SỞ GD&ĐT HẢI PHÒNG
TRƯỜNG THPT BẠCH ĐẰNG
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề
Câu 1 ( 2,0 điểm). Cho hàm số y x 3 3mx 1 (1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1 .
b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại
O ( với O là gốc tọa độ ).
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
sin 2 x 1 6sin x cos 2 x .
2
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I
1
Câu 4 (1,0 điểm). a) Giải phương trình
x3 2 ln x
dx .
x2
52 x 1 6.5x 1 0 .
b) Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm
trực nhật . Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Câu 5 (1,0 điểm).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 4;1;3 và đường
x 1 y 1 z 3
. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A và vuông góc với
2
1
3
đường thẳng d . Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho AB 27 .
thẳng d :
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB AC a , I
là trung điểm của SC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm
H của BC , mặt phẳng SAB tạo với đáy 1 góc bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S . ABC và
tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng SAB theo a .
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A 1; 4 , tiếp
tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong
ADB có phương trình x y 2 0 , điểm M 4;1 thuộc cạnh AC . Viết phương trình
của
đường thẳng AB .
x 3 xy x y 2 y 5 y 4
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
4 y 2 x 2 y 1 x 1
Câu 9 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số dương và a b c 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
P
bc
3a bc
ca
3b ca
ab
3c ab
…….Hết……….
ĐÁP ÁN
Câu
1
Nội dung
a.(1,0 điểm)
Vơí m=1 hàm số trở thành : y x3 3x 1
TXĐ: D R
y ' 3x 2 3 , y ' 0 x 1
Điểm
0.25
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1; , đồng biến trên khoảng 1;1
0.25
Hàm số đạt cực đại tại x 1 , yCD 3 , đạt cực tiểu tại x 1 , yCT 1
lim y , lim y
x
x
* Bảng biến thiên
x
–
y’
+
y
0.25
+
-1
0
1
0
3
–
+
+
-1
-
Đồ thị:
4
0.25
2
2
4
b.(1,0 điểm)
y ' 3 x 2 3m 3 x 2 m
0.25
y ' 0 x 2 m 0 *
Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị PT (*) có 2 nghiệm phân biệt m 0 **
Khi đó 2 điểm cực trị A m ;1 2m m , B
m ;1 2m m
1
2
Tam giác OAB vuông tại O OA.OB 0 4m3 m 1 0 m ( TM (**) )
1
2
(1,0 điểm)
Vậy m
2.
0.25
0.25
0,25
sin 2 x 1 6sin x cos 2 x
0.25
(sin 2 x 6sin x) (1 cos 2 x) 0
2 sin x cos x 3 2 sin 2 x 0
0. 25
2sin x cos x 3 sin x 0
sin x 0
sin x cos x 3(Vn)
0. 25
x k . Vậy nghiệm của PT là x k , k Z
0.25
(1,0 điểm)
2
2
2
2
2
ln x
x2
ln x
3
ln x
I xdx 2 2 dx
2 2 dx 2 2 dx
x
x
2 1 1 x
2
1
1
1
0.25
2
ln x
dx
x2
1
Tính J
3
Đặt u ln x, dv
0.25
1
1
1
dx . Khi đó du dx, v
2
x
x
x
2
2
1
1
Do đó J ln x 2 dx
x
x
1
1
2
1
1
1
1
J ln 2
ln 2
x1
2
2
2
Vậy I
4.
1
ln 2
2
0.25
(1,0 điểm)
a,(0,5điểm)
5 x 1
52 x 1 6.5x 1 0 5.52 x 6.5 x 1 0 x 1
5
5
x
0
Vậy nghiệm của PT là x 0 và x 1
x 1
b,(0,5điểm)
n C113 165
Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là C52 .C61 C51 .C62 135
135 9
Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là
165 11
5.
0.25
(1,0 điểm)
0.25
0.25
0.25
0.25
Đường thẳng d có VTCP là ud 2;1;3
Vì P d nên P nhận ud 2;1;3 làm VTPT
0.25
Vậy PT mặt phẳng P là : 2 x 4 1 y 1 3 z 3 0
2 x y 3z 18 0
0.25
0.25
Vì B d nên B 1 2t ;1 t ; 3 3t
2
2
AB 27 AB 2 27 3 2t t 2 6 3t 27 7t 2 24t 9 0
6.
t 3
13 10 12
3 Vậy B 7;4; 6 hoặc B ; ;
t
7
7 7
7
(1,0 điểm)
Gọi K là trung điểm của AB HK AB (1)
Sj
Vì SH ABC nên SH AB (2)
0.25
0.25
Từ (1) và (2) suy ra AB SK
Do đó góc giữa SAB với đáy bằng góc
60
giữa SK và HK và bằng SKH
M
B
H
C
Ta có SH HK tan SKH
a 3
2
K
A
1
1 1
a3 3
Vậy VS . ABC S ABC .SH . AB. AC.SH
3
3 2
12
0.25
Vì IH / / SB nên IH / / SAB . Do đó d I , SAB d H , SAB
Từ H kẻ HM SK tại M HM SAB d H , SAB HM
Ta có
7.
a 3
a 3
1
1
1
16
. Vậy d I , SAB
2 HM
2
2
2
4
4
HM
HK
SH
3a
(1,0 điểm)
0.25
0,25
Gọi AI là phan giác trong của BAC
Ta có :
AID
ABC BAI
A
E
M'
K
M
I
B
C
0,25
CAD
CAI
IAD
CAI
,
nên
AID IAD
ABC CAD
Mà BAI
DAI cân tại D DE AI
D
PT đường thẳng AI là : x y 5 0
0,25
Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI PT đường thẳng MM’ : x y 5 0
Gọi K AI MM ' K(0;5) M’(4;9)
VTCP của đường thẳng AB là AM ' 3;5 VTPT của đường thẳng AB là n 5; 3
0,25
0,25
Vậy PT đường thẳng AB là: 5 x 1 3 y 4 0 5x 3 y 7 0
(1,0 điểm).
x 3 xy x y 2 y 5 y 4(1)
4 y 2 x 2 y 1 x 1(2)
0.25
xy x y 2 y 0
Đk: 4 y 2 x 2 0
y 1 0
Ta có (1) x y 3
x y y 1 4( y 1) 0
Đặt u x y , v
y 1 ( u 0, v 0 )
u v
Khi đó (1) trở thành : u 2 3uv 4v 2 0
u 4v(vn)
8.
Với u v ta có x 2 y 1, thay vào (2) ta được :
4 y 2 2 y 3 2 y 1
2 y 2
4 y2 2 y 3 2 y 1
y 2 ( vì
4 y2 2 y 3 y 1 2 y
y 1 1 0
2
y2
0 y 2
4 y2 2 y 3 2 y 1
y 1 1
2
4 y2 2 y 3 2 y 1
1
0y 1 )
y 1 1
Với y 2 thì x 5 . Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là 5; 2
9.
(1,0 điểm) .
0.25
1
0
y 1 1
0.25
0.25
Vì a + b + c = 3 ta có
bc
bc
bc
bc 1
1
2 ab a c
3a bc
a(a b c) bc
(a b)(a c)
1
1
2
Vì theo BĐT Cô-Si:
, dấu đẳng thức xảy ra b = c
ab ac
(a b)( a c)
Tương tự
Suy ra P
ca
3b ca
ca 1
1
và
2 ba bc
ab
3c ab
ab 1
1
2 ca cb
bc ca ab bc ab ca a b c 3
,
2(a b) 2(c a) 2(b c)
2
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P =
0,25
0,25
0,25
3
khi a = b = c = 1.
2
0,25
SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI THPT QUỐC GIA
NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (4,0 điểm).Cho hàm số y
2x 1
, gọi đồ thị là (C).
x 1
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số.
b)Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng (d): x 3 y 2 0 .
x
Câu 2 (2,0 điểm). Giải phương trình: 2sin 2 cos5x 1
2
Câu 3 (2,0 điểm).
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : f ( x) x. (5 x)3 trên đoạn 0;5
Câu 4 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình sau : 2 log 2 3 (2 x 1) 2 log 3 (2 x 1)3 2 0
b) Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam , 5 nhà vật lý nữ và 3
nhà hóa học nữ, .Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn
phải có nữ và có đủ ba bộ môn.
Câu 5 (2,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có
A 4;8 , B 8; 2 , C 2; 10 . Chứng tỏ ABC vuông và viết phương trình đường cao còn
lại.
Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a .Góc
600 ,hình chiếu của S trên mặt ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC .
BAC
Mặt phẳng SAC hợp với mặt phẳng ABCD góc 600 . Tính thể tích khối chóp
S . ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD theo a .
Câu 7 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC.
Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có
phương trình là 3 x 5 y 8 0, x y 4 0 . Đường thẳng qua A vuông góc với đường
thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D 4; 2 . Viết
phương trình các đường thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.
2 y 3 y 2 x 1 x 3 1 x
Câu8 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình:
(x, y )
2
2
2
9 4 y 2 x 6 y 7
Câu 9 (2,0 điểm). Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a b c và a 2 b 2 c2 5 . Chứng
minh rằng: (a b)(b c)(c a)(ab bc ca) 4
---------HẾT-------Thí sinh không được sử dụng tài liệu .Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:………………………………………………..SBD:……………………
SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
(Gồm 04 trang)
Câu 1. (4 điểm)
Nội dung
Điểm
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
+Tập xác định D \ 1
2đ
0.25
+Sự biến thiên
Chiều biến thiên: y '
3
x 1
2
0 x 1 .
0.25
Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1;
Cực trị : Hàm số không có cực trị.
Giới hạn tại vô cực và tiệm cận:
2x 1
2 ,đường thẳng y 2 là tiệm cận ngang
x
x x 1
2x 1
2x 1
; lim
, đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng
lim
x 1 x 1
x 1 x 1
lim y lim
0.5
Bảng biến thiên :
x
y'
y
-
+
-1
||
+
+
2
0.5
||
2
1
2
+Đồ thị:Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm A ; 0
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm B 0; 1
Đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 tiệm cận là I 1; 2 làm tâm đối xứng
( Đồ thị )
0.5
2, Viết phương trình tiếp tuyến
2đ
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) ta có : k f ' ( x0 )
3
( x0 1)2
0.5
1
Lại có k . 1 k 3
3
hay
0.5
x0 0
3
3
2
( x0 1)
x0 2
0.5
Với x0 0 y0 1 Vậy phương trình tiếp tuyến là : y 3x 1
Với x0 2 y0 5 Vậy phương trình tiếp tuyến là : y 3x 11
0.5
Câu 2. (2 điểm)
Nội dung
x
2sin 2 1 cos5x cosx cos5x
2
cos x cos 5x
k
x
x 5 x k 2
6 3
là nghiệm của phương trình.
x 5 x k 2
x k
4 2
Điểm
0.5
0.5
1.0
Câu 3. (2 điểm)
Nội dung
Điểm
f(x) = x (5 x)3 hàm số liên tục trên đoạn [0; 5] f(x) x(5 x)3/ 2 x (0;5)
0,5
5
5 x (5 x)
2
f’(x) = 0 x 5; x 2 . Ta có : f(2) = 6 3 , f(0) = f(5) = 0
f ’(x) =
Vậy Max f(x) = f(2) = 6 3 , Min f(x) = f(0) = 0
x[0;5]
x[0;5]
0,5
0,5
0,5
Câu 4. (2 điểm)
Nội dung
Điểm
a) 2 log 2 3 (2 x 1) 2 log 3 (2 x 1)3 2 0
1
2
2
PT 8log 3 (2 x 1) 6 log 3 (2 x 1) 2 0
Điều kiện : x
log3 (2 x 1) 1
4 log (2 x 1) 3log 3 (2 x 1) 1 0
log 3 (2 x 1) 1
4
2
3
0,25
0,25
0,25
x2
4
3 1
x 3
2 3
là nghiệm của phương trình đã cho.
0,25
b) Tính xác suất
Ta có : C164 1820
Gọi A= “ 2nam toán ,1 lý nữ, 1 hóa nữ”
B= “ 1 nam toán , 2 lý nữ , 1 hóa nữ “
C= “ 1 nam toán , 1 lý nữ , 2 hóa nữ “
Thì H= A B C = ” Có nữ và đủ ba bộ môn “
0.25
0.5
C82 C51C31 C81C52C31 C81C51C32 3
P( H )
7
0.25
Câu 5. (2 điểm)
Nội dung
Điểm
Ta có : AB 12; 6 ; BA 6; 12
0,5
Từ đó AB.BC 0 Vậy tam giác ABC vuông tại B
0,5
* Viết phương trình đường cao BH: Ta có đường cao BH đi qua B 8; 2 và
nhận AC 6; 18 6 1;3 làm vecto pháp tuyến
0,5
Phương trình BH : x 3 y 2 0
0,5
Câu 6. (2 điểm)
S
E
A
D
H
O
B
C
Nội dung
600
* Gọi O AC BD Ta có : OB AC , SO AC SOB
Điểm
0.25
Xét tam giác SOH vuông tại H : tan 600
SH
a 3
a
. 3
SH OH .tan 600
HO
6
2
Ta có : tam giác ABC đều : S ABCD 2.S ABC
a2 3
2
0.25
1 a a 2 3 a3 3
(đvtt)
3 2 2
12
1
3
0.25
0.25
Vậy VSABCD .SH .S ABCD . .
* Tính khỏang cách
Trong ( SBD) kẻ OE SH khi đó ta có : OC; OD; OE đôi một vuông góc Và :
0.5
a
a 3
3a
OC ; OD
; OE
2
2
8
Áp dụng công thức :
1
1
1
1
3a
d
2
2
2
d (O, SCD ) OC
OD OE
112
2
0.5
Mà d B, SCD 2d O, SCD
6a
112
Câu 7. (2,0 điểm)
A
E
H
B
K
M
C
D
Nội dung
Điểm
Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC,
K là giao điểm của
BC và AD, E là giao điểm của BH và AC. Ta kí hiệu nd , ud lần lượt là vtpt,
vtcp của đường thẳng d. Do M là giao điểm của AM và BC nên tọa độ của M
là nghiệm của hệ phương trình:
0,5
7
x
x y 4 0
2 M 7 ; 1
2 2
3 x 5 y 8 0
y 1
2
AD vuông góc với BC nên nAD u BC 1;1 , mà AD đi qua điểm D suy ra
phương trình của AD :1 x 4 1 y 2 0 x y 2 0 . Do A là giao điểm
của AD và AM nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
0,5
3 x 5 y 8 0
x 1
A 1;1
x y 2 0
y 1
Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình:
0,25
x y 4 0
x 3
K 3; 1
x y 2 0
y 1
KCE
, mà KCE
BDA
(nội tiếp chắn cung
Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK
) Suy ra BHK
BDK
, vậy K là trung điểm của HD nên H 2; 4 .
AB
0,25
(Nếu học sinh thừa nhận H đối xứng với D qua BC mà không chứng minh, trừ
0.25 điểm)
Do B thuộc BC B t ; t 4 , kết hợp với M là trung điểm BC suy ra
C 7 t ;3 t .
HB(t 2; t 8); AC (6 t ; 2 t ) . Do H là trực tâm của tam giác ABC nên
t 2
HB. AC 0 t 2 6 t t 8 2 t 0 t 2 14 2t 0
t 7
0,25
Do t 3 t 2 B 2; 2 , C 5;1 . Ta có
AB 1; 3 , AC 4;0 nAB 3;1 , nAC 0;1
0,25
Suy ra AB : 3 x y 4 0; AC : y 1 0.
Câu 8. (2,0 điểm)
Nội dung
Điểm
3 3
Điều kiện: x 1; y ; . Ta có
2 2
0.25
(1) 2 y 3 y 2 1 x 2 x 1 x 1 x
0.25
2 y 3 y 2(1 x) 1 x 1 x
Xét hàm số f (t ) 2t 3 t , ta có f '(t ) 6t 2 1 0, t f (t ) đồng biến trên .
0.25
y 0
Vậy (1) f ( y ) f ( 1 x ) y 1 x
2
y 1 x
Thế vào (2) ta được :
4 x 5 2x2 6x 1
2
Pt 2 4 x 5 4 x 2 12 x 2 4 x 5 1 2 x 2
4 x 5 2 x 3(vn)
4 x 5 1 2x
y42
Với x 1 2
y 4 2
Câu 9. (2,0 điểm)
1
x
2
x 1 2(l )
x 1 2
Vậy hệ có hai nghiệm.
0.25
2
0.5
0.5
Nội dung
Điểm
(a b)(b c)(c a)(ab bc ca) 4 (a b)(b c)(a c)(ab bc ca) 4 (*).
0.25
Đặt vế trái của (*) là P
Nếu ab + bc + ca < 0 thì P 0 suy ra BĐT được chứng minh
Nếu ab + bc + ca 0 , đặt ab + bc + ca = x 0
0.25
Ta có
2
a b b c (a c)
(a-b)(b-c)
2
4
2
(a - b)(b - c)(a - c)
(a c)3
(1)
4
Ta có : 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 2(a - c)2 + 2(a - b)2 + 2(b - c)2
2
2
2
2
2
2(a - c) + [(a - b) + (b - c)] = 2(a - c) + (a - c) = 3(a - c)
0.25
0.25
4
(5 x) (2) .
Suy ra 4(5 - x) 3(a - c) ,từ đây ta có x 5 và a c
3
2
3
1
2 3
4
x (5 x)3 (3)
Từ (1) , (2) suy ra P x. (5 x) =
9
4
3
Theo câu a ta có: f(x) = x (5 x)3 6 3 với x thuộc đoạn [0; 5]
2 3
nên suy ra P
.6 3 P 4 . Vậy (*) được chứng minh.
9
Dấu bằng xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0
………. Hết……….
1.0
www.VNMATH.com
ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA 2015
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
HƯNG YÊN
BAN CHUYÊN MÔN
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y x 3 3mx 2 2 (1), với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2
(O là gốc tọa độ).
Câu 2 (1,0 điểm). Giải bất phương trình log 1 4 x 4 log 1 2 x 1 3 log 2 2x .
2
2
Câu 3 (1,0 điểm).
M
a) Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho các số phức là nghiệm của phương trình z 2 2 z 3 0 . Tính
O
độ dài đoạn thẳng AB.
b) Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2015, mỗi thí sinh có thể dự thi tối đa 8 môn: Toán, Lý, Hóa,
.C
Sinh, Văn, Sử, Địa và Tiếng anh. Một trường Đại học dự kiến tuyển sinh dựa vào tổng điểm của
AT
H
3 môn trong kì thi chung và có ít nhất 1 trong hai môn là Toán hoặc Văn. Hỏi trường Đại học đó
có bao nhiêu phương án tuyển sinh?
2
sin x
dx
cos
2
x
3cos
x
2
0
M
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I
N
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 4; 2;2 , B 0;0;7 và
W
.V
x 3 y 6 z 1
. Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng thuộc một
2
2
1
mặt phẳng. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân đỉnh A.
đường thẳng d :
W
W
Câu 6 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác cân, AB AC a ,
1200 . Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc 600. Tính thể tích lăng trụ ABC.A'B'C' và
BAC
khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng AB ' C ' theo a .
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A 1;2 . Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của cạnh AD và DC; K là giao điểm của BN với CM. Viết phương trình
đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK, biết BN có phương trình 2 x y 8 0 và điểm B có hoành
độ lớn hơn 2.
1 y x 2 2 y 2 x 2 y 3xy
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
x, y
2
2
y 1 x 2 y 2 y x
Câu 9 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 5 x 2 y 2 z 2 9 xy 2 yz zx
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P
x
1
2
y z x y z 3
2
---------------Hết----------------
www.VNMATH.com
ĐÁP ÁN
Câu
1
Nội dung
a) Khảo sát hàm số y x 3mx 2
Với m = 1, ta có hàm số: y = x3 + 3x2 + 2
*) TXĐ:
*) Sự biến thiên:
+) Giới hạn tại vô cực: lim y
3
Điểm
2
0,25
x
+) Chiều biến thiên:
y' = 3x2 + 6x y' = 0 x = 0 hoặc x = -2
Bảng biến thiên:
-
-2
+
0
-
+
0
+
M
y’
0
6
y
0,25
+
.C
2
O
x
AT
H
-
M
hàm số đồng biến trên (-; -2) và (0; +); hàm số nghịch biến trên (-2; 0)
hàm số đạt cực đại tại x = -2, yCĐ = 6; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 2
*) Đồ thị:
Nhận xét: đồ thị hàm số nhận điểm
I(-1; 4) làm tâm đối xứng.
0,25
W
W
W
.V
N
6
2
4
0,25
2
-5
5
-2
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích
tam giác OAB bằng 2
Với mọi x , y' = 3x2 + 6mx y' = 0 x = 0 hoặc x = -2m
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt
m0
Khi đó, tọa độ các điểm cực trị là: A(0; 2); B(-2m; 4m3 + 2)
m 1
(thỏa mãn)
SOAB = 1 OA.d(B;OA) = 4 2m 2
m 1
Vậy với m = 1 thì hàm số có 2 cực trị thỏa mãn bài.
log 1 4 x 4 log 1 2 x 1 3 log 2 2 x
2
0,5
0,5
2
0,5
www.VNMATH.com
log 1 4 4 log 1 2
x
2
x 1
3 log 1 2 x
2
2
log 1 4 4 log 1 2
x
2
2 x 1
3.2
x
0,5
2
4x 4 2 2 x 1 3.2 x
4x 3.2 x 4 0
2 x 1 L
x2
x
2 4
Vậy BPT có tập nghiệm: S = 2;
3
a) Xét phương trình: z 2 2 z 3 0
2
' = 1 - 3 = -2 = i 2
O
.C
A 1; 2 ; B 1; 2
M
0,25
Phương trình có hai nghiệm: z1 1 i 2; z2 1 i 2
AT
H
AB = 2 2
0,25
M
b) TH1: Trường ĐH chỉ xét 1 trong 2 môn Toán hoặc Văn:
Có: 2.C62 30 (cách)
0,25
W
.V
N
TH2: Trường ĐH xét cả hai môn Toán và Văn:
Có: 1.C61 6 (cách)
0,25
Vậy có các trường hợp là: 30 + 6 = 36 (cách)
2
W
W
4
2
sin x
sin x
dx
dx
2
cos 2 x 3cos x 2
2cos x 3cos x 1
0
0
I
0,25
Đặt cosx = t dt = -sinxdx
Với x = 0 t = 1; với x =
1
1
2
t=0
1
dt
dt
1
1
I 2
2
dt
2t 3t 1 0 2t 1 t 1
2t 1 2t 2
0
0
0,25
1
3
2t 1
= ln
ln
2
2t 2 0
0,5
www.VNMATH.com
5
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương u 2;2;1 và đi qua M(3;6;1)
Đường thẳng AB có véctơ chỉ phương AB 4; 2;5
AM 1;4; 1
Ta có: u , AB 12;6;12 u , AB . AM 12 24 12 0
0,5
Vậy AB và d đồng phẳng
C d C 3 2t ;6 2t ;1 t
Tam giác ABC cân tại A AB = AC
(1 + 2t)2 + (4 + 2t)2 + (1 - t)2 = 45
9t2 + 18t - 27 = 0 t = 1 hoặc t = -3
0,5
6
B
.C
C
O
M
Vậy C(1; 8; 2) hoặc C(9; 0; -2)
AT
H
A
H
C'
N
M
K
B'
W
.V
A'
W
W
AKA '
+ Xác định góc giữa (AB'C') và mặt đáy là
AKA ' 600 .
a 3
1
a
Tính A'K = A ' C ' AA ' A ' K .tan 600
2
2
2
3
3a
VABC . A ' B ' C ' =AA'.S ABC
8
0,5
+) d(B;(AB'C')) = d(A';(AB'C'))
Chứng minh: (AA'K) (AB'C')
Trong mặt phẳng (AA'K) dựng A'H vuông góc với AK A'H (AB'C')
d(A';(AB'C')) = A'H
a 3
Tính: A'H =
4
a 3
Vậy d(B;(AB'C')) =
4
0,5
www.VNMATH.com
7
Gọi E = BN AD D là trung điểm của AE
Dựng AH BN tại H AH d A; BN
A
B
8
5
1
1
1
5
Trong tam giác vuông ABE:
2
2
2
AH
AB AE
4AB2
5.AH
4
AB
2
H
M
0,25
K
D
N
C
E
O
M
B BN B(b; 8 - 2b) (b > 2)
AB = 4 B(3; 2)
Phương trình AE: x + 1 = 0
E = AE BN E(-1; 10) D(-1; 6) M(-1; 4)
Gọi I là tâm của (BKM) I là trung điểm của BM I(1; 3)
.C
0,25
1 y x 2 2 y 2 x 2 y 3 xy 1
y 1 x 2 2 y 2 x 2 y 2
M
ĐK: y -1
x2 2 y 2 t t 0
W
.V
Đặt
N
Xét (1): 1 y x 2 2 y 2 x 2 y 3 xy
0,5
Phương trình (1) trở thành: t 2 1 y t x 2 2 y 2 x 2 y 3xy 0
= (1 - y)2 + 4(x2 + 2y2 + x + 2y + 3xy) = (2x + 3y + 1)2
2
2
t x y 1 x 2 y x y 1
2
2
t x 2 y
x 2y x 2y
W
W
8
BM
2
2
5 . Vậy phương trình đường tròn: (x - 1) + (y - 3) = 5.
2
0,25
AT
H
R
0,25
Với
x 2 2 y 2 x y 1 , thay vào (2) ta có:
1
y
y 1 3y 1
y 0
3
9 y 2 5 y 0
x 2 x 1 (vô nghiệm)
0,25
TRƯỜNG THPT MẠC ĐỈNH CHI
ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
***
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số: y = x 4 - 2( m 2 + 1) x 2 + 1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.
b) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị thỏa mãn giá
trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình : sin 2 x - cos x + sin x = 1 (x Î R )
b) Giải bất phương trình : log 1 éëlog 2 (2 - x 2 ) ùû > 0 ( x Î R) .
2
2
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ò
1
dx
x x 3 + 1
.
z - 11
z - 4 i
.
= z - 1 . Hãy tính
z - 2
z + 2 i
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' , D ABC đều có cạnh bằng a , AA ' = a
và đỉnh A ' cách đều A, B, C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A ' B .
Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách từ C đến mặt phẳng
( AMN ) .
Câu 6 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương
trình x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 2 z - 2 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng ( P ) chứa truc Oy
Câu 4 (0,5 điểm). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
và cắt mặt cầu ( S ) theo một đường tròn có bán kính r = 2 3 .
Câu 7 (0,5 điểm). Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9
đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia
thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba
bảng khác nhau.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đường
cao AH có phương trình 3 x + 4 y + 10 = 0 và đường phân giác trong BE có phương trình
x - y + 1 = 0 . Điểm M (0;2) thuộc đường thẳng AB và cách đỉnh C một khoảng bằng
2 . Tính diện tích tam giác ABC .
(
)
Câu 9 (1,0 điểm). Giải bất phương trình: x 2 + 5 x < 4 1 + x ( x 2 + 2 x - 4)
(xÎ R).
Câu10 (1,0 điểm). Cho các số thực x; y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x 2 + y 2 + 2 x + 1 + x 2 + y 2 - 2 x + 1 + y - 2 .
Hết
trang 1
- Xem thêm -
.PDF 
187 
147 
131 
