
Soá k öùng vôùi soá haïng ax12 thoaû maõn phöông trình: x12 = x2k Þ k = 6.
Trong (1) cho x = 1 thì
n
å Ckn
= 2n
k =0
Töø giaû thieát Þ
n
å Ckn
= 1024 Û 2n = 1024 Û n = 10
k =0
Vaäy heä soá caàn tìm laø:
6
C10
= 210.
10. (ÑHSP TPHCM khoái DE 2000)
=
0
2n+1 - 1
n+1
+C1nx + ... + Cnnxn )dx
æ
x2
xn+1 ö
= ç Cn0 x + C1n
+ ... + Cnn
÷
ç
2
n + 1÷ø
è
0
1 1 1 2
1 n
Cn + Cn + ... +
Cn = S
2
3
n+1
2n+1 - 1
.
n+1
11. (ÑH Kinh teá quoác daân khoái A 2000)
Ta coù: (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2 x2 + Cn3 x3 + Cn4 x4 + ... + Cnnxn
Laáy ñaïo haøm hai veá:
n(1 + x)n–1 = C1n + 2Cn2 x + 3Cn3 x 2 + 4Cn4 x3 + ... + nCnnxn-1
48 112
12
æ - 28 ö
kk 15
15
5
ç
÷
x
= å C12 x
=å
ç ÷ ç
÷
k =0
k
=
0
è ø è
ø
48
112
Soá haïng khoâng phuï thuoäc x Û
k= 0 Û k = 7.
15
5
12
ò
(1+ x)n+1
n+1
Vaäy: S =
= 3, x = 4.
ìn = 12
Û í
în = -13 (loaïi)
n
ò (1+ x) dx =
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
1
1
(Cn0
= Cn0 +
6 x(x - 1)(x - 2)
.
+ 10
x
1.2.3
* Xaùc ñònh n: Cnn + Cnn-1 + Cnn- 2 = 79 Û 1 + n +
1
0
1 2
6
A2x - A2x £ .C3x + 10
2
x
Û
1
0
8
Vaäy soá haïng caàn tìm laø soá haïng thöù 9 cuûa khai trieån vaø baèng C17
.
7.
39
Traàn Só Tuøng
Thay x =
n
3n-1
2n-1
1
, ta ñöôïc:
2
= C1n + 2Cn2 .2-1 + 3Cn3 2-2 + 4Cn4 .2-3 + ... + nCnn 2-n+1
Þ 2n-1C1n + 2n-1Cn2 + 3.2n-3 Cn3 + 4.2n- 4 Cn4 + ... + nCnn = n.3n-1
12. (ÑH Noâng nghieäp I khoái A 2000)
1ö
æ
çx + 2 ÷
x
è
ø
40
31
Heä soá cuûa x
40
=
æ 1ö
å Ck40xk .çè x2 ÷ø
k =0
laø
Ck40
40-k
=
40
å Ck40x3k -80
k =0
vôùi k thoaû maõn ñieàu kieän: 3k – 80 = 31 Û k = 37
3
Vaäy: heä soá cuûa x31 laø C37
40 = C40 =
40.39.38
= 40.13.19 = 9880.
1.2.3
13. (ÑH Thuyû lôïi 2000)
Chöùng minh baèng phöông phaùp qui naïp.
1
1
* Vôùi n = 2, ñpcm Û 2 = Û A22 = 2 ñuùng
2
A2
* Giaû söû BÑT caàn chöùng minh ñuùng vôùi n = k (k ≥ 2), töùc laø ta coù:
1
1
1
1
k -1
+ 2 + 2 + ... + 2 =
2
k
A2 A3 A4
Ak
Ta caàn chöùng minh BÑT ñuùng vôùi n = k + 1.
- Xem thêm -
.PDF 
28 
485 
114 
