TuyÓn tËp
Bé ba c©u ph©n lo¹i
Trong c¸c ®Ò thi thö THPT Quèc Gia 2016
M¤N TO¸N
* PT, HPT, BPT
* PP tọa độ trong MP
* BĐT, Tìm GTLN, GTNN
π
DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC
Mục lục
I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
14
1 Lý thuyết chung
1.1 Hệ tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng:
1.2.2 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Vị trí tương đối của 2 điểm và 1 đường thẳng . . . . . . . .
1.3 Góc và khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Phương trình Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Một số kĩ thuật cơ bản
2.1 Kĩ thuật xác định tọa độ điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Dựa vào hệ điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Xác định tọa độ giao điểm của hai đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Điểm thuộc đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Tìm tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng . . . . . . . . . . . .
2.4 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cách 1 điểm cho trước một khoảng
cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, tạo với 1 đường thẳng khác một
góc cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Viết phương trình đường phân giác trong của một góc . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của đường tròn . . . . . . . . .
14
14
14
14
14
15
15
16
16
17
17
17
17
18
19
19
20
21
21
23
23
3 Phương pháp giải toán
24
3.1 Phương pháp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Một số hướng khai thác giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
29
1
29
29
29
29
30
30
30
2
Trục căn thức
1.1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
1.1.1 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Đưa về “hệ tạm” . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Phương pháp . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Biến đổi về phương trình tích
31
2.1 Các biến đổi thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Trang 6
http://diendantoanhoc.net
3 Phương pháp đặt ẩn phụ
3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất p
bậc 2 đối với 2 biến
3.2.1 Phương trình dạng: a.A (x) + bB
p(x) = c A (x) .B (x) . . . . .
3.2.2 Phương trình dạng: αu + βv = mu 2 + nv 2 . . . . . . . . . .
3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
33
33
35
36
37
38
.
.
.
.
39
39
41
41
42
5 Phương pháp lượng giác hóa
5.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa . . . . . . . . . . . .
5.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
44
44
45
6 Phương pháp dùng Bất đẳng thức
46
7 Phương pháp hàm số
48
III. MỘT SỐ KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT
51
4 Phương pháp đưa về hệ phương trình
4.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường .
4.2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II .
4.2.1 Hệ đối xứng . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Dạng hệ gần đối xứng . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 Những BĐT cổ điển thường dùng
51
1.1 BĐT hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2 BĐT ba biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2 Một số kĩ thuật chứng minh BĐT
2.1 Kĩ thuật ghép đối xứng . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kĩ thuật tách ghép . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Kỹ thuật dùng BĐT cơ bản . . . . . . . . . .
2.4 Kĩ thuật dùng miền xác định của biến số .
2.5 Một số cách biến đổi điều kiện thường gặp
2.6 BĐT thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Kĩ thuật sử dụng hàm số . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
51
53
55
58
60
62
65
IV. BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
2015
68
1 Đề minh hoạ THPT 2015
68
2 Đề Sở GD-ĐT Phú Yên
68
3 THTT số 453 tháng 04 năm 2015
68
4 THPT Số 3 Bảo Thắng (Lào Cai)
69
5 THPT Bố Hạ (Bắc Giang)
69
http://diendantoanhoc.net
Trang 7
6 THPT Chu Văn An (Hà Nội)
69
7 THPT chuyên Hà Tĩnh
69
8 THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An)
70
9 THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc)
70
10 THPT chuyên Hưng Yên
70
11 THPT chuyên Lê Hồng Phong (Hồ Chí Minh)
71
12 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc)
71
13 THPT Lục Ngạn số 1 (Bắc Giang)
71
14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên)
71
15 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 2
72
16 THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên)
72
17 THPT Minh Châu (Hưng Yên)
72
18 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 2
73
19 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên)
73
20 THPT Quỳnh Lưu 3 (Nghệ An)
73
21 THPT Thanh Chương III (Nghệ An)
74
22 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa)
74
23 THPT Thuận Châu (Sơn La)
75
24 THPT Tĩnh Gia I (Thanh Hóa)
75
25 THPT Thanh Chương I (Nghệ An)
75
26 THPT Cẩm Bình (Hà Tĩnh)
76
27 THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh)
76
28 THPT Nghèn (Hà Tĩnh)
76
29 THPT chuyên Trần Quang Diệu (Đồng Tháp)
77
30 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP. HCM)
77
31 THPT Như Thanh (Thanh Hóa)
77
32 THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh)
78
Trang 8
http://diendantoanhoc.net
33 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB
78
34 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối D
78
35 THPT Hồng Quang (Hải Dương)
79
36 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 1
79
37 THPT Thường Xuân 3 (Thanh Hóa)
79
38 THPT Tĩnh Gia II (Thanh Hóa)
80
39 THPT Triệu Sơn 3 (Thanh Hóa)
80
40 Trung tâm dạy thêm văn hóa (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - TP. HCM)
80
41 THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2
81
42 THPT Đồng Lộc (Hà Tĩnh)
81
43 THPT Hậu Lộc 2 (Thanh Hóa)
81
44 Đề 44
82
45 Sở GDĐT Vĩnh Phúc (lần 1)
82
46 Sở GDĐT Vĩnh Long
82
47 Sở GDĐT TP. Hồ Chí Minh
83
48 Sở GDĐT Thanh hóa
83
49 Sở GDĐT Quảng Ngãi
83
50 Sở GDĐT Quảng Nam
84
51 Sở GDĐT Lào Cai
84
52 Sở GDĐT Lâm Đồng
84
53 Sở GDĐT Bình Dương
85
54 THPT Nguyễn Văn Trỗi
85
55 THPT Chuyên ĐH Vinh
85
56 THPT Thủ Đức (TP Hồ Chí Minh)
86
57 THPT Nông Cống 1 (Thanh Hóa) lần 2
86
58 THPT Nguyễn Trung Thiên lần 1
86
59 THPT Lam Kinh
87
http://diendantoanhoc.net
Trang 9
60 THPT Cù Huy Cận (Hà Tĩnh)
87
61 THPT Đa Phúc (Hà Nội)
87
62 THPT Lạng Giang I (Bắc Giang)
88
63 THPT Lý Tự Trọng (Khánh Hòa)
88
64 THPT Quảng Hà
88
65 THPT Thống nhất
89
66 THPT Hồng Quang (Hải Dương)
89
67 THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc)
89
68 THPT chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần 3
90
69 THPT chuyên Hùng Vương (Phú Thọ)
90
70 Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam)
90
71 Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định)
91
72 Chuyên ĐH Vinh lần 3
91
73 Chuyên Hùng Vương (Gia Lai)
91
V. HƯỚNG DẪN VÀ LỜI GIẢI
92
1 Đề minh họa THPT Quốc gia 2015
92
2 Sở GDĐT Phú Yên
93
3 THTT Số 453
95
4 THPT Số 3 Bảo Thắng (Lào Cai)
96
5 THPT Bố Hạ (Bắc Giang)
98
6 THPT Chu Văn An (Hà Nội)
99
7 THPT Chuyên Hà Tĩnh
101
8 THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An)
102
9 THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc)
104
10 THPT Chuyên Hưng Yên
105
11 THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP. HCM)
107
12 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc)
108
Trang 10
http://diendantoanhoc.net
13 THPT Lục Ngạn số 1 (Bắc Giang)
110
14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên)
111
15 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 2
112
16 THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên)
113
17 THPT Minh Châu (Hưng Yên)
116
18 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 2
119
19 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên)
120
20 THPT Quỳnh Lưu 3 (Nghệ An)
123
21 THPT Thanh Chương III (Nghệ An)
126
22 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa)
127
23 THPT Thuận Châu (Sơn La)
129
24 THPT Tĩnh Gia I (Thanh Hóa)
131
25 THPT Thanh Chương I (Nghệ An)
133
26 THPT Cẩm Bình (Hà Tĩnh)
135
27 THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh)
137
28 THPT Nghèn (Hà Tĩnh)
140
29 THPT Chuyên Trần Quang Diệu (Đồng Tháp)
142
30 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP. HCM)
144
31 THPT Như Thanh (Thanh Hóa)
146
32 THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh)
148
33 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB
151
34 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối D
153
35 THPT Hồng Quang (Hải Dương)
155
36 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội)
158
37 THPT Thường Xuân 3 (Thanh Hóa)
160
38 THPT Tĩnh Gia II (Thanh Hóa)
162
39 THPT Triệu Sơn 3 (Thanh Hóa)
164
http://diendantoanhoc.net
Trang 11
40 Trung tâm dạy thêm văn hóa - THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP. HCM)
166
41 THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2
167
42 THPT Đồng Lộc (Hà Tĩnh)
169
43 THPT Hậu Lộc 2 (Thanh Hóa)
171
44 Đề 44
173
45 Sở GDĐT Vĩnh Phúc lần 1
174
46 Sở GDĐT Vĩnh Long
176
47 Sở GDĐT TP. Hồ Chí Minh
177
48 Sở GDĐT Thanh Hóa
178
49 Sở GDĐT Quảng Ngãi
180
50 Sở GDĐT Quảng Nam
181
51 Sở GDĐT Lào Cai
183
52 Sở GDĐT Lâm Đồng
185
53 Sở GDĐT Bình Dương
186
54 THPT Nguyễn Văn Trỗi (Hà Tĩnh)
187
55 THPT Chuyên ĐH Vinh
189
56 THPT Thủ Đức (TP Hồ Chí Minh)
192
57 THPT Nông Cống 1 (Thanh Hóa) lần 2
193
58 THPT Nguyễn Trung Thiên lần 1
196
59 THPT Lam Kinh (Thanh Hóa)
198
60 THPT Cù Huy Cận (Hà Tĩnh)
199
61 THPT Đa Phúc (Hà Nội)
202
62 THPT Lạng Giang I (Bắc Giang)
203
63 THPT Lý Tự Trọng (Khánh Hòa)
205
64 THPT Quảng Hà (Quảng Ninh)
207
65 THPT Thống nhất (Bình Phước)
210
66 THPT Hồng Quang (Hải Dương)
212
Trang 12
http://diendantoanhoc.net
67 THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc)
215
68 THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần 3
216
69 THPT Chuyên Hùng Vương (Phú Thọ)
218
70 THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam)
221
71 THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định)
222
72 THPT Chuyên ĐH Vinh lần 3
225
73 THPT Chuyên Hùng Vương (Gia Lai)
227
http://diendantoanhoc.net
Trang 13
I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG
1
Lý thuyết chung
1.1
Hệ tọa độ
¡
¢
¡
¢
¡
¢
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y cho các điểm: A x A ; y A , B x B ; y B ,C xC ; yC .
¢
−→ ¡
• Tọa độ vectơ: AB = x B − x A ; y B − y A
• Tọa độ trung điểm J củaµđoạn thẳng AB , ¶trọng µtâm G của tam giác ABC ¶lần lượt là:
x A + x B + xC y A + y B + y C
x A + xB y A + y B
;
; G
;
J
2
2
3
3
1.2
1.2.1
Phương trình đường thẳng
Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng:
→
−
−
−
• Vectơ →
u (→
u 6= 0 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu nó có giá song song hoặc
trùng với đường thẳng d .
→
−
−
−
• Vectơ →
n (→
n 6= 0 ) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu nó có giá vuông góc với đường
thẳng d .
−
• Đường thẳng ax + b y + c = 0 có một vectơ pháp tuyến là →
n = (a; b).
• Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương (vectơ pháp tuyến).
• Hai đường thẳng vuông góc có vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là vectơ chỉ phương
của đường thẳng kia.
−
−
−
−
• Nếu →
u ,→
n lần lượt là vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng d thì →
u .→
n = 0.
−
−
Do đó, nếu →
u = (a; b) thì →
n = (b; −a).
−
• Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến, vô số vectơ chỉ phương. Nếu →
n là một vectơ
→
−
pháp tuyến (vectơ chỉ phương) của đường thẳng d thì k n (k 6= 0) cũng là một vectơ pháp
tuyến, vectơ chỉ phương của d .
1.2.2
Phương trình đường thẳng
• Phương trình tổng quát của đường thẳng:
ax + b y + c = 0
(a 2 + b 2 > 0)
(1)
−
Đường thẳng đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ) và nhận →
n = (a; b) là vectơ pháp tuyến có phương trình
dạng:
a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) = 0
(2)
Đặc biệt: đường thẳng đi qua (a; 0), (0; b) có phương trình theo đoạn chắn:
x y
+ =1
a b
Trang 14
(3)
http://diendantoanhoc.net
−
* Đường thẳng đi qua M (x 0 ; y 0 ) và nhận vectơ →
n = (p; q) làm vectơ chỉ phương, có phương
trình tham số là:
(
x = x 0 + pt
y = y0 + q t
(4)
Có phương trình chính tắc là:
x − x0 y − y 0
=
p
q
(5)
(p, q 6= 0)
¡
¢
¡
¢
Đặc biệt: đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A x A ; y A , B x B ; y B có phương trình dạng:
x − xA
y − yA
=
xB − x A y B − y A
(6)
• Đường thẳng đi qua M (x 0 ; y 0 ) và có hệ số góc k thì có phương trình đường thẳng với hệ số
góc dạng:
y = k(x − x 0 ) + y 0
(7)
Chú ý:
– Không phải đường thẳng nào cũng có hệ số góc. Các đường thẳng dạng x = a không
có hệ số góc. Do vậy, khi giải các bài toán dùng hệ số góc, ta phải xét cả trường hợp
đặc biệt này.
−
– Nếu →
n = (a; b), (b 6= 0) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì hệ số góc của nó là
a
k =− .
b
1.2.3
Vị trí tương đối của 2 điểm và 1 đường thẳng
Cho A x A ; y A , B x B ; y B và đường thẳng ∆ : ax + b y + c = 0. Khi đó:
¡
¢
¡
¢
¡
¢¡
¢
• Nếu ax A + b y A + c ax B + b y B + c < 0 thì A, B ở về hai phía khác nhau đối với ∆.
¡
¢¡
¢
• Nếu ax A + b y A + c ax B + b y B + c > 0 thì A, B ở cùng một phía đối với ∆
1.3
Góc và khoảng cách
−
−
• Góc giữa hai vectơ →
v ,→
w được tính dựa theo công thức:
→
−
−
u .→
w
−
−
cos(→
u ,→
w) = ¯ ¯ ¯ ¯
¯→
− ¯ ¯→
−¯
¯ v ¯ . ¯w ¯
−
−
• Giả sử →
n 1, →
n 2 lần lượt là vectơ pháp tuyến của các đường thẳng d 1 và d 2 . Khi đó:
¯
¯
¯→
− →
− ¯
¯ n 1. n 2¯
à
¯ ¯ ¯
cos (d
1 , d 2 ) = ¯¯
→
− ¯ ¯→
− ¯
¯ n 1¯ . ¯ n 2¯
−
• Độ dài vectơ →
u = (a; b) là:
http://diendantoanhoc.net
¯ ¯ p
¯→
−¯
¯ u ¯ = a2 + b2
(8)
(9)
(10)
Trang 15
• Khoảng cách giữa hai điểm A(x A ; y A ), B (x B ; y B ) là:
q
¡
¢2 ¡
¢2
AB =
xB − x A + y B − y A
(11)
• Diện tích tam giác ABC là:
1
S=
2
r
¡
AB.AC
¢2
³−→ −→´2
− AB . AC
(12)
• Khoảng cách từ điểm M (x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng d : ax +b y +c = 0 được tính bằng công thức:
¯
¯
¯ax 0 + b y 0 + c ¯
d (M ;d ) =
(13)
p
a2 + b2
1.4
Phương trình đường tròn
• Đường tròn tâm I (a; b), bán kính R có dạng:
(x − a)2 + (y − b)2 = R 2
(14)
• Phương trình:
x 2 + y 2 + 2ax + 2b y + c = 0,
(a 2 + b 2 − c > 0)
cũng là phương trình đường tròn với tâm I (−a; −b) và bán kính R =
(15)
p
a2 + b2 − c .
• Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M (x 0 ; y 0 )
(16)
(x 0 − a)(x − x 0 ) + (y 0 − b)(y − y 0 ) = 0
¡ ¢
• Vị trí tương đối của đường thẳng ∆ và đường tròn C tâm I , bán kính R .
¡ ¢
– Nếu d(I ;∆) > R thì ∆ và C không cắt nhau.
¡ ¢
– Nếu d(I ;∆) = R thì ∆ và C tiếp xúc tại I 0 là hình chiếu của I lên d .
¡ ¢
– Nếu d (I ;∆) < R thì ∆ và C cắt nhau tại hai điểm M , N . Khi đó trung điểm H của M N là
hình chiếu của I lên M N và
q
M N = 2 R 2 − d (I2 ,∆)
(17)
1.5
Phương trình Elip
• Elip là tập hợp các điểm M di động thỏa mãn M F 1 + M F 2 = 2a với F 1 , F 2 cố định, F 1 F 2 = 2c ,
a > c > 0 là các số cho trước.
• F 1 (−c; 0),F 2 (c; 0) được gọi là tiêu điểm, F 1 F 2 = 2c được gọi là tiêu cự. M F 1 , M F 2 là các bán
kính qua tiêu.
• Các điểm A 1 (−a; 0), A 2 (a; 0), B 1 (0; −b), B 2 (0; b) được gọi là các đỉnh của elip. Đoạn thẳng
A 1 A 2 = 2a được gọi là trục lớn, B 1 B 2 = 2b được gọi là trục nhỏ.
• Phương trình chính tắc của Elip có hai tiêu điểm F 1 (−c; 0), F 2 (c; 0) là:
x2 y 2
+
=1
a2 b2
(18)
Trong đó a > b > 0, b 2 = a 2 − c 2 .
Trang 16
http://diendantoanhoc.net
• Tâm sai e =
c
.
a
• Cho elip (E ) có phương trình chính tắc (18). Hình chữ nhật PQRS với P (−a; b), Q(a; b),
R(a; −b), S(−a; −b) được gọi là hình chữ nhật cơ sở của Elip.
• Nếu M ∈ (E ) và M , F 1 , F 2 không thẳng hàng thì đường thẳng phân giác ngoài của góc Fà
1 M F2
chính là tiếp tuyến của (E ) tại M .
2
Một số kĩ thuật cơ bản
2.1
2.1.1
Kĩ thuật xác định tọa độ điểm
Dựa vào hệ điểm
Xác định tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện nào đó với hệ các điểm A 1 , A 2 , ..., A n . Đối với bài toán
này, ta đặt M (x; y) và khai thác giả thiết.
Ví dụ 1
Cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 2), trực tâm H (−1; 3). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại
tiếp I của tam giác.
Lời giải
−−→
−→
−2(x − 1) = −2
−2(y − 2) = 1
−−→
−→
Giả sử I (x; y). Ta có: G H = (−2; 1); G I = (x − 1; y − 2). Vì G H= −2G I nên:
x = 2
⇐⇒
3
y =
2
µ
¶
3
Vậy I 2; .
2
2.1.2
Xác định tọa độ giao điểm của hai đường
Giao của hai đường thẳng
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d 1 : ax + b y + c = 0, d 2 : mx + n y + p = 0 (nếu có) là nghiệm
của hệ phương trình:
ax + b y + c = 0
mx + n y + p = 0
(19)
Giao của đường thẳng và đường tròn
x = x + mt
0
Cho đường thẳng d :
y = y 0 + nt
và đường tròn (C ) : (x − a)2 + (y − b)2 = R 2 . Tọa độ giao điểm
(nếu có) của d và (C ) là nghiệm của hệ phương trình:
x = x 0 + mt
y = y 0 + nt
(x − a)2 + (y − b)2 = R 2
http://diendantoanhoc.net
(20)
Trang 17
Giao của đường thẳng và Elip
x = x + mt
¡ ¢ x2 y 2
0
Cho đường thẳng d :
và elip E : 2 + 2 = 1.
y = y 0 + nt
a
b
¡ ¢
Tọa độ giao điểm của d và E (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình:
x = x 0 + mt
y = y 0 + nt
x2 y 2
2 + 2 =1
a
b
(21)
Giao của hai đường tròn
Tọa độ giao điểm
¡ ¢của hai đường tròn:
C 1 : x 2 + y 2 + 2a 1 x + 2b 1 y + c 1 = 0;
¡ ¢ 2
C 2 : x + y 2 + 2a 2 x + 2b 2 y + c 2 = 0
(nếu có) là nghiệm của hệ phương trình:
x 2 + y 2 + 2a x + 2b y + c = 0
1
1
1
x 2 + y 2 + 2a 2 x + 2b 2 y + c 2 = 0
(22)
Ví dụ 2
¡ ¢
Cho hai đường tròn: C 1 : (x −1)2 +(y −2)2 = 25;
µ
¶ µ
¶
¡ ¢
7 2
1 2 25
:
C2
x−
+ y+
= . Tìm tọa độ giao
2
2
2
điểm (nếu có) của chúng.
Lời giải
Tọa độ giao điểm (nếu có) của hai đường tròn là nghiệm của hệ phươngtrình:
x 2 + y 2 − 2x − 4y − 20 = 0
x 2 + y 2 − 7x + y = 0
⇐⇒
x − y = 4
x 2 + y 2 − 7x + y = 0
x−y =4
⇐⇒
x =6
x =1
Vậy hai đường tròn cắt nhau tại A(6; 2), B (1; −3).
2.1.3
Điểm thuộc đường
x = x + mt
0
Để tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d :
y = y 0 + nt
thỏa mãn điều kiện nào đó.
Ta lấy điểm M (x 0 + mt ; y 0 + nt ) và áp dụng giả thiết, ta thu được phương trình ẩn t .
Như thế, ta gọi là tham số hóa tọa độ điểm M .
Ví dụ 3
p
Cho điểm A(2; −1). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2x − y − 4 = 0 sao cho AM = 2
Lời giải
Trang 18
http://diendantoanhoc.net
Giả sử M (m; 2m − 4). Ta có: AM =
p
(m − 2)2 + (2m − 3)2 . Khi đó:
m=1
p
11
2 ⇐⇒ 5m 2 − 16m + 11 = 0 ⇐⇒
m=
5
µ
¶
11 2
Vậy các điểm cần tìm là M1 (1; −2), M2
; .
5 5
AM =
2.2
Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng
C
∆
d
M
Để tìm tọa độ hình chiếu H của M lên đường thẳng
d ta có 2 cách:
• Cách 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua
M và vuông góc với d . Điểm H chính là giao
điểm của d và ∆.
• Cách 2: Tham số hóa tọa độ của H ∈ d và dựa
vào điều kiện M H ⊥ d .
H
Ví dụ 4
Cho điểm M (−1; −1) và đường thẳng d : x − y + 2 = 0.
Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng d .
Lời giải
Cách 1
Đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với đường thẳng d có phương trình dạng:
1.(x + 1) + 1.(y + 1) = 0 ⇐⇒ x + y + 2 = 0
Do H = d ∩ ∆ nên tọa độ của H là nghiệmcủa hệ phương trình:
x − y + 2 = 0
x + y + 2 = 0
Giải hệ ta được H (−2; 0).
Cách 2
−−→
−
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương →
u = (1; 1). Giả sử H (h; h + 2) ∈ d . Ta có: M H = (h + 1; h + 3).
−−→ →
M H .−
u = 0 ⇐⇒ 1.(h + 1) + 1.(h + 3) = 0 ⇐⇒ h = −2
Vậy H (−2; 0).
2.3
Tìm tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng
Để tìm tọa độ điểm đối xứng M 0 của M qua đường thẳng
d ta có 2 cách:
• Cách 1: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M
lên d . Do H là trung điểm M M 0 nên áp dụng công
thức tìm tọa độ trung điểm, ta tìm được M
• Cách 2: Giả sử M 0
(x; y) và H là trung điểm của
H ∈ d
M M 0 . Khi đó ta có: −−−→0 →
M M .−
u =0
http://diendantoanhoc.net
∆
d
M
H
M0
Trang 19
Ví dụ 5
Tìm tọa độ điểm M 0 là đối xứng của điểm M (1; 1) qua đường thẳng d : x + y + 2 = 0.
Lời giải
Cách 1
−
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương →
u = (1; −1).
−−→
Hình chiếu của M lên đường thẳng d là H (h; −h − 2) ∈ d . Ta có: M H = (h − 1; −h − 3). Do đó:
−−→ →
M H .−
u = 0 ⇐⇒ 1.(h − 1) − 1.(−h − 3) = 0 ⇐⇒ h = −1
Vậy H (−1; −1).
Do H là trung điểm của M M 0 nên:
x
= 2x H − x M = −3
y M 0 = 2y H − y M = −3
M0
.
Vậy M 0 (−3; −3).
Cách 2
−
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương →
u = (1; −1)
µ .
¶
−−−→ −
x +1 y +1
;
∈ d và M M 0 .→
u = 0. Ta có hệ:
Giả sử M (x; y). Khi đó trung điểm M M là H
2
2
x +1 + y +1 +2 = 0
x = −3
⇐⇒
2
2
y = −3
1.(x − 1) − 1.(y − 1) = 0
0
0
Vậy M 0 (−3; −3).
2.4
Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cách 1 điểm cho trước
một khoảng cho trước
∆1
p
N
M
p
Để viết phương trình
¡ đường
¢ thẳng ∆ đi qua điểm
M và cách điểm N x N ; y N một khoảng bằng p ta
thường giả sử vectơ pháp tuyến của đường thẳng là
→
−
n = (a; b), (a 2 + b 2 > 0) và áp dụng công thức tính
khoảng cách - công thức (13).
∆2
Ví dụ 6
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1; 3) và cách điểm B (−2; 1) một khoảng bằng 3.
Lời giải
−
Giả sử →
n = (a; b), (a 2 + b 2 > 0) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng cần tìm. Phương trình đường
thẳng có dạng:
a(x − 1) + b(y − 3) = 0 ⇐⇒ ax + b y − a − 3b = 0
Khi đó:
Trang 20
b=0
| − 2a + b − a − 3b|
12
d (B ;∆) = 3 ⇐⇒
= 3 ⇐⇒ 5a 2 − 12ab = 0 ⇐⇒
p
b= a
a2 + b2
5
http://diendantoanhoc.net
• b = 0, chọn a = 1 ta có ∆1 : x − 1 = 0.
• b=
12
a , chọn a = 5, b = 12 ta có ∆2 : 5x + 12y − 41 = 0.
5
Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: ∆1 : x − 1 = 0; ∆2 : 5x + 12y − 41 = 0.
2.5
Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, tạo với 1 đường thẳng
khác một góc cho trước
Để viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
M và tạo với đường thẳng d một góc bẳng α ta
thường giả sử vectơ pháp tuyến của đường thẳng là
→
−
n = (a; b), (a 2 + b 2 > 0) và áp dụng công thức tính
góc - công thức (9).
d
∆2
∆1
M
Ví dụ 7
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M (2; 1) và tạo với đường thẳng d : 2x + 3y + 4 = 0 một
góc 45o .
Lời giải
−
Giả sử →
n = (a; b), (a 2 + b 2 > 0) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng cần tìm. Phương trình đường
thẳng có dạng:
ax + b y − 2a − b = 0
Khi đó:
a = 5b
1
|2a + 3b|
1
1
cos (d
; ∆) = p ⇐⇒ p
= p ⇐⇒ 5a 2 − 24ab − 5b 2 = 0 ⇐⇒
p
a =− b
2
2
a2 + b2 4 + 9
5
• a = 5b , chọn b = 1, a = 5 ta có ∆1 : 5x + y − 11 = 0.
1
• a = − b , chọn b = 5, a = −1 ta có ∆2 : −x + 5y − 3 = 0.
5
Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: ∆1 : 5xd+ y − 11 = 0; ∆2 : −x + 5y − 3 = 0.
2.6 Viết phương trình đường phân giác trong của một góc
Để viết phương trình đường phân giác trong của góc B
AC ta có nhiều cách. Dưới đây là 3 cách
thường sử dụng:
Cách 1:
Dựa vào tính chất đường phân giác là tập hợp các
d0
A
điểm cách đều hai đường thẳng AB : ax +b y +c = 0
và AC : mx + n y + p = 0, ta có:
|ax + b y + c| |mx + n y + p|
= p
p
a2 + b2
m2 + n2
e
Hai đường thu được là phân
giác trong và phân
.
giác ngoài của góc ABC
B
d
C
Sau đó, ta cần dựa vào vị trí tương đối của hai điểm B,C với hai đường vừa tìm được để phân biệt
http://diendantoanhoc.net
Trang 21
phân giác trong, phân giác ngoài. Cụ thể, nếu B,C ở cùng một phía thì đó là phân giác ngoài, ở
khác phía thì là phân giác trong.
A
Cách 2:
Lấy B 0 ,C 0 lần lượt thuộc AB, AC sao cho:
C0
B0
B
D
C
−−→0
1 −→
1 −→ −−→0
. AB ; AC =
. AC .
AB =
AB
AC
−−→ −−→ −−→
Giả sử AD = AB 0 + AC 0 Khi đó tứ giác AB 0 DC 0 là hình
thoi (Vì sao?).
d
−−→
Do đó, AD là vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm.
Cách 3:
−
Giả sử →
u = (a; b) là vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm. Ta có:
−→ →
−→ →
AB .−
u
AC .−
u
−→ →
−→ →
−
−
cos( AB , u ) = cos( AC , u ) ⇐⇒ ¯−→¯ = ¯−→¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ AB ¯
¯ AC ¯
Ví dụ 8
Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC , biết A(1; 1), B (4; 5), C (−4; −11).
Lời giải
Cách 1.
Ta có phương trình các cạnh: AB : 4x − 3y − 1 = 0, AC : 12x − 5y − 7 = 0.
Phương trình hai đường
phân giác góc A là:
4x − 3y − 1 12x − 5y − 7
=
5
13
4x − 3y − 1
12x − 5y − 7
=−
5
13
"
⇐⇒
4x + 7y − 11 = 0
(d 1 )
56x − 32y − 24 = 0 (d 2 )
Ta có:
¡
¢¡
¢
4xC + 7yC − 11 4x B + 7y B − 11 < 0
Do đó B,C khác phía so với (d1 ) hay (d 1 ) là đường phân giác cần tìm.
Cách 2.
Ta có:
−→
AB = (3; 4);
−→
AC = (−5; −12);
µ
¶
−−→0 −−→0
14
8
Ta có: AB + AC =
;−
.
65 65
µ
¶
−−→0 1 −→
3 4
AB = 5; AB = AB = ;
5
µ5 5
¶
−−→0
5
12
1 −→
AC = 13; AC =
AC = − ; −
13
13 13
−
Vậy vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm là: →
u = (7; −4). Do đó phương trình đường
phân giác cần tìm là:
4(x − 1) + 7(y − 1) = 0 ⇐⇒ 4x + 7y − 11 = 0
Cách 3.
−
Giả sử →
u = (a; b) là vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm. Ta có:
−→ →
−→ →
AB .−
u
AC .−
u
3a + 4b −5a − 12b
7
¯−→¯ = ¯−→¯ ⇐⇒
=
⇐⇒ a = − b
¯ ¯
¯ ¯
5
13
4
¯ AB ¯
¯ AC ¯
−
Vậy vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm là: →
u = (7; −4). Do đó phương trình đường
phân giác cần tìm là:
4(x − 1) + 7(y − 1) = 0 ⇐⇒ 4x + 7y − 11 = 0
Trang 22
http://diendantoanhoc.net
2.7
Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm
Để viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm, ta sử dụng phương trình dạng (15) và thay tọa
độ ba điểm đó vào, thu được 1 hệ phương trình.
Ví dụ 9
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết: A(1; 3),B (−1; −1),C (2; 0).
Lời giải
¡ ¢
Giả sử phương trình đường tròn C cần tìm có dạng
x 2 + y 2 + 2ax + 2b y + c = 0, (a 2 + b 2 − c > 0)
¡ ¢
Do A, B,C ∈ C nên:
1 + 9 + 2a + 6b + c = 0
1 + 1 − 2a − 2b + c = 0
4 + 2a + c = 0
⇐⇒
a = 0
b = −1
c = −4
(Thỏa mãn)
Vậy C : x 2 + y 2 − 2y − 4 = 0.
¡ ¢
2.8
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của đường tròn
¡
¢
Cho điểm A x A ; y A nằm ngoài đường tròn (C ) tâm I bán kính R . Từ A , kẻ hai tiếp tuyến AT1 , AT2
tới (C ). Hãy viết phương trình đường thẳng T1 , T2 .
Giả sử T (x; y), I (a; b) là tiếp điểm (T là T1 hoặc T2 ). Khi đó, ta có:
T ∈ (C )
→ −→
−
AT . I T = 0
(x − a)2 + (y − b)2 = R 2
¢
¡
¢
⇐⇒ ¡
x − x A (x − a) + y − y A (y − b) = 0
(23)
Trừ từng vế 2 phương trình của (23) ta thu được 1 phương trình đường thẳng. Đó là phương trình
cần tìm.
Ví dụ 10
Cho đường tròn (C ) có phương trình (x − 4)2 + y 2 = 4 và điểm M (1; −2). Tìm tọa độ điểm N
thuộc O y sao cho từ N kẻ được 2 tiếp tuyến N A, N B đến (C ) ( A, B là tiếp điểm) đồng thời
đường thẳng AB đi qua M .
Lời giải
Gọi I và T lần lượt là tâm và tiếp điểm của đường tròn (C ) (T là A hoặc B ). Ta có:
¡
¢
N 0; n ,
Khi đó:
¡ ¢
¡
¢
I 4; 0 , T x 0 ; y 0 ,
T ∈ (C )
⇐⇒
−→ −→
−
N T .I T = 0
¢
¢
−−→ ¡
−→ ¡
N T = x 0 ; y 0 − n , I T = x 0 − 4; y 0
x 2 + y 2 − 8x + 12 = 0
0
0
0
x 02 − 4x 0 + y 02 − n y 0 = 0
Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta có: 4x 0 − n y 0 − 12 = 0.
Vậy AB có phương trình là: 4x − n y − 12 = 0.
Vì AB đi qua M (1; −2) nên:
4 + 2n − 12 = 0 =⇒ n = 4
Vậy N (0; 4).
http://diendantoanhoc.net
Trang 23
3
Phương pháp giải toán
3.1
Phương pháp chung
Phương pháp chung để giải quyết bài toán hình học giải tích phẳng gồm các bước sau:
• Vẽ hình, xác định các yếu tố đã biết lên hình
• Khám phá các tính chất khác của hình (nếu cần). Chú ý tìm các đường vuông góc, song
song, đồng quy; các đoạn bằng nhau, góc bằng nhau; các góc đặc biệt; quan hệ thuộc giữa
điểm và đường thẳng, đường tròn, ...
• Xác định các điểm, đường thẳng (theo các kĩ thuật đã học) để thực hiện yêu cầu bài toán.
3.2
Một số hướng khai thác giả thiết
Dưới đây là một số hướng khai thác các giả thiết của đề bài. Dĩ nhiên, tùy vào từng bài cụ thể, ta
còn có những hướng sử dụng khác.
1. Phương trình đường thẳng d :
• Tham số hóa tọa độ của các điểm thuộc d
• Xét được vị trí tương đối, tìm được giao điểm của d và đường tròn hoặc đường thẳng
khác.
• Viết được phương trình đường thẳng:
– Song song hoặc vuông góc với d .
– Các d một khoảng cho trước.
– Tạo với d một góc cho trước.
• Lấy đối xứng được qua d . Tìm được hình chiếu của 1 điểm lên d .
• Xét được vị trí tương đối của hai điểm A, B so với d .
2. Phương trình đường tròn (C )
• Tìm được tâm và bán kính
• Xét được vị trí tương đối, tìm được giao điểm của (C ) và đường thẳng hoặc đường tròn
khác.
3. Điểm G là trọng tâm tam giác ABC .
• Áp dụng công thức tính tọa độ trọng tâm
−→ 2 −−→
• AG = AM /
3
−−→
−→
• G cùng với trực tâm H , tâm ngoại tiếp I thẳng hàng và G H = −2G I .
4. Điểm H là trực tâm của tam giác ABC
• AH ⊥BC .
−−→
−−→
• AH = 2 I M , với I là tâm đường tròn ngoại tiếp còn M là trung điểm BC .
• Điểm đối xứng của H qua AB, AC , BC thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
• Tứ giác B HC A 0 là hình bình hành, với A 0 là đối xứng của A qua tâm đường tròn ngoại
tiếp.
Trang 24
http://diendantoanhoc.net
- Xem thêm -
.PDF 
226 
792 
123 
