February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Bất đẳng thức trong đề đại học
Câu 1: (Diễn đàn Toán phổ thông) Cho a , b và c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P
(a b c)(ab bc ca)
4bc
abc
(b c) 2
Hướng đi: (Nhiệm vụ của hướng đi là giúp bạn hướng tư duy và dự đoán dấu bằng)
Việc đầu tiên ta sẽ dự đoán dấu bằng của nó. Đối với bài này, thông thường dấu = xảy ra khi b c .
Khi đó P
(a 2b)(ab b 2 ab)
(a 2b)(b 2a)
a b
1
1 2 5 1
2
ab
ab
b a
Đến đây ta có thể dự đoán a b (theo Cauchy).
Từ đây ta sẽ biết được a b c
Giải: P
(a b c)(ab bc ca)
4bc
abc
(b c) 2
Ta dùng Bất đẳng thức phụ:
1 1 1
4bc
2
a b c (b c)
a b c
(a b)( x y) ax by
(a b)( x y) ax by 2 abxy ay bx 2 abxy (luôn đúng theo Cauchy).
Dấu = xảy ra khi
a x
.
b y
Tiếp theo ta sẽ lồng biểu thức
1 1 1
vào BĐT phụ trên, và điều ưu tiên là ta sẽ khử đi ẩn a
a b c
a b c
.
1 1 1
1
bc
1 1
a. (b c) 1
a
bc
a b c
b c
a b c
Đến đây ta kiểm tra, dấu = xảy ra khi
hướng đã vạch ra là a b c .
1
a
a
a
bc
a 2 bc . Điều này đi đúng với
bc 1 1
b c a(b c)
b c
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
( Ở bước này ta có thể làm như sau
2
2
b c a(b c) b c 1 b c 2 b c 1 b c
1 1 1
)
a b c 1
bc
bc
a
bc
bc
bc
a b c
P 1
bc
bc 1
4bc
1
1 4t 2 f (t ), t
0;
2
t
b c 2
bc b c
1 8t 3 1
f '(t ) 8t 2 2
t
t
8.
1
1
23
0 f (t ) nghịch biến trên
1
22
1
0;
2
1
1
f (t ) f 4 . Dấu = khi t a b c
2
2
Vậy MinP 4 khi a b c .
Câu 2: (nguoithay.vn) Cho a , b và c là các số thực dương thỏa mãn a 2 b 2 c(a b) 4c 2 4 . Tim giá trị lớn
2
2
a b c b a c 1
nhất của P
.
ac
bc
c
Hướng đi: Với đề bài như thế này, ta sẽ mập mờ đoán ra a b . Khi đó, giả thiết sẽ là a 2 ac 2c 2 2
2
2
Dấu = khi c
1
,a b 1
2
a a c a a c 1
1
1
1 1
P
2a(a c) 4 4c 2 4 4c 2 1 (cauchy 3 số)
ac
ac
c
c
c
2c 2c
x y
Giải: Chìa khóa bài này chính là bất đẳng thức phụ
ab
2
x2 y2
a
b
Đây là bất đẳng thức đầu tiên mà bạn nên học nếu muốn chinh phục 10 điểm đề thi THPT Quốc gia. Nó có rất
nhiều tên gọi, một trong số đó là Schwarz. Cách chứng minh BĐT này đã có rất nhiều trên mạng, các bạn có thể
lên google search. Vì là đất nước trên con đường hội nhập nên cách bạn hãy tự trang bị cho mình các kĩ năng,
và một trong đó là kĩ năng tìm kiếm thông tin. Tôi chỉ xin nói ra dấu bằng của nó.
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
February 22, 2015
Dấu = xảy ra khi
x y
a b
b2
a2
1
1
1
1
1
c a 2 b 2 c(a b) 4 4c 2 4 4c 2 1
Từ đây ta sẽ có P a c b
c
c
2c 2c
a
b
c
Dấu bằng xảy ra khi c
1
,a b 1
2
Câu 3: (diendantoanhoc.net) Cho x, y và z thực dương thỏa mãn x 2 y 2 6 z 2 4 z ( x y ) . Tim giá trị nhỏ
nhất của P
x3
y x z
2
y3
x y z
2
x2 y 2
z
Hướng đi: Qua hai câu trên, chắc chắn các bạn đã dự đoán được x y
Từ giả thiết suy ra ( x z )( x 3 z ) 0 . Đến đây ta sẽ thử 2 trường hợp x y z và x y 3 z lần lượt vào P.
Thấy khi x y z thì P có giá trị nhỏ hơn. Vậy dấu bằng khi x y z
Giải: Để ý thấy đây là BĐT là thuần nhất (có nghĩa là đồng bậc) nên ta sẽ sử dụng phép đặt như sau:
Đặt a
x
y
, b (từ đây hướng đi của chúng ta đều quy về a b 1 )
z
z
1
2
2
2
x2 y 2 4 x 4 y
4(a b) a b 6 a b 6
x y 6 z 4 z( x y) 2 2
60
2
z
z
z
z
4(a b) 2ab 6
2
2
2
a b 2 và 2( a b) ab 3
P
x3
y x z
2
y3
x y z
2
x2 y 2
a3
b3
a2 b2
2
2
z
b a 1 a b 1
Đến đây, ta thấy sự tương quan giữa
a3
b a 1
2
và
b3
a b 1
2
. Nhiệm vụ bây giờ của chúng ta là khử mẫu hoặc
làm cho chúng cùng chung mẫu số. Bây giờ ta 2 chia ra hai hướng.
Hướng 1: Khử mẫu.
Ta thấy ở tử là bậc ba, điều đó liên tưởng cho ta cauchy 3 số. Và ta có thể khử theo hai cách như sau:
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Cách 1.1:
Ta có
a3
b a 1
2
a 1 ab b 3a
a3
a 1 ab b 1
nên ta chọn như
(lưu ý khi a b 1 thì
2
8
8
4
8
8
4
b a 1
thế).
Tương tự
b3
a b 1
a3
b a 1
Suy ra P
2
2
b 1 ab a 3b
8
8
4
b3
a b 1
2
2(a b) ab 1 2(a b) 2(a b) 3 1 1
4
4
2
1
1 ab 1
a2 b2
2
2
2
2
2
Cách 1.2: Ta có
a3
b a 1
2
b a 2 2a 1 3a
;
4
16
4
2
a b 2 2b 1 3b
4
16
4
b3
a b 1
a3
b a 1
Suy ra P
2
b3
a b 1
2
3
1
1 3
1
1 1
1 1
(a b) a 2 b 2 (a b) 4a 4b 6 (a b)
8
16
8 8
16
8 8
4 2
1
1 ab 1
a2 b2
2
2
2
2
2
Hướng 2: Làm cho chúng cùng chung mẫu số
a3
b a 1
2
b3
a b 1
Mặt khác: a 3 b3
2
2a 3
2b3
54(a3 b3 )
27(a 3 b3 )
2b(a 1)(a 1) 2a (b 1)(b 1) (2a 2b 2)3 4(a b 1)3
2(a b)3
(BĐT này rất dễ dàng chứng minh bằng tương đương, nhưng bạn hãy thử chứng
27
minh theo hướng khác nhé, mọi bài toán lớn đều cần 1 bài toán nhỏ thế này)
3
a b
3
a b
4
3
(3a 3b)3 (2a 2b 2)3 2 a b 1
4.27
27.4
27
3
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
3
Từ đó ta suy ra
Suy ra P
a3
b a 1
2
b3
a b 1
2
2 a b 1
27.
1
27
3
2
4 a b 1
1
1 ab 1
a2 b2
2
2
2
2
2
Câu 4: (Boxmath) Cho a , b và c là các số thực dương thỏa 3a ( a b c ) bc . Tìm GTNN của P
Hướng đi: Ta dự đoán b c . Khi đó, 3a (a 2b) b 2 b 3 2 3 a
Vậy dấu bằng khi b c 3 2 3 a
Giải: Ta thấy đây là BĐT thuần nhất. Đặt x
x y
Theo giả thiết: 3 3( x y ) xy
4
b
c
; y (từ đây ta sẽ xoay quanh x y 3 2 3 )
a
a
2
x y 64 3
P x y 64 3
Dấu = khi x y 3 2 3 b c 3 2 3 a
Câu 5: (THTT) Cho các số thực dương x, y, z thỏa x 2 y 2 z 2 1 .Tìm GTNN của
P
1
x 2 xy
1
y 2 xy
2 3
1 z
Hướng đi: Ta dự đoán dấu x y 2 x 2 1 z 2 .Thay vào P ta được P
2
1 z2
2 3
1 z
Giải: Theo giả thiết z 0;1
P
1
x 2 xy
1
y 2 xy
2 3
1 z
2
4
x
2
xy y 2 xy
2 3
1 z
2
4
x
2
2 xy y 2
4
2
bc
a
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
February 22, 2015
2 2 2 3
2 2
2 3
2
2 3
f ( z)
x y 1 z
1 z2 1 z
2 x2 y 2 1 z
f '( z )
2z
1 z
2
1 z2
2 3
1 z
2
z
2
3
.
0
(1 z ) 1 z 1 z 1 z
1 z
z z 1 1 z 3 3 z z 3 z 2 3 1 3 z 3 z 2 z 3 (2 z 1)(2 z 2 3 z 3) 0 z
1
2
Bảng biến thiên:
Z
1
2
0
f’(z)
f(z)
1
Theo bảng biến thiên,
8 3
. Dấu bằng xảy ra khi
3
3
1
x y
,z
2
2
0
MinP
22 3
8 3
3
Lưu ý rằng sẽ nhiều bạn gặp khó khăn khi tìm lim
x 1
2
2
1 z
2 3
. Để làm tốt đề thi THPT Quốc Gia, tôi biết
1 z
các bạn sẽ phải chọn lọc những thứ cần học, và dĩ nhiên phần giới hạn lớp 11 sẽ bị bỏ qua, nên gặp những
trường hợp thế này, các bạn cứ làm theo cảm tính, cứ tưởng tượng, z càng tiến tới 1 thì
ta cứ tự tin mà cho lim
x 1
2
2
1 z
2
1 z2
càng lớn. Nên
2 3
1 z
Câu 6: Cho các số thực không âm a , b, c thỏa a b c 1 và không có hai số nào đồng thời bằng 0. Tìm GTNN:
P
1
1
c 1 a b 3
(a b)(b c) (c a ) a b
Hướng đi: Ta dự đoán dấu = khi a b khi đó 2a c 1
Khi đó P
1
1
4
4
c 1 2a 3
c 1 4 c
c 2 3c 4
2
2 a a c 2a a c
1 c
1 c c 1
Giải: Theo giả thiết c 0;1
February 22, 2015
P
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
1 1
1
c 1 4 c (thêm 1 lần nữa, ta thấy được sức mạnh của Schwarz)
a b (b c) (c a)
1
4
1
4
4
c 2 3c 4
c 2 3c 4
c 2 3c 4 f (c )
.
.
1 c a b 2c
1 c 1 c
1 c2
f 'c
8c
2 2
1 c
2 1 c 1 0c 0;1
Suy ra hàm số nghịch biến trên 0;1 f c f 0 8
Vậy MinP 8 khi a b
1
,c 0
2
Câu 7: (nguoithay.vn) Cho các số thực dương x, y, z thỏa 5( x 2 y 2 z 2 ) 9( xy 2 yz zx) . Tìm GTLN của
P
x
1
2
y z x y z 3
2
Hướng đi: Dự đoán y z . Khi đó 5 x 2 2 y 2 18 xy y 2 x 4 y
Do đó P
2
1
1
. Khảo sát hàm số này ta thấy Pmax khi y
3
12
y 216. y
1
3
Vậy dấu = khi x , y z
1
12
Giải: Từ giả thiết, ta sẽ hướng đến các đại lượng đối xứng ( yz hoặc y z hoặc y 2 z 2 )
5( x 2 y 2 z 2 ) 9( xy 2 yz zx) 9 x y z 5 x 2 5 y 2 z 2 18 yz 2 y z
2
2
2 y z 9 x ( y z ) 5 x 2 0 (đây là bất phương trình đẳng cấp)
2 y z x
Đó là những gì ta có được từ giả thiết, và ta không thể quy về ẩn x để khảo sát hàm số. Do đó ta sẽ quy về 1 ẩn
khác. Và chìa khóa chính là ẩn y z
February 22, 2015
P
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
2 y z
x
t3
1
1
4
1
1
t
f (t ), t
0
4
3
2
3
3
2
2
y z x y z
27
yz
y z 27 y z y z 27 y z
2
t2
f '(t ) 4 0 t 6
9
Bảng biến thiên
T
f’(t)
0
6
Theo bảng biến thiên,
MaxP 16 . Dấu bằng xảy ra khi
0
0
yz
f(t)
1
1
,x
12
3
16
2
Câu 8: (toanhoc24h) Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn 4ac b a b c . Tìm GTNN của
2
2
b 1 8a 8c b 1
P
2
ac
a b c
2
Thoạt nhìn biểu thức của P thật phức tạp, nhưng hãy nhìn kĩ, các biểu thức sẽ phân ra 2 phần, 1 phần đối xứng
gồm (a,c). Và 1 phần không đối xứng gồm b. Nên các bạn đừng quá lo lắng. Cốt lõi bài toán sẽ nằm ở những thứ
đó.
Hướng đi: Ta tiếp tục dự đoán như những bài trên a c . Và các bạn hãy làm thử các bước tiếp theo. Tôi tin tới
đây các bạn đã có thể vạch ra hướng đi trong đầu mà không cần ghi ra hướng đi trên nháp.
2
2
2
Giải: a b c b 2 2b( a c) a c 4ac b a c b b 2(a c ) 1 (bước này tương tự các
câu trên, ta sẽ quy các biểu thức về ac hoặc a c hoặc a 2 c 2 . Và bạn đừng ngại, cứ thử hết 3 cái đó, thế nào
cũng có cái gọn nhất)
Và để ý 1 tí ta sẽ cần thứ này 2( a b c ) 1 b
2
2
2
2
2
2
4 a c b 1
b 1 8a 8c b 1
2b 2
2b 2 8 b 1
4.
Đến biểu thức P: P
2
2
2
ac
1 b
1 b
a b c
1 b
1 b
Đặt t
1 b
(cái này khó mà tìm điều kiện chặt của t, nhưng ta chỉ cần điều kiện t>0 là đủ)
b 1
February 22, 2015
P f (t ) 8t 2
f '(t ) 16t
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
2
t
2
1
0t
2
t
2
Bảng biến thiên:
T
1
2
0
f’(t)
0
Theo bảng biến thiên,
MinP 6 . Dấu bằng xảy ra khi
t
1
1
1
b ,a c
2
3
6
f(t)
6
Câu 9: (nguoithay.vn) Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2b b c 4bc và 3a c Tìm GTNN
của P
a 2 2b 2
ac
Hướng đi: Như những định hướng ở các bài trước, ta sẽ đoán được b c . Và bài này còn dễ hơn các bài trước
là có thêm dữ kiện 3a c nên ta có thể giữ niềm tin dấu bằng sẽ xảy ra khi 3a b c
Nhìn vào giả thiết và cả biểu thức P ta đều nghĩ tới phép đặt ẩn phụ x
Giải: Từ giả thiết ta có
a 1
c 3
a
b c
a a
b
2 1 4 2 2
c b
c b
c
c
a 2b b c 4bc
Đặt x
Và x
a
b
1
,y x
c
c
3
x
2 y 2 y2 1
1
1
2y 2 x
y
y
y 1
3
3
2
a
b
,y .
c
c
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
2
2
y 3 y 2 2 y 3
2 y 2 2 y 2 y 2 y 2 y 2 y 1 y y y 1
P x
f ( y)
x
y 1
1 y
1 y2
1 y2
Đến đây đạo hàm hơi vất vả.
1 y 9 y
f '( y )
2
2
4 y 3 2 y 2 3 y 2 2 y 3
1 y 3 y 1
2
2
1 1
1
1 y 2
2
2 y 2 2 y 2 3 y 2 2 y 3
1 1
0y ;
2
3 2
1 y 2
Vậy f ( y ) đồng biến trên y ; f ( y ) f 1
3 2
3
Dấu bằng khi y
1
1
c
x ab
3
3
3
Từ đây, ta thấy hướng của ta đã vạch ra là không đúng, đây là một bài toán khá hay, cho ta thấy được sự bất
biến của BĐT, bây giờ cũng đề bài trên, các bạn hãy thử tìm GTLN xem!
2
2
2
Câu 10: (ĐH Vinh) Cho các số thực dương x, y, z thỏa x y z 2 xy 3 x y z . Tìm GTNN của
P x y z
20
xz
20
y2
Hướng đi: Bài này thực sự là 1 bài khá khó, đây không phải BĐT nửa đối xứng, và ta khó mà đoán được điểm
rơi của nó. Nhưng khó chứ không phải là không thể. Để ý kĩ, ta sẽ thấy sự xuất hiện của 2 biểu thức
1
và
xz
1
. Điều này giúp ta liên tưởng đến việc khử mẫu và rất để ý thấy, hệ số của chúng đều là 20, nên rất có
y2
thể chúng bằng nhau.
2
2
2
2
2
Khi chúng bằng nhau thì x z y 2 x y z 2 xy 3 x y z x y 2 x y 1 0
Và P 2( x z )
40
2 . Khảo sát hàm số này thì hàm số sẽ có GTNN là 26 và x z 4
x z
x z 4
x z y 2
x 1; y 2; z 3
x2 y 2 2 x y 1 0
Từ đó ta đã biết được điểm rơi của BĐT.
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
2
Giải: 3 x y z x 2 y 2 z 2 2 xy x y z 2 (dễ thấy x y z nên ta làm tiếp)
x y z
2
x yz 6
2
P x yz
20
xz
20
x y z
y2
40
4
x z y 2
x y z 2
40 2
2
x yz2
Đến đây thì đã đơn giản, có nhiều cách sử lí, và tôi sẽ chọn cách gần gũi với các bạn nhất.
Đặt t
x yz2 2 2
P f t t 2
f '(t ) 2t
40 2
2
t
40 2 2t 3 40 2
0t 2 2 f t nghịch biến trên
t2
t2
2; 2 2
Vậy f t f 2 2 26 .
Vậy MinP 26 khi x 1; y 2; z 3
Các bạn hãy làm thử bài này:
2
2
2
(moon.vn) Cho các số thực dương x, y, z thỏa x y z 2 xy 3 x y z . Tìm GTNN của
P x yz
54
54
y7
z x5
Câu 11: (Tilado.edu.vn) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy yz zx 0 và x 2 xy yz 3 zx .
Tìm GTNN của P
x
16 y
25 z
y z z x x y
Hướng đi: Thoạt nhìn, ta thấy đây là bất đăng thức thuần nhất, vì thế không cần suy nghĩ nhiều, ta sẽ dùng
phép đặt ẩn phụ.
Giải: x 0 : x 2 xy yz 3 zx yz 0 xy yz zx 0 (vô lí)
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Vậy x 0
Đặt a
y
z
; b (các bạn có thể đặt khác tôi), a 0
x
x
x 2 xy yz 3 zx 1
P
y yz
z
3b 1
1
2 3 1 a ab 3b a
b
x x
x
1 b
3
16 3b 1 25 b 1
x
16 y
25 z
1
16a 25b
b 1
2
y z z x x y a b 1 b 1 a b 4b 1 b 1 2
4
Đến đây ta sẽ xét hàm f b , nhưng thực phức tạp để đạo hàm, ta hãy dự đoán dấu bằng. Ở trên kia ta đã thấy
b
1
1
34
nên ta hãy thử với b thì khi đó P
3
3
3
16 3b 1 25 b 1 b 1
b 1
16 3b 1
P 2
2
3
2
2
b 4b 1 b 1
4
b 4b 1 b 1
1
25 b
3 34
4
3
16
b4
25 34
b 1
16 3b 1 25 3b 1 34
2
3
3
b
1
2
2
2
12
3
b 4b 1 b 1
b 1 b 4b 1 12 3
3b 1
25b 4 138b3 320b 2 710b 265
Vậy MaxP
2
12 b 1 b 4b 1
2
1
34 34
(vì 25b 4 138b3 320b 2 710b 265 0b )
3
3
3
34
1
khi b , a 0 y 0, x 3 z
3
3
Bài toán này đòi hỏi sự biến đổi cẩn thận, các bạn hãy thử theo con đường khảo sát hàm số xem. Biết đâu sẽ
nhanh hơn.
Câu 12: (THTT) Cho các số dương a , b, c thỏa a 2 b 2 c 2 14 . Tìm GTLN của
P
4a c
4a
5
3
2
2
2
a 3c 28 a bc 7 a b a(b c)
2
Hướng đi: Bài toán này tôi đánh giá rất khó, để tạo ra bài toán này, chắc hẳn tác giả phải tạo ra điểm rơi trước
rồi mới nêu lên ý tưởng. Còn đối với chúng ta, điểm rơi vẫn còn là dấu chấm hỏi.
Nhận xét thấy các biểu thức trong P được chia thành hai nhóm là
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
+Nhóm 1:
4a
3
có chứa cả 3 biến a , b, c
a bc 7 a(b c)
+Nhóm 2:
4a c
5
chỉ chứa 2 biến số
2
a 3c 28 a b 2
2
2
Ta sẽ xử lý nhóm 1 trước. Bây giờ, ta lồng ghép giả thiết vào P xem thử thế nào. Để ý ta sẽ thấy
3
12
. Dấu = xảy ra khi a b c
a (b c) a b c 2
4a
8a
8a
2
2
2
2
2
a bc 7 3a 2bc b c
3a b c
2
Như các bài trên, ta cần đưa chúng về cùng dạng mẫu số với biểu thức
ta làm như sau:
8a
2
3a b c
2
8a
2
2a a b c
2
2
12
a b c
2
và phải chú ý a b c nên
8a
4
2a 2a b c a b c
2
Vì ta chia thành 2 nhóm nên đồng nghĩa với việc ta sẽ biến đổi P thành hai hàm số độc lập (kiểu như
P f x g y ) nên ta cần tìm lần lượt GTLN của các hàm số thành phần.
2
4a
3
4
12
1
1 1 1
12
Ta sẽ tìm GTLN của 2
2
a bc 7 a(b c) a b c a b c
abc 6 3 3
a b c
a 3
Tới đây, ta đã ép bài toán vào dấu = khi a b c 6
b 2 . Giờ ta sẽ đi giải quyết bài toán.
a 2 b 2 c 2 14
c 1
Giải: Ta có
8a
8a
8a
4
3
12
và
2
2
2
2
a (b c) a b c
3a 2 b c
2a 2 a 2 b c 2a 2a b c a b c
2
4a
3
4
12
1
1 1 1
12
Suy ra 2
2
a bc 7 a(b c) a b c a b c
abc 6 3 3
Tiếp tục, ta lại có:
13
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
[email protected] – Em nào ở thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh là gia sư thì liên
lạc với anh nha.
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
4 a c
4 a c
4a c
(bunhiacopsky)
2
3
2
a 3c 28 3 1 2
2
1 a 3c 28 4 a c 28
4 3
2
1
6
a c . (Đây là BĐT tiếp tuyến).
25
25
5
a b
2
2
3
a b . (Tiếp tục ta sử dụng BĐT tiếp tuyến. Để biết thêm về BĐT tiếp tuyến, các bạn xem
25
5
http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?app=core&module=attach§ion=attach&attach_id=6785 )
4 a c
5
3a 2b c 9
Từ đó ta có 2
2
2
a 3c 28 a b
25
25
Vậy MaxP
a
2
b 2 c 2 32 2 2 12
25
9 1
25 5
8
khi a 3, b 2, c 1
15
Câu 13: (ĐH Vinh) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn 5 x 2 y 2 z 2 6 xy yz zx . Tìm GTLN
của P 2 x y z y 2 z 2
2
x y
Hướng đi: Ta dự đoán y z . Khi đó 5 x y z 6 xy yz zx
5
x 2y
2
Khi x
2
2
25
2
y thì P 2 3 x x 2 (khảo sát ta thấy ra xấu nên ta cứ cho là nó sai đi :3 )
5
2
x2
3
1
Khi x 2 y thì P 2 x
Khảo sát hàm số này thì được min P
khi x 1; y z
2
2
2
Giải:
5 x 6 yz 6 x y z 5 y z
2
2
2
5x
2
y z
6
4
2
2
5 y z
2
6x y z
5x2 6x y z y z 0
2
2
5 x 2 5 x y z y z x y z 0 5 x y z x y z 0
x y z 5x
14
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
[email protected] – Em nào ở thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh là gia sư thì liên
lạc với anh nha.
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
February 22, 2015
2
2
y z 1 x y z
2 x y z y z
P 2 x y z y z
1 1
2
2
2
2
2
1
.
2
Vậy MaxP 1 khi x 1; y z
Bài này vẫn còn rất nhiều cách khác, cách bạn hãy thử tìm 1 lời giải khác cho bài này nhé!
Câu 14: (moon.vn) Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn
P
1
2
2
2 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
c
a b
a
b
c
bc ac
a2 b2 c2
Hướng đi: Bài toán rất đơn giản để ta có thể đoán được a b 2c
Và hướng đi chắc chắn phải là đặt ẩn phụ.
2
1
2 2 1 1
1 1 1
Giải: 2 2 2
c
a b a b
c a b
2
x y x y 4
a
b
1 1
Đặt x ; y 1 x y xy
c
c
x y
4
xy 2 xy xy 4
2
Ta lại có
x y 1
2
x y xy x 2 y 2 xy 2 xy x 2 y 2 1 xy 1
4
Và
P
x
y
a
b
c
x
y
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
bc ac
y 1 x 1
a b c
x y 1 y 1 x 1
x y2 1
4 x y 1
1
1
4
4
x y 1
2
2
2
2
x y2
x y 4
x 1 y 1 x y 4
Đặt t x y 4 P f t
15
4t 4
4
2
2
t2 t 4
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
[email protected] – Em nào ở thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh là gia sư thì liên
lạc với anh nha.
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
2
1
2t 4 t 3t 1 4t t 3 4
f '(t ) 4.
0t 4
2
2
2
2
t 2 2 t 2 4 2
t
4
t
4
f t f 4
5
3
Dấu = khi x y 2 a b 2c
Sau đây là một số bài toán mà tôi thấy hay và đáng làm:
(toanhoc24h.blogspot.com) – trích trong đề thi thử của thầy Khải. Đây là người thầy mà tôi rất kính trọng.
Trong thầy tôi thấy được sự đam mê…
Câu 1: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y 4 z 4 . Tìm GTNN:
P 2z
z
x y z
2 y z
x y 2 4 2
Câu 2: : Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 3 y 2 z 3 . Tìm GTLN: P 2
Câu 3: Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2 bc b 2 c 2 . Tìm GTLN: P
Câu 4: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 3 x y 7 . Tìm GTNN: P x 2
Câu 5: Cho a , b, c là các số thực dương. Tìm GTNN: P
a2
a b
2
x2 9 y 2
3z z 2
xy 1
b
c
3a3
a 2 c 2 a 2 b 2 b c 6
1 2 x 3 xy 2
y2
y
xy 1
ab 2
16a 4
2
b ac c a c a 4
Câu 6: Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn abc a b c 4 . Tìm GTNN:
P
1
a b a c
8bc
bc b c 2 8
2
x
y
z2 2
Câu 7: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y 1 z . Tìm GTNN P
x yz y zx z xy
16
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
[email protected] – Em nào ở thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh là gia sư thì liên
lạc với anh nha.
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Câu 8: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2 y 2 z . Tìm GTLN
P
1 2 xy z
x
2
y 2 1 z 2
3z 2
1 z
2
z2 1
Câu 9: : Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x z . Tìm GTNN P
2 x 3z
xz
y2
2
y yz xz yz
x 2z
Câu 10: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2 y 2 z 2 3 xy . Tìm GTNN
P
x2
y
x2 y 2
y 2 yz z x x 2 z 2
Câu 11: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x 2 y 2 xy 1 . Tìm GTLN P
24 xy
x3
y3
3
3
y 1 x 1 x y 2
Câu 12: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2 z 2 y 2 xy 3 yz zx . Tìm GTLN
P
x
2y z
2
1
xy y 2 z
Câu 13: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn. Tìm GTNN
P
x3 y 3
x
y
z2
. 2
2
xy 2 y xz 2 x yz 4 x y 2
Câu 14: : Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2 x 2 z 2 2 x . Tìm GTLN
xz
z
4 x2
P
x 2 y 1 y 1 x y 2
Câu 15: : Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2 y 2 z 2 4 . Tìm GTNN
P
2 y2
3 x 2 3 xy 2 2 x 2 y
2
2 y zx
y z 2
Câu 16: : Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2 y 2 z 2 xy 2 z . Tìm GTNN
2
x
y
8z3
P 2
2
x 2 z 2 x 2 z 2 y 2 z 2
y z
17
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
[email protected] – Em nào ở thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh là gia sư thì liên
lạc với anh nha.
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
February 22, 2015
Câu 17: Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2b b c 5bc và 2a c . Tìm GTLN và GTNN
P
a2 b2
ac
z x z z y z xy . Tìm GTNN
Câu 18: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
P
x
y
x y 30 z
2
yz xz
4 x 4 y 2 z 2 12 xy
x
y
x3 y 3
Câu 19: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z 3 xy . Tìm GTNN P
y z x z
16 z
2
2
Câu 20: Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2 ab b 2 c . Tìm GTLN
3 ab 2 2c 2 36
1
1
P 2
2
a 2 b2 2
4ab 2c 3
Câu 21: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x, y , z 1 và x y z 3 . Tìm GTLN
P
x2
y2 1
x 2 y 2 4 xy 1 z 2 4 z 5
Câu 22: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 5x 2 y 2 z 2 yz . Tìm GTNN
P
z
y 2z
x2 y2
x y x z x z x y
2
Câu 23: Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn 4ac b a b c . Tìm GTNN
2
2
b 1 8a 8c b 1
P
2
ac
a b c
2
Câu 24: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2 y 2 z 2 2 . Tìm GTNN
P
xy 2
z2 2
yz 2
x2 2
zx 2
y2 2
54
x y z
2
2
2
2
Câu 25: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x, y , z 1 và x y z 6 xy 2 x y z . Tìm GTNN
18
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
[email protected] – Em nào ở thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh là gia sư thì liên
lạc với anh nha.
February 22, 2015
P
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
x 1
y 1
x y
y z 1 x z 1 z
2
Câu 26: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y 4 xy 4 xyz . Tìm GTLN
P
xz
yz
z
z3
2
x y z y x z x y
Câu 27: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2 y 2 z 2 xy yz zx 2 . Tìm GTNN
P
3x x 2 y 2 z 2
x y z
2
8 y2 z2
2 y 2 2 z 2 xy xz
2 z 2 xy
x
y
Câu 28: Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm GTNN P
x 2 z y 2 z x y z 2
Câu 29: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy z 2 z 3 . Tìm GTNN
P
z
x y
2
16 z 3
x y
4
2 x y
z
Câu 30: Cho x, y, z là các số thực dương . Tìm GTNN P
x
y x y
2
2
2
x y y z x z 8 z
z3
Câu 31: Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c 2 . Tim GTNN
P
1 1 2 2 64b 2 c
a b
2
24
2
a b bc ca
a
b a
19
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
[email protected] – Em nào ở thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh là gia sư thì liên
lạc với anh nha.
.PDF 
19 
224 
70 
